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Endomorphismes autoadjoints

⌚ ~51 min ▢ 6 blocs ✓ 15 exercices ➣ Prérequis : Espaces préhilbertiens réels, Réduction : éléments propres, diagonalisation, Isométries d'un espace euclidien

Le chapitre Isométries d'un espace euclidien a attaché à tout endomorphisme $u$ d'un espace euclidien son adjoint $u^*$, l'endomorphisme qui fait passer le produit scalaire d'un côté à l'autre : $\langle u(x) \mid y\rangle = \langle x \mid u^*(y)\rangle$. Deux familles d'endomorphismes se distinguent alors. Les isométries, caractérisées par $u^* = u^{-1}$, étaient l'objet de ce chapitre. Les endomorphismes égaux à leur propre adjoint, $u^* = u$, sont l'objet de celui-ci --- les endomorphismes autoadjoints.
Le chapitre a trois sections. La première définit l'endomorphisme autoadjoint et le lit sur une matrice : dans une base orthonormée, autoadjoint signifie symétrique. La deuxième démontre le résultat phare, le théorème spectral --- un endomorphisme autoadjoint est diagonalisable dans une base orthonormée, ses valeurs propres sont réelles, ses sous-espaces propres sont orthogonaux. La troisième distingue les endomorphismes autoadjoints dont les valeurs $\langle u(x) \mid x\rangle$ gardent un signe --- les positifs --- et lit la positivité sur le spectre.
Notations permanentes. $E$ est un espace euclidien de dimension $n \geq 1$, de produit scalaire $\langle\cdot\mid\cdot\rangle$ et de norme $\|\cdot\|$ ; « BON » abrège « base orthonormée ». Pour $u \in \mathcal{L}(E)$, $u^*$ est son adjoint, $\operatorname{Sp}(u)$ son spectre, $\chi_u$ son polynôme caractéristique, $E_\lambda(u) = \ker(u - \lambda\operatorname{Id}_E)$ son sous-espace propre pour $\lambda$, $m(\lambda)$ la multiplicité de $\lambda$ comme racine de $\chi_u$. L'espace euclidien, la base orthonormée, le supplémentaire orthogonal $F^\perp$ et l'adjoint $u^*$ sont ceux d'Isométries d'un espace euclidien ; les éléments propres, le polynôme caractéristique et les critères de diagonalisabilité sont ceux de Réduction : éléments propres, diagonalisation.

I Endomorphismes autoadjoints

I.1 Endomorphismes autoadjoints

Rappelons d'Isométries d'un espace euclidien l'adjoint : tout $u \in \mathcal{L}(E)$ possède un unique adjoint $u^* \in \mathcal{L}(E)$ vérifiant $\langle u(x) \mid y\rangle = \langle x \mid u^*(y)\rangle$ pour tous $x, y$. L'endomorphisme autoadjoint est simplement celui qui coïncide avec son adjoint.

Définition — Endomorphisme autoadjoint

Un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ est autoadjoint lorsque $u^* = u$, c'est-à-dire $\langle u(x) \mid y\rangle = \langle x \mid u(y)\rangle$ pour tous $x, y \in E$. L'ensemble des endomorphismes autoadjoints de $E$ se note $\mathcal{S}(E)$.

Exemple — Une projection orthogonale

Soit $F$ un sous-espace de $E$ et $p_F$ la projection orthogonale sur $F$. Pour $x, y \in E$, écrivons $x = x_F + x_\perp$ et $y = y_F + y_\perp$ selon $E = F \oplus F^\perp$. Alors $\langle p_F(x) \mid y\rangle = \langle x_F \mid y_F + y_\perp\rangle = \langle x_F \mid y_F\rangle$, et symétriquement $\langle x \mid p_F(y)\rangle = \langle x_F \mid y_F\rangle$. Les deux sont égaux, donc $p_F$ est autoadjoint.

Exemple — Une symétrie orthogonale

La symétrie orthogonale $s_F$ par rapport à un sous-espace $F$ vérifie $s_F = 2p_F - \operatorname{Id}_E$. Rappelée d'Isométries d'un espace euclidien, une symétrie orthogonale est égale à son propre adjoint ; lue à travers la présente définition, $s_F$ est un endomorphisme autoadjoint. (C'est aussi une isométrie : $s_F^* = s_F = s_F^{-1}$.)

Exemple — Homothéties

Pour $\lambda \in \mathbb{R}$, l'homothétie $\lambda\operatorname{Id}_E$ est autoadjointe : $\langle \lambda x \mid y\rangle = \lambda\langle x \mid y\rangle = \langle x \mid \lambda y\rangle$. En particulier $0$ et $\operatorname{Id}_E$ appartiennent à $\mathcal{S}(E)$.

Proposition — L'ensemble des endomorphismes autoadjoints

$\mathcal{S}(E)$ est un \textcolor{colorprop}{sous-espace vectoriel} de $\mathcal{L}(E)$.

Preuve

L'application $\varphi : u \mapsto u^* - u$ est un endomorphisme de $\mathcal{L}(E)$ : l'adjonction $u \mapsto u^*$ est linéaire (rappelé d'Isométries d'un espace euclidien), de même que l'identité. Or $\mathcal{S}(E) = \{u : u^* = u\} = \ker\varphi$, noyau d'une application linéaire, donc sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$.

Méthode — Démontrer qu'un endomorphisme est autoadjoint

Trois voies. Directement : vérifier $\langle u(x) \mid y\rangle = \langle x \mid u(y)\rangle$ pour tous $x, y$. Par l'adjoint : calculer $u^*$ et le comparer à $u$. Par une matrice : grâce au critère de la sous-section suivante, vérifier que la matrice de $u$ dans une base orthonormée est symétrique.

L'identité de définition dit que le produit scalaire ne voit pas sur lequel des deux arguments $u$ agit.

Pour $u$ autoadjoint, le nombre $\langle u(x) \mid y\rangle$ est inchangé quand on déplace $u$ de $x$ vers $y$.

Compétences à pratiquer

Reconnaître un endomorphisme autoadjoint

I.2 Caractérisation matricielle et sous-espaces stables

Dans une base orthonormée, l'adjoint se calcule en transposant la matrice (rappelé d'Isométries d'un espace euclidien). Un endomorphisme autoadjoint est donc exactement un endomorphisme à matrice symétrique --- à condition que la base soit orthonormée.

Définition — Matrice symétrique

Une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est symétrique lorsque $M^\mathsf{T} = M$. L'ensemble des matrices symétriques de taille $n$ se note $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$.

Theorem — Caractérisation matricielle

Un endomorphisme $u$ est autoadjoint si et seulement si sa matrice dans \textcolor{colorprop}{une} (de façon équivalente, dans \textcolor{colorprop}{toute}) base orthonormée est symétrique.

Preuve

Soit $\mathcal{B}$ une base orthonormée et $M = \operatorname{Mat}_\mathcal{B}(u)$. Par la formule de l'adjoint en BON (rappelée), $\operatorname{Mat}_\mathcal{B}(u^*) = M^\mathsf{T}$. Donc $u^* = u \Leftrightarrow M^\mathsf{T} = M$ : l'autoadjonction lue dans une base orthonormée est la symétrie de $M$. Si cela vaut dans une base orthonormée, cela vaut dans toutes, l'égalité $u^* = u$ étant intrinsèque ; de façon équivalente, une matrice de passage entre deux bases orthonormées est orthogonale, et $P^\mathsf{T} M P$ est symétrique dès que $M$ l'est.

Exemple — Lire l'autoadjonction sur une matrice

Munissons $\mathbb{R}^3$ de son produit scalaire canonique, pour lequel la base canonique est orthonormée. L'endomorphisme de matrice $\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 4 & 2 & -3 \\ 0 & -3 & 5 \end{pmatrix}$ est autoadjoint, cette matrice étant symétrique. Sur $\mathbb{R}^2$ muni de son produit scalaire canonique, l'endomorphisme de matrice $\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ n'est pas autoadjoint, puisque $\begin{psmallmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 2 \end{psmallmatrix}^\mathsf{T} \neq \begin{psmallmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 2 \end{psmallmatrix}$.

Proposition — Dimension de $\mathcal{S}(E)$

$\dim\mathcal{S}(E) = \dim\mathcal{S}_n(\mathbb{R}) = \textcolor{colorprop}{\dfrac{n(n+1)}{2}}$.

Preuve

Fixons une base orthonormée $\mathcal{B}$. Par la caractérisation matricielle, $u \mapsto \operatorname{Mat}_\mathcal{B}(u)$ induit un isomorphisme linéaire de $\mathcal{S}(E)$ sur $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$, donc les deux espaces ont même dimension. Une matrice symétrique est déterminée par sa diagonale et son triangle supérieur strict, donc la famille $(E_{ii})_{1 \leq i \leq n} \cup (E_{ij} + E_{ji})_{1 \leq i < j \leq n}$ est une base de $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Elle a $n + \dfrac{n(n-1)}{2} = \dfrac{n(n+1)}{2}$ éléments.

Proposition — Stabilité du supplémentaire orthogonal

Soit $u$ autoadjoint et $F$ un sous-espace stable par $u$. Alors $F^\perp$ est \textcolor{colorprop}{aussi stable par $u$}.

Preuve

Par un résultat d'Isométries d'un espace euclidien, si $F$ est stable par $u$ alors $F^\perp$ est stable par l'adjoint $u^*$. Ici $u$ est autoadjoint, donc $u^* = u$, et l'énoncé devient : $F^\perp$ est stable par $u$.

Exemple — Un sous-espace stable et son orthogonal

Soit $u$ autoadjoint et $x$ un vecteur propre de $u$. La droite $F = \mathbb{R}x$ est stable par $u$, donc l'hyperplan $F^\perp$ est lui aussi stable par $u$. Itérer cette remarque sur $F^\perp$ est le moteur du théorème spectral de la section suivante.

Méthode — Utiliser le critère matriciel

Pour reconnaître un endomorphisme autoadjoint, lire sa matrice dans une base orthonormée et tester la symétrie $M^\mathsf{T} = M$. Attention : le test n'est valable que dans une base orthonormée --- une matrice symétrique dans une base non orthonormée ne signale pas un endomorphisme autoadjoint. Pour préparer une réduction, chercher un sous-espace stable $F$ : son orthogonal $F^\perp$ est alors stable lui aussi, et $u$ se découpe selon $E = F \oplus F^\perp$.

Pour un endomorphisme autoadjoint, un sous-espace stable $F$ entraîne son orthogonal $F^\perp$ : les deux sont stables, et l'étude de $u$ se scinde en deux.

La décomposition orthogonale $E = F \oplus F^\perp$ est respectée par $u$.

Compétences à pratiquer

Utiliser le critère matriciel et les sous-espaces stables

II Le théorème spectral

II.1 Valeurs propres réelles et sous-espaces propres orthogonaux

Deux faits préparent le théorème spectral : un endomorphisme autoadjoint n'a que des valeurs propres réelles --- en fait son polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{R}$ --- et ses sous-espaces propres pour des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

Proposition — Valeurs propres réelles

Soit $u$ autoadjoint. Toute racine complexe de $\chi_u$ est \textcolor{colorprop}{réelle} ; de façon équivalente, $\chi_u$ est \textcolor{colorprop}{scindé sur $\mathbb{R}$}. En particulier $u$ admet au moins une valeur propre.

Preuve

Soit $S$ la matrice de $u$ dans une base orthonormée : $S \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Le polynôme $\chi_u = \chi_S$ est dans $\mathbb{R}[X]$ et, par d'Alembert--Gauss, a une racine complexe $\lambda$. En voyant $S$ comme élément de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, l'équivalence valeur propre--racine de Réduction : éléments propres, diagonalisation, appliquée sur $\mathbb{C}$, fournit un vecteur propre complexe $X \in \mathbb{C}^n$, $X \neq 0$, avec $SX = \lambda X$.
Calculons $\overline{X}^\mathsf{T} S X$ de deux façons. D'une part $\overline{X}^\mathsf{T} S X = \overline{X}^\mathsf{T}(\lambda X) = \lambda\,\overline{X}^\mathsf{T} X$. D'autre part, $S$ étant réelle symétrique, $\overline{X}^\mathsf{T} S X = (\overline{S X})^\mathsf{T} X = (\overline{\lambda X})^\mathsf{T} X = \overline{\lambda}\,\overline{X}^\mathsf{T} X$. Comme $\overline{X}^\mathsf{T} X = \sum_{i} |x_i|^2 > 0$, la comparaison donne $\lambda = \overline{\lambda}$, donc $\lambda \in \mathbb{R}$. Le même argument vaut pour toute racine complexe de $\chi_u$, donc toutes ses racines sont réelles et $\chi_u$ est scindé sur $\mathbb{R}$.

Le calcul ci-dessus utilise un vecteur propre complexe $X \in \mathbb{C}^n$ et la quantité $\overline{X}^\mathsf{T} X = \sum_i |x_i|^2$. C'est une identité de coordonnées dans $\mathbb{C}^n$ ; aucune structure de produit scalaire hermitien n'est invoquée --- le produit scalaire hermitien est hors du programme de MP.

Exemple — Le cas $2 \times 2$

Une matrice symétrique $\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ a pour polynôme caractéristique $X^2 - (a+c)X + (ac - b^2)$, de discriminant $(a+c)^2 - 4(ac - b^2) = (a - c)^2 + 4b^2 \geq 0$. Les deux racines sont réelles --- comme l'annonce la Proposition --- et elles sont égales exactement lorsque $a = c$ et $b = 0$, c'est-à-dire lorsque la matrice est $a I_2$.

Proposition — Sous-espaces propres orthogonaux

Soit $u$ autoadjoint et $\lambda \neq \mu$ deux valeurs propres de $u$. Les sous-espaces propres $E_\lambda(u)$ et $E_\mu(u)$ sont \textcolor{colorprop}{orthogonaux}.

Preuve

Prenons $x \in E_\lambda(u)$ et $y \in E_\mu(u)$. L'autoadjonction donne $\langle u(x) \mid y\rangle = \langle x \mid u(y)\rangle$, soit $\langle \lambda x \mid y\rangle = \langle x \mid \mu y\rangle$, d'où $\lambda\langle x \mid y\rangle = \mu\langle x \mid y\rangle$. Donc $(\lambda - \mu)\langle x \mid y\rangle = 0$, et comme $\lambda \neq \mu$ on obtient $\langle x \mid y\rangle = 0$. Tout vecteur de $E_\lambda(u)$ est ainsi orthogonal à tout vecteur de $E_\mu(u)$.

Exemple — Droites propres orthogonales

L'endomorphisme de $\mathbb{R}^2$ de matrice $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ dans la base canonique (orthonormée) est autoadjoint. Ses valeurs propres sont $1$ et $3$, de vecteurs propres $(1, -1)$ et $(1, 1)$. Les deux vecteurs propres vérifient $\langle (1,-1) \mid (1,1)\rangle = 1 - 1 = 0$ : les droites propres sont orthogonales, comme l'assure la Proposition.

Méthode — Localiser les valeurs propres et tester l'orthogonalité

Pour un endomorphisme autoadjoint, les valeurs propres sont les racines de $\chi_u$ et elles sont toutes réelles --- aucune racine complexe à écarter. Une fois connus des vecteurs propres de valeurs propres distinctes, leur orthogonalité est automatique ; elle sert de vérification numérique d'un calcul.

Lorsqu'un endomorphisme autoadjoint du plan a deux valeurs propres distinctes, ses deux droites propres se coupent à angle droit.

Pour des valeurs propres distinctes $\lambda \neq \mu$, les sous-espaces propres $E_\lambda(u)$ et $E_\mu(u)$ sont orthogonaux.

Compétences à pratiquer

Valeurs propres et orthogonalité des sous-espaces propres

II.2 Le théorème spectral

Tout est en place pour le résultat phare : un endomorphisme autoadjoint n'est pas seulement diagonalisable, il est diagonalisable dans une base orthonormée. Lu sur les matrices, cela dit qu'une matrice symétrique réelle est diagonalisable orthogonalement.

Theorem — Théorème spectral

Soit $u$ un endomorphisme autoadjoint de $E$. Alors $u$ est \textcolor{colorprop}{diagonalisable dans une base orthonormée} : $E$ est la somme directe orthogonale des sous-espaces propres de $u$, et il existe une base orthonormée de $E$ formée de vecteurs propres de $u$.

Preuve

On démontre, par récurrence sur $n = \dim E \geq 0$, que tout endomorphisme autoadjoint d'un espace euclidien de dimension $n$ admet une base orthonormée de vecteurs propres. Pour $n \leq 1$ l'énoncé est immédiat (pour $n = 0$, la base vide).
Soit $n \geq 2$ et $u$ autoadjoint sur $E$ de dimension $n$. Par la Proposition « valeurs propres réelles », $u$ a une valeur propre réelle $\lambda$ ; le sous-espace propre $E_\lambda(u)$ est non nul et stable par $u$, donc $E_\lambda(u)^\perp$ est stable par $u$ (stabilité du supplémentaire orthogonal). Muni de la restriction de $\langle\cdot\mid\cdot\rangle$, le sous-espace $E_\lambda(u)^\perp$ est un espace euclidien, et l'endomorphisme induit $u_{|E_\lambda(u)^\perp}$ est autoadjoint pour cette structure. Sa dimension est $< n$, donc l'hypothèse de récurrence fournit une base orthonormée de $E_\lambda(u)^\perp$ formée de vecteurs propres de $u$.
Concaténons une base orthonormée de $E_\lambda(u)$ avec cette base propre orthonormée de $E_\lambda(u)^\perp$. Les deux blocs sont orthogonaux, $E_\lambda(u)^\perp$ étant par construction orthogonal à $E_\lambda(u)$ ; ensemble ils forment une base orthonormée de $E = E_\lambda(u) \oplus E_\lambda(u)^\perp$ faite de vecteurs propres de $u$. En regroupant les vecteurs de base par valeur propre, on exhibe $E$ comme somme directe orthogonale des sous-espaces propres.

Theorem — Théorème spectral$\virgule$ forme matricielle

Toute matrice symétrique réelle $M \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ est \textcolor{colorprop}{diagonalisable orthogonalement} : il existe une matrice orthogonale $P \in \operatorname{O}_n(\mathbb{R})$ telle que $P^\mathsf{T} M P = P^{-1} M P$ soit diagonale à coefficients réels.

Preuve

Munissons $\mathbb{R}^n$ de son produit scalaire canonique, pour lequel la base canonique $\mathcal{B}_0$ est orthonormée, et soit $u$ l'endomorphisme de matrice $M$ dans $\mathcal{B}_0$. $M$ étant symétrique, $u$ est autoadjoint (caractérisation matricielle). Le théorème spectral fournit une base orthonormée $\mathcal{B}$ de vecteurs propres de $u$ ; dans $\mathcal{B}$ la matrice de $u$ est diagonale à coefficients réels. La matrice de passage $P$ de $\mathcal{B}_0$ à $\mathcal{B}$ passe entre deux bases orthonormées, donc est orthogonale (rappelé d'Isométries d'un espace euclidien), et $P^\mathsf{T} M P = P^{-1} M P$ est cette matrice diagonale.

Exemple — Diagonaliser orthogonalement une matrice $3 \times 3$

Prenons $M = \begin{pmatrix} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 5 & 0 \\ 2 & 0 & 7 \end{pmatrix} \in \mathcal{S}_3(\mathbb{R})$. Son polynôme caractéristique est $\chi_M = (X - 3)(X - 6)(X - 9)$, donc $\operatorname{Sp}(M) = \{3, 6, 9\}$. Des vecteurs propres unitaires sont $\tfrac13(2, 2, -1)$ pour $3$, $\tfrac13(1, -2, -2)$ pour $6$, $\tfrac13(2, -1, 2)$ pour $9$ ; ils sont deux à deux orthogonaux, comme l'assure le théorème spectral. Avec $$ P = \frac13\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & -1 \\ -1 & -2 & 2 \end{pmatrix} \in \operatorname{O}_3(\mathbb{R}), \qquad P^\mathsf{T} M P = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}. $$

Exemple — Une réduction $2 \times 2$

Pour $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, les valeurs propres sont $1$ et $3$ de vecteurs propres orthonormés $\tfrac{1}{\sqrt2}(1, -1)$ et $\tfrac{1}{\sqrt2}(1, 1)$. Avec $P = \tfrac{1}{\sqrt2}\begin{psmallmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{psmallmatrix} \in \operatorname{O}_2(\mathbb{R})$, $P^\mathsf{T} M P = \begin{psmallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{psmallmatrix}$.

Exemple — Une valeur propre multiple

La matrice $M = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ a pour valeurs propres $2$, $2$, $0$ : la valeur propre $2$ est de multiplicité $2$, de plan propre $E_2(M) = \operatorname{Vect}\big((1,0,0),(0,1,1)\big)$. Les deux vecteurs cités sont déjà orthogonaux ; en les normalisant on obtient $(1,0,0)$ et $\tfrac{1}{\sqrt2}(0,1,1)$. Avec $\tfrac{1}{\sqrt2}(0,1,-1)$ engendrant $E_0(M)$, ils forment une base propre orthonormée. À l'intérieur d'un sous-espace propre de multiplicité $\geq 2$, le procédé de Gram--Schmidt produit les vecteurs orthonormés nécessaires.

Méthode — Diagonaliser orthogonalement une matrice symétrique

Étant donné $M \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ : calculer les valeurs propres à partir de $\chi_M$ (toutes réelles). Pour chaque valeur propre, trouver une base du sous-espace propre et l'orthonormaliser par Gram--Schmidt --- nécessaire seulement à l'intérieur d'un sous-espace propre de multiplicité $\geq 2$, les sous-espaces propres de valeurs propres distinctes étant déjà orthogonaux. En empilant ces vecteurs propres orthonormés en colonnes, on obtient $P \in \operatorname{O}_n(\mathbb{R})$ avec $P^\mathsf{T} M P$ diagonale.

La base propre orthonormée d'un endomorphisme autoadjoint donne les axes principaux : le long de ceux-ci $u$ agit par simples dilatations $\lambda_i$.

Dans la base propre orthonormée $(e_1, \dots, e_n)$, l'endomorphisme $u$ est la dilatation diagonale $e_i \mapsto \lambda_i e_i$.

Compétences à pratiquer

Diagonaliser orthogonalement une matrice symétrique

III Endomorphismes autoadjoints positifs

III.1 Endomorphismes autoadjoints positifs et définis positifs

Parmi les endomorphismes autoadjoints, ceux pour lesquels le nombre $\langle u(x) \mid x\rangle$ ne devient jamais négatif méritent un nom. Ce sont les positifs, et --- lorsqu'il est de plus strictement positif hors de l'origine --- les définis positifs.

Définition — Endomorphismes positifs et définis positifs

Un endomorphisme autoadjoint $u$ est positif lorsque $\langle u(x) \mid x\rangle \geq 0$ pour tout $x \in E$, et défini positif lorsque $\langle u(x) \mid x\rangle > 0$ pour tout $x \neq 0$. Leurs ensembles se notent $\mathcal{S}^+(E)$ et $\mathcal{S}^{++}(E)$. Les ensembles matriciels correspondants sont $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ --- les $A$ symétriques avec $X^\mathsf{T} A X \geq 0$ pour tout $X$ --- et $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ --- les $A$ symétriques avec $X^\mathsf{T} A X > 0$ pour tout $X \neq 0$.

Exemple — Une projection orthogonale

La projection orthogonale $p_F$ sur un sous-espace $F$ est autoadjointe, et $\langle p_F(x) \mid x\rangle = \langle p_F(x) \mid p_F(x) + (x - p_F(x))\rangle = \|p_F(x)\|^2 \geq 0$ (le second terme est orthogonal à $F$). Donc $p_F \in \mathcal{S}^+(E)$. Elle n'appartient à $\mathcal{S}^{++}(E)$ que lorsque $F = E$ : pour $F \neq E$, un $x \in F^\perp$ non nul donne $\langle p_F(x) \mid x\rangle = 0$.

Exemple — L'endomorphisme $v^* \circ v$

Pour tout $v \in \mathcal{L}(E)$, l'endomorphisme $v^* \circ v$ est autoadjoint, car $(v^* v)^* = v^* v^{**} = v^* v$, et positif : $\langle v^* v(x) \mid x\rangle = \langle v(x) \mid v(x)\rangle = \|v(x)\|^2 \geq 0$. Donc $v^* \circ v \in \mathcal{S}^+(E)$ pour tout $v$.

Exemple — Homothéties et les inclusions

Pour $\lambda > 0$, l'homothétie $\lambda\operatorname{Id}_E$ vérifie $\langle \lambda x \mid x\rangle = \lambda\|x\|^2 > 0$ pour $x \neq 0$, donc $\lambda\operatorname{Id}_E \in \mathcal{S}^{++}(E)$ ; en particulier $\operatorname{Id}_E \in \mathcal{S}^{++}(E)$. Des définitions, $\mathcal{S}^{++}(E) \subset \mathcal{S}^+(E) \subset \mathcal{S}(E)$.

Méthode — Tester la positivité par la forme quadratique

Pour décider si un endomorphisme autoadjoint $u$ est positif, étudier le signe de $x \mapsto \langle u(x) \mid x\rangle$ : il est positif lorsque ce nombre est $\geq 0$ partout, défini positif lorsqu'il est $> 0$ hors de l'origine. Sur les matrices, avec la structure euclidienne canonique de $\mathbb{R}^n$, c'est le signe de $X \mapsto X^\mathsf{T} A X$. La caractérisation spectrale de la sous-section suivante tranche en général plus vite.

Pour $u$ défini positif et $c > 0$, les lignes de niveau $\langle u(x) \mid x\rangle = c$ sont des ellipses (des ellipsoïdes en dimension supérieure), emboîtées autour de l'origine.

La forme quadratique $x \mapsto \langle u(x) \mid x\rangle$ d'un endomorphisme défini positif a des lignes de niveau elliptiques.

Compétences à pratiquer

Reconnaître un endomorphisme positif

III.2 Caractérisation spectrale

Le théorème spectral transforme la positivité en une condition sur le spectre : un endomorphisme autoadjoint est positif exactement lorsque ses valeurs propres sont $\geq 0$.

Proposition — Caractérisation spectrale de la positivité

Soit $u$ un endomorphisme autoadjoint. Alors $$ u \in \mathcal{S}^+(E) \iff \textcolor{colorprop}{\operatorname{Sp}(u) \subset \mathbb{R}_+}, \qquad u \in \mathcal{S}^{++}(E) \iff \textcolor{colorprop}{\operatorname{Sp}(u) \subset \mathbb{R}_+^*}. $$

Preuve

Supposons $u \in \mathcal{S}^+(E)$ et soit $\lambda$ une valeur propre, $u(x) = \lambda x$ avec $x \neq 0$. Alors $0 \leq \langle u(x) \mid x\rangle = \lambda\|x\|^2$, donc $\lambda \geq 0$.
Réciproquement, supposons $\operatorname{Sp}(u) \subset \mathbb{R}_+$. Par le théorème spectral il existe une base propre orthonormée $(e_1, \dots, e_n)$, $u(e_i) = \lambda_i e_i$ avec chaque $\lambda_i \geq 0$. En écrivant $x = \sum_i x_i e_i$, la base étant orthonormée donne $\langle u(x) \mid x\rangle = \sum_i \lambda_i x_i^2 \geq 0$, donc $u \in \mathcal{S}^+(E)$.
Pour la version stricte : si $u \in \mathcal{S}^{++}(E)$ le même premier pas donne $\lambda\|x\|^2 > 0$, donc $\lambda > 0$. Réciproquement si tout $\lambda_i > 0$, alors pour $x \neq 0$ un $x_i \neq 0$ et $\langle u(x) \mid x\rangle = \sum_i \lambda_i x_i^2 > 0$.

Exemple — Décider la positivité sur les valeurs propres

La matrice $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, de valeurs propres $1$ et $3$, toutes deux $> 0$, est dans $\mathcal{S}_2^{++}(\mathbb{R})$. La matrice $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, de valeurs propres $0$ et $2$, est dans $\mathcal{S}_2^+(\mathbb{R})$ mais pas dans $\mathcal{S}_2^{++}(\mathbb{R})$. La matrice $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, de valeurs propres $-1$ et $3$, n'est dans aucun des deux.

Proposition — Racine carrée positive

Tout $u \in \mathcal{S}^+(E)$ admet une \textcolor{colorprop}{unique} racine carrée autoadjointe positive : un $w \in \mathcal{S}^+(E)$ avec $w^2 = u$, noté $\sqrt{u}$. Elle appartient à $\mathcal{S}^{++}(E)$ exactement lorsque $u$ y appartient.

Preuve

Existence. Par le théorème spectral, fixons une base propre orthonormée $(e_1, \dots, e_n)$, $u(e_i) = \lambda_i e_i$ ; les valeurs propres $\lambda_i \geq 0$ par la caractérisation spectrale. Soit $w$ l'endomorphisme avec $w(e_i) = \sqrt{\lambda_i}\,e_i$. Sa matrice dans la base orthonormée $(e_i)$ est diagonale, donc symétrique, donc $w$ est autoadjoint ; ses valeurs propres $\sqrt{\lambda_i} \geq 0$ font $w \in \mathcal{S}^+(E)$ ; et $w^2(e_i) = \lambda_i e_i = u(e_i)$, donc $w^2 = u$. Il est inversible ssi tout $\lambda_i > 0$, c'est-à-dire ssi $u \in \mathcal{S}^{++}(E)$.
Unicité. Soit $w \in \mathcal{S}^+(E)$ avec $w^2 = u$. Alors $w$ commute avec $u = w^2$, donc $w$ stabilise chaque sous-espace propre $E_\lambda(u)$. La restriction $w_{|E_\lambda(u)}$ est autoadjointe positive avec $(w_{|E_\lambda(u)})^2 = \lambda\operatorname{Id}$ ; toute valeur propre $\mu \geq 0$ de cette restriction vérifie $\mu^2 = \lambda$, forçant $\mu = \sqrt{\lambda}$. Diagonalisable de seule valeur propre $\sqrt{\lambda}$, la restriction vaut $\sqrt{\lambda}\operatorname{Id}$ sur $E_\lambda(u)$. Donc $w$ coïncide avec $\sqrt{u}$ sur chaque sous-espace propre, donc sur $E$.

Proposition — Factorisation \(u

Un endomorphisme autoadjoint $u$ appartient à $\mathcal{S}^+(E)$ si et seulement si $u = v^* \circ v$ pour \textcolor{colorprop}{un certain $v \in \mathcal{L}(E)$} ; il appartient à $\mathcal{S}^{++}(E)$ si et seulement si un tel $v$ peut être choisi dans $\operatorname{GL}(E)$.

Preuve

$(\Leftarrow)$ Pour tout $v$, $v^* v$ est autoadjoint et $\langle v^* v(x) \mid x\rangle = \|v(x)\|^2 \geq 0$, donc $v^* v \in \mathcal{S}^+(E)$. Si de plus $v \in \operatorname{GL}(E)$, alors $v(x) \neq 0$ pour tout $x \neq 0$, donc $\|v(x)\|^2 > 0$ et $v^* v \in \mathcal{S}^{++}(E)$.
$(\Rightarrow)$ Si $u \in \mathcal{S}^+(E)$, prendre $v = \sqrt{u}$ : il est autoadjoint, donc $v^* \circ v = v^2 = u$. Par la Proposition précédente $\sqrt{u}$ est inversible exactement lorsque $u \in \mathcal{S}^{++}(E)$, ce qui donne le cas strict.

Exemple — La forme bilinéaire de Gram

Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. La forme bilinéaire $(X, Y) \mapsto X^\mathsf{T} A Y$ sur $\mathbb{R}^n$ est symétrique ; c'est un produit scalaire si et seulement si elle est définie positive, soit $X^\mathsf{T} A X > 0$ pour $X \neq 0$ --- exactement la condition $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$. Les matrices symétriques définies positives sont donc précisément les matrices qui définissent un produit scalaire sur $\mathbb{R}^n$.

Méthode — Utiliser la caractérisation spectrale

Pour décider la positivité, calculer le spectre : $u$ est positif ssi toutes les valeurs propres sont $\geq 0$, défini positif ssi toutes sont $> 0$ --- plus rapide que de manier $\langle u(x) \mid x\rangle$ directement. Pour produire un endomorphisme positif, l'écrire $v^* \circ v$ ; pour extraire une racine carrée d'un endomorphisme positif, utiliser $\sqrt{u}$.

Les endomorphismes définis positifs sont à l'intérieur des positifs, eux-mêmes à l'intérieur des autoadjoints.

Les inclusions strictes sont $\mathcal{S}^{++}(E) \subset \mathcal{S}^+(E) \subset \mathcal{S}(E)$. Au sein de $\mathcal{S}(E)$ --- où le spectre est déjà réel, $u$ étant autoadjoint --- l'appartenance aux deux ensembles intérieurs se lit sur le spectre par la caractérisation spectrale : $u \in \mathcal{S}^+(E)$ ssi $\operatorname{Sp}(u) \subset \mathbb{R}_+$, et $u \in \mathcal{S}^{++}(E)$ ssi $\operatorname{Sp}(u) \subset \mathbb{R}_+^*$.

Pour aller plus loin

Le théorème spectral est le moteur de plusieurs constructions juste hors de portée de ce chapitre : la réduction d'une forme quadratique en somme de carrés, la décomposition polaire $M = \Omega R$ d'une matrice inversible en un facteur orthogonal et un facteur défini positif, et la décomposition en valeurs singulières d'une matrice quelconque. La section « Pour aller plus loin » de la feuille d'exercices les explore.

Compétences à pratiquer

Utiliser la caractérisation spectrale