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Séries numériques et vectorielles

⌚ ~67 min ▢ 8 blocs ✓ 13 exercices ➣ Prérequis : Séries numériques, Espaces vectoriels normés, Compacité, connexité, dimension finie

De la première année on connaît la notion de série numérique : la suite des sommes partielles d'une suite de nombres réels ou complexes, convergente lorsque cette suite des sommes partielles admet une limite. Ce chapitre fait deux choses. Il étend la notion de série convergente de $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ à un espace vectoriel normé de dimension finie $E$, de sorte que les termes peuvent être des vecteurs, des matrices ou des polynômes. Et il affine la boîte à outils numérique de première année avec trois instruments asymptotiques : la règle de d'Alembert, l'usage pratique de la comparaison série-intégrale pour estimer les sommes partielles de séries divergentes et les restes de séries convergentes, et la sommation des relations de comparaison avec son corollaire de Cesàro.
Les séries sont un outil, pas le sujet. Leur usage typique est d'extraire des équivalents et des développements asymptotiques à partir de sommes partielles ou de restes --- et la majeure partie de ce chapitre est calibrée pour cet usage.

Conventions

Dans tout ce chapitre, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie sur $\mathbb{K}$, de norme $\|\cdot\|$. La dimension de $E$ est $p \ge 1$ ; une base de $E$, lorsqu'elle est fixée, sera notée $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$. Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de $E$ donne naissance à sa série, notée $\sum u_n$ ; lorsque la série converge, sa somme est notée $\sum_{n=0}^{+\infty} u_n \in E$. Les séries numériques sont le cas $E = \mathbb{K}$, $\|\cdot\| = |\cdot|$, et toute la théorie de première année s'applique --- on la rappellera quand on l'utilise, jamais on ne la redémontrera. Les propriétés des espaces normés de dimension finie qui apparaissent --- équivalence de toutes les normes, continuité automatique des applications linéaires, convergence composante par composante pour une norme produit --- sont rappelées depuis Espaces vectoriels normés et Compacité, connexité, dimension finie là où elles sont nécessaires.

I Séries dans un espace vectoriel normé de dimension finie

I.1 Sommes partielles$\virgule$ convergence$\virgule$ somme$\virgule$ reste

Une série vectorielle est le même objet qu'une série numérique, à ceci près que les termes scalaires sont remplacés par des vecteurs de $E$. La définition qui suit est la définition de première année recopiée, en lisant « nombre » comme « vecteur de $E$ » --- seule l'étape de convergence demande maintenant une limite de vecteurs, au sens de la norme $\|\cdot\|$.

Définition — Série$\virgule$ sommes partielles$\virgule$ convergence$\virgule$ somme$\virgule$ reste

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de $E$.

La somme partielle d'ordre $n$ est $S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k \in E$. La série de terme général $u_n$ est la suite $(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$, notée $\sum u_n$.
La série $\sum u_n$ converge lorsque la suite $(S_n)$ admet une limite dans $E$ ; sinon elle diverge. En cas de convergence, la somme de la série est $$ \sum_{n=0}^{+\infty} u_n \;=\; \lim_{n \to +\infty} S_n \;\in\; E. $$
Pour une série convergente, le reste d'ordre $n$ est $R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k \in E$ ; on a $S = S_n + R_n$ où $S$ désigne la somme.

Pour $E = \mathbb{K}$ on retrouve les définitions de première année de la série numérique, avec $|\cdot|$ à la place de $\|\cdot\|$.

Exemple — Une série vectorielle de type géométrique dans $\mathbb{R}^2$

Prenons $u_n = \bigl((-1/2)^n,\; (1/3)^n\bigr) \in \mathbb{R}^2$. Les deux séries coordonnées sont géométriques de raisons $-1/2$ et $1/3$, donc convergentes (première année), de sommes $1/(1+1/2) = 2/3$ et $1/(1-1/3) = 3/2$. La somme partielle $S_n$ est le couple des sommes partielles des coordonnées, et la convergence dans $\mathbb{R}^2$ se fait coordonnée par coordonnée (première année ; formalisée pour les séries au \S 1.3 ci-dessous), donc $S_n \to (2/3,\, 3/2)$ et $$ \sum_{n=0}^{+\infty} u_n \;=\; \bigl(2/3,\; 3/2\bigr). $$

Exemple — Une série vectorielle télescopique

Soit $v_n = \bigl(1/(n+1),\; 1/2^n\bigr) \in \mathbb{R}^2$ et posons $u_n = v_{n+1} - v_n$. La somme partielle se télescope : $$ S_n \;=\; \sum_{k=0}^{n} (v_{k+1} - v_k) \;=\; v_{n+1} - v_0 \;\longrightarrow\; (0,0) - (1,1) \;=\; (-1, -1). $$ Donc $\sum u_n$ converge et a pour somme $(-1, -1)$.

Exemple — Une série matricielle

Prenons $u_n = \frac{1}{2^n}\,J$ dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ avec $J = \begin{psmallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{psmallmatrix}$. La somme partielle se factorise : $S_n = \bigl(\sum_{k=0}^{n} 1/2^k\bigr) J$. Le facteur scalaire tend vers $2$ (série géométrique), et la limite d'une suite de matrices se prend coefficient par coefficient, donc $S_n \to 2J = \begin{psmallmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{psmallmatrix}$.

Proposition — Le reste tend vers zéro

Si $\sum u_n$ converge, de somme $S$ et de restes $(R_n)$, alors $R_n \to 0$.

Preuve

Par définition $R_n = S - S_n$ et $S_n \to S$, donc $R_n \to 0$.

Proposition — Condition nécessaire de convergence

Si $\sum u_n$ converge, alors $u_n \to 0$.

Preuve

Posons $S = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n$. Pour $n \ge 1$, $u_n = S_n - S_{n-1}$. Les deux sommes partielles tendent vers $S$, donc $u_n \to S - S = 0$.

Méthode — Le réflexe de divergence grossière

Avant tout autre outil, vérifier que le terme général tend vers $0$. Si $u_n \not\to 0$, la série diverge grossièrement --- il n'y a rien de plus à faire. La réciproque est fausse : $\sum 1/n$ a un terme général qui tend vers $0$ et pourtant diverge (la série harmonique, rappel de première année). Donc $u_n \to 0$ n'apporte rien en soi ; ce qui compte, c'est la vitesse.

Compétences à pratiquer

Calculer sommes partielles et sommes

I.2 Linéarité$\virgule$ lien suite-série$\virgule$ télescopage

Deux faits structurels qui accompagnent la définition. Les séries convergentes de $E$ forment un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, et la somme y est linéaire : c'est le côté algébrique. Le lien suite-série --- $(v_n)$ converge si et seulement si sa série télescopique $\sum (v_{n+1} - v_n)$ converge --- est la dualité entre suites et séries que l'on utilise dans les deux sens : une suite difficile peut être étudiée via sa série télescopique (plus simple), et une série télescopique convergente fournit une limite explicite.

Proposition — Linéarité

Soient $\sum u_n$ et $\sum v_n$ deux séries convergentes de $E$, et $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$. Alors $\sum (\lambda u_n + \mu v_n)$ converge et $$ \sum_{n=0}^{+\infty} (\lambda u_n + \mu v_n) \;=\; \lambda \sum_{n=0}^{+\infty} u_n + \mu \sum_{n=0}^{+\infty} v_n. $$ En particulier, les séries convergentes de $E$ forment un sous-espace vectoriel de $E^{\mathbb{N}}$, et la somme est une application linéaire de ce sous-espace dans $E$.

Preuve

Posons $T_n = \sum_{k=0}^{n} (\lambda u_k + \mu v_k) = \lambda S_n + \mu S_n'$ où $S_n, S_n'$ sont les sommes partielles de $\sum u_n, \sum v_n$. Par hypothèse $S_n \to S$ et $S_n' \to S'$. La linéarité de la limite dans un espace normé donne $T_n \to \lambda S + \mu S'$.

Définition — Série télescopique

La série télescopique associée à une suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de $E$ est la série $\sum (v_{n+1} - v_n)$.

Proposition — Lien suite-série

Soit $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de $E$. Alors $(v_n)$ converge si et seulement si sa série télescopique $\sum (v_{n+1} - v_n)$ converge, et en cas de convergence $$ \sum_{n=0}^{+\infty} (v_{n+1} - v_n) \;=\; \bigl(\lim_{n \to +\infty} v_n\bigr) - v_0. $$

Preuve

La somme partielle d'ordre $n$ de la série télescopique se calcule par télescopage : $$ T_n \;=\; \sum_{k=0}^{n} (v_{k+1} - v_k) \;=\; v_{n+1} - v_0. $$ Donc $(T_n)$ converge si et seulement si $(v_{n+1})$ converge, ce qui équivaut à dire que $(v_n)$ converge, et la limite de $T_n$ vaut alors $\lim v_n - v_0$.

Méthode — Étudier une suite par sa série télescopique

Pour prouver qu'une suite $(v_n)$ converge, il suffit de prouver que sa série télescopique $\sum (v_{n+1} - v_n)$ converge --- ce qui est parfois plus facile, car on dispose alors de toute la boîte à outils des séries numériques (estimations sur le terme général $v_{n+1} - v_n$, comparaison à $\sum 1/n^\alpha$, etc.). Réciproquement, lorsque l'on dispose d'une expression close pour une somme qui se télescope, la limite est obtenue gratuitement.

Exemple — Une suite démontrée convergente par sa série télescopique

Considérons $w_n = \sum_{k=1}^{n} 1/k^2$. Les différences $w_{n+1} - w_n = 1/(n+1)^2$ sont le terme général de $\sum 1/k^2$, série qui converge (série de Riemann avec $\alpha = 2 > 1$, rappel de première année). Par le lien suite-série, $(w_n)$ converge --- la valeur de $\sum_{n=1}^{+\infty} 1/n^2$ (le $\pi^2/6$ d'Euler) est hors de portée ici, mais son existence est acquise.

Proposition — Image d'une série convergente par une application linéaire continue

Soient $E, F$ deux espaces vectoriels normés de dimension finie sur $\mathbb{K}$ et $L \in \mathcal{L}(E, F)$. Soit $\sum u_n$ une série convergente de $E$. Alors $\sum L(u_n)$ est une série convergente de $F$ et $$ \sum_{n=0}^{+\infty} L(u_n) \;=\; L\!\left(\sum_{n=0}^{+\infty} u_n\right). $$

Preuve

Une application linéaire entre espaces normés de dimension finie est continue (rappel de Compacité, connexité, dimension finie). Posons $S = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n$ et $S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k$. Alors $\sum_{k=0}^{n} L(u_k) = L(S_n)$ par linéarité, et $L(S_n) \to L(S)$ par continuité de $L$ en $S$. Donc $\sum L(u_n)$ converge et sa somme vaut $L(S)$.

Exemple — Pousser une série convergente par une forme coordonnée

Reprenons la série convergente de l'Exemple 1 dans $\mathbb{R}^2$, de somme $S = (2/3, 3/2)$, et la forme linéaire $\varphi : (x, y) \mapsto 2x - y$. Alors $\sum \varphi(u_n)$ converge et $$ \sum_{n=0}^{+\infty} \varphi(u_n) \;=\; \varphi(S) \;=\; 2 \cdot 2/3 - 3/2 \;=\; 4/3 - 3/2 \;=\; -1/6. $$

Compétences à pratiquer

Exploiter le lien suite-série

I.3 Étude par les coordonnées dans une base

Le pont entre une série vectorielle et la théorie scalaire de première année : on fixe une base de $E$ et on lit les suites coordonnées. Une série vectorielle converge si et seulement si chacune de ses $p$ séries coordonnées scalaires converge, et la somme se lit coordonnée par coordonnée. C'est le levier qui rend disponible, pour une série vectorielle, l'ensemble des résultats de première année sur les séries numériques.

Proposition — Critère par les coordonnées

Fixons une base $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$ de $E$ et écrivons chaque vecteur $u_n$ en coordonnées : $u_n = \sum_{j=1}^{p} u_n^{(j)} e_j$ avec $u_n^{(j)} \in \mathbb{K}$. Alors la série vectorielle $\sum u_n$ converge si et seulement si chacune des $p$ séries coordonnées scalaires $\sum u_n^{(j)}$ converge (pour $j = 1, \dots, p$), et en cas de convergence $$ \sum_{n=0}^{+\infty} u_n \;=\; \sum_{j=1}^{p} \left(\sum_{n=0}^{+\infty} u_n^{(j)}\right) e_j. $$

Preuve

On applique le critère à la suite des sommes partielles $(S_n)$ plutôt qu'à la série. Les deux sens ne reposent que sur la continuité des applications linéaires en dimension finie ; aucun critère de Cauchy n'intervient.

($\Rightarrow$). Les formes coordonnées $\varphi_j : x \mapsto x^{(j)}$ sont linéaires, donc continues puisque $E$ est de dimension finie (rappel de Compacité, connexité, dimension finie). Si $S_n \to S$ dans $E$, alors $\varphi_j(S_n) \to \varphi_j(S)$ dans $\mathbb{K}$ pour chaque $j$. Or $\varphi_j(S_n) = \sum_{k=0}^{n} u_k^{(j)}$ est la somme partielle de la $j$-ième série coordonnée, donc chaque $\sum u_n^{(j)}$ converge, de somme $\varphi_j(S) = S^{(j)}$.
($\Leftarrow$). Réciproquement, supposons que chaque $\sum u_n^{(j)}$ converge, de somme $\sigma_j \in \mathbb{K}$. Alors, dans $\mathbb{K}^p$, le vecteur $(S_n^{(1)}, \dots, S_n^{(p)})$ des sommes partielles coordonnées converge vers $(\sigma_1, \dots, \sigma_p)$ (convergence composante par composante pour une norme produit, rappel de Espaces vectoriels normés). L'application de reconstruction $\psi : (a_1, \dots, a_p) \mapsto \sum_{j=1}^{p} a_j e_j$ est linéaire de $\mathbb{K}^p$ dans $E$, espaces tous deux de dimension finie, donc continue. Par conséquent $S_n = \psi(S_n^{(1)}, \dots, S_n^{(p)}) \to \psi(\sigma_1, \dots, \sigma_p) = \sum_j \sigma_j e_j$.

Les deux sens ensemble donnent l'équivalence et la formule annoncée.

Exemple — Critère Re/Im pour une série complexe

Vu comme un espace vectoriel réel de base $(1, i)$, $\mathbb{C}$ rentre dans le cadre. Une suite complexe $u_n \in \mathbb{C}$ a pour coordonnées $u_n^{(1)} = \operatorname{Re}(u_n)$ et $u_n^{(2)} = \operatorname{Im}(u_n)$ dans cette base réelle. Le critère par les coordonnées se spécialise alors en : $\sum u_n$ (avec $u_n \in \mathbb{C}$) converge comme série de réels-vectoriels si et seulement si $\sum \operatorname{Re}(u_n)$ et $\sum \operatorname{Im}(u_n)$ convergent toutes deux, avec $\sum u_n = \sum \operatorname{Re}(u_n) + i \sum \operatorname{Im}(u_n)$ --- exactement le critère scalaire de première année. Remarque : $\operatorname{Re}$ et $\operatorname{Im}$ ne sont pas $\mathbb{C}$-linéaires, le critère est bien une affirmation à propos de la base réelle.

Exemple — Une série matricielle lue coefficient par coefficient

La base canonique de $\mathcal{M}_p(\mathbb{K})$ étant la famille $(E_{i,j})_{1 \le i, j \le p}$ des matrices élémentaires, une série matricielle $\sum A_n$ dans $\mathcal{M}_p(\mathbb{K})$ converge si et seulement si ses $p^2$ séries de coefficients $\sum (A_n)_{i,j}$ convergent, et le coefficient d'indice $(i,j)$ de la somme est la somme de la série de coefficients correspondante : $$ \left(\sum_{n=0}^{+\infty} A_n\right)_{\!\!i,j} \;=\; \sum_{n=0}^{+\infty} (A_n)_{i,j}. $$ La convergence d'une série matricielle n'est rien d'autre que la convergence simultanée de $p^2$ séries numériques.

Méthode — Étude composante par composante d'une série vectorielle / matricielle / complexe

Dès qu'une base de $E$ est disponible --- presque toujours : $\mathbb{R}^p$, $\mathbb{C}^p$, $\mathcal{M}_p(\mathbb{K})$, $\mathbb{K}_n[X]$ ont tous une base canonique --- le critère par les coordonnées réduit la question de convergence à $p$ questions numériques. On utilise alors la boîte à outils de convergence absolue de première année (séries de Riemann, géométriques, équivalents, comparaison $O$/$o$) sur chaque coordonnée indépendamment.

Compétences à pratiquer

Étudier une série vectorielle par ses coordonnées

I.4 Convergence absolue

La convergence absolue est la condition suffisante la plus puissante pour qu'une série vectorielle converge : elle ramène une question vectorielle à une seule série numérique positive, la série des normes. En dimension finie, la convergence absolue entraîne la convergence --- et la preuve passe par les coordonnées, jamais par un critère de Cauchy. Le critère de Cauchy est hors programme, et l'étude des séries semi-convergentes n'est pas un objectif du programme --- deux phrases du programme officiel reproduites mot pour mot là où elles s'appliquent.

Définition — Convergence absolue

La série $\sum u_n$ de $E$ est absolument convergente lorsque la série numérique positive $\sum \|u_n\|$ converge. Toutes les normes sur l'espace de dimension finie $E$ étant équivalentes (rappel de Compacité, connexité, dimension finie), la convergence absolue ne dépend pas du choix de la norme.

Theorem — Convergence absolue entraîne convergence

Si $\sum u_n$ est une série absolument convergente de l'espace vectoriel normé de dimension finie $E$, alors $\sum u_n$ converge.

Preuve

La démonstration passe par les coordonnées --- le critère de Cauchy est hors programme, et inutile ici.
Fixons une base $(e_1, \dots, e_p)$ de $E$ et écrivons $u_n = \sum_j u_n^{(j)} e_j$. Les formes coordonnées $\varphi_j : x \mapsto x^{(j)}$ sont linéaires, donc continues (dimension finie). Le critère de continuité d'une application linéaire --- rappel de Limites et continuité dans un espace normé --- donne, pour chaque $j$, une constante $C_j \ge 0$ telle que $\forall x \in E,\; |\varphi_j(x)| \le C_j\,\|x\|$. On pose $C = \max_{1 \le j \le p} C_j$, de sorte que $$ \forall x \in E, \;\forall j \in \{1, \dots, p\}, \quad |\varphi_j(x)| \;\le\; C \, \|x\|. $$ Appliqué à $x = u_n$, cela donne $|u_n^{(j)}| \le C \, \|u_n\|$ pour tout $j$ et tout $n$. Par comparaison à la série numérique positive convergente $C \sum \|u_n\|$, la série numérique positive $\sum |u_n^{(j)}|$ converge, donc la série scalaire $\sum u_n^{(j)}$ est absolument convergente dans $\mathbb{K}$ --- et le $AC \Rightarrow C$ de première année pour les séries numériques en donne la convergence dans $\mathbb{K}$. Le critère par les coordonnées du \S 1.3 assemble alors ces $p$ convergences scalaires en la convergence de $\sum u_n$ dans $E$.

Proposition — Inégalité triangulaire pour une série absolument convergente

Pour une série absolument convergente $\sum u_n$ de $E$, $$ \left\| \sum_{n=0}^{+\infty} u_n \right\| \;\le\; \sum_{n=0}^{+\infty} \|u_n\|. $$

Preuve

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, l'inégalité triangulaire finie donne $\|S_n\| = \|\sum_{k=0}^{n} u_k\| \le \sum_{k=0}^{n} \|u_k\|$. On fait tendre $n \to +\infty$ : le membre de gauche tend vers $\|S\|$ par continuité de la norme, et celui de droite vers $\sum_{n=0}^{+\infty} \|u_n\|$ (supposé fini). L'inégalité entre les limites est préservée.

Méthode — Démontrer la convergence par convergence absolue

Pour démontrer la convergence d'une série vectorielle $\sum u_n$ : majorer $\|u_n\|$ (avec $\le$, $O$, $o$, $\sim$) par le terme général d'une série numérique positive convergente connue --- une série de Riemann $\sum 1/n^\alpha$ avec $\alpha > 1$, une série géométrique de raison de module $< 1$, une série exponentielle $\sum 1/n!$. Par comparaison, $\sum \|u_n\|$ converge, la série est absolument convergente, donc convergente par le théorème ci-dessus. C'est l'outil de référence : la plupart des séries vectorielles ou matricielles rencontrées en pratique convergent absolument, et on n'a que rarement besoin d'un outil plus délicat.

Exemple — Série matricielle de type Neumann $\sum A^n$ pour $\|A\| < 1$

On munit $\mathcal{M}_p(\mathbb{K})$ d'une norme subordonnée d'opérateur $\|\cdot\|$ --- rappel de Limites et continuité dans un espace normé (programme \S 4f) ; une telle norme est sous-multiplicative : $\|AB\| \le \|A\| \, \|B\|$ pour tous $A, B$. Pour $A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K})$ vérifiant $\|A\| < 1$, une récurrence donne $\|A^n\| \le \|A\|^n$. La série $\sum \|A\|^n$ est une série géométrique convergente (raison dans $[0, 1[$), donc $\sum A^n$ converge absolument, donc converge. Multiplions la somme partielle à gauche par $I_p - A$ : $$ (I_p - A)\!\sum_{k=0}^{n} A^k \;=\; \sum_{k=0}^{n} A^k - \sum_{k=1}^{n+1} A^k \;=\; I_p - A^{n+1} \;\longrightarrow\; I_p, $$ puisque $\|A^{n+1}\| \le \|A\|^{n+1} \to 0$. On passe à la limite (continuité de la multiplication à gauche par $I_p - A$, application linéaire donc continue en dimension finie) : $$ (I_p - A)\!\sum_{n=0}^{+\infty} A^n \;=\; I_p, \qquad \sum_{n=0}^{+\infty} A^n \;=\; (I_p - A)^{-1}. $$

Exemple — La série exponentielle matricielle $\sum A^n / n!$

Pour tout $A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K})$, la série $\sum A^n / n!$ converge absolument. En effet, dans une norme subordonnée d'opérateur $\|A^n / n!\| \le \|A\|^n / n!$, et la série scalaire $\sum \|A\|^n / n!$ converge, de somme $\mathrm{e}^{\|A\|}$ (la série exponentielle de première année, et non la règle de d'Alembert du \S 2.1, qui n'a pas encore été établie). La somme, traditionnellement notée $\exp(A)$ ou $\mathrm{e}^A$, est l'exponentielle de matrice --- elle est l'objet central d'un chapitre ultérieur, Exponentielle de matrice.

Compétences à pratiquer

Démontrer la convergence par convergence absolue

II Compléments sur les séries numériques

II.1 La règle de d'Alembert

La règle de d'Alembert est un test de rapport pour les séries numériques à termes positifs : lorsque le rapport de deux termes consécutifs admet une limite, la nature de la série est décidée selon que cette limite est strictement inférieure à $1$ (convergence) ou strictement supérieure (divergence). La règle figurait en première année comme non exigible ; le programme MP \S 5b la rend exigible, donc la démonstration apparaît ici en entier. C'est l'outil naturel pour les séries dont le terme général combine factorielles et puissances.

Theorem — Règle de d'Alembert

Soit $(u_n)$ une suite de réels strictement positifs à partir d'un certain rang, telle que le rapport $u_{n+1}/u_n$ admette une limite $\ell \in [0, +\infty]$. Alors :

si $\ell < 1$, la série $\sum u_n$ converge ;
si $\ell > 1$, la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ et $\sum u_n$ diverge grossièrement ;
si $\ell = 1$, la règle ne permet pas de conclure --- aucune conclusion ne peut être tirée du seul rapport.

Preuve

Les deux cas non triviaux sont $\ell < 1$ et $\ell > 1$. Le cas $\ell = 1$ douteux est complété par les deux contre-exemples du bloc d'exemple « cas douteux » ci-dessous ($\sum 1/n$ et $\sum 1/n^2$, tous deux de rapport limite $1$ mais de natures opposées), qui ensemble prouvent qu'aucune conclusion générale ne suit de $\ell = 1$.

Cas $\ell < 1$. On choisit $\rho$ avec $\ell < \rho < 1$ --- par exemple $\rho = (\ell + 1)/2$, strictement entre $\ell$ et $1$. Comme $u_{n+1}/u_n \to \ell < \rho$, il existe un rang $N$ à partir duquel $u_{n+1}/u_n \le \rho$. Pour $n \ge N$, en télescopant les rapports, $$ u_n \;=\; u_N \cdot \frac{u_{N+1}}{u_N} \cdot \frac{u_{N+2}}{u_{N+1}} \cdots \frac{u_n}{u_{n-1}} \;\le\; u_N \, \rho^{n-N}. $$ Par comparaison à la série géométrique convergente $\sum u_N \, \rho^{n-N}$ (raison $\rho \in [0, 1[$), la série à termes positifs $\sum u_n$ converge.
Cas $\ell > 1$. On choisit $\rho$ avec $1 < \rho < \ell$ --- par exemple $\rho = (\ell + 1)/2$ si $\ell$ est fini, ou n'importe quel $\rho > 1$ si $\ell = +\infty$. À partir d'un rang $N$, $u_{n+1}/u_n \ge \rho > 1$, et le même télescopage donne $u_n \ge u_N \rho^{n-N} \to +\infty$. Donc $u_n \not\to 0$, et $\sum u_n$ diverge grossièrement.

Méthode — Utiliser d'Alembert

On utilise d'Alembert lorsque le terme général combine factorielles (par exemple $n!$, $(2n)!$) et puissances ($x^n$, $a^n$) : le rapport $u_{n+1}/u_n$ télescope souvent l'essentiel de la formule et laisse une limite simple à calculer. Pour une série à termes de signe variable ou vectoriels, dont les termes sont non nuls à partir d'un rang, on applique la règle à $\|u_{n+1}\|/\|u_n\|$ : si ce rapport tend vers $\ell < 1$, la série des normes converge (convergence absolue), donc la série initiale converge. Si $\ell = 1$, d'Alembert ne dit rien ; on se rabat sur les équivalents, $O$, $o$, ou la comparaison série-intégrale.

Exemple — $\sum n! / n^n$

Posons $u_n = n!/n^n$ pour $n \ge 1$. Le rapport vaut $$ \frac{u_{n+1}}{u_n} \;=\; \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} \;=\; \frac{n+1}{n+1} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n} \;=\; \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \;=\; \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{\!-n} \;\longrightarrow\; \mathrm{e}^{-1}. $$ La limite $\mathrm{e}^{-1} < 1$, donc $\sum n!/n^n$ converge par d'Alembert.

Exemple — Convergence absolue de $\sum z^n / n!$ pour tout $z \in \mathbb{C}$

Pour $z \neq 0$, appliquons d'Alembert aux modules $|z|^n / n!$ : $$ \frac{|z|^{n+1}/(n+1)!}{|z|^n / n!} \;=\; \frac{|z|}{n+1} \;\longrightarrow\; 0 \;<\; 1. $$ Donc $\sum |z|^n / n!$ converge ; la série complexe $\sum z^n / n!$ est alors absolument convergente. (Pour $z = 0$ la série se réduit au seul terme $1$, trivialement convergente.) La somme vaut, bien sûr, $\mathrm{e}^z$ --- rappel de première année.

Exemple — Le cas douteux \(\ell

Pour $u_n = 1/n$, $u_{n+1}/u_n = n/(n+1) \to 1$, et $\sum 1/n$ diverge (série harmonique). Pour $v_n = 1/n^2$, $v_{n+1}/v_n = n^2/(n+1)^2 \to 1$, et $\sum 1/n^2$ converge (série de Riemann, $\alpha = 2 > 1$). Deux séries de natures opposées avec un rapport limite $1$ : d'Alembert ne sait pas les distinguer, et il faut recourir à un outil plus fin (équivalents, $O$, comparaison série-intégrale).

Compétences à pratiquer

Appliquer la règle de d'Alembert

II.2 Comparaison série-intégrale

La comparaison série-intégrale était déjà un critère de convergence en première année : pour $f$ continue, positive et décroissante sur $[a, +\infty[$, la série $\sum f(n)$ et l'intégrale $\int_a^{+\infty} f$ partagent la même nature, avec l'encadrement $\int_a^{n+1} f \le \sum_{k=a}^{n} f(k) \le f(a) + \int_a^{n} f$ pour les sommes partielles. L'apport de la MP est l'utilisation de la même idée sur la queue : lorsque l'intégrale converge, on obtient l'encadrement symétrique pour le reste $\sum_{k=n+1}^{+\infty} f(k)$. Les deux encadrements ensemble permettent d'estimer des sommes partielles de séries divergentes et des restes de séries convergentes --- la capacité nommée du programme \S 5b.

Theorem — Comparaison série-intégrale

Soit $a \in \mathbb{N}$ et $f : [a, +\infty[ \,\to \mathbb{R}$ continue, positive et décroissante. Alors :

l'encadrement terme à terme $\forall k \in \mathbb{N},\, k \ge a, \quad f(k+1) \le \int_k^{k+1} f \le f(k)$ est vrai ;
la série $\sum_{n \ge a} f(n)$ et l'intégrale impropre $\int_a^{+\infty} f$ sont de même nature ;
(sommes partielles, cas divergent --- rappel de première année.) Pour tout $n \ge a$, $$ \int_a^{n+1} f \;\le\; \sum_{k=a}^{n} f(k) \;\le\; f(a) + \int_a^{n} f; $$
(restes, cas convergent --- apport de la MP.) Lorsque l'intégrale converge, pour tout $n \ge a$, $$ \int_{n+1}^{+\infty} f \;\le\; \sum_{k=n+1}^{+\infty} f(k) \;\le\; \int_{n}^{+\infty} f. $$

Preuve

La preuve utilise une seule convention d'indice : la forme MPSI $f(k+1) \le \int_k^{k+1} f \le f(k)$ pour $k \ge a$.

Encadrement terme à terme. La décroissance de $f$ sur $[k, k+1]$ donne $f(k+1) \le f(t) \le f(k)$ pour $t \in [k, k+1]$. En intégrant sur $[k, k+1]$ (longueur $1$), on obtient l'encadrement terme à terme $f(k+1) \le \int_k^{k+1} f \le f(k)$ pour tout $k \ge a$.
Même nature. On somme la minoration $f(k+1) \le \int_k^{k+1} f$ pour $k = a, \dots, n-1$ : $\sum_{k=a+1}^{n} f(k) \le \int_a^{n} f$. Donc si $\int_a^{+\infty} f$ converge, les sommes partielles de la série positive sont bornées, donc la série converge. Réciproquement, en sommant la majoration $\int_k^{k+1} f \le f(k)$ pour $k = a, \dots, n-1$, on a $\int_a^{n} f \le \sum_{k=a}^{n-1} f(k)$, donc la convergence de la série entraîne celle de $(\int_a^{x} f)_{x \ge a}$ (croissante en $x$), donc celle de $\int_a^{+\infty} f$.
Encadrement des sommes partielles. Minoration. On somme la majoration terme à terme $\int_k^{k+1} f \le f(k)$ pour $k = a, \dots, n$ : $$ \int_a^{n+1} f \;=\; \sum_{k=a}^{n} \int_k^{k+1} f \;\le\; \sum_{k=a}^{n} f(k). $$ Majoration. On somme la minoration terme à terme $f(k+1) \le \int_k^{k+1} f$ pour $k = a, \dots, n-1$ : $$ \sum_{k=a}^{n-1} f(k+1) \;\le\; \int_a^{n} f, \quad\text{soit}\quad \sum_{j=a+1}^{n} f(j) \;\le\; \int_a^{n} f, $$ donc $\sum_{j=a}^{n} f(j) - f(a) \le \int_a^{n} f$, d'où $\sum_{k=a}^{n} f(k) \le f(a) + \int_a^{n} f$.
Encadrement des restes. Supposons $\int_a^{+\infty} f$ convergente. On somme l'encadrement terme à terme pour $k = n+1, \dots, N$ ($n \ge a$) : $$ \sum_{k=n+1}^{N} f(k+1) \;\le\; \sum_{k=n+1}^{N} \int_k^{k+1} f \;=\; \int_{n+1}^{N+1} f \;\le\; \sum_{k=n+1}^{N} f(k). $$ La somme de gauche se réindexe en $\sum_{j=n+2}^{N+1} f(j)$ ; en faisant tendre $N \to +\infty$, les deux côtés tendent vers des limites finies (série et intégrale convergentes), et on obtient $R_{n+1} \le \int_{n+1}^{+\infty} f \le R_n$. En remplaçant $n$ par $n-1$ dans l'inégalité de gauche (ou en relançant la sommation à partir de $k = n$), on obtient l'encadrement annoncé $\int_{n+1}^{+\infty} f \le R_n \le \int_n^{+\infty} f$.

Méthode — Estimer sommes partielles et restes par comparaison série-intégrale

Face à une fonction $f(n)$ positive décroissante :

Si $\sum f(n)$ diverge, on encadre la somme partielle $\sum_{k=a}^{n} f(k)$ entre $\int_a^{n+1} f$ et $f(a) + \int_a^{n} f$. Les deux intégrales admettent généralement une primitive close ; l'encadrement fournit un équivalent de la somme partielle (le plus souvent, $\sim \int_a^{n} f$).
Si $\sum f(n)$ converge, on encadre le reste $R_n = \sum_{k > n} f(k)$ entre $\int_{n+1}^{+\infty} f$ et $\int_n^{+\infty} f$. Les deux intégrales admettent une primitive close ; l'encadrement fournit un équivalent du reste.

Dans les deux directions, la recette est la même : une intégrale est plus simple qu'une somme, donc on échange l'objet discret contre son jumeau continu et on lit l'asymptotique.

Exemple — Somme partielle : série harmonique et constante d'Euler

On applique l'encadrement des sommes partielles à $f(x) = 1/x$ sur $[1, +\infty[$ : $$ \int_1^{n+1} \frac{\mathrm{d}t}{t} \;\le\; \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \;\le\; 1 + \int_1^{n} \frac{\mathrm{d}t}{t}, \quad\text{soit}\quad \ln(n+1) \;\le\; H_n \;\le\; 1 + \ln n, $$ où $H_n = \sum_{k=1}^n 1/k$. En divisant par $\ln n$ et en faisant tendre $n \to +\infty$, $H_n / \ln n \to 1$, donc $$ H_n \;\underset{n \to +\infty}{\sim}\; \ln n. $$ L'encadrement série-intégrale donne aussi l'existence de la constante d'Euler $\gamma$ : posant $u_n = H_n - \ln n$, on vérifie que $u_{n+1} - u_n = 1/(n+1) - \ln(1 + 1/n) = O(1/n^2)$, donc $\sum (u_{n+1} - u_n)$ converge absolument ; par le lien suite-série du \S 1.2, $(u_n)$ converge vers une limite $\gamma$, et $H_n = \ln n + \gamma + o(1)$.

Exemple — Reste : série de Riemann convergente avec \(\alpha

On applique l'encadrement des restes à $f(x) = 1/x^2$ sur $[1, +\infty[$ : $$ \int_{n+1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2} \;\le\; \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} \;\le\; \int_{n}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2}, \quad\text{soit}\quad \frac{1}{n+1} \;\le\; R_n \;\le\; \frac{1}{n}. $$ En divisant par $1/n$, $R_n \cdot n \to 1$, donc $$ \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} \;\underset{n \to +\infty}{\sim}\; \frac{1}{n}. $$

Compétences à pratiquer

Estimer sommes et restes par comparaison série-intégrale

II.3 Sommation des relations de comparaison

Les trois relations de comparaison de première année --- domination ($O$), négligeabilité ($o$) et équivalence ($\sim$) --- se transfèrent du terme général de deux séries aux restes (lorsque la série de référence converge) ou aux sommes partielles (lorsqu'elle diverge). La contrainte est légère mais réelle : la série de référence doit être de signe constant (positive dans ce chapitre) ; le terme comparé peut être de signe variable, voire à valeurs dans $\mathbb{K}$, pour les relations $O$ et $o$, puisque la preuve ne repose que sur l'inégalité triangulaire $|\sum u_k| \le \sum |u_k|$, valable sur $\mathbb{C}$ comme sur $\mathbb{R}$.

Theorem — Sommation des relations de comparaison -- cas convergent

Soit $\sum v_n$ une série numérique à termes positifs convergente, de reste $R_n' = \sum_{k > n} v_k$. Soit $(u_n)$ une suite à valeurs dans $\mathbb{K}$ ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). Alors, dans l'ordre du programme :

si $u_n = O(v_n)$, alors $\sum u_n$ converge et son reste $R_n$ vérifie $R_n = O(R_n')$ ;
si $u_n = o(v_n)$, alors $\sum u_n$ converge et $R_n = o(R_n')$ ;
si $u_n \sim v_n$ --- dans ce cas $\sim$ on suppose $u_n$ réel, et la relation force $u_n > 0$ à partir d'un rang puisque $v_n > 0$ --- alors $\sum u_n$ converge et $R_n \sim R_n'$.

La convergence de $\sum u_n$ est une conclusion, pas une hypothèse.

Preuve

Cas $O$. Il existe $M \ge 0$ et un rang $n_0$ tels que $|u_n| \le M v_n$ pour $n \ge n_0$. Par comparaison à la série à termes positifs convergente $\sum v_n$, la série $\sum |u_n|$ converge ; donc $\sum u_n$ converge absolument (première année), et en particulier converge. Pour le reste, l'inégalité triangulaire et la majoration $|u_n| \le M v_n$ donnent, pour $p \ge n_0$, $$ |R_p| \;=\; \left|\sum_{n > p} u_n\right| \;\le\; \sum_{n > p} |u_n| \;\le\; M \sum_{n > p} v_n \;=\; M R_p', $$ donc $R_n = O(R_n')$.
Cas $o$. On fixe $\varepsilon > 0$ ; à partir d'un rang $n_0$, $|u_n| \le \varepsilon v_n$. Le même argument par l'inégalité triangulaire borne $|R_p| \le \varepsilon R_p'$ pour $p \ge n_0$, soit $R_n = o(R_n')$. La convergence de $\sum u_n$ se déduit comme dans le cas $O$ (avec $M = 1$ par exemple).
Cas $\sim$. On écrit $u_n = v_n + (u_n - v_n)$ avec $u_n - v_n = o(v_n)$ par hypothèse. Les deux séries $\sum v_n$ et $\sum (u_n - v_n)$ convergent (la seconde par le cas $o$ qu'on vient de prouver), donc $\sum u_n$ converge par linéarité. Leurs restes vérifient $R_n = R_n' + (R_n - R_n')$ avec $R_n - R_n' = o(R_n')$ (par le cas $o$ appliqué à $u_n - v_n$). En divisant par $R_n'$, $R_n / R_n' \to 1$, soit $R_n \sim R_n'$.

Theorem — Sommation des relations de comparaison -- cas divergent

Soit $\sum v_n$ une série numérique à termes positifs divergente, de somme partielle $S_n' = \sum_{k=0}^{n} v_k$. Soit $(u_n)$ une suite à valeurs dans $\mathbb{K}$. Alors, dans l'ordre du programme :

si $u_n = O(v_n)$, la somme partielle $S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k$ vérifie $S_n = O(S_n')$ ;
si $u_n = o(v_n)$, alors $S_n = o(S_n')$ ;
si $u_n \sim v_n$ --- dans ce cas $\sim$ on suppose $u_n$ réel, et la relation force $u_n > 0$ à partir d'un rang puisque $v_n > 0$ --- alors $\sum u_n$ diverge également et $S_n \sim S_n'$.

Preuve

Cas $o$. On fixe $\varepsilon > 0$ ; à partir du rang $n_0$, $|u_n| \le \varepsilon v_n$. Pour $n \ge n_0$, on coupe la somme partielle en $n_0$ : $$ |S_n| \;\le\; \underbrace{\sum_{k=0}^{n_0} |u_k|}_{\text{constante } C} \;+\; \sum_{k=n_0+1}^{n} |u_k| \;\le\; C + \varepsilon \sum_{k=n_0+1}^{n} v_k \;\le\; C + \varepsilon S_n'. $$ Comme $S_n' \to +\infty$, il existe $n_1$ tel que $C \le \varepsilon S_n'$ pour $n \ge n_1$, donc $|S_n| \le 2\varepsilon S_n'$ pour $n \ge \max(n_0, n_1)$. Comme $\varepsilon$ est arbitraire, $S_n = o(S_n')$.
Cas $O$. Même découpage avec $\varepsilon$ remplacé par un $M$ fixé : $|S_n| \le C + M S_n'$, et $C / S_n' \to 0$, donc $S_n = O(S_n')$.
Cas $\sim$. On écrit $u_n = v_n + (u_n - v_n)$ avec $u_n - v_n = o(v_n)$. Le cas $o$ donne $\sum_{k \le n}(u_k - v_k) = o(S_n')$, donc $S_n - S_n' = o(S_n')$, ce qui équivaut à $S_n \sim S_n'$. L'hypothèse $u_n \sim v_n$ avec $v_n > 0$ donne aussi que $u_n$ est positif à partir d'un rang, et $S_n \to +\infty$ (divergence de $\sum u_n$).

Méthode — Sommer une relation de comparaison

La recette est la même dans les deux cas : choisir une série de référence de signe positif $\sum v_n$ dont on connaît la nature --- Riemann convergente $\sum 1/n^\alpha$ ($\alpha > 1$), Riemann divergente ($\alpha \le 1$), géométrique, etc. --- comparer le terme général $u_n$ à $v_n$ par $\sim$, $o$ ou $O$, puis transférer la comparaison au reste si $\sum v_n$ converge, à la somme partielle si elle diverge. Le cadre fournit presque gratuitement les équivalents des restes et des sommes partielles, dès que la bonne référence est identifiée.

Exemple — Équivalent d'un reste par $\sim$

Prenons $u_n = 1/n^2$ et $v_n = 1/(n(n+1))$. On a $u_n \sim v_n$ (tous deux $\sim 1/n^2$), positifs, donnant des séries convergentes. Le reste de $\sum v_n$ se calcule directement par télescopage : $v_n = 1/n - 1/(n+1)$, donc $$ \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k(k+1)} \;=\; \frac{1}{n+1}. $$ Par sommation de $\sim$ sur les restes convergents, $$ R_n \;=\; \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} \;\sim\; \frac{1}{n+1} \;\sim\; \frac{1}{n}, $$ ce qui retrouve l'estimation du \S 2.2 sans comparaison série-intégrale explicite.

Exemple — Équivalent d'une somme partielle : $\sum 1/\sqrt{k}$

La série de Riemann $\sum 1/k^{1/2}$ diverge ($\alpha = 1/2 \le 1$). La référence $v_n = 1/\sqrt{n}$ a pour somme partielle $S_n' = \sum_{k=1}^{n} 1/\sqrt{k}$ (on part de $k = 1$ pour éviter $1/\sqrt{0}$ ; le rang initial d'une série n'affecte pas son comportement asymptotique, les termes manquants formant une constante finie), que l'on encadre par comparaison série-intégrale : $S_n' \sim 2\sqrt{n}$. Prenons à présent $u_n = 1/\sqrt{n} \cdot (1 + 1/n)$ ; alors $u_n \sim 1/\sqrt{n} = v_n$, positifs. Par sommation de $\sim$ dans le cas divergent, $$ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}\left(1 + \frac{1}{k}\right) \;\underset{n \to +\infty}{\sim}\; 2\sqrt{n}. $$

Compétences à pratiquer

Sommer des relations de comparaison

II.4 Le théorème de Cesàro

Le théorème de Cesàro est une conséquence précise de la sommation dans le cas divergent, assez importante pour mériter son propre nom : si une suite converge (dans $\mathbb{K}$), alors ses moyennes arithmétiques convergent vers la même limite. Pour les suites réelles, le résultat persiste avec $\ell = \pm \infty$, par un argument direct qui ne passe pas par le théorème de sommation.

Theorem — Théorème de Cesàro

Soit $(u_n)$ une suite à valeurs dans $\mathbb{K}$ ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) avec $u_n \to \ell \in \mathbb{K}$. Alors $$ \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} u_k \;\xrightarrow[n \to +\infty]{}\; \ell. $$ Pour une suite réelle, le résultat persiste pour $\ell = \pm\infty$ (avec la convention que la moyenne arithmétique tend alors vers $\pm \infty$).

Preuve

Cas $\ell \in \mathbb{K}$ fini. On pose $w_n = u_n - \ell$, donc $w_n \to 0$, soit $w_n = o(1)$ contre la référence positive divergente $v_n = 1$. La sommation des $o$ dans le cas divergent --- valable pour un $w_n$ à valeurs dans $\mathbb{K}$, la preuve du \S 2.3 n'utilisant que l'inégalité triangulaire --- donne $\sum_{k=0}^{n} w_k = o(\sum_{k=0}^{n} 1) = o(n+1)$. Donc $$ \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} u_k \;=\; \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} (\ell + w_k) \;=\; \ell + \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} w_k \;=\; \ell + o(1) \;\longrightarrow\; \ell. $$
Cas réel $\ell = +\infty$. Étant donné $A \in \mathbb{R}$, il existe $n_0$ tel que $u_n \ge A$ pour $n \ge n_0$. Pour $n \ge n_0$, $$ \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} u_k \;=\; \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n_0 - 1} u_k \;+\; \frac{1}{n+1}\sum_{k=n_0}^{n} u_k \;\ge\; \frac{C}{n+1} \;+\; \frac{n - n_0 + 1}{n+1} A, $$ où $C = \sum_{k=0}^{n_0-1} u_k$ est une constante. Quand $n \to +\infty$, $C/(n+1) \to 0$ et $(n - n_0 + 1)/(n+1) \to 1$, donc le membre de droite tend vers $A$ ; en particulier $\liminf_{n \to +\infty} \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} u_k \ge A$. Comme $A \in \mathbb{R}$ est arbitraire, ce $\liminf$ vaut $+\infty$, donc la moyenne tend vers $+\infty$. Le cas $\ell = -\infty$ est identique en renversant les inégalités.

Méthode — Reconnaître une situation de Cesàro

Dès qu'apparaît une moyenne $\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n} u_k$ avec une suite $(u_n)$ ayant une limite connue, la moyenne a la même limite --- aucune autre démarche nécessaire. Attention : la réciproque de Cesàro est fausse : une suite dont la moyenne de Cesàro converge n'est pas forcément convergente (contre-exemple $u_n = (-1)^n$, moyenne $\to 0$ alors que $(u_n)$ n'a pas de limite).

Exemple — Application de Cesàro à une suite de carrés

Soit $(u_n)$ réelle avec $u_n \to \ell \in \mathbb{R}$. Alors $u_n^2 \to \ell^2$ par continuité de l'élévation au carré, donc par Cesàro $$ \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} u_k^2 \;\longrightarrow\; \ell^2. $$ Cas concret : posons $u_0 = 1$ et $u_n = 1 + 1/n$ pour $n \ge 1$ (toute valeur de $u_0$ convient ; un bloc initial fini n'affecte pas la limite de Cesàro). Alors $u_n \to 1 = \ell$, $u_n^2 = 1 + 2/n + 1/n^2 \to 1$, et la moyenne $\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n} u_k^2$ tend vers $1$.

Compétences à pratiquer

Appliquer le théorème de Cesàro