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Suites et séries de fonctions

⌚ ~67 min ▢ 8 blocs ✓ 16 exercices ➣ Prérequis : Intégration sur un segment, Limites et continuité dans un espace normé, Séries numériques et vectorielles

Jusqu'ici une fonction et une suite étaient deux objets séparés : une fonction $f$ prend un réel et renvoie une valeur ; une suite $(u_n)$ prend un entier et renvoie une valeur. Une suite de fonctions est les deux à la fois : une suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ dont le terme générique $f_n$ est lui-même une fonction $I \to K$, définie sur un intervalle commun $I \subset \mathbb{R}$ à valeurs dans $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Une série de fonctions est la suite des sommes partielles $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$ attachée à une suite $(u_n)$ de telles fonctions. Tout au long du chapitre $I \subset \mathbb{R}$ est un intervalle (ou, lorsque c'est précisé, une partie non vide de $\mathbb{R}$), $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et les fonctions considérées vont de $I$ dans $K$. La notation $\|g\|_\infty = \sup_{x \in I} |g(x)|$ désigne la norme uniforme d'une fonction bornée $g$ sur $I$, rappelée d'Espaces vectoriels normés : elle mesure l'écart maximal entre deux fonctions. Lorsqu'il faut préciser le sous-ensemble, on écrit $\|g\|_{\infty, A} = \sup_{x \in A} |g(x)|$ pour $A \subset I$ ; on omet l'indice lorsque $A$ est clair par contexte. L'espace des fonctions continues $I \to K$ se note $\mathcal{C}(I, K)$, celui des fonctions $k$ fois continûment dérivables se note $\mathcal{C}^k(I, K)$, tous deux rappelés de MPSI.
La convergence uniforme de $(f_n)$ répare ce que la convergence simple casse pour la continuité et l'intégrabilité sur un segment ; la dérivabilité demande davantage --- convergence uniforme des dérivées $(f_n')$ sur tout segment, plus convergence de $(f_n)$ en un point --- et le chapitre se clôt par le résultat phare d'approximation polynomiale de Weierstrass. Le fil pédagogique est partout le même : la convergence simple est trop faible ; la norme uniforme est le bon outil, appliquée à la bonne suite. La convergence simple ne transmet rien à elle seule --- la limite de fonctions continues peut être discontinue, la limite des dérivées peut ne pas exister, l'intégrale peut refuser de suivre. La convergence uniforme (de la bonne suite : de $(f_n)$ pour continuité et intégration sur un segment, de $(f_n')$ pour la dérivation) répare chacun de ces échecs.

I Suites de fonctions

I.1 Convergence simple et convergence uniforme

La manière la plus naturelle de donner un sens à « $f_n \to f$ » gèle la variable $x$ : pour chaque $x$, la suite de nombres $(f_n(x))_n$ doit converger vers $f(x)$. C'est la convergence simple (ou ponctuelle). Elle est trop lâche, comme le montre le premier Exemple : elle autorise la fonction limite à perdre des propriétés que chaque $f_n$ avait. Le remède est de contrôler l'écart uniformément en $x$ --- pas « pour chaque $x$ séparément » mais « un $N$ marche pour tous les $x$ d'un coup ». Cette seconde notion utilise la norme uniforme $\|g\|_\infty = \sup_{x \in I} |g(x)|$ rappelée dans l'introduction depuis Espaces vectoriels normés : la convergence uniforme sur $I$ est exactement $\|f_n - f\|_\infty \to 0$. Désormais, dire qu'une fonction $g$ est bornée sur $I$ signifie $\|g\|_\infty < +\infty$ (rappelé de MPSI Limites et continuité, étendu aux fonctions à valeurs dans $K$ par le module).

Définition — Convergence simple

Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions $I \to K$ et $f : I \to K$ une fonction. La suite $(f_n)$ converge simplement (ou ponctuellement) vers $f$ sur $I$ lorsque, pour tout $x \in I$, la suite de nombres $(f_n(x))_n$ converge vers $f(x)$. En quantificateurs : $$ \forall x \in I,\ \forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ |f_n(x) - f(x)| \leq \varepsilon. $$ La fonction $f$ est alors appelée limite simple de $(f_n)$ sur $I$.

Exemple — Une limite simple discontinue

Prenons $I = [0, 1]$ et $f_n(x) = x^n$. Pour $0 \leq x < 1$, $x^n \to 0$ ; pour $x = 1$, $x^n = 1$ pour tout $n$. Donc $(f_n)$ converge simplement sur $[0, 1]$ vers $$ f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } 0 \leq x < 1,\\ 1 & \text{si } x = 1. \end{cases} $$ Chaque $f_n$ est continue sur $[0, 1]$ ; la limite simple $f$ ne l'est pas. La convergence simple ne transmet pas la continuité.

Définition — Convergence uniforme

Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions $I \to K$ et $f : I \to K$ une fonction. La suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$ lorsque $$ \forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ \forall x \in I,\ |f_n(x) - f(x)| \leq \varepsilon. $$ De manière équivalente : pour $n \geq N$ la fonction $f_n - f$ est bornée sur $I$ et $\|f_n - f\|_\infty \leq \varepsilon$, de sorte que la condition se lit $\|f_n - f\|_\infty \to 0$ une fois que l'on sait que $f_n - f$ est bornée à partir d'un certain rang. La fonction $f$ est alors appelée limite uniforme de $(f_n)$ sur $I$. L'ordre des quantificateurs $\exists N$ et $\forall x$ est crucial : en convergence uniforme l'indice $N$ dépend de $\varepsilon$ mais pas de $x$ ; en convergence simple $N$ peut dépendre des deux.

Exemple — Lecture géométrique de la norme uniforme

La Définition admet une traduction géométrique immédiate : $\|f_n - f\|_\infty \leq \varepsilon$ signifie que le graphe de $f_n$ se loge dans la bande horizontale de demi-hauteur $\varepsilon$ autour du graphe de $f$. La convergence uniforme est l'exigence qu'à partir d'un certain rang, tout le graphe entre dans toute bande imposée --- la convergence simple ne demanderait que, pour chaque $x$, la valeur $f_n(x)$ entre dans la fenêtre verticale de hauteur $\varepsilon$ au-dessus de $f(x)$, sans lien entre deux $x$ distincts.

Proposition — La convergence uniforme entraîne la convergence simple

Si $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$, alors $(f_n)$ converge \textcolor{colorprop}{simplement} vers $f$ sur $I$. La réciproque est fausse en général.

Ce chapitre est le pivot théorique de l'analyse du semestre~1 : il formalise ce que signifie « $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $a$ » et « $f$ est continue », puis démontre les sept théorèmes sur lesquels reposent tous les chapitres d'analyse à venir (dérivation, intégration, comparaison asymptotique, intégration sur un segment, séries). Quatre de ces théorèmes sont fondamentaux et porteurs --- la caractérisation séquentielle de Heine, le théorème des valeurs intermédiaires, le théorème des bornes atteintes et le théorème de la bijection continue strictement monotone --- les trois autres (encadrement, limite monotone, image d'un intervalle) sont des supports.
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Convention. Dans tout le chapitre, $E \subset \mathbb{R}$ désigne un sous-ensemble général, $I \subset \mathbb{R}$ un intervalle d'intérieur non vide et $a \in \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$ un point réel ou infini adhérent au domaine de la fonction (défini ci-dessous dans la section Limite en un point : définitions). Les limites sont énoncées avec des inégalités larges --- $|x - a| \le \delta$ plutôt que $|x - a| < \delta$ --- conformément à la convention du programme : « les définitions sont énoncées avec des inégalités larges ». La formulation par voisinages est mentionnée pour la culture ; la définition de travail est la définition par inégalités.

On précise ce que signifie « $f(x) \to \ell$ quand $x \to a$ »: pour toute proximité voulue de $\ell$, la fonction reste à cette proximité dès que $x$ est suffisamment proche de $a$. Les quatre cas (limite finie ou infinie en un point fini ou infini) se déduisent d'un seul gabarit d'inégalités, seule diffère la traduction de « proche de $a$ » et « proche de $\ell$ ».

Définition — Point adhérent

Soit $E \subset \mathbb{R}$ et $a \in \overline{\mathbb{R}}$. On dit que $a$ est adhérent à $E$ si tout voisinage de $a$ rencontre $E$. Pour nos définitions par inégalités, il suffit de tester les intervalles fermés symétriques $[a - \eta \,;\, a + \eta]$ ($\eta > 0$) lorsque $a \in \mathbb{R}$, les demi-droites $[B \,;\, +\infty[$ lorsque $a = +\infty$, et les demi-droites $\,]-\infty \,;\, B]$ lorsque $a = -\infty$. Ainsi :

$a \in \mathbb{R}$ est adhérent à $E$ si et seulement si $a \in E$ ou $a$ est un point d'accumulation de $E$ (tout $[a - \eta \,;\, a + \eta]$ rencontre $E$);
$+\infty$ est adhérent à $E$ si et seulement si $E$ n'est pas majoré;
$-\infty$ est adhérent à $E$ si et seulement si $E$ n'est pas minoré.

Définition — Limite finie en un point fini

Soit $f : E \to \mathbb{R}$, $a \in \mathbb{R}$ adhérent à $E$ et $\ell \in \mathbb{R}$. On dit que $f$ admet la limite $\ell$ en $a$ si $$ \forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0, \ \forall x \in E, \ |x - a| \le \delta \Rightarrow |f(x) - \ell| \le \varepsilon. $$ On note alors $f(x) \xrightarrow[x \to a]{} \ell$ ou $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$.

Compétences à pratiquer

Tester la convergence simple et uniforme

I.2 Continuité et théorème de la double limite

Définition — Limite infinie en un point fini

Soit $f : E \to \mathbb{R}$ et $a \in \mathbb{R}$ adhérent à $E$. On dit que $f$ tend vers $+\infty$ en $a$ si $$ \forall A \in \mathbb{R}, \ \exists \delta > 0, \ \forall x \in E, \ |x - a| \le \delta \Rightarrow f(x) \ge A. $$ Symétriquement, $f$ tend vers $-\infty$ en $a$ si $$ \forall A \in \mathbb{R}, \ \exists \delta > 0, \ \forall x \in E, \ |x - a| \le \delta \Rightarrow f(x) \le A. $$

Définition — Limites à l'infini

Soit $f : E \to \mathbb{R}$ avec $E$ non majoré (donc $+\infty$ adhérent à $E$). Alors :

$f$ tend vers $\ell \in \mathbb{R}$ en $+\infty$ si $\forall \varepsilon > 0, \exists B \in \mathbb{R}, \forall x \in E, x \ge B \Rightarrow |f(x) - \ell| \le \varepsilon$;
$f$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ si $\forall A \in \mathbb{R}, \exists B \in \mathbb{R}, \forall x \in E, x \ge B \Rightarrow f(x) \ge A$;
$f$ tend vers $-\infty$ en $+\infty$ si $\forall A \in \mathbb{R}, \exists B \in \mathbb{R}, \forall x \in E, x \ge B \Rightarrow f(x) \le A$.

Les définitions symétriques en $-\infty$ (lorsque $E$ n'est pas minoré) remplacent la demi-droite $x \ge B$ par $x \le B$.

Exemple

Montrer par la définition que $\lim_{x \to 2} (3x + 1) = 7$.

Correction

Fixons $\varepsilon > 0$. Pour $x \in \mathbb{R}$, $$ |(3x + 1) - 7| = |3x - 6| = 3 \, |x - 2|. $$ Choisissons $\delta = \varepsilon / 3$. Alors $|x - 2| \le \delta$ entraîne $|(3x + 1) - 7| = 3 \, |x - 2| \le 3 \delta = \varepsilon$, c'est l'inégalité voulue.

Exemple

Montrer par la définition que $\lim_{x \to 0} 1 / x^2 = +\infty$ (avec $E = \mathbb{R}^*$).

Correction

Fixons $A \in \mathbb{R}$. On peut supposer $A > 0$ (sinon, la majoration $1/x^2 \ge A$ est triviale puisque $1/x^2 > 0$). Pour $x \in \mathbb{R}^*$, $1/x^2 \ge A$ équivaut à $x^2 \le 1/A$, c'est-à-dire $|x| \le 1 / \sqrt{A}$. Choisissons $\delta = 1 / \sqrt{A}$. Alors $|x - 0| \le \delta$ et $x \ne 0$ entraînent $1/x^2 \ge A$.

Exemple

Montrer par la définition que $\lim_{x \to +\infty} 1/x = 0$ (avec $E = \mathbb{R}_+^*$).

Correction

Fixons $\varepsilon > 0$. Pour $x > 0$, $|1/x - 0| = 1/x$, donc $1/x \le \varepsilon$ équivaut à $x \ge 1/\varepsilon$. Choisissons $B = 1 / \varepsilon$. Alors $x \ge B \Rightarrow |1/x| \le \varepsilon$.

Exemple

Calculer $\lim_{x \to 0^+} \lfloor x \rfloor$ et $\lim_{x \to 0^-} \lfloor x \rfloor$, et comparer.

Correction

Pour $x \in \,]0 \,;\, 1[$, $\lfloor x \rfloor = 0$, donc $\lim_{x \to 0^+} \lfloor x \rfloor = 0$. Pour $x \in \,]-1 \,;\, 0[$, $\lfloor x \rfloor = -1$, donc $\lim_{x \to 0^-} \lfloor x \rfloor = -1$. Les deux limites latérales diffèrent, donc $\lfloor \cdot \rfloor$ n'admet pas de limite en $0$ (cf. P2.4).

Exemple

Lecture géométrique de la limite $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$.

Le graphe de $f$ entre dans la bande horizontale $[\ell - \varepsilon \,;\, \ell + \varepsilon]$ autour de $\ell$ dès que $x$ entre dans la bande verticale $[a - \delta \,;\, a + \delta]$ autour de $a$.

Ex 1

Compétences à pratiquer

Appliquer la continuité et le théorème de la double limite

I.3 Intégration et dérivation

Ex 2 Ex 3

Trois faits structurels sur les limites, utilisés systématiquement dans la suite : l'unicité (la caractérisation séquentielle et les sections suivantes parlent de la limite), la cohérence valeur-point induite par la convention inclusive (une fonction définie en $a$ qui y admet une limite doit prendre la valeur $f(a)$), et la borne locale (une fonction de limite finie ne peut pas exploser au voisinage). Ce sont les briques des opérations algébriques sur les limites de la section suivante, Opérations sur les limites.

Proposition — Unicité de la limite

Soit $f : E \to \mathbb{R}$ et $a$ adhérent à $E$. Si $f$ admet une limite en $a$, cette limite est unique.

Preuve

Supposons que $f$ admette deux limites $\ell, \ell' \in \overline{\mathbb{R}}$ en $a$. Montrons $\ell = \ell'$ en éliminant la seule alternative, $\ell \ne \ell'$.

Les deux finies. Supposons $\ell, \ell' \in \mathbb{R}$ avec $\ell \ne \ell'$. Posons $\varepsilon = |\ell - \ell'| / 3 > 0$. Les deux définitions de limite donnent $\delta_1, \delta_2 > 0$ tels que, pour $x \in E$ proche de $a$ (à $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$ près), $|f(x) - \ell| \le \varepsilon$ et $|f(x) - \ell'| \le \varepsilon$. Un tel $x$ existe car $a$ est adhérent à $E$. Par l'inégalité triangulaire, $|\ell - \ell'| \le |f(x) - \ell| + |f(x) - \ell'| \le 2 \varepsilon = (2/3) \, |\ell - \ell'|$, donc $|\ell - \ell'| \le 0$ --- contradiction avec $\ell \ne \ell'$.
Une finie, une infinie. Supposons $\ell = +\infty$ et $\ell' \in \mathbb{R}$. Appliquons la définition de limite $+\infty$ avec $A = \ell' + 1$ : il existe un voisinage de $a$ sur lequel $f \ge \ell' + 1$. Appliquons la définition de limite finie avec $\varepsilon = 1/2$ : il existe un voisinage (éventuellement plus petit) sur lequel $|f - \ell'| \le 1/2$, donc $f \le \ell' + 1/2$. L'intersection des deux voisinages est non vide (adhérence) et impose $\ell' + 1 \le f(x) \le \ell' + 1/2$, contradiction. Le cas $\ell = -\infty$ est symétrique.
Les deux infinies, signes opposés. Supposons $\ell = +\infty$ et $\ell' = -\infty$. Appliquons la définition de limite $+\infty$ avec $A = 1$ et celle de limite $-\infty$ avec $A = -1$ : sur un voisinage commun de $a$, $f(x) \ge 1$ et $f(x) \le -1$, impossible.

Dans tous les cas, supposer $\ell \ne \ell'$ mène à une contradiction, donc $\ell = \ell'$.

Convention inclusive et limites trouées

Avec notre convention inclusive, une fonction définie en $a$ ne peut admettre une limite en $a$ que si cette limite vaut $f(a)$. Lorsqu'on veut ignorer la valeur en $a$ --- par exemple pour définir un prolongement par continuité (cf. la section Continuité en un point plus loin) ou pour décrire une discontinuité amovible --- on étudie la restriction de $f$ à $E \setminus \{a\}$ et on parle de limite trouée. Dans la suite, le mot « limite » sans qualificatif désigne toujours la limite inclusive ; le point de vue troué sera invoqué explicitement lorsque nécessaire.

Proposition — Borne locale

Soit $f : E \to \mathbb{R}$, $a \in \overline{\mathbb{R}}$ adhérent à $E$, et supposons que $f$ admette une limite finie $\ell \in \mathbb{R}$ en $a$. Alors $f$ est bornée sur un voisinage de $a$ dans $E$ :

si $a \in \mathbb{R}$ : $\exists \delta > 0, \exists M > 0, \forall x \in E \cap [a - \delta \,;\, a + \delta], |f(x)| \le M$;
si $a = +\infty$ : $\exists B \in \mathbb{R}, \exists M > 0, \forall x \in E \cap [B \,;\, +\infty[, |f(x)| \le M$;
si $a = -\infty$ : demi-droite symétrique $\,]-\infty \,;\, B]$.

Preuve

Appliquons la définition de limite avec $\varepsilon = 1$. On obtient un voisinage --- $[a - \delta \,;\, a + \delta]$ si $a \in \mathbb{R}$, $[B \,;\, +\infty[$ si $a = +\infty$, $\,]-\infty \,;\, B]$ si $a = -\infty$ --- sur lequel $|f(x) - \ell| \le 1$. Par l'inégalité triangulaire, $|f(x)| \le |\ell| + 1$ sur ce voisinage, donc $f$ est bornée par $M = |\ell| + 1$. Même argument dans les trois cas.

Compétences à pratiquer

Intégrer une limite uniforme sur un segment
Étudier la régularité d'une limite

II Séries de fonctions

II.1 Modes de convergence

Proposition — Limite et limites latérales

Soit $f : E \to \mathbb{R}$ et $a \in \mathbb{R}$ adhérent à la fois à $E \cap \,]a \,;\, +\infty[$ et à $E \cap \,]-\infty \,;\, a[$. Soit $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$.

Cas fini ($\ell \in \mathbb{R}$). $f$ admet la limite $\ell$ en $a$ si et seulement si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \ell$, $\lim_{x \to a^-} f(x) = \ell$, et (si $a \in E$) $f(a) = \ell$.
Cas infini ($\ell = \pm\infty$). Si $a \notin E$, $f$ admet la limite infinie $\ell$ en $a$ si et seulement si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \ell$ et $\lim_{x \to a^-} f(x) = \ell$. Si $a \in E$, P2.2 force la limite à valoir $f(a) \in \mathbb{R}$, donc avec la convention inclusive, aucune limite infinie n'est possible en un point défini.

La clause « $f(a) = \ell$ » dans le cas fini est imposée par P2.2.

Exemple

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x$ pour $x \ne 0$ et $f(0) = 1$. Montrer via P2.2 que $f$ n'admet pas de limite en $0$.

Correction

Soit $u_n \to 0$ avec $u_n \ne 0$. Alors $f(u_n) = u_n \to 0$, donc par Heine (anticipation de T3.1) toute limite $\ell$ de $f$ en $0$ vaudrait $0$. Mais $0 \in E = \mathbb{R}$, donc par P2.2 une telle $\ell$ vaudrait aussi $f(0) = 1$. Comme $0 \ne 1$, aucun $\ell$ ne convient, et $f$ n'a pas de limite en $0$ au sens inclusif. L'exemple illustre que la convention inclusive distingue « limite trouée en $0$ » et « limite inclusive en $0$ ».

Exemple

Montrer que $f(x) = \sin x$ est bornée sur un voisinage de $0$ sans calculer la limite, par P2.3 appliquée à la limite (évidente) $0$.

Correction

On a $\lim_{x \to 0} \sin x = 0$ (fait du lycée, rappelé dans Fonctions usuelles). Appliquons P2.3 : il existe $\delta > 0$ et $M > 0$ tels que $|\sin x| \le M$ pour $|x| \le \delta$. Concrètement, en prenant $\varepsilon = 1$ dans la preuve, $M = 1$ convient sur n'importe quel voisinage, mais l'intérêt de l'exemple est l'argument structurel : l'existence du majorant est automatique dès qu'il y a une limite finie.

Ex 4 Ex 5 Ex 6

Compétences à pratiquer

Démontrer la convergence normale

II.2 Régularité de la somme

Ex 7

Le théorème de Heine est l'outil le plus utile du chapitre : les limites de fonctions sont entièrement caractérisées par les limites de suites. Le sens direct est immédiat (appliquer la définition de limite à une suite convergente); le sens réciproque procède par contraposée et construit une suite témoin par négation de la définition de limite. Ce théorème unifie les chapitres de fonctions et de suites, et donne la méthode standard pour réfuter une limite (Méthode M3.1).

Exemple

Montrer que $\sin(1/x)$ n'a pas de limite en $0$.

Correction

Prenons $u_n = 1 / (n \pi)$ et $v_n = 1 / (\pi/2 + 2 n \pi)$ pour $n \ge 1$. Toutes deux sont dans $\mathbb{R}^*$ et tendent vers $0$. Leurs images : $$ \sin(1 / u_n) = \sin(n \pi) = 0 \to 0, \qquad \sin(1 / v_n) = \sin(\pi/2 + 2 n \pi) = 1 \to 1. $$ Les deux suites transférées tendent vers des limites distinctes ($0$ et $1$), donc par contraposée de Heine, $\sin(1/x)$ n'a pas de limite en $0$.

Exemple

(Anticipation du théorème de composition ; la continuité est définie dans la section Continuité en un point plus loin.) Montrer par Heine que si $f \to \ell \in \mathbb{R}$ en $a$ et $g$ est continue en $\ell$, alors $g \circ f \to g(\ell)$ en $a$.

Correction

Soit $(u_n)$ une suite quelconque du domaine de $f$ avec $u_n \to a$. Par Heine appliqué à $f$, $f(u_n) \to \ell$. Par Heine appliqué à $g$ (en utilisant la continuité de $g$ en $\ell$, soit $\lim_{y \to \ell} g(y) = g(\ell)$), $g(f(u_n)) \to g(\ell)$. La suite composée $(g \circ f)(u_n) = g(f(u_n))$ tend donc vers $g(\ell)$ pour toute suite $u_n \to a$, donc par Heine encore $g \circ f \to g(\ell)$ en $a$.

Ex 8 Ex 9

Sommes, produits, quotients et compositions de fonctions ayant une limite se comportent comme Heine l'indique : on transfère aux suites et on applique les règles correspondantes du chapitre Suites réelles. Le théorème d'encadrement complète la boîte à outils, et le théorème de la limite monotone --- conséquence directe du théorème des suites monotones --- assure l'existence des limites latérales pour une fonction monotone, sans hypothèse explicite de continuité.

Compétences à pratiquer

Étudier la régularité de la somme d'une série

III Approximation polynomiale uniforme

III.1 Théorème de Weierstrass

Proposition — Opérations algébriques sur les limites

Soit $f, g : E \to \mathbb{R}$, $a \in \overline{\mathbb{R}}$ adhérent à $E$, et supposons $f \to \ell$ et $g \to m$ en $a$ avec $\ell, m \in \mathbb{R}$. Alors :

$\textcolor{colorprop}{\lambda f + \mu g \to \lambda \ell + \mu m}$ pour tous $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ (combinaison linéaire);
$\textcolor{colorprop}{f g \to \ell m}$ (produit);
$\textcolor{colorprop}{f / g \to \ell / m}$ si $m \ne 0$ (quotient; puisque $g \to m \ne 0$, le choix $\varepsilon = |m|/2$ dans la définition de limite donne $|g(x) - m| \le |m|/2$, donc $|g(x)| \ge |m|/2 > 0$ sur un voisinage de $a$, et $g$ n'y annule pas).

La démonstration se ramène aux suites via Heine et aux règles correspondantes pour les suites du chapitre Suites réelles.

Proposition — Opérations avec des limites infinies

Les règles usuelles de calcul de P4.1 s'étendent aux limites dans $\overline{\mathbb{R}}$ dès que l'expression obtenue a un sens déterminé, avec les conditions de signe attendues pour les produits et les quotients (par exemple $\ell + (+\infty) = +\infty$ pour $\ell \in \mathbb{R}$ ; $\ell \cdot (+\infty) = +\infty$ si $\ell > 0$, $-\infty$ si $\ell < 0$ ; $1/(+\infty) = 0$). Les quatre formes indéterminées classiques sont : $$ \infty - \infty, \quad 0 \cdot \infty, \quad \infty / \infty, \quad 0 / 0. $$ Pour chaque forme indéterminée, la limite peut exister (et prendre une valeur quelconque, y compris $\pm\infty$) ou ne pas exister du tout; une analyse au cas par cas est nécessaire, typiquement en factorisant le terme dominant (M4.1).

Proposition — Passage à la limite dans une inégalité large

Soit $f, g : E \to \mathbb{R}$, $a$ adhérent à $E$, et supposons $f \le g$ sur un voisinage de $a$. Si $\textcolor{colorprop}{f \to \ell}$ et $\textcolor{colorprop}{g \to m}$ en $a$ avec $\ell, m \in \overline{\mathbb{R}}$, alors $\ell \le m$. L'inégalité stricte n'est pas conservée : $f(x) = -x^2 < 0 = g(x)$ sur $\mathbb{R}^*$ mais $\lim_{x \to 0} f = \lim_{x \to 0} g = 0$.

Theorem — Encadrement

Soit $f, g, h : E \to \mathbb{R}$, $a \in \overline{\mathbb{R}}$ adhérent à $E$. Supposons $f \le g \le h$ sur un voisinage de $a$ dans $E$ et $\textcolor{colorprop}{\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = \ell \in \mathbb{R}}$. Alors $g$ admet la limite $\ell$ en $a$.

Preuve

Par Heine, il suffit de montrer que pour toute suite $(u_n)$ du domaine vérifiant $u_n \to a$, $g(u_n) \to \ell$. Fixons une telle suite $(u_n)$. À partir d'un certain rang, $u_n$ appartient au voisinage où $f \le g \le h$, donc $f(u_n) \le g(u_n) \le h(u_n)$. Par Heine appliqué à $f$ et $h$, $f(u_n) \to \ell$ et $h(u_n) \to \ell$. Le théorème d'encadrement pour les suites (Suites réelles) donne $g(u_n) \to \ell$. Heine ($\Leftarrow$) conclut que $g \to \ell$ en $a$.

Proposition — Minoration$\virgule$ majoration et limites infinies

Soit $f, g : E \to \mathbb{R}$, $a$ adhérent à $E$.

Si $f \le g$ sur un voisinage de $a$ et $\textcolor{colorprop}{f \to +\infty}$ en $a$, alors $\textcolor{colorprop}{g \to +\infty}$ en $a$.
Si $g \le f$ sur un voisinage de $a$ et $\textcolor{colorprop}{f \to -\infty}$ en $a$, alors $\textcolor{colorprop}{g \to -\infty}$ en $a$.

C'est une minoration/majoration unilatérale; l'encadrement bilatéral n'a pas de sens pour des limites infinies puisque la borne supérieure ou inférieure doit elle-même diverger vers la même infinité.

Compétences à pratiquer

Appliquer le théorème de Weierstrass

III.2 Applications de Weierstrass

Proposition — Composition de limites

Soit $f : E \to F \subset \mathbb{R}$, $g : F \to \mathbb{R}$, $a \in \overline{\mathbb{R}}$ adhérent à $E$, $b \in \overline{\mathbb{R}}$ adhérent à $F$, et $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$. Si $\textcolor{colorprop}{f \to b}$ en $a$ et $\textcolor{colorprop}{g \to \ell}$ en $b$, alors $\textcolor{colorprop}{g \circ f \to \ell}$ en $a$.

Theorem — Théorème de la limite monotone

Soit $f : \,]a \,;\, b[ \to \mathbb{R}$ monotone (croissante ou décroissante), avec $a, b \in \overline{\mathbb{R}}$. Alors $f$ admet une limite (éventuellement infinie) à la borne gauche de l'intervalle (en $a^+$ si $a \in \mathbb{R}$, en $-\infty$ si $a = -\infty$) et à la borne droite (en $b^-$ si $b \in \mathbb{R}$, en $+\infty$ si $b = +\infty$). Admis (programme; conséquence directe du théorème des suites monotones du cours Suites réelles).

Exemple

Calculer $\lim_{x \to 0^+} x \sin(1/x)$ par encadrement.

Correction

Pour $x > 0$, $-1 \le \sin(1/x) \le 1$ multiplié par $x > 0$ donne $-x \le x \sin(1/x) \le x$. Quand $x \to 0^+$, les deux bornes tendent vers $0$. Par le théorème d'encadrement, $\lim_{x \to 0^+} x \sin(1/x) = 0$.

Exemple

Déterminer $\lim_{x \to 0} (x^2 + x)/x$.

Correction

Pour $x \ne 0$, $(x^2 + x)/x = x + 1$. Par P4.1, $\lim_{x \to 0} (x + 1) = 0 + 1 = 1$. Donc $\lim_{x \to 0} (x^2 + x)/x = 1$.

Exemple

Calculer $\lim_{x \to +\infty} (3 x^2 + 2 x + 1) / (x^2 - 4)$ par factorisation.

Correction

Factorisons $x^2$ au numérateur et au dénominateur : $$ \frac{3 x^2 + 2 x + 1}{x^2 - 4} = \frac{x^2 (3 + 2/x + 1/x^2)}{x^2 (1 - 4/x^2)} = \frac{3 + 2/x + 1/x^2}{1 - 4/x^2}. $$ Quand $x \to +\infty$, $2/x \to 0$, $1/x^2 \to 0$, $4/x^2 \to 0$. Par P4.1, le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur vers $1$, donc le quotient vers $3 / 1 = 3$.

Compétences à pratiquer

Exploiter Weierstrass via des fonctionnelles continues