CommeUnJeu · L2 MP

Anneaux, arithmétique et algèbres

⌚ ~115 min ▢ 14 blocs ✓ 24 exercices ➣ Prérequis : Structures algébriques usuelles, Arithmétique dans $\mathbb{Z}$, Arithmétique des polynômes, Compléments sur les groupes

Pourquoi ce chapitre

En MPSI, les anneaux et les corps ont été construits comme structures, et l'arithmétique de $\mathbb{Z}$ et de $\mathbb{K}[X]$ — divisibilité, PGCD, Bézout — développée deux fois, une fois de chaque côté. Ce chapitre unifie les deux autour d'une seule idée : l'idéal, une partie d'un anneau absorbante pour la multiplication.
Les trois mêmes énoncés sont alors démontrés une fois pour $\mathbb{Z}$ et une fois pour $\mathbb{K}[X]$ : tout idéal est principal (engendré par un élément), le PGCD est exactement le générateur d'une somme d'idéaux, et la relation de Bézout exprime ce générateur. Le parallèle entre les deux est la leçon — et c'est pourquoi le chapitre les traite dans le même langage.
Les résultats phares sont entre les deux : $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, vu dans Compléments sur les groupes seulement comme groupe additif, devient un anneau ; c'est un corps exactement lorsque $n$ est premier ; le théorème chinois le scinde en facteurs premiers entre eux ; et le théorème d'Euler généralise le petit théorème de Fermat. Le chapitre se termine par les algèbres, les structures — comme $\mathbb{K}[X]$ ou $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ — qui sont à la fois un espace vectoriel et un anneau.

Conventions

On adopte les conventions et la notation rappelée suivantes.

Anneaux. Dans les §§1--4, $A$ désigne un anneau commutatif ; $0_A$, $1_A$ sont ses neutres, $A^\times$ son groupe des inversibles. Anneaux, sous-anneaux, morphismes d'anneaux (avec $\varphi(1_A)=1_B$), noyaux et anneaux intègres sont utilisés tels qu'établis dans Structures algébriques usuelles. Le § 5 autorise délibérément des anneaux non commutatifs.
Idéaux. $xA$ désigne l'idéal principal engendré par $x$, noté aussi $(x)$.
Arithmétique. Divisibilité, PGCD, PPCM, Bézout et Gauss dans $\mathbb{Z}$ et dans $\mathbb{K}[X]$, et les congruences modulo $n$, sont utilisés tels qu'établis dans Arithmétique dans $\mathbb{Z}$ et Arithmétique des polynômes. Un PGCD est pris positif dans $\mathbb{Z}$ et unitaire dans $\mathbb{K}[X]$.
Cadres. Dans le § 3, $n$ est un entier $\ge 2$. Dans le § 4, $\mathbb{K}$ est un sous-corps de $\mathbb{C}$.

I Compléments sur les anneaux

I.1 Produits finis d'anneaux

La première construction traite plusieurs anneaux d'un coup : sur le produit cartésien d'un nombre fini d'anneaux, l'addition et la multiplication effectuées coordonnée par coordonnée redonnent un anneau. C'est l'anneau ambiant dans lequel vivra le théorème chinois du § 3.

Proposition — Anneau produit

Soient $A_1, \dots, A_p$ des anneaux. Le produit cartésien $A_1 \times \dots \times A_p$, muni des lois coordonnée par coordonnée $$ (x_1, \dots, x_p) + (y_1, \dots, y_p) = (x_1 + y_1, \dots, x_p + y_p), \qquad (x_1, \dots, x_p) \times (y_1, \dots, y_p) = (x_1 y_1, \dots, x_p y_p), $$ est un anneau, de zéro $(0_{A_1}, \dots, 0_{A_p})$ et d'unité $(1_{A_1}, \dots, 1_{A_p})$ ; il est commutatif lorsque chaque $A_i$ l'est. Ses inversibles sont exactement les uplets d'inversibles : $(A_1 \times \dots \times A_p)^\times = A_1^\times \times \dots \times A_p^\times$.

Preuve

Chaque axiome d'anneau est une identité entre uplets, et une identité d'uplets est vraie si et seulement si elle l'est dans chaque coordonnée ; comme chaque $A_i$ est un anneau, chaque axiome est vérifié coordonnée par coordonnée, donc dans le produit. Pour les inversibles : $(x_1, \dots, x_p)$ a pour inverse $(y_1, \dots, y_p)$ si et seulement si $x_i y_i = y_i x_i = 1_{A_i}$ pour tout $i$, c'est-à-dire si et seulement si chaque $x_i$ est inversible dans $A_i$.

Exemple — Le produit $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$

L'anneau $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ est commutatif mais non intègre : $(1, 0)$ et $(0, 1)$ sont tous deux non nuls, et pourtant $(1, 0) \times (0, 1) = (0, 0)$. Un produit fini d'anneaux intègres (avec au moins deux facteurs non nuls) possède toujours de tels diviseurs de zéro.

Exemple — Inversibles d'un produit

Dans $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$, comme $\mathbb{Z}^\times = \{-1, 1\}$, les inversibles sont les quatre uplets $(\pm 1, \pm 1)$. Le produit des anneaux à deux éléments $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$ a de même pour seul inversible $(\bar 1, \bar 1)$, puisque $\bar 1$ est l'unique inversible de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

Compétences à pratiquer

Calculer dans un anneau produit

I.2 Idéaux d'un anneau commutatif

On rencontre maintenant l'objet central du chapitre. Un idéal d'un anneau commutatif est un sous-groupe de plus absorbant : multiplier l'un de ses éléments par n'importe quel élément de l'anneau garde le résultat à l'intérieur. L'exemple moteur est le noyau d'un morphisme d'anneaux — et, comme dans $\mathbb{Z}$, les idéaux sont exactement ce qu'il faut pour parler de divisibilité de manière intrinsèque.

Définition — Idéal

Soit $A$ un anneau commutatif. Une partie $I \subseteq A$ est un idéal de $A$ lorsque

$I$ est un sous-groupe de $(A, +)$ ;
$I$ est absorbant : pour tout $x \in I$ et tout $a \in A$, $ax \in I$.

Exemple — Les idéaux triviaux et $n\mathbb{Z}$

Dans tout anneau commutatif $A$, $\{0_A\}$ et $A$ lui-même sont des idéaux. Dans $\mathbb{Z}$, pour chaque $n \in \mathbb{N}$ l'ensemble $n\mathbb{Z}$ des multiples de $n$ est un idéal : c'est un sous-groupe de $(\mathbb{Z}, +)$, et $a \cdot (nk) = n(ak) \in n\mathbb{Z}$ pour tout $a$.

Proposition — Le noyau est un idéal

Soit $\varphi : A \to B$ un morphisme d'anneaux dont la source $A$ est commutative (le but $B$ quelconque). Alors $\operatorname{Ker}\varphi$ est un idéal de $A$.

Preuve

On rappelle de Structures algébriques usuelles que $\varphi$ est en particulier un morphisme de groupes $(A, +) \to (B, +)$, donc $\operatorname{Ker}\varphi$ est un sous-groupe de $(A, +)$. Il reste à vérifier l'absorption. Soient $x \in \operatorname{Ker}\varphi$ et $a \in A$. Alors $$ \varphi(ax) = \varphi(a)\,\varphi(x) = \varphi(a)\,0_B = 0_B, $$ donc $ax \in \operatorname{Ker}\varphi$. Ainsi $\operatorname{Ker}\varphi$ est un idéal de $A$.

Exemple — Noyau d'un morphisme d'évaluation

Pour $a \in \mathbb{K}$, l'application d'évaluation $\operatorname{ev}_a : \mathbb{K}[X] \to \mathbb{K}$, $P \mapsto P(a)$, est un morphisme d'anneaux de source commutative $\mathbb{K}[X]$. Son noyau $$ \operatorname{Ker}(\operatorname{ev}_a) = \{P \in \mathbb{K}[X] \mid P(a) = 0\} $$ est donc un idéal de $\mathbb{K}[X]$ — les polynômes s'annulant en $a$. Son générateur principal $X - a$ est identifié au §4.1.

Proposition — Stabilité des idéaux

Soient $I_1, \dots, I_p$ des idéaux d'un anneau commutatif $A$. Alors :

l'intersection $I_1 \cap \dots \cap I_p$ est un idéal de $A$ ;
la somme $I_1 + \dots + I_p = \{x_1 + \dots + x_p \mid x_k \in I_k\}$ est un idéal de $A$.

Preuve

Intersection. Une intersection de sous-groupes est un sous-groupe. Si $x$ appartient à tous les $I_k$ et $a \in A$, alors $ax \in I_k$ pour tout $k$ (chaque $I_k$ absorbant), donc $ax$ appartient à l'intersection. L'intersection est un idéal.
Somme. Il suffit de traiter $p = 2$ puis de récurrer. $I_1 + I_2$ est un sous-groupe de $(A,+)$ (somme de deux sous-groupes). Pour $a \in A$ et $x_1 + x_2$ avec $x_k \in I_k$, $a(x_1 + x_2) = ax_1 + ax_2$ avec $ax_k \in I_k$, donc $a(x_1+x_2) \in I_1 + I_2$. Le cas général suit par récurrence sur $p$.

Compétences à pratiquer

Identifier les idéaux d'un anneau

I.3 Idéal engendré et divisibilité

Parmi tous les idéaux, les plus simples sont ceux bâtis sur un seul élément. L'ensemble de ses multiples est déjà un idéal — le plus petit contenant cet élément. Ces idéaux principaux transforment la divisibilité en une affaire d'inclusion : $a$ divise $b$ exactement lorsque l'idéal de $b$ est inclus dans celui de $a$.

Définition — Idéal principal

Soient $A$ un anneau commutatif et $x \in A$. L'idéal principal engendré par $x$ est $$ xA = \{xa \mid a \in A\}, $$ noté aussi $(x)$.

Proposition — $xA$ est le plus petit idéal contenant $x$

Pour $x$ dans un anneau commutatif $A$, l'ensemble $xA$ est un idéal de $A$, il contient $x$, et il est contenu dans tout idéal de $A$ contenant $x$.

Preuve

$xA$ est un sous-groupe : $0_A = x\,0_A \in xA$, et $xa - xb = x(a-b) \in xA$. Il est absorbant : pour $c \in A$, $c(xa) = x(ca) \in xA$. Donc $xA$ est un idéal, et $x = x\,1_A \in xA$. Enfin, soit $I$ un idéal contenant $x$ ; pour tout $a \in A$, $xa \in I$ puisque $I$ est absorbant, donc $xA \subseteq I$.

Exemple — Deux idéaux principaux

Dans $\mathbb{Z}$, l'idéal principal $(n) = n\mathbb{Z}$ est l'ensemble des multiples de $n$. Dans $\mathbb{K}[X]$, l'idéal principal $(X - a) = (X - a)\,\mathbb{K}[X]$ est l'ensemble des multiples polynomiaux de $X - a$ — exactement les polynômes s'annulant en $a$, le noyau rencontré au §1.2.

Définition — Divisibilité dans un anneau intègre

Soient $A$ un anneau commutatif intègre et $a, b \in A$. On dit que $a$ divise $b$, noté $a \mid b$, lorsque $b = ac$ pour un certain $c \in A$. Deux éléments $a, b$ sont associés, noté $a \sim b$, lorsque $a = ub$ pour un certain inversible $u \in A^\times$.

Exemple — Associés dans deux anneaux familiers

Dans $\mathbb{Z}$ les inversibles sont $\mathbb{Z}^\times = \{1, -1\}$, donc chaque entier non nul $n$ possède exactement un associé autre que lui-même, à savoir $-n$ : $3 \sim -3$, $12 \sim -12$ ; seul $0$ est égal à son propre opposé. Dans $\mathbb{K}[X]$ les inversibles sont les constantes non nulles $\mathbb{K}^\times$, donc $X - 1 \sim 2(X - 1) \sim -\tfrac{1}{3}(X - 1)$ : un polynôme et tous ses multiples scalaires non nuls sont associés, ce qui justifie le choix du représentant unitaire.

Proposition — Divisibilité par les idéaux

Soient $A$ un anneau commutatif intègre et $a, b \in A$. Alors $$ a \mid b \iff bA \subseteq aA, \qquad\text{et}\qquad a \sim b \iff aA = bA. $$

Preuve

$(\Rightarrow)$ pour la divisibilité. Si $a \mid b$, écrivons $b = ac$. Alors tout multiple $bd = a(cd)$ appartient à $aA$, donc $bA \subseteq aA$.
$(\Leftarrow)$ pour la divisibilité. Si $bA \subseteq aA$, alors en particulier $b = b\,1_A \in aA$, donc $b = ac$ pour un certain $c$, c'est-à-dire $a \mid b$.
Associés. $a \sim b$ signifie $a = ub$, $u \in A^\times$ ; alors $b \mid a$, et $b = u^{-1}a$ donne $a \mid b$, donc $aA \subseteq bA$ et $bA \subseteq aA$, soit $aA = bA$. Réciproquement $aA = bA$ donne $a \mid b$ et $b \mid a$ : écrivons $a = ub$ et $b = va$, d'où $a = uva$. Si $a = 0$ alors $b = 0$ et $a \sim b$ ; si $a \neq 0$, l'intégrité simplifie $a$ dans $a = (uv)a$, donnant $uv = 1_A$, donc $u \in A^\times$ et $a \sim b$.

Exemple — Le treillis des diviseurs d'un entier

Pour $\mathbb{Z}$, l'inclusion d'idéaux renverse la divisibilité : $d \mid 12 \iff 12\mathbb{Z} \subseteq d\mathbb{Z}$, donc un diviseur plus grand donne un idéal plus petit. Les six diviseurs positifs de $12$, ordonnés par divisibilité, forment le treillis ci-dessous — lu vers le haut c'est l'ordre de divisibilité, lu en idéaux c'est l'inclusion renversée.

Méthode — Lire la divisibilité sur les idéaux

Pour transformer une question de divisibilité dans un anneau intègre en une question d'idéaux : remplacer « $a \mid b$ » par « $bA \subseteq aA$ », et « $a$ et $b$ associés » par « $aA = bA$ ». L'inclusion d'idéaux se manipule souvent plus aisément — sommes et intersections d'idéaux sont encore des idéaux (§1.2), ce que la relation de divisibilité élément par élément n'offre pas directement.

Compétences à pratiquer

Exprimer la divisibilité par les idéaux

II Les idéaux de $\mathbb{Z}$

II.1 Les idéaux de $\mathbb{Z}$

Le premier fil — anneaux et idéaux en général — se referme ; le deuxième commence, où la notion abstraite d'idéal est éprouvée sur $\mathbb{Z}$. Compléments sur les groupes a montré que les sous-groupes de $(\mathbb{Z}, +)$ sont exactement les $n\mathbb{Z}$ ; un idéal est un sous-groupe, et dans $\mathbb{Z}$ tout sous-groupe se trouve être automatiquement absorbant — donc les idéaux de $\mathbb{Z}$ sont précisément les $n\mathbb{Z}$, tous principaux.

Theorem — Idéaux de $\mathbb{Z}$

Les idéaux de $\mathbb{Z}$ sont exactement les parties $n\mathbb{Z}$ pour $n \in \mathbb{N}$. Tout idéal de $\mathbb{Z}$ est principal : $n\mathbb{Z} = (n)$.

Preuve

Chaque $n\mathbb{Z}$ est un idéal (§1.2). Réciproquement, soit $I$ un idéal de $\mathbb{Z}$. En particulier $I$ est un sous-groupe de $(\mathbb{Z}, +)$, donc par la classification des sous-groupes de $\mathbb{Z}$ rappelée de Compléments sur les groupes, $I = n\mathbb{Z}$ pour un unique $n \in \mathbb{N}$. Ainsi les idéaux de $\mathbb{Z}$ sont exactement les $n\mathbb{Z} = (n)$, tous principaux.

Exemple — Sommes et intersections dans $\mathbb{Z}$

Comme tout idéal de $\mathbb{Z}$ est un certain $d\mathbb{Z}$, les opérations du §1.2 produisent des idéaux de la même forme : $2\mathbb{Z} + 3\mathbb{Z} = \mathbb{Z} = 1\mathbb{Z}$ (car $1 = 3 - 2$), tandis que $2\mathbb{Z} \cap 3\mathbb{Z} = 6\mathbb{Z}$ (les multiples communs de $2$ et $3$). La sous-section suivante lit $d$ et l'indice de l'intersection comme un PGCD et un PPCM.

Compétences à pratiquer

Déterminer les idéaux de $\mathbb{Z}$

II.2 PGCD et Bézout par les idéaux

Une somme $a_1\mathbb{Z} + \dots + a_n\mathbb{Z}$ d'idéaux principaux est un idéal de $\mathbb{Z}$, donc égale à un unique $d\mathbb{Z}$. Cet $d$ est le PGCD — et cette définition par les idéaux reproduit le PGCD de première année et fournit la relation de Bézout presque gratuitement.

Définition — PGCD de $n$ entiers par les idéaux

Soient $a_1, \dots, a_n \in \mathbb{Z}$ avec $n \ge 2$. La somme $a_1\mathbb{Z} + \dots + a_n\mathbb{Z}$ est un idéal de $\mathbb{Z}$, égal à un unique $d\mathbb{Z}$ avec $d \in \mathbb{N}$ ; cet $d$ est le plus grand commun diviseur $\gcd(a_1, \dots, a_n)$. De même l'intersection $a_1\mathbb{Z} \cap \dots \cap a_n\mathbb{Z}$ égale un unique $m\mathbb{Z}$, $m \in \mathbb{N}$ ; cet $m$ est le plus petit commun multiple.

Proposition — Accord avec le PGCD et le PPCM de première année

L'entier $d$ ci-dessus est exactement le PGCD d'Arithmétique dans $\mathbb{Z}$ — le plus grand, pour la divisibilité, des diviseurs communs de $a_1, \dots, a_n$ — et $m$ est le PPCM de première année.

Preuve

Un entier $c$ divise tous les $a_i$ ssi $a_i \in c\mathbb{Z}$ pour tout $i$, ssi $a_i\mathbb{Z} \subseteq c\mathbb{Z}$ pour tout $i$, ssi $d\mathbb{Z} = \sum a_i\mathbb{Z} \subseteq c\mathbb{Z}$, ssi $c \mid d$. Donc les diviseurs communs des $a_i$ sont exactement les diviseurs de $d$ ; $d$ en est donc le plus grand pour la divisibilité — le PGCD de première année. Dualement, $c$ est un multiple commun des $a_i$ ssi $c\mathbb{Z} \subseteq a_i\mathbb{Z}$ pour tout $i$, ssi $c\mathbb{Z} \subseteq \bigcap a_i\mathbb{Z} = m\mathbb{Z}$, ssi $m \mid c$ ; donc $m$ est le PPCM de première année.

Proposition — Bézout

Soient $a_1, \dots, a_n \in \mathbb{Z}$ avec $n \ge 2$. Il existe des entiers $u_1, \dots, u_n$ tels que $$ \gcd(a_1, \dots, a_n) = a_1 u_1 + \dots + a_n u_n. $$ En particulier les $a_i$ sont premiers entre eux dans leur ensemble — c'est-à-dire $\gcd(a_1, \dots, a_n) = 1$, pas nécessairement deux à deux — si et seulement si $a_1 u_1 + \dots + a_n u_n = 1$ pour certains entiers $u_i$.

Preuve

Par définition $d\mathbb{Z} = a_1\mathbb{Z} + \dots + a_n\mathbb{Z}$, et $d \in d\mathbb{Z}$, donc $d$ est une somme $a_1 u_1 + \dots + a_n u_n$ avec $u_i \in \mathbb{Z}$. Pour l'équivalence : si $d = 1$ la relation ci-dessus donne $\sum a_i u_i = 1$ ; réciproquement si $\sum a_i u_i = 1$ alors $1 \in \sum a_i\mathbb{Z} = d\mathbb{Z}$, donc $d \mid 1$, d'où $d = 1$.

Proposition — Lemme de Gauss

Soient $a, b, c \in \mathbb{Z}$. Si $a \mid bc$ et $\gcd(a, b) = 1$, alors $a \mid c$.

Preuve

Ce résultat est rappelé d'Arithmétique dans $\mathbb{Z}$ ; en voici la preuve par Bézout, en une ligne. Comme $\gcd(a, b) = 1$, Bézout donne $au + bv = 1$, d'où $c = acu + bcv$. Or $a \mid acu$ et $a \mid bcv$ (car $a \mid bc$), donc $a \mid c$.

Exemple — Un PGCD de trois entiers

L'idéal $6\mathbb{Z} + 10\mathbb{Z} + 15\mathbb{Z}$ égale $\mathbb{Z}$, donc $\gcd(6, 10, 15) = 1$ : les trois entiers sont premiers entre eux dans leur ensemble. Pourtant aucun couple ne l'est — $\gcd(6, 10) = 2$, $\gcd(6, 15) = 3$, $\gcd(10, 15) = 5$ — c'est exactement la distinction ensemble/deux à deux. Une relation de Bézout : $1 = 6 \cdot (-14) + 10 \cdot 7 + 15 \cdot 1$.

Méthode — Calculer un PGCD et une relation de Bézout par les idéaux

Pour deux entiers $a, b$ : exécuter l'algorithme d'Euclide d'Arithmétique dans $\mathbb{Z}$, qui à chaque étape remplace $a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z}$ par une somme d'idéaux égale mais à données plus petites, jusqu'au dernier reste non nul $d$ — le générateur de $a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z}$. La remontée à travers les divisions écrit alors $d = au + bv$. Pour $n > 2$ entiers, regrouper : $\gcd(a_1, \dots, a_n) = \gcd(\gcd(a_1, \dots, a_{n-1}), a_n)$, puisque la somme d'idéaux est associative.

Compétences à pratiquer

Calculer un PGCD par les idéaux

III Les anneaux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

III.1 L'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

Le troisième fil est l'arithmétique de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Compléments sur les groupes a donné $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ comme groupe additif ; on ajoute maintenant un produit de classes et on obtient un anneau. Tout au long du § 3, $n$ est un entier $\ge 2$, donc $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un anneau non trivial.

Theorem — $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un anneau

Le produit $\bar a \times \bar b = \overline{ab}$ est bien défini sur $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, et fait de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +, \times)$ un anneau commutatif d'unité $\bar 1$.

Preuve

Bonne définition : si $\bar a = \bar a'$ et $\bar b = \bar b'$, alors $a \equiv a'$ et $b \equiv b' \pmod n$, et la compatibilité de la congruence avec la multiplication, rappelée d'Arithmétique dans $\mathbb{Z}$, donne $ab \equiv a'b' \pmod n$, soit $\overline{ab} = \overline{a'b'}$ ; le produit de classes ne dépend pas des représentants choisis. Les axiomes d'anneau se transfèrent alors depuis $\mathbb{Z}$ : associativité, commutativité et distributivité de $\times$, et neutralité de $\bar 1$, suivent chacun en passant aux classes l'identité correspondante de $\mathbb{Z}$. Comme $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ est déjà un groupe commutatif, $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +, \times)$ est un anneau commutatif.

Exemple — Multiplication dans $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$

La table de multiplication de $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ donne, sur les classes $\bar 0, \bar 1, \bar 2, \bar 3$ : $$ \bar 2 \times \bar 2 = \bar 0, \qquad \bar 2 \times \bar 3 = \bar 6 = \bar 2, \qquad \bar 3 \times \bar 3 = \bar 9 = \bar 1. $$ On remarque $\bar 2 \times \bar 2 = \bar 0$ avec $\bar 2 \neq \bar 0$ : l'anneau $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ n'est pas intègre.

Proposition — Le morphisme canonique

L'application $\pi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, $k \mapsto \bar k$, est un morphisme d'anneaux surjectif, de noyau $\operatorname{Ker}\pi = n\mathbb{Z}$.

Preuve

Par construction $\pi(k + \ell) = \overline{k+\ell} = \bar k + \bar\ell$, $\pi(k\ell) = \overline{k\ell} = \bar k \times \bar\ell$, et $\pi(1) = \bar 1$, donc $\pi$ est un morphisme d'anneaux ; il est surjectif puisque toute classe a un représentant. Enfin $\pi(k) = \bar 0$ ssi $k \equiv 0 \pmod n$, ssi $n \mid k$, ssi $k \in n\mathbb{Z}$.

Compétences à pratiquer

Calculer dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

III.2 Inversibles de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et le corps $\mathbb{F}_p$

Quelles classes sont inversibles dans l'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ? Bézout répond immédiatement : exactement celles dont un représentant est premier avec $n$. Il en découle la ligne de partage la plus nette du chapitre — $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un corps précisément lorsque $n$ est premier.

Proposition — Inversibles de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

Une classe $\bar k \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est inversible si et seulement si $\gcd(k, n) = 1$.

Preuve

La classe $\bar k$ est inversible ssi il existe $\bar u$ avec $\bar k \times \bar u = \bar 1$, ssi il existe $u, v \in \mathbb{Z}$ avec $ku - 1 = nv$, soit $ku - nv = 1$. Par Bézout (§2.2) de tels $u, v$ existent exactement lorsque $\gcd(k, n) = 1$.

Theorem — Critère de corps

Pour $n \ge 2$, les assertions suivantes sont équivalentes : (i) $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un corps ; (ii) $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est intègre ; (iii) $n$ est premier. Lorsque $p$ est premier, le corps $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ se note $\mathbb{F}_p$.

Preuve

(i) $\Rightarrow$ (ii). Tout corps est intègre (rappelé de Structures algébriques usuelles).
(ii) $\Rightarrow$ (iii). Par contraposition : si $n$ n'est pas premier, écrivons $n = ab$ avec $a, b \in \llbracket 2, n-1 \rrbracket$. Alors $\bar a \times \bar b = \bar n = \bar 0$ tandis que $\bar a \neq \bar 0$ et $\bar b \neq \bar 0$, donc $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ n'est pas intègre.
(iii) $\Rightarrow$ (i). Si $n = p$ est premier, alors pour tout $k \in \llbracket 1, p-1 \rrbracket$ on a $\gcd(k, p) = 1$, donc $\bar k$ est inversible par la proposition précédente. Toute classe non nulle est inversible, donc $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un corps.

Exemple — $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ face à $\mathbb{F}_5$

$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ n'est pas un corps : $6$ est composé, et de fait $\bar 2 \times \bar 3 = \bar 0$ exhibe des diviseurs de zéro ; ses inversibles sont seulement $\bar 1$ et $\bar 5$. $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z} = \mathbb{F}_5$ est un corps : $5$ est premier, donc chacune de $\bar 1, \bar 2, \bar 3, \bar 4$ est inversible — par exemple $\bar 2 \times \bar 3 = \bar 6 = \bar 1$.

Méthode — Inverser une classe de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

Pour inverser $\bar k$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ : vérifier d'abord $\gcd(k, n) = 1$ (sinon $\bar k$ n'est pas inversible). Puis exécuter l'algorithme d'Euclide étendu pour produire une relation de Bézout $ku + nv = 1$ ; réduire modulo $n$ donne $\bar k \times \bar u = \bar 1$, donc $\bar u$ est l'inverse. Par exemple dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$, $3 \cdot 5 - 7 \cdot 2 = 1$, donc $\bar 3^{-1} = \bar 5$.

Compétences à pratiquer

Inverser une classe

III.3 Le théorème chinois

Lorsque $n$ se factorise en morceaux premiers entre eux, l'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ lui-même se scinde en conséquence. C'est le théorème chinois : un isomorphisme qui transforme un module en plusieurs modules indépendants, et un système de congruences en un seul uplet.

Theorem — Théorème chinois

Soient $m, n \ge 2$ avec $\gcd(m, n) = 1$. L'application $$ \Phi : \mathbb{Z}/mn\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \qquad \overline{x} \mapsto (\hat x, \tilde x) $$ (où $\hat x$, $\tilde x$ sont les classes de $x$ modulo $m$ et modulo $n$) est un isomorphisme d'anneaux. Plus généralement, pour $n_1, \dots, n_r \ge 2$ premiers entre eux deux à deux, $\mathbb{Z}/(n_1 \cdots n_r)\mathbb{Z}$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/n_1\mathbb{Z} \times \dots \times \mathbb{Z}/n_r\mathbb{Z}$.

Preuve

$\Phi$ est bien définie : si $x + kmn$ est un autre représentant de $\overline{x}$, il est congru à $x$ à la fois modulo $m$ et modulo $n$, donc $\hat x$ et $\tilde x$ ne dépendent pas du représentant. C'est un morphisme d'anneaux, les deux composantes $x \mapsto \hat x$ et $x \mapsto \tilde x$ étant des morphismes d'anneaux. Il est injectif : une classe $\overline{x} \in \operatorname{Ker}\Phi$ signifie $\hat x = \hat 0$ et $\tilde x = \tilde 0$, soit $m \mid x$ et $n \mid x$ ; avec $\gcd(m, n) = 1$, le lemme de Gauss donne $mn \mid x$, donc $\overline{x} = \bar 0$. Enfin les deux anneaux ont même cardinal $mn$, donc $\Phi$ injective est bijective — un isomorphisme d'anneaux. L'énoncé général suit par récurrence sur $r$, puisque $n_1 \cdots n_{r-1}$ et $n_r$ sont premiers entre eux.

Exemple — $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$

Comme $\gcd(2, 3) = 1$, l'application $\overline{x} \mapsto (\hat x, \tilde x)$ identifie les six classes de $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ aux six cases de la grille $2 \times 3$ ci-dessous — chaque entier $x$ se plaçant à la ligne $x \bmod 2$, colonne $x \bmod 3$.

Méthode — Résoudre un système de congruences

Pour résoudre $x \equiv a \ [m]$ et $x \equiv b \ [n]$ avec $\gcd(m, n) = 1$ : le couple $(\hat a, \tilde b)$ a, par le théorème chinois, un unique antécédent $\overline{x_0}$ dans $\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}$, et l'ensemble des solutions est $x_0 + mn\mathbb{Z}$. Concrètement, écrire une relation de Bézout $mu + nv = 1$ ; alors $x_0 = a\,nv + b\,mu$ vérifie les deux congruences.

Compétences à pratiquer

Appliquer le théorème chinois

III.4 Indicatrice d'Euler et théorème d'Euler

Compter les inversibles de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ définit l'indicatrice d'Euler $\varphi$. Une remarque de cadre : la convention « $n \ge 2$ » du § 3 concerne l'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ; l'indicatrice introduite maintenant est une fonction arithmétique sur $\mathbb{N}^*$, et son argument n'est pas lié à cette convention. Le théorème chinois rend $\varphi$ calculable à partir de la factorisation première, et le groupe des inversibles donne le théorème d'Euler.

Définition — Indicatrice d'Euler

Pour $n \in \mathbb{N}^*$, l'indicatrice d'Euler est $$ \varphi(n) = \#\{k \in \llbracket 1, n \rrbracket \mid \gcd(k, n) = 1\}, $$ avec $\varphi(1) = 1$. Pour $n \ge 2$, $\varphi(n) = \#(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ par le critère d'inversibilité du §3.2.

Exemple — Indicatrice de quelques petits entiers

Les entiers de $\llbracket 1, 12 \rrbracket$ premiers avec $12$ sont $1, 5, 7, 11$, donc $\varphi(12) = 4$. Pour un nombre premier, tout entier de $\llbracket 1, p - 1 \rrbracket$ est premier avec $p$, donc $\varphi(7) = 6$ et, plus généralement, $\varphi(p) = p - 1$. À l'autre extrême $\varphi(1) = 1$, et les quatre inversibles de $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ sont exactement $\overline{1}, \overline{5}, \overline{7}, \overline{11}$ — le compte $4$ lu sur les inversibles, comme l'annonce la définition.

Proposition — Indicatrice d'une puissance de premier

Pour $p$ premier et $k \ge 1$, $\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1}$.

Preuve

Un entier de $\llbracket 1, p^k \rrbracket$ n'est pas premier avec $p^k$ exactement lorsqu'il est divisible par $p$. Les multiples de $p$ dans $\llbracket 1, p^k \rrbracket$ sont $p, 2p, \dots, p^{k-1} \cdot p$, soit $p^{k-1}$ d'entre eux. Donc $\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1}$.

Proposition — $\varphi$ est multiplicative

Pour $m, n \in \mathbb{N}^*$ avec $\gcd(m, n) = 1$, $\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)$.

Preuve

Si $m = 1$ ou $n = 1$ l'identité est immédiate par $\varphi(1) = 1$. Supposons $m, n \ge 2$. Le théorème chinois donne un isomorphisme d'anneaux $\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, et un isomorphisme d'anneaux envoie les inversibles sur les inversibles, donc $(\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z})^\times$ est en bijection avec $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times = (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times \times (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ (inversibles d'un produit, §1.1). En dénombrant : $\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)$.

Proposition — Forme close de $\varphi$

Pour $n \ge 2$ de factorisation première $n = p_1^{\alpha_1} \cdots p_r^{\alpha_r}$, $$ \varphi(n) = n \prod_{i=1}^{r} \left(1 - \frac{1}{p_i}\right). $$ La formule vaut aussi pour $n = 1$ : le produit est alors vide, donc le membre de droite vaut $1 = \varphi(1)$.

Preuve

Les puissances de premiers $p_i^{\alpha_i}$ sont deux à deux premières entre elles, donc par multiplicativité et la formule de la puissance de premier, $$ \begin{aligned} \varphi(n) &= \varphi(p_1^{\alpha_1}) \cdots \varphi(p_r^{\alpha_r}) && \text{($\varphi$ multiplicative)} \\ &= \prod_{i=1}^{r} \left(p_i^{\alpha_i} - p_i^{\alpha_i - 1}\right) && \text{(indicatrice d'une puissance)} \\ &= \prod_{i=1}^{r} p_i^{\alpha_i}\left(1 - \tfrac{1}{p_i}\right) && \text{(mise en facteur de $p_i^{\alpha_i}$)} \\ &= n \prod_{i=1}^{r} \left(1 - \tfrac{1}{p_i}\right) && \text{($\textstyle\prod p_i^{\alpha_i} = n$).} \end{aligned} $$

Theorem — Théorème d'Euler

Soient $n \ge 2$ et $a \in \mathbb{Z}$ avec $\gcd(a, n) = 1$. Alors $$ a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n. $$

Preuve

Les inversibles $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ forment un groupe pour la multiplication : il est stable (un produit d'inversibles est inversible), contient $\bar 1$, et contient l'inverse de chacun de ses éléments. Son cardinal est $\varphi(n)$. Comme $\gcd(a, n) = 1$, la classe $\bar a$ appartient à ce groupe, et l'ordre d'un élément divise le cardinal d'un groupe fini — théorème de Lagrange, rappelé de Compléments sur les groupes. Donc $\bar a^{\varphi(n)} = \bar 1$, c'est-à-dire $a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n$.

Fermat comme cas particulier

Lorsque $n = p$ est premier, $\varphi(p) = p - 1$, et le théorème d'Euler s'écrit $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ pour $\gcd(a, p) = 1$ — le petit théorème de Fermat, rappelé d'Arithmétique dans $\mathbb{Z}$. Le théorème d'Euler en est l'extension à un module composé.

Méthode — Calculer $\varphi(n)$

Pour calculer $\varphi(n)$ avec $n \ge 2$ : factoriser $n = p_1^{\alpha_1} \cdots p_r^{\alpha_r}$, puis appliquer $\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1}$ sur chaque puissance de premier et multiplier, ou utiliser la forme close $\varphi(n) = n \prod (1 - 1/p_i)$. Par exemple $\varphi(360) = \varphi(2^3)\varphi(3^2)\varphi(5) = 4 \cdot 6 \cdot 4 = 96$.

Compétences à pratiquer

Calculer avec l'indicatrice d'Euler

IV Les anneaux $\mathbb{K}[X]$

IV.1 Les idéaux de $\mathbb{K}[X]$

Dans toute cette section $\mathbb{K}$ est un sous-corps de $\mathbb{C}$. Le quatrième fil rejoue le § 2 avec $\mathbb{K}[X]$ à la place de $\mathbb{Z}$ : le même théorème, la même preuve, le degré d'un polynôme jouant le rôle qu'y jouait la valeur absolue d'un entier. La division euclidienne — rappelée d'Arithmétique des polynômes — est encore le moteur, et tout idéal de $\mathbb{K}[X]$ se révèle principal.

Theorem — Idéaux de l'anneau des polynômes

Tout idéal de $\mathbb{K}[X]$ est principal : il est $(P) = P\,\mathbb{K}[X]$ pour un certain $P$. L'idéal nul est $(0)$ ; un idéal non nul possède un unique générateur unitaire.

Preuve

Soit $I$ un idéal de $\mathbb{K}[X]$. Si $I = \{0\}$ alors $I = (0)$. Sinon $I$ contient un polynôme non nul ; choisissons $P \in I$ non nul de degré minimal. Comme $I$ est un idéal, $(P) = P\,\mathbb{K}[X] \subseteq I$. Réciproquement, soit $A \in I$. La division euclidienne donne $A = PQ + R$ avec $\deg R < \deg P$. Alors $R = A - PQ \in I$ ($I$ étant un idéal) ; si $R$ était non nul il contredirait la minimalité de $\deg P$, donc $R = 0$ et $A = PQ \in (P)$. Ainsi $I = (P)$. Deux générateurs diffèrent d'un scalaire non nul (associés dans l'anneau intègre $\mathbb{K}[X]$, par §1.3, et les inversibles de $\mathbb{K}[X]$ sont les constantes non nulles) ; diviser $P$ par son coefficient dominant donne l'unique générateur unitaire.

Exemple — L'idéal des polynômes s'annulant en $a$

Pour $a \in \mathbb{K}$, l'idéal $\operatorname{Ker}(\operatorname{ev}_a) = \{P \mid P(a) = 0\}$ du §1.2 est non nul (il contient $X - a$) et principal, donc il a un unique générateur unitaire. Comme $X - a$ est unitaire et y appartient, et que tout élément est multiple de $X - a$ (une racine $a$ se factorise), ce générateur est $X - a$ : $\operatorname{Ker}(\operatorname{ev}_a) = (X - a)$.

Compétences à pratiquer

Déterminer les idéaux de $\mathbb{K}[X]$

IV.2 PGCD et Bézout par les idéaux

Les idéaux de $\mathbb{K}[X]$ étant tous principaux, le PGCD de polynômes se définit exactement comme au § 2 : le générateur d'une somme d'idéaux. L'accord avec le PGCD polynomial de première année, la relation de Bézout et le lemme de Gauss se transposent mot pour mot.

Définition — PGCD de $n$ polynômes par les idéaux

Soient $A_1, \dots, A_n \in \mathbb{K}[X]$ avec $n \ge 2$. La somme $(A_1) + \dots + (A_n)$ est un idéal de $\mathbb{K}[X]$ ; son générateur unitaire ou nul est le plus grand commun diviseur $D = \gcd(A_1, \dots, A_n)$ — nul exactement lorsque tous les $A_i = 0$. Le générateur unitaire ou nul $M$ de $(A_1) \cap \dots \cap (A_n)$ est le plus petit commun multiple.

Proposition — Accord avec le PGCD et le PPCM de première année

Le polynôme $D$ ci-dessus est exactement le PGCD unitaire d'Arithmétique des polynômes — les diviseurs communs de $A_1, \dots, A_n$ sont exactement les diviseurs de $D$ — et le PPCM ci-dessus est le PPCM unitaire de première année. Dans le cas dégénéré où tous les $A_i = 0$, les deux membres valent $0$, par la convention unitaire ou nul fixée dans la définition.

Preuve

Un polynôme $C$ divise tous les $A_i$ ssi $(A_i) \subseteq (C)$ pour tout $i$ (§1.3), ssi $(D) = \sum (A_i) \subseteq (C)$, ssi $C \mid D$. Donc les diviseurs communs des $A_i$ sont exactement les diviseurs de $D$, ce qui fait de $D$ leur PGCD au sens d'Arithmétique des polynômes. Dualement, $C$ est un multiple commun ssi $(C) \subseteq (A_i)$ pour tout $i$, ssi $(C) \subseteq \bigcap (A_i) = (M)$, ssi $M \mid C$. Donc les multiples communs des $A_i$ sont exactement les multiples de $M$, ce qui fait de $M$ leur PPCM unitaire de première année.

Proposition — Bézout pour les polynômes

Soient $A_1, \dots, A_n \in \mathbb{K}[X]$ avec $n \ge 2$. Il existe $U_1, \dots, U_n \in \mathbb{K}[X]$ tels que $\gcd(A_1, \dots, A_n) = A_1 U_1 + \dots + A_n U_n$. En particulier les $A_i$ sont premiers entre eux dans leur ensemble si et seulement si $A_1 U_1 + \dots + A_n U_n = 1$ pour certains $U_i$.

Preuve

Le PGCD $D$ engendre $(A_1) + \dots + (A_n)$, donc $D \in (A_1) + \dots + (A_n)$ s'écrit $D = \sum A_i U_i$. Si les $A_i$ sont premiers entre eux dans leur ensemble, $D = 1$ et $\sum A_i U_i = 1$ ; réciproquement si $\sum A_i U_i = 1$ alors $1 \in \sum (A_i) = (D)$, donc $D \mid 1$, d'où $D = 1$.

Proposition — Lemme de Gauss pour les polynômes

Soient $A, B, C \in \mathbb{K}[X]$. Si $A \mid BC$ et $\gcd(A, B) = 1$, alors $A \mid C$.

Preuve

Rappelé d'Arithmétique des polynômes ; preuve par Bézout en une ligne. Comme $\gcd(A, B) = 1$, Bézout donne $AU + BV = 1$, donc $C = ACU + BCV$. Or $A \mid ACU$ et $A \mid BCV$ (puisque $A \mid BC$), d'où $A \mid C$.

Exemple — Un PGCD de deux polynômes

Avec $A = X^2 - 1$ et $B = X^2 - X$, l'idéal $(A) + (B)$ est engendré par $\gcd(A, B)$. Comme $A = (X-1)(X+1)$ et $B = X(X-1)$, le générateur unitaire est $X - 1$ : $\gcd(X^2 - 1, X^2 - X) = X - 1$, et $(X^2-1) - (X^2-X) = X - 1$ est une relation de Bézout.

Méthode — Calculer un PGCD polynomial par les idéaux

Pour $A, B \in \mathbb{K}[X]$ : exécuter l'algorithme d'Euclide d'Arithmétique des polynômes — chaque division euclidienne laisse la somme d'idéaux $(A) + (B)$ inchangée tout en abaissant le degré des données — jusqu'au dernier reste non nul ; rendu unitaire, il est $\gcd(A, B)$. La remontée donne un couple de Bézout $(U, V)$. Pour $n > 2$ polynômes, regrouper comme au §2.2.

Compétences à pratiquer

Calculer un PGCD de polynômes

IV.3 Décomposition en facteurs irréductibles

Cette dernière sous-section du fil est, honnêtement, un rappel : le polynôme irréductible, l'existence et l'unicité de la décomposition, et d'Alembert-Gauss relèvent tous d'Polynômes. Ils sont énoncés ici, dans le langage des idéaux du chapitre ; leurs démonstrations ne sont pas refaites. L'unique courte preuve reproduite — pour consolidation — est la déduction des irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$ à partir de d'Alembert-Gauss.

Polynôme irréductible

Rappel d'Arithmétique des polynômes : un polynôme $P \in \mathbb{K}[X]$ est irréductible lorsqu'il est non constant et que ses seuls diviseurs sont les constantes non nulles et les associés de $P$ — de façon équivalente, $P = QR$ force $Q$ ou $R$ constant. Dans le langage des idéaux de ce chapitre, un $P$ non constant est irréductible exactement lorsque les seuls idéaux contenant $(P)$ sont $(P)$ et $\mathbb{K}[X]$.

Proposition — Décomposition en facteurs irréductibles

Tout polynôme non constant $P \in \mathbb{K}[X]$ est un scalaire non nul fois un produit de polynômes irréductibles unitaires, et cette écriture est unique à l'ordre des facteurs près.

Statut de cette décomposition

L'existence et l'unicité de cette décomposition sont établies dans Polynômes. Énoncé admis ici — la démonstration n'est pas reproduite ; le chapitre utilise le résultat comme un fait connu.

Theorem — Irréductibles sur $\mathbb{C}$ et sur $\mathbb{R}$

Les polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ sont exactement les polynômes de degré $1$. Les polynômes irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ sont les polynômes de degré $1$ et les polynômes de degré $2$ à discriminant négatif.

Preuve

Un polynôme de degré $1$ est irréductible dans tout $\mathbb{K}[X]$. Pour $\mathbb{C}[X]$ : un $P$ non constant de degré $\ge 2$ a, par d'Alembert-Gauss, une racine $\alpha \in \mathbb{C}$, donc $P = (X - \alpha)Q$ avec $\deg Q \ge 1$, et $P$ est réductible — donc les irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ sont exactement les polynômes de degré $1$. La démonstration du théorème de d'Alembert-Gauss est hors programme — il est cité, non démontré.
Pour $\mathbb{R}[X]$ : un polynôme de degré $2$ à discriminant négatif n'a pas de racine réelle, donc pas de facteur réel de degré $1$, donc est irréductible. Réciproquement, soit $P \in \mathbb{R}[X]$ irréductible de degré $\ge 2$. Il a une racine $\alpha \in \mathbb{C}$ (d'Alembert-Gauss) ; $\alpha$ n'est pas réelle (sinon $X - \alpha$ serait un facteur réel), et la conjuguée $\bar\alpha$ est aussi racine de $P$ puisque $P$ est à coefficients réels. Comme $\alpha \neq \bar\alpha$ sont deux racines distinctes de $P$, les facteurs premiers entre eux $X - \alpha$ et $X - \bar\alpha$ divisent chacun $P$ dans $\mathbb{C}[X]$, donc leur produit $Q = (X - \alpha)(X - \bar\alpha) = X^2 - 2\operatorname{Re}(\alpha)X + |\alpha|^2$ aussi — un polynôme réel de degré $2$ à discriminant négatif. La division euclidienne de $P$ par $Q$ dans $\mathbb{R}[X]$ donne $P = QS + R$ avec $S, R \in \mathbb{R}[X]$ ; la même division dans $\mathbb{C}[X]$ a un reste nul, et par unicité de la division euclidienne $R = 0$, donc $Q$ divise $P$ dans $\mathbb{R}[X]$. Comme $P$ est irréductible, $P$ est un associé de $Q$, donc $\deg P = 2$.

Exemple — Factoriser $X^4 + 1$

Factoriser $X^4 + 1$ en irréductibles unitaires sur $\mathbb{C}$, puis sur $\mathbb{R}$.

Correction

Les racines de $X^4 = -1$ sont les racines quatrièmes de $-1$, à savoir $e^{i\pi/4}, e^{3i\pi/4}, e^{5i\pi/4}, e^{7i\pi/4}$. Sur $\mathbb{C}$, les irréductibles étant les polynômes de degré $1$, $$ X^4 + 1 = (X - e^{i\pi/4})(X - e^{3i\pi/4})(X - e^{5i\pi/4})(X - e^{7i\pi/4}). $$ Sur $\mathbb{R}$, apparier chaque racine avec sa conjuguée : $e^{i\pi/4}$ avec $e^{7i\pi/4}$, et $e^{3i\pi/4}$ avec $e^{5i\pi/4}$. Chaque paire donne un trinôme réel à discriminant négatif : $$ X^4 + 1 = \left(X^2 - \sqrt{2}\,X + 1\right)\left(X^2 + \sqrt{2}\,X + 1\right). $$

Compétences à pratiquer

Factoriser en irréductibles

V Les algèbres

V.1 Algèbres et sous-algèbres

Le dernier fil, court, nomme une structure déjà rencontrée maintes fois : $\mathbb{K}[X]$, $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, $\mathcal{L}(E)$ portent chacun, à la fois, une structure d'espace vectoriel et une structure d'anneau, les deux compatibles. Un tel objet est une algèbre. Tout au long du § 5, $\mathbb{K}$ est un corps ; les exemples concrets prennent $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

Définition — $\mathbb{K}$-algèbre

Une $\mathbb{K}$-algèbre est un ensemble $\mathcal{A}$ portant trois lois $+$, $\times$ et une loi externe $\cdot$ telles que :

$(\mathcal{A}, +, \cdot)$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel ;
$(\mathcal{A}, +, \times)$ est un anneau (unitaire, pas nécessairement commutatif) ;
le produit $\times$ est $\mathbb{K}$-bilinéaire — linéaire en chaque variable séparément. L'additivité en chaque variable est déjà la distributivité de l'anneau ; ce qui s'ajoute est la compatibilité aux scalaires : $(\lambda \cdot x) \times (\mu \cdot y) = \lambda\mu \cdot (x \times y)$ pour tous $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$ et $x, y \in \mathcal{A}$.

Exemple — Les algèbres classiques

Chacun des objets suivants est une $\mathbb{K}$-algèbre : les polynômes $\mathbb{K}[X]$ (commutative) ; les matrices carrées $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et les endomorphismes $\mathcal{L}(E)$ d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ (non commutatives pour $n \ge 2$, resp. $\dim E \ge 2$) ; les fonctions $\mathcal{F}(I, \mathbb{K})$ sur un ensemble $I$ non vide, avec les opérations point par point (commutative).

Définition — Sous-algèbre

Une sous-algèbre d'une $\mathbb{K}$-algèbre $\mathcal{A}$ est une partie $\mathcal{B}$ qui est à la fois un sous-anneau de $\mathcal{A}$ et un sous-espace vectoriel de $\mathcal{A}$.

Proposition — Caractérisation d'une sous-algèbre

Une partie $\mathcal{B}$ d'une $\mathbb{K}$-algèbre $\mathcal{A}$ est une sous-algèbre si et seulement si elle contient $1_{\mathcal{A}}$ et est stable par $+$, par $\times$ et par multiplication par les scalaires.

Preuve

Si $\mathcal{B}$ est une sous-algèbre, c'est un sous-anneau (donc contient $1_{\mathcal{A}}$, stable par $+$ et $\times$) et un sous-espace (stable par scalaires). Réciproquement, les quatre stabilités énoncées font de $\mathcal{B}$ un sous-anneau (contenant $1_{\mathcal{A}}$, stable par $+$, par les opposés — $-x = (-1)\cdot x$ — et par $\times$) et un sous-espace vectoriel (stable par $+$ et par scalaires, non vide), donc une sous-algèbre.

Exemple — Les matrices triangulaires supérieures

L'ensemble des matrices triangulaires supérieures de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ contient l'identité, et est stable par somme, produit et multiplication par un scalaire — une somme et un produit de matrices triangulaires supérieures restent triangulaires supérieures. C'est donc une sous-algèbre de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$.

Compétences à pratiquer

Vérifier une structure d'algèbre

V.2 Morphismes d'algèbres

Une application entre algèbres qui respecte les deux structures à la fois — la structure d'anneau et la structure d'espace vectoriel — est un morphisme d'algèbres. L'exemple à retenir, et le pont vers le chapitre suivant, est la substitution d'un endomorphisme dans un polynôme.

Définition — Morphisme d'algèbres

Soient $\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$ deux $\mathbb{K}$-algèbres. Une application $\varphi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ est un morphisme de $\mathbb{K}$-algèbres lorsqu'elle est à la fois un morphisme d'anneaux et une application linéaire.

Exemple — Évaluation $P \mapsto P(a)$

Pour $a \in \mathbb{K}$, l'évaluation $\operatorname{ev}_a : \mathbb{K}[X] \to \mathbb{K}$, $P \mapsto P(a)$, est un morphisme de $\mathbb{K}$-algèbres : c'est un morphisme d'anneaux (il respecte $+$, $\times$ et envoie $1$ sur $1$) et une application linéaire ($(\lambda P + \mu Q)(a) = \lambda P(a) + \mu Q(a)$).

Exemple — Substitution $P \mapsto P(u)$

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $u \in \mathcal{L}(E)$. Montrer que $\Psi_u : \mathbb{K}[X] \to \mathcal{L}(E)$, $P \mapsto P(u)$, est un morphisme de $\mathbb{K}$-algèbres.

Correction

Écrivons $P = \sum a_k X^k$, donc $P(u) = \sum a_k u^k$ (avec $u^0 = \operatorname{Id}_E$). L'application $\Psi_u$ est linéaire : $(\lambda P + \mu Q)(u) = \lambda P(u) + \mu Q(u)$, la substitution se faisant coefficient par coefficient. C'est un morphisme d'anneaux : $\Psi_u(1) = \operatorname{Id}_E$ ; $\Psi_u(P + Q) = \Psi_u(P) + \Psi_u(Q)$ ; et $\Psi_u(PQ) = \Psi_u(P)\,\Psi_u(Q)$ car, les puissances $u^k$ commutant toutes entre elles, le produit $P(u)\,Q(u)$ se développe selon la même règle que le produit polynomial $PQ$. Donc $\Psi_u$ est un morphisme de $\mathbb{K}$-algèbres.

Définition — L'algèbre engendrée par un endomorphisme

Pour $u \in \mathcal{L}(E)$, l'ensemble $\mathbb{K}[u] = \{P(u) \mid P \in \mathbb{K}[X]\}$ est l'image du morphisme $\Psi_u$ de l'exemple précédent ; c'est donc une sous-algèbre de $\mathcal{L}(E)$ — la sous-algèbre engendrée par $u$.

Méthode — Vérifier qu'une application est un morphisme d'algèbres

Pour prouver que $\varphi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ est un morphisme de $\mathbb{K}$-algèbres, vérifier les deux niveaux : (i) elle est linéaire — $\varphi(\lambda x + \mu y) = \lambda\varphi(x) + \mu\varphi(y)$ ; (ii) c'est un morphisme d'anneaux — $\varphi(x \times y) = \varphi(x) \times \varphi(y)$ et $\varphi(1_{\mathcal{A}}) = 1_{\mathcal{B}}$. La linéarité couvre déjà $\varphi(x + y) = \varphi(x) + \varphi(y)$, donc seuls le produit et l'unité restent à vérifier pour le niveau anneau.

Pour aller plus loin

Le point de vue des idéaux revient dans Polynômes d'un endomorphisme : les polynômes annulant un endomorphisme $u$ forment un idéal de $\mathbb{K}[X]$, et son générateur unitaire — le polynôme minimal $\pi_u$ — gouverne la théorie de la réduction des chapitres suivants. L'algèbre $\mathbb{K}[u]$ introduite ci-dessus est le cadre naturel de cette étude.

Compétences à pratiquer

Vérifier un morphisme d'algèbres