Éducation Nationale Française · MP2I
Structures algébriques usuelles
De nombreuses situations concrètes rencontrées jusqu'ici partagent les mêmes règles de calcul : l'addition des entiers, la multiplication des nombres complexes, la composition des bijections, le produit matriciel, l'union des ensembles. L'objectif de ce chapitre est d'abstraire ces motifs en un petit nombre de structures algébriques — groupe, anneau, corps — qui capturent exactement les règles de calcul communes à une vaste classe d'objets, et de développer un langage unifié dans lequel une seule démonstration traite plusieurs cas à la fois.
Le chapitre a trois sections, suivant le programme. La première section introduit la notion la plus élémentaire : une loi de composition interne (ou opération) sur un ensemble, ainsi que les quatre propriétés classiques (associativité, commutativité, élément neutre, inversibilité) et la notion de partie stable. La deuxième section se spécialise aux groupes — un ensemble muni d'une loi interne bien réglée. On définit les groupes, on donne le bestiaire standard (\(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}^*, \mathbb{R}^*, \mathbb{C}^*, \mathbb{U}, \mathbb{U}_n\), le groupe symétrique \(\mathfrak{S}_n\), les produits), on introduit les sous-groupes et les morphismes, et on démontre le résultat fondamental qu'un morphisme de groupes est injectif ssi son noyau est trivial. La troisième section ajoute une seconde loi compatible pour obtenir les anneaux (toujours unitaires, par convention du programme), définit les corps (toujours commutatifs, par convention du programme), et démontre les deux identités calculatoires — \(a^n - b^n\) et la formule du binôme — valides dans tout anneau lorsque les deux éléments commutent.
Tout au long du chapitre, les exemples canoniques sont :
Le chapitre a trois sections, suivant le programme. La première section introduit la notion la plus élémentaire : une loi de composition interne (ou opération) sur un ensemble, ainsi que les quatre propriétés classiques (associativité, commutativité, élément neutre, inversibilité) et la notion de partie stable. La deuxième section se spécialise aux groupes — un ensemble muni d'une loi interne bien réglée. On définit les groupes, on donne le bestiaire standard (\(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}^*, \mathbb{R}^*, \mathbb{C}^*, \mathbb{U}, \mathbb{U}_n\), le groupe symétrique \(\mathfrak{S}_n\), les produits), on introduit les sous-groupes et les morphismes, et on démontre le résultat fondamental qu'un morphisme de groupes est injectif ssi son noyau est trivial. La troisième section ajoute une seconde loi compatible pour obtenir les anneaux (toujours unitaires, par convention du programme), définit les corps (toujours commutatifs, par convention du programme), et démontre les deux identités calculatoires — \(a^n - b^n\) et la formule du binôme — valides dans tout anneau lorsque les deux éléments commutent.
Tout au long du chapitre, les exemples canoniques sont :
- groupes additifs : \((\mathbb{Z}, +), (\mathbb{Q}, +), (\mathbb{R}, +), (\mathbb{C}, +)\) ;
- groupes multiplicatifs : \((\mathbb{Q}^*, \cdot), (\mathbb{R}^*, \cdot), (\mathbb{C}^*, \cdot), (\mathbb{U}, \cdot), (\mathbb{U}_n, \cdot)\) ;
- le groupe symétrique \(\mathfrak{S}_n\) (composition des bijections de \(\{1, \dots, n\}\)) ;
- les anneaux \((\mathbb{Z}, +, \cdot), (\mathbb{Q}, +, \cdot), (\mathbb{R}, +, \cdot), (\mathbb{C}, +, \cdot)\) et \((\mathbb{K}[X], +, \cdot)\) ;
- les corps \(\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\).
I
Lois de composition interne
Une loi de composition interne (ou lci) n'est qu'une manière de combiner deux éléments d'un ensemble pour en former un troisième dans le même ensemble. Les quatre propriétés classiques — associativité, commutativité, élément neutre, inversibilité — décrivent à quel point une lci est bien réglée. Elles sont les briques de toute structure algébrique qui suit : un groupe est un ensemble muni d'une lci vérifiant trois d'entre elles, un anneau est un ensemble muni de deux lci en interaction, et un corps est un anneau particulier.
I.1
Définition d'une loi interne
Une lci sur \(E\) n'est qu'une application \(E \times E \to E\). La notation \(x * y\) remplace la notation fonctionnelle \(*(x, y)\). Le « interne » dans « loi interne » signifie : le résultat de la combinaison de deux éléments de \(E\) reste dans \(E\) — la loi ne sort pas de l'ensemble.
Définition — Loi de composition interne
Une loi de composition interne (ou loi interne, ou lci) sur un ensemble \(E\) est une application $$ * : E \times E \to E, \qquad (x, y) \mapsto x * y. $$ On note \(x * y\) l'image de \((x, y)\) par \(*\). Le couple \((E, *)\) désigne l'ensemble muni de la loi. Exemple — Lois internes standards
Voici quelques lois internes : - \(+\) et \(\cdot\) sur \(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\).
- \(\circ\) (composition) sur l'ensemble \(\mathcal{F}(E, E)\) des applications de \(E\) dans \(E\).
- \(\cap\) et \(\cup\) sur \(\mathcal{P}(E)\).
- Le produit matriciel sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) (référence avant à Calcul matriciel).
Lci non associative. La soustraction \((x, y) \mapsto x - y\) sur \(\mathbb{R}\) est une lci qui n'est ni associative ni commutative : par exemple, \((5 - 3) - 1 = 1 \neq 3 = 5 - (3 - 1)\). Cela contraste avec les exemples « bien réglés » ci-dessus et montre qu'une lci n'a aucune des quatre propriétés en général.
Compétences à pratiquer
- Vérifier qu'une loi est interne
I.2
Propriétés d'une loi interne
Les quatre propriétés classiques ci-dessous décrivent à quel point une lci est bien réglée. L'associativité permet d'omettre les parenthèses ; la commutativité permet d'échanger les opérandes ; un élément neutre agit comme \(0\) pour \(+\) ou \(1\) pour \(\cdot\) ; un élément inversible possède un « partenaire » qui annule son effet. La distributivité décrit l'interaction entre deux lci, l'exemple canonique étant la distributivité de \(\cdot\) sur \(+\).
Définition — Propriétés d'une loi interne
Soit \((E, *)\) un ensemble muni d'une lci. On dit : - \(*\) est associative si \(\forall x, y, z \in E,\ (x * y) * z = x * (y * z)\).
- \(*\) est commutative si \(\forall x, y \in E,\ x * y = y * x\).
- Un élément \(e \in E\) est un élément neutre pour \(*\) si \(\forall x \in E,\ e * x = x * e = x\).
- Supposons que \(*\) admet un neutre \(e\). Un élément \(x \in E\) est inversible (ou symétrisable) s'il existe \(x' \in E\) tel que \(x * x' = x' * x = e\). Un tel \(x'\) s'appelle un inverse (ou symétrique) de \(x\).
Proposition — Unicité du neutre et de l'inverse
Soit \((E, *)\) un ensemble muni d'une lci. - Si \(*\) admet un élément neutre, ce neutre est unique.
- Si \(*\) est associative et admet un neutre \(e\), alors pour tout \(x \in E\) inversible, l'inverse de \(x\) est unique. On le note \(x^{-1}\) (notation multiplicative) ou \(-x\) (notation additive).
- Unicité du neutre. Supposons que \(e, e' \in E\) sont deux éléments neutres pour \(*\). Alors $$ e = e * e' \quad (\text{car } e' \text{ est neutre}) = e' \quad (\text{car } e \text{ est neutre}). $$ Donc \(e = e'\).
- Unicité de l'inverse. Supposons \(x \in E\) inversible avec deux inverses \(x', x'' \in E\), c'est-à-dire \(x * x' = x' * x = e\) et \(x * x'' = x'' * x = e\). Alors par associativité : $$ x' = x' * e = x' * (x * x'') = (x' * x) * x'' = e * x'' = x''. $$ Donc \(x' = x''\).
Exemple — Neutres et inverses dans les lci standards
- \((\mathbb{Z}, +)\) : neutre \(0\) ; tout \(n \in \mathbb{Z}\) est inversible d'inverse \(-n\).
- \((\mathbb{Z}, \cdot)\) : neutre \(1\) ; seuls \(\pm 1\) sont inversibles (leur inverse est eux-mêmes).
- \((\mathbb{R}, \cdot)\) : neutre \(1\) ; tout \(x \in \mathbb{R}^*\) est inversible d'inverse \(1/x\) ; \(0\) n'est pas inversible.
- \((\mathcal{P}(E), \cap)\) : neutre \(E\) (car \(A \cap E = A\)) ; seul \(E\) est inversible (avec lui-même).
- \((\mathcal{P}(E), \cup)\) : neutre \(\emptyset\) ; seul \(\emptyset\) est inversible (avec lui-même).
- \((\mathcal{F}(E, E), \circ)\) : neutre \(\operatorname{id}_E\) ; les inversibles sont exactement les bijections \(E \to E\), et leurs inverses sont les applications réciproques.
Compétences à pratiquer
- Reconnaître les propriétés d'une lci
I.3
Parties stables et inverse d'un produit
Une partie \(A \subset E\) est « stable » pour \(*\) si la combinaison de deux éléments de \(A\) reste dans \(A\). Les parties stables sont importantes car la loi de \(E\) se restreint alors à \(A\), donnant une lci sur \(A\). Le produit de deux inversibles est de nouveau inversible — avec une formule non évidente qui inverse l'ordre : \((x * y)^{-1} = y^{-1} * x^{-1}\).
Définition — Partie stable
Soit \((E, *)\) un ensemble muni d'une lci, et \(A \subset E\). On dit que \(A\) est stable pour \(*\) (ou stable sous \(*\)) si $$ \forall x, y \in A,\quad x * y \in A. $$ De manière équivalente, la restriction de \(*\) à \(A \times A\) prend ses valeurs dans \(A\), définissant une lci sur \(A\). Exemple — Parties stables standards
- \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\) est stable pour \(+\) mais pas pour \(-\) : \(0 - 1 = -1 \notin \mathbb{N}\).
- \(\mathbb{R}_+^* = \{x \in \mathbb{R} : x > 0\}\) est stable pour \(\cdot\) dans \(\mathbb{R}^*\).
- \(\mathbb{R}_-\) n'est pas stable pour \(\cdot\) : \((-1) \cdot (-1) = 1 \notin \mathbb{R}_-\).
- L'ensemble \(GL_n(\mathbb{R})\) des matrices \(n \times n\) inversibles est stable pour le produit matriciel (référence avant à Calcul matriciel).
Proposition — Inverse d'un produit
Soit \((E, *)\) un ensemble muni d'une lci associative et d'un neutre \(e\). Si \(x, y \in E\) sont tous deux inversibles, alors \(x * y\) est inversible et $$ \textcolor{colorprop}{(x * y)^{-1} = y^{-1} * x^{-1}.} $$ L'ordre des facteurs est inversé.
On vérifie directement que \(y^{-1} * x^{-1}\) est un inverse de \(x * y\) : $$ (x * y) * (y^{-1} * x^{-1}) = x * (y * y^{-1}) * x^{-1} = x * e * x^{-1} = x * x^{-1} = e, $$ et de même $$ (y^{-1} * x^{-1}) * (x * y) = y^{-1} * (x^{-1} * x) * y = y^{-1} * e * y = y^{-1} * y = e. $$ Par la Proposition d'unicité de l'inverse plus haut, \((x * y)^{-1} = y^{-1} * x^{-1}\).
Mise en garde. Si \(*\) n'est pas commutative, \((x * y)^{-1} \neq x^{-1} * y^{-1}\) en général ; l'inversion de l'ordre des facteurs est essentielle.
Mise en garde. Si \(*\) n'est pas commutative, \((x * y)^{-1} \neq x^{-1} * y^{-1}\) en général ; l'inversion de l'ordre des facteurs est essentielle.
Méthode — Vérifier qu'une lci possède une propriété donnée
Pour vérifier que \((E, *)\) possède l'associativité, la commutativité, un neutre ou des inversibles : - Associativité. Prendre \(x, y, z \in E\) quelconques et montrer \((x * y) * z = x * (y * z)\). Pour la réfuter, exhiber un triplet précis pour lequel l'égalité échoue.
- Commutativité. Prendre \(x, y \in E\) quelconques et montrer \(x * y = y * x\). Pour la réfuter, exhiber un couple précis pour lequel l'égalité échoue.
- Neutre. Deviner un candidat \(e\) (souvent \(0\) pour \(+\), \(1\) pour \(\cdot\), \(\operatorname{id}_E\) pour \(\circ\)), puis vérifier \(e * x = x * e = x\) pour tout \(x \in E\).
- Inversibilité de \(x\). Résoudre l'équation \(x * y = e\) en \(y\) et vérifier l'équation symétrique \(y * x = e\).
Compétences à pratiquer
- Identifier les parties stables
II
Groupes
Un groupe est un ensemble muni d'une lci bien réglée : associative, avec un neutre, avec tout élément inversible. La notion capture les règles de calcul de \((\mathbb{Z}, +)\), \((\mathbb{R}^*, \cdot)\), et bien d'autres, de manière unifiée. On définit les groupes, on liste les exemples standards, puis on introduit les sous-groupes (parties portant la structure héritée) et les morphismes (applications préservant la structure). Les deux résultats structurants de la section sont la caractérisation des sous-groupes (un critère propre à trois conditions) et le critère noyau-injectivité (un morphisme est injectif ssi son noyau est trivial).
II.1
Définition et notation
Un groupe n'est qu'un ensemble muni d'une lci bien réglée. Les quatre axiomes (clôture, associativité, neutre, inversibilité) se vérifient en général dans cet ordre. Conventions de notation : dans le cadre abstrait, on utilise souvent la notation multiplicative \(x \cdot y\) ou \(x y\) avec neutre \(1_G\) ; dans des exemples concrets, on utilise la notation additive pour les groupes commutatifs comme \((\mathbb{Z}, +)\) avec neutre \(0_G\). La « puissance » \(x^n\) en notation multiplicative correspond au « multiple » \(n x\) en notation additive.
Définition — Groupe
Un groupe est un couple \((G, *)\) où \(G\) est un ensemble non vide et \(*\) est une lci sur \(G\) telle que : - \(*\) est associative ;
- \(*\) admet un élément neutre \(e \in G\) ;
- tout \(x \in G\) est inversible (d'inverse noté \(x^{-1}\)).
Conventions de notation. Pour un groupe abstrait, on utilise la notation multiplicative : \(x y\) pour \(x * y\), \(1_G\) pour le neutre, \(x^{-1}\) pour l'inverse. Pour les groupes abéliens en situations concrètes (par exemple \((\mathbb{Z}, +)\)), on utilise la notation additive : \(x + y\), \(0_G\) pour le neutre, \(-x\) pour l'inverse. La \(n\)-ième puissance de \(x \in G\) est définie par \(x^0 = 1_G\), \(x^n = x \cdot x \cdots x\) (\(n\) facteurs) pour \(n \geq 1\), et \(x^{-n} = (x^{-1})^n\) pour \(n \geq 1\). En notation additive, cela devient \(n x = x + x + \dots + x\) pour \(n \geq 1\), \(0 x = 0_G\), \((-n) x = -(n x)\).
Proposition — Simplification dans un groupe
Soit \((G, *)\) un groupe. Pour tous \(a, x, y \in G\), $$ \textcolor{colorprop}{a * x = a * y \;\Rightarrow\; x = y, \qquad x * a = y * a \;\Rightarrow\; x = y.} $$
Pour la simplification à gauche : multiplier \(a * x = a * y\) à gauche par \(a^{-1}\) (qui existe car \(G\) est un groupe). Alors \(a^{-1} * (a * x) = a^{-1} * (a * y)\), c'est-à-dire \((a^{-1} * a) * x = (a^{-1} * a) * y\) par associativité, c'est-à-dire \(e * x = e * y\), c'est-à-dire \(x = y\). La simplification à droite est symétrique (multiplier à droite par \(a^{-1}\)).
Exemple — Bestiaire de groupes standards
Voici les exemples de référence que tout étudiant doit reconnaître immédiatement : - Groupes abéliens additifs. \((\mathbb{Z}, +), (\mathbb{Q}, +), (\mathbb{R}, +), (\mathbb{C}, +)\).
- Groupes abéliens multiplicatifs. \((\mathbb{Q}^*, \cdot), (\mathbb{R}^*, \cdot), (\mathbb{C}^*, \cdot)\) — les éléments non nuls ; \((\mathbb{Q}_+^*, \cdot), (\mathbb{R}_+^*, \cdot)\) — les éléments strictement positifs.
- Cercle unité et racines de l'unité. \((\mathbb{U}, \cdot)\) où \(\mathbb{U} = \{z \in \mathbb{C} : |z| = 1\}\) est le cercle unité ; \((\mathbb{U}_n, \cdot)\) où \(\mathbb{U}_n = \{z \in \mathbb{C} : z^n = 1\}\) est l'ensemble des racines \(n\)-ièmes de l'unité (voir le chapitre Nombres complexes).
- Non abélien : groupe symétrique. Pour \(n \geq 3\), \((\mathfrak{S}_n, \circ)\) est un groupe non abélien (défini plus bas).
Compétences à pratiquer
- Vérifier que \((G\virgule *)\) est un groupe
II.2
Groupe symétrique et groupes produits
Au-delà des groupes issus de la théorie des nombres, deux constructions générales alimentent chaque chapitre ultérieur : le groupe symétrique \(\mathfrak{S}_n\), formé des bijections de \(\{1, \dots, n\}\) avec la composition, et le groupe produit \(G_1 \times G_2\), où deux groupes donnés sont combinés composante par composante. Le groupe symétrique est notre exemple récurrent non abélien pour \(n \geq 3\), et c'est le cadre naturel pour la signature et les déterminants plus tard dans l'année.
Définition — Groupe symétrique
Soit \(X\) un ensemble non vide. L'ensemble $$ \mathfrak{S}_X = \{\sigma : X \to X \text{ bijection}\} $$ muni de la composition \(\circ\) est un groupe, appelé groupe symétrique de \(X\). Le neutre est \(\operatorname{id}_X\) et l'inverse de \(\sigma \in \mathfrak{S}_X\) est l'application réciproque \(\sigma^{-1}\). Lorsque \(X = \{1, 2, \dots, n\}\) avec \(n \in \mathbb{N}^*\), ce groupe est noté \(\mathfrak{S}_n\) et appelé groupe symétrique sur \(n\) lettres ; il a \(|\mathfrak{S}_n| = n!\) éléments (son ordre, au sens de la théorie des groupes, vaut \(n!\), et non \(n\)). Exemple — \(\mathfrak{S}_3\) a 6 éléments et est non abélien
Convention. Dans une composition \(\sigma \circ \tau\), on applique d'abord \(\tau\), puis \(\sigma\).Le groupe \(\mathfrak{S}_3\) a \(3! = 6\) éléments : l'identité \(\operatorname{id}\), trois transpositions \(\tau_{12}, \tau_{13}, \tau_{23}\) (qui échangent deux éléments et fixent le troisième), et deux 3-cycles \(\sigma\) et \(\sigma^{-1} = \sigma^2\) (qui permutent cycliquement les trois éléments).
Non abélien. Par exemple, \(\tau_{12} \circ \tau_{13} \neq \tau_{13} \circ \tau_{12}\) : $$ \tau_{12} \circ \tau_{13} : 1 \mapsto \tau_{12}(3) = 3, \quad 2 \mapsto \tau_{12}(2) = 1, \quad 3 \mapsto \tau_{12}(1) = 2, $$ soit le cycle \((1\ 3\ 2)\), tandis que $$ \tau_{13} \circ \tau_{12} : 1 \mapsto \tau_{13}(2) = 2, \quad 2 \mapsto \tau_{13}(1) = 3, \quad 3 \mapsto \tau_{13}(3) = 1, $$ soit le cycle \((1\ 2\ 3)\). Les deux sont distincts, donc \(\mathfrak{S}_3\) n'est pas commutatif.
Définition — Groupe produit
Soient \((G_1, *_1)\) et \((G_2, *_2)\) deux groupes. Le produit cartésien \(G_1 \times G_2\) muni de la loi composante par composante $$ (x_1, x_2) * (y_1, y_2) = (x_1 *_1 y_1, \; x_2 *_2 y_2) $$ est un groupe, appelé groupe produit de \(G_1\) et \(G_2\). Son neutre est \((1_{G_1}, 1_{G_2})\) et l'inverse de \((x_1, x_2)\) est \((x_1^{-1}, x_2^{-1})\).La construction s'étend à tout produit fini \(G_1 \times G_2 \times \dots \times G_k\).
Exemple — Groupes produits standards
- \(\mathbb{Z}^2 = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) comme groupe additif : \((a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)\), neutre \((0, 0)\).
- \((\mathbb{R}_+^*)^2 = \mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}_+^*\) comme groupe multiplicatif : \((x, y) \cdot (x', y') = (x x', y y')\), neutre \((1, 1)\).
- \(\mathbb{Z} \times \mathbb{R}^*\) comme groupe « mixte » : addition sur la première composante, multiplication sur la seconde ; \((n, x) \star (m, y) = (n + m, x y)\), neutre \((0, 1)\).
Compétences à pratiquer
- Calculer dans le groupe symétrique
II.3
Sous-groupes
Un sous-groupe est une partie d'un groupe qui hérite de la structure de groupe : c'est lui-même un groupe pour la même loi. La « caractérisation des sous-groupes » ci-dessous donne un critère propre à trois conditions qui évite de re-vérifier l'associativité (déjà héritée de \(G\)). L'intersection de sous-groupes est de nouveau un sous-groupe, et les exemples standards de sous-groupes sont \(\{1_G\}\) et \(G\) (triviaux), \(n \mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}\) (les multiples de \(n\)), et \(\mathbb{U}_n \subset \mathbb{U} \subset \mathbb{C}^*\) (la chaîne des racines de l'unité dans le cercle unité dans les complexes non nuls).
Définition — Sous-groupe
Soit \((G, *)\) un groupe et \(H \subset G\). On dit que \(H\) est un sous-groupe de \(G\), noté \(H \leq G\), si : - \(1_G \in H\) ;
- \(H\) est stable pour \(*\) : \(\forall x, y \in H,\ x * y \in H\) ;
- \(H\) est stable par inversion : \(\forall x \in H,\ x^{-1} \in H\).
Proposition — Caractérisation des sous-groupes
Soit \((G, *)\) un groupe et \(H \subset G\). Les assertions suivantes sont équivalentes : - \(H\) est un sous-groupe de \(G\) ;
- \(H\) est non vide (ou \(1_G \in H\)), et \(\forall x, y \in H,\ x * y^{-1} \in H\).
- (1) \(\Rightarrow\) (2). Si \(H \leq G\), alors \(1_G \in H\) (donc \(H \neq \emptyset\)), et pour \(x, y \in H\), on a \(y^{-1} \in H\) (stabilité par inversion) puis \(x * y^{-1} \in H\) (stabilité par produit).
- (2) \(\Rightarrow\) (1). Supposons \(H \neq \emptyset\) et \(\forall x, y \in H,\ x * y^{-1} \in H\).
- Choisissons un \(a \in H\) (possible car \(H \neq \emptyset\)). Appliquer (2) avec \(x = y = a\) : \(a * a^{-1} = 1_G \in H\). Donc \(1_G \in H\).
- Pour \(y \in H\), appliquer (2) avec \(x = 1_G \in H\) : \(1_G * y^{-1} = y^{-1} \in H\). Donc \(H\) est stable par inversion.
- Pour \(x, y \in H\), on a \(y^{-1} \in H\) par l'étape précédente. Appliquer (2) avec \(x \in H\) et \(y' = y^{-1} \in H\) : \(x * (y^{-1})^{-1} = x * y \in H\). Donc \(H\) est stable pour \(*\).
Exemple — Sous-groupes standards
- Sous-groupes triviaux. \(\{1_G\}\) et \(G\) sont toujours des sous-groupes de \(G\).
- \(n\mathbb{Z}\) dans \(\mathbb{Z}\). Pour \(n \in \mathbb{N}\), \(n \mathbb{Z} = \{n k : k \in \mathbb{Z}\}\) est un sous-groupe de \((\mathbb{Z}, +)\). En effet, \(0 = n \cdot 0 \in n\mathbb{Z}\), et pour \(n a, n b \in n\mathbb{Z}\), \(n a - n b = n (a - b) \in n\mathbb{Z}\).
- Racines de l'unité. \(\mathbb{U}_n = \{z \in \mathbb{C} : z^n = 1\}\) est un sous-groupe de \((\mathbb{U}, \cdot)\), lui-même sous-groupe de \((\mathbb{C}^*, \cdot)\). Vérification : \(1 \in \mathbb{U}_n\), et si \(z, w \in \mathbb{U}_n\), \((z w^{-1})^n = z^n (w^n)^{-1} = 1 \cdot 1 = 1\), donc \(z w^{-1} \in \mathbb{U}_n\).
- Chaîne d'inclusions. \((\mathbb{Z}, +) \leq (\mathbb{Q}, +) \leq (\mathbb{R}, +) \leq (\mathbb{C}, +)\) et \((\mathbb{Q}^*, \cdot) \leq (\mathbb{R}^*, \cdot) \leq (\mathbb{C}^*, \cdot)\) pour les groupes multiplicatifs.
Proposition — Intersection de sous-groupes
Soit \((G, *)\) un groupe et \((H_i)_{i \in I}\) une famille de sous-groupes de \(G\) (éventuellement infinie). Alors $$ \textcolor{colorprop}{\bigcap_{i \in I} H_i \leq G.} $$
Posons \(K = \bigcap_{i \in I} H_i\). On utilise la caractérisation des sous-groupes (Proposition ci-dessus) :
Mise en garde. L'union de deux sous-groupes n'est en général pas un sous-groupe : \(2 \mathbb{Z} \cup 3 \mathbb{Z}\) contient \(2\) et \(3\) mais pas \(2 + 3 = 5\), donc n'est pas stable par addition.
- \(1_G \in K\) : en effet, \(1_G \in H_i\) pour tout \(i \in I\) (chaque \(H_i\) est un sous-groupe), donc \(1_G \in K\).
- Pour \(x, y \in K\), on a \(x, y \in H_i\) pour tout \(i\). Chaque \(H_i\) est un sous-groupe, donc \(x * y^{-1} \in H_i\) pour tout \(i\). Donc \(x * y^{-1} \in K\).
Mise en garde. L'union de deux sous-groupes n'est en général pas un sous-groupe : \(2 \mathbb{Z} \cup 3 \mathbb{Z}\) contient \(2\) et \(3\) mais pas \(2 + 3 = 5\), donc n'est pas stable par addition.
Méthode — Montrer que \(H\) est un sous-groupe de \(G\)
Pour démontrer \(H \leq G\), le schéma standard est : - Vérifier \(H \subset G\) (souvent immédiat depuis la définition de \(H\)).
- Vérifier \(1_G \in H\).
- Vérifier \(\forall x, y \in H,\ x * y^{-1} \in H\).
Compétences à pratiquer
- Reconnaître les sous-groupes
II.4
Morphismes de groupes
Un morphisme de groupes est une application entre deux groupes qui respecte la lci. Le noyau et l'image sont alors automatiquement des sous-groupes, et le critère central d'injectivité — \(f\) est injectif ssi \(\operatorname{Ker} f = \{1_G\}\) — ramène une propriété globale (l'injectivité) à une propriété locale (un seul élément est envoyé sur le neutre). Ce critère est de loin l'outil le plus utilisé du chapitre, et ses conséquences traversent tous les chapitres d'algèbre linéaire et de théorie des anneaux du S2.
Définition — Morphisme de groupes
Soient \((G, *)\) et \((G', \star)\) deux groupes. Une application \(f : G \to G'\) est un morphisme de groupes si $$ \forall x, y \in G,\quad f(x * y) = f(x) \star f(y). $$ On dit alors que \(f\) est un morphisme, ou un homomorphisme de groupes. Si de plus \(f\) est bijectif, \(f\) est un isomorphisme, et \(G\) et \(G'\) sont dits isomorphes, ce qu'on note \(G \cong G'\). Un isomorphisme de \(G\) sur lui-même est un automorphisme de \(G\). Proposition — Propriétés d'un morphisme de groupes
Soit \(f : G \to G'\) un morphisme de groupes. Alors : - \(f(1_G) = 1_{G'}\) ;
- \(\forall x \in G,\ f(x^{-1}) = f(x)^{-1}\) ;
- \(\forall x \in G, \forall n \in \mathbb{Z},\ f(x^n) = f(x)^n\) ;
- la composition de deux morphismes de groupes est un morphisme de groupes ;
- si \(f\) est un isomorphisme, alors \(f^{-1}\) est aussi un isomorphisme (de groupes).
- (1) \(f(1_G) \star f(1_G) = f(1_G * 1_G) = f(1_G) = f(1_G) \star 1_{G'}\). On simplifie par \(f(1_G)\) à gauche (tout élément d'un groupe est inversible, donc simplifiable) : \(f(1_G) = 1_{G'}\).
- (2) Pour \(x \in G\), \(f(x) \star f(x^{-1}) = f(x * x^{-1}) = f(1_G) = 1_{G'}\) par (1). Donc \(f(x^{-1})\) est l'inverse de \(f(x)\), c'est-à-dire \(f(x^{-1}) = f(x)^{-1}\).
- (3) Pour \(n \geq 1\), par récurrence sur \(n\) : \(f(x^1) = f(x)^1\) trivialement ; si \(f(x^n) = f(x)^n\), alors \(f(x^{n+1}) = f(x^n * x) = f(x)^n \star f(x) = f(x)^{n+1}\). Le cas \(n = 0\) est (1). Pour \(n < 0\), écrire \(n = -m\) avec \(m \geq 1\) ; alors \(f(x^n) = f((x^{-1})^m) = f(x^{-1})^m = (f(x)^{-1})^m = f(x)^{-m} = f(x)^n\) par les cas précédents appliqués à \(x^{-1}\).
- (4) Pour \(f : G \to G'\) et \(g : G' \to G''\) morphismes, \((g \circ f)(x * y) = g(f(x * y)) = g(f(x) \star f(y)) = g(f(x)) \star' g(f(y)) = (g \circ f)(x) \star' (g \circ f)(y)\). Donc \(g \circ f\) est un morphisme.
- (5) Supposons \(f\) bijectif. Pour \(x', y' \in G'\), posons \(x = f^{-1}(x')\), \(y = f^{-1}(y')\). Alors \(f(x * y) = f(x) \star f(y) = x' \star y'\), donc \(x * y = f^{-1}(x' \star y')\). Donc \(f^{-1}(x' \star y') = f^{-1}(x') * f^{-1}(y')\), montrant que \(f^{-1}\) est un morphisme. Il est bijectif par hypothèse, donc un isomorphisme.
Exemple — Un premier morphisme : \(\exp\)
L'exponentielle \(\exp : (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}_+^*, \cdot)\) est un morphisme de groupes : \(\exp(x + y) = \exp(x) \exp(y)\). On vérifie les propriétés de la Proposition précédente : \(\exp(0) = 1\) (item 1), \(\exp(-x) = 1/\exp(x)\) (item 2), \(\exp(n x) = \exp(x)^n\) (item 3 en notation additive-multiplicative). De plus elle est bijective d'inverse \(\ln\), donc un isomorphisme. Définition — Image et noyau d'un morphisme
Soit \(f : G \to G'\) un morphisme de groupes. L'image de \(f\) est $$ \operatorname{Im} f = f(G) = \{f(x) : x \in G\} \subset G', $$ et le noyau de \(f\) est $$ \operatorname{Ker} f = f^{-1}(\{1_{G'}\}) = \{x \in G : f(x) = 1_{G'}\} \subset G. $$ Exemple — Image et noyau de \(\exp\)
Pour \(\exp : (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}_+^*, \cdot)\) : \(\operatorname{Im} \exp = \mathbb{R}_+^*\) (tout réel strictement positif est l'exponentielle de son logarithme) et \(\operatorname{Ker} \exp = \{0\}\) (car \(\exp(x) = 1 \iff x = 0\)). Le noyau est trivial, prédisant l'injectivité (vérifiée plus bas). Proposition — Le noyau et l'image sont des sous-groupes
Soit \(f : G \to G'\) un morphisme de groupes. Alors : - \(\operatorname{Im} f \leq G'\) ;
- \(\operatorname{Ker} f \leq G\) ;
- plus généralement, pour \(H \leq G\), \(f(H) \leq G'\), et pour \(H' \leq G'\), \(f^{-1}(H') \leq G\).
On démontre (3) ; (1) et (2) en sont des cas particuliers (\(H = G\) et \(H' = \{1_{G'}\}\)).
- \(f(H) \leq G'\). \(f(H) \subset G'\) trivialement. Comme \(1_G \in H\) (\(H \leq G\)) et \(f(1_G) = 1_{G'}\), \(1_{G'} \in f(H)\). Pour \(u, v \in f(H)\), écrivons \(u = f(x), v = f(y)\) avec \(x, y \in H\). Alors \(u \star v^{-1} = f(x) \star f(y)^{-1} = f(x) \star f(y^{-1}) = f(x * y^{-1})\). Comme \(H \leq G\), \(x * y^{-1} \in H\), donc \(u \star v^{-1} \in f(H)\). Par la caractérisation, \(f(H) \leq G'\).
- \(f^{-1}(H') \leq G\). \(f^{-1}(H') \subset G\) trivialement. \(f(1_G) = 1_{G'} \in H'\), donc \(1_G \in f^{-1}(H')\). Pour \(x, y \in f^{-1}(H')\), \(f(x), f(y) \in H'\), donc \(f(x * y^{-1}) = f(x) \star f(y)^{-1} \in H'\), donc \(x * y^{-1} \in f^{-1}(H')\). Par la caractérisation, \(f^{-1}(H') \leq G\).
Proposition — Critère d'injectivité
Soit \(f : G \to G'\) un morphisme de groupes. Alors $$ \textcolor{colorprop}{f \text{ est injectif} \iff \operatorname{Ker} f = \{1_G\}.} $$ - \((\Rightarrow)\) Supposons \(f\) injectif. Alors \(\operatorname{Ker} f = f^{-1}(\{1_{G'}\})\) a au plus un élément. Comme \(f(1_G) = 1_{G'}\), \(1_G \in \operatorname{Ker} f\). Donc \(\operatorname{Ker} f = \{1_G\}\).
- \((\Leftarrow)\) Supposons \(\operatorname{Ker} f = \{1_G\}\). Soient \(x, y \in G\) avec \(f(x) = f(y)\). Alors $$ f(x * y^{-1}) = f(x) \star f(y)^{-1} = f(x) \star f(x)^{-1} = 1_{G'}. $$ Donc \(x * y^{-1} \in \operatorname{Ker} f = \{1_G\}\), donc \(x * y^{-1} = 1_G\), donc \(x = y\). Donc \(f\) est injectif.
Exemple — Morphismes standards
- \(\exp : (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}_+^*, \cdot)\). \(\exp(x + y) = \exp(x) \exp(y)\). Bijectif d'inverse \(\ln\), donc \(\exp\) est un isomorphisme. \(\operatorname{Ker} \exp = \{0\}\), \(\operatorname{Im} \exp = \mathbb{R}_+^*\).
- \(\theta \mapsto e^{i \theta}\) de \((\mathbb{R}, +)\) vers \((\mathbb{U}, \cdot)\). \(e^{i (\theta + \theta')} = e^{i \theta} e^{i \theta'}\). Surjectif (tout complexe de module 1 admet un argument), mais pas injectif : \(\operatorname{Ker} = 2 \pi \mathbb{Z}\).
- \(|\cdot| : (\mathbb{C}^*, \cdot) \to (\mathbb{R}_+^*, \cdot)\). \(|z w| = |z| \cdot |w|\). Surjectif, noyau \(= \mathbb{U}\) (le cercle unité).
- \(\det : GL_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^*\) (multiplicatif) : \(\det(A B) = \det(A) \det(B)\). Surjectif, noyau \(= SL_n(\mathbb{R}) = \{A : \det(A) = 1\}\) (référence avant à Déterminants).
Méthode — Calculer le noyau et l'image d'un morphisme
Pour un \(f : G \to G'\) donné : - Vérifier que \(f\) est un morphisme. Calculer \(f(x * y)\) et \(f(x) \star f(y)\) séparément et vérifier l'égalité.
- Calculer \(\operatorname{Ker} f\). Résoudre l'équation \(f(x) = 1_{G'}\) en \(x \in G\). L'ensemble des solutions est \(\operatorname{Ker} f\).
- Calculer \(\operatorname{Im} f\). Pour chaque \(y \in G'\), déterminer si l'équation \(f(x) = y\) admet une solution dans \(G\). L'ensemble des \(y\) pour lesquels c'est le cas est \(\operatorname{Im} f\).
- Injection / surjection / iso. \(f\) est injectif ssi \(\operatorname{Ker} f = \{1_G\}\) ; surjectif ssi \(\operatorname{Im} f = G'\) ; un isomorphisme ssi les deux (de manière équivalente, ssi \(f\) est bijectif).
Compétences à pratiquer
- Travailler avec les morphismes
III
Anneaux et corps
Un anneau est un ensemble muni de deux lci compatibles : une addition (qui en fait un groupe abélien) et une multiplication (associative, avec neutre, distribuant sur l'addition). Par convention du programme, tout anneau est unitaire (admet un neutre multiplicatif \(1_A\)) mais pas nécessairement commutatif. Les exemples standards sont \((\mathbb{Z}, +, \cdot), (\mathbb{Q}, +, \cdot), (\mathbb{R}, +, \cdot), (\mathbb{C}, +, \cdot)\) (commutatifs) et \((\mathcal{M}_n(\mathbb{R}), +, \cdot)\) pour \(n \geq 2\) (non commutatif). Deux identités calculatoires — \(a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + \dots + b^{n-1})\) et le binôme \((a+b)^n = \sum \binom{n}{k} a^k b^{n-k}\) — sont valides dans tout anneau lorsque les deux éléments commutent : c'est le fait technique le plus utilisé de la section. Un corps est un anneau commutatif non trivial dans lequel tout élément non nul est inversible (convention du programme : « les corps sont commutatifs »).
III.1
Définition d'un anneau
Un anneau est un ensemble muni de deux lci compatibles. La première loi \(+\) en fait un groupe abélien ; la seconde loi \(\cdot\) est associative, admet un neutre \(1_A\), et distribue sur \(+\). Le programme exige explicitement l'unitarité (« tout anneau est unitaire ») : on a toujours un \(1_A\), et les morphismes d'anneaux doivent envoyer \(1_A\) sur \(1_{A'}\) (voir la partie sur les Sous-anneaux et morphismes d'anneaux plus loin). La commutativité de \(\cdot\) n'est pas exigée en général ; l'exemple standard non commutatif est l'anneau des matrices.
Définition — Anneau
Un anneau est un triplet \((A, +, \cdot)\) où \(A\) est un ensemble et \(+, \cdot\) sont deux lci sur \(A\) telles que : - \((A, +)\) est un groupe abélien (de neutre \(0_A\) et d'inverse \(-x\)) ;
- \(\cdot\) est associative ;
- \(\cdot\) admet un neutre \(1_A\) (convention du programme : tout anneau est unitaire) ;
- \(\cdot\) est distributive sur \(+\) (à gauche et à droite).
Proposition — Identités de base dans un anneau
Soit \(A\) un anneau. Pour tous \(a, b \in A\), $$ \textcolor{colorprop}{a \cdot 0_A = 0_A \cdot a = 0_A,} $$ $$ \textcolor{colorprop}{a \cdot (-b) = (-a) \cdot b = -(a \cdot b), \qquad (-a) \cdot (-b) = a \cdot b.} $$ - \(a \cdot 0_A = 0_A\). Calculer : \(a \cdot 0_A = a \cdot (0_A + 0_A) = a \cdot 0_A + a \cdot 0_A\) par distributivité. Ajouter \(-(a \cdot 0_A)\) des deux côtés : \(0_A = a \cdot 0_A\). De même pour \(0_A \cdot a\).
- \(a \cdot (-b) = -(a \cdot b)\). \(a \cdot b + a \cdot (-b) = a \cdot (b + (-b)) = a \cdot 0_A = 0_A\) (par distributivité et le point précédent). Donc \(a \cdot (-b)\) est l'opposé additif de \(a \cdot b\), c'est-à-dire \(-(a \cdot b)\). De même \((-a) \cdot b = -(a \cdot b)\).
- \((-a) \cdot (-b) = a \cdot b\). Appliquer l'identité précédente deux fois : \((-a) \cdot (-b) = -(a \cdot (-b)) = -(-(a \cdot b)) = a \cdot b\).
Exemple — Bestiaire d'anneaux standards
- Anneaux commutatifs. \((\mathbb{Z}, +, \cdot), (\mathbb{Q}, +, \cdot), (\mathbb{R}, +, \cdot), (\mathbb{C}, +, \cdot)\) sont tous des anneaux commutatifs.
- Anneau des polynômes. \((\mathbb{K}[X], +, \cdot)\) pour \(\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\) est un anneau commutatif (voir le chapitre Polynômes).
- Anneau de fonctions. Pour tout ensemble non vide \(E\) et tout anneau commutatif \(A\), \(\mathcal{F}(E, A)\) avec \(+\) et \(\cdot\) ponctuels est un anneau commutatif. Neutre \(0_A\) : la fonction nulle ; neutre \(1_A\) : la fonction constante \(1\).
- Classes de congruence. Pour \(n \geq 2\), \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +, \cdot)\) est un anneau commutatif : les classes s'additionnent et se multiplient par \(\overline{a} + \overline{b} = \overline{a+b}\) et \(\overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{a b}\), bien définies par la compatibilité de \(\equiv \pmod n\) avec \(+\) et \(\cdot\) (chapitre Arithmétique dans \(\mathbb{Z}\)). Il n'est pas intègre en général : dans \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\), \(\overline{2} \cdot \overline{3} = \overline{0}\) avec les deux facteurs non nuls.
- Anneau non commutatif : matrices. Pour \(n \geq 2\), \((\mathcal{M}_n(\mathbb{R}), +, \cdot)\) est un anneau qui n'est pas commutatif : \(E_{12} \cdot E_{21} \neq E_{21} \cdot E_{12}\) pour les matrices élémentaires (voir Calcul matriciel).
Compétences à pratiquer
- Reconnaître les anneaux
III.2
Calcul dans un anneau
Deux identités sont valides dans tout anneau à condition que les deux éléments commutent : \(a^n - b^n\) se factorise comme \((a - b)\) fois une somme, et \((a + b)^n\) se développe par la formule du binôme. Les deux identités échouent en contexte non commutatif : dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) pour \(n \geq 2\), \((A + B)^2 = A^2 + A B + B A + B^2 \neq A^2 + 2 A B + B^2\) sauf si \(A B = B A\). L'hypothèse de commutation est donc l'ingrédient non trivial.
Proposition — L'identité \(a^n - b^n\)
Soit \(A\) un anneau et \(a, b \in A\) tels que \(a b = b a\). Alors pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), $$ \textcolor{colorprop}{a^n - b^n = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k} = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2} b + \dots + a b^{n-2} + b^{n-1}).} $$
On développe \((a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k}\) par distributivité et on utilise \(a b = b a\) pour télescoper : $$ \begin{aligned} (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k} &= \sum_{k=0}^{n-1} a^{k+1} b^{n-1-k} - \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-k} \quad &\text{(distributivité, } a b = b a\text{)} \\
&= \sum_{j=1}^{n} a^{j} b^{n-j} - \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-k} \quad &\text{(réindexation } j = k + 1\text{)} \\
&= a^n b^0 - a^0 b^n \quad &\text{(télescopage)} \\
&= a^n - b^n. \end{aligned} $$ Mise en garde. L'unique usage de la commutativité est dans l'étape de distributivité : en développant \(-b \cdot a^k b^{n-1-k}\) on fait glisser le \(b\) à travers \(a^k\) pour obtenir \(-a^k b^{n-k}\), ce qui nécessite \(b a = a b\) (et donc \(b a^k = a^k b\) par récurrence sur \(k\)). Sans commutativité, \(b \cdot a^k b^{n-1-k}\) reste tel quel, et la seconde somme ne peut être réécrite sous la forme \(\sum a^k b^{n-k}\) requise pour le télescopage. Dans un anneau non commutatif, la formule \(a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2} b + \dots + b^{n-1})\) échoue en général.
Proposition — Formule du binôme dans un anneau
Soit \(A\) un anneau et \(a, b \in A\) tels que \(a b = b a\). Alors pour tout \(n \in \mathbb{N}\), $$ \textcolor{colorprop}{(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}.} $$
Par récurrence sur \(n \geq 0\).
Initialisation \(n = 0\). \((a + b)^0 = 1_A\) et \(\sum_{k=0}^{0} \binom{0}{k} a^k b^{0-k} = \binom{0}{0} a^0 b^0 = 1_A\).
Hérédité. Supposons la formule pour \(n\). Alors $$ \begin{aligned} (a + b)^{n+1} &= (a + b)^n (a + b) \\ &= \left( \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k} \right) (a + b) \quad &\text{(récurrence)} \\ &= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{k+1} b^{n-k} + \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k+1} \quad &\text{(distributivité, } a b = b a\text{)}. \end{aligned} $$ On réindexe la première somme par \(j = k + 1\) : $$ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{k+1} b^{n-k} = \sum_{j=1}^{n+1} \binom{n}{j-1} a^j b^{n+1-j}. $$ On combine avec la seconde somme (réindexée également en \(j\)) : $$ (a + b)^{n+1} = \sum_{j=1}^{n} \left( \binom{n}{j-1} + \binom{n}{j} \right) a^j b^{n+1-j} + \binom{n}{n} a^{n+1} + \binom{n}{0} b^{n+1}. $$ Par l'identité de Pascal \(\binom{n}{j-1} + \binom{n}{j} = \binom{n+1}{j}\), et \(\binom{n}{n} = \binom{n+1}{n+1}\), \(\binom{n}{0} = \binom{n+1}{0}\) : $$ (a + b)^{n+1} = \sum_{j=0}^{n+1} \binom{n+1}{j} a^j b^{n+1-j}. $$ Mise en garde. L'étape « distributivité, \(a b = b a\) » utilise la commutativité pour écrire \(a^k b^{n-k} \cdot a = a^{k+1} b^{n-k}\) (il faut faire glisser un \(a\) à travers le \(b^{n-k}\)). Sans commutativité, c'est faux.
Initialisation \(n = 0\). \((a + b)^0 = 1_A\) et \(\sum_{k=0}^{0} \binom{0}{k} a^k b^{0-k} = \binom{0}{0} a^0 b^0 = 1_A\).
Hérédité. Supposons la formule pour \(n\). Alors $$ \begin{aligned} (a + b)^{n+1} &= (a + b)^n (a + b) \\ &= \left( \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k} \right) (a + b) \quad &\text{(récurrence)} \\ &= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{k+1} b^{n-k} + \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k+1} \quad &\text{(distributivité, } a b = b a\text{)}. \end{aligned} $$ On réindexe la première somme par \(j = k + 1\) : $$ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{k+1} b^{n-k} = \sum_{j=1}^{n+1} \binom{n}{j-1} a^j b^{n+1-j}. $$ On combine avec la seconde somme (réindexée également en \(j\)) : $$ (a + b)^{n+1} = \sum_{j=1}^{n} \left( \binom{n}{j-1} + \binom{n}{j} \right) a^j b^{n+1-j} + \binom{n}{n} a^{n+1} + \binom{n}{0} b^{n+1}. $$ Par l'identité de Pascal \(\binom{n}{j-1} + \binom{n}{j} = \binom{n+1}{j}\), et \(\binom{n}{n} = \binom{n+1}{n+1}\), \(\binom{n}{0} = \binom{n+1}{0}\) : $$ (a + b)^{n+1} = \sum_{j=0}^{n+1} \binom{n+1}{j} a^j b^{n+1-j}. $$ Mise en garde. L'étape « distributivité, \(a b = b a\) » utilise la commutativité pour écrire \(a^k b^{n-k} \cdot a = a^{k+1} b^{n-k}\) (il faut faire glisser un \(a\) à travers le \(b^{n-k}\)). Sans commutativité, c'est faux.
Méthode — Appliquer le binôme \slash{} \(a^n - b^n\) dans un anneau
Avant d'appliquer l'une ou l'autre identité : - Vérifier la commutation. Vérifier \(a b = b a\). Dans les anneaux commutatifs (\(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{K}[X]\), anneaux de fonctions...) la commutation est automatique. Dans les anneaux non commutatifs (matrices), vérifier explicitement.
- Raccourci nilpotent. Si \(b\) est nilpotent (\(b^p = 0\) pour un certain \(p\)) et commute avec \(a\), \((a + b)^n\) n'a qu'un nombre fini de termes non nuls : \((a + b)^n = \sum_{k=0}^{\min(n, p-1)} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\).
- Symétrie. Pour des éléments qui commutent, \((a + b)^n = (b + a)^n\), donc le développement du binôme est symétrique en \(a\) et \(b\).
Compétences à pratiquer
- Calculer dans un anneau
III.3
Groupe des inversibles
Les éléments d'un anneau qui ont un inverse multiplicatif forment un groupe — appelé groupe des inversibles (ou groupe des unités) de \(A\). C'est la manière naturelle de retrouver une structure de groupe à partir d'un anneau, et cela donne une définition uniforme de \(\mathbb{Z}^\times = \{\pm 1\}\), \(\mathbb{Q}^\times = \mathbb{Q}^*\), \(GL_n(\mathbb{R})\) comme \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})^\times\).
Définition — Groupe des inversibles
Soit \(A\) un anneau. L'ensemble des inversibles (ou unités) de \(A\) est $$ A^\times = \{x \in A : \exists y \in A,\ x y = y x = 1_A\}. $$ Proposition — Les inversibles forment un groupe
Pour tout anneau \(A\), \((A^\times, \cdot)\) est un groupe, appelé groupe des inversibles de \(A\).
On vérifie les quatre axiomes de groupe pour \((A^\times, \cdot)\) :
- Stabilité. Soit \(x, y \in A^\times\). Par définition, \(x\) admet un inverse \(x^{-1}\) et \(y\) admet un inverse \(y^{-1}\) dans \(A\). Par la Proposition « inverse d'un produit » plus haut, \(x y\) est inversible dans \(A\) d'inverse \(y^{-1} x^{-1}\), donc \(x y \in A^\times\).
- Associativité. Héritée de la multiplication de l'anneau \(A\).
- Neutre. \(1_A \cdot 1_A = 1_A\), donc \(1_A\) est son propre inverse, donc \(1_A \in A^\times\). Et \(1_A\) est le neutre pour \(\cdot\) sur \(A\), donc sur \(A^\times\).
- Inverse. Pour \(x \in A^\times\) d'inverse \(y\), \(y\) admet aussi un inverse (à savoir \(x\)), donc \(y \in A^\times\). Donc tout élément de \(A^\times\) admet un inverse dans \(A^\times\).
Exemple — Groupes des inversibles standards
- \(\mathbb{Z}^\times = \{1, -1\}\) (seuls \(\pm 1\) ont un inverse multiplicatif dans \(\mathbb{Z}\)).
- \(\mathbb{Q}^\times = \mathbb{Q}^*\), \(\mathbb{R}^\times = \mathbb{R}^*\), \(\mathbb{C}^\times = \mathbb{C}^*\) — pour les corps, tout élément non nul est inversible.
- \(\mathbb{K}[X]^\times = \mathbb{K}^*\) (les constantes non nulles — voir le chapitre Polynômes).
- \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})^\times = GL_n(\mathbb{R})\) (les matrices \(n \times n\) inversibles — référence avant à Calcul matriciel).
- Dans \(\mathcal{F}([0, 1], \mathbb{R})\), les inversibles sont les fonctions \(f\) telles que \(f(x) \neq 0\) pour tout \(x \in [0, 1]\).
Compétences à pratiquer
- Déterminer le groupe des inversibles
III.4
Anneaux intègres et corps
Un anneau intègre n'a pas de diviseur de zéro non trivial : si \(x y = 0\), alors \(x = 0\) ou \(y = 0\). C'est la règle de calcul qui rend la plupart des manipulations familières valides. Tout corps est intègre ; la réciproque échoue (\(\mathbb{Z}\) est intègre sans être un corps). La convention du programme « les corps sont commutatifs » est intégrée à la définition d'un corps ci-dessous.
Définition — Anneau intègre
Un anneau commutatif \(A\) est intègre si \(A \neq \{0\}\) et $$ \forall x, y \in A,\quad x y = 0_A \;\Rightarrow\; x = 0_A \text{ ou } y = 0_A. $$ De manière équivalente, \(A\) n'a pas de diviseur de zéro non trivial (un élément \(x \neq 0\) est un diviseur de zéro s'il existe \(y \neq 0\) tel que \(x y = 0\)). Définition — Corps
Un corps est un anneau commutatif non trivial \(\mathbb{K}\) dans lequel tout élément non nul est inversible : $$ \mathbb{K}^\times = \mathbb{K} \setminus \{0_\mathbb{K}\}. $$ Par convention du programme, les corps sont toujours commutatifs dans ce cours. Exemple — Corps standards
\(\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\) sont les corps canoniques rencontrés à ce niveau. Dans chacun, tout élément non nul admet un inverse multiplicatif : \(\mathbb{Q}^\times = \mathbb{Q}^*\), \(\mathbb{R}^\times = \mathbb{R}^*\), \(\mathbb{C}^\times = \mathbb{C}^*\). Proposition — Tout corps est intègre
Tout corps est un anneau intègre.
Soit \(\mathbb{K}\) un corps, et \(x, y \in \mathbb{K}\) avec \(x y = 0\). Si \(x = 0\), la conclusion est acquise. Sinon \(x \neq 0\), donc \(x\) est inversible (par définition d'un corps). On multiplie \(x y = 0\) à gauche par \(x^{-1}\) : $$ x^{-1} (x y) = x^{-1} \cdot 0 \;\Rightarrow\; (x^{-1} x) y = 0 \;\Rightarrow\; 1_\mathbb{K} \cdot y = 0 \;\Rightarrow\; y = 0. $$ Donc \(x = 0\) ou \(y = 0\).
Exemple — Anneaux intègres et corps standards
- Intègre mais pas un corps. \(\mathbb{Z}\) est intègre mais n'est pas un corps : \(2 \in \mathbb{Z}\) n'a pas d'inverse.
- Corps. \(\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\) sont des corps (donc intègres).
- Anneau de polynômes. \(\mathbb{K}[X]\) est intègre (démontré dans le chapitre Polynômes par les degrés) mais n'est pas un corps : \(X\) n'a pas d'inverse polynomial.
- Exemple non intègre. \(\mathcal{F}(\{0, 1\}, \mathbb{R})\) n'est pas intègre : on définit \(f, g\) par \(f(0) = 1, f(1) = 0\) et \(g(0) = 0, g(1) = 1\). Alors \(f \cdot g = 0\) ponctuellement, sans que ni \(f\) ni \(g\) ne soit la fonction nulle. Donc \(f\) et \(g\) sont des diviseurs de zéro.
- Matrices. \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) pour \(n \geq 2\) n'est pas commutatif, donc la notion « intègre » ne s'applique pas. (À titre indicatif, \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) a même des diviseurs de zéro : \(E_{11} \cdot E_{22} = 0\) pour les matrices élémentaires, sans qu'aucun des facteurs ne soit nul.)
Compétences à pratiquer
- Reconnaître les anneaux intègres et les corps
III.5
Sous-anneaux et morphismes d'anneaux
Un sous-anneau de \(A\) est une partie qui hérite de la structure d'anneau : elle contient \(1_A\), est stable pour les deux lci, et stable par opposé additif. Un morphisme d'anneaux est une application qui préserve la structure : il respecte \(+\), respecte \(\cdot\), et (point crucial, par convention du programme) envoie \(1_A\) sur \(1_{A'}\). Cette dernière condition exclut l'application nulle comme « morphisme » et assure le bon comportement de la composition.
Définition — Sous-anneau
Soit \(A\) un anneau et \(B \subset A\). On dit que \(B\) est un sous-anneau de \(A\) si : - \(1_A \in B\) ;
- \(B\) est stable pour \(+\) : \(\forall x, y \in B,\ x + y \in B\) ;
- \(B\) est stable pour \(\cdot\) : \(\forall x, y \in B,\ x \cdot y \in B\) ;
- \(B\) est stable par opposé additif : \(\forall x \in B,\ -x \in B\).
Proposition — Caractérisation des sous-anneaux
Soit \(A\) un anneau et \(B \subset A\). Alors \(B\) est un sous-anneau de \(A\) ssi : - \(1_A \in B\) ;
- \(\forall x, y \in B,\ x - y \in B\) et \(x \cdot y \in B\).
- \((\Rightarrow)\) Si \(B\) est un sous-anneau, \(1_A \in B\) par définition. Pour \(x, y \in B\), \(-y \in B\) (stabilité par opposé), donc \(x - y = x + (-y) \in B\) (stabilité par \(+\)). Et \(x \cdot y \in B\) (stabilité par \(\cdot\)).
- \((\Leftarrow)\) Supposons \(1_A \in B\) et les deux conditions de stabilité. Alors \(B \neq \emptyset\). Par la Proposition de caractérisation des sous-groupes (dans la partie Sous-groupes) appliquée à \((A, +)\) avec la condition « \(x - y \in B\) », \(B\) est un sous-groupe de \((A, +)\) — en particulier \(0_A \in B\) et \(-x \in B\) pour \(x \in B\). Combiné à \(1_A \in B\) et \(x y \in B\), \(B\) hérite de la structure d'anneau.
Exemple — Sous-anneaux standards
- Chaîne d'inclusions. \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\) — chacun est un sous-anneau du suivant.
- Entiers de Gauss. \(\mathbb{Z}[i] = \{a + i b : a, b \in \mathbb{Z}\}\) est un sous-anneau de \(\mathbb{C}\). En effet, \(1 = 1 + 0 \cdot i \in \mathbb{Z}[i]\), la différence de deux éléments de \(\mathbb{Z}[i]\) est dans \(\mathbb{Z}[i]\), et le produit \((a + b i)(c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i \in \mathbb{Z}[i]\).
- Polynômes de degré borné. L'ensemble \(\mathbb{R}_n[X] = \{P \in \mathbb{R}[X] : \deg P \leq n\}\) n'est pas un sous-anneau de \(\mathbb{R}[X]\) pour \(n \geq 1\) : il n'est pas stable par produit (\(X \cdot X = X^2 \notin \mathbb{R}_1[X]\)).
Définition — Morphisme d'anneaux
Soient \(A, A'\) deux anneaux. Une application \(f : A \to A'\) est un morphisme d'anneaux si pour tout \(x, y \in A\) : $$ f(x + y) = f(x) + f(y), \qquad f(x \cdot y) = f(x) \cdot f(y), \qquad f(1_A) = 1_{A'}. $$ Un morphisme d'anneaux bijectif est un isomorphisme d'anneaux ; les anneaux \(A\) et \(A'\) sont alors isomorphes.Mise en garde. Lorsque \(A'\) est non trivial (\(1_{A'} \neq 0_{A'}\)), la condition \(f(1_A) = 1_{A'}\) exclut l'application nulle \(A \to A'\), \(x \mapsto 0_{A'}\) (qui respecterait sinon \(+\) et \(\cdot\)). C'est cette convention, préservant l'unité, qui est mandatée par le programme.
Proposition — Composition ; image et noyau d'un morphisme d'anneaux
Soient \(f : A \to A'\) et \(g : A' \to A''\) des morphismes d'anneaux. - \(g \circ f : A \to A''\) est un morphisme d'anneaux.
- L'image \(\operatorname{Im} f = f(A)\) est un sous-anneau de \(A'\).
- Le noyau \(\operatorname{Ker} f = \{x \in A : f(x) = 0_{A'}\}\) est un sous-groupe de \((A, +)\) stable par multiplication à gauche et à droite par les éléments de \(A\).
- \(f\) est injectif ssi \(\operatorname{Ker} f = \{0_A\}\).
- (1) Composition. Pour \(x, y \in A\) : \((g \circ f)(x + y) = g(f(x) + f(y)) = g(f(x)) + g(f(y)) = (g \circ f)(x) + (g \circ f)(y)\). Idem pour \(\cdot\). Et \((g \circ f)(1_A) = g(f(1_A)) = g(1_{A'}) = 1_{A''}\).
- (2) Image. \(1_{A'} = f(1_A) \in f(A)\). Pour \(u, v \in f(A)\) avec \(u = f(x), v = f(y)\) : \(u - v = f(x) - f(y) = f(x - y) \in f(A)\) et \(u v = f(x) f(y) = f(x y) \in f(A)\). Par la caractérisation des sous-anneaux, \(f(A) \leq A'\).
- (3) Noyau. \(0_A \in \operatorname{Ker} f\) car \(f(0_A) = 0_{A'}\) (\(f\) étant un \(+\)-morphisme, par la Proposition sur les morphismes de groupes de la partie Morphismes de groupes). Pour \(x, y \in \operatorname{Ker} f\) : \(f(x - y) = f(x) - f(y) = 0_{A'}\), donc \(x - y \in \operatorname{Ker} f\). Donc \(\operatorname{Ker} f\) est un sous-groupe de \((A, +)\). Pour \(a \in A\) et \(x \in \operatorname{Ker} f\) : \(f(a x) = f(a) f(x) = f(a) \cdot 0_{A'} = 0_{A'}\), donc \(a x \in \operatorname{Ker} f\) (stabilité à gauche) ; de même \(x a \in \operatorname{Ker} f\).
- (4) Injectivité. Le morphisme \(f : (A, +) \to (A', +)\) de groupes additifs est injectif ssi son noyau additif est \(\{0_A\}\) — c'est le critère d'injectivité (de la partie Morphismes de groupes) appliqué à la structure de groupe additif.
Exemple — Morphismes d'anneaux standards
- Conjugaison complexe. \(z \mapsto \overline{z}\) est un automorphisme de l'anneau \(\mathbb{C}\) (son propre inverse : \(\overline{\overline{z}} = z\)).
- Inclusion. L'inclusion \(\mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}\) est un morphisme d'anneaux (envoie \(1\) sur \(1\), respecte \(+, \cdot\)).
- Évaluation polynomiale. Pour \(a \in \mathbb{R}\) fixé, l'application \(\mathbb{R}[X] \to \mathbb{R}\), \(P \mapsto P(a)\) est un morphisme d'anneaux (voir le chapitre Polynômes, évaluation).
- Morphisme quotient. L'application de réduction modulo \(n\), \(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), est un morphisme d'anneaux. Le chapitre Arithmétique dans \(\mathbb{Z}\) n'a délibérément utilisé \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) que comme ensemble de \(n\) classes et a reporté sa structure d'anneau au présent chapitre ; l'addition et la multiplication des classes sont bien définies précisément parce que \(\equiv \pmod n\) est compatible avec \(+\) et \(\cdot\) (Proposition « Compatibilité avec somme et produit » de ce chapitre).
Compétences à pratiquer
- Travailler avec les sous-anneaux et les morphismes d'anneaux
IV
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes de synthèse
Aller à la section