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Fonctions vectorielles d'une variable réelle

⌚ ~59 min ▢ 7 blocs ✓ 16 exercices ➣ Prérequis : Espaces vectoriels normés, Limites et continuité dans un espace normé, Dérivabilité, Intégration sur un segment, Limites et continuité

Les chapitres précédents étudiaient une variable réelle à travers des nombres réels. Ici la variable reste réelle mais la valeur devient un vecteur : une fonction vectorielle est une application $f \colon I \to E$ d'un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ vers un espace vectoriel normé $E$ de dimension finie. Une courbe du plan ou de l'espace, un point mobile, une matrice dépendant du temps --- toutes sont des fonctions vectorielles.
L'idée directrice est simple : tout se lit composante par composante. Fixons une base $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$ de $E$ ; alors $f = f_1 e_1 + \cdots + f_p e_p$, où les fonctions composantes $f_i \colon I \to \mathbb{K}$ sont des fonctions scalaires ordinaires d'une variable réelle. La dérivabilité, l'intégrale et les formules de Taylor de $f$ se définissent et se calculent à travers les $f_i$ --- et, comme un changement de base est une application linéaire inversible constante, les résultats ne dépendent pas de la base choisie.
Un contraste avec une fonction réelle domine le chapitre. Une fonction réelle, continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $\mathopen]a,b\mathclose[$, possède un théorème des accroissements finis : une égalité $f(b) - f(a) = (b-a) f'(c)$ pour un certain $c$ strictement compris entre $a$ et $b$. L'égalité est propre aux fonctions à valeurs réelles : une fonction à valeurs dans un espace $E$ autre que $\mathbb{R}$ --- à valeurs dans $\mathbb{C}$ ou véritablement vectorielle --- n'a aucun théorème des accroissements finis sous forme d'égalité en général ; le vecteur dérivé $f'(t_0)$ est un vecteur, et la forme d'égalité n'a pas de contrepartie. Ce qui subsiste, ce sont les inégalités : l'inégalité des accroissements finis et l'inégalité de Taylor--Lagrange. Le chapitre est bâti vers elles.
Notations permanentes. Dans tout le chapitre, $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$, $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et $E$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $p$, muni d'une norme $\norme{\cdot}$. Une fonction vectorielle est une application $f \colon I \to E$ ; dans une base $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$ ses fonctions composantes sont $f_1, \dots, f_p \colon I \to \mathbb{K}$. Le vecteur dérivé est $f'(t_0)$, la $k$-ième dérivée $f^{(k)}$. En une extrémité de $I$, « dérivable » signifie dérivable d'un seul côté. Les notions de norme et de convergence sont celles d'Espaces vectoriels normés ; les limites et la continuité d'une fonction vectorielle sont celles de Limites et continuité dans un espace normé.

I Dérivabilité

I.1 Dérivée en un point et sur un intervalle

Le taux d'accroissement d'une fonction vectorielle est $\bigl(f(t) - f(t_0)\bigr)/(t - t_0)$ --- un vecteur divisé par un scalaire, donc un vecteur. Lorsqu'il admet une limite quand $t \to t_0$, cette limite est encore un vecteur, le vecteur dérivé. Comme annoncé, toute la notion se ramène aux fonctions composantes.

Définition — Dérivabilité

Soit $f \colon I \to E$ et $t_0 \in I$. La fonction $f$ est dérivable en $t_0$ si le taux d'accroissement $\dfrac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0}$ admet une limite dans $E$ quand $t \to t_0$, $t \ne t_0$. Cette limite est alors le vecteur dérivé $f'(t_0)$. De manière équivalente, pour $h$ tel que $t_0 + h \in I$, $$ f(t_0 + h) = f(t_0) + h\, f'(t_0) + o(h), $$ le reste étant un $o(|h|)$ quand $h \to 0$. La fonction $f$ est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout point de $I$ ; l'application $f' \colon t \mapsto f'(t)$ est alors sa dérivée. En une extrémité de $I$ la limite, et le développement, sont pris d'un seul côté.

Exemple — L'hélice

L'hélice $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$, $f(t) = (\cos t, \sin t, t)$, est dérivable sur $\mathbb{R}$. Son taux d'accroissement tend composante par composante (comme le justifie la proposition ci-dessous) vers $f'(t) = (-\sin t, \cos t, 1)$ : le vecteur dérivé est la vitesse du point mobile.

Proposition — Dérivabilité composante par composante

Soit $f \colon I \to E$ de composantes $f_1, \dots, f_p$ dans une base $\mathcal{B}$, et soit $t_0 \in I$. Alors $f$ est dérivable en $t_0$ si et seulement si chaque composante $f_i$ l'est, et dans ce cas $$ \textcolor{colorprop}{f'(t_0) = \sum_{i=1}^p f_i'(t_0)\, e_i}. $$

Preuve

Le taux d'accroissement se lit lui-même composante par composante : $$ \frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0} = \sum_{i=1}^p \frac{f_i(t) - f_i(t_0)}{t - t_0}\, e_i. $$ Une limite dans l'espace de dimension finie $E$ se prend composante par composante (rappelé de Limites et continuité dans un espace normé). Ainsi le taux admet une limite quand $t \to t_0$ si et seulement si chaque taux composante $\bigl(f_i(t) - f_i(t_0)\bigr)/(t - t_0)$ en admet une, c'est-à-dire si et seulement si chaque $f_i$ est dérivable en $t_0$ ; et la limite est alors $\sum_i f_i'(t_0)\, e_i$.

Proposition — Une fonction dérivable est continue

Si $f \colon I \to E$ est dérivable en $t_0$, alors $f$ est continue en $t_0$.

Preuve

Par le développement à l'ordre $1$, $f(t_0 + h) = f(t_0) + h\, f'(t_0) + o(h)$. Quand $h \to 0$, $h\, f'(t_0)$ et $o(h)$ tendent vers $0_E$, donc $f(t_0 + h) \to f(t_0)$ : la fonction $f$ est continue en $t_0$.

Exemple — Une fonction à valeurs matricielles

La matrice de rotation $R \colon \mathbb{R} \to \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, $$ R(t) = \begin{pmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t \end{pmatrix}, $$ est une fonction vectorielle à valeurs dans l'espace de dimension quatre $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Dérivée coefficient par coefficient, elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $R'(t) = \begin{pmatrix} -\sin t & -\cos t \\ \cos t & -\sin t \end{pmatrix} = R\bigl(t + \tfrac{\pi}{2}\bigr)$.

Méthode — Dériver une fonction vectorielle

Pour dériver $f \colon I \to E$ :

fixer une base, écrire les fonctions composantes $f_1, \dots, f_p$, dériver chacune comme une fonction scalaire ordinaire, et recombiner $f' = \sum_i f_i'\, e_i$ ;
ou bien, lorsque $f$ est construite à partir de fonctions vectorielles plus simples, appliquer les règles d'opération de la sous-section suivante plutôt que de revenir aux composantes.

Géométriquement, le taux d'accroissement est le vecteur sécant $f(t) - f(t_0)$ remis à l'échelle ; quand $t \to t_0$ il devient le vecteur dérivé $f'(t_0)$, qui --- lorsqu'il est non nul --- est tangent à la courbe décrite par $f$.

Compétences à pratiquer

Dériver une fonction vectorielle

I.2 Opérations sur les fonctions dérivables

Toute règle de dérivation d'une fonction réelle a une contrepartie vectorielle, démontrée en lisant la règle composante par composante. Deux cas sont véritablement nouveaux --- et centraux pour toute la suite : la composition avec une application linéaire, et la composition avec une application bilinéaire.

Proposition — Premières opérations

Soit $f, g \colon I \to E$ dérivables sur $I$.

Pour $\alpha, \beta \in \mathbb{K}$, $\alpha f + \beta g$ est dérivable et $(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g'$.
Pour une fonction scalaire dérivable $\mu \colon I \to \mathbb{K}$, le produit $\mu \cdot f$ est dérivable et $(\mu \cdot f)' = \mu' f + \mu f'$.
Pour une application dérivable $\varphi \colon J \to I$ ($J$ un intervalle de $\mathbb{R}$), $f \circ \varphi$ est dérivable sur $J$ et $(f \circ \varphi)' = \varphi' \cdot (f' \circ \varphi)$.

Preuve

Chaque énoncé se lit composante par composante et se ramène à une règle connue pour les fonctions scalaires d'une variable réelle (rappelée de Dérivabilité).

Les composantes de $\alpha f + \beta g$ sont $\alpha f_i + \beta g_i$ ; en dérivant, $(\alpha f_i + \beta g_i)' = \alpha f_i' + \beta g_i'$, qui se recombinent en $\alpha f' + \beta g'$.
Les composantes de $\mu \cdot f$ sont les produits $\mu f_i$ ; la règle du produit scalaire donne $(\mu f_i)' = \mu' f_i + \mu f_i'$, qui se recombinent en $\mu' f + \mu f'$.
Les composantes de $f \circ \varphi$ sont $f_i \circ \varphi$ ; la règle de la chaîne donne $(f_i \circ \varphi)' = \varphi' \cdot (f_i' \circ \varphi)$, qui se recombinent en $\varphi' \cdot (f' \circ \varphi)$.

Proposition — Composition avec une application linéaire

Soit $F$ un espace vectoriel normé et $u \in \mathcal{L}(E,F)$ une application linéaire ($E$ est l'espace de dimension finie permanent). Si $f \colon I \to E$ est dérivable, alors $u \circ f$ est dérivable et $(u \circ f)' = u \circ f'$.

Preuve

Fixons une base $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$ de $E$ et écrivons $f = \sum_{i=1}^p f_i\, e_i$. Par linéarité de $u$, $$ u \circ f = \sum_{i=1}^p f_i \cdot u(e_i), $$ où chaque $u(e_i)$ est un vecteur fixé de $F$. Fixons $t_0 \in I$. Pour $t \ne t_0$ le taux d'accroissement du $i$-ième terme est $$ \frac{f_i(t)\, u(e_i) - f_i(t_0)\, u(e_i)}{t - t_0} = \frac{f_i(t) - f_i(t_0)}{t - t_0}\, u(e_i), $$ et quand $t \to t_0$ il tend vers $f_i'(t_0)\, u(e_i)$, car $f_i$ est dérivable en $t_0$ et multiplier le taux scalaire par le vecteur fixé $u(e_i)$ est continu ($\norme{\lambda\, u(e_i) - \lambda'\, u(e_i)} = |\lambda - \lambda'|\, \norme{u(e_i)}$). En sommant les $p$ termes, $u \circ f$ est dérivable en $t_0$ et $$ \begin{aligned} (u \circ f)'(t_0) = \sum_{i=1}^p f_i'(t_0)\, u(e_i) &= u\!\left( \sum_{i=1}^p f_i'(t_0)\, e_i \right) && \text{(linéarité de $u$)}\\ &= u(f'(t_0)) && \text{(formule composante $f' = \sum_i f_i'\, e_i$)}. \end{aligned} $$ L'argument est un calcul direct de taux d'accroissement : aucune continuité de $u$ ni dimension finie de $F$ n'est utilisée.

Proposition — Composition avec une application bilinéaire

Soit $F, G$ des espaces vectoriels normés de dimension finie, $H$ un espace vectoriel normé, et $B \colon F \times G \to H$ une application bilinéaire. Si $f \colon I \to F$ et $g \colon I \to G$ sont dérivables sur le même intervalle $I$, alors $B(f,g) \colon t \mapsto B(f(t), g(t))$ est dérivable et $$ \textcolor{colorprop}{B(f,g)' = B(f', g) + B(f, g')}. $$

Preuve

Fixons une base $(a_1, \dots, a_q)$ de $F$ et une base $(b_1, \dots, b_r)$ de $G$ ; écrivons $f = \sum_i f_i\, a_i$ et $g = \sum_j g_j\, b_j$. Par bilinéarité de $B$, $$ B(f,g) = B\!\left( \sum_i f_i\, a_i,\ \sum_j g_j\, b_j \right) = \sum_{i,j} (f_i\, g_j) \cdot B(a_i, b_j), $$ une combinaison linéaire des produits de la fonction scalaire $f_i\, g_j$ par le vecteur fixé $B(a_i, b_j) \in H$. Chaque $f_i\, g_j$ est un produit de deux fonctions scalaires dérivables, donc dérivable avec $(f_i\, g_j)' = f_i'\, g_j + f_i\, g_j'$ (rappelé de Dérivabilité). Pour chaque couple $(i,j)$, le taux d'accroissement de $(f_i\, g_j) \cdot B(a_i,b_j)$ est le taux scalaire de $f_i\, g_j$ multiplié par le vecteur fixé $B(a_i,b_j)$, donc --- comme dans la démonstration précédente --- il tend vers $(f_i\, g_j)'(t_0) \cdot B(a_i,b_j)$. En sommant les termes en nombre fini, $B(f,g)$ est dérivable et $$ \begin{aligned} B(f,g)' &= \sum_{i,j} (f_i'\, g_j + f_i\, g_j') \cdot B(a_i, b_j) && \text{(dériver chaque terme)}\\ &= \sum_{i,j} f_i'\, g_j\, B(a_i, b_j) + \sum_{i,j} f_i\, g_j'\, B(a_i, b_j) && \text{(scinder la somme)}\\ &= B(f', g) + B(f, g') && \text{(reconstituer par bilinéarité de $B$)}. \end{aligned} $$ Aucune continuité de $B$ n'est invoquée ; $F$ et $G$ sont prises de dimension finie seulement pour que $f$ et $g$ admettent les décompositions composantes finies utilisées ci-dessus.

Exemple — Produit scalaire et produit vectoriel

La règle de l'application bilinéaire couvre deux cas quotidiens. Sur un espace euclidien réel $(E, \langle\cdot\mid\cdot\rangle)$ --- de dimension finie, donc la proposition sur l'application bilinéaire s'applique --- le produit scalaire est une application $\mathbb{R}$-bilinéaire, donc pour $f, g \colon I \to E$ dérivables, $$ \langle f \mid g\rangle' = \langle f' \mid g\rangle + \langle f \mid g'\rangle. $$ Dans $\mathbb{R}^3$ le produit vectoriel $\wedge$ est bilinéaire, donc $(f \wedge g)' = f' \wedge g + f \wedge g'$. Ce sont une seule et même règle, appliquée à deux applications bilinéaires différentes.

Méthode — Choisir la bonne règle d'opération

Lire la fonction vectorielle comme une combinaison de fonctions plus simples et choisir la règle correspondante : une combinaison linéaire, une fonction scalaire fois une fonction vectorielle ($\mu \cdot f$), un reparamétrage ($f \circ \varphi$), une application linéaire ($u \circ f$), ou une application bilinéaire ($B(f,g)$ --- produit scalaire, produit vectoriel, produit matriciel). Revenir aux composantes reste toujours disponible en dernier recours.

Compétences à pratiquer

Appliquer les règles d'opération

I.3 Fonctions de classe $\mathcal{C}^k$

Dériver encore et encore produit les dérivées itérées. Une fonction dont les dérivées itérées existent jusqu'à un ordre donné, la dernière étant continue, est dite d'une classe correspondante. Comme la dérivabilité elle-même, la classe se lit composante par composante : en appliquant la proposition composante par composante du \S1.1 à chaque ordre, $f$ est de classe $\mathcal{C}^k$ exactement lorsque chaque composante $f_i$ l'est, et alors $f^{(j)} = \sum_i f_i^{(j)} e_i$ pour $0 \le j \le k$.

Définition — Classe $\mathcal{C}^k$

Soit $k \in \mathbb{N}^*$. Une fonction $f \colon I \to E$ est de classe $\mathcal{C}^k$ sur $I$ si elle est $k$ fois dérivable sur $I$ et si sa $k$-ième dérivée $f^{(k)}$ est continue. De classe $\mathcal{C}^0$ signifie simplement continue. La fonction est de classe $\mathcal{C}^\infty$ si elle est de classe $\mathcal{C}^k$ pour tout $k$.

Exemple — Une fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$

La fonction $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$, $f(t) = (\mathrm{e}^t,\, t^2,\, \cos t)$, est de classe $\mathcal{C}^\infty$ : chaque composante $\mathrm{e}^t$, $t^2$, $\cos t$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$, et par la lecture composante par composante les dérivées itérées de $f$ existent et sont continues à tout ordre.

Proposition — Formule de Leibniz

Soit $n \in \mathbb{N}$. Si $\mu \colon I \to \mathbb{K}$ et $f \colon I \to E$ sont toutes deux de classe $\mathcal{C}^n$, alors $\mu \cdot f$ est de classe $\mathcal{C}^n$ et $$ \textcolor{colorprop}{(\mu \cdot f)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \mu^{(k)}\, f^{(n-k)}}. $$

Preuve

Par récurrence sur $n$.

Initialisation. Pour $n = 0$, $\mu$ et $f$ de classe $\mathcal{C}^0$ sont continues, donc $\mu \cdot f$ est continue (une fonction scalaire fois une fonction vectorielle), c'est-à-dire de classe $\mathcal{C}^0$, et la formule s'écrit $\mu \cdot f = \mu \cdot f$.
Hérédité. Supposons la formule pour l'ordre $n$. Soit maintenant $\mu$ et $f$ de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ ; elles sont en particulier de classe $\mathcal{C}^n$, donc la formule à l'ordre $n$ s'applique à elles. Chaque terme $\mu^{(k)} f^{(n-k)}$ est une fonction scalaire fois une fonction vectorielle, toutes deux de classe $\mathcal{C}^1$ (puisque $\mu, f$ sont de classe $\mathcal{C}^{n+1}$), donc par la règle scalaire-fois-vecteur du \S1.2 il est dérivable avec $\bigl(\mu^{(k)} f^{(n-k)}\bigr)' = \mu^{(k+1)} f^{(n-k)} + \mu^{(k)} f^{(n-k+1)}$. En dérivant la formule à l'ordre $n$, $$ \begin{aligned} (\mu \cdot f)^{(n+1)} &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \mu^{(k+1)} f^{(n-k)} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \mu^{(k)} f^{(n-k+1)} && \text{(dériver chaque terme)}\\ &= \sum_{k=1}^{n+1} \binom{n}{k-1} \mu^{(k)} f^{(n+1-k)} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \mu^{(k)} f^{(n+1-k)} && \text{(décaler le premier indice)}\\ &= \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} \mu^{(k)} f^{(n+1-k)} && \text{(règle de Pascal)}. \end{aligned} $$

La récurrence est achevée. Comme $\mu$ et $f$ sont de classe $\mathcal{C}^n$, toutes les dérivées $\mu^{(k)}$ et $f^{(n-k)}$ pour $0 \le k \le n$ sont continues ; la formule montre alors que $(\mu \cdot f)^{(n)}$ est continue, donc $\mu \cdot f$ est de classe $\mathcal{C}^n$.

Méthode — Établir une classe et une dérivée itérée

Pour montrer que $f \colon I \to E$ est de classe $\mathcal{C}^k$, vérifier que chaque composante est de classe $\mathcal{C}^k$ comme fonction scalaire ; la dérivée itérée est alors $f^{(k)} = \sum_i f_i^{(k)} e_i$. Pour un produit $\mu \cdot f$, appliquer la formule de Leibniz plutôt que de dériver $k$ fois à la main.

Compétences à pratiquer

Calculer une dérivée itérée

II Intégration sur un segment

II.1 L'intégrale d'une fonction vectorielle continue

L'intégrale d'une fonction vectorielle continue se construit, comme tout le reste, à partir des composantes : intégrer chaque fonction composante, puis recombiner. Le seul point qui demande du soin est que le résultat ne dépende pas de la base --- et cela, nous le verrons, est un fait d'algèbre linéaire.

Définition — Intégrale d'une fonction vectorielle continue

Soit $f \colon [a,b] \to E$ continue, avec $a \le b$, et soit $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$ une base de $E$. L'intégrale de $f$ sur $[a,b]$ est $$ \int_a^b f = \sum_{i=1}^p \left( \int_a^b f_i \right) e_i, $$ chaque $f_i \colon [a,b] \to \mathbb{K}$ étant continue (la continuité est composante par composante), de sorte que les intégrales composantes --- l'intégrale d'une fonction continue à valeurs dans $\mathbb{K}$ --- existent. Ceci définit $\int_\alpha^\beta f$ dès que $\alpha \le \beta$ ; pour un couple quelconque $\alpha, \beta$ de points d'un intervalle où $f$ est continue, on l'étend par la convention d'intégrale orientée $$ \int_\beta^\alpha f = - \int_\alpha^\beta f \qquad (\alpha \le \beta), $$ de sorte que $\int_\alpha^\beta f$ est désormais défini pour les deux bornes dans n'importe quel ordre (et vaut $0_E$ lorsque $\alpha = \beta$).

Proposition — L'intégrale ne dépend pas de la base

Soit $f \colon [a,b] \to E$ continue, avec $a \le b$. Pour toute forme linéaire $\varphi$ sur $E$, $$ \varphi\!\left( \int_a^b f \right) = \int_a^b (\varphi \circ f). $$ Par conséquent le vecteur $\int_a^b f$ ne dépend pas de la base utilisée pour le définir.

Preuve

Soit $\varphi$ une forme linéaire sur $E$. Dans la base $\mathcal{B}$, $\varphi(x) = \sum_i \varphi(e_i)\, x_i$ pour $x = \sum_i x_i e_i$, donc $\varphi \circ f = \sum_i \varphi(e_i)\, f_i$, une combinaison $\mathbb{K}$-linéaire fixée des fonctions composantes. Par linéarité de $\varphi$ et de l'intégrale à valeurs dans $\mathbb{K}$, $$ \begin{aligned} \varphi\!\left( \int_a^b f \right) = \sum_{i=1}^p \varphi(e_i) \int_a^b f_i &= \int_a^b \sum_{i=1}^p \varphi(e_i)\, f_i && \text{(linéarité de l'intégrale)}\\ &= \int_a^b (\varphi \circ f). \end{aligned} $$ Soit maintenant $\mathcal{B}'$ une seconde base et $J'$ le vecteur $\sum_j (\int_a^b f_j')\, e_j'$ obtenu à partir des composantes dans $\mathcal{B}'$. L'identité qu'on vient d'établir vaut aussi pour $J'$ : $\varphi(J') = \int_a^b (\varphi \circ f)$ pour toute forme linéaire $\varphi$. Donc $\varphi\bigl( \int_a^b f\bigr) = \varphi(J')$ pour toute forme linéaire $\varphi$. Deux vecteurs de $E$ sur lesquels toute forme linéaire coïncide sont égaux, donc $\int_a^b f = J'$ : l'intégrale est la même dans les deux bases.

Exemple — Une intégrale vectorielle calculée composante par composante

Pour $f \colon t \mapsto (\cos t, \sin t)$ sur $[0,\pi]$, $$ \int_0^\pi f = \left( \int_0^\pi \cos t\, \mathrm{d}t,\ \int_0^\pi \sin t\, \mathrm{d}t \right) = (0,\, 2). $$

Proposition — Propriétés de l'intégrale

Soit $f, g$ continues sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, à valeurs dans $E$, et soit $a, b, c \in I$.

Linéarité : pour $\alpha, \beta \in \mathbb{K}$, $\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g$.
Chasles : $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$, valable pour tous $a, b, c \in I$ avec la convention orientée.
Sommes de Riemann : pour $a \le b$, $\dfrac{b-a}{n} \displaystyle\sum_{k=1}^n f\!\left( a + k\,\dfrac{b-a}{n} \right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_a^b f$.
Inégalité triangulaire : pour $a \le b$, $\ \norme[\Big]{\displaystyle\int_a^b f} \le \displaystyle\int_a^b \norme{f}$.

Preuve

La linéarité, Chasles et la convergence des sommes de Riemann se lisent composante par composante : chaque identité composante est l'énoncé correspondant pour l'intégrale à valeurs dans $\mathbb{K}$ (rappelé d'Intégration sur un segment), et une limite dans $E$ se prend composante par composante. L'inégalité triangulaire est le seul argument véritablement nouveau. Posons $S_n = \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n f(t_k)$ avec $t_k = a + k\frac{b-a}{n}$. Par l'inégalité triangulaire pour une somme finie de vecteurs, $$ \norme{S_n} = \norme[\Big]{\frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n f(t_k)} \le \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n \norme{f(t_k)}. $$ À gauche, $S_n \to \int_a^b f$ et la norme est continue (elle est $1$-lipschitzienne, rappelé de Limites et continuité dans un espace normé), donc $\norme{S_n} \to \norme[\big]{\int_a^b f}$. À droite, $\frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n \norme{f(t_k)}$ est une somme de Riemann de la fonction réelle continue $t \mapsto \norme{f(t)}$, donc tend vers $\int_a^b \norme{f}$. Le passage à la limite dans l'inégalité donne $\norme[\big]{\int_a^b f} \le \int_a^b \norme{f}$.

Méthode — Calculer et majorer une intégrale vectorielle

Calculer $\int_a^b f$ composante par composante : intégrer chaque $f_i$ et recombiner. Pour majorer l'intégrale, utiliser l'inégalité triangulaire $\norme[\big]{\int_a^b f} \le \int_a^b \norme{f}$ --- valable pour $a \le b$ --- puis une majoration de $\norme{f}$ ; ne jamais chercher à « faire entrer la norme » autrement.

La somme de Riemann enchaîne les petites contributions $\frac{b-a}{n} f(t_k)$ bout à bout ; quand $n$ grandit, la chaîne se referme sur le vecteur $\int_a^b f$.

Compétences à pratiquer

Intégrer une fonction vectorielle

II.2 L'intégrale fonction de sa borne supérieure

Faire varier la borne supérieure fait de l'intégrale une fonction vectorielle à part entière. Elle relie l'intégration à la dérivation --- et produit l'inégalité des accroissements finis, le substitut de travail au théorème d'égalité absent.

Theorem — Théorème fondamental du calcul intégral

Soit $f \colon I \to E$ continue et $a \in I$. La fonction $$ F \colon x \longmapsto \int_a^x f $$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$, et $F' = f$.

Preuve

Par la définition de l'intégrale vectorielle, les composantes de $F$ sont $F_i \colon x \mapsto \int_a^x f_i$. Chaque $f_i$ est une fonction continue à valeurs dans $\mathbb{K}$, donc par le théorème fondamental du calcul intégral pour les fonctions à valeurs dans $\mathbb{K}$ (rappelé d'Intégration sur un segment) chaque $F_i$ est de classe $\mathcal{C}^1$ avec $F_i' = f_i$. Toute composante de $F$ étant de classe $\mathcal{C}^1$, la fonction $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$, et $F' = \sum_i F_i'\, e_i = \sum_i f_i\, e_i = f$.

Proposition — Intégrale d'une dérivée

Si $f \colon I \to E$ est de classe $\mathcal{C}^1$, alors pour tous $a, b \in I$, $$ \int_a^b f' = f(b) - f(a). $$

Preuve

Posons $G \colon x \mapsto \int_a^x f'$. Comme $f'$ est continue, le théorème fondamental du calcul intégral donne $G$ de classe $\mathcal{C}^1$ avec $G' = f'$. Alors $(f - G)' = f' - f' = 0_E$ sur l'intervalle $I$ ; composante par composante, chaque $f_i - G_i$ a une dérivée nulle, donc est constante (rappelé de Dérivabilité), donc $f - G$ est un vecteur constant. En $x = a$, $f(a) - G(a) = f(a) - 0_E = f(a)$, donc $f(x) - G(x) = f(a)$ pour tout $x$, c'est-à-dire $G(x) = f(x) - f(a)$. En prenant $x = b$, on obtient $\int_a^b f' = G(b) = f(b) - f(a)$.

Theorem — Inégalité des accroissements finis

Soit $f \colon I \to E$ de classe $\mathcal{C}^1$, et supposons qu'il existe un réel $M \ge 0$ tel que $\norme{f'(t)} \le M$ pour tout $t \in I$. Alors $$ \textcolor{colorprop}{\forall\, a, b \in I, \qquad \norme{f(b) - f(a)} \le M\, |b - a|}. $$

Preuve

Cas $a \le b$. Par l'intégrale d'une dérivée et l'inégalité triangulaire pour l'intégrale, $$ \begin{aligned} \norme{f(b) - f(a)} = \norme[\Big]{\int_a^b f'} &\le \int_a^b \norme{f'} && \text{(inégalité triangulaire)}\\ &\le \int_a^b M = M\,(b - a) && \text{(majoration $\norme{f'} \le M$)}. \end{aligned} $$ Comme $b - a = |b - a|$ ici, c'est l'énoncé.
Cas $b < a$. Appliquer le cas précédent au couple $(b, a)$ : $\norme{f(a) - f(b)} \le M\,(a - b)$. Comme $\norme{f(b) - f(a)} = \norme{f(a) - f(b)}$ et $a - b = |b - a|$, l'énoncé vaut de nouveau.

Pourquoi une inégalité et non une égalité ? Une fonction à valeurs dans un espace $E$ autre que $\mathbb{R}$ n'a aucun théorème des accroissements finis sous forme d'égalité en général. L'égalité $f(b) - f(a) = (b-a)\, f'(c)$ est un théorème du cas réel (Dérivabilité), et elle n'a pas de contrepartie vectorielle. Prenons le cercle $f \colon t \mapsto (\cos t, \sin t)$ sur $[0, 2\pi]$ : il revient à son point de départ, $f(2\pi) = f(0) = (1,0)$, pourtant $f'(t) = (-\sin t, \cos t)$ n'est jamais le vecteur nul, puisque $\norme{f'(t)} = 1$. Aucun point $c$ ne peut donner $f(2\pi) - f(0) = 2\pi\, f'(c)$. Seule l'inégalité des accroissements finis subsiste --- et elle suffit à l'analyse.

Méthode — Majorer un accroissement

Pour majorer $\norme{f(b) - f(a)}$ pour une fonction vectorielle de classe $\mathcal{C}^1$, ne pas chercher d'égalité : majorer $\norme{f'}$ par une constante $M$ sur l'intervalle entre $a$ et $b$, puis appliquer l'inégalité des accroissements finis $\norme{f(b) - f(a)} \le M\,|b-a|$.

Compétences à pratiquer

Utiliser le TFCI et majorer par l'inégalité des accroissements finis

III Formules de Taylor

III.1 Taylor avec reste intégral et l'inégalité de Taylor-Lagrange

Les formules de Taylor approchent une fonction près d'un point par un polynôme en $x - a$, à coefficients vectoriels $f^{(k)}(a)$. Le reste de la formule exacte est une intégrale vectorielle ; majorer sa norme donne l'inégalité de Taylor--Lagrange --- encore une inégalité, sans forme d'égalité.

Theorem — Taylor avec reste intégral

Soit $n \in \mathbb{N}$, soit $f \colon I \to E$ de classe $\mathcal{C}^{n+1}$, et soit $a, x \in I$. Alors $$ f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{(x-a)^k}{k!}\, f^{(k)}(a) + \int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!}\, f^{(n+1)}(t)\, \mathrm{d}t. $$

Preuve

Appliquer la formule de Taylor avec reste intégral pour une fonction à valeurs dans $\mathbb{K}$ (rappelée d'Intégration sur un segment) à chaque composante $f_i$, qui est de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ : $$ f_i(x) = \sum_{k=0}^n \frac{(x-a)^k}{k!}\, f_i^{(k)}(a) + \int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!}\, f_i^{(n+1)}(t)\, \mathrm{d}t. $$ Multiplier par $e_i$ et sommer sur $i$. La partie polynomiale se recombine en $\sum_{k=0}^n \frac{(x-a)^k}{k!} f^{(k)}(a)$, puisque $f^{(k)} = \sum_i f_i^{(k)} e_i$ ; la partie reste se recombine en $\int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\, \mathrm{d}t$, par la définition même de l'intégrale vectorielle.

Theorem — Inégalité de Taylor-Lagrange

Soit $n \in \mathbb{N}$, soit $f \colon I \to E$ de classe $\mathcal{C}^{n+1}$, et soit $a, x \in I$. Sur le segment d'extrémités $a$ et $x$, la fonction à valeurs réelles continue $\norme{f^{(n+1)}}$ atteint un maximum ; notons-le $M$. Alors $$ \textcolor{colorprop}{\norme[\Big]{ f(x) - \sum_{k=0}^n \frac{(x-a)^k}{k!}\, f^{(k)}(a) } \le M\, \frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}}. $$

Preuve

D'abord, le maximum $M$ est bien défini : $t \mapsto \norme{f^{(n+1)}(t)}$ est une fonction à valeurs réelles, continue comme composée de la fonction continue $f^{(n+1)}$ avec la norme continue, sur le segment d'extrémités $a$ et $x$ ; une fonction réelle continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes (théorème des bornes atteintes, rappelé de Limites et continuité).
Par la formule du reste intégral, le membre de gauche est $\norme[\big]{R}$, où $R = \int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\, \mathrm{d}t$.

Cas $a \le x$. Pour $t \in [a,x]$, $(x-t)^n \ge 0$ ; par l'inégalité triangulaire pour l'intégrale, $$ \begin{aligned} \norme{R} &\le \int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!}\, \norme{f^{(n+1)}(t)}\, \mathrm{d}t && \text{(inégalité triangulaire)}\\ &\le \int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!}\, M\, \mathrm{d}t && \text{(majoration $\norme{f^{(n+1)}} \le M$)}\\ &= M\, \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} && \text{(intégrer le polynôme)}. \end{aligned} $$
Cas $x < a$. Ici $R = -\int_x^a \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\, \mathrm{d}t$, donc $\norme{R} = \norme[\big]{\int_x^a \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\, \mathrm{d}t}$. Pour $t \in [x,a]$ on a $x - t \le 0$, donc $\bigl|(x-t)^n\bigr| = (t-x)^n$ ; par l'inégalité triangulaire, $$ \begin{aligned} \norme{R} &\le \int_x^a \frac{(t-x)^n}{n!}\, \norme{f^{(n+1)}(t)}\, \mathrm{d}t && \text{(inégalité triangulaire)}\\ &\le M \int_x^a \frac{(t-x)^n}{n!}\, \mathrm{d}t = M\, \frac{(a-x)^{n+1}}{(n+1)!} && \text{(majorer, puis intégrer)}. \end{aligned} $$

Dans les deux cas $\norme{R} \le M\, |x-a|^{n+1}/(n+1)!$ --- l'inégalité annoncée. Remarque. Pour une fonction à valeurs dans un espace $E$ autre que $\mathbb{R}$ c'est une inégalité et seulement une inégalité : il n'y a pas de forme d'égalité générale, contrairement à l'égalité de Taylor--Lagrange du cas réel.

Exemple — Taylor-Lagrange sur l'hélice

Pour l'hélice $f(t) = (\cos t, \sin t, t)$, $\mathbb{R}^3$ étant euclidien, majorer $\norme{f(x) - f(0) - x\, f'(0)}$ pour $x \in \mathbb{R}$.

Correction

La fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$, avec $f''(t) = (-\cos t, -\sin t, 0)$, donc $\norme{f''(t)} = \sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t + 0} = 1$ pour tout $t$. Ainsi $M = \sup \norme{f''} = 1$ sur tout segment. En appliquant l'inégalité de Taylor--Lagrange à l'ordre $n = 1$, avec $a = 0$, $$ \norme{f(x) - f(0) - x\, f'(0)} \le M\, \frac{|x|^2}{2!} = \frac{x^2}{2}. $$

Méthode — Appliquer une formule de Taylor

Choisir la formule selon le but : le reste intégral pour une expression exacte de $f(x)$ ; l'inégalité de Taylor--Lagrange pour majorer la distance de $f(x)$ à son polynôme de Taylor --- calculer $M = \sup \norme{f^{(n+1)}}$ sur le segment ; la formule de Taylor--Young (sous-section suivante) pour le comportement local à $o((x-a)^n)$ près.

Compétences à pratiquer

Appliquer Taylor avec reste intégral et Taylor-Lagrange

III.2 Taylor-Young

La formule de Taylor--Young est la version locale : elle décrit le comportement de $f$ au voisinage immédiat de $a$, avec un reste négligeable devant $(x-a)^n$.

Theorem — Taylor-Young

Soit $n \in \mathbb{N}$, soit $f \colon I \to E$ de classe $\mathcal{C}^n$, et soit $a \in I$. Alors, quand $x \to a$ avec $x \in I$ (un voisinage d'un seul côté si $a$ est une extrémité), $$ f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{(x-a)^k}{k!}\, f^{(k)}(a) + R(x), \qquad \norme{R(x)} = o\bigl(|x-a|^n\bigr). $$ Le reste vectoriel, noté $o\bigl((x-a)^n\bigr)$, est une fonction $R$ dont la norme est négligeable devant $|x-a|^n$.

Preuve

Appliquer la formule de Taylor--Young pour une fonction à valeurs dans $\mathbb{K}$ (rappelée de Dérivabilité) à chaque composante $f_i$, de classe $\mathcal{C}^n$ : $f_i(x) = \sum_{k=0}^n \frac{(x-a)^k}{k!} f_i^{(k)}(a) + \varepsilon_i(x)$ avec $|\varepsilon_i(x)| = o\bigl(|x-a|^n\bigr)$. En multipliant par $e_i$ et en sommant, $f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{(x-a)^k}{k!} f^{(k)}(a) + R(x)$ avec $R(x) = \sum_i \varepsilon_i(x)\, e_i$. Par l'inégalité triangulaire, $\norme{R(x)} \le \sum_i |\varepsilon_i(x)|\, \norme{e_i}$ ; chaque $|\varepsilon_i(x)|$ est un $o\bigl(|x-a|^n\bigr)$ et la somme est finie, donc $\norme{R(x)} = o\bigl(|x-a|^n\bigr)$ --- ce qui est le sens de $R(x) = o\bigl((x-a)^n\bigr)$.

Exemple — Taylor-Young d'une courbe plane

Pour $f \colon t \mapsto (\cos t, \sin t)$ en $a = 0$, le développement de Taylor--Young à l'ordre $2$ s'obtient composante par composante à partir de $\cos t = 1 - \tfrac{t^2}{2} + o(t^2)$ et $\sin t = t + o(t^2)$ : $$ f(t) = (1, 0) + t\,(0, 1) + \frac{t^2}{2}\,(-1, 0) + o(t^2). $$

Pour aller plus loin

Ce chapitre a dérivé et intégré une fonction à valeurs dans un espace de dimension finie fixé. Séries numériques et vectorielles et Suites et séries de fonctions étudient les suites et séries de telles fonctions ; Équations différentielles linéaires résout des équations différentielles dont l'inconnue est une fonction vectorielle ; Exponentielle et systèmes différentiels construit l'exponentielle de matrice $t \mapsto \exp(tA)$, la fonction vectorielle $\mathcal{C}^\infty$ archétypale.

Compétences à pratiquer

Appliquer Taylor-Young