CommeUnJeu · L2 MP
Topologie d'un espace normé
Exemple
Montrer que \(\lim_{x \to 0} \mathrm{e}^{1/x}\) n'existe pas.
Calculons les deux limites latérales.
- Quand \(x \to 0^+\), \(1/x \to +\infty\), donc (composition avec \(\exp\), P4.5) \(\mathrm{e}^{1/x} \to +\infty\).
- Quand \(x \to 0^-\), \(1/x \to -\infty\), donc \(\mathrm{e}^{1/x} \to 0\) (Fonctions usuelles : \(\exp(-\infty) = 0\)).
I
Ouverts et fermés
I.1
Voisinages et ouverts
Méthode — Lever une forme indéterminée
Lorsque l'algèbre des opérations sur les limites (P4.1, P4.2) donne l'une des quatre formes indéterminées (\(\infty - \infty\), \(0 \cdot \infty\), \(\infty / \infty\), \(0/0\)), procéder en trois étapes : - Identifier le terme dominant. La plus grande puissance de \(x\) (ou le facteur tendant le plus lentement vers \(0\) dans une forme \(0/0\)).
- Le factoriser au numérateur et au dénominateur (ou dans chaque sommande pour \(\infty - \infty\)).
- Passer à la limite sur chaque facteur restant via P4.1; la forme indéterminée se transforme en opération déterminée.
Compétences à pratiquer
- Identifier les ouverts
I.2
Fermés et caractérisation séquentielle
Ex 7
Ex 8
Ex 9
Définition — Continuité en un point
Soit \(f : E \to \mathbb{R}\) et \(a \in E\). On dit que \(f\) est continue en \(a\) si \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\). De manière équivalente : $$ \forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0, \ \forall x \in E, \ |x - a| \le \delta \Rightarrow |f(x) - f(a)| \le \varepsilon. $$ Définition — Continuité à gauche\(\virgule\) à droite
Soit \(f : E \to \mathbb{R}\) et \(a \in E\). On dit que \(f\) est continue à gauche en \(a\) si \(\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)\) (en supposant \(a\) adhérent à \(E \cap \,]-\infty \,;\, a[\)), et continue à droite en \(a\) si \(\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)\) (en supposant \(a\) adhérent à \(E \cap \,]a \,;\, +\infty[\)). Proposition — Continuité et limites latérales
Soit \(I \subset \mathbb{R}\) un intervalle, \(f : I \to \mathbb{R}\), et \(a \in I\). - Si \(a\) est un point intérieur de \(I\) : \(\textcolor{colorprop}{f}\) est continue en \(a\) si et seulement si \(f\) est continue à gauche et à droite en \(a\).
- Si \(a\) est la borne gauche de \(I\) : \(\textcolor{colorprop}{f}\) est continue en \(a\) si et seulement si \(f\) est continue à droite en \(a\).
- Si \(a\) est la borne droite de \(I\) (cas symétrique) : \(\textcolor{colorprop}{f}\) est continue en \(a\) si et seulement si \(f\) est continue à gauche en \(a\).
Définition — Prolongement par continuité
Soit \(E' \subset \mathbb{R}\) avec \(a \notin E'\) adhérent à \(E'\), et \(f : E' \to \mathbb{R}\) admettant une limite finie \(\ell\) en \(a\). Le prolongement par continuité de \(f\) en \(a\) est la fonction \(\tilde{f} : E' \cup \{a\} \to \mathbb{R}\) définie par $$ \tilde{f}(x) = f(x) \text{ pour } x \in E', \qquad \tilde{f}(a) = \ell. $$ Par construction, \(\tilde{f}\) est continue en \(a\) et coïncide avec \(f\) sur \(E'\). Proposition — Caractérisation séquentielle de la continuité
Soit \(f : E \to \mathbb{R}\) et \(a \in E\). Alors \(\textcolor{colorprop}{f}\) est continue en \(a\) si et seulement si pour toute suite \((u_n) \in E^{\mathbb{N}}\) vérifiant \(u_n \to a\), \(f(u_n) \to f(a)\). Conséquence directe de Heine (T3.1) appliqué avec \(\ell = f(a)\). Compétences à pratiquer
- Appliquer la caractérisation séquentielle
I.3
Stabilité par réunion et intersection
Proposition — Opérations sur la continuité en un point
Soit \(f, g : E \to \mathbb{R}\) continues en \(a \in E\). Alors : - \(\textcolor{colorprop}{\lambda f + \mu g}\) est continue en \(a\) pour tous \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\);
- \(\textcolor{colorprop}{f g}\) est continue en \(a\);
- si \(g(a) \ne 0\), alors \(\textcolor{colorprop}{f / g}\) est continue en \(a\) (bien définie sur un voisinage de \(a\) par le même argument \(\varepsilon = |g(a)|/2\) qu'en P4.1);
- si \(f : E \to F \subset \mathbb{R}\) est continue en \(a\) et \(h : F \to \mathbb{R}\) est continue en \(f(a)\), alors \(\textcolor{colorprop}{h \circ f}\) est continue en \(a\).
Exemple
Montrer que \(f(x) = (\sin x) / x\), définie sur \(\mathbb{R}^*\), admet un prolongement par continuité en \(0\) de valeur \(1\).
Par Ex4.1, \(\lim_{x \to 0} (\sin x)/x = 1\), limite finie. Par D5.3, \(\tilde{f} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(\tilde{f}(x) = (\sin x)/x\) pour \(x \ne 0\) et \(\tilde{f}(0) = 1\) est le prolongement par continuité.
Exemple — Discontinuité par saut
La fonction de type Heaviside \(H : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(H(x) = 0\) pour \(x \le 0\) et \(H(x) = 1\) pour \(x > 0\) est continue à gauche en \(0\) (\(\lim_{x \to 0^-} H = 0 = H(0)\)) mais pas continue à droite (\(\lim_{x \to 0^+} H = 1 \ne H(0) = 0\)). Donc \(H\) est discontinue en \(0\), avec un saut d'amplitude \(1\). Le point \(0\) est intérieur à \(\mathbb{R}\), donc par P5.1 l'échec de la continuité à droite suffit à briser la continuité. Méthode — Établir la continuité par un argument \(\varepsilon\)-\(\delta\) direct
Pour démontrer \(f\) continue en \(a\) à partir de la définition : - Fixer \(\varepsilon > 0\). Le traiter comme un nombre positif générique; le choix de \(\delta\) en dépendra.
- Majorer \(|f(x) - f(a)|\) par une expression en \(|x - a|\). Utiliser l'inégalité triangulaire, factoriser les polynômes, recourir à des majorations de type des accroissements finis, ou à une constante de Lipschitz.
- Choisir \(\delta\) tel que la majoration soit \(\le \varepsilon\). Souvent \(\delta = \varepsilon / L\) où \(L\) est une constante de Lipschitz.
Compétences à pratiquer
- Appliquer les règles de stabilité
II
Intérieur\(\virgule\) adhérence et frontière
II.1
Intérieur et adhérence
Ex 10
Ex 11
Ex 12
Ex 13
Ex 14
Ex 15
Ex 16
Lorsque \(f\) est continue en tout point d'un intervalle, trois propriétés deviennent disponibles : (i) l'image de l'intervalle est un intervalle (théorème des valeurs intermédiaires et image d'un intervalle), (ii) l'image d'un segment est un segment (cf. la section suivante, Fonctions continues sur un segment), et (iii) la bijectivité sur l'image transfère la monotonie (même section). Le TVI se démontre par dichotomie --- un schéma constructif de bissection qui converge vers un zéro de \(f\) lorsque les signes aux bornes diffèrent.
Définition — Continuité sur un intervalle
Soit \(I \subset \mathbb{R}\) un intervalle. On dit que \(f : I \to \mathbb{R}\) est continue sur \(I\) si \(f\) est continue en tout \(a \in I\). L'ensemble de telles fonctions se note \(\textcolor{colordef}{C^0(I, \mathbb{R})}\), ou \(\textcolor{colordef}{C^0(I, \mathbb{C})}\) pour les fonctions à valeurs complexes. Compétences à pratiquer
- Déterminer intérieur et adhérence
II.2
Frontière
Theorem — Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Soit \(f \in C^0([a \,;\, b], \mathbb{R})\) avec \(a < b\) et \(f(a) f(b) \le 0\). Alors il existe \(\textcolor{colorprop}{c \in [a \,;\, b]}\) tel que \(f(c) = 0\).
La démonstration se fait par dichotomie.
- Cas des bornes. Si \(f(a) = 0\), prendre \(c = a\) et conclure. Si \(f(b) = 0\), prendre \(c = b\) et conclure. Sinon \(f(a) f(b) < 0\) (strict).
- Bissection. Construisons deux suites \((a_n), (b_n)\) avec \(a_0 = a\), \(b_0 = b\). À l'étape \(n\), posons \(m_n = (a_n + b_n)/2\). Si \(f(m_n) = 0\), prendre \(c = m_n\). Sinon, \(f(a_n) f(m_n)\) et \(f(m_n) f(b_n)\) ont des signes opposés; remplacer la borne de \([a_n \,;\, b_n]\) du côté où le changement de signe strict persiste, c'est-à-dire \(a_{n+1} = a_n\), \(b_{n+1} = m_n\) si \(f(a_n) f(m_n) < 0\), et \(a_{n+1} = m_n\), \(b_{n+1} = b_n\) sinon.
- Convergence. Les suites sont adjacentes : \((a_n)\) est croissante, \((b_n)\) décroissante, \(b_n - a_n = (b - a)/2^n \to 0\). Par le théorème des suites adjacentes (admis ; cours Suites réelles), elles convergent vers une même limite \(c \in [a \,;\, b]\).
- Conclusion. Par continuité de \(f\) en \(c\), \(f(a_n) \to f(c)\) et \(f(b_n) \to f(c)\). Par construction \(f(a_n) f(b_n) \le 0\) pour tout \(n\); passage à la limite (P4.3 appliqué au produit), \(f(c)^2 \le 0\), donc \(f(c) = 0\).
Proposition — TVI forme 2
Soit \(f \in C^0([a \,;\, b], \mathbb{R})\) et \(y\) un réel compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\). Alors il existe \(\textcolor{colorprop}{c \in [a \,;\, b]}\) tel que \(f(c) = y\).
Appliquons T6.1 à \(g(x) = f(x) - y \in C^0([a \,;\, b], \mathbb{R})\) : \(g(a) = f(a) - y\) et \(g(b) = f(b) - y\) ont des signes opposés (ou l'un est nul) puisque \(y\) est compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\). Donc \(g\) s'annule en un point \(c \in [a \,;\, b]\), soit \(f(c) = y\).
Theorem — L'image d'un intervalle est un intervalle
Soit \(I \subset \mathbb{R}\) un intervalle et \(f \in C^0(I, \mathbb{R})\). Alors \(\textcolor{colorprop}{f(I)}\) est un intervalle.
Utilisons la caractérisation : « \(J\) est un intervalle si et seulement si pour tous \(u, v \in J\) avec \(u \le v\), \([u \,;\, v] \subset J\) ». Soient \(u, v \in f(I)\) avec \(u \le v\), et \(y \in [u \,;\, v]\). Choisissons \(\alpha, \beta \in I\) avec \(f(\alpha) = u\) et \(f(\beta) = v\). Le segment fermé \([\alpha \,;\, \beta]\) (ou \([\beta \,;\, \alpha]\) si \(\beta < \alpha\)) est inclus dans \(I\) car \(I\) est un intervalle, et \(y\) est compris entre \(f(\alpha) = u\) et \(f(\beta) = v\). Par le TVI (forme 2) appliqué à \(f\) sur ce segment, \(y \in f(I)\). Donc \([u \,;\, v] \subset f(I)\), et \(f(I)\) est un intervalle.
Exemple
Montrer que tout polynôme réel de degré impair admet au moins une racine réelle.
Soit \(P \in \mathbb{R}[X]\) de degré impair \(n\), de coefficient dominant \(a_n \in \mathbb{R}^*\). Quitte à remplacer \(P\) par \(-P\) (qui a les mêmes racines), on peut supposer \(a_n > 0\). Alors $$ \lim_{x \to +\infty} P(x) = +\infty, \qquad \lim_{x \to -\infty} P(x) = -\infty, $$ puisque \(n\) est impair. Il existe \(A < 0\) avec \(P(A) < 0\) et \(B > 0\) avec \(P(B) > 0\). Le polynôme \(P\) est continu sur \([A \,;\, B]\), avec \(P(A) P(B) < 0\). Par le TVI, il existe \(c \in [A \,;\, B]\) tel que \(P(c) = 0\).
Méthode — Démontrer l'existence d'une solution par le TVI
Pour montrer qu'une équation \(f(x) = 0\) admet une solution dans \([a \,;\, b]\) : - Continuité. Vérifier que \(f\) est continue sur \([a \,;\, b]\). En tant que polynôme, exponentielle, trigonométrique, fraction rationnelle (sans zéro du dénominateur dans l'intervalle), ou composition de fonctions continues, c'est automatique.
- Signe aux bornes. Calculer \(f(a)\) et \(f(b)\). Si les signes diffèrent (\(f(a) f(b) < 0\), ou l'un est nul), le TVI s'applique.
- Conclure. Il existe \(c \in [a \,;\, b]\) tel que \(f(c) = 0\).
Compétences à pratiquer
- Calculer la frontière
II.3
Densité
Ex 18
Ex 19
Ex 20
Ex 21
Ex 22
Ex 23
Compétences à pratiquer
- Démontrer la densité
III
Topologie induite
III.1
Voisinages relatifs
Sur un intervalle fermé borné \([a \,;\, b]\) --- un segment --- les fonctions continues sont particulièrement régulières : elles sont bornées, atteignent leurs bornes (théorème des bornes atteintes) et l'image d'un segment est un segment. La démonstration du théorème des bornes atteintes utilise Bolzano-Weierstrass sur une suite maximisante (resp. minimisante); l'énoncé sur l'image d'un segment en découle comme corollaire. Le couple final --- une fonction continue injective sur un intervalle est strictement monotone, et le théorème de la bijection continue strictement monotone --- est admis (programme : « démonstration non exigible ») mais utilisé dans tous les chapitres d'analyse à venir.
Theorem — Théorème des bornes atteintes
Soit \(f \in C^0([a \,;\, b], \mathbb{R})\) avec \(a < b\). Alors \(f\) est bornée sur \([a \,;\, b]\) et il existe \(\textcolor{colorprop}{x_*, x^* \in [a \,;\, b]}\) tels que $$ f(x_*) = \min_{[a \,;\, b]} f \qquad \text{et} \qquad f(x^*) = \max_{[a \,;\, b]} f. $$
La démonstration se fait en deux étapes.
- Étape 1 --- \(f\) est majorée. (La minoration est symétrique.) Par l'absurde, supposons \(f\) non majorée. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), il existe \(u_n \in [a \,;\, b]\) tel que \(f(u_n) \ge n\). La suite \((u_n)\) est dans \([a \,;\, b]\), donc bornée. Par Bolzano-Weierstrass (admis; cours Suites réelles), \((u_n)\) admet une sous-suite convergente \(u_{\varphi(n)} \to x_0 \in [a \,;\, b]\). Par continuité de \(f\) en \(x_0\), \(f(u_{\varphi(n)}) \to f(x_0) \in \mathbb{R}\). Mais \(f(u_{\varphi(n)}) \ge \varphi(n) \to +\infty\), contradiction.
- Étape 2 --- maximum atteint. Posons \(M = \sup_{[a \,;\, b]} f \in \mathbb{R}\) (bien défini par l'Étape 1). Construisons une suite maximisante \((u_n)\) dans \([a \,;\, b]\) avec \(f(u_n) \to M\) : choisir \(u_n \in [a \,;\, b]\) tel que \(M - 1/(n+1) \le f(u_n) \le M\) (possible par définition de la borne supérieure). Par Bolzano-Weierstrass, extraire \(u_{\varphi(n)} \to x^* \in [a \,;\, b]\). Par continuité en \(x^*\), \(f(u_{\varphi(n)}) \to f(x^*)\). La même sous-suite tend toujours vers \(M\) (par extraction), donc \(f(x^*) = M\).
- Étape symétrique --- minimum atteint. Même argument avec une suite minimisante et \(m = \inf_{[a \,;\, b]} f\), donnant \(x_* \in [a \,;\, b]\) avec \(f(x_*) = m\).
Proposition — L'image d'un segment est un segment
Soit \(f \in C^0([a \,;\, b], \mathbb{R})\) avec \(a < b\). Alors \(\textcolor{colorprop}{f([a \,;\, b]) = [\min_{[a \,;\, b]} f \,;\, \max_{[a \,;\, b]} f]}\).
Par T7.1, le min et le max sont atteints, donc \(f([a \,;\, b]) \supset \{\min f, \max f\}\). Par T6.2 (\(f([a \,;\, b])\) est un intervalle), \(f([a \,;\, b])\) est un sous-intervalle de \([\min f \,;\, \max f]\) contenant les deux extrémités, donc égal à \([\min f \,;\, \max f]\).
Theorem — Bijection continue strictement monotone
Soit \(I \subset \mathbb{R}\) un intervalle et \(f \in C^0(I, \mathbb{R})\) strictement monotone. Alors : - \(f\) est une bijection de \(I\) sur \(J := f(I)\);
- \(J\) est un intervalle;
- la réciproque \(\textcolor{colorprop}{f^{-1} : J \to I}\) est continue sur \(J\) et strictement monotone de même sens que \(f\).
Hors programme --- énoncés admis
La phrase suivante du programme officiel de 2021 (p.~14) justifie que les démonstrations de P7.2 et T7.2 soient admises : « Une fonction continue sur un intervalle, à valeurs réelles et injective, est strictement monotone. La démonstration n'est pas exigible. Toute fonction réelle strictement monotone, définie et continue sur un intervalle, admet une fonction réciproque de même monotonie, définie et continue sur un intervalle. La démonstration n'est pas exigible. »
Compétences à pratiquer
- Manipuler les voisinages relatifs
III.2
Ouverts et fermés relatifs
Exemple
Application de T7.2 à \(\arctan\). La restriction de \(\tan\) à \(\,]-\pi/2 \,;\, \pi/2[\) est continue et strictement croissante. Par T7.2, c'est une bijection de \(\,]-\pi/2 \,;\, \pi/2[\) sur \(\mathbb{R}\), et l'inverse \(\arctan : \mathbb{R} \to \,]-\pi/2 \,;\, \pi/2[\) est continue sur \(\mathbb{R}\) et strictement croissante. (Référence vers le chapitre Fonctions usuelles, où \(\arctan\) est étudiée en détail.) Exemple
Montrer que \(f(x) = x^2\) sur \([-1 \,;\, 2]\) atteint ses bornes, en localisant \(x_*\) et \(x^*\) explicitement.
La fonction \(f\) est continue sur \([-1 \,;\, 2]\) comme polynôme. Par T7.1, \(f\) atteint ses bornes. On les calcule à la main : \(f\) est décroissante sur \([-1 \,;\, 0]\) et croissante sur \([0 \,;\, 2]\), donc le minimum est en \(0\) avec \(f(0) = 0\), et le maximum est à la borne de plus grand \(|x|\), soit \(x = 2\) avec \(f(2) = 4\). Donc \(x_* = 0\), \(x^* = 2\), \(\min f = 0\), \(\max f = 4\).
Exemple
Application de T7.2 à \(\sqrt{\cdot}\). La restriction de \(x \mapsto x^2\) à \(\mathbb{R}_+\) est continue et strictement croissante. Par T7.2, c'est une bijection de \(\mathbb{R}_+\) sur \(\mathbb{R}_+\), et l'inverse \(\sqrt{\cdot} : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+\) est continue sur \(\mathbb{R}_+\) et strictement croissante. (Référence vers le chapitre Fonctions usuelles.)
Référence en avant --- continuité uniforme et fonctions lipschitziennes
Le programme de 2021 mentionne une notion plus fine de continuité sur un segment --- la continuité uniforme --- accompagnée du théorème de Heine (toute fonction continue sur un segment y est uniformément continue) et de l'exemple des fonctions lipschitziennes. Nous ne les traitons pas ici : le programme les introduit « uniquement en vue de la construction de l'intégrale », et nous les réservons donc au chapitre Intégration sur un segment, où elles permettent l'approximation uniforme des fonctions continues par des fonctions en escalier.
Compétences à pratiquer
- Identifier les ouverts et fermés relatifs
Aller à la section