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Espaces vectoriels normés
En première année, la longueur se mesurait par la valeur absolue \(|\cdot|\) sur \(\mathbb{R}\), par le module \(|\cdot|\) sur \(\mathbb{C}\), et par la norme \(\sqrt{\langle x,x\rangle}\) associée à un produit scalaire. Chacun de ces objets associe à un vecteur un nombre positif --- une « longueur ». Ce chapitre isole les trois propriétés qu'ils partagent tous et en fait une définition unique : une norme. Une norme peut alors vivre sur n'importe quel espace vectoriel --- sur \(\mathbb{K}^n\), sur un espace de polynômes, de matrices, de fonctions continues indifféremment.
Le chapitre a trois sections. La section~1 définit une norme, la distance et les boules qu'elle produit, et les normes usuelles \(\norme{\cdot}_1\), \(\norme{\cdot}_2\), \(\norme{\cdot}_\infty\). La section~2 utilise la distance pour définir les suites convergentes d'un espace vectoriel normé. La section~3 compare deux normes sur un même espace : la question centrale est de savoir quand elles décrivent la même convergence --- la relation de normes équivalentes.
Notations permanentes. Dans tout le chapitre, \(\mathbb{K}\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\) ; \(E\) désigne un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel, de vecteur nul \(0_E\) ; une norme sur \(E\) est notée \(\norme{\cdot}\). Les notions d'espace vectoriel (base, dimension, dimension finie, espace produit) sont celles de Espaces vectoriels de dimension finie, et les notions de convergence des suites réelles sont celles de Suites réelles. Les normes de fonctions du \S1.2 rappellent en outre, à leur point d'usage, des résultats nommés de Espaces préhilbertiens réels (Cauchy--Schwarz), Limites et continuité (le théorème des bornes atteintes) et Intégration sur un segment. Ce chapitre est la couche de vocabulaire du bloc de topologie : Topologie d'un espace normé, Limites et continuité dans un espace normé et Compacité, connexité, dimension finie s'appuient tous directement dessus.
Le chapitre a trois sections. La section~1 définit une norme, la distance et les boules qu'elle produit, et les normes usuelles \(\norme{\cdot}_1\), \(\norme{\cdot}_2\), \(\norme{\cdot}_\infty\). La section~2 utilise la distance pour définir les suites convergentes d'un espace vectoriel normé. La section~3 compare deux normes sur un même espace : la question centrale est de savoir quand elles décrivent la même convergence --- la relation de normes équivalentes.
Notations permanentes. Dans tout le chapitre, \(\mathbb{K}\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\) ; \(E\) désigne un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel, de vecteur nul \(0_E\) ; une norme sur \(E\) est notée \(\norme{\cdot}\). Les notions d'espace vectoriel (base, dimension, dimension finie, espace produit) sont celles de Espaces vectoriels de dimension finie, et les notions de convergence des suites réelles sont celles de Suites réelles. Les normes de fonctions du \S1.2 rappellent en outre, à leur point d'usage, des résultats nommés de Espaces préhilbertiens réels (Cauchy--Schwarz), Limites et continuité (le théorème des bornes atteintes) et Intégration sur un segment. Ce chapitre est la couche de vocabulaire du bloc de topologie : Topologie d'un espace normé, Limites et continuité dans un espace normé et Compacité, connexité, dimension finie s'appuient tous directement dessus.
I
Normes et espaces vectoriels normés
I.1
Norme et espace vectoriel normé
Une norme est une abstraction de la valeur absolue. On conserve exactement les trois propriétés de \(|\cdot|\) qui en font une mesure de longueur : elle ne s'annule qu'à l'origine, elle se comporte bien vis-à-vis des scalaires, et elle vérifie l'inégalité triangulaire. Toute application possédant ces trois propriétés mérite le nom de longueur.
Définition — Norme et espace vectoriel normé
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. Une norme sur \(E\) est une application \(N \colon E \to \mathbb{R}\) telle que, pour tous \(x,y \in E\) et tout \(\lambda \in \mathbb{K}\) : - séparation : \(N(x) = 0 \iff x = 0_E\) ;
- homogénéité : \(N(\lambda x) = |\lambda|\, N(x)\) ;
- inégalité triangulaire : \(N(x+y) \le N(x) + N(y)\).
La positivité n'est pas un quatrième axiome : c'est une conséquence des trois précédents. En effet, en appliquant l'inégalité triangulaire puis l'homogénéité, $$ 0 = N(0_E) = N\bigl(x + (-x)\bigr) \le N(x) + N(-x) = 2\, N(x), $$ donc \(N(x) \ge 0\) pour tout \(x\). Une norme est donc automatiquement à valeurs dans \(\mathbb{R}^+\).
De plus, pour tout \(x \ne 0_E\), le vecteur \(x / \norme{x}\) est de norme \(1\) par homogénéité --- c'est le vecteur unitaire porté par \(x\).
De plus, pour tout \(x \ne 0_E\), le vecteur \(x / \norme{x}\) est de norme \(1\) par homogénéité --- c'est le vecteur unitaire porté par \(x\).
Exemple — Le module est la norme modèle
Sur le \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(\mathbb{K}\) lui-même, le module \(|\cdot| \colon \mathbb{K} \to \mathbb{R}\) est une norme : \(|x| = 0 \iff x = 0\), \(|\lambda x| = |\lambda|\,|x|\), et \(|x+y| \le |x| + |y|\). Ainsi \((\mathbb{K}, |\cdot|)\) est un espace vectoriel normé --- le modèle sur lequel la définition générale est bâtie. Proposition — Inégalité triangulaire renversée
Soit \((E, \norme{\cdot})\) un espace vectoriel normé. Pour tous \(x,y \in E\), $$ \textcolor{colorprop}{\bigl|\, \norme{x} - \norme{y} \,\bigr| \le \norme{x - y}}, \qquad \text{et de même} \qquad \bigl|\, \norme{x} - \norme{y} \,\bigr| \le \norme{x + y}. $$ La première forme est celle liée à la distance \(d(x,y) = \norme{x-y}\) du \S1.3.
Écrivons \(x = (x - y) + y\) et appliquons l'inégalité triangulaire : $$ \begin{aligned} \norme{x} = \norme{(x-y) + y} &\le \norme{x-y} + \norme{y} && \text{(inégalité triangulaire)} \end{aligned} $$ d'où \(\norme{x} - \norme{y} \le \norme{x-y}\). En échangeant \(x\) et \(y\), et en utilisant \(\norme{y-x} = \norme{-(x-y)} = \norme{x-y}\) par homogénéité, on obtient \(\norme{y} - \norme{x} \le \norme{x-y}\). Les deux inégalités donnent ensemble \(\bigl|\norme{x} - \norme{y}\bigr| \le \norme{x-y}\). En remplaçant \(y\) par \(-y\), on obtient la forme en \(\norme{x+y}\).
L'inégalité triangulaire est géométrique : dans le triangle de sommets \(0_E\), \(x\) et \(x+y\), le côté \(\norme{x+y}\) n'est pas plus long que la somme des deux autres côtés. 
Rappelons, de Espaces préhilbertiens réels, l'inégalité de Cauchy--Schwarz. Pour un espace préhilbertien réel \((E, \langle\cdot,\cdot\rangle)\) elle s'écrit \(|\langle x,y\rangle| \le \sqrt{\langle x,x\rangle}\,\sqrt{\langle y,y\rangle}\) ; pour des familles finies de réels elle s'écrit \(\bigl(\sum a_i b_i\bigr)^2 \le \bigl(\sum a_i^2\bigr)\bigl(\sum b_i^2\bigr)\) ; et pour des fonctions continues elle s'écrit \(\bigl(\int_a^b |fg|\bigr)^2 \le \bigl(\int_a^b |f|^2\bigr)\bigl(\int_a^b |g|^2\bigr)\). On la rappelle ici, sans démonstration, car c'est l'outil derrière toute inégalité triangulaire pour la norme \(\norme{\cdot}_2\) de ce chapitre.
Proposition — La norme d'un espace préhilbertien réel
Soit \((E, \langle\cdot,\cdot\rangle)\) un espace préhilbertien réel (le produit scalaire est à valeurs réelles). L'application \(x \mapsto \sqrt{\langle x,x\rangle}\) est une norme sur \(E\), appelée norme préhilbertienne associée au produit scalaire.
Notons \(\norme{x} = \sqrt{\langle x,x\rangle}\), bien défini puisque \(\langle x,x\rangle \ge 0\).
- Séparation. \(\norme{x} = 0 \iff \langle x,x\rangle = 0 \iff x = 0_E\), car le produit scalaire est défini positif.
- Homogénéité. Pour \(\lambda \in \mathbb{R}\), \(\norme{\lambda x} = \sqrt{\langle \lambda x, \lambda x\rangle} = \sqrt{\lambda^2 \langle x,x\rangle} = |\lambda|\,\norme{x}\).
- Inégalité triangulaire. En développant par bilinéarité, $$ \begin{aligned} \norme{x+y}^2 = \langle x+y, x+y\rangle &= \norme{x}^2 + 2\langle x,y\rangle + \norme{y}^2 && \text{(bilinéarité)}\\ &\le \norme{x}^2 + 2\,\norme{x}\,\norme{y} + \norme{y}^2 && \text{(Cauchy--Schwarz)}\\ &= \bigl(\norme{x} + \norme{y}\bigr)^2. \end{aligned} $$ En prenant les racines carrées, on obtient \(\norme{x+y} \le \norme{x} + \norme{y}\).
Exemple — La norme euclidienne canonique
Sur \(\mathbb{R}^n\) muni du produit scalaire canonique \(\langle x,y\rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i\), la norme préhilbertienne est \(\norme{x}_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}\), la norme euclidienne canonique. D'après la proposition précédente, c'est une norme sur \(\mathbb{R}^n\) --- aucune vérification séparée de l'inégalité triangulaire n'est nécessaire. Méthode — Montrer qu'une application est une norme
Pour démontrer qu'une application \(N \colon E \to \mathbb{R}\) est une norme, on vérifie les trois axiomes dans l'ordre : - séparation : démontrer \(N(x) = 0 \Rightarrow x = 0_E\) (la réciproque \(N(0_E) = 0\) est en général immédiate par homogénéité avec \(\lambda = 0\)) ;
- homogénéité : calculer \(N(\lambda x)\) et mettre \(|\lambda|\) en facteur ;
- inégalité triangulaire : majorer \(N(x+y)\) --- c'est la seule étape qui peut demander un outil, typiquement l'inégalité triangulaire de \(|\cdot|\) appliquée terme à terme, ou l'inégalité de Cauchy--Schwarz pour une norme de type \(\norme{\cdot}_2\).
Compétences à pratiquer
- Vérifier qu'une application est une norme
I.2
Les normes usuelles
Trois normes reviennent sans cesse : \(\norme{\cdot}_1\), \(\norme{\cdot}_2\) et \(\norme{\cdot}_\infty\). On les définit d'abord sur \(\mathbb{K}^n\), puis sur un espace de fonctions continues, et enfin sur un produit d'espaces vectoriels normés. Toute inégalité triangulaire pour une \(\norme{\cdot}_2\) repose sur l'inégalité de Cauchy--Schwarz rappelée au \S1.1.
Proposition — Les normes usuelles sur \(\mathbb{K}^n\)
Soit \(n \ge 1\). Pour \(x = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{K}^n\), posons $$ \norme{x}_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|, \qquad \norme{x}_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2}, \qquad \norme{x}_\infty = \max_{1 \le i \le n} |x_i|. $$ Ces trois applications sont des normes sur \(\mathbb{K}^n\).
Chaque application est positive et à valeurs réelles. Soit \(x,y \in \mathbb{K}^n\) et \(\lambda \in \mathbb{K}\).
- La norme \(\norme{\cdot}_1\). Séparation : \(\norme{x}_1 = \sum |x_i| = 0\) force chaque \(|x_i| = 0\), donc \(x = 0\). Homogénéité : \(\norme{\lambda x}_1 = \sum |\lambda x_i| = |\lambda| \sum |x_i| = |\lambda|\,\norme{x}_1\). Inégalité triangulaire : de \(|x_i + y_i| \le |x_i| + |y_i|\) pour chaque \(i\), la sommation donne \(\norme{x+y}_1 \le \norme{x}_1 + \norme{y}_1\).
- La norme \(\norme{\cdot}_\infty\). Séparation : \(\norme{x}_\infty = \max |x_i| = 0\) force chaque \(|x_i| = 0\), donc \(x = 0\). Homogénéité : \(\norme{\lambda x}_\infty = \max |\lambda x_i| = |\lambda| \max |x_i| = |\lambda|\,\norme{x}_\infty\). Inégalité triangulaire : pour chaque \(i\), \(|x_i + y_i| \le |x_i| + |y_i| \le \norme{x}_\infty + \norme{y}_\infty\) ; en prenant le maximum sur \(i\), on obtient \(\norme{x+y}_\infty \le \norme{x}_\infty + \norme{y}_\infty\).
- La norme \(\norme{\cdot}_2\). Séparation et homogénéité sont comme pour \(\norme{\cdot}_1\). Pour l'inégalité triangulaire, on développe et on utilise l'inégalité de Cauchy--Schwarz sur les familles \((|x_i|)\) et \((|y_i|)\) de réels positifs : $$ \begin{aligned} \norme{x+y}_2^2 = \sum_{i=1}^n |x_i + y_i|^2 &\le \sum_{i=1}^n \bigl(|x_i| + |y_i|\bigr)^2 && \text{(inégalité triangulaire de \(|\cdot|\))}\\ &= \norme{x}_2^2 + 2 \sum_{i=1}^n |x_i|\,|y_i| + \norme{y}_2^2 && \text{(développement)}\\ &\le \norme{x}_2^2 + 2\,\norme{x}_2\,\norme{y}_2 + \norme{y}_2^2 && \text{(Cauchy--Schwarz)}\\ &= \bigl(\norme{x}_2 + \norme{y}_2\bigr)^2. \end{aligned} $$ En prenant les racines carrées, on obtient \(\norme{x+y}_2 \le \norme{x}_2 + \norme{y}_2\). Cet argument est identique pour \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) et \(\mathbb{K} = \mathbb{C}\), puisqu'il n'utilise que les modules \(|x_i|\), \(|y_i|\). Pour \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\), \(\norme{\cdot}_2\) est la norme préhilbertienne du produit scalaire canonique.
Exemple — Les trois normes d'un vecteur
Prenons \(x = (3, -4, 12) \in \mathbb{R}^3\). Alors $$ \norme{x}_1 = 3 + 4 + 12 = 19, \qquad \norme{x}_2 = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13, \qquad \norme{x}_\infty = \max(3, 4, 12) = 12. $$ Le même vecteur reçoit trois longueurs différentes, avec \(\norme{x}_\infty \le \norme{x}_2 \le \norme{x}_1\) --- un ordre qui sera expliqué au \S3. Proposition — Les normes usuelles sur un espace de fonctions continues
Soit \(a < b\) deux réels. Pour \(f \in \mathcal{C}([a,b], \mathbb{K})\), posons $$ \norme{f}_\infty = \sup_{[a,b]} |f|, \qquad \norme{f}_1 = \int_a^b |f|, \qquad \norme{f}_2 = \sqrt{\int_a^b |f|^2}. $$ Ces trois applications sont des normes sur \(\mathcal{C}([a,b], \mathbb{K})\) ; la première est la norme uniforme, les deux autres sont simplement désignées par la norme \(\norme{\cdot}_1\) et la norme \(\norme{\cdot}_2\).
Pour \(f \in \mathcal{C}([a,b], \mathbb{K})\), les fonctions \(|f|\) et \(|f|^2\) sont continues et à valeurs réelles sur le segment \([a,b]\) (composée de \(f\) avec l'application continue \(z \mapsto |z|\)) ; le théorème des bornes atteintes et le lemme de l'intégrale nulle s'appliquent à elles dans le cas réel comme dans le cas complexe.
- La norme uniforme \(\norme{\cdot}_\infty\). Bien définie : \(|f|\) est continue sur un segment, donc bornée (théorème des bornes atteintes, rappelé de Limites et continuité), donc \(\sup_{[a,b]} |f|\) existe. Séparation : \(\norme{f}_\infty = 0\) force \(|f| \equiv 0\), donc \(f = 0\). Homogénéité : \(\sup |\lambda f| = |\lambda| \sup |f|\). Inégalité triangulaire : de \(|f+g| \le |f| + |g|\) ponctuellement, \(\norme{f+g}_\infty \le \norme{f}_\infty + \norme{g}_\infty\).
- La norme \(\norme{\cdot}_1\). Séparation : si \(\int_a^b |f| = 0\) alors, \(|f|\) étant continue et positive sur \([a,b]\), le lemme de l'intégrale nulle (rappelé de Intégration sur un segment) donne \(|f| \equiv 0\), donc \(f = 0\). L'homogénéité et l'inégalité triangulaire découlent de la linéarité et de la croissance de l'intégrale : \(\int |\lambda f| = |\lambda| \int |f|\), et \(|f+g| \le |f| + |g|\) donne \(\int |f+g| \le \int |f| + \int |g|\).
- La norme \(\norme{\cdot}_2\). Séparation : \(\int_a^b |f|^2 = 0\) avec \(|f|^2\) continue et positive donne \(|f|^2 \equiv 0\), donc \(f = 0\). L'homogénéité est immédiate. Inégalité triangulaire : de \(|f+g|^2 \le \bigl(|f| + |g|\bigr)^2\) ponctuellement, on intègre et on majore le terme croisé par l'inégalité de Cauchy--Schwarz intégrale : $$ \begin{aligned} \norme{f+g}_2^2 = \int_a^b |f+g|^2 &\le \int_a^b |f|^2 + 2\int_a^b |f|\,|g| + \int_a^b |g|^2 && \text{(développement et croissance)}\\ &\le \norme{f}_2^2 + 2\,\norme{f}_2\,\norme{g}_2 + \norme{g}_2^2 && \text{(Cauchy--Schwarz)}\\ &= \bigl(\norme{f}_2 + \norme{g}_2\bigr)^2. \end{aligned} $$ En prenant les racines carrées, on obtient l'inégalité triangulaire. Pour \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\), \(\norme{\cdot}_2\) est la norme préhilbertienne du produit scalaire \(\langle f,g\rangle = \int_a^b fg\).
Exemple — Les trois normes d'une fonction
Prenons \(f \colon t \mapsto t\) sur \([0,1]\). Alors $$ \norme{f}_\infty = \sup_{[0,1]} |t| = 1, \qquad \norme{f}_1 = \int_0^1 t\, \mathrm{d}t = \tfrac{1}{2}, \qquad \norme{f}_2 = \sqrt{\int_0^1 t^2\, \mathrm{d}t} = \sqrt{\tfrac{1}{3}}. $$ Ici aussi les trois nombres diffèrent : \(\norme{f}_1 \le \norme{f}_2 \le \norme{f}_\infty\), l'inverse de l'ordre \(\norme{x}_\infty \le \norme{x}_2 \le \norme{x}_1\) obtenu pour le vecteur de \(\mathbb{R}^3\) ci-dessus. Aucun ordre des trois normes usuelles n'est valable à la fois sur \(\mathbb{K}^n\) et sur un espace de fonctions. Proposition — Norme produit
Soit \(p \ge 1\) et soit \((E_1, N_1), \dots, (E_p, N_p)\) des espaces vectoriels normés. L'application $$ N \colon (x_1, \dots, x_p) \longmapsto \max_{1 \le i \le p} N_i(x_i) $$ est une norme sur l'espace produit \(E_1 \times \cdots \times E_p\), appelée norme produit.
Soit \(x = (x_1, \dots, x_p)\) et \(y = (y_1, \dots, y_p)\) dans le produit, et \(\lambda \in \mathbb{K}\). Les trois axiomes se vérifient composante par composante.
- Séparation. \(N(x) = 0\) signifie \(\max_i N_i(x_i) = 0\), donc \(N_i(x_i) = 0\) pour tout \(i\), donc \(x_i = 0_{E_i}\) pour tout \(i\), c'est-à-dire \(x = 0\).
- Homogénéité. \(N(\lambda x) = \max_i N_i(\lambda x_i) = \max_i |\lambda|\, N_i(x_i) = |\lambda| \max_i N_i(x_i) = |\lambda|\, N(x)\).
- Inégalité triangulaire. Pour chaque \(i\), \(N_i(x_i + y_i) \le N_i(x_i) + N_i(y_i) \le N(x) + N(y)\) ; en prenant le maximum sur \(i\), on obtient \(N(x+y) \le N(x) + N(y)\).
Exemple — La norme infinie est une norme produit
Prenons \(E_1 = \cdots = E_n = (\mathbb{K}, |\cdot|)\). L'espace produit est \(\mathbb{K}^n\), et la norme produit est \((x_1, \dots, x_n) \mapsto \max_i |x_i| = \norme{x}_\infty\). Ainsi \(\norme{\cdot}_\infty\) sur \(\mathbb{K}^n\) est la norme produit de \(n\) copies de l'espace normé modèle \((\mathbb{K}, |\cdot|)\). Compétences à pratiquer
- Calculer les normes usuelles
I.3
Distance\(\virgule\) boules et parties bornées
Une norme produit une distance, la distance produit des boules, et les boules permettent de dire ce qu'est une partie bornée. Cette sous-section parcourt cette chaîne. Le vocabulaire --- boule, sphère, borné --- est celui que tous les chapitres suivants du bloc de topologie réutilisent.
Définition — Distance associée à une norme
Soit \((E, \norme{\cdot})\) un espace vectoriel normé. La distance associée à la norme est l'application $$ d \colon E \times E \longrightarrow \mathbb{R}, \qquad d(x,y) = \norme{x - y}. $$ Proposition — Propriétés de la distance
La distance \(d\) associée à une norme sur \(E\) vérifie, pour tous \(x,y,z \in E\) : $$ d(x,y) \ge 0, \qquad d(x,y) = d(y,x), \qquad d(x,y) = 0 \iff x = y, \qquad d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y). $$
Chaque propriété découle directement d'un axiome de norme.
- Positivité. \(d(x,y) = \norme{x-y} \ge 0\) puisqu'une norme est positive.
- Symétrie. \(d(y,x) = \norme{y-x} = \norme{-(x-y)} = |-1|\,\norme{x-y} = \norme{x-y} = d(x,y)\) par homogénéité.
- Séparation. \(d(x,y) = 0 \iff \norme{x-y} = 0 \iff x - y = 0_E \iff x = y\).
- Inégalité triangulaire. \(d(x,y) = \norme{(x-z) + (z-y)} \le \norme{x-z} + \norme{z-y} = d(x,z) + d(z,y)\).
Dans ce cours, toute distance provient d'une norme, comme ci-dessus. On peut aussi définir des « distances » abstraites sur un ensemble sans structure d'espace vectoriel ; un tel ensemble est appelé espace métrique. Les notions d'espace métrique et, a fortiori, d'espace topologique, sont hors programme. Il en est de même des notions de suite de Cauchy et d'espace de Banach. Aucune de ces notions n'est utilisée ici : le chapitre travaille entièrement avec des normes sur des espaces vectoriels.
Définition — Boules et sphères
Soit \((E, \norme{\cdot})\) un espace vectoriel normé, \(a \in E\) et \(r\) un réel. - Pour \(r > 0\), la boule ouverte de centre \(a\) et de rayon \(r\) est \(B(a,r) = \{\, x \in E : \norme{x-a} < r \,\}\).
- Pour \(r \ge 0\), la boule fermée de centre \(a\) et de rayon \(r\) est \(B_f(a,r) = \{\, x \in E : \norme{x-a} \le r \,\}\).
- Pour \(r \ge 0\), la sphère de centre \(a\) et de rayon \(r\) est \(S(a,r) = \{\, x \in E : \norme{x-a} = r \,\}\).
Exemple — Les trois boules unités de \(\mathbb{R}^2\)
La forme d'une boule dépend de la norme. Dans \(\mathbb{R}^2\), les boules unités fermées de \(\norme{\cdot}_1\), \(\norme{\cdot}_2\), \(\norme{\cdot}_\infty\) sont respectivement un losange, un disque et un carré : 
Définition — Partie convexe
Une partie \(C\) d'un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) est convexe si, pour tous \(x,y \in C\) et tout \(t \in [0,1]\), le vecteur \(t x + (1-t) y\) appartient à \(C\). Géométriquement : dès que \(C\) contient deux points, il contient tout le segment qui les joint. Proposition — Les boules sont convexes
Dans un espace vectoriel normé, toute boule --- ouverte ou fermée --- est une partie convexe.
Prenons la boule fermée \(B_f(a,r)\), soit \(x,y \in B_f(a,r)\) et \(t \in [0,1]\). Comme \(t \ge 0\) et \(1-t \ge 0\), l'homogénéité et l'inégalité triangulaire donnent $$ \begin{aligned} \norme{\bigl(t x + (1-t) y\bigr) - a} = \norme{t(x-a) + (1-t)(y-a)} &\le t\,\norme{x-a} + (1-t)\,\norme{y-a} && \text{(inégalité triangulaire et homogénéité)}\\
&\le t r + (1-t) r = r && \text{(car \(\norme{x-a} \le r\) et \(\norme{y-a} \le r\))}. \end{aligned} $$ Donc \(t x + (1-t) y \in B_f(a,r)\), et la boule fermée est convexe. Pour une boule ouverte \(B(a,r)\), le même calcul vaut avec \(\le\) remplacé par \(<\) (chacun de \(\norme{x-a}\) et \(\norme{y-a}\) est \(< r\), et une combinaison convexe de deux nombres \(< r\) est \(< r\)).
Une partie convexe contient toute corde entre deux de ses points ; une partie non convexe possède au moins une corde qui en sort. 
Définition — Parties bornées
Soit \((E, \norme{\cdot})\) un espace vectoriel normé. - Une partie \(A \subset E\) est bornée si elle est contenue dans une boule fermée : \(\exists\, a \in E,\ \exists\, r \ge 0,\ A \subset B_f(a,r)\).
- Une suite \((u_n)\) de \(E\) est bornée si l'ensemble de ses valeurs \(\{\, u_n : n \in \mathbb{N} \,\}\) est borné.
- Une fonction \(f \colon X \to E\) est bornée si son image \(f(X)\) est bornée.
Proposition — Caractérisation des parties bornées
Une partie \(A\) d'un espace vectoriel normé \(E\) est bornée si et seulement si $$ \exists\, M \ge 0,\ \forall x \in A,\ \norme{x} \le M, $$ c'est-à-dire si et seulement si \(A\) est contenue dans une boule fermée centrée en \(0_E\).
La condition « \(\norme{x} \le M\) pour tout \(x \in A\) » signifie exactement \(A \subset B_f(0_E, M)\), c'est donc un cas particulier de « bornée ».
- Si \(A \subset B_f(0_E, M)\), alors \(A\) est contenue dans une boule fermée, donc bornée.
- Réciproquement, supposons \(A\) bornée, disons \(A \subset B_f(a,r)\). Pour \(x \in A\), l'inégalité triangulaire donne \(\norme{x} = \norme{(x - a) + a} \le \norme{x-a} + \norme{a} \le r + \norme{a}\). Donc \(M = r + \norme{a}\) convient : on peut toujours ramener le centre en \(0_E\) en agrandissant le rayon.
Exemple — Parties bornées et non bornées
La boule unité fermée \(B_f(0_E, 1)\) est bornée, par définition même. Une droite \(\mathbb{K} u\) avec \(u \ne 0_E\) est non bornée : \(\norme{\lambda u} = |\lambda|\, \norme{u} \to +\infty\) quand \(|\lambda| \to +\infty\), donc aucun \(M\) ne majore \(\norme{\lambda u}\). Le caractère borné d'une partie peut aussi dépendre du choix de la norme ; le \S3.1 montre que deux normes équivalentes partagent toujours les mêmes parties bornées. Méthode — Déterminer la boule unité d'une norme
Pour décrire ou dessiner la boule unité fermée d'une norme \(N\) sur \(\mathbb{R}^2\) ou \(\mathbb{R}^3\) : - écrire explicitement la condition \(N(x) \le 1\) en coordonnées ;
- identifier la région qu'elle décrit --- un polygone pour \(\norme{\cdot}_1\) et \(\norme{\cdot}_\infty\), un disque ou une ellipse pour une norme de type \(\norme{\cdot}_2\) ;
- la sphère unité est l'ensemble où \(N(x) = 1\) --- la courbe délimitant la région dans \(\mathbb{R}^2\), la surface la délimitant dans \(\mathbb{R}^3\).
Compétences à pratiquer
- Déterminer les boules et les parties bornées
II
Suites d'un espace vectoriel normé
II.1
Convergence d'une suite
Une distance étant disponible, la convergence d'une suite se transpose mot pour mot de Suites réelles : une suite converge vers \(\ell\) lorsque ses termes finissent par se trouver dans toute boule autour de \(\ell\). La remarque clé est que « \(u_n \to \ell\) » équivaut à « \(\norme{u_n - \ell} \to 0\) », un énoncé sur une suite réelle --- toute la théorie des suites réelles devient donc disponible.
Définition — Suite convergente
Soit \((u_n)\) une suite d'un espace vectoriel normé \((E, \norme{\cdot})\), et \(\ell \in E\). La suite \((u_n)\) converge vers \(\ell\) si $$ \forall\, \varepsilon > 0,\ \exists\, N \in \mathbb{N},\ \forall\, n \ge N,\quad \norme{u_n - \ell} < \varepsilon. $$ La suite est convergente si elle converge vers un certain \(\ell \in E\), et divergente sinon. (La « suite bornée » a été définie au \S1.3.) Proposition — Convergence et norme de la différence
Une suite \((u_n)\) de \(E\) converge vers \(\ell \in E\) si et seulement si la suite réelle \(\bigl(\norme{u_n - \ell}\bigr)\) converge vers \(0\).
La condition de définition « \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall n \ge N,\ \norme{u_n - \ell} < \varepsilon\) » est, mot pour mot, la définition \(\varepsilon\)-\(N\) de « la suite réelle \(\bigl(\norme{u_n - \ell}\bigr)\) converge vers \(0\) » (rappelée de Suites réelles). Les deux énoncés sont donc identiques.
Proposition — Unicité de la limite
Si une suite \((u_n)\) de \(E\) converge, sa limite est unique.
Supposons que \((u_n)\) converge à la fois vers \(\ell\) et vers \(\ell'\). Pour tout \(n\), l'inégalité triangulaire donne $$ 0 \le \norme{\ell - \ell'} = \norme{(\ell - u_n) + (u_n - \ell')} \le \norme{u_n - \ell} + \norme{u_n - \ell'}. $$ Le membre de droite tend vers \(0\), donc par encadrement \(\norme{\ell - \ell'} = 0\), d'où \(\ell = \ell'\).
Proposition — Une suite convergente est bornée
Toute suite convergente d'un espace vectoriel normé est bornée.
Soit \((u_n)\) convergeant vers \(\ell\). En appliquant la définition avec \(\varepsilon = 1\), il existe un \(N\) --- que l'on peut prendre \(\ge 1\), un \(N\) plus grand convenant encore --- tel que \(\norme{u_n - \ell} < 1\) pour \(n \ge N\) ; donc, pour \(n \ge N\), \(\norme{u_n} \le \norme{u_n - \ell} + \norme{\ell} < \norme{\ell} + 1\). En posant $$ M = \max\bigl(\norme{u_0}, \norme{u_1}, \dots, \norme{u_{N-1}},\ \norme{\ell} + 1\bigr), $$ maximum d'un nombre fini de réels, on obtient \(\norme{u_n} \le M\) pour tout \(n\). Par la caractérisation des parties bornées, \((u_n)\) est bornée.
Proposition — Opérations sur les suites convergentes
Soit \((u_n)\) et \((v_n)\) des suites de \(E\) convergeant vers \(\ell\) et \(\ell'\), et soit \(\alpha, \beta \in \mathbb{K}\). Alors \((\alpha u_n + \beta v_n)\) converge vers \(\alpha \ell + \beta \ell'\). Par conséquent, les suites convergentes de \(E\) forment un sous-espace vectoriel de \(E^{\mathbb{N}}\), et \((u_n) \mapsto \lim u_n\) en est une application linéaire.
Pour tout \(n\), l'homogénéité et l'inégalité triangulaire donnent $$ \begin{aligned} \norme{(\alpha u_n + \beta v_n) - (\alpha \ell + \beta \ell')} &= \norme{\alpha(u_n - \ell) + \beta(v_n - \ell')} && \text{(regroupement)}\\
&\le |\alpha|\,\norme{u_n - \ell} + |\beta|\,\norme{v_n - \ell'} && \text{(inégalité triangulaire et homogénéité)}. \end{aligned} $$ Les deux termes de droite tendent vers \(0\), donc le membre de gauche tend vers \(0\) ; par la proposition « norme de la différence », \((\alpha u_n + \beta v_n)\) converge vers \(\alpha \ell + \beta \ell'\). Ceci montre que l'ensemble des suites convergentes est stable par combinaison linéaire --- donc un sous-espace --- et que le passage à la limite est linéaire.
Exemple — La convergence vers zéro dépend de la norme
Sur \(\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})\), considérons \(f_n \colon t \mapsto t^n\). Pour la norme \(\norme{\cdot}_1\), $$ \norme{f_n - 0}_1 = \int_0^1 t^n\, \mathrm{d}t = \frac{1}{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0, $$ donc \((f_n)\) converge vers la fonction nulle pour \(\norme{\cdot}_1\). Pour la norme \(\norme{\cdot}_\infty\), $$ \norme{f_n - 0}_\infty = \sup_{[0,1]} t^n = 1 \not\to 0, $$ donc \((f_n)\) ne converge pas vers la fonction nulle pour \(\norme{\cdot}_\infty\). Le fait que « \((f_n)\) converge vers \(0\) » dépend de la norme choisie.
Les graphes de \(t^n\), tracés ici pour \(n = 1\), \(2\) et \(4\), montrent le phénomène : au sens de \(\norme{\cdot}_1\) l'aire sous la courbe tend vers \(0\), alors que le point le plus haut de chaque graphe reste à hauteur \(1\). 
Proposition — Convergence dans un produit fini
Soit \((E_1, N_1), \dots, (E_p, N_p)\) des espaces vectoriels normés et munissons \(E = E_1 \times \cdots \times E_p\) de la norme produit \(N\). Une suite \(\bigl(u_n\bigr)\) de \(E\), avec \(u_n = (u_{1,n}, \dots, u_{p,n})\), converge si et seulement si chaque suite composante \((u_{i,n})_n\) converge dans \(E_i\) ; dans ce cas $$ \lim_{n \to +\infty} u_n = \Bigl(\lim_{n \to +\infty} u_{1,n},\ \dots,\ \lim_{n \to +\infty} u_{p,n}\Bigr). $$
Soit \(\ell = (\ell_1, \dots, \ell_p) \in E\). Par définition de la norme produit, \(N(u_n - \ell) = \max_{1 \le j \le p} N_j(u_{j,n} - \ell_j)\).
- Sens direct. Supposons \(u_n \to \ell\). Pour chaque \(i\) fixé, \(N_i(u_{i,n} - \ell_i) \le N(u_n - \ell) \to 0\), donc \(N_i(u_{i,n} - \ell_i) \to 0\) par encadrement : la \(i\)-ème composante converge vers \(\ell_i\).
- Sens réciproque. Supposons que chaque composante converge, disons \(u_{j,n} \to \ell_j\), c'est-à-dire \(N_j(u_{j,n} - \ell_j) \to 0\) pour tout \(j\). Alors \(N(u_n - \ell) = \max_{1 \le j \le p} N_j(u_{j,n} - \ell_j)\) est un maximum d'un nombre fini de suites tendant chacune vers \(0\), donc tend vers \(0\). Donc \(u_n \to \ell\). La finitude de \(p\) est essentielle dans ce sens : c'est elle qui permet au maximum d'hériter de la limite \(0\) de ses termes en nombre fini.
Exemple — Une suite étudiée composante par composante
Déterminer, si elle existe, la limite de la suite \((u_n)\) de \(\mathbb{R}^3\) définie pour \(n \ge 1\) par $$ u_n = \left( \frac{1}{n},\ \ \mathrm{e}^{-n},\ \ \frac{n}{n+1} \right), $$ où \(\mathbb{R}^3\) est muni de la norme produit \(\norme{\cdot}_\infty\).
Les trois suites composantes convergent : $$ \frac{1}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0, \qquad \mathrm{e}^{-n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0, \qquad \frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1. $$ Par la proposition « convergence dans un produit fini », \((u_n)\) converge, et $$ \lim_{n \to +\infty} u_n = (0,\ 0,\ 1). $$
Méthode — Montrer qu'une suite converge
Pour démontrer qu'une suite \((u_n)\) d'un espace vectoriel normé converge : - deviner la limite \(\ell\), puis démontrer \(\norme{u_n - \ell} \to 0\) en la majorant par une suite réelle connue pour tendre vers \(0\) ;
- dans un produit fini muni de la norme produit, étudier chaque suite composante séparément --- la suite converge si et seulement si toutes les composantes convergent, et la limite se lit composante par composante ;
- pour utiliser l'algèbre (combinaisons linéaires), établir d'abord la convergence des suites élémentaires, puis combiner.
Compétences à pratiquer
- Étudier la convergence d'une suite
II.2
Suites extraites et valeurs d'adhérence
À partir d'une suite, on peut extraire une infinité de termes, en conservant leur ordre, et former une nouvelle suite --- une suite extraite. Les limites accessibles de cette façon sont les valeurs d'adhérence de la suite de départ. Elles sont attachées à une suite ; il ne faut pas les confondre avec les points adhérents d'une partie, étudiés dans Topologie d'un espace normé.
Définition — Suite extraite
Soit \((u_n)\) une suite de \(E\). Une suite extraite (ou sous-suite) de \((u_n)\) est une suite de la forme \(\bigl(u_{\varphi(n)}\bigr)_n\), où \(\varphi \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) est strictement croissante ; une telle \(\varphi\) est appelée extractrice. On rappelle, de Suites réelles, qu'une application \(\varphi \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) strictement croissante vérifie \(\varphi(n) \ge n\) pour tout \(n\). Définition — Valeur d'adhérence
Soit \((u_n)\) une suite de \(E\). Une valeur d'adhérence de \((u_n)\) est la limite d'une suite extraite convergente de \((u_n)\). Proposition — Convergence et suites extraites
Une suite \((u_n)\) de \(E\) converge vers \(\ell\) si et seulement si toute suite extraite de \((u_n)\) converge vers \(\ell\). En particulier, la limite d'une suite convergente est son unique valeur d'adhérence.
On démontre les deux implications, puis on en déduit la conséquence.
- Sens direct. Supposons \(u_n \to \ell\), et soit \(\bigl(u_{\varphi(n)}\bigr)\) une suite extraite. Fixons \(\varepsilon > 0\) ; il existe un \(N\) tel que \(\norme{u_n - \ell} < \varepsilon\) pour \(n \ge N\). Pour \(n \ge N\), l'extractrice vérifie \(\varphi(n) \ge n \ge N\), donc \(\norme{u_{\varphi(n)} - \ell} < \varepsilon\). Donc \(\bigl(u_{\varphi(n)}\bigr)\) converge vers \(\ell\).
- Sens réciproque. Supposons que toute suite extraite converge vers \(\ell\). La suite \((u_n)\) est l'une de ses propres suites extraites --- prendre l'extractrice \(\varphi = \operatorname{id}_{\mathbb{N}}\) --- donc \((u_n)\) converge elle-même vers \(\ell\).
Proposition — Une suite ayant deux valeurs d'adhérence diverge
Une suite de \(E\) ayant au moins deux valeurs d'adhérence distinctes est divergente.
C'est la contraposée de la proposition précédente : une suite convergente a sa limite pour unique valeur d'adhérence, donc ne peut en avoir deux distinctes. Une suite ayant deux valeurs d'adhérence distinctes n'est donc pas convergente.
Exemple — Deux valeurs d'adhérence
La suite réelle \(\bigl((-1)^n\bigr)\) a la suite extraite constante \((-1)^{2n} = 1\), de limite \(1\), et la suite extraite constante \((-1)^{2n+1} = -1\), de limite \(-1\). Elle a les deux valeurs d'adhérence distinctes \(1\) et \(-1\), donc diverge. Exemple — Aucune valeur d'adhérence
La suite réelle \(\bigl(n(-1)^n\bigr)\) n'a aucune valeur d'adhérence : toute suite extraite \(\bigl(\varphi(n)(-1)^{\varphi(n)}\bigr)\) a des termes de module \(\varphi(n) \ge n \to +\infty\), donc est non bornée et ne peut converger. Une suite peut donc ne pas converger pour une autre raison que l'oscillation entre deux valeurs --- ici, en partant vers l'infini. Méthode — Montrer qu'une suite diverge
Pour démontrer qu'une suite \((u_n)\) diverge, la voie la plus efficace passe par les valeurs d'adhérence : - exhiber deux suites extraites de \((u_n)\) convergeant vers deux limites différentes --- par la proposition ci-dessus, \((u_n)\) diverge alors ;
- les extractrices typiques sont les indices pairs \(\varphi(n) = 2n\) et les indices impairs \(\varphi(n) = 2n+1\), lorsque la suite alterne ;
- ou bien exhiber une suite extraite \((u_{\varphi(n)})\) non bornée --- par exemple avec \(\norme{u_{\varphi(n)}} \to +\infty\) --- une suite convergente étant bornée, la suite n'a alors aucune chance de converger.
Compétences à pratiquer
- Manipuler les suites extraites et les valeurs d'adhérence
III
Comparaison des normes
III.1
Normes équivalentes
L'exemple \(f_n(t) = t^n\) du \S2.1 a montré que le fait qu'une suite converge vers une limite donnée peut dépendre de la norme. Cette section nomme une condition suffisante --- l'équivalence --- sous laquelle deux normes sur \(E\) garantissent les mêmes parties bornées et les mêmes suites convergentes. Elle est énoncée comme une implication « équivalentes \(\Rightarrow\) même analyse » ; la réciproque pratique --- détecter la non-équivalence par une suite --- fait l'objet du \S3.2.
Définition — Normes équivalentes
Deux normes \(N\) et \(N'\) sur un même espace vectoriel \(E\) sont équivalentes s'il existe deux réels \(\alpha > 0\) et \(\beta > 0\) tels que $$ \forall x \in E,\quad \alpha\, N(x) \le N'(x) \le \beta\, N(x). $$ Proposition — L'équivalence des normes est une relation d'équivalence
Sur l'ensemble de toutes les normes d'un espace vectoriel \(E\), la relation « \(N\) est équivalente à \(N'\) » est une relation d'équivalence : elle est réflexive, symétrique et transitive.
Soit \(N\), \(N'\), \(N''\) des normes sur \(E\).
- Réflexivité. \(N\) est équivalente à elle-même : \(1 \cdot N(x) \le N(x) \le 1 \cdot N(x)\), donc \(\alpha = \beta = 1\) convient.
- Symétrie. Si \(\alpha N \le N' \le \beta N\), alors en divisant par les constantes strictement positives on obtient \(\tfrac{1}{\beta} N' \le N \le \tfrac{1}{\alpha} N'\), donc \(N'\) est équivalente à \(N\).
- Transitivité. Si \(\alpha N \le N' \le \beta N\) et \(\alpha' N' \le N'' \le \beta' N'\), alors pour tout \(x\), \(N''(x) \le \beta' N'(x) \le \beta' \beta\, N(x)\) et \(N''(x) \ge \alpha' N'(x) \ge \alpha' \alpha\, N(x)\). Donc \(\alpha' \alpha\, N \le N'' \le \beta' \beta\, N\), et \(N\) est équivalente à \(N''\).
Proposition — Les normes équivalentes préservent le caractère borné et la convergence
Soit \(N\) et \(N'\) deux normes équivalentes sur \(E\). - Une partie \(A \subset E\) est bornée pour \(N\) si et seulement si elle est bornée pour \(N'\).
- Une suite \((u_n)\) converge vers \(\ell\) pour \(N\) si et seulement si elle converge vers \(\ell\) pour \(N'\).
Soit \(\alpha, \beta > 0\) avec \(\alpha N \le N' \le \beta N\). Par symétrie de la relation, il suffit de démontrer chaque sens direct.
- Caractère borné. Si \(A\) est bornée pour \(N\), il existe un \(M\) avec \(N(x) \le M\) pour tout \(x \in A\) ; alors \(N'(x) \le \beta N(x) \le \beta M\), donc \(A\) est bornée pour \(N'\). La réciproque utilise \(\alpha N \le N'\) de la même manière.
- Convergence. \((u_n)\) converge vers \(\ell\) pour \(N\) signifie \(N(u_n - \ell) \to 0\) ; alors \(0 \le N'(u_n - \ell) \le \beta\, N(u_n - \ell) \to 0\), donc \(N'(u_n - \ell) \to 0\) par encadrement, c'est-à-dire \((u_n)\) converge vers le même \(\ell\) pour \(N'\). La réciproque utilise \(\alpha N \le N'\).
Exemple — Les trois normes usuelles sur \(\mathbb{K}^n\) sont équivalentes
Montrer que les normes \(\norme{\cdot}_1\), \(\norme{\cdot}_2\) et \(\norme{\cdot}_\infty\) sont deux à deux équivalentes sur \(\mathbb{K}^n\).
Soit \(x = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{K}^n\). Comparons d'abord chacune de \(\norme{x}_1\) et \(\norme{x}_2\) avec \(\norme{x}_\infty\).
- Chaque \(|x_i| \le \norme{x}_\infty\), et un indice atteint le maximum, donc \(\norme{x}_\infty \le \norme{x}_1 = \sum_{i=1}^n |x_i| \le \sum_{i=1}^n \norme{x}_\infty = n\, \norme{x}_\infty\). D'où \(\norme{x}_\infty \le \norme{x}_1 \le n\, \norme{x}_\infty\).
- De même, \(\norme{x}_\infty^2 = \max_i |x_i|^2 \le \sum_{i=1}^n |x_i|^2 = \norme{x}_2^2 \le \sum_{i=1}^n \norme{x}_\infty^2 = n\, \norme{x}_\infty^2\) ; en prenant les racines carrées, \(\norme{x}_\infty \le \norme{x}_2 \le \sqrt{n}\, \norme{x}_\infty\).
Méthode — Montrer que deux normes sont équivalentes
Pour démontrer que deux normes \(N\) et \(N'\) sur \(E\) sont équivalentes, exhiber les deux constantes : - trouver \(\beta > 0\) avec \(N'(x) \le \beta\, N(x)\) pour tout \(x\) --- majorer \(N'\) par \(N\) ;
- trouver \(\alpha > 0\) avec \(\alpha\, N(x) \le N'(x)\) pour tout \(x\) --- de façon équivalente, majorer \(N\) par \(N'\) ;
- il est souvent plus simple de comparer \(N\) et \(N'\) à une troisième norme plus simple, puis de conclure par transitivité.
Compétences à pratiquer
- Démontrer l'équivalence de deux normes
III.2
Montrer que deux normes ne sont pas équivalentes
L'équivalence \(\alpha N \le N' \le \beta N\) est la conjonction d'une inégalité inférieure \(\alpha N \le N'\) et d'une inégalité supérieure \(N' \le \beta N\). Pour réfuter l'équivalence, il suffit de mettre en défaut l'une des deux, et une suite bien choisie y suffit.
Proposition — Un critère de non-équivalence
Soit \(N\) et \(N'\) deux normes sur \(E\). S'il existe une suite \((u_n)\) de \(E \setminus \{0_E\}\) telle que $$ \frac{N'(u_n)}{N(u_n)} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty, $$ alors \(N\) et \(N'\) ne sont pas équivalentes. La relation « être des normes équivalentes » étant symétrique (\S3.1), l'inégalité inférieure \(\alpha N \le N'\) se met en défaut par le même critère, les rôles de \(N\) et \(N'\) étant échangés.
Raisonnons par l'absurde. Supposons \(N\) et \(N'\) équivalentes : il existerait \(\beta > 0\) avec \(N'(x) \le \beta\, N(x)\) pour tout \(x \in E\). Comme chaque \(u_n \ne 0_E\), la séparation donne \(N(u_n) > 0\), on peut donc diviser : $$ \frac{N'(u_n)}{N(u_n)} \le \beta \qquad \text{pour tout } n. $$ Le rapport serait alors majoré par la constante \(\beta\) --- ce qui contredit \(\dfrac{N'(u_n)}{N(u_n)} \to +\infty\). Donc \(N\) et \(N'\) ne sont pas équivalentes. Seule l'inégalité supérieure de l'équivalence a été utilisée.
Exemple — Deux normes non équivalentes sur un espace de fonctions
Sur \(\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})\), les normes \(\norme{\cdot}_1\) et \(\norme{\cdot}_\infty\) ne sont pas équivalentes. Prenons la famille du \S2.1 : \(f_n(t) = t^n\), qui est non nulle. Alors $$ \norme{f_n}_1 = \int_0^1 t^n\, \mathrm{d}t = \frac{1}{n+1}, \qquad \norme{f_n}_\infty = \sup_{[0,1]} t^n = 1, \qquad \text{donc} \qquad \frac{\norme{f_n}_\infty}{\norme{f_n}_1} = n + 1 \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty. $$ Par le critère --- avec \(N = \norme{\cdot}_1\) et \(N' = \norme{\cdot}_\infty\) --- les normes \(\norme{\cdot}_1\) et \(\norme{\cdot}_\infty\) ne sont pas équivalentes sur \(\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})\). Méthode — Montrer que deux normes ne sont pas équivalentes
Pour démontrer que deux normes \(N\) et \(N'\) sur \(E\) ne sont pas équivalentes : - décider quelle inégalité mettre en défaut --- la supérieure \(N' \le \beta N\), ou, après échange de \(N\) et \(N'\), l'inférieure ;
- construire une suite \((u_n)\) de vecteurs non nuls pour laquelle le rapport \(N'(u_n) / N(u_n)\) tend vers \(+\infty\) ;
- conclure par le critère ci-dessus. Une seule telle suite suffit ; il est inutile de traiter chaque couple de constantes.
Une dernière remarque clôt la comparaison. Sur l'espace de fonctions \(\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})\) --- qui est de dimension infinie --- deux normes peuvent ne pas être équivalentes. En dimension finie, la situation est tout autre : là, toutes les normes se trouvent être équivalentes. Ce résultat, et la notion de compacité qui le sous-tend, sont établis plus loin, dans Compacité, connexité, dimension finie.
Pour aller plus loin
Ce chapitre a construit le vocabulaire métrique d'un espace vectoriel normé : norme, distance, boule, partie bornée, suite convergente, normes équivalentes. Trois chapitres le prolongent directement. Topologie d'un espace normé utilise les boules pour définir les ensembles ouverts et fermés, l'intérieur, l'adhérence et la frontière. Limites et continuité dans un espace normé définit les limites et la continuité des applications entre espaces vectoriels normés. Compacité, connexité, dimension finie introduit la compacité et démontre le résultat phare annoncé ci-dessus : en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
Compétences à pratiquer
- Démontrer la non-équivalence de deux normes
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