CommeUnJeu · L2 MP

Réduction : éléments propres, diagonalisation

⌚ ~83 min ▢ 10 blocs ✓ 18 exercices ➣ Prérequis : Déterminants, Change of basis$\virgule$ equivalence$\virgule$ similarity, Polynômes, Compléments d'algèbre linéaire

Étant donné un endomorphisme $u$ d'un espace vectoriel $E$, la réduction cherche une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est la plus simple possible --- idéalement diagonale, de sorte que $u$ ne fasse que dilater chaque vecteur de base. Ce chapitre construit les deux outils qui décident si une telle base existe. Le premier est géométrique : les éléments propres de $u$ --- les directions que $u$ se contente de dilater. Le second est algébrique : le polynôme caractéristique, qui transforme la question « $\lambda$ est-elle une valeur propre ? » en « $\lambda$ est-elle une racine ? ».
Les résultats phares sont au nombre de trois. Un endomorphisme est diagonalisable exactement lorsque $E$ est la somme directe de ses sous-espaces propres --- de façon équivalente, lorsque son polynôme caractéristique est scindé et que chaque sous-espace propre a la dimension attendue. Il est trigonalisable (une matrice triangulaire) exactement lorsque son polynôme caractéristique est scindé. Et un endomorphisme nilpotent est précisément un endomorphisme trigonalisable dont $0$ est l'unique valeur propre.

Conventions

Tout au long de ce chapitre, $\mathbb{K}$ est un sous-corps de $\mathbb{C}$ et $E$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie, non nul, avec $n = \dim E \ge 1$. On note $u \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme, $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ une matrice carrée, $\operatorname{Id}_E$ l'identité et $I_n$ la matrice identité. Déterminant, trace, rang, matrices semblables et matrice d'un endomorphisme dans une base sont ceux de Déterminants et Changements de bases ; polynômes, racines, multiplicité et polynômes scindés ceux de Polynômes ; sommes directes, sous-espaces stables et endomorphisme induit ceux de Compléments d'algèbre linéaire. Le polynôme caractéristique est défini comme $\det(XI_n - M)$ ; son degré, son caractère unitaire et ses coefficients sont établis au § 2.

I Éléments propres

I.1 Valeurs$\virgule$ vecteurs$\virgule$ sous-espaces propres

Le problème de la réduction part d'une seule observation : certains vecteurs sont simplement dilatés par $u$. Un vecteur non nul $x$ tel que $u(x) = \lambda x$ conserve sa direction --- $u$ agit sur la droite qu'il engendre comme l'homothétie de rapport $\lambda$. Ces directions sont la matière première de la réduction : une base entièrement constituée de telles directions rend la matrice de $u$ diagonale. Cette sous-section les nomme et rassemble leurs premières propriétés.

Définition — Valeur propre et vecteur propre

Un scalaire $\lambda \in \mathbb{K}$ est une valeur propre de $u$ lorsqu'il existe un vecteur $x \neq 0_E$ tel que $u(x) = \lambda x$. Un tel vecteur $x$ est alors un vecteur propre de $u$ associé à $\lambda$. Un vecteur propre n'est, par définition, jamais le vecteur nul.

Exemple — Éléments propres de trois endomorphismes familiers

Une homothétie $\lambda_0 \operatorname{Id}_E$ admet tout vecteur non nul comme vecteur propre, tous pour l'unique valeur propre $\lambda_0$. Un projecteur $p$ a ses valeurs propres parmi $0$ et $1$ : tout vecteur de $\operatorname{Im} p$ vérifie $p(x) = x$ et tout vecteur de $\operatorname{Ker} p$ vérifie $p(x) = 0$ --- $0$ et $1$ apparaissent toutes deux dès que $\operatorname{Ker} p$ et $\operatorname{Im} p$ sont toutes deux non nulles. Une symétrie vectorielle $s$ a ses valeurs propres parmi $-1$ et $1$, toutes deux présentes lorsque ses sous-espaces de vecteurs fixes et opposés sont tous deux non nuls.

Définition — Sous-espace propre

Soit $\lambda \in \mathbb{K}$. Le sous-espace propre de $u$ associé à $\lambda$ est $$ E_\lambda(u) = \operatorname{Ker}(u - \lambda \operatorname{Id}_E). $$ C'est un sous-espace vectoriel de $E$, en tant que noyau d'un endomorphisme. Le scalaire $\lambda$ est une valeur propre de $u$ si et seulement si $E_\lambda(u) \neq \{0_E\}$, et $E_\lambda(u)$ est alors exactement l'ensemble des vecteurs propres associés à $\lambda$, auquel on adjoint $0_E$.

Exemple — Un sous-espace propre comme noyau

Pour $M = \begin{psmallmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{psmallmatrix}$, prenons $\lambda = 3$ : le sous-espace propre est $E_3 = \operatorname{Ker}(M - 3I_2) = \operatorname{Ker}\begin{psmallmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{psmallmatrix}$. Le système $-2x + 2y = 0$ a pour droite de solutions $\operatorname{Vect}(1, 1)$, donc $E_3 = \operatorname{Vect}(1, 1)$, une droite ; $3$ est valeur propre puisque $E_3 \neq \{0\}$. Pour $\lambda = 0$, $\operatorname{Ker} M = \{0\}$ ($M$ étant inversible), donc $0$ n'est pas valeur propre.

Définition — Spectre

Le spectre de $u$, noté $\operatorname{Sp}(u)$, est l'ensemble des valeurs propres de $u$ dans $\mathbb{K}$. Pour une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ on définit de même $\operatorname{Sp}(M)$, l'ensemble des $\lambda \in \mathbb{K}$ pour lesquels $MX = \lambda X$ admet une solution colonne non nulle $X$ --- un tel $X$ étant un vecteur propre matriciel, relié aux vecteurs propres de $u$ par la proposition de traduction matricielle ci-dessous.

Exemple — Sous-espaces propres et spectre d'une matrice diagonale

Soit $u$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ de matrice $D = \operatorname{diag}(5, 5, -2)$ dans la base canonique $(e_1, e_2, e_3)$. Alors $u(e_1) = 5e_1$, $u(e_2) = 5e_2$ et $u(e_3) = -2e_3$, donc le spectre est $\operatorname{Sp}(u) = \{5, -2\}$. Les sous-espaces propres sont $E_5(u) = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$, un plan, et $E_{-2}(u) = \operatorname{Vect}(e_3)$, une droite ; ici $E_5(u) \oplus E_{-2}(u) = \mathbb{R}^3$.

La notion de valeur spectrale est hors programme. En dimension infinie, on distingue les valeurs propres d'un ensemble plus large de « valeurs spectrales » ; ici, en dimension finie, le spectre est simplement l'ensemble des valeurs propres et rien de plus n'est requis.

Proposition — Traduction matricielle

Soit $\mathcal{B}$ une base de $E$ et $M = \operatorname{Mat}_\mathcal{B}(u)$. Un vecteur $x$, de colonne de coordonnées $X$ dans $\mathcal{B}$, est un vecteur propre de $u$ associé à $\lambda$ si et seulement si $X \neq 0$ et $MX = \lambda X$. Par conséquent $\operatorname{Sp}(u) = \operatorname{Sp}(M)$.