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Séries entières

⌚ ~75 min ▢ 9 blocs ✓ 17 exercices ➣ Prérequis : Suites et séries de fonctions, Séries numériques et vectorielles, Nombres complexes, Familles sommables, Séries numériques, Dérivabilité

Une série entière est l'extension de degré infini d'un polynôme : une expression $\sum_{n \ge 0} a_n z^n$ où la suite des coefficients $(a_n)$ est à valeurs dans $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et où la variable $z$ parcourt $\mathbb{K}$. La construction est motivée par la recherche de solutions d'équations différentielles linéaires : poser $f(x) = \sum a_n x^n$, injecter dans l'équation, identifier les coefficients --- méthode connue depuis Newton, qui donne par exemple $\mathrm{e}^x = \sum_{n=0}^{+\infty} x^n/n!$ comme solution de $y' = y$ vérifiant $y(0) = 1$.
Le domaine de convergence de $\sum a_n z^n$ a une forme remarquable : un disque dans $\mathbb{C}$ (un intervalle dans $\mathbb{R}$), caractérisé par un seul nombre --- le rayon de convergence $R \in [0, +\infty]$. À l'intérieur du disque ouvert la somme est continue et, dans le cas réel, de classe $\mathcal{C}^\infty$ avec dérivation et intégration terme à terme. Le chapitre culmine sur le catalogue des développements usuels (exponentielle, sinus, cosinus, hyperboliques, logarithme, arctangente, binôme généralisé) que tout étudiant doit connaître par cœur, et les cinq méthodes pratiques pour obtenir un développement.
Notations. $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ; $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{K}^\mathbb{N}$ une suite de coefficients ; $\sum a_n z^n$ la série entière associée ; $R \in \overline{\mathbb{R}}_+ = [0 \virgule +\infty]$ son rayon de convergence ; $D(0 \virgule R) = \{z \in \mathbb{C} : |z| < R\}$ le disque ouvert et $D_f(0 \virgule r) = \{z \in \mathbb{C} : |z| \le r\}$ un disque fermé dans $\mathbb{C}$ ; $(-R \virgule R)$ l'intervalle ouvert de convergence dans $\mathbb{R}$ ; $f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ la fonction somme sur le domaine de convergence.

I Séries entières et rayon de convergence

I.1 Série entière et domaine de convergence

Une série entière est une série de fonctions $\sum u_n$ ayant la forme très particulière $u_n(z) = a_n z^n$, paramétrée par la suite des coefficients $(a_n)$ et la variable $z \in \mathbb{K}$. La classe de fonctions est si structurée que le domaine de convergence a une forme remarquable de disque, contrôlée par un unique rayon $R$ --- objet du \S 1.2.

Définition — Série entière

On appelle série entière sur $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ toute série de fonctions de la forme $\sum_{n \ge 0} a_n z^n$, où $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{K}^\mathbb{N}$ est une suite de coefficients et $z$ une variable de $\mathbb{K}$. Lorsque la série numérique $\sum a_n z^n$ converge pour un $z$ donné, sa somme est notée $f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ ; la fonction $f$, définie sur l'ensemble des $z$ où il y a convergence, est appelée fonction somme de la série entière.

La Définition ci-dessus (série entière) et celle ci-dessous (domaine de convergence) sont deux faces du même concept : l'objet formel (la série) et l'ensemble sur lequel la fonction somme est définie. Les trois Exemples qui suivent la seconde Définition illustrent conjointement les deux.

Définition — Domaine de convergence

On appelle domaine de convergence d'une série entière $\sum a_n z^n$ l'ensemble $$ D = \{\, z \in \mathbb{K} \,:\, \text{la série numérique } \sum a_n z^n \text{ converge} \,\}. $$ La fonction somme $f \colon D \to \mathbb{K}$ est définie sur cet ensemble.

Exemple — La série géométrique

On prend $a_n = 1$ pour tout $n$. La série numérique $\sum z^n$ converge (géométriquement) si et seulement si $|z| < 1$, de somme $1/(1 - z)$ sur ce domaine (MPSI Séries numériques). Le domaine de convergence est le disque unité ouvert $D(0 \virgule 1) \subset \mathbb{C}$ (l'intervalle ouvert $(-1 \virgule 1) \subset \mathbb{R}$ dans le cas réel), et $$ \frac{1}{1 - z} = \sum_{n=0}^{+\infty} z^n \qquad \text{pour tout } z \in \mathbb{C} \text{ avec } |z| < 1. $$ L'archétype de la série entière.

Exemple — La série exponentielle

On prend $a_n = 1/n!$. Pour tout $z \in \mathbb{C}$, la série numérique $\sum z^n/n!$ converge absolument (d'Alembert : $|u_{n+1}/u_n| = |z|/(n+1) \to 0 < 1$, rappelé de MPSI Séries numériques). Le domaine de convergence est $\mathbb{C}$ tout entier ; la fonction somme sera identifiée à l'exponentielle complexe $\exp(z)$ au \S 4.2.

Exemple — Une série ne convergeant qu'en zéro

On prend $a_n = n!$. Pour tout $z \ne 0$, $|a_{n+1} z^{n+1}/(a_n z^n)| = (n+1)|z| \to +\infty$, donc $a_n z^n$ ne tend pas vers $0$ et $\sum n! \, z^n$ diverge grossièrement. Le domaine de convergence se réduit au seul point $\{0\}$ --- un troisième régime aux côtés du disque ouvert de la série géométrique et du plan entier de la série exponentielle. Ces trois Exemples illustrent que le domaine de convergence d'une série entière est essentiellement contrôlé par un unique nombre --- le module de $z$ à la frontière --- à définir et étudier au \S 1.2.

Compétences à pratiquer

Identifier une série entière

I.2 Lemme d'Abel et rayon de convergence

Le lemme d'Abel est un principe de comparaison horizontale : si la suite $(a_n z_0^n)$ est simplement bornée en un point $z_0$, alors $\sum a_n z^n$ converge absolument en tout point $z$ strictement intérieur au disque $|z| < |z_0|$. Cela force le domaine de convergence à avoir un unique rayon critique $R$ en deçà duquel tout converge absolument et au-delà duquel la série diverge grossièrement.

Proposition — Lemme d'Abel

Soit $z_0 \in \mathbb{K}$ avec $z_0 \ne 0$ et supposons la suite $(a_n z_0^n)_{n \in \mathbb{N}}$ bornée. Alors pour tout $z \in \mathbb{K}$ avec $|z| < |z_0|$, la série $\sum a_n z^n$ est absolument convergente.

Preuve

Soit $M \ge 0$ tel que $|a_n z_0^n| \le M$ pour tout $n$. Pour $|z| < |z_0|$, $$ |a_n z^n| = |a_n z_0^n| \cdot \left| \frac{z}{z_0} \right|^n \le M \left| \frac{z}{z_0} \right|^n. $$ En posant $q = |z/z_0|$, on a $q < 1$ donc la série géométrique $\sum q^n$ converge. Par comparaison de séries à termes positifs (rappelé de Séries numériques et vectorielles, \S 1.4), la série $\sum |a_n z^n|$ converge, donc $\sum a_n z^n$ converge absolument.

Définition — Rayon de convergence

On appelle rayon de convergence d'une série entière $\sum a_n z^n$ l'élément de $\overline{\mathbb{R}}_+ = [0 ; +\infty]$ défini par $$ R = \sup\bigl\{\, r \ge 0 \,:\, (a_n r^n)_{n \in \mathbb{N}} \text{ est bornée} \,\bigr\}. $$

Theorem — Trichotomie de la convergence

Soit $\sum a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R$. Pour tout $z \in \mathbb{K}$ :

si $|z| < R$, la série $\sum a_n z^n$ converge absolument ;
si $|z| > R$, la série diverge grossièrement (le terme général $a_n z^n$ ne tend pas vers $0$) ;
si $|z| = R$, on ne peut rien dire en général.

Preuve

Cas $|z| < R$. Par définition de $R$ comme borne supérieure, il existe $r$ avec $|z| < r \le R$ et $(a_n r^n)$ bornée. Comme $r \ne 0$ (car $|z| < r$ et $|z| \ge 0$, donc $r > 0$), le lemme d'Abel s'applique et donne $\sum a_n z^n$ absolument convergente.
Cas $|z| > R$. Si $\sum a_n z^n$ convergeait, alors $a_n z^n \to 0$, donc $(a_n z^n)$ serait bornée ; mais $|z| > R$ contredit la définition de $R$ comme borne supérieure des $r$ tels que $(a_n r^n)$ est bornée. Donc $(a_n z^n)$ n'est pas bornée, en particulier ne tend pas vers $0$ : divergence grossière.

Le cas frontière $|z| = R$ est indécidable en général ; les exemples ci-dessous exhibent chacun des trois comportements possibles (absolument convergente, semi-convergente, divergente) en $|z| = R$.

Définition — Intervalle et disque ouvert de convergence

Pour une série entière de rayon $R$ :

si $\mathbb{K} = \mathbb{R}$, l'ensemble $(-R ; R)$ est appelé intervalle ouvert de convergence ;
si $\mathbb{K} = \mathbb{C}$, l'ensemble $D(0 ; R) = \{z \in \mathbb{C} : |z| < R\}$ est appelé disque ouvert de convergence ; et, lorsque $R < +\infty$, le cercle $C(0 ; R) = \{z \in \mathbb{C} : |z| = R\}$ est le cercle de convergence (ou cercle d'incertitude, le comportement à la frontière étant indécidé). Lorsque $R = +\infty$ le cercle n'est pas défini --- le disque ouvert est le plan tout entier et il n'y a pas de frontière.

La trichotomie est illustrée ci-dessous : d'abord sur la droite réelle, puis dans le plan complexe. Sur la droite réelle, la convergence absolue a lieu sur l'intervalle ouvert $(-R \virgule R)$, la divergence grossière à l'extérieur, et les deux points frontières $\pm R$ sont indécidés.

Dans le plan complexe, la région de convergence absolue est un disque ouvert plein de rayon $R$, la région de divergence est son extérieur, et le cercle frontière $C(0 \virgule R)$ est le «cercle d'incertitude».

Exemple — Trois régimes au bord en $R \equal 1$

Les trois séries $\sum z^n$, $\sum z^n/n^2$, $\sum z^n/n$ ont toutes pour rayon $R = 1$ (par d'Alembert ci-dessous), pourtant leurs comportements au bord diffèrent :

$\sum z^n$ en $|z| = 1$ : $|z^n| = 1$ ne tend pas vers $0$, divergence grossière partout sur le cercle unité ;
$\sum z^n/n^2$ en $|z| = 1$ : $|z^n/n^2| = 1/n^2$ définit une série numérique convergente (Riemann), convergence absolue partout sur le cercle unité ;
$\sum z^n/n$ en $z = 1$ : série harmonique, divergence ; en $z = -1$ : série harmonique alternée, semi-convergence (converge par Leibniz, pas absolument). Le comportement est véritablement ponctuel sur le cercle.

Proposition — Encadrement de $R$

Soit $\sum a_n z^n$ une série entière de rayon $R$, et soit $z_0 \in \mathbb{K}$. Alors :

si $\sum a_n z_0^n$ converge, $|z_0| \le R$ ;
si $\sum a_n z_0^n$ diverge, $|z_0| \ge R$ ;
si $\sum a_n z_0^n$ est semi-convergente (converge sans converger absolument), $|z_0| = R$ exactement.

Preuve

Conséquence directe de la trichotomie. Si $\sum a_n z_0^n$ converge, alors $|z_0| \not> R$ (la divergence grossière contredirait la convergence), donc $|z_0| \le R$. Si $\sum a_n z_0^n$ diverge, alors $|z_0| \not< R$ (la convergence absolue contredirait la divergence), donc $|z_0| \ge R$. En combinant : une série semi-convergente en $z_0$ est convergente (donne $|z_0| \le R$) mais pas absolument, donc $|z_0| \not< R$ (sinon la trichotomie donnerait convergence absolue) --- d'où $|z_0| = R$.

Proposition — Règles de comparaison pour le rayon

Soient $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ deux séries entières de rayons $R_a$ et $R_b$.

Si $a_n = \mathrm{O}(b_n)$ quand $n \to +\infty$ (en particulier si $|a_n| \le |b_n|$ à partir d'un certain rang), alors $R_a \ge R_b$.
Si $a_n = \mathrm{o}(b_n)$, alors $R_a \ge R_b$.
Si $a_n \sim b_n$, alors $R_a = R_b$.

Preuve

On utilise la caractérisation équivalente $R(\sum c_n z^n) = \sup\{r \ge 0 : (c_n r^n) \text{ bornée}\}$ (Définition).
Si $a_n = \mathrm{O}(b_n)$, il existe $C \ge 0$ tel que $|a_n| \le C |b_n|$ à partir d'un certain rang $N$. Pour tout $r$ tel que $(b_n r^n)$ est bornée (donc $r \le R_b$), $|a_n r^n| \le C |b_n r^n|$ à partir du rang $N$, donc $(a_n r^n)$ est bornée ; cela donne $r \le R_a$ pour tout $r < R_b$, soit $R_b \le R_a$. Le cas $\mathrm{o}$ est inclus dans le cas $\mathrm{O}$ ($\mathrm{o}(b_n) \subset \mathrm{O}(b_n)$). Pour l'équivalent $a_n \sim b_n$ : il est symétrique, donc l'étape précédente appliquée dans les deux sens donne $R_a = R_b$.

Proposition — Rayon de $\sum n a_n z^n$

Les séries $\sum a_n z^n$ et $\sum n a_n z^n$ ont même rayon de convergence. En particulier, pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$, la série $\sum_{n \ge 1} n^\alpha a_n z^n$ a même rayon que $\sum a_n z^n$ (l'indice démarre à $n \ge 1$ pour éviter $0^\alpha$ mal défini quand $\alpha < 0$).

Preuve

Si $\alpha \ge 0$ : de $(n^\alpha a_n r^n)$ bornée, $|a_n r^n| = n^{-\alpha} \cdot |n^\alpha a_n r^n| \le n^{-\alpha} \cdot M$ pour un certain $M$ ; le facteur $n^{-\alpha} \le 1$ pour $n \ge 1$ (car $\alpha \ge 0$), donc $(a_n r^n)$ est bornée par $M$. D'où $r \le R$, et $R_\alpha \le R$.
Si $\alpha < 0$ : de $(n^\alpha a_n r^n)$ bornée par $M$, prenons $r' < r$. Alors $$ \begin{aligned} |a_n (r')^n| &= n^{-\alpha} \cdot |n^\alpha a_n r^n| \cdot (r'/r)^n && \text{(réécriture } (r')^n = r^n (r'/r)^n) \\ &\le n^{-\alpha} \cdot M \cdot (r'/r)^n && \text{(majoration } |n^\alpha a_n r^n| \le M) \\ &= M \cdot n^{-\alpha} (r'/r)^n && \text{(réarrangement).} \end{aligned} $$ Le facteur $n^{-\alpha}$ croît polynomialement (car $-\alpha > 0$), mais $(r'/r)^n$ décroît géométriquement puisque $r'/r < 1$, donc le produit tend vers $0$ et est borné. Donc $r' \le R$ pour tout $r' < r$, soit $r \le R$ ; $r$ arbitraire $< R_\alpha$ donne $R_\alpha \le R$.

L'énoncé principal est le cas $\alpha = 1$ ; l'extension à $\alpha \in \mathbb{R}$ quelconque est la conclusion en-particulier, démontrée par la même chaîne avec $n$ remplacé par $n^\alpha$ partout (et le raffinement $\alpha < 0$ ci-dessus).

Méthode — Calculer le rayon de convergence

(a) Par encadrement (Proposition). Si l'on connaît le comportement de $\sum a_n z_0^n$ en un échantillon $z_0$ --- la convergence donne $|z_0| \le R$, la divergence $|z_0| \ge R$, la semi-convergence $|z_0| = R$ exactement. Combiner deux échantillons cerne souvent $R$ exactement.
(b) Par d'Alembert. On suppose $(a_n)_{n \ge N}$ ultimement non nulle. Si $|a_{n+1}/a_n| \to \ell \in [0 ; +\infty]$, alors $R = 1/\ell$ (convention : $1/0 = +\infty$, $1/{+\infty} = 0$). Preuve : on applique d'Alembert à la série numérique $\sum a_n z^n$, $|u_{n+1}/u_n| = |a_{n+1}/a_n| \cdot |z| \to \ell |z|$ ; convergence absolue pour $\ell |z| < 1$, divergence grossière pour $\ell |z| > 1$.
(c) Par comparaison (Proposition). Utiliser $a_n = \mathrm{O}(b_n)$ ou $a_n \sim b_n$ pour transférer le rayon depuis une série jumelle de rayon connu.
(d) Reconnaître $\sum n^\alpha a_n z^n$ comme ayant même rayon que $\sum a_n z^n$.
Séries lacunaires (certains $a_n$ sont $0$) : d'Alembert sous sa forme brute ne s'applique pas --- le rapport n'est pas défini une infinité de fois. À la place, reconnaître la série comme une sous-série en une puissance de $z$ : par ex.\ $\sum a_{2k} z^{2k}$ est une série entière en $w = z^2$ ; appliquer d'Alembert en $w$, puis substituer en retour.

Exemple — $\sum x^n/n$ a pour rayon $1$

Avec $a_n = 1/n$ pour $n \ge 1$ (et $a_0 = 0$), $|a_{n+1}/a_n| = n/(n+1) \to 1$. Par d'Alembert, $R = 1/1 = 1$.

Exemple — La lacunaire $\sum x^{2n}/2^n$ a pour rayon $\sqrt{2}$

Le coefficient de $x^k$ est $0$ si $k$ est impair, $1/2^{k/2}$ si $k$ est pair, donc la suite est lacunaire et d'Alembert brut échoue. On reconnaît la série comme une série entière en $w = x^2$ : $$ \sum_{n \ge 0} \frac{x^{2n}}{2^n} = \sum_{n \ge 0} \biggl(\frac{w}{2}\biggr)^n, \qquad w = x^2. $$ C'est la série géométrique en $w/2$, qui converge pour $|w/2| < 1$, soit $|w| < 2$, soit $x^2 < 2$, soit $|x| < \sqrt{2}$. D'où $R = \sqrt{2}$.

Compétences à pratiquer

Calculer le rayon de convergence

I.3 Opérations sur les séries entières

Les séries entières forment une algèbre : la somme (terme à terme) et le produit (produit de Cauchy) préservent la structure de série entière. Le comportement du rayon résulte de la trichotomie pour la somme, et du théorème du produit de Cauchy pour les séries absolument convergentes (rappelé de MPSI Familles sommables) pour le produit.

Proposition — Somme de deux séries entières

Soient $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ deux séries entières de rayons $R_a$ et $R_b$. La série somme $\sum (a_n + b_n) z^n$ est une série entière de rayon $R$ vérifiant $$ R = \min(R_a \virgule R_b) \quad \text{si } R_a \ne R_b, \qquad R \ge R_a \quad \text{si } R_a = R_b. $$

Proposition — Multiplication par un scalaire

Soit $\sum a_n z^n$ une série entière de rayon $R_a$ et soit $\lambda \in \mathbb{K}$. Alors $\sum \lambda a_n z^n$ est une série entière dont le rayon vaut $R_a$ si $\lambda \ne 0$, et $+\infty$ (série nulle) si $\lambda = 0$.

Preuve

Somme. Pour $|z| < \min(R_a, R_b)$, les deux séries $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ sont absolument convergentes (par la trichotomie appliquée à chacune), donc la série somme $\sum (a_n + b_n) z^n$ est absolument convergente (inégalité triangulaire). Donc $R \ge \min(R_a, R_b)$.
Pour le «$=$» plus fin quand $R_a \ne R_b$ (sans perte de généralité $R_a < R_b$) : pour tout $z$ avec $R_a < |z| < R_b$, $a_n z^n \not\to 0$ (divergence grossière de $\sum a_n z^n$ puisque $|z| > R_a$), tandis que $b_n z^n \to 0$ (convergence absolue de $\sum b_n z^n$ puisque $|z| < R_b$) ; leur somme $a_n z^n + b_n z^n \not\to 0$, donc $\sum (a_n + b_n) z^n$ diverge grossièrement en tout tel $z$. Cela force $R \le |z|$ pour tout $|z| \in (R_a \virgule R_b)$. En passant à l'infimum sur cet intervalle ouvert : $R \le R_a$.
Multiplication scalaire. Si $\lambda = 0$, $\sum 0 \cdot z^n = 0$ converge pour tout $z$, rayon $+\infty$. Si $\lambda \ne 0$, $|\lambda a_n r^n| = |\lambda| \cdot |a_n r^n|$ est borné ssi $(a_n r^n)$ l'est, donc les rayons coïncident.

Proposition — Produit de Cauchy

Soient $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ deux séries entières de rayons $R_a$ et $R_b$, et soit $$ c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n - k}. $$ Alors $\sum c_n z^n$ est une série entière de rayon $R_c \ge \min(R_a \virgule R_b)$, et pour tout $z$ avec $|z| < \min(R_a \virgule R_b)$, $$ \biggl( \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n \biggr) \biggl( \sum_{n=0}^{+\infty} b_n z^n \biggr) = \sum_{n=0}^{+\infty} c_n z^n. $$

Preuve

Pour $|z| < \min(R_a, R_b)$, les deux séries numériques $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ sont absolument convergentes (trichotomie), c'est-à-dire les suites $(a_n z^n)$ et $(b_n z^n)$ appartiennent à $\ell^1(\mathbb{N})$. Par le théorème du produit de Cauchy pour deux suites de $\ell^1$ (rappelé de MPSI Familles sommables), le produit de Cauchy de ces deux suites, à savoir $$ \begin{aligned} p_n &= \sum_{k=0}^n (a_k z^k)(b_{n-k} z^{n-k}) && \text{(définition du produit de Cauchy)} \\ &= \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \cdot z^k \cdot z^{n-k} && \text{(commutativité de la multiplication)} \\ &= \biggl( \sum_{k=0}^n a_k b_{n - k} \biggr) z^n && \text{(factorisation de } z^n = z^k z^{n-k}) \\ &= c_n z^n && \text{(définition de } c_n), \end{aligned} $$ appartient à $\ell^1(\mathbb{N})$ et vérifie $$ \begin{aligned} \sum_{n=0}^{+\infty} c_n z^n &= \sum_{n=0}^{+\infty} p_n && \text{(égalité } p_n = c_n z^n) \\ &= \biggl( \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n \biggr) \biggl( \sum_{n=0}^{+\infty} b_n z^n \biggr) && \text{(théorème du produit de Cauchy, MPSI Familles sommables).} \end{aligned} $$ En particulier $\sum |c_n z^n|$ converge pour tout $|z| < \min(R_a, R_b)$, donc le rayon $R_c \ge \min(R_a, R_b)$.

Exemple — $1/(1-z)^2$ par produit de Cauchy

On prend $a_n = b_n = 1$ (donc $R_a = R_b = 1$). Le produit de Cauchy donne $c_n = \sum_{k=0}^n 1 \cdot 1 = n + 1$. Par la Proposition du produit de Cauchy, pour tout $|z| < 1$, $$ \frac{1}{(1 - z)^2} = \biggl( \sum_{n=0}^{+\infty} z^n \biggr)^2 = \sum_{n=0}^{+\infty} (n + 1) z^n. $$ Une dérivation satisfaisante d'une identité que l'on peut aussi obtenir par dérivation terme à terme (\S 3.1, dérivation alternative).

Méthode — Combiner des séries entières

Pour la somme $\sum (a_n + b_n) z^n$ : le rayon est $\ge \min(R_a, R_b)$, avec égalité quand $R_a \ne R_b$. Sur le disque ouvert commun $|z| < \min(R_a, R_b)$, l'identité est $\sum (a_n + b_n) z^n = \sum a_n z^n + \sum b_n z^n$ par linéarité terme à terme.
Pour le produit de Cauchy $\sum c_n z^n$ avec $c_n = \sum_k a_k b_{n-k}$ : le rayon est $\ge \min(R_a, R_b)$ seulement --- des compensations peuvent rendre $R_c$ strictement plus grand (par exemple le produit de Cauchy de $\sum z^n$ (rayon $1$) et du polynôme $1 - z$ vu comme la série entière $b_0 = 1$, $b_1 = -1$, $b_n = 0$ pour $n \ge 2$ (rayon $+\infty$) collapse au constant $1$, de rayon $+\infty > 1$). Sur le disque ouvert commun, l'identité est $(\sum a_n z^n)(\sum b_n z^n) = \sum c_n z^n$.

Compétences à pratiquer

Combiner des séries entières

II Continuité de la somme (variable complexe)

II.1 Convergence normale sur tout disque fermé contenu

La trichotomie donne la convergence absolue sur le disque ouvert de convergence, mais la fonction somme $z \mapsto \sum a_n z^n$ est continue grâce à un mode de convergence plus fort : la convergence normale sur tout disque fermé strictement inclus dans le disque ouvert. Le «disque ouvert dans son ensemble» ne supporte pas en général la convergence normale ; la formulation «tout disque fermé inclus» est la naturelle pour les séries entières.

Theorem — Convergence normale sur tout disque fermé inclus

Soit $\sum a_n z^n$ une série entière de rayon $R$. Pour tout $r$ avec $0 \le r < R$, la série de fonctions $z \mapsto a_n z^n$ converge normalement sur le disque fermé $D_f(0 \virgule r)$ (resp.\ sur l'intervalle fermé $[-r ; r]$ dans le cas réel), donc uniformément.

Preuve

Pour $z \in D_f(0 \virgule r)$, $|a_n z^n| \le |a_n| r^n$, donc $\|u_n\|_\infty \le |a_n| r^n$ où $u_n(z) = a_n z^n$. La série numérique $\sum |a_n| r^n$ est la série $\sum a_n z^n$ évaluée en $z = r < R$, en valeur absolue : par la trichotomie, $|r| < R$ donne la convergence absolue, soit $\sum |a_n| r^n$ converge. Donc $\sum \|u_n\|_\infty$ converge, ce qui est la définition de la convergence normale (rappelé de Suites et séries de fonctions, \S 2.1). Normale $\Rightarrow$ uniforme, par le même chapitre.

Mise en garde. La convergence normale sur le disque ouvert tout entier $D(0 \virgule R)$ échoue en général. Prenons $\sum z^n$ sur le disque unité ouvert : $\|u_n\|_\infty = \sup_{|z| < 1} |z|^n = 1$, et $\sum 1$ diverge. L'hypothèse naturelle est «sur tout disque fermé $D_f(0 \virgule r)$ avec $r < R$» ; la version «disque ouvert tout entier» est strictement plus forte et habituellement indisponible.

Corollary — Continuité sur le disque ouvert de convergence

La somme $f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ d'une série entière de rayon $R > 0$ est continue sur le disque ouvert de convergence $D(0 \virgule R)$ (resp.\ sur l'intervalle ouvert $(-R ; R)$ dans le cas réel).

Preuve

Chaque application $z \mapsto a_n z^n$ est continue sur $\mathbb{K}$ (polynôme). Pour démontrer la continuité de $f$ en un point quelconque $z_0 \in D(0 \virgule R)$, prenons $s$ avec $|z_0| < s < R$ : alors $z_0$ appartient au disque fermé $D_f(0 \virgule s) \subset D(0 \virgule R)$, et sur ce disque fermé la série $\sum a_n z^n$ converge uniformément (Théorème ci-dessus). Une limite uniforme de fonctions continues est continue (rappelé de Suites et séries de fonctions, \S 1.2 --- la preuve est l'argument classique en $\varepsilon/3$, qui fonctionne à l'identique sur le disque fermé $D_f(0 \virgule s)$ comme sur un segment réel). Donc $f$ est continue sur $D_f(0 \virgule s)$, en particulier en $z_0$. $z_0$ étant arbitraire dans $D(0 \virgule R)$, $f$ est continue sur le disque ouvert de convergence. Même démonstration dans le cas réel avec les segments fermés $[-s ; s]$.

Exemple — $\exp(z)$ continue sur $\mathbb{C}$

La série $\sum z^n/n!$ a pour rayon $R = +\infty$ (Exemple du \S 1.1, d'Alembert). Par le Corollaire, sa somme (qui sera l'exponentielle complexe $\exp(z)$ du \S 4.2) est continue sur $D(0 \virgule +\infty) = \mathbb{C}$.

Méthode — Démontrer la continuité d'une somme de série entière

Invoquer le Corollaire ci-dessus ; il suffit de vérifier $R > 0$. La continuité sur le disque ouvert (resp.\ l'intervalle ouvert) est automatique --- pas besoin de vérifier la convergence uniforme à la main : le chapitre l'a fait une fois pour toutes.

Compétences à pratiquer

Démontrer la continuité sur le disque ouvert

II.2 Théorème de convergence radiale d'Abel

Le Corollaire du \S 2.1 donne la continuité sur le disque ouvert, mais la frontière $|z| = R$ est délicate. Dans le cas réel, le théorème de convergence radiale d'Abel donne la valeur au bord comme une limite à un côté, quand la série au bord converge. L'énoncé du théorème est au programme ; sa démonstration est hors programme (« démonstration non exigible »). On donne la preuve pour le lecteur curieux, après le marqueur en place.

Theorem — Convergence radiale d'Abel

Soit $\sum a_n x^n$ une série entière réelle de rayon $R \in \mathopen]0 ; +\infty\mathclose[$. Si la série numérique $\sum a_n R^n$ converge, alors $$ \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n \xrightarrow[x \to R^-]{} \sum_{n=0}^{+\infty} a_n R^n. $$

Preuve

On se ramène à $R = 1$ par la substitution $x = R y$ : la série entière $\sum (a_n R^n) y^n$ a pour rayon $1$ et la même convergence en $y = 1$ que $\sum a_n R^n$. On suppose donc $R = 1$ et $\sum a_n$ convergente ; soit $S = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ et $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ sur $[0 ; 1)$.
Posons $S_n = \sum_{k=0}^n a_k$ (sommes partielles) et $R_n = S - S_n = \sum_{k > n} a_k$ (restes), de sorte que $a_n = R_{n-1} - R_n$ pour $n \ge 1$. IDENTITÉ CLÉ : pour tout $x \in [0 ; 1)$, $$ f(x) - S = (x - 1) \sum_{n=0}^{+\infty} R_n x^n. $$ La série du membre de droite converge absolument sur $[0 ; 1)$ : $(R_n)$ est bornée (elle tend vers $0$ quand $n \to +\infty$, puisque $\sum a_n$ converge), et $\sum x^n$ converge géométriquement.
Dérivation de l'identité. Pour $p \ge 1$ fini et $x \in [0 ; 1)$, la sommation d'Abel par parties donne $$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^p a_n x^n - \sum_{n=1}^p a_n &= \sum_{n=1}^p a_n (x^n - 1) \\ &= \sum_{n=1}^p (R_{n-1} - R_n)(x^n - 1) \\ &= \sum_{n=1}^p R_{n-1}(x^n - 1) - \sum_{n=1}^p R_n (x^n - 1). \end{aligned} $$ On ré-indexe la première somme avec $m = n - 1$ ($m$ de $0$ à $p - 1$) : $$ \sum_{n=1}^p R_{n-1}(x^n - 1) = \sum_{m=0}^{p-1} R_m (x^{m+1} - 1). $$ On combine les deux sommes terme par terme. La plage commune $1 \le m \le p - 1$ contribue $R_m \bigl[ (x^{m+1} - 1) - (x^m - 1) \bigr] = R_m \, x^m (x - 1)$. Les termes de bord sont $R_0 (x - 1)$ (de $m = 0$ dans la première somme seulement) et $-R_p (x^p - 1) = R_p (1 - x^p)$ (de $m = p$ dans la seconde somme seulement). D'où $$ \sum_{n=1}^p a_n x^n - \sum_{n=1}^p a_n = (x - 1) \sum_{n=0}^{p-1} R_n x^n + (1 - x^p) R_p. $$ Ajouter $a_0 (x^0 - 1) = 0$ au membre de gauche ne change rien (puisque $x^0 = 1$). Quand $p \to +\infty$ : le membre de gauche tend vers $f(x) - S$ (avec $a_0$ réintroduit), le premier terme du membre de droite est la somme partielle d'une série absolument convergente et tend vers $(x-1) \sum_{n=0}^{+\infty} R_n x^n$, et $(1 - x^p) R_p \to 0$ (puisque $R_p \to 0$ et $1 - x^p$ borné). L'identité suit.
Conclusion. Soit $\varepsilon > 0$, prenons $N$ tel que $|R_n| < \varepsilon$ pour $n \ge N$. Alors $$ \begin{aligned} |f(x) - S| &= |1 - x| \cdot \biggl| \sum_{n=0}^{+\infty} R_n x^n \biggr| \\ &\le (1 - x) \sum_{n=0}^{N-1} |R_n| + (1 - x) \varepsilon \sum_{n \ge N} x^n \\ &\le (1 - x) \cdot N \cdot \max_{n < N} |R_n| + (1 - x) \cdot \varepsilon \cdot \frac{x^N}{1 - x} \\ &\le N \cdot \max_{n < N} |R_n| \cdot (1 - x) + \varepsilon. \end{aligned} $$ Le premier terme tend vers $0$ quand $x \to 1^-$, donc pour $x$ assez proche de $1^-$, $|f(x) - S| < 2\varepsilon$. D'où $f(x) \to S$ quand $x \to 1^-$. (Adapté de Prost, Séries entières, p. 8.)

La démonstration de ce théorème est hors programme. La preuve ci-dessous est incluse pour le lecteur curieux ; l'étudiant n'est tenu que de l'énoncé.

Corollary — Continuité sur l'intervalle fermé de convergence

Soit $\sum a_n x^n$ une série entière réelle de rayon $R \in \mathopen]0 ; +\infty\mathclose[$. La somme $f$ est continue sur l'intervalle ouvert $(-R ; R)$ (par \S 2.1) ET en tout point frontière $\pm R$ où la série numérique au bord $\sum a_n (\pm R)^n$ converge.

Preuve

Sur $(-R ; R)$, la continuité est le Corollaire du \S 2.1. À l'extrémité droite $R$, quand $\sum a_n R^n$ converge, le théorème d'Abel radial donne $f(x) \to \sum a_n R^n = f(R)$ quand $x \to R^-$, soit continuité à gauche en $R$.
À l'extrémité gauche $-R$, quand $\sum a_n (-R)^n$ converge : posons $b_n = (-1)^n a_n$. La série $\sum b_n y^n$ a même rayon que $\sum a_n y^n$ (puisque $|b_n| = |a_n|$), soit $R$, et $\sum b_n R^n = \sum a_n (-R)^n$ converge par hypothèse. Par Abel radial appliqué à $\sum b_n y^n$, $\sum b_n y^n \to \sum b_n R^n$ quand $y \to R^-$. En posant $y = -x$ : $\sum a_n (-y)^n = \sum b_n y^n$, donc $f(-y) \to \sum a_n (-R)^n$ quand $y \to R^-$, soit $f(x) \to f(-R)$ quand $x = -y \to -R^+$. Continuité à droite en $-R$.

Exemple — La série harmonique alternée vaut $\ln 2$

On prend $f(x) = \sum_{n \ge 1} x^n/n$, qui vaut $-\ln(1 - x)$ sur $(-1 ; 1)$ (démontré au \S 3.2 par intégration terme à terme). En $x = -1$, la série $\sum (-1)^n/n$ converge (alternée, Leibniz). Par le Corollaire ci-dessus (Abel radial appliqué à l'extrémité gauche $-R = -1$), $f$ se prolonge continûment en $x = -1$ : $$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n} = f(-1) = \lim_{x \to -1^+} -\ln(1 - x) = -\ln 2. $$ D'où $\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1}/n = \ln 2$.

Compétences à pratiquer

Appliquer la convergence radiale d'Abel

III Régularité de la somme sur l'intervalle ouvert (variable réelle)

III.1 Dérivation terme à terme$\virgule$ classe $\mathcal{C}^\infty$

Sur l'intervalle ouvert $(-R ; R)$ dans le cas réel, la somme $f(x) = \sum a_n x^n$ est dérivable, et sa dérivée s'obtient par dérivation terme à terme : $f'(x) = \sum n a_n x^{n-1}$. En itérant, $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$, avec la $k$-ième dérivée obtenue par dérivation terme à terme répétée. Les ingrédients clés sont la Proposition «$\sum n a_n z^n$ même rayon» du \S 1.2 et le théorème de dérivation terme à terme de Suites et séries de fonctions \S 2.2.

Theorem — Dérivation terme à terme

Soit $\sum a_n x^n$ une série entière réelle de rayon $R$, de somme $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ sur $(-R ; R)$. Alors $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $(-R ; R)$ et $$ f'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1} \qquad \text{pour tout } x \in (-R ; R). $$ La série dérivée $\sum n a_n x^{n-1}$ a le même rayon $R$ que l'originale.

Preuve

Posons $u_n(x) = a_n x^n$ pour $n \ge 0$ ; alors $u_n'(x) = n a_n x^{n-1}$ pour $n \ge 1$ (et $u_0' = 0$). On vérifie les trois hypothèses du théorème de dérivation terme à terme de Suites et séries de fonctions \S 2.2 :

Chaque $u_n$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $(-R ; R)$ (polynôme).
La série $\sum u_n$ converge en un point, par exemple $x_0 = 0$ (trivialement, tous les termes sont $0$ sauf le constant $a_0$).
La série des dérivées $\sum_{n \ge 1} n a_n x^{n-1}$ est une série entière en $x$ : en ré-indexant avec $m = n - 1$, elle devient $\sum_{m \ge 0} (m + 1) a_{m+1} x^m$. C'est une série entière dont les coefficients $b_m = (m + 1) a_{m+1}$ diffèrent de $a_{m+1}$ par le facteur polynomial $(m + 1)$ ; par la Proposition «même rayon» du \S 1.2, $R(\sum b_m x^m) = R(\sum a_{m+1} x^m)$, et le décalage d'indice $m \to m+1$ dans la seconde série ne change pas le rayon (la série $\sum_{m \ge 0} a_{m+1} x^m$ a même rayon que $\sum_{n \ge 0} a_n x^n$, par application directe de la trichotomie : la convergence en un $x_0 \ne 0$ donné se transporte entre les deux via le facteur $x_0$). Donc la série dérivée $\sum_{n \ge 1} n a_n x^{n-1}$ a pour rayon $R$. Sur tout $[-r ; r] \subset (-R ; R)$, elle converge normalement donc uniformément (\S 2.1).

Les trois hypothèses sont remplies. Par le théorème de dérivation terme à terme, $\sum u_n$ converge uniformément sur tout $[-r ; r] \subset (-R ; R)$, sa somme $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $(-R ; R)$, et $$ f'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1}. $$

Corollary — La somme est $\mathcal{C}^\infty$ sur l'intervalle ouvert

Soit $\sum a_n x^n$ une série entière réelle de rayon $R$, de somme $f$ sur $(-R ; R)$. Alors $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $(-R ; R)$, et pour tout $k \ge 0$ et tout $x \in (-R ; R)$, $$ f^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^{+\infty} n (n-1) \cdots (n - k + 1) \, a_n \, x^{n - k}. $$ La $k$-ième série dérivée a même rayon $R$.

Preuve

Récurrence sur $k$ en appliquant le Théorème. À $k = 0$, $f$ est $\mathcal{C}^0$ (continue) par \S 2.1, avec la formule $f(x) = \sum a_n x^n$. Hérédité : on suppose $f$ de classe $\mathcal{C}^k$ sur $(-R ; R)$ avec la formule affichée. En appliquant le Théorème à la série entière $\sum_{n \ge k} n (n-1) \cdots (n - k + 1) a_n x^{n-k}$ (de même rayon $R$, par application répétée de la Proposition même-R du \S 1.2), sa somme $f^{(k)}$ est de classe $\mathcal{C}^1$, et $$ (f^{(k)})'(x) = \sum_{n = k+1}^{+\infty} (n - k) \cdot n(n-1) \cdots (n - k + 1) \, a_n \, x^{n - k - 1} = \sum_{n = k+1}^{+\infty} n (n-1) \cdots (n - k) \, a_n \, x^{n - k - 1}. $$ En ré-indexant ou en reconnaissant cela comme la formule au rang $k + 1$ : $f^{(k+1)}(x) = \sum_{n \ge k+1} n(n-1)\cdots(n - k) a_n x^{n - k - 1}$. D'où $f$ de classe $\mathcal{C}^{k+1}$, ce qui clôt la récurrence.

Exemple — $\sum n x^n \equal x/(1-x)^2$

On part de la série géométrique $\sum_{n=0}^{+\infty} x^n = 1/(1 - x)$ sur $(-1 ; 1)$ (\S 1.1). Par dérivation terme à terme, $$ \sum_{n=1}^{+\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1 - x)^2} \qquad \text{sur } (-1 ; 1). $$ En multipliant par $x$ (ou en ré-indexant $m = n - 1$), $$ \sum_{n=1}^{+\infty} n x^n = \frac{x}{(1 - x)^2} \qquad \text{sur } (-1 ; 1). $$ Une identité classique, obtenue ici en une seule dérivation.

Méthode — Dériver une série entière terme à terme

Sur l'intervalle ouvert de convergence $(-R ; R)$, prendre $(\sum a_n x^n)' = \sum n a_n x^{n-1}$, avec l'indice du terme dominant qui se décale en $n = 1$ (le terme constant $a_0$ disparaît). Pour la $k$-ième dérivée, décaler l'indice dominant en $n = k$ et multiplier par $n(n-1) \cdots (n - k + 1)$. Le rayon est préservé à chaque étape.

Compétences à pratiquer

Dériver une série entière terme à terme

III.2 Intégration terme à terme

L'intégration est l'opération inverse : la primitive de $f(x) = \sum a_n x^n$ s'annulant en $0$ s'obtient par intégration terme à terme, en gardant le même rayon de convergence. C'est la route naturelle vers les développements de $\ln(1+x)$ et $\arctan x$ à partir de la série géométrique.

Theorem — Intégration terme à terme

Soit $\sum a_n x^n$ une série entière réelle de rayon $R$, de somme $f$ sur $(-R ; R)$. La série $\sum_{n \ge 0} (a_n / (n+1)) \, x^{n+1}$ a le même rayon $R$ ; sa somme $F$ est la primitive de $f$ s'annulant en $0$ : $$ F(x) = \int_0^x f(t) \, \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n + 1} \, x^{n+1} \qquad \text{pour tout } x \in (-R ; R). $$

Preuve

(i) Égalité des rayons. La série entière $\sum c_n z^n$ avec $c_n = a_n/(n+1)$ a même rayon que $\sum a_n z^n$, par une chaîne en deux étapes. D'abord, la Proposition «même rayon» du \S 1.2 appliquée à $(c_n)$ donne $R(\sum c_n z^n) = R(\sum n c_n z^n)$. Ensuite, la règle de comparaison du \S 1.2 appliquée à l'équivalent $n c_n \sim (n+1) c_n$ quand $n \to +\infty$ (puisque $n/(n+1) \to 1$) donne $R(\sum n c_n z^n) = R(\sum (n+1) c_n z^n)$. Or $(n+1) c_n = a_n$, donc le membre de droite vaut $R(\sum a_n z^n) = R$. En chaînant : $R(\sum c_n z^n) = R$. La série décalée d'un cran $\sum (a_n/(n+1)) x^{n+1} = x \cdot \sum (a_n/(n+1)) x^n$ a même rayon (multiplier par $x$ ne change pas la convergence).
(ii) Identification avec $\int_0^x f$. Sur tout $[-r ; r] \subset (-R ; R)$, la série $\sum a_n x^n$ converge normalement donc uniformément (\S 2.1). Par le théorème d'intégration terme à terme de Suites et séries de fonctions \S 2.2, pour tout $x \in (-R ; R)$, $$ \int_0^x f(t) \, \mathrm{d}t = \int_0^x \biggl( \sum_{n=0}^{+\infty} a_n t^n \biggr) \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_0^x a_n t^n \, \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n + 1} x^{n+1}, $$ ce qui est l'identité annoncée. $F(0) = 0$ trivialement.

Exemple — $\sum x^n/n \equal -\ln(1-x)$

On part de $\sum_{n=0}^{+\infty} x^n = 1/(1 - x)$ sur $(-1 ; 1)$. Par intégration terme à terme, $$ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{n+1}}{n + 1} = \int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{1 - t} = -\ln(1 - x). $$ En ré-indexant $m = n + 1$ : $$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n} = -\ln(1 - x) \qquad \text{sur } (-1 ; 1). $$

Exemple — Série de $\arctan x$

On part de $\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^{2n} = 1/(1 + x^2)$ sur $(-1 ; 1)$ (série géométrique en $-x^2$, rayon $1$). Par intégration terme à terme, $$ \arctan x = \int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1} \, x^{2n + 1} \qquad \text{sur } (-1 ; 1). $$ En $x = 1$, la série $\sum (-1)^n/(2n+1)$ converge (alternée, Leibniz) ; par Abel radial (\S 2.2), l'identité s'étend en $x = 1$ : $$ \frac{\pi}{4} = \arctan 1 = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots, $$ formule de Leibniz pour $\pi/4$.

Méthode — Intégrer une série entière terme à terme

La primitive de $f(x) = \sum a_n x^n$ s'annulant en $0$ s'obtient en divisant le coefficient $a_n$ par $n + 1$ et en décalant l'exposant en $n + 1$ ; le rayon est préservé ; une constante d'intégration non nulle (une primitive différente) doit être fournie en externe. Utile pour dériver les séries de $\ln$ et $\arctan$ à partir de la série géométrique, et plus généralement pour les primitives de fractions rationnelles.

Compétences à pratiquer

Intégrer une série entière terme à terme

IV Fonctions développables en série entière

IV.1 Définition$\virgule$ condition nécessaire$\virgule$ unicité

Le problème inverse : étant donné une fonction $f$, peut-on l'écrire comme une série entière $\sum a_n x^n$ près de $0$ ? Une telle fonction est dite développable en série entière en $0$. La condition nécessaire dans le cas réel est que $f$ soit de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur un voisinage de $0$, avec le développement forcément égal à la série de Taylor de $f$ en $0$. La suffisance demande davantage --- le contre-exemple $\mathcal{C}^\infty$-mais-non-développable ci-dessous montre que la régularité $\mathcal{C}^\infty$ est nécessaire mais pas suffisante.

Définition — Fonction développable en série entière

Une fonction $f$ est développable en série entière en $0$ sur $(-r ; r)$ (resp.\ $D(0 ; r)$ dans $\mathbb{C}$), avec $r > 0$, s'il existe une série entière $\sum a_n x^n$ de rayon $R \ge r$ telle que $$ f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n \qquad \text{pour tout } x \in (-r ; r) \text{ (resp.\ } D(0 ; r)\text{).} $$

Theorem — Condition nécessaire$\virgule$ cas réel

Si $f$ est développable en série entière sur $(-r ; r)$, avec $r > 0$, alors $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $(-r ; r)$, le développement est unique, et c'est la série de Taylor de $f$ en $0$ : $$ f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \, x^n \qquad \text{pour tout } x \in (-r ; r). $$

Preuve

Supposons $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ sur $(-r ; r)$. Par le Corollaire du \S 3.1, $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $(-r ; r)$ avec $$ f^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^{+\infty} n(n-1) \cdots (n - k + 1) a_n x^{n - k}. $$ En évaluant en $x = 0$ : seul le terme $n = k$ survit (tous les autres ont un facteur $x^{n-k}$ avec $n > k$, donc nul), ce qui donne $f^{(k)}(0) = k! \, a_k$. Donc $a_k = f^{(k)}(0)/k!$, coefficient de Taylor de $f$ en $0$.

Corollary — Unicité du développement

Si $\sum a_n x^n = \sum b_n x^n$ pour tout $x$ dans un intervalle ouvert non vide autour de $0$, alors $a_n = b_n$ pour tout $n \ge 0$.

Preuve

Les deux séries représentent la même fonction $f$ sur un voisinage de rayon positif de $0$. Par le Théorème, $a_n = f^{(n)}(0)/n! = b_n$ pour tout $n$.

Exemple — $\mathrm{e}^{-1/x^2}$ est $\mathcal{C}^\infty$ mais non développable

Soit $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = \mathrm{e}^{-1/x^2}$ pour $x \ne 0$ et $f(0) = 0$. Alors $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ avec $f^{(n)}(0) = 0$ pour tout $n \ge 0$. Donc la série de Taylor de $f$ en $0$ est identiquement nulle, distincte de $f$ sur tout voisinage de $0$ (car $f(x) > 0$ pour $x \ne 0$). Ainsi $f$ est $\mathcal{C}^\infty$ mais non développable en série entière en $0$.
Preuve par récurrence :

Hypothèse au rang $n$. $f^{(n)}$ existe sur $\mathbb{R}$ avec $f^{(n)}(0) = 0$, et pour $x \ne 0$, $f^{(n)}(x) = P_n(1/x) \cdot \mathrm{e}^{-1/x^2}$ pour un polynôme $P_n$.
Initialisation en $n = 0$. $f(0) = 0$ par définition, et pour $x \ne 0$, $f(x) = 1 \cdot \mathrm{e}^{-1/x^2}$ avec $P_0 = 1$.
Hérédité. On suppose l'hypothèse au rang $n$. Pour $x \ne 0$, dérivons : $$ f^{(n+1)}(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \bigl( P_n(1/x) \mathrm{e}^{-1/x^2} \bigr) = \bigl[ -P_n'(1/x) \cdot 1/x^2 + P_n(1/x) \cdot 2/x^3 \bigr] \mathrm{e}^{-1/x^2}, $$ qui est à nouveau $P_{n+1}(1/x) \cdot \mathrm{e}^{-1/x^2}$ pour un polynôme $P_{n+1}(t) = 2 t^3 P_n(t) - t^2 P_n'(t)$ en $t = 1/x$. Pour la valeur en $0$ : le quotient différentiel de $f^{(n)}$ en $0$ est $$ \frac{f^{(n)}(x) - f^{(n)}(0)}{x} = \frac{P_n(1/x) \mathrm{e}^{-1/x^2}}{x} = Q(1/x) \mathrm{e}^{-1/x^2} \qquad (x \ne 0), $$ avec $Q(t) = t \cdot P_n(t)$ encore un polynôme. Quand $x \to 0$, $1/x^2 \to +\infty$ donc $\mathrm{e}^{-1/x^2}$ décroît plus vite que tout polynôme en $1/x$ ; le quotient différentiel tend vers $0$. D'où $f^{(n)}$ dérivable en $0$ avec $(f^{(n)})'(0) = 0$, soit $f^{(n+1)}(0) = 0$. L'hypothèse au rang $n + 1$ est établie.
Conclusion. Par récurrence, $f \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R})$ avec $f^{(n)}(0) = 0$ pour tout $n$. La continuité de chaque $f^{(n)}$ est automatique : polynôme-fois-exponentielle est continu sur $\mathbb{R}^*$, et $f^{(n)}(x) \to 0 = f^{(n)}(0)$ quand $x \to 0$ par le même argument de décroissance rapide.

La série de Taylor $\sum f^{(n)}(0) x^n/n! = 0$ identiquement ne vaut pas $f(x) = \mathrm{e}^{-1/x^2} > 0$ pour $x \ne 0$. Donc $f$ est $\mathcal{C}^\infty$ mais PAS développable en série entière en $0$.

Méthode — Démontrer qu'une fonction est développable en série entière

(a) Démontrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur un voisinage de $0$ (condition nécessaire).
(b) Calculer la série de Taylor $\sum f^{(n)}(0) x^n/n!$ de $f$ en $0$, et son rayon.
(c) Vérifier que la série de Taylor converge effectivement vers $f$ par l'une des cinq routes du \S 4.2 : majoration du reste de Taylor-Lagrange, dérivation / intégration terme à terme d'une série connue, combinaison de développements usuels via les opérations du \S 1.3, décomposition en éléments simples (pour $f$ rationnelle), ou analyse-synthèse par une équation différentielle.

Compétences à pratiquer

Identifier la série de Taylor et démontrer la développabilité

IV.2 Développements usuels et les 5 méthodes pratiques

Le catalogue des développements que tout étudiant doit connaître par cœur, organisé par la technique qui établit chacun : Taylor-Lagrange pour $\exp$, $\cos$, $\sin$ ; combinaisons linéaires de la série exp pour $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$ ; intégration terme à terme pour $\ln(1+x)$ et $\arctan x$ ; analyse-synthèse par EDO pour $(1+x)^\alpha$. Chacun porte son rayon et son domaine de convergence.

Theorem — Développements usuels : $\exp$$\virgule$ $\cos$$\virgule$ $\sin$$\virgule$ $\mathrm{ch}$$\virgule$ $\mathrm{sh}$

Pour tout $z \in \mathbb{C}$ : $$ \exp(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!} \qquad (R = +\infty). $$ Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $$ \begin{aligned} \cos x &= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} & (R = +\infty), \\ \sin x &= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} & (R = +\infty), \\ \mathrm{ch}\, x &= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} & (R = +\infty), \\ \mathrm{sh}\, x &= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} & (R = +\infty). \end{aligned} $$

Preuve

Pour $\exp$ sur $\mathbb{R}$. Taylor-Lagrange à l'ordre $n$ sur $[0 ; x]$ (rappelé de MPSI Dérivabilité) donne, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $$ \left| \mathrm{e}^x - \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} \right| \le M \cdot \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}, \qquad M = \sup_{t \in [0 ; |x|]} |\mathrm{e}^t| = \mathrm{e}^{|x|}, $$ avec $M$ fixé en $n$. Puisque $|x|^{n+1}/(n+1)! \to 0$ quand $n \to +\infty$, le reste tend vers $0$ et la série de Taylor converge vers $\mathrm{e}^x$.
Pour $\exp$ sur $\mathbb{C}$. On définit $\exp(z) := \sum_{n=0}^{+\infty} z^n/n!$ sur $\mathbb{C}$ comme l'exponentielle complexe. La série a pour rayon $R = +\infty$ (d'Alembert : $|a_{n+1}/a_n| = 1/(n+1) \to 0$), donc $\exp$ est bien définie sur $\mathbb{C}$ et continue (\S 2.1). La restriction $z = x \in \mathbb{R}$ redonne le $\exp$ réel usuel (même série entière). L'équation fonctionnelle $\exp(z) \exp(z') = \exp(z + z')$ découle du produit de Cauchy (\S 1.3) : pour tous $z, z' \in \mathbb{C}$, $$ \exp(z) \exp(z') = \sum_{n=0}^{+\infty} c_n, \qquad c_n = \sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!} \cdot \frac{(z')^{n-k}}{(n-k)!} = \frac{(z + z')^n}{n!} $$ par la formule du binôme. Donc $\exp(z) \exp(z') = \sum_{n=0}^{+\infty} (z+z')^n/n! = \exp(z + z')$.
Pour $\cos$ et $\sin$. Toutes les dérivées de $\cos$ et $\sin$ sont parmi $\pm \cos, \pm \sin$, donc $|\cos^{(n)}(t)| \le 1$ et $|\sin^{(n)}(t)| \le 1$ pour tout $n$ et tout $t \in \mathbb{R}$. Taylor-Lagrange à l'ordre $n$ sur $[0 ; x]$ donne, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $$ \left| \cos x - \sum_{k=0}^n \cos^{(k)}(0) \frac{x^k}{k!} \right| \le 1 \cdot \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} \to 0 \quad (n \to +\infty). $$ Avec $\cos^{(2k)}(0) = (-1)^k$ et $\cos^{(2k+1)}(0) = 0$ (MPSI), la série de Taylor de $\cos$ en $0$ est $\sum (-1)^k x^{2k}/(2k)!$, et la limite l'identifie avec $\cos x$. De même pour $\sin$, avec $\sin^{(2k)}(0) = 0$ et $\sin^{(2k+1)}(0) = (-1)^k$.
Pour $\mathrm{ch}$ et $\mathrm{sh}$. Les définitions MPSI sont $\mathrm{ch}\, x = (\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x})/2$ et $\mathrm{sh}\, x = (\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x})/2$. En utilisant la série exp sur $\mathbb{R}$ que l'on vient d'établir et la Proposition de combinaison linéaire du \S 1.3 (qui s'applique car les deux séries exp ont même rayon $+\infty$) : $$ \begin{aligned} \mathrm{ch}\, x &= \frac{1}{2} \biggl( \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-x)^n}{n!} \biggr) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} \quad \text{(les termes impairs s'annulent)}, \\ \mathrm{sh}\, x &= \frac{1}{2} \biggl( \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-x)^n}{n!} \biggr) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \quad \text{(les termes pairs s'annulent)}. \end{aligned} $$ Les rayons valent $+\infty$.
Remarque. Pour $\cos$ et $\sin$, les identités d'Euler $\cos x = (\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x})/2$, $\sin x = (\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x})/(2\mathrm{i})$ sont des conséquences des séries établies (non des prémisses) --- en MPSI cos et sin sont définis géométriquement, donc utiliser ces identités comme prémisses serait circulaire. Pour $\mathrm{ch}$ et $\mathrm{sh}$, les identités analogues sont les définitions MPSI, c'est pourquoi nous les avons utilisées directement.

Exemple — Formule d'Euler $\mathrm{e}^{x + \mathrm{i}y} \equal \mathrm{e}^x(\cos y + \mathrm{i} \sin y)$

Pour tous $x, y \in \mathbb{R}$, on applique l'équation fonctionnelle $\exp(z + z') = \exp(z) \exp(z')$ (que l'on vient de démontrer) avec $z = x$ et $z' = \mathrm{i}y$ : $$ \mathrm{e}^{x + \mathrm{i}y} = \mathrm{e}^x \cdot \exp(\mathrm{i}y). $$ Or $\exp(\mathrm{i}y) = \sum_{n=0}^{+\infty} (\mathrm{i}y)^n/n!$. En séparant les termes pairs et impairs : $$ \exp(\mathrm{i}y) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\mathrm{i}^{2n} y^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\mathrm{i}^{2n+1} y^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n y^{2n}}{(2n)!} + \mathrm{i} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n y^{2n+1}}{(2n+1)!}, $$ en utilisant $\mathrm{i}^{2n} = (-1)^n$ et $\mathrm{i}^{2n+1} = \mathrm{i}(-1)^n$. Par les séries cos et sin ci-dessus, cela vaut $\cos y + \mathrm{i} \sin y$. D'où $$ \mathrm{e}^{x + \mathrm{i}y} = \mathrm{e}^x (\cos y + \mathrm{i} \sin y) \qquad \text{pour tous } x, y \in \mathbb{R}. $$ Cela redonne la forme polaire d'un complexe non nul et relie l'image série de Taylor (ce chapitre) à l'image trigonométrique (MPSI Nombres complexes).

Proposition — Développements de $\ln(1+x)$ et $\arctan x$

Pour tout $x \in (-1 ; 1)$ : $$ \ln(1 + x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \, x^n \qquad (R = 1), $$ $$ \arctan x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1} \, x^{2n+1} \qquad (R = 1). $$

Preuve

$\ln(1+x)$. On part de $1/(1 + x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-x)^n = \sum (-1)^n x^n$ sur $(-1 ; 1)$ (série géométrique en $-x$, rayon $1$). Par intégration terme à terme (\S 3.2), $$ \ln(1 + x) = \int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{1 + t} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n + 1} x^{n+1} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n. $$ En $x = 1$, la série $\sum (-1)^{n+1}/n$ converge (alternée) ; par Abel radial (\S 2.2), l'identité s'étend en $x = 1$ : $\ln 2 = \sum (-1)^{n+1}/n$.
$\arctan x$. On part de $1/(1 + x^2) = \sum (-1)^n x^{2n}$ sur $(-1 ; 1)$ (géométrique en $-x^2$). Par intégration terme à terme, $$ \arctan x = \int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1} x^{2n + 1}. $$ En $x = 1$, la série $\sum (-1)^n/(2n+1)$ converge (alternée) ; par Abel radial, $\pi/4 = \sum (-1)^n/(2n+1)$ (formule de Leibniz). En $x = -1$, le développement s'étend par imparité de $\arctan$ (la série est impaire en $x$, les deux membres changent de signe), ou par Abel radial appliqué à l'extrémité gauche via le sous-cas $-R$ du \S 2.2.

Identités au bord

Les prolongements au bord donnent deux identités célèbres : $$ \ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}, $$ $$ \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1} \quad \text{(Leibniz)}. $$ Les deux découlent d'Abel radial appliqué à l'extrémité concernée.

Proposition — Développement de $(1+x)^\alpha$

Pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$ et tout $x \in (-1 ; 1)$ : $$ (1 + x)^\alpha = 1 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\alpha (\alpha - 1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!} \, x^n, $$ avec $R = 1$ si $\alpha \notin \mathbb{N}$, et $R = +\infty$ si $\alpha \in \mathbb{N}$ (la série est finie --- formule du binôme).

Preuve

Analyse-synthèse via le problème de Cauchy $(1 + x) y' = \alpha y$ avec $y(0) = 1$ sur $(-1 ; +\infty)$, dont l'unique solution est $y(x) = (1 + x)^\alpha$ (rappelé de MPSI Équations différentielles linéaires d'ordre 1).
Analyse. Postulons $y(x) = \sum_{n \ge 0} a_n x^n$ avec $a_0 = y(0) = 1$. Alors $y'(x) = \sum_{n \ge 1} n a_n x^{n-1}$ et $(1 + x) y'(x) = \sum_{n \ge 1} n a_n x^{n-1} + \sum_{n \ge 1} n a_n x^n$. En ré-indexant la première somme (poser $m = n - 1$) : $$ (1 + x) y'(x) = \sum_{m \ge 0} (m+1) a_{m+1} x^m + \sum_{n \ge 1} n a_n x^n = a_1 + \sum_{n \ge 1} [(n+1) a_{n+1} + n a_n] x^n. $$ L'équation $(1+x) y' = \alpha y$ donne, en comparant les coefficients de $x^n$ : $$ a_1 = \alpha a_0 = \alpha \quad ; \quad (n+1) a_{n+1} + n a_n = \alpha a_n \quad \text{pour } n \ge 1, $$ soit $(n+1) a_{n+1} = (\alpha - n) a_n$. Par récurrence, $a_n = \dfrac{\alpha(\alpha-1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!}$ pour $n \ge 0$ (avec $a_0 = 1$).
Synthèse. Vérifions que la série candidate a un rayon positif. Si $\alpha \in \mathbb{N}$, alors $a_n = 0$ pour $n > \alpha$ (dans la récurrence $(n+1) a_{n+1} = (\alpha - n) a_n$, le facteur $\alpha - n$ s'annule en $n = \alpha$, donnant $a_{\alpha + 1} = 0$ puis $a_n = 0$ pour tout $n > \alpha$), donc la série est finie ($R = +\infty$). Si $\alpha \notin \mathbb{N}$, alors $a_n \ne 0$ pour tout $n$, et par d'Alembert : $$ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{|\alpha - n|}{n + 1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1, $$ donc $R = 1$.
Dans les deux cas, le candidat $y$ défini par la série résout $(1 + x) y' = \alpha y$ sur l'intervalle ouvert de convergence et vérifie $y(0) = 1$. Par unicité de Cauchy sur $(-1 ; 1)$ (rappelé de MPSI Équations différentielles linéaires d'ordre 1), ce $y$ vaut $(1 + x)^\alpha$.

Exemple — $\sqrt{1+x}$ premiers termes

On prend $\alpha = 1/2$ dans la Proposition. Les coefficients : $$ a_1 = \frac{1}{2}, \quad a_2 = \frac{(1/2)(-1/2)}{2!} = -\frac{1}{8}, \quad a_3 = \frac{(1/2)(-1/2)(-3/2)}{3!} = \frac{1}{16}, \quad a_4 = -\frac{5}{128}. $$ D'où sur $(-1 ; 1)$ : $$ \sqrt{1 + x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} - \frac{5 x^4}{128} + \cdots \qquad (R = 1). $$ Un développement classique bien utile --- pour les estimations numériques et les développements asymptotiques.

Table de synthèse

Le pense-bête des développements usuels à connaître par cœur : \renewcommand{\arraystretch}{1.4}

Série	Domaine	$R$
$\sum_{n \ge 0} z^n = \dfrac{1}{1 - z}$	$D(0 \virgule 1) \subset \mathbb{C}$	$1$
$\sum_{n \ge 0} \dfrac{z^n}{n!} = \mathrm{e}^z$	$\mathbb{C}$	$+\infty$
$\sum_{n \ge 0} \dfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = \cos x$	$\mathbb{R}$	$+\infty$
$\sum_{n \ge 0} \dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sin x$	$\mathbb{R}$	$+\infty$
$\sum_{n \ge 0} \dfrac{x^{2n}}{(2n)!} = \mathrm{ch}\, x$	$\mathbb{R}$	$+\infty$
$\sum_{n \ge 0} \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \mathrm{sh}\, x$	$\mathbb{R}$	$+\infty$
$\sum_{n \ge 1} \dfrac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = \ln(1+x)$	$(-1 ; 1]$	$1$
$\sum_{n \ge 0} \dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = \arctan x$	$[-1 ; 1]$	$1$
$1 + \sum_{n \ge 1} \dfrac{\alpha(\alpha-1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!} x^n = (1+x)^\alpha$	$(-1 ; 1)$ pour $\alpha \notin \mathbb{N}$ (intérieur)	$1$

Remarque sur $(1+x)^\alpha$. L'énoncé de la Proposition ci-dessus est sur l'intervalle ouvert $(-1 ; 1)$. Le comportement au bord en $\pm 1$ dépend de $\alpha$ — convergence en $1$ pour $\alpha > -1$, en $-1$ pour $\alpha > 0$ (par Abel radial combiné au critère de Raabe-Duhamel pour la série au bord, hors du cadre du programme) ; la table ne consigne que le domaine intérieur pour rester dans le programme.

Méthode — Obtenir un développement en série entière --- les 5 méthodes

(1) Développements usuels + opérations. Combiner la table ci-dessus via les Propositions de combinaison linéaire et de produit de Cauchy du \S 1.3. Exemple : $x \ln(1 - x) + 2 \mathrm{e}^x$ assemble des combinaisons linéaires de $\ln(1 - x)$ et $\mathrm{e}^x$.
(2) Dérivation ou intégration terme à terme. Utiliser \S 3.1 ou \S 3.2 pour dériver le développement de $f' \to f$ ou $\int f$ depuis un développement connu.
(3) Majoration par Taylor-Lagrange. Pour $f$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ près de $0$ avec $|f^{(n+1)}(t)| \le M_{n+1}$ sur un voisinage, le reste du développement de Taylor à l'ordre $n$ est $\le M_{n+1} \, |x|^{n+1}/(n+1)!$ ; s'il tend vers $0$ quand $n \to +\infty$, $f$ est égale à sa série de Taylor. Utilisé pour $\exp$, $\cos$, $\sin$ ci-dessus.
(4) Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle $P/Q$, après simplification d'un facteur commun éventuel de $P$ et $Q$ : le dénominateur réduit $\widetilde{Q}$ doit vérifier $\widetilde{Q}(0) \ne 0$ (pas de pôle en $0$). Décomposer $P/\widetilde{Q}$ en éléments simples $c/(x - a)^k$ avec $a \ne 0$, puis développer chaque $1/(x - a) = (-1/a) \sum (x/a)^n$ sur $|x| < |a|$ et dériver $k - 1$ fois. Le rayon du résultat vaut la distance de $0$ au pôle le plus proche. (Si $\widetilde{Q}(0) = 0$, $P/Q$ a un véritable pôle en $0$ et n'est pas développable en série entière en ce point.)
(5) Analyse-synthèse par EDO. Postuler $y = \sum a_n x^n$, injecter dans une EDO linéaire vérifiée par $f$, en déduire la récurrence sur les coefficients par identification, résoudre la récurrence, vérifier que la série candidate a un rayon positif (souvent par d'Alembert), puis identifier avec $f$ par unicité de Cauchy. Utilisé pour $(1+x)^\alpha$ ci-dessus.

Pour aller plus loin

Les fonctions développables en série entière en tout point d'un ouvert de $\mathbb{R}$ (resp.\ $\mathbb{C}$) sont appelées analytiques ; les fonctions analytiques sont le pont entre ce chapitre et l'analyse complexe (hors programme). La fonction $\exp$ définie ici sur $\mathbb{C}$ est le même objet série-défini que Exponentielle de matrice (chapitre 23) généralise à $\exp(tA)$ pour une matrice carrée $A$.

Compétences à pratiquer

Obtenir un développement usuel ou de fraction rationnelle

Série	Domaine	\(R\)
\(\sum_{n \ge 0} z^n = \dfrac{1}{1 - z}\)	\(D(0 \virgule 1) \subset \mathbb{C}\)	\(1\)
\(\sum_{n \ge 0} \dfrac{z^n}{n!} = \mathrm{e}^z\)	\(\mathbb{C}\)	\(+\infty\)
\(\sum_{n \ge 0} \dfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = \cos x\)	\(\mathbb{R}\)	\(+\infty\)
\(\sum_{n \ge 0} \dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sin x\)	\(\mathbb{R}\)	\(+\infty\)
\(\sum_{n \ge 0} \dfrac{x^{2n}}{(2n)!} = \mathrm{ch}\, x\)	\(\mathbb{R}\)	\(+\infty\)
\(\sum_{n \ge 0} \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \mathrm{sh}\, x\)	\(\mathbb{R}\)	\(+\infty\)
\(\sum_{n \ge 1} \dfrac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = \ln(1+x)\)	\((-1 ; 1]\)	\(1\)
\(\sum_{n \ge 0} \dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = \arctan x\)	\([-1 ; 1]\)	\(1\)
\(1 + \sum_{n \ge 1} \dfrac{\alpha(\alpha-1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!} x^n = (1+x)^\alpha\)	\((-1 ; 1)\) pour \(\alpha \notin \mathbb{N}\) (intérieur)	\(1\)