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Intégrales à paramètre

⌚ ~75 min ▢ 9 blocs ✓ 14 exercices ➣ Prérequis : Intégration sur un intervalle quelconque, Suites et séries de fonctions, Séries numériques et vectorielles

Le chapitre Intégrales généralisées sur un intervalle quelconque a bâti la théorie de l'intégration des fonctions continues par morceaux sur un intervalle général $I \subset \mathbb{R}$ : convergence, intégrabilité ($L^1(I, \mathbb{K})$), convergence absolue, intégration des relations $O$, $o$, $\sim$. Le chapitre Suites et séries de fonctions a enseigné comment échanger limite et intégrale lorsque la convergence est uniforme sur un segment. Sur un intervalle quelconque, la convergence uniforme est cependant souvent indisponible --- la « bosse glissante » la plus simple $f_n = n\,\mathbf{1}_{]0, 1/n]}$ converge simplement vers $0$ sur $[0, 1]$ et pourtant $\int_0^1 f_n = 1$ pour tout $n$. Le présent chapitre donne deux outils qui survivent sur un $I$ général : le théorème de convergence dominée (CD), où l'uniformité est remplacée par une domination commune intégrable, et l'intégration terme à terme (ITTT), l'analogue pour les séries. De ces deux outils découle la régularité d'une fonction $g(x) = \int_I f(x, t)\,\mathrm{d}t$ : continuité, classe $\mathcal{C}^1$, classe $\mathcal{C}^k$, et études asymptotiques.
Le chapitre a quatre sections. La section~1 énonce CD et son extension à un paramètre continu. La section~2 énonce ITTT dans sa forme pour les fonctions positives et dans sa forme signée / complexe sous l'hypothèse d'intégrabilité absolue $\sum \int_I \lvert f_n \rvert < +\infty$. La section~3 passe à $g(x) = \int_I f(x, t)\,\mathrm{d}t$ et démontre la continuité à partir d'une domination de $\lvert f(x, t) \rvert$. La section~4 démontre la règle de Leibniz $g'(x) = \int_I \partial f / \partial x (x, t)\,\mathrm{d}t$, l'étend à la classe $\mathcal{C}^k$, et clôt sur la recette standard pour l'étude asymptotique d'une intégrale à paramètre. La célèbre angoisse de Hermite face aux fonctions pathologiques de son temps --- « je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions continues qui n'ont pas de dérivée » (Hermite à Stieltjes, mai~1893) --- prépare la scène des outils de l'ère Lebesgue que ce chapitre introduit et qui résolvent, dans le cadre prépa, les tensions de passage à la limite que Hermite ne pouvait que pressentir.
Notations permanentes. Dans tout le chapitre, $I$ et $J$ désignent des intervalles de $\mathbb{R}$, $I$ étant l'intervalle de la variable d'intégration. Le paramètre est noté $x$ dans tout le chapitre, qu'il parcoure $\mathbb{N}$ (§1.1), un intervalle réel $J \subset \mathbb{R}$ (§1.2 et §4), ou $A$ (§3, où $A$ est une partie d'un espace vectoriel normé de dimension finie sur $\mathbb{R}$). Toutes les fonctions sont à valeurs dans $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{K} = \mathbb{C}$. « p.m. » abrège continue par morceaux. Conformément à la convention du programme, le chapitre ne ré-énonce pas l'hypothèse de continuité par morceaux en $t$ à chaque exemple courant : elle est vérifiée une fois lors de la présentation de l'intégrande puis tacitement réutilisée. Les théorèmes des sections~3 et~4 sont énoncés par défaut dans leur forme à domination locale, qui est la forme utilisée dans tous les exemples de CPGE ; la forme à domination globale est consignée comme cas limite plus simple.

I Convergence dominée

I.1 Le théorème de convergence dominée

Sur un segment $[a, b]$, le chapitre Suites et séries de fonctions autorisait l'échange limite-intégrale sous convergence uniforme de $(f_n)$ vers $f$. Sur un intervalle quelconque $I$, la convergence uniforme est trop forte : la bosse glissante $f_n = n\,\mathbf{1}_{]0, 1/n]}$ converge simplement vers $0$ sur $[0, 1]$ mais $\norme{f_n - 0}_\infty = n$ pour tout $n$, de sorte que la convergence est loin d'être uniforme. Le théorème de convergence dominée échange l'uniformité contre une domination intégrable commune $\varphi$ : $\lvert f_n \rvert \le \varphi$ pour tout $n$, $\varphi$ intégrable. La conclusion est exactement celle du cas segment --- $\int_I f_n \to \int_I f$.

Theorem — Théorème de convergence dominée

Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions $f_n \colon I \to \mathbb{K}$. On suppose :

chaque $f_n$ est continue par morceaux sur $I$ ;
$(f_n)$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $f \colon I \to \mathbb{K}$ continue par morceaux sur $I$ ;
il existe $\varphi \colon I \to \mathbb{R}_+$ intégrable sur $I$ telle que $\forall n \in \mathbb{N},\ \forall t \in I,\ \lvert f_n(t) \rvert \le \varphi(t)$.

Alors chaque $f_n$ et $f$ sont intégrables sur $I$ et $$ \int_I f_n(t)\,\mathrm{d}t \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_I f(t)\,\mathrm{d}t. $$

Remarque. La démonstration est hors programme. La preuve repose sur la théorie de l'intégration de Lebesgue, hors de portée de ce chapitre. Deux consolations : (i) le théorème lui-même est parmi les plus puissants de l'analyse classique --- ses hypothèses sont remarquablement économiques (convergence simple + domination), et (ii) le programme indique aussi « L'étude des intégrales semi-convergentes n'est pas un objectif du programme » --- ce qui est cohérent ici, puisque CD requiert intrinsèquement l'intégrabilité absolue par le biais du dominant intégrable $\varphi$.

Méthode — Appliquer le théorème de convergence dominée

La procédure en 3 étapes :

vérifier que chaque $f_n$ est continue par morceaux sur $I$ ;
calculer la limite simple $f$ ponctuellement sur $I$ et vérifier que $f$ est continue par morceaux ;
exhiber un dominant intégrable $\varphi \colon I \to \mathbb{R}_+$ tel que $\lvert f_n \rvert \le \varphi$ pour tout $n$, et vérifier que $\varphi$ est intégrable sur $I$.

On en déduit $\int_I f_n \to \int_I f$. Attention : le dominant $\varphi$ ne doit pas dépendre de $n$.

Exemple

Montrer que $I_n = \displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{1 + t^n}{1 + t^{n+2}}\,\mathrm{d}t \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1$.
Posons $f_n(t) = (1 + t^n)/(1 + t^{n+2})$ sur $I = [1, +\infty[$. Chaque $f_n$ est continue sur $I$, donc continue par morceaux. Pour $t > 1$, $t^n \to +\infty$ donc $f_n(t) \sim t^n / t^{n+2} = 1/t^2$ ; en $t = 1$, $f_n(1) = 2/2 = 1 = 1/1^2$. Ainsi $f_n(t) \to f(t) = 1/t^2$ sur $[1, +\infty[$, avec $f$ continue sur $I$. Pour le dominant, sur $[1, +\infty[$ on a $t^n \le t^{n+2}$, donc $1 + t^n \le 1 + t^{n+2} \le 2 t^{n+2}$ (puisque $1 \le t^{n+2}$), d'où $$ \lvert f_n(t) \rvert = \frac{1 + t^n}{1 + t^{n+2}} \le \frac{2 t^{n+2}}{t^{n+2}} = 2 \quad \text{mais aussi} \quad \frac{1 + t^n}{1 + t^{n+2}} \le \frac{2 t^n}{t^{n+2}} = \frac{2}{t^2}. $$ Le dominant $\varphi(t) = 2/t^2$ est intégrable sur $[1, +\infty[$ (référence de Riemann, $\alpha = 2 > 1$). Par le théorème de convergence dominée, $$ I_n = \int_1^{+\infty} f_n(t)\,\mathrm{d}t \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_1^{+\infty} \frac{1}{t^2}\,\mathrm{d}t = 1. $$

Exemple

Style Wallis : $W_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n(t)\,\mathrm{d}t \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$.
Posons $f_n(t) = \sin^n(t)$ sur $I = [0, \pi/2]$. Chaque $f_n$ est continue sur $I$. Pour $t \in [0, \pi/2[$, $0 \le \sin(t) < 1$, donc $f_n(t) \to 0$ ; en $t = \pi/2$, $\sin(t) = 1$ et $f_n(\pi/2) = 1$ pour tout $n$. La limite simple est $$ f(t) = \begin{cases} 0 & \text{si } t \in [0, \pi/2[, \\ 1 & \text{si } t = \pi/2, \end{cases} $$ continue par morceaux sur $[0, \pi/2]$. La constante $\varphi \equiv 1$ domine tous les $f_n$ sur $[0, \pi/2]$ (puisque $0 \le \sin t \le 1$), et $\varphi$ est intégrable sur le segment $[0, \pi/2]$. Par CD, $$ W_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_0^{\pi/2} f(t)\,\mathrm{d}t = 0 $$ (la valeur au point unique $t = \pi/2$ contribue pour $0$ à l'intégrale).

Contre-exemple 1 (la bosse glissante). L'hypothèse de domination est essentielle : sans elle, la convergence $\int_I f_n \to \int_I f$ tombe en défaut (ici chaque $f_n$ et la limite se trouvent intégrables, mais les intégrales ne convergent pas vers l'intégrale de la limite). Considérons $f_n(t) = e^{-t}\,t^n / n!$ sur $\mathbb{R}_+$. Chaque $f_n$ est continue sur $\mathbb{R}_+$ et intégrable (décroissance de type Gamma en $+\infty$). Pour tout $t \ge 0$ fixé, par comparaisons élémentaires $t^n / n! \to 0$ quand $n \to +\infty$, donc $f_n(t) \to 0$ sur $\mathbb{R}_+$ --- la limite simple est la fonction nulle. Pourtant un calcul direct (IPP $n$ fois, $\int_0^\infty t^n e^{-t}\,\mathrm{d}t = n!$) donne $$ \int_0^{+\infty} f_n(t)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{n!}\int_0^{+\infty} t^n e^{-t}\,\mathrm{d}t = \frac{n!}{n!} = 1 \quad \text{pour tout } n, $$ ce qui ne tend pas vers $\int_0^{+\infty} 0\,\mathrm{d}t = 0$. Aucun dominant intégrable $\varphi$ n'existe : un tel $\varphi$ devrait majorer $f_n$ ponctuellement pour tout $n$, mais les $f_n$ empilent une « bosse glissante » d'aire constante $1$ qui dérive vers la droite (le pic de $f_n$ est près de $t = n$ avec une valeur d'environ $1/\sqrt{2\pi n}$), si bien que l'enveloppe supérieure $\sup_n f_n$ n'est pas intégrable.

Les bosses successives dérivent vers la droite en conservant une aire constante $1$ sous chacune : c'est l'obstruction géométrique à la convergence dominée. (Les courbes sont redimensionnées verticalement pour la lisibilité ; les vraies $f_n$ enferment chacune une aire unité.)

Contre-exemple 2 (l'indicatrice échelonnée). Définissons $f_n(t) = n\,\mathbf{1}_{]0, 1/n]}(t)$ sur $[0, 1]$ (ouverture à gauche pour que $f_n(0) = 0$ pour tout $n$). Chaque $f_n$ est continue par morceaux sur $[0, 1]$. En $t = 0$, $f_n(0) = 0$ pour tout $n$ ; pour $t \in ]0, 1]$, dès que $n > 1/t$ on a $t > 1/n$ donc $f_n(t) = 0$. Ainsi $f_n(t) \to 0$ pour tout $t \in [0, 1]$ --- la limite simple est la fonction nulle. Pourtant $\int_0^1 f_n(t)\,\mathrm{d}t = n \cdot (1/n) = 1$ pour tout $n$, ce qui ne tend pas vers $0$. Là encore aucun dominant intégrable n'existe : l'enveloppe $\varphi(t) = \sup_n f_n(t)$ vaut $\lfloor 1/t \rfloor$, finie en chaque $t > 0$ mais $\sim 1/t$ quand $t \to 0^+$, donc non intégrable sur $]0, 1]$.

Compétences à pratiquer

Appliquer le théorème de convergence dominée

I.2 Extension à un paramètre continu

Le même énoncé persiste lorsque l'indice discret $n \in \mathbb{N}$ est remplacé par un paramètre continu $x$ parcourant un intervalle $J \subset \mathbb{R}$ et tendant vers un point adhérent $x_0$ de $J$ (éventuellement $\pm\infty$). La démonstration est courte et tient à l'intérieur de ce chapitre : elle se ramène au cas séquentiel par la caractérisation séquentielle des limites dans $\mathbb{R}$ (resp.~dans $\overline{\mathbb{R}}$).

Theorem — Convergence dominée -- paramètre continu

Soit $J \subset \mathbb{R}$ un intervalle et $(f_x)_{x \in J}$ une famille de fonctions $f_x \colon I \to \mathbb{K}$. Soit $x_0$ un point adhérent à $J$ dans $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}$ (le cas $\pm\infty$ est automatiquement inclus lorsque $J$ est non borné). On suppose :

pour tout $x \in J$, $f_x$ est continue par morceaux sur $I$ ;
pour tout $t \in I$, $f_x(t) \xrightarrow[x \to x_0]{} \ell(t)$ où $\ell \colon I \to \mathbb{K}$ est continue par morceaux sur $I$ ;
il existe $\varphi \colon I \to \mathbb{R}_+$ intégrable sur $I$ telle que $\forall x \in J,\ \forall t \in I,\ \lvert f_x(t) \rvert \le \varphi(t)$.

Alors chaque $f_x$ et $\ell$ sont intégrables sur $I$ et $$ \int_I f_x(t)\,\mathrm{d}t \xrightarrow[x \to x_0]{} \int_I \ell(t)\,\mathrm{d}t. $$

Preuve

Par la caractérisation séquentielle des limites dans $\overline{\mathbb{R}}$, il suffit de montrer que pour toute suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de $J$ avec $x_n \to x_0$, $\int_I f_{x_n}(t)\,\mathrm{d}t \to \int_I \ell(t)\,\mathrm{d}t$. Fixons une telle suite et posons $g_n = f_{x_n}$. Alors :

chaque $g_n = f_{x_n}$ est continue par morceaux sur $I$ (première hypothèse appliquée à $x = x_n$) ;
pour tout $t \in I$, $g_n(t) = f_{x_n}(t) \to \ell(t)$ (deuxième hypothèse, la limite étant indépendante de la suite choisie) ;
$\lvert g_n \rvert = \lvert f_{x_n} \rvert \le \varphi$ sur $I$ pour tout $n$ (troisième hypothèse appliquée à $x = x_n$).

La CD séquentielle (§1.1) s'applique à $(g_n)$ et donne $\int_I g_n \to \int_I \ell$. Comme ceci vaut pour toute suite $(x_n) \to x_0$ dans $J$, la caractérisation séquentielle des limites entraîne $\int_I f_x(t)\,\mathrm{d}t \xrightarrow[x \to x_0]{} \int_I \ell(t)\,\mathrm{d}t$.

Exemple

Montrer que $\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{1 + t^2}\,\mathrm{d}t \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0$.
Posons $f_x(t) = e^{-xt}/(1 + t^2)$ sur $I = [0, +\infty[$ pour $x \in J = [0, +\infty[$. Chaque $f_x$ est continue sur $I$. Pour $t > 0$, $e^{-xt} \to 0$ quand $x \to +\infty$, donc $f_x(t) \to 0$ ; pour $t = 0$, $f_x(0) = 1 \to 1$. La limite simple est $$ \ell(t) = \begin{cases} 1 & \text{si } t = 0, \\ 0 & \text{si } t > 0, \end{cases} $$ continue par morceaux sur $[0, +\infty[$. Pour le dominant, comme $e^{-xt} \le 1$ pour tous $x \ge 0$ et $t \ge 0$, $\lvert f_x(t) \rvert \le 1/(1 + t^2) =: \varphi(t)$, et $\varphi$ est intégrable sur $[0, +\infty[$ ($\int_0^\infty \mathrm{d}t/(1 + t^2) = \pi/2$). Par la CD continue, $$ \int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{1 + t^2}\,\mathrm{d}t \xrightarrow[x \to +\infty]{} \int_0^{+\infty} \ell(t)\,\mathrm{d}t = 0 $$ (la valeur au point unique $t = 0$ contribue pour $0$).

Compétences à pratiquer

Calculer une limite d'intégrales

II Intégration terme à terme

II.1 Le cas positif

L'analogue de la convergence dominée pour les séries : quand peut-on échanger $\sum$ et $\int_I$ ? Lorsque tous les $f_n \ge 0$, la réponse est la plus simple possible --- l'échange est toujours licite comme égalité dans $[0, +\infty]$, les deux membres étant simultanément finis ou simultanément $+\infty$. Conformément à la convention du programme, ce paragraphe ne ré-énonce pas l'hypothèse de continuité par morceaux en $t$ pour les exemples courants : « Pour l'application pratique des énoncés de ce paragraphe, on vérifie les hypothèses de convergence simple et de positivité ou de sommabilité, sans expliciter celles relatives à la continuité par morceaux par rapport à $t$. »

Theorem — Intégration terme à terme -- cas positif

Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions $f_n \colon I \to \mathbb{R}_+$. On suppose :

chaque $f_n$ est continue par morceaux et intégrable sur $I$ ;
$\sum f_n$ converge simplement sur $I$, de somme $S(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(t)$ continue par morceaux sur $I$.

Alors l'égalité suivante a lieu dans $[0, +\infty]$ : $$ \int_I \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(t)\,\mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_I f_n(t)\,\mathrm{d}t. $$ Forme opérationnelle : la somme $S$ est intégrable sur $I$ si et seulement si $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \int_I f_n(t)\,\mathrm{d}t < +\infty$, et dans ce cas l'égalité ci-dessus a lieu dans $\mathbb{R}_+$.

Remarque. La démonstration est hors programme. Comme pour le théorème de convergence dominée, la preuve relève de la théorie de Lebesgue ; l'énoncé ci-dessus est ce que l'étudiant utilise, non ce qu'il démontre.

Exemple

Montrer que $\displaystyle\int_0^1 \frac{-\ln(t)}{1 - t}\,\mathrm{d}t = \frac{\pi^2}{6}$.
Pour $t \in ]0, 1[$, la série géométrique donne $1/(1 - t) = \sum_{n \ge 0} t^n$, donc $$ \frac{-\ln(t)}{1 - t} = -\ln(t)\,\sum_{n=0}^{+\infty} t^n = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(t) \quad \text{avec} \quad f_n(t) = -t^n \ln(t). $$ Pour $t \in ]0, 1[$, $-\ln(t) > 0$ et $t^n \ge 0$, donc $f_n \ge 0$ sur $]0, 1[$. Chaque $f_n$ est continue sur $]0, 1[$ et intégrable : IPP avec $u = -\ln(t)$, $\mathrm{d}v = t^n\,\mathrm{d}t$ donne $$ \int_0^1 -t^n \ln(t)\,\mathrm{d}t = \left[ \frac{-t^{n+1} \ln(t)}{n+1} \right]_0^1 + \frac{1}{n+1} \int_0^1 t^n\,\mathrm{d}t = 0 + \frac{1}{(n+1)^2} = \frac{1}{(n+1)^2}. $$ La somme simple $S(t) = -\ln(t)/(1 - t)$ est continue sur $]0, 1[$ : elle se prolonge continûment en $t = 1$ ($S(t) \to 1$ quand $t \to 1^-$), et bien que $S(t) \to +\infty$ quand $t \to 0^+$, elle reste intégrable près de $0$ puisque $S(t) \sim -\ln(t)$ y est, avec $-\ln(t)$ intégrable sur $]0, 1]$. Toutes les hypothèses sont vérifiées. Par intégration terme à terme (cas positif), $$ \int_0^1 \frac{-\ln(t)}{1 - t}\,\mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(n+1)^2} = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}. $$ La dernière identité est la somme bien connue rappelée de Séries numériques et vectorielles. Le membre de droite est fini, donc l'intégrande est intégrable sur $]0, 1[$ (forme opérationnelle).

Compétences à pratiquer

Intégrer terme à terme une série positive

II.2 Le cas signé et complexe

Lorsque les $f_n$ changent de signe (ou sont à valeurs complexes), la convergence simple ne suffit plus : il existe des séries pour lesquelles $\sum f_n$ converge simplement vers une fonction $S$, chaque $f_n$ est intégrable, et pourtant $S$ n'est pas intégrable sur $I$, ou l'identité terme à terme tombe en défaut. Le remède est d'ajouter l'hypothèse d'intégrabilité absolue $\sum \int_I \lvert f_n \rvert < +\infty$. Le parallèle avec la théorie des familles sommables est exact : « On met en évidence le parallélisme de cet énoncé et du précédent avec ceux issus de la théorie des familles sommables. » (programme, p.~21).

Theorem — Intégration terme à terme -- cas signé/complexe

Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions $f_n \colon I \to \mathbb{K}$. On suppose :

chaque $f_n$ est continue par morceaux et intégrable sur $I$ ;
$\sum f_n$ converge simplement sur $I$, de somme $S(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(t)$ continue par morceaux sur $I$ ;
$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \int_I \lvert f_n(t) \rvert\,\mathrm{d}t < +\infty$ (intégrabilité absolue).

Alors $S$ est intégrable sur $I$ et $$ \int_I \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(t)\,\mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_I f_n(t)\,\mathrm{d}t. $$

Remarque. La démonstration est hors programme. La preuve relève à nouveau de la théorie de Lebesgue et repose sur l'hypothèse d'intégrabilité absolue combinée au théorème du cas positif. Le parallèle avec les familles sommables est structurel --- c'est le même échange somme-intégrale de type Fubini, formulé dans le cadre de l'intégration.

Méthode — Lorsque l'intégration terme à terme échoue : convergence dominée sur les sommes partielles

Lorsque l'hypothèse d'intégrabilité absolue $\sum \int_I \lvert f_n \rvert < +\infty$ est en défaut, l'ITTT signé ne s'applique pas directement. Le programme écrit : « On présente des exemples sur lesquels cet énoncé ne s'applique pas, mais dans lesquels l'intégration terme à terme peut être justifiée par le théorème de convergence dominée pour les sommes partielles. » La recette :

écrire la somme partielle $S_N(t) = \displaystyle\sum_{n=0}^{N} f_n(t)$ ;
dominer $(S_N)_N$ par un unique $\varphi \colon I \to \mathbb{R}_+$ intégrable (souvent via une majoration de série alternée ou un argument téléscopique exploitant la compensation des signes) ;
appliquer le théorème de convergence dominée (§1.1) à $(S_N)$ : $\int_I S_N \to \int_I S$ ;
lire $\int_I S_N = \sum_{n=0}^{N} \int_I f_n$ par linéarité, puis passer à la limite $N \to +\infty$ dans les deux membres pour obtenir l'identité terme à terme.

Exemple

Montrer que $\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{e^t - 1}\,\mathrm{d}t = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2 + 1}$.
Pour $t > 0$, $e^t > 1$ donc $1/(e^t - 1) = e^{-t}/(1 - e^{-t}) = e^{-t} \sum_{k \ge 0} e^{-kt} = \sum_{n \ge 1} e^{-nt}$ (série géométrique, valable puisque $0 < e^{-t} < 1$ pour $t > 0$). Ainsi $$ \frac{\sin(t)}{e^t - 1} = \sum_{n=1}^{+\infty} f_n(t) \quad \text{avec} \quad f_n(t) = e^{-nt} \sin(t). $$ Chaque $f_n$ est continue sur $]0, +\infty[$ et intégrable : $\lvert f_n(t) \rvert \le e^{-nt}$, intégrable sur $]0, +\infty[$ d'intégrale $1/n$.
Vérification de l'intégrabilité absolue. Avec la majoration globale $\lvert \sin t \rvert \le t$ valable pour $t \ge 0$, $\lvert f_n(t) \rvert = e^{-nt} \lvert \sin t \rvert \le t\,e^{-nt}$, et $\int_0^\infty t\,e^{-nt}\,\mathrm{d}t = 1/n^2$ (IPP). Donc $\sum_{n \ge 1} \int_0^\infty \lvert f_n \rvert \le \sum_{n \ge 1} 1/n^2 < +\infty$ --- l'hypothèse d'ITTT signé est vérifiée.
Calcul de $\int_0^\infty f_n$. Soit par IPP deux fois sur $\int_0^\infty e^{-nt} \sin t\,\mathrm{d}t$, soit en écrivant $\sin t = \mathrm{Im}(e^{it})$ et en calculant $\int_0^\infty e^{-nt} e^{it}\,\mathrm{d}t = 1/(n - i) = (n + i)/(n^2 + 1)$ dont la partie imaginaire donne $\int_0^\infty e^{-nt} \sin t\,\mathrm{d}t = 1/(n^2 + 1)$.
Par intégration terme à terme (cas signé), $$ \int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{e^t - 1}\,\mathrm{d}t = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2 + 1}. $$

Exemple

Contre-exemple à l'ITTT absolu, rattrapé par CD sur les sommes partielles : calculer $\displaystyle\int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}\,(1 + t)} = \frac{\pi}{2}$ et l'identité résultante $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n + 1/2} = \frac{\pi}{2}$.
Sur $]0, 1[$, $1/(1 + t) = \sum_{n \ge 0} (-1)^n t^n$ (série géométrique), donc $$ \frac{1}{\sqrt{t}\,(1 + t)} = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(t) \quad \text{avec} \quad f_n(t) = (-1)^n t^{n - 1/2}. $$ Chaque $f_n$ est continue sur $]0, 1[$ et intégrable : $\int_0^1 \lvert f_n \rvert\,\mathrm{d}t = \int_0^1 t^{n - 1/2}\,\mathrm{d}t = 1/(n + 1/2)$.
L'intégrabilité absolue est en défaut : $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \int_0^1 \lvert f_n \rvert = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n + 1/2}$ diverge (de type harmonique, puisque $1/(n + 1/2) \sim 1/n$). L'ITTT signé ne s'applique donc pas directement.
Rattrapage par CD sur les sommes partielles. Écrivons $S_N(t) = \sum_{n=0}^{N} (-1)^n t^{n - 1/2} = t^{-1/2}\sum_{n=0}^{N} (-t)^n$. Pour $t \in ]0, 1[$, le terme général $a_n = t^n$ de la somme alternée intérieure est positif décroissant vers $0$, donc par l'encadrement des sommes partielles du CSSA (rappelé de Séries numériques et vectorielles), $0 < 1 - t \le \sum_{n=0}^{N} (-t)^n \le 1$ pour tout $N$, d'où $$ \lvert S_N(t) \rvert \le t^{-1/2} \cdot 1 = t^{-1/2}. $$ Le dominant $\varphi(t) = t^{-1/2}$ est intégrable sur $]0, 1[$ (type Riemann, $\alpha = 1/2 < 1$).
Par CD appliqué à $(S_N)$, $\int_0^1 S_N(t)\,\mathrm{d}t \to \int_0^1 t^{-1/2}/(1 + t)\,\mathrm{d}t$ quand $N \to +\infty$. Par linéarité $\int_0^1 S_N = \sum_{n=0}^N (-1)^n/(n + 1/2)$, donc le passage à la limite donne $$ \int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}\,(1 + t)} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n + 1/2}. \tag{$\star$} $$ Évaluation explicite par substitution élémentaire. Posons $u = \sqrt{t}$, donc $t = u^2$ et $\mathrm{d}t = 2u\,\mathrm{d}u$ ; les bornes $t \in ]0, 1[$ deviennent $u \in ]0, 1[$. Alors $$ \int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}\,(1 + t)} = \int_0^1 \frac{2u\,\mathrm{d}u}{u\,(1 + u^2)} = 2\int_0^1 \frac{\mathrm{d}u}{1 + u^2} = 2 \arctan(1) - 2\arctan(0) = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}. $$ En combinant avec~$(\star)$, $$ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n + 1/2} = \frac{\pi}{2}. $$ C'est le sous-produit : l'identité terme à terme et une intégration explicite élémentaire fournissent une identité de série alternée non triviale sans aucune machinerie de séries entières au bord du disque.

Compétences à pratiquer

Intégrer terme à terme une série signée

III Continuité d'une intégrale à paramètre

III.1 Domination globale et locale

L'objectif de la section est l'étude de $g(x) = \int_I f(x, t)\,\mathrm{d}t$ où $f \colon A \times I \to \mathbb{K}$ et $A$ est une partie d'un espace vectoriel normé de dimension finie sur $\mathbb{R}$. Deux questions : (i) pour quels $x \in A$ la valeur $g(x)$ est-elle définie ? (ii) $g$ est-elle continue sur $A$ ? Conformément à la convention du programme, les hypothèses de continuité par morceaux en $t$ sont énoncées une fois et non ré-vérifiées à chaque exemple : « Pour l'application pratique des énoncés de ce paragraphe, on vérifie les hypothèses de régularité par rapport à $x$ et de domination, sans expliciter celles relatives à la continuité par morceaux par rapport à $t$. »

Theorem — Continuité sous le signe intégral -- domination globale

Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé de dimension finie sur $\mathbb{R}$, $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, et $f \colon A \times I \to \mathbb{K}$. On suppose :

pour tout $t \in I$, $x \mapsto f(x, t)$ est continue sur $A$ ;
pour tout $x \in A$, $t \mapsto f(x, t)$ est continue par morceaux sur $I$ ;
il existe $\varphi \colon I \to \mathbb{R}_+$ intégrable sur $I$ telle que $\forall x \in A,\ \lvert f(x, \cdot) \rvert \le \varphi$ sur $I$.

Alors $g \colon x \mapsto \displaystyle\int_I f(x, t)\,\mathrm{d}t$ est définie et continue sur $A$.

Preuve

Existence de $g(x)$. Pour tout $x \in A$, $\lvert f(x, \cdot) \rvert \le \varphi$ avec $\varphi$ intégrable sur $I$, donc $t \mapsto f(x, t)$ est intégrable sur $I$ et $g(x) = \int_I f(x, t)\,\mathrm{d}t$ est définie.
Continuité en $x_0 \in A$. Par la caractérisation séquentielle de la continuité dans un evn de dimension finie, il suffit de montrer que pour toute suite $(x_n)$ de $A$ avec $x_n \to x_0$, $g(x_n) \to g(x_0)$. Fixons une telle suite et posons $g_n(t) = f(x_n, t)$. Alors :

chaque $g_n$ est continue par morceaux sur $I$ (deuxième hypothèse avec $x = x_n$) ;
pour tout $t \in I$, $g_n(t) = f(x_n, t) \to f(x_0, t)$ par continuité de $x \mapsto f(x, t)$ en $x_0$ (première hypothèse) ; la limite $f(x_0, \cdot)$ est continue par morceaux sur $I$ (deuxième hypothèse avec $x = x_0$) ;
$\lvert g_n \rvert = \lvert f(x_n, \cdot) \rvert \le \varphi$ sur $I$ (troisième hypothèse avec $x = x_n$).

La CD séquentielle (§1.1) s'applique et donne $g(x_n) = \int_I g_n \to \int_I f(x_0, \cdot) = g(x_0)$.

Theorem — Continuité sous le signe intégral -- domination locale

Même cadre que ci-dessus, la domination globale étant affaiblie en : sur tout compact $K \subset A$, il existe $\varphi_K \colon I \to \mathbb{R}_+$ intégrable sur $I$ telle que $\forall x \in K,\ \lvert f(x, \cdot) \rvert \le \varphi_K$ sur $I$. Alors $g \colon x \mapsto \int_I f(x, t)\,\mathrm{d}t$ est définie et continue sur $A$.
Remarque (programme, p.~21). « En pratique, on vérifie l'hypothèse de domination sur tout segment de $A$, ou sur d'autres intervalles adaptés à la situation. » Lorsque $A$ est un intervalle de $\mathbb{R}$, il suffit de vérifier la domination sur tout segment $[a, b] \subset A$ --- tout compact de $A$ est contenu dans un tel segment, de sorte que les segments forment la famille de test commode.

Preuve

La continuité est une propriété locale, il suffit donc de la vérifier sur tout compact $K \subset A$. Fixons $K$ ; l'hypothèse de domination locale fournit une fonction $\varphi_K$ intégrable sur $I$ telle que $\lvert f(x, \cdot) \rvert \le \varphi_K$ pour tout $x \in K$. Le triplet d'hypothèses nécessaire au théorème à domination globale, appliqué avec $A$ remplacé par $K$ et $\varphi$ par $\varphi_K$, est satisfait. Donc $g$ restreinte à $K$ est continue sur $K$. Comme ceci vaut pour tout compact $K \subset A$, $g$ est continue sur $A$.

Méthode — Procédure de domination locale

La procédure standard en 3 étapes pour appliquer le théorème à domination locale :

fixer un compact $K \subset A$ --- lorsque $A$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ (cas typique en CPGE), prendre $K = [a, b] \subset A$ ; en général, prendre un compact $K \subset A$ quelconque ;
pour $x \in K$, dominer $\lvert f(x, t) \rvert$ par une fonction $\varphi_K(t)$ indépendante de $x$ (typiquement le pire cas sur $K$, par exemple $\varphi_K(t) = \sup_{x \in K} \lvert f(x, t) \rvert$ lorsque ce supremum est lui-même intégrable, ou un dominant astucieux issu d'une monotonie en $x$) ;
vérifier que $\varphi_K$ est intégrable sur $I$.

Exemple

Démarrage : montrer que $g(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t} \sin(xt)\,\mathrm{d}t$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$.
Posons $f(x, t) = e^{-t} \sin(xt)$ sur $\mathbb{R} \times [0, +\infty[$. Pour tout $t \ge 0$, $x \mapsto e^{-t} \sin(xt)$ est continue sur $\mathbb{R}$ (composée de fonctions continues). Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $t \mapsto e^{-t} \sin(xt)$ est continue sur $[0, +\infty[$, donc continue par morceaux. Domination globale : pour tous $x \in \mathbb{R}$ et $t \ge 0$, $\lvert e^{-t} \sin(xt) \rvert \le e^{-t}$, et $\varphi(t) = e^{-t}$ est intégrable sur $[0, +\infty[$ avec $\int_0^\infty e^{-t}\,\mathrm{d}t = 1$. Par le théorème à domination globale, $g$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$.

Exemple

La fonction Gamma d'Euler -- définition et continuité. Définissons $\Gamma(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t}\,t^{x - 1}\,\mathrm{d}t$. Montrer que $\Gamma$ est définie et continue sur $]0, +\infty[$.
Posons $f(x, t) = e^{-t} t^{x - 1}$ sur $]0, +\infty[ \times ]0, +\infty[$.
Domaine de définition. Fixons $x > 0$. La fonction $t \mapsto e^{-t} t^{x - 1}$ est continue sur $]0, +\infty[$. Problème en $0$ : $\int_0^1 t^{x - 1}\,\mathrm{d}t$ est une intégrale de Riemann de référence, convergente ssi $x - 1 > -1$, c'est-à-dire ssi $x > 0$ --- satisfait. Problème en $+\infty$ : par croissance exponentielle dominante, $e^{-t} t^{x - 1} = o(1/t^2)$ quand $t \to +\infty$, donc l'intégrale converge en $+\infty$. Ainsi $\Gamma(x)$ est bien définie pour tout $x > 0$.
Continuité par domination locale. Pour que $x \mapsto f(x, t) = e^{-t} t^{x - 1}$ soit continue en $x$ pour chaque $t > 0$ : $t^{x - 1} = e^{(x - 1)\ln t}$ est continue en $x$, donc oui. Pour que $t \mapsto f(x, t)$ soit continue par morceaux en $t$ pour chaque $x > 0$ : oui (elle est continue sur $]0, +\infty[$). Pour la domination : fixons un segment $[a, b] \subset ]0, +\infty[$ avec $0 < a \le b$. Pour $x \in [a, b]$ et $t > 0$, $$ \lvert e^{-t} t^{x - 1} \rvert = e^{-t} t^{x - 1} \le \varphi_{[a, b]}(t) \quad \text{avec} \quad \varphi_{[a, b]}(t) = \begin{cases} e^{-t} t^{a - 1} & \text{si } 0 < t \le 1, \\ e^{-t} t^{b - 1} & \text{si } t \ge 1, \end{cases} $$ puisque pour $0 < t \le 1$, $t^{x - 1} \le t^{a - 1}$ (car $x \ge a$ et $t \le 1$ rend $t \mapsto t^c$ décroissante en $c$), et pour $t \ge 1$, $t^{x - 1} \le t^{b - 1}$ (car $x \le b$ et $t \ge 1$ rend $t \mapsto t^c$ croissante en $c$). Le dominant $\varphi_{[a, b]}$ est intégrable sur $]0, +\infty[$ par l'argument du domaine de définition appliqué en $x = a$ et $x = b$. Le théorème à domination locale donne $\Gamma$ continue sur tout segment $[a, b] \subset ]0, +\infty[$, donc continue sur $]0, +\infty[$.

Compétences à pratiquer

Démontrer la continuité d'une intégrale à paramètre

III.2 Le cas du segment

Lorsque l'intervalle d'intégration est un segment $[a, b]$, la continuité de $f$ sur $A \times [a, b]$ suffit --- aucune hypothèse de domination n'est requise. La preuve repose sur le fait que toute fonction continue sur un compact est bornée.

Theorem — Continuité sous le signe intégral -- cas du segment

Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé de dimension finie sur $\mathbb{R}$ et $[a, b]$ un segment de $\mathbb{R}$. Soit $f \colon A \times [a, b] \to \mathbb{K}$ continue sur $A \times [a, b]$. Alors $g \colon x \mapsto \int_a^b f(x, t)\,\mathrm{d}t$ est continue sur $A$.
Le résultat est directement utilisable tel quel. Sa preuve est assez courte --- une application de « continue sur un compact $\Rightarrow$ bornée » --- pour être souvent reprise en ligne plutôt qu'invoquée par son nom, la constante de majoration dépendant du compact de $A$ considéré.

Preuve

La conclusion est locale en $A$, il suffit donc de vérifier la continuité en tout $x_0 \in A$. On utilise la caractérisation séquentielle. Fixons $x_0 \in A$ et soit $(x_n)$ une suite de $A$ avec $x_n \to x_0$. L'ensemble $K = \{x_0\} \cup \{x_n : n \in \mathbb{N}\}$ est compact dans l'evn ambiant (une suite convergente avec sa limite est un compact). Le produit $K \times [a, b]$ est alors compact, et $f$ y est continue, donc bornée par une certaine constante $M_K \ge 0$ : $\lvert f(x, t) \rvert \le M_K$ pour tout $(x, t) \in K \times [a, b]$.
La suite $g_n(t) = f(x_n, t)$ vérifie : $g_n$ est continue sur $[a, b]$ (donc continue par morceaux) ; pour tout $t \in [a, b]$, $g_n(t) = f(x_n, t) \to f(x_0, t)$ par continuité de $f$ ; la constante $\varphi \equiv M_K$ domine tous les $\lvert g_n \rvert$ sur $[a, b]$ et est intégrable sur le segment. Par CD séquentielle (§1.1), $g(x_n) = \int_a^b g_n \to \int_a^b f(x_0, \cdot) = g(x_0)$. Comme ceci vaut pour toute suite $(x_n) \to x_0$, $g$ est continue en $x_0$ par caractérisation séquentielle. $x_0$ étant arbitraire, $g$ est continue sur $A$.

Exemple

Montrer que $g(x) = \displaystyle\int_0^1 \frac{\cos(xt)}{1 + t^2}\,\mathrm{d}t$ est continue sur $\mathbb{R}$.
L'intervalle d'intégration $[0, 1]$ est un segment, et $f(x, t) = \cos(xt)/(1 + t^2)$ est continue sur $\mathbb{R} \times [0, 1]$ comme composée de fonctions continues. Par le théorème du cas du segment, $g$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Compétences à pratiquer

Utiliser le cas du segment

IV Classe $\mathcal{C}^1$ et classe $\mathcal{C}^k$

IV.1 Classe $\mathcal{C}^1$ -- théorème de Leibniz

Peut-on échanger $\mathrm{d}/\mathrm{d}x$ et $\int_I$ ? Sur un segment avec convergence uniforme de $\partial f / \partial x$, le chapitre Suites et séries de fonctions répondait « oui ». Sur un intervalle quelconque $I$, le remplacement naturel est à nouveau une domination --- cette fois de $\partial f / \partial x$ par une fonction intégrable $\varphi$. La démonstration est courte et instructive : elle se ramène au théorème de CD continue (§1.2) appliqué au taux d'accroissement $\tau(x, t) = (f(x, t) - f(x_0, t))/(x - x_0)$, la domination de $\tau$ étant obtenue par l'inégalité des accroissements finis. À partir d'ici, le paramètre $x$ parcourt un intervalle $A \subset \mathbb{R}$ (restriction du programme pour l'énoncé $\mathcal{C}^1$).

Theorem — Théorème de Leibniz -- classe $\mathcal{C}^1$$\virgule$ domination globale

Soient $A$ et $I$ deux intervalles de $\mathbb{R}$ et $f \colon A \times I \to \mathbb{K}$. On suppose :

pour tout $t \in I$, $x \mapsto f(x, t)$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $A$ ;
pour tout $x \in A$, $t \mapsto f(x, t)$ est intégrable sur $I$ ;
pour tout $x \in A$, $t \mapsto \partial f / \partial x (x, t)$ est continue par morceaux sur $I$ ;
il existe $\varphi \colon I \to \mathbb{R}_+$ intégrable sur $I$ telle que $\forall x \in A,\ \lvert \partial f / \partial x (x, \cdot) \rvert \le \varphi$ sur $I$.

Alors $g \colon x \mapsto \int_I f(x, t)\,\mathrm{d}t$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $A$ et $$ \forall x \in A,\quad g'(x) = \int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x, t)\,\mathrm{d}t. $$

Preuve

Fixons $x_0 \in A$ et considérons le taux d'accroissement $\tau(x, t) = (f(x, t) - f(x_0, t))/(x - x_0)$ pour $x \in A \setminus \{x_0\}$ et $t \in I$.
(a) Pour chaque $x \in A \setminus \{x_0\}$, $\tau(x, \cdot) = (f(x, \cdot) - f(x_0, \cdot))/(x - x_0)$ est continue par morceaux sur $I$ comme différence de fonctions intégrables, donc continues par morceaux, divisée par une constante non nulle.
(b) Pour chaque $t \in I$, $\tau(x, t) \xrightarrow[x \to x_0]{} \partial f / \partial x (x_0, t)$ par définition de la dérivée partielle en $x$ en $x_0$ (première hypothèse) ; la limite $t \mapsto \partial f / \partial x (x_0, t)$ est continue par morceaux sur $I$ (troisième hypothèse avec $x = x_0$).
(c) Domination de $\tau$. Pour chaque $t \in I$, $x \mapsto f(x, t)$ est $\mathcal{C}^1$ sur $A$ (première hypothèse), et sur le segment $[x_0, x]$ (ou $[x, x_0]$) sa dérivée en $x$ est dominée par $\varphi(t)$ (quatrième hypothèse). L'inégalité des accroissements finis appliquée à $x \mapsto f(x, t)$ sur ce segment donne $$ \lvert f(x, t) - f(x_0, t) \rvert \le \lvert x - x_0 \rvert \cdot \sup_{y \in [x_0, x] \cup [x, x_0]} \lvert \partial f / \partial x (y, t) \rvert \le \lvert x - x_0 \rvert \cdot \varphi(t), $$ d'où $\lvert \tau(x, t) \rvert \le \varphi(t)$ pour tout $x \in A \setminus \{x_0\}$ et tout $t \in I$. Le dominant $\varphi$ est intégrable sur $I$.
On conclut par la caractérisation séquentielle de la limite en $x_0$ (le domaine $A \setminus \{x_0\}$ n'est pas un intervalle lorsque $x_0$ est intérieur, donc l'énoncé à paramètre continu de §1.2 ne s'applique pas mot pour mot ; le théorème séquentiel de §1.1, si). Soit $(x_p)_{p \in \mathbb{N}}$ une suite quelconque de $A \setminus \{x_0\}$ avec $x_p \to x_0$. Par (a)--(c), la suite $\big(\tau(x_p, \cdot)\big)_p$ vérifie les hypothèses du théorème de CD séquentielle (§1.1) : chaque terme est continu par morceaux sur $I$, la limite simple est $t \mapsto \partial f / \partial x (x_0, t)$ continue par morceaux sur $I$, et le dominant commun $\varphi$ est intégrable. Donc $\int_I \tau(x_p, t)\,\mathrm{d}t \to \int_I \partial f / \partial x (x_0, t)\,\mathrm{d}t$. Comme ceci vaut pour toute telle suite, $$ \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = \int_I \tau(x, t)\,\mathrm{d}t \xrightarrow[x \to x_0]{} \int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, t)\,\mathrm{d}t. $$ Le membre de gauche a une limite finie, donc $g$ est dérivable en $x_0$ avec $g'(x_0) = \int_I \partial f / \partial x (x_0, t)\,\mathrm{d}t$. Comme ceci vaut pour tout $x_0 \in A$, $g$ est dérivable sur $A$ avec la formule annoncée. La continuité de $g'$ sur $A$ découle de §3.1 (théorème à domination globale appliqué à $\partial f / \partial x$, dont les hypothèses sont exactement celles du présent théorème). Donc $g$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $A$.

Theorem — Théorème de Leibniz -- classe $\mathcal{C}^1$$\virgule$ domination locale

Même cadre que ci-dessus, la domination globale de $\partial f / \partial x$ étant affaiblie en : sur tout segment $[a, b] \subset A$, il existe $\varphi_{[a, b]} \colon I \to \mathbb{R}_+$ intégrable sur $I$ telle que $\forall x \in [a, b],\ \lvert \partial f / \partial x (x, \cdot) \rvert \le \varphi_{[a, b]}$ sur $I$. Alors $g$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $A$ avec $g'(x) = \int_I \partial f / \partial x (x, t)\,\mathrm{d}t$.
Démonstration. Les conclusions $g \in \mathcal{C}^1(A)$ et $g' = \int_I \partial f / \partial x$ sont locales, il suffit donc d'appliquer le théorème à domination globale sur tout segment $[a, b] \subset A$ avec $\varphi$ remplacé par $\varphi_{[a, b]}$.

Méthode — Appliquer le théorème de Leibniz

La procédure en 4 étapes, la domination étant déjà sous forme segment-par-segment (forme utilisée dans tous les exemples de CPGE) :

vérifier que $x \mapsto f(x, t)$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $A$ pour tout $t \in I$ ;
vérifier que $t \mapsto f(x, t)$ est intégrable sur $I$ pour tout $x \in A$ ;
vérifier que $t \mapsto \partial f / \partial x (x, t)$ est continue par morceaux sur $I$ pour tout $x \in A$ ;
construire la domination segment-par-segment : fixer $[a, b] \subset A$, trouver $\varphi_{[a, b]}$ intégrable sur $I$ telle que $\forall x \in [a, b],\ \lvert \partial f / \partial x (x, \cdot) \rvert \le \varphi_{[a, b]}$.

Conclure : $g \in \mathcal{C}^1(A)$ avec $g'(x) = \int_I \partial f / \partial x (x, t)\,\mathrm{d}t$. Souvent, cette expression de $g'$ mène à une équation différentielle vérifiée par $g$, qui détermine alors $g$ à une constante près.

Exemple

Continuation de l'exemple de démarrage. Montrer que $g(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t} \sin(xt)\,\mathrm{d}t$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ et calculer $g'$.
Posons $f(x, t) = e^{-t} \sin(xt)$. Pour tout $t \ge 0$, $x \mapsto e^{-t} \sin(xt)$ est $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$, en particulier $\mathcal{C}^1$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $t \mapsto e^{-t} \sin(xt)$ est intégrable sur $[0, +\infty[$ (déjà vérifié). $\partial f / \partial x (x, t) = e^{-t} \cdot t \cos(xt)$ est continue en $t$. Domination globale de $\partial f / \partial x$ : $\lvert \partial f / \partial x (x, t) \rvert = t\,e^{-t} \lvert \cos(xt) \rvert \le t\,e^{-t} =: \varphi(t)$, et $\varphi$ est intégrable sur $[0, +\infty[$ (IPP donne $\int_0^\infty t\,e^{-t}\,\mathrm{d}t = 1$). Toutes les hypothèses sont vérifiées. Par Leibniz à domination globale, $g$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ avec $$ g'(x) = \int_0^{+\infty} t\,e^{-t} \cos(xt)\,\mathrm{d}t. $$

Exemple

Fonction Gamma -- classe $\mathcal{C}^1$. Montrer que $\Gamma$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]0, +\infty[$ avec $\Gamma'(x) = \int_0^{+\infty} \ln(t)\,e^{-t} t^{x - 1}\,\mathrm{d}t$.
Posons $f(x, t) = e^{-t} t^{x - 1}$. Pour tout $t > 0$, $x \mapsto e^{-t} t^{x - 1} = e^{-t}\,e^{(x - 1)\ln t}$ est $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ (composition avec l'exponentielle), en particulier $\mathcal{C}^1$. Sa dérivée en $x$ est $\partial f / \partial x (x, t) = \ln(t)\,e^{-t} t^{x - 1}$. Pour tout $x > 0$, l'intégrabilité de $t \mapsto e^{-t} t^{x - 1}$ sur $]0, +\infty[$ a été établie en §3.1. $t \mapsto \ln(t)\,e^{-t} t^{x - 1}$ est continue sur $]0, +\infty[$, donc continue par morceaux.
Domination locale de $\partial f / \partial x$ : fixons $[a, b] \subset ]0, +\infty[$. Pour $x \in [a, b]$ et $t > 0$, $$ \lvert \ln(t)\,e^{-t} t^{x - 1} \rvert = e^{-t}\,t^{x - 1}\,\lvert \ln t \rvert \le \varphi_{[a, b]}(t) \quad \text{avec} \quad \varphi_{[a, b]}(t) = \begin{cases} e^{-t}\,t^{a - 1}\,\lvert \ln t \rvert & \text{si } 0 < t \le 1, \\ e^{-t}\,t^{b - 1}\,\lvert \ln t \rvert & \text{si } t \ge 1. \end{cases} $$ Le dominant $\varphi_{[a, b]}$ est intégrable sur $]0, +\infty[$ : en $0$, $\lvert \ln t \rvert\,t^{a - 1} = o(t^{a - 1 - \delta})$ pour tout $\delta \in ]0, a[$, et $\int_0^1 t^{a - 1 - \delta}\,\mathrm{d}t$ converge (comparaison de Riemann-Bertrand), ce qui donne la convergence en $0$ ; en $+\infty$, $\lvert \ln t \rvert\,e^{-t} t^{b - 1} = o(1/t^2)$ par décroissance exponentielle. Par Leibniz à domination locale, $\Gamma$ est $\mathcal{C}^1$ sur $]0, +\infty[$ avec la dérivée annoncée.

Compétences à pratiquer

Appliquer la règle de Leibniz

IV.2 Classe $\mathcal{C}^k$

Par récurrence sur $k$, le théorème $\mathcal{C}^1$ se généralise en classe $\mathcal{C}^k$. L'hypothèse du programme est parcimonieuse : la domination n'est requise que pour la dérivée de tête $\partial^k f / \partial x^k$, tandis que les dérivées intermédiaires $\partial^j f / \partial x^j$ pour $0 \le j \le k - 1$ ne sont demandées qu'intégrables. La preuve construit des dominants des dérivées intermédiaires à partir de la dérivée de tête par une cascade d'inégalités des accroissements finis itérée.

Theorem — Théorème de Leibniz -- classe $\mathcal{C}^k$$\virgule$ domination locale

Soient $A$ et $I$ deux intervalles de $\mathbb{R}$, $k \ge 1$ un entier, et $f \colon A \times I \to \mathbb{K}$. On suppose :

pour tout $t \in I$, $x \mapsto f(x, t)$ est de classe $\mathcal{C}^k$ sur $A$ ;
pour tout $j \in \llbracket 0, k - 1 \rrbracket$ et tout $x \in A$, $t \mapsto \partial^j f / \partial x^j (x, t)$ est intégrable sur $I$ ;
pour tout $x \in A$, $t \mapsto \partial^k f / \partial x^k (x, t)$ est continue par morceaux sur $I$ ;
sur tout segment $[a, b] \subset A$, il existe $\varphi_{[a, b]} \colon I \to \mathbb{R}_+$ intégrable sur $I$ telle que $\forall x \in [a, b],\ \lvert \partial^k f / \partial x^k (x, \cdot) \rvert \le \varphi_{[a, b]}$ sur $I$.

Alors $g \colon x \mapsto \int_I f(x, t)\,\mathrm{d}t$ est de classe $\mathcal{C}^k$ sur $A$ et $$ \forall x \in A,\quad g^{(k)}(x) = \int_I \frac{\partial^k f}{\partial x^k}(x, t)\,\mathrm{d}t. $$

Preuve

Par récurrence sur $k \ge 1$. Le cas de base $k = 1$ est le théorème de Leibniz $\mathcal{C}^1$ (forme locale) de §4.1. Supposons le résultat vrai à l'ordre $k - 1$ pour un $k \ge 2$, et soit $f$ vérifiant les hypothèses à l'ordre $k$.
Étape 1 -- dominants intermédiaires. La conclusion est locale en $A$, fixons donc un segment $[a, b] \subset A$ et choisissons $x_0 \in [a, b]$. La domination de tête $\lvert \partial^k f / \partial x^k (x, \cdot) \rvert \le \varphi_{[a, b]}$ pour $x \in [a, b]$, combinée aux hypothèses d'intégrabilité de $\partial^j f / \partial x^j (x_0, \cdot)$ pour $0 \le j \le k - 1$, permet de construire des dominants intégrables $\psi_j$ sur $I$ pour chaque dérivée d'ordre inférieur comme suit. Une application de l'inégalité des accroissements finis à $x \mapsto \partial^j f / \partial x^j (x, t)$ sur $[\min(x_0, x), \max(x_0, x)] \subset [a, b]$ donne $$ \lvert \partial^j f / \partial x^j (x, t) - \partial^j f / \partial x^j (x_0, t) \rvert \le (b - a)\,\sup_{y \in [a, b]} \lvert \partial^{j + 1} f / \partial x^{j + 1} (y, t) \rvert. $$ Itérer cette estimation télescope vers le haut : pour tout $j \in \llbracket 0, k - 1 \rrbracket$, $$ \sup_{y \in [a, b]} \lvert \partial^j f / \partial x^j (y, t) \rvert \le \sum_{m = j}^{k - 1} (b - a)^{m - j}\,\lvert \partial^m f / \partial x^m (x_0, t) \rvert + (b - a)^{k - j}\,\varphi_{[a, b]}(t). $$ Chaque terme du membre de droite est intégrable en $t$ sur $I$ (la deuxième hypothèse donne l'intégrabilité de $t \mapsto \partial^m f / \partial x^m (x_0, t)$ pour $0 \le m \le k - 1$ ; la quatrième donne celle de $\varphi_{[a, b]}$), donc la somme définit un dominant intégrable $\psi_j \colon I \to \mathbb{R}_+$ sur $[a, b] \times I$ pour tout $j$.
Étape 2 -- application de l'hypothèse de récurrence à l'ordre $k - 1$. Définissons $h \colon A \times I \to \mathbb{K}$ par $h(x, t) = f(x, t)$ --- même fonction, mais lue avec les hypothèses d'ordre $k - 1$. Les hypothèses à l'ordre $k - 1$ pour $h$ s'écrivent :

$x \mapsto h(x, t)$ est $\mathcal{C}^{k - 1}$ sur $A$ (clair puisque $f$ est $\mathcal{C}^k$) ;
$t \mapsto \partial^j h / \partial x^j (x, t) = \partial^j f / \partial x^j (x, t)$ est intégrable sur $I$ pour $0 \le j \le k - 2$ (hypothèse (2) du programme à l'ordre $k$) ;
$t \mapsto \partial^{k - 1} h / \partial x^{k - 1} (x, t) = \partial^{k - 1} f / \partial x^{k - 1} (x, t)$ est continue par morceaux sur $I$ (elle est même intégrable par l'hypothèse (2)) ;
sur $[a, b] \subset A$, $\lvert \partial^{k - 1} h / \partial x^{k - 1} (x, \cdot) \rvert \le \psi_{k - 1}$ intégrable sur $I$ (Étape 1).

Par hypothèse de récurrence, $g = \int_I h(\cdot, t)\,\mathrm{d}t$ est de classe $\mathcal{C}^{k - 1}$ sur $[a, b]$ et $$ g^{(k - 1)}(x) = \int_I \frac{\partial^{k - 1} f}{\partial x^{k - 1}}(x, t)\,\mathrm{d}t \quad \text{pour } x \in [a, b]. $$ Étape 3 -- application du théorème de Leibniz $\mathcal{C}^1$ à $g^{(k - 1)}$. Définissons $\tilde{h}(x, t) = \partial^{k - 1} f / \partial x^{k - 1} (x, t)$. Les hypothèses du théorème de Leibniz $\mathcal{C}^1$ (forme locale) pour $\tilde{h}$ sur $[a, b] \times I$ :

$x \mapsto \tilde{h}(x, t)$ est $\mathcal{C}^1$ sur $[a, b]$ (puisque $f$ est $\mathcal{C}^k$), de dérivée $\partial^k f / \partial x^k$ ;
$t \mapsto \tilde{h}(x, t) = \partial^{k - 1} f / \partial x^{k - 1} (x, t)$ est intégrable sur $I$ pour tout $x \in [a, b]$ (hypothèse (2) du programme) ;
$t \mapsto \partial \tilde{h} / \partial x (x, t) = \partial^k f / \partial x^k (x, t)$ est continue par morceaux sur $I$ (hypothèse (3) du programme) ;
$\lvert \partial \tilde{h} / \partial x (x, \cdot) \rvert = \lvert \partial^k f / \partial x^k (x, \cdot) \rvert \le \varphi_{[a, b]}$ sur $I$ (hypothèse (4) du programme).

Par Leibniz (§4.1, forme locale), $x \mapsto \int_I \tilde{h}(x, t)\,\mathrm{d}t = g^{(k - 1)}(x)$ est $\mathcal{C}^1$ sur $[a, b]$ et sa dérivée est $\int_I \partial^k f / \partial x^k (x, t)\,\mathrm{d}t$. Donc $g$ est $\mathcal{C}^k$ sur $[a, b]$ avec $g^{(k)}(x) = \int_I \partial^k f / \partial x^k (x, t)\,\mathrm{d}t$. $[a, b] \subset A$ étant arbitraire, $g$ est $\mathcal{C}^k$ sur $A$.

Remarque (pourquoi le théorème $\mathcal{C}^k$ est énoncé localement). La conclusion « $g \in \mathcal{C}^k(A)$ » est une propriété locale : $g$ est de classe $\mathcal{C}^k$ sur $A$ si et seulement si elle l'est sur tout segment $[a, b] \subset A$. C'est pourquoi l'énoncé naturel est l'énoncé local, et pourquoi la preuve travaille segment par segment --- les dominants intermédiaires $\psi_j$ sont construits sur chaque segment fixé $[a, b]$, où les facteurs $(b - a)^{m - j}$ sont finis et inoffensifs. Un unique $\varphi$ global dominant $\partial^k f / \partial x^k$ sur tout $A$ --- même un $A$ non borné --- suffit également : il se restreint, sur tout segment $[a, b] \subset A$, en un dominant local valide $\varphi_{[a, b]} = \varphi$, de sorte que le théorème s'applique sur chaque segment et donc sur $A$. L'exemple ci-dessous établissant la régularité $\mathcal{C}^\infty$ de $x \mapsto \int_0^{+\infty} e^{-t}\sin(xt)\,\mathrm{d}t$ sur $\mathbb{R}$ non borné utilise exactement un tel dominant global unique. En pratique, cependant, on vérifie la domination segment par segment, exactement comme le prescrit le programme --- un dominant global est un bonus, jamais une exigence.

Exemple

Fonction Gamma -- classe $\mathcal{C}^\infty$. Montrer que $\Gamma$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $]0, +\infty[$ avec $\Gamma^{(k)}(x) = \int_0^{+\infty} (\ln t)^k\,e^{-t} t^{x - 1}\,\mathrm{d}t$ pour tout $k \ge 0$.
Par récurrence, en appliquant le théorème de Leibniz $\mathcal{C}^k$ sur tout segment $[a, b] \subset ]0, +\infty[$. La dérivée $k$-ième en $x$ de $e^{-t} t^{x - 1} = e^{-t} e^{(x - 1)\ln t}$ est $(\ln t)^k\,e^{-t} t^{x - 1}$. Domination locale sur $[a, b]$ : pour $x \in [a, b]$ et $t > 0$, $$ \lvert (\ln t)^k\,e^{-t} t^{x - 1} \rvert \le \varphi_{[a, b], k}(t) := \begin{cases} (\lvert \ln t \rvert)^k\,e^{-t}\,t^{a - 1} & \text{si } 0 < t \le 1, \\ (\ln t)^k\,e^{-t}\,t^{b - 1} & \text{si } t \ge 1, \end{cases} $$ intégrable sur $]0, +\infty[$ par décroissance exponentielle (en $+\infty$) et comparaison de Riemann-Bertrand (en $0$, $(\lvert \ln t \rvert)^k\,t^{a - 1} = o(t^{a - 1 - \delta})$ pour tout $\delta > 0$, et $\int_0^1 t^{a - 1 - \delta}\,\mathrm{d}t$ converge pour $\delta < a$). L'hypothèse d'intégrabilité des dérivées intermédiaires est satisfaite par le même argument de Riemann-Bertrand avec $j < k$ à la place de $k$ : $t \mapsto (\ln t)^j\,e^{-t} t^{x - 1}$ est intégrable sur $]0, +\infty[$ pour tout $x > 0$. Par Leibniz $\mathcal{C}^k$, $\Gamma$ est $\mathcal{C}^k$ sur $[a, b]$ pour tout $k$. $k$ et $[a, b] \subset ]0, +\infty[$ étant arbitraires, $\Gamma \in \mathcal{C}^\infty(]0, +\infty[)$.

Exemple

Continuation du démarrage : $g(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t} \sin(xt)\,\mathrm{d}t$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$.
Pour tout $t \ge 0$, $x \mapsto e^{-t} \sin(xt)$ est $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ avec $\partial^k f / \partial x^k (x, t) = e^{-t}\,t^k\,\sin^{(k)}(xt)$ où $\sin^{(k)}$ est un sinus ou cosinus (au signe près), borné par $1$. Domination globale de $\partial^k f / \partial x^k$ sur $\mathbb{R} \times [0, +\infty[$ : $\lvert \partial^k f / \partial x^k (x, t) \rvert \le t^k\,e^{-t} =: \varphi_k(t)$, intégrable sur $[0, +\infty[$ avec $\int_0^\infty t^k e^{-t}\,\mathrm{d}t = k!$. L'intégrabilité des dérivées intermédiaires $\partial^j f / \partial x^j$ se vérifie de la même façon. Par Leibniz $\mathcal{C}^k$ pour tout $k$, $g \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R})$.

Compétences à pratiquer

Établir la régularité $\mathcal{C}^k$ ou $\mathcal{C}^\infty$

IV.3 Étude asymptotique d'une intégrale à paramètre

La capacité du programme « exemples d'études de fonctions définies comme intégrales à paramètre : régularité, étude asymptotique » a deux volets : la régularité (§3 + §4.1 + §4.2 ci-dessus) et l'étude asymptotique. Cette dernière sous-section rassemble la recette standard sûre --- changement de variable + CD continue --- et clôt le chapitre par une étude entièrement traitée, l'équivalent de $\Gamma(x)$ quand $x \to 0^+$.

Méthode — Étude asymptotique par changement de variable et CD continue

La recette sûre unique (le raccourci dangereux « trouver un équivalent de $f(x, t)$ dans l'intégrale et intégrer l'équivalent » est illégitime sans domination uniforme) :

identifier la direction asymptotique ($x \to x_0$, éventuellement $\pm\infty$) et le comportement dominant de l'intégrande dans cette limite ;
choisir une substitution normalisante $u = \alpha(x)\,t$ (ou $u = \beta(x)(t - c(x))$) telle que $f(x, t)\,\mathrm{d}t = \beta(x)\,h(x, u)\,\mathrm{d}u$ avec $h(x, u)$ admettant une limite simple $h_\infty(u)$ quand $x \to x_0$ et un dominant intégrable commun $\varphi(u)$ sur l'intervalle fixe $J$ qui en résulte ;
appliquer le théorème de CD continue (§1.2) pour en déduire $\int_J h(x, u)\,\mathrm{d}u \to L := \int_J h_\infty(u)\,\mathrm{d}u$ ;
pourvu que $L \neq 0$, conclure l'équivalent $g(x) \sim L\,\beta(x)$ quand $x \to x_0$. (Si $L = 0$, la convergence dominée ne donne que $g(x) = o(\beta(x))$ --- une analyse plus fine, par exemple un développement à un ordre supérieur de $h(x, u)$, est alors nécessaire pour trouver le véritable équivalent.)

Dans les cas favorables, la substitution est l'identité --- la CD continue s'applique directement à $f(x, t)$.

Exemple

Asymptotique de $\Gamma$ en $0$ : montrer que $\Gamma(x) \sim 1/x$ quand $x \to 0^+$.
La relation fonctionnelle $\Gamma(x + 1) = x\,\Gamma(x)$ (obtenue par IPP à partir de la définition : $\Gamma(x + 1) = \int_0^\infty e^{-t} t^x\,\mathrm{d}t = [-e^{-t} t^x]_0^\infty + x \int_0^\infty e^{-t} t^{x - 1}\,\mathrm{d}t = x\,\Gamma(x)$, le crochet s'annulant aux deux bouts pour $x > 0$) ramène l'asymptotique à montrer $\Gamma(x + 1) \to 1$ quand $x \to 0^+$.
Appliquons directement la CD continue (sans substitution) à $f_x(t) = e^{-t} t^x$ sur $I = ]0, +\infty[$ avec $x \in J = ]0, 1]$ et $x_0 = 0^+$ :

chaque $f_x$ est continue sur $]0, +\infty[$ ;
pour tout $t > 0$, $f_x(t) = e^{-t} t^x = e^{-t}\,e^{x \ln t} \xrightarrow[x \to 0^+]{} e^{-t}$ (continuité de l'exponentielle) ; la limite $t \mapsto e^{-t}$ est continue sur $]0, +\infty[$ ;
domination commune sur $]0, 1] \times ]0, +\infty[$ : pour $x \in ]0, 1]$ et $t > 0$, $e^{-t} t^x \le e^{-t} \max(1, t)$, dominant intégrable sur $]0, +\infty[$ (décomposé en $e^{-t}$ sur $]0, 1]$ et $t\,e^{-t}$ sur $[1, +\infty[$, tous deux intégrables).

Par CD continue (§1.2), $$ \Gamma(x + 1) = \int_0^{+\infty} e^{-t} t^x\,\mathrm{d}t \xrightarrow[x \to 0^+]{} \int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t = 1. $$ Donc $\Gamma(x) = \Gamma(x + 1)/x \sim 1/x$ quand $x \to 0^+$. Ceci clôt le fil de la fonction $\Gamma$ du chapitre : définition + continuité (§3.1), classe $\mathcal{C}^1$ (§4.1), classe $\mathcal{C}^\infty$ (§4.2), et comportement asymptotique en $0$ (§4.3).

Compétences à pratiquer

Trouver un équivalent asymptotique