CommeUnJeu · L2 MP

Espaces probabilisés

⌚ ~83 min ▢ 10 blocs ✓ 21 exercices ➣ Prérequis : Probabilités sur un univers fini, Dénombrabilité

Exemple

Calculer la dérivée de $f(x) = (x^3 - 2 x + 1)/(x^2 + 1)$ sur $\mathbb{R}$.

$x^2 + 1 > 0$ ne s'annule jamais. Par la règle du quotient : $$ f'(x) = \frac{(3 x^2 - 2)(x^2 + 1) - (x^3 - 2 x + 1)(2 x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^4 + 5 x^2 - 2 x - 2}{(x^2 + 1)^2}. $$

Proposition — Dérivation en chaîne

Soit $f : I \to \mathbb{R}$ avec $f(I) \subset J$, et $g : J \to \mathbb{R}$. Si $f$ est dérivable en $a \in I$ et $g$ dérivable en $b = f(a) \in J$, alors $g \circ f$ est dérivable en $a$ et $$ \textcolor{colorprop}{(g \circ f)'(a) = g'(f(a)) \cdot f'(a)}. $$

Preuve

On introduit une fonction auxiliaire $\tau : J \to \mathbb{R}$ par $$ \tau(y) = \begin{cases} (g(y) - g(b))/(y - b) & \text{si } y \ne b, \\ g'(b) & \text{si } y = b. \end{cases} $$ Par dérivabilité de $g$ en $b$, $\tau(y) \to g'(b) = \tau(b)$ quand $y \to b$, donc $\tau$ est continue en $b$. Par définition, $g(y) - g(b) = \tau(y) (y - b)$ pour tout $y \in J$ (le cas $y = b$ donne $0 = 0$).
Substituons $y = f(a + h)$ pour $h$ tel que $a + h \in I$ : $$ g(f(a + h)) - g(f(a)) = \tau(f(a + h)) \, (f(a + h) - f(a)). $$ Pour $h \ne 0$, divisons par $h$ : $$ \tau_a^{g \circ f}(h) = \tau(f(a + h)) \cdot \tau_a^f(h). $$ Quand $h \to 0$ : $f(a + h) \to b$ par P1.2, $\tau$ continue en $b$ donne $\tau(f(a + h)) \to g'(b)$ ; $\tau_a^f(h) \to f'(a)$. Le produit tend vers $g'(b) f'(a)$.

I Tribus et espaces probabilisés

Exemple

Calculer les dérivées de $(x^3 + 1)^5$ et $\sqrt{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$ par dérivation en chaîne.

Correction

Pour $f(x) = (x^3 + 1)^5$ : poser $u(x) = x^3 + 1$ et $v(y) = y^5$. La règle de chaîne donne $f'(x) = 5 (x^3 + 1)^4 \cdot 3 x^2 = 15 x^2 (x^3 + 1)^4$.
Pour $g(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ : poser $u(x) = x^2 + 1$ ($u'(x) = 2x$), $v(y) = \sqrt{y}$ définie sur $y > 0$. Dérivée de $v$ en $a > 0$ : pour $h \ne 0$ avec $a + h > 0$, $$ \frac{\sqrt{a + h} - \sqrt{a}}{h} = \frac{(\sqrt{a + h} - \sqrt{a})(\sqrt{a + h} + \sqrt{a})}{h (\sqrt{a + h} + \sqrt{a})} = \frac{1}{\sqrt{a + h} + \sqrt{a}}. $$ Quand $h \to 0$, cela tend vers $1/(2 \sqrt{a})$, donc $v'(a) = 1/(2 \sqrt{a})$. Alors $g'(x) = v'(u(x)) \cdot u'(x) = (2 x)/(2 \sqrt{x^2 + 1}) = x/\sqrt{x^2 + 1}$.

I.1 Tribu et espace probabilisable

Proposition — Dérivée d'une fonction réciproque

Soit $I$ un intervalle, $f : I \to \mathbb{R}$ continue strictement monotone sur $I$, $J = f(I)$. Supposons $f$ dérivable en $a \in I$ avec $f'(a) \ne 0$. Alors $f^{-1} : J \to I$ est dérivable en $b = f(a)$ et $$ \textcolor{colorprop}{(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(b))}}. $$

Preuve

Étape 1 : $f^{-1}$ continue en $b$. Par le théorème de la bijection (Limites et continuité T7.2), $f^{-1} : J \to I$ est continue et strictement monotone sur $J$.
Étape 2 : limite du taux d'accroissement inverse. Prenons $k$ tel que $b + k \in J$ et $k \ne 0$, et posons $h = f^{-1}(b + k) - a$, donc $a + h = f^{-1}(b + k) \in I$ et $h \ne 0$ (stricte monotonie de $f^{-1}$). Alors $f(a + h) = b + k$, donc $f(a + h) - f(a) = k$, d'où $$ \tau_b^{f^{-1}}(k) = \frac{f^{-1}(b + k) - f^{-1}(b)}{k} = \frac{h}{f(a + h) - f(a)} = \frac{1}{\tau_a^f(h)}. $$ Quand $k \to 0$, $h = f^{-1}(b + k) - a \to 0$ par continuité de $f^{-1}$ en $b$ (étape 1) ; donc $\tau_a^f(h) \to f'(a) \ne 0$ et $1/\tau_a^f(h) \to 1/f'(a)$.
Étape 3 : conclusion. $f^{-1}$ est dérivable en $b$ et $(f^{-1})'(b) = 1/f'(a) = 1/f'(f^{-1}(b))$.

Figure --- symétrie des graphes de $f$ et $f^{-1}$

Les graphes de $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$. Les tangentes en $(a, b)$ et $(b, a)$ sont images l'une de l'autre par cette symétrie. Si $f'(a) = 0$ (tangente horizontale de $f$), la tangente de $f^{-1}$ en $(b, a)$ est verticale : $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $b$ mais admet une tangente verticale.

Exemple

Montrer que $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(y) = \sqrt[3]{y} = y^{1/3}$, est dérivable sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ et calculer $g'(b)$ pour $b \ne 0$.

Correction

$g$ est la réciproque de $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3$ (continue, strictement croissante sur $\mathbb{R}$). $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f'(x) = 3 x^2$, qui ne s'annule qu'en $x = 0$. Pour $b \ne 0$, posons $a = g(b) = \sqrt[3]{b} \ne 0$ ; alors $f'(a) = 3 a^2 \ne 0$ et P2.5 donne $$ g'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{3 a^2} = \frac{1}{3 (\sqrt[3]{b})^2}. $$ En $b = 0$ : $f'(0) = 0$, l'hypothèse de P2.5 est en défaut ; $g$ admet une tangente verticale en $0$.
Anticipation. La même méthode, avec $f = \exp$, $f = \sin_{|[-\pi/2 \,;\, \pi/2]}$, $f = \tan_{|]-\pi/2 \,;\, \pi/2[}$, donnera rigoureusement $(\ln)' = 1/x$, $(\arcsin)' = 1/\sqrt{1 - x^2}$, $(\arctan)' = 1/(1 + x^2)$ dans Fonctions usuelles.

Méthode — Calculer une dérivée par la boîte à outils

Pour une fonction $f$ construite à partir de briques élémentaires :

Identifier les briques (polynôme, rationnelle, $\sqrt{\cdot}$, composition, …).
Appliquer linéarité / produit / quotient / chaîne / réciproque dans l'ordre suggéré par la structure.
Simplifier et préciser le domaine de validité (où les dénominateurs ne s'annulent pas, etc.).

Ex 1 Ex 2

Compétences à pratiquer

Exprimer des événements par des opérations ensemblistes

I.2 Probabilité et espace probabilisé

Ex 3 Ex 4 Ex 5 Ex 6

En un point intérieur de $I$ où $f$ est dérivable, un extremum local impose $f'(a) = 0$ : c'est le théorème de Fermat, charnière entre dérivabilité et les théorèmes globaux de la section suivante sur Rolle et le théorème des accroissements finis. La notion lycéenne de « point stationnaire » devient ici « point critique ». Crucial : l'hypothèse « intérieur » est essentielle, et la réciproque est fausse.

Compétences à pratiquer

Appliquer la $\sigma$-additivité

II Propriétés et théorèmes limites

Définition — Extremum local

$f : I \to \mathbb{R}$, $a \in I$. On dit que $a$ est un maximum local (resp. minimum local) de $f$ s'il existe $\eta > 0$ tel que pour tout $x \in I \cap [a - \eta \,;\, a + \eta]$, $f(x) \le f(a)$ (resp. $\ge$). Un extremum local est un maximum ou minimum local.

II.1 Propriétés élémentaires d'une probabilité

Définition — Point critique

$f : I \to \mathbb{R}$ dérivable en $a \in I$. On dit que $a$ est un point critique de $f$ si $\textcolor{colordef}{f'(a) = 0}$.

Theorem — Fermat

Soit $f : I \to \mathbb{R}$ et $a$ un point intérieur de $I$ où $f$ est dérivable. Si $a$ est un extremum local de $f$, alors $\textcolor{colorprop}{f'(a) = 0}$.

Preuve

Traitons le cas d'un maximum local ; le cas minimum est symétrique (remplacer $f$ par $-f$). Soit $\eta > 0$ tel que $[a - \eta \,;\, a + \eta] \subset I$ (possible car $a$ intérieur) et $f(a + h) \le f(a)$ pour tout $h \in [-\eta \,;\, \eta]$.
Pour $0 < h \le \eta$, on a $f(a + h) \le f(a)$, donc $$ \tau_a(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \le 0. $$ Passage à la limite quand $h \to 0^+$ (passage à la limite d'une inégalité large pour les limites de fonctions, Limites et continuité P4.1) : $f'_d(a) \le 0$.
Pour $-\eta \le h < 0$, on a encore $f(a + h) \le f(a)$, mais $h < 0$, donc $$ \tau_a(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \ge 0. $$ Passage à la limite quand $h \to 0^-$ : $f'_g(a) \ge 0$.
Comme $f$ est dérivable au point intérieur $a$, les deux dérivées latérales valent $f'(a)$. D'où $f'(a) \le 0$ et $f'(a) \ge 0$, donc $f'(a) = 0$.

Exemple

Contre-exemple 1 --- la réciproque de Fermat est fausse. Montrer que $f(x) = x^3$ vérifie $f'(0) = 0$ mais que $0$ n'est pas un extremum local de $f$.

Correction

$f'(x) = 3 x^2$ donc $f'(0) = 0$. Mais pour tout $\eta > 0$, $f(-\eta/2) = -\eta^3/8 < 0 < \eta^3/8 = f(\eta/2)$, et $f(0) = 0$, donc $0$ n'est ni maximum ni minimum local. C'est un point critique mais pas un extremum (point d'inflexion à tangente horizontale).

Compétences à pratiquer

Calculer avec les propriétés d'une probabilité

II.2 Continuité monotone et sous-additivité

Exemple

Contre-exemple 2 --- l'hypothèse « intérieur » est essentielle. Soit $f : [0 \,;\, 1] \to \mathbb{R}$, $f(x) = x$. Le maximum est atteint en $1$, une borne (non intérieure), donc Fermat ne s'applique pas. De fait, pour $h < 0$ avec $1 + h \in [0 \,;\, 1]$, $$ \tau_1(h) = \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \frac{(1 + h) - 1}{h} = 1. $$ Donc $f'_g(1) = 1 \ne 0$.

Ex 7 Ex 8

Theorem — Rolle

Soient $a < b$ et $f : [a \,;\, b] \to \mathbb{R}$ continue sur $[a \,;\, b]$, dérivable sur l'intervalle ouvert $]a \,;\, b[$, avec $f(a) = f(b)$. Alors il existe $c \in \,]a \,;\, b[$ tel que $\textcolor{colorprop}{f'(c) = 0}$.

Preuve

Par le théorème des bornes atteintes (Limites et continuité T7.1), $f$ admet un maximum $M$ et un minimum $m$ sur $[a \,;\, b]$. Deux cas.

Cas 1 : $M = m$. Alors $f$ est constante sur $[a \,;\, b]$, donc $f' \equiv 0$ sur $]a \,;\, b[$, et tout $c \in \,]a \,;\, b[$ convient.
Cas 2 : $M \ne m$. Alors $M > m$. Si les deux extrêmes n'étaient atteints qu'aux bornes $a$ et $b$, ils vaudraient tous deux $f(a) = f(b)$, contredisant $M \ne m$. Donc l'un des deux est atteint en un point intérieur $c \in \,]a \,;\, b[$. Alors $c$ est un extremum local (en fait global), intérieur, et $f$ dérivable en $c$, donc par Fermat T3.1, $f'(c) = 0$.

Exemple

Trois contre-exemples isolant chaque hypothèse de Rolle.

Continuité aux bornes en défaut : $f : [0 \,;\, 1] \to \mathbb{R}$, $f(x) = x$ pour $x \in [0 \,;\, 1[$ et $f(1) = 0$. $f(0) = f(1) = 0$, $f$ dérivable sur $]0 \,;\, 1[$, mais non continue en $1$ ; $f'(x) = 1$ ne s'annule pas.
Dérivabilité intérieure en défaut : $f(x) = |x - 1/2|$ sur $[0 \,;\, 1]$ : continue, $f(0) = f(1) = 1/2$, mais non dérivable en $1/2$ ; $f'$ ne s'annule nulle part sur $]0 \,;\, 1[ \setminus \{1/2\}$.
$f(a) \ne f(b)$ : $f(x) = x$ sur $[0 \,;\, 1]$ ; continue et dérivable, mais $f(0) = 0 \ne 1 = f(1)$, et $f'(x) = 1$ ne s'annule pas.

Chaque hypothèse est nécessaire.

Compétences à pratiquer

Appliquer la continuité monotone

II.3 Événements négligeables et systèmes complets

Remarque --- Rolle est faux sur $\mathbb{C}$

Rolle n'a PAS d'analogue complexe. Ce contre-exemple sera repris dans la section sur l'extension complexe pour expliquer pourquoi la forme égalité du TAF n'a pas d'analogue complexe.

Theorem — Théorème des accroissements finis (TAF égalité)

Soient $a < b$ et $f : [a \,;\, b] \to \mathbb{R}$ continue sur $[a \,;\, b]$ et dérivable sur $]a \,;\, b[$. Alors il existe $c \in \,]a \,;\, b[$ tel que $$ \textcolor{colorprop}{f(b) - f(a) = f'(c) (b - a)}. $$

Preuve

Soit $d : [a \,;\, b] \to \mathbb{R}$ la fonction affine de la corde : $$ d(x) = f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a} (x - a), \qquad d(a) = f(a), \quad d(b) = f(b). $$ Posons $\varphi(x) = f(x) - d(x)$. Alors $\varphi$ est continue sur $[a \,;\, b]$, dérivable sur $]a \,;\, b[$ avec $\varphi'(x) = f'(x) - (f(b) - f(a))/(b - a)$, et $\varphi(a) = \varphi(b) = 0$. Par Rolle T4.1 appliqué à $\varphi$, $\exists c \in \,]a \,;\, b[$ avec $\varphi'(c) = 0$, soit $f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)$.

Figure --- TAF

TAF : il existe un point intérieur $c$ où la tangente est parallèle à la corde joignant $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$.

Ex 9 Ex 10 Ex 11 Ex 12 Ex 13

Trois conséquences de TAF : l'IAF --- borne lipschitzienne à partir d'une borne sur $|f'|$ ; le lien signe de $f'$ $\leftrightarrow$ monotonie ; le théorème de la limite de la dérivée --- prolongement $C^1$ rigoureux en un point délicat. L'IAF + contraction $k < 1$ donne aussi la vitesse de convergence des suites récurrentes de Suites réelles.

Compétences à pratiquer

Manipuler les événements négligeables et presque sûrs

III Probabilité conditionnelle et indépendance

Theorem — IAF --- inégalité des accroissements finis

Soit $I$ un intervalle et $f : I \to \mathbb{R}$ continue sur $I$, dérivable sur $\mathring{I}$ (l'intérieur de $I$). Si $|f'(x)| \le K$ pour tout $x \in \mathring{I}$, alors $f$ est $K$-lipschitzienne sur $I$ : $$ \textcolor{colorprop}{\forall (x, y) \in I^2, \quad |f(y) - f(x)| \le K |y - x|}. $$

Preuve

Pour $x, y \in I$, traitons $x \ne y$ (si $x = y$, l'inégalité est $0 \le 0$). Sans perte de généralité $x < y$. Alors $[x \,;\, y] \subset I$, $f$ continue sur $[x \,;\, y]$ et dérivable sur $]x \,;\, y[ \subset \mathring{I}$. Par TAF T4.2, $\exists c \in \,]x \,;\, y[$ avec $f(y) - f(x) = f'(c) (y - x)$. Donc $$ |f(y) - f(x)| = |f'(c)| \cdot |y - x| \le K |y - x|. $$

III.1 Probabilité conditionnelle

Méthode — Lipschitzianité à partir d'une borne sur $f'$

Pour montrer que $f$ est $K$-lipschitzienne sur un intervalle $I$ :

vérifier que $f$ est continue sur $I$ et dérivable sur $\mathring{I}$ ;
majorer $|f'(x)| \le K$ pour $x \in \mathring{I}$ ;
conclure par T5.1.

Exemple

Montrer que $f : [0 \,;\, +\infty[ \to \mathbb{R}$, $f(x) = \sqrt{x + 1}$, est $(1/2)$-lipschitzienne.

Correction

$f$ est continue sur $[0 \,;\, +\infty[$ et dérivable sur $]0 \,;\, +\infty[$ avec $f'(x) = 1/(2 \sqrt{x + 1})$. Pour $x > 0$, $\sqrt{x + 1} > 1$ donc $|f'(x)| \le 1/2$. Par T5.1, $f$ est $(1/2)$-lipschitzienne.

Méthode — Contraction --- pont vers les suites récurrentes de Suites réelles

Cadre. $f : [a \,;\, b] \to [a \,;\, b]$ continue (donc $[a \,;\, b]$ stable par $f$), dérivable sur $]a \,;\, b[$, avec $|f'(x)| \le k$ sur $]a \,;\, b[$ pour un $k \in [0 \,;\, 1[$. Alors $f$ admet un unique point fixe $\ell \in [a \,;\, b]$, et pour tout $u_0 \in [a \,;\, b]$ la suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ reste dans $[a \,;\, b]$ et converge géométriquement vers $\ell$ avec $|u_n - \ell| \le k^n |u_0 - \ell|$. Recette type :

Existence. Poser $g(x) = f(x) - x$ sur $[a \,;\, b]$. La stabilité donne $g(a) \ge 0$ et $g(b) \le 0$ ; le théorème des valeurs intermédiaires (Limites et continuité T6.1) fournit $\ell \in [a \,;\, b]$ avec $f(\ell) = \ell$.
Stabilité de $(u_n)$. Récurrence : $u_0 \in [a \,;\, b]$ ; si $u_n \in [a \,;\, b]$, alors $u_{n+1} = f(u_n) \in f([a \,;\, b]) \subset [a \,;\, b]$.
Vitesse géométrique. Appliquer T5.1 avec $K = k$ sur $[\min(u_n, \ell) \,;\, \max(u_n, \ell)] \subset [a \,;\, b]$ : $|u_{n+1} - \ell| \le k |u_n - \ell|$, d'où $|u_n - \ell| \le k^n |u_0 - \ell| \to 0$.
Unicité. Si $\ell'$ est un autre point fixe, prendre $u_0 = \ell'$ : la suite constante égale à $\ell'$ converge vers $\ell$, donc $\ell' = \ell$.

Proposition — Monotonie stricte --- complément utile

Sous les hypothèses de P5.1, $f$ est strictement croissante sur $I$ $\iff$ $\textcolor{colorprop}{f' \ge 0}$ sur $\mathring{I}$ et $f'$ n'est identiquement nulle sur aucun sous-intervalle non trivial de $\mathring{I}$.

Preuve

$(\Rightarrow)$ Si $f$ est strictement croissante, alors $f' \ge 0$ sur $\mathring{I}$ par P5.1(b). De plus, si $f' \equiv 0$ sur un sous-intervalle non trivial $J \subset \mathring{I}$, alors $f$ serait constante sur $J$ par P5.1(a), contredisant la stricte monotonie.
$(\Leftarrow)$ De $f' \ge 0$ sur $\mathring{I}$ on déduit $f$ croissante sur $I$ (P5.1(b)). Supposons par l'absurde $f(x) = f(y)$ pour $x < y$ dans $I$. Comme $f$ est croissante, ceci force $f \equiv f(x)$ sur $[x \,;\, y]$ ; alors $f' \equiv 0$ sur $]x \,;\, y[$ par P5.1(a), contradiction.

Remarque --- $I$ doit être un intervalle

L'hypothèse « $I$ intervalle » est essentielle dans P5.1. Contre-exemple : $D = \,]-\infty \,;\, 0[ \,\cup\, ]0 \,;\, +\infty[ = \mathbb{R}^*$ (qui n'est pas un intervalle --- le même domaine épointé qui apparaît naturellement dans l'exemple de Heaviside ci-dessous). Posons $f : D \to \mathbb{R}$ par $f(x) = 0$ pour $x < 0$ et $f(x) = 1$ pour $x > 0$. Alors $f' \equiv 0$ sur $D$ (constante par morceaux) mais $f$ n'est pas constante sur $D$.

Exemple

Étudier les variations de $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x/(1 + x^2)$.

Correction

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $$ f'(x) = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}. $$ Signe : $f'(x) > 0$ pour $x \in \,]-1 \,;\, 1[$, $f'(x) < 0$ ailleurs. Par P5.1, $f$ croissante sur $[-1 \,;\, 1]$, décroissante sur $]-\infty \,;\, -1]$ et $[1 \,;\, +\infty[$. Maximum global $f(1) = 1/2$, minimum global $f(-1) = -1/2$.

Compétences à pratiquer

Calculer des probabilités conditionnelles

III.2 Les formules des probabilités composées$\virgule$ totales et de Bayes

Theorem — Théorème de la limite de la dérivée

Soit $I$ un intervalle, $a \in I$, $f : I \to \mathbb{R}$ continue sur $I$ et dérivable sur $I \setminus \{a\}$. Supposons $f'(x) \to \ell \in \overline{\mathbb{R}}$ quand $x \to a$ ($x \in I \setminus \{a\}$). Alors :

Si $\ell \in \mathbb{R}$ : $f$ est dérivable en $a$ et $\textcolor{colorprop}{f'(a) = \ell}$. Si de plus $f'$ est continue sur $I \setminus \{a\}$, alors $f' : I \to \mathbb{R}$ (avec $f'(a) := \ell$) est continue en $a$, donc $f$ est $C^1$ sur un voisinage de $a$ dans $I$.
Si $\ell = \pm \infty$ : $\tau_a(h) \to \ell$ quand $h \to 0$, et le graphe admet une (demi-)tangente verticale en $a$.

Preuve

Cas fini $\ell \in \mathbb{R}$. Soit $h \ne 0$ tel que $a + h \in I$. Par TAF T4.2 appliqué à $f$ sur le segment d'extrémités $a$ et $a + h$ (continue sur le segment fermé, dérivable sur le segment ouvert $\subset I \setminus \{a\}$), il existe $c_h$ strictement entre $a$ et $a + h$ tel que $$ \tau_a(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = f'(c_h). $$ Quand $h \to 0$, $c_h$ est encadré entre $a$ et $a + h$, donc $c_h \to a$. Par hypothèse $f'(c_h) \to \ell$ (composition de limites), donc $\tau_a(h) \to \ell$. Ainsi $f$ est dérivable en $a$ avec $f'(a) = \ell$. Si $a$ est une extrémité de $I$, le même argument s'applique avec $h$ du seul côté qui rentre dans $I$, et la conclusion vaut en dérivée unilatérale.
Cas $\ell = \pm \infty$. Le même argument donne $\tau_a(h) = f'(c_h)$ avec $c_h \to a$ quand $h \to 0$. Donc $\tau_a(h) \to \pm \infty$, ce qui signifie que le graphe admet une tangente verticale en $a$ (avec la convention $f'(a) = \pm \infty$, et non une dérivée réelle).

Remarque --- la continuité de $f$ est essentielle

À distinguer de « prolonger $f'$ ». L'hypothèse « $f$ continue en $a$ » dans T5.2 est essentielle. Contre-exemple : la fonction de Heaviside $H(x) = 0$ pour $x < 0$ et $H(x) = 1$ pour $x \ge 0$. Alors $\lim_{x \to 0^-} H(x) = 0 \ne 1 = H(0)$ : $H$ est discontinue en $0$ et l'hypothèse de T5.2 tombe. La conclusion naïve « il suffit de poser $\lim H' = 0$ » serait fausse : bien que $H' \equiv 0$ sur $\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$, donc $H'(x) \to 0$ quand $x \to 0$, le taux d'accroissement en $0$ reflète la discontinuité : $$ \tau_0(h) = \frac{H(0 + h) - H(0)}{h} = \frac{H(h) - 1}{h} \to \begin{cases} +\infty & (h \to 0^-) \\ 0 & (h \to 0^+) \end{cases} $$ donc $H$ n'est pas dérivable en $0$. Toujours vérifier la continuité de $f$ en $a$ avant d'invoquer T5.2.

Exemple

Montrer que $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x^2$ pour $x \le 0$ et $f(x) = x^3$ pour $x > 0$ est dérivable en $0$, par la méthode M5.2.

Correction

Continuité en $0$ : $\lim_{x \to 0^-} x^2 = 0 = f(0)$ et $\lim_{x \to 0^+} x^3 = 0 = f(0)$, donc $f$ continue en $0$.
Dérivabilité sur $\mathbb{R}^*$ : $f$ est polynomiale sur chaque demi-droite ouverte, donc dérivable avec $f'(x) = 2x$ pour $x < 0$ et $f'(x) = 3x^2$ pour $x > 0$.
Limite de $f'$ : $\lim_{x \to 0^-} 2x = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} 3x^2 = 0$, donc $\lim_{x \to 0} f'(x) = 0$ (finie).
Application T5.2 : les hypothèses de T5.2 sont vérifiées ($f$ continue sur $\mathbb{R}$, dérivable sur $\mathbb{R}^*$, $f'$ admet une limite finie en $0$), donc $f$ est dérivable en $0$ avec $f'(0) = 0$.

Ex 14 Ex 15

Compétences à pratiquer

Appliquer les formules des probabilités composées$\virgule$ totales et de Bayes

III.3 Indépendance d'événements

Ex 16 Ex 17 Ex 18 Ex 19 Ex 20 Ex 21

Compétences à pratiquer

Démontrer l'indépendance d'événements

IV Espaces probabilisés discrets

On itère la dérivation. La classe $C^k$ formalise la régularité. On énonce et démontre d'abord la formule de Leibniz (calcul direct), puis on en déduit la stabilité de $C^k$ sous produit. Les stabilités sous composition et réciproque sont admises à ce niveau.

IV.1 Distributions discrètes et support

Définition — Dérivée $n$-ième

Définition récursive : $f^{(0)} = f$. Si $f^{(n)}$ est définie et dérivable sur $I$, alors $f^{(n+1)} = (f^{(n)})'$. $f$ est dite $n$ fois dérivable sur $I$ si $f^{(n)}$ existe sur $I$.

Définition — Classes $C^k$ et $C^\infty$

Pour $k \in \mathbb{N}$, $f$ est de classe $C^k$ sur $I$ si $f^{(k)}$ existe sur $I$ et est continue sur $I$. $f$ est de classe $C^\infty$ sur $I$ si $f$ est $C^k$ pour tout $k \in \mathbb{N}$. Notation : $\textcolor{colordef}{C^k(I, \mathbb{R})}$, $\textcolor{colordef}{C^\infty(I, \mathbb{R})}$.

Exemple

Les polynômes sont $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$.

Correction

Pour $P(x) = x^n$, par récurrence $P^{(k)}(x) = n (n-1) \cdots (n - k + 1) x^{n-k}$ pour $k \le n$, $P^{(k)} \equiv 0$ pour $k > n$. Chaque $P^{(k)}$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$. Idem pour $\sum c_k x^k$ par linéarité. Anticipation : $\exp$, $\sin$, $\cos$ sont aussi $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$ ; preuves dans Fonctions usuelles.

Theorem — Formule de Leibniz

Soient $f, g$ $n$ fois dérivables sur $I$. Alors $f g$ est $n$ fois dérivable sur $I$ et $$ \textcolor{colorprop}{(f g)^{(n)} = \sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} f^{(p)} g^{(n - p)}}. $$

Preuve

Récurrence sur $n$.

Base $n = 0$. $(f g)^{(0)} = f g = \binom{0}{0} f^{(0)} g^{(0)}$, formule vraie.
Hérédité. Supposons la formule vraie au rang $n$ pour toutes fonctions $n$ fois dérivables, et soient $f, g$ $(n+1)$ fois dérivables. En particulier $f, g$ sont $n$ fois dérivables, donc $(f g)^{(n)} = \sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} f^{(p)} g^{(n - p)}$. Dériver une fois de plus, par linéarité (P2.1) et règle du produit (P2.2) : $$ \begin{aligned} (f g)^{(n+1)} &= \sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} \big( f^{(p+1)} g^{(n - p)} + f^{(p)} g^{(n - p + 1)} \big) \\ &= \underbrace{\sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} f^{(p+1)} g^{(n - p)}}_{S_1} + \underbrace{\sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} f^{(p)} g^{(n - p + 1)}}_{S_2}. \end{aligned} $$ Réindexer $S_1$ par $q = p + 1$ ($q$ varie de $1$ à $n + 1$), puis renommer $q$ en $p$ : $$ S_1 = \sum_{p = 1}^{n+1} \binom{n}{p - 1} f^{(p)} g^{(n + 1 - p)}. $$ Garder $S_2$ tel quel. En sommant $S_1 + S_2$ : le terme $p = 0$ provient de $S_2$ seul (coefficient $\binom{n}{0} = 1 = \binom{n+1}{0}$), le terme $p = n + 1$ de $S_1$ seul (coefficient $\binom{n}{n} = 1 = \binom{n+1}{n+1}$), et pour $1 \le p \le n$ la relation de Pascal $\binom{n}{p - 1} + \binom{n}{p} = \binom{n + 1}{p}$ (chapitre Sommes, produits et coefficients binomiaux) regroupe les deux contributions. D'où $$ (f g)^{(n+1)} = \sum_{p = 0}^{n+1} \binom{n+1}{p} f^{(p)} g^{(n + 1 - p)}, $$ qui est la formule au rang $n + 1$.

Compétences à pratiquer

Identifier une distribution discrète

IV.2 La correspondance distribution--probabilité

Proposition — Stabilité de la classe $C^k$

Soient $f, g \in C^k(I, \mathbb{R})$, $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. Alors :

$\textcolor{colorprop}{\lambda f + \mu g \in C^k(I)}$ ;
$\textcolor{colorprop}{f g \in C^k(I)}$ ;
si $g$ ne s'annule pas sur $I$, $\textcolor{colorprop}{f / g \in C^k(I)}$ ;
si $\varphi : J \to I$ est $C^k$, alors $\textcolor{colorprop}{f \circ \varphi \in C^k(J)}$ ;
si $k \ge 1$, $f \in C^k(I, \mathbb{R})$ avec $f : I \to f(I)$ bijective et $f'$ ne s'annulant pas sur $I$, alors $\textcolor{colorprop}{f^{-1} \in C^k(f(I), \mathbb{R})}$.

Preuve

Combinaison linéaire. Récurrence sur $k$. Base $k = 0$ : $\lambda f + \mu g$ est continue (somme de fonctions continues). Hérédité $k \to k + 1$ : si $f, g$ sont $C^{k+1}$, elles sont dérivables et $f', g'$ sont $C^k$ ; par P2.1, $(\lambda f + \mu g)' = \lambda f' + \mu g'$ est $C^k$ par hypothèse de récurrence, donc $\lambda f + \mu g$ est $C^{k+1}$.
Produit. Même récurrence. Base $k = 0$ : $f g$ continue. Hérédité : $f, g$ sont $C^{k+1}$, donc $(f g)' = f' g + f g'$ (P2.2). Chaque terme est un produit de fonctions $C^k$, donc $C^k$ par récurrence ; leur somme est $C^k$ par linéarité ; donc $f g$ est $C^{k+1}$.
Quotient. On démontre d'abord par récurrence sur $k$ que si $g$ est $C^k$ et ne s'annule pas sur $I$, alors $1/g$ est $C^k$ sur $I$. Base $k = 0$ : $1/g$ continue (continuité de $g$ et non-annulation). Hérédité : si $g$ est $C^{k+1}$, alors $(1/g)' = -g'/g^2$ (P2.3) ; par le cas produit $g^2$ est $C^k$, $g^2$ ne s'annule pas, donc par hypothèse de récurrence $1/g^2$ est $C^k$, et $-g'/g^2 = -g' \cdot (1/g^2)$ est $C^k$ comme produit ; d'où $1/g$ est $C^{k+1}$. Alors $f/g = f \cdot (1/g)$ est $C^k$ comme produit.
Composition et réciproque : preuves admises. Les démonstrations relatives à la composition et à la réciproque ne sont pas exigibles à ce niveau. Les résultats eux-mêmes restent dans le cadre et s'utilisent librement.

Méthode — Calculer une dérivée d'ordre supérieur

Trois schémas classiques :

Pattern A --- $P(x) \cdot \exp(a x)$. Appliquer Leibniz ; seuls les $\deg P + 1$ premiers termes sont non nuls.
Pattern B --- fraction rationnelle. Décomposer en éléments simples (chapitre Fractions rationnelles), puis utiliser $(1/(x - a))^{(n)} = (-1)^n n! / (x - a)^{n + 1}$ --- prouvé par récurrence directe.
Pattern C --- puissance trigonométrique. Linéariser d'abord (chapitre Trigonométrie), puis dériver l'expression linéarisée terme à terme.

Dérivées itérées admises (anticipations). $(\exp(a x))^{(k)} = a^k \exp(a x)$ sur $\mathbb{R}$ pour tout $k \in \mathbb{N}$, admis depuis Fonctions réelles. Les dérivées itérées de $\sin$, $\cos$ sont admises depuis Fonctions usuelles.

Exemple

Calculer $\big(1/(x^2 - 1)\big)^{(n)}$ sur $\mathbb{R} \setminus \{-1 \,;\, 1\}$ par Pattern B.

Correction

Éléments simples : $1/(x^2 - 1) = (1/2) \big(1/(x - 1) - 1/(x + 1)\big)$. Avec $(1/(x - a))^{(n)} = (-1)^n n! / (x - a)^{n + 1}$ et linéarité : pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1 \,;\, 1\}$ (autrement dit, sur chaque intervalle du domaine), $$ \left(\frac{1}{x^2 - 1}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{2} \left( \frac{1}{(x - 1)^{n + 1}} - \frac{1}{(x + 1)^{n + 1}} \right). $$

Ex 22 Ex 23 Ex 24 Ex 25

Compétences à pratiquer

Définir une probabilité par sa distribution