CommeUnJeu · L2 MP

Exponentielle et systèmes différentiels

⌚ ~59 min ▢ 7 blocs ✓ 15 exercices ➣ Prérequis : Équations différentielles linéaires, Réduction : éléments propres, diagonalisation, Séries numériques et vectorielles, Compacité, connexité, dimension finie

L'exponentielle scalaire $\exp(x) = \sum_{n \geq 0} x^n/n!$ est l'unique fonction sur $\mathbb{R}$ égale à sa propre dérivée et valant $1$ en $0$ ; elle résout $y' = y$, $y(0) = 1$. Ce chapitre étend la construction aux matrices et aux endomorphismes en dimension finie. Pour $A \in \mathcal{M}_n(K)$, la même série $\sum_{n \geq 0} A^n / n!$ converge (en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes et une norme sous-multiplicative existe, donc le test de convergence absolue de Séries numériques et vectorielles s'applique). L'exponentielle de matrice prend alors le rôle de l'exponentielle scalaire : $t \mapsto \exp(tA)\, X_0$ résout l'équation différentielle vectorielle $X' = AX$, $X(0) = X_0$ (la courbe matricielle $t \mapsto \exp(tA)$ résout elle-même l'équation matricielle avec $X(0) = I_n$), et la solution est unique par le théorème de Cauchy linéaire rappelé d'Équations différentielles linéaires.
Le chapitre a trois sections. La première construit l'exponentielle comme une fonction $\mathcal{M}_n(K) \to \mathcal{M}_n(K)$ : définition par série, convergence et majoration $\|\exp(A)\| \leq e^{\|A\|}$, continuité, dérivée de $t \mapsto \exp(tA)$, propriété morphique $\exp(A+B) = \exp(A)\exp(B)$ sur les paires commutantes, et inversibilité de $\exp(A)$. La deuxième passe au calcul effectif : le cas diagonalisable par similitude, le spectre de $\exp(A)$ sur $\mathbb{C}$, la formule fermée $\det(\exp(A)) = e^{\operatorname{tr}(A)}$. La troisième applique la machine au système différentiel linéaire à coefficients constants $X' = AX$ --- théorème d'existence-unicité et résolution effective par découplage spectral.
Notations permanentes. $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, fixé tout au long du chapitre. $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie ; $\mathcal{L}(E)$ son algèbre des endomorphismes ; $\mathcal{M}_n(K)$ les matrices $n \times n$ à coefficients dans $K$. On munit $\mathcal{M}_n(K)$ de la norme subordonnée $\|M\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Mx\|$ à une norme fixée $\|\cdot\|$ sur $K^n$ ; rappelée de Limites et continuité dans un espace normé, cette norme est sous-multiplicative ($\|MN\| \leq \|M\|\,\|N\|$). Par Compacité, connexité, dimension finie, toutes les normes sur $\mathcal{M}_n(K)$ sont équivalentes, donc les énoncés de convergence ci-dessous ne dépendent pas du choix de la norme. $\operatorname{Sp}(A)$ est le spectre de $A$ sur le corps de base $K$ ; $\operatorname{Sp}_{\mathbb{C}}(A)$ est le spectre complexe (les racines dans $\mathbb{C}$ de $\chi_A$, comptées avec multiplicité). $\chi_A$ est le polynôme caractéristique. $E_\lambda(A) = \ker(A - \lambda I)$. $\mathrm{GL}_n(K)$ les matrices inversibles. Les éléments propres, le polynôme caractéristique, la diagonalisabilité et la trigonalisabilité sur $\mathbb{C}$ sont ceux de Réduction : éléments propres, diagonalisation ; l'équation différentielle linéaire, le problème de Cauchy et le théorème de Cauchy linéaire sont ceux d'Équations différentielles linéaires ; les séries vectorielles et le théorème de convergence absolue sont ceux de Séries numériques et vectorielles ; la dérivabilité et l'intégration des fonctions vectorielles et le TFC sont ceux de Fonctions vectorielles d'une variable réelle.

I Exponentielle d'une matrice et d'un endomorphisme

I.1 Définition et convergence

La série scalaire $\sum x^n/n!$ converge partout sur $\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{C}$) et a pour somme $e^x$. L'extension naturelle aux matrices se lit « remplacer $x \in K$ par $A \in \mathcal{M}_n(K)$ ». Différence cruciale : la multiplication matricielle est non commutative, et les sommes partielles $\sum_{k \leq n} A^k/k!$ vivent désormais dans l'espace normé de dimension finie $\mathcal{M}_n(K)$, dont il faut contrôler la taille pour garantir la convergence. La norme subordonnée et l'équivalence des normes fournissent une voie propre.

Définition — Exponentielle d'une matrice et d'un endomorphisme

Pour $A \in \mathcal{M}_n(K)$, l'exponentielle de la matrice $A$ est $$ \exp(A) \;=\; \sum_{n \geq 0} \frac{A^n}{n!} \;\in\; \mathcal{M}_n(K). $$ Pour $a \in \mathcal{L}(E)$, l'exponentielle de l'endomorphisme $a$ est $$ \exp(a) \;=\; \sum_{n \geq 0} \frac{a^n}{n!} \;\in\; \mathcal{L}(E). $$ Les deux séries convergent dans leur espace ambiant de dimension finie (Proposition ci-dessous). Le point de base est $A^0 = I_n$, $a^0 = \operatorname{Id}_E$.

Proposition — Convergence et majoration uniforme

Pour tout $A \in \mathcal{M}_n(K)$, la série $\sum A^n/n!$ converge absolument dans $\mathcal{M}_n(K)$, donc converge. De plus, pour la norme subordonnée, $$ \textcolor{colorprop}{\|\exp(A)\| \;\leq\; e^{\|A\|}.} $$ L'énoncé analogue vaut pour $\exp(a)$ avec $a \in \mathcal{L}(E)$.

Preuve

La norme subordonnée à une norme sur $K^n$ est sous-multiplicative (rappelé de Limites et continuité dans un espace normé) : pour tous $M, N \in \mathcal{M}_n(K)$, $\|MN\| \leq \|M\|\,\|N\|$. Par récurrence, $\|A^n\| \leq \|A\|^n$ pour tout $n$. Donc $$ \begin{aligned} \left\| \frac{A^n}{n!} \right\| & = \frac{\|A^n\|}{n!} && \text{(homogénéité positive)}\\ & \leq \frac{\|A\|^n}{n!} && \text{(sous-multiplicativité, récurrence).} \end{aligned} $$ La série numérique $\sum \|A\|^n / n! = e^{\|A\|}$ converge. Par le théorème « convergence absolue entraîne convergence » pour les séries vectorielles (rappelé de Séries numériques et vectorielles), $\sum A^n/n!$ converge dans $\mathcal{M}_n(K)$. La majoration de $\|\exp(A)\|$ découle de l'inégalité triangulaire pour une série absolument convergente : $$ \|\exp(A)\| \;=\; \left\| \sum_{n \geq 0} \frac{A^n}{n!} \right\| \;\leq\; \sum_{n \geq 0} \frac{\|A\|^n}{n!} \;=\; e^{\|A\|}. $$ Le cas endomorphisme est identique via la matrice de $a$ dans une base quelconque (le choix de la base n'affecte pas la convergence, par équivalence des normes).

Exemple — La matrice nulle

Pour $A = 0_n$, $A^k = 0$ pour tout $k \geq 1$, donc $\exp(0_n) = I_n + 0 + 0 + \dots = I_n$. La matrice nulle s'envoie sur l'identité, comme $e^0 = 1$.

Exemple — Matrices scalaires

Pour $\lambda \in K$, $(\lambda I_n)^k = \lambda^k I_n$, donc $$ \exp(\lambda I_n) \;=\; \sum_{k \geq 0} \frac{\lambda^k I_n}{k!} \;=\; \left( \sum_{k \geq 0} \frac{\lambda^k}{k!} \right) I_n \;=\; e^\lambda I_n. $$ L'exponentielle scalaire s'étend aux matrices scalaires de la manière la plus naturelle : on factorise l'identité.

Exemple — Une matrice nilpotente

Soit $N = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$. Alors $N^2 = 0$, donc la série s'arrête à $k = 1$ : $$ \exp(N) \;=\; I_2 + N \;=\; \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}. $$ Plus généralement, si $N \in \mathcal{M}_n(K)$ est nilpotente d'indice $p$ (i.e.\ $N^p = 0$, $N^{p-1} \neq 0$), alors $\exp(N)$ est une somme finie : $\exp(N) = \sum_{k=0}^{p-1} N^k/k!$.

Exemple — Une involution

Si $S \in \mathcal{M}_n(K)$ vérifie $S^2 = I_n$ (involution), alors $S^{2k} = I_n$ et $S^{2k+1} = S$ pour tout $k$. En séparant la série en termes pairs et impairs, $$ \exp(tS) \;=\; \left( \sum_{k \geq 0} \frac{t^{2k}}{(2k)!} \right) I_n \,+\, \left( \sum_{k \geq 0} \frac{t^{2k+1}}{(2k+1)!} \right) S \;=\; \cosh(t)\, I_n + \sinh(t)\, S. $$ Les fonctions hyperboliques apparaissent naturellement sur la partie diagonale-symétrique et la partie hors-diagonale-symétrique.

Méthode — Calculer $\exp(A)$ directement par la série

Lorsque les puissances $A^k$ stagnent ou se répètent selon un motif connu, la série se somme directement sans recourir à la diagonalisation. Trois cas standard :

Nilpotente. Si $A^p = 0$, $\exp(A) = \sum_{k = 0}^{p-1} A^k/k!$ --- somme finie.
Involution. Si $A^2 = I_n$, $\exp(tA) = \cosh(t) I_n + \sinh(t) A$.
Projecteur. Si $A^2 = A$, $A^k = A$ pour tout $k \geq 1$, donc $\exp(tA) = I_n + (e^t - 1) A$.

En dehors de ces trois motifs, la diagonalisation ou la route à valeur propre unique du \S 2 est généralement plus rapide.

Compétences à pratiquer

Calculer l'exponentielle par la série

I.2 Continuité et dérivée

Avec $\exp$ définie comme une fonction $\mathcal{M}_n(K) \to \mathcal{M}_n(K)$, deux questions de régularité se posent. $M \mapsto \exp(M)$ est-elle continue ? Oui, parce que les sommes partielles sont des applications polynomiales, donc continues, et la convergence est normale sur toute boule fermée. $t \mapsto \exp(tA)$ est-elle dérivable, et que vaut sa dérivée ? Oui, de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$, de dérivée $A \exp(tA) = \exp(tA) A$. La seconde égalité utilise un lemme de commutation que nous établissons d'abord.

Proposition — Lemme de commutation

Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ avec $AB = BA$. Alors $A$ commute avec $\exp(B)$ : $A \exp(B) = \exp(B) A$. En particulier, $A$ commute avec $\exp(tB)$ pour tout $t \in K$.

Preuve

D'abord, une récurrence montre que $A$ commute avec toute puissance $B^k$ :

Initialisation $k = 0$. $A B^0 = A I_n = A = I_n A = B^0 A$. $\checkmark$
Hérédité. Supposons $A B^k = B^k A$. Alors $A B^{k+1} = (A B^k) B = (B^k A) B = B^k (A B) = B^k (BA) = B^{k+1} A$.

Donc $A S_n = S_n A$ pour toute somme partielle $S_n = \sum_{k \leq n} B^k/k!$. Les applications $M \mapsto AM$ et $M \mapsto MA$ sont linéaires sur l'espace de dimension finie $\mathcal{M}_n(K)$, donc continues (rappelé de Compacité, connexité, dimension finie). En passant à la limite $n \to +\infty$ dans $A S_n = S_n A$, on obtient $A \exp(B) = \exp(B) A$.

Proposition — Continuité de l'exponentielle

L'application $M \mapsto \exp(M)$ est continue sur $\mathcal{M}_n(K)$.

Preuve

Fixons $M_0 \in \mathcal{M}_n(K)$ et $\varepsilon > 0$ ; montrons $\exp$ continue en $M_0$. Posons $R = \|M_0\| + 1$ et travaillons sur la boule fermée $B(0, R) = \{M \in \mathcal{M}_n(K) : \|M\| \leq R\}$ ; alors $M_0 \in B(0, R)$.

Convergence normale sur $B(0, R)$. La somme partielle $S_n(M) = \sum_{k \leq n} M^k/k!$ est un polynôme en les coefficients de $M$, donc continue sur $\mathcal{M}_n(K)$ (les applications polynomiales sur un espace de dimension finie sont continues, rappelé de Compacité, connexité, dimension finie). La majoration $\|M^k/k!\|_{\infty, B(0, R)} \leq R^k/k!$ et la série dominante convergente $\sum R^k/k! = e^R$ donnent $$ \|\exp(M) - S_n(M)\| \;\leq\; \sum_{k \geq n+1} \frac{R^k}{k!} \;\xrightarrow[n \to +\infty]{}\; 0 \quad \text{uniformément en } M \in B(0, R). $$ Choisir $N$ tel que ce reste soit $\leq \varepsilon/3$ sur $B(0, R)$.
Continuité de $S_N$ en $M_0$. $S_N$ est continue sur $\mathcal{M}_n(K)$ (polynomiale). Choisir $\eta \in (0, 1]$ tel que $\|M - M_0\| \leq \eta$ entraîne $\|S_N(M) - S_N(M_0)\| \leq \varepsilon/3$ ; alors $M \in B(M_0, 1) \subset B(0, R)$ automatiquement.
Triangle $\varepsilon/3$. Pour $\|M - M_0\| \leq \eta$, $$ \|\exp(M) - \exp(M_0)\| \,\leq\, \|\exp(M) - S_N(M)\| + \|S_N(M) - S_N(M_0)\| + \|S_N(M_0) - \exp(M_0)\| \,\leq\, \tfrac{\varepsilon}{3} + \tfrac{\varepsilon}{3} + \tfrac{\varepsilon}{3} = \varepsilon. $$

Cela prouve $\exp$ continue en $M_0$. Comme $M_0$ est arbitraire, $\exp$ est continue sur $\mathcal{M}_n(K)$.

Theorem — Dérivée de $t \mapsto \exp(tA)$

Pour tout $A \in \mathcal{M}_n(K)$, l'application $t \mapsto \exp(tA)$ est de classe \textcolor{colorprop}{$\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$}, et sa dérivée en $t$ vaut $$ \textcolor{colorprop}{\frac{d}{dt} \exp(tA) \;=\; A \exp(tA) \;=\; \exp(tA)\, A.} $$ La seconde égalité découle du lemme de commutation appliqué à $A$ et $tA$ (qui commutent trivialement).

Preuve

On démontre la formule de dérivée directement par le taux d'accroissement. La variable $t$ est réelle tout au long de la preuve (même si $K = \mathbb{C}$, le paramètre $t$ de la courbe $t \mapsto \exp(tA)$ vit dans $\mathbb{R}$), donc le TAF scalaire sur $\mathbb{R}$ s'applique ci-dessous. Fixons $t \in \mathbb{R}$ et $h \in \mathbb{R}$ avec $0 < |h| \leq 1$. Définissons $\Delta(h) = \frac{\exp((t+h)A) - \exp(tA)}{h} - A \exp(tA)$. Développons les exponentielles en série : $$ \Delta(h) \;=\; \sum_{n \geq 0} \frac{1}{n!}\, \frac{(t+h)^n - t^n}{h}\, A^n \,-\, A \sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!} A^n. $$ Pour chaque $n$, $\frac{(t+h)^n - t^n}{h} \to n t^{n-1}$ quand $h \to 0$ (dérivée scalaire), donc la limite formelle terme à terme vaut $\sum_{n \geq 1} \frac{n t^{n-1}}{n!} A^n = A \sum_{n \geq 1} \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} A^{n-1} = A \exp(tA)$, qui s'annule avec la seconde somme. Pour justifier l'échange de la limite et de la somme, majorons le terme général uniformément en $h$ pour $|h| \leq 1$ : $$ \begin{aligned} |(t+h)^n - t^n| & \leq n (|t| + 1)^{n-1} |h| && \text{(TAF scalaire appliqué à } x \mapsto x^n \text{ sur } [t, t+h]),\\ \left\| \frac{1}{n!} \frac{(t+h)^n - t^n}{h} A^n \right\| & \leq \frac{(|t|+1)^{n-1}}{(n-1)!} \|A\|^n && \text{(pour } n \geq 1\text{).} \end{aligned} $$ La série numérique majorante $\sum_{n \geq 1} \frac{(|t|+1)^{n-1}}{(n-1)!} \|A\|^n = \|A\|\, e^{(|t|+1) \|A\|}$ converge ; par convergence normale de la majoration (indépendante de $h$), on peut échanger limite et somme : $\Delta(h) \to 0$ quand $h \to 0$. Donc $t \mapsto \exp(tA)$ est dérivable en $t$, de dérivée $A \exp(tA)$. La continuité de $t \mapsto A \exp(tA)$ résulte de la continuité de $\exp$ (Proposition précédente) et de la continuité de $M \mapsto AM$, donc $t \mapsto \exp(tA)$ est de classe $\mathcal{C}^1$. L'égalité $A \exp(tA) = \exp(tA) A$ est le lemme de commutation (puisque $A$ et $tA$ commutent).

Exemple — La dérivée en $t \equal 0$

En spécialisant le Théorème précédent en $t = 0$ : $$ \left. \frac{d}{dt} \exp(tA) \right|_{t = 0} \;=\; A \exp(0) \;=\; A I_n \;=\; A. $$ C'est le germe de la troisième section du chapitre : l'application $t \mapsto \exp(tA)$ résout l'équation différentielle $X' = AX$ avec $X(0) = I_n$ au sens matriciel, ou $X(0) = X_0$ en multipliant à droite par $X_0$.

Méthode — Dériver $\exp(u(t)A)$ avec $A$ fixée

Pour $A \in \mathcal{M}_n(K)$ fixée et $u : I \to \mathbb{R}$ une fonction scalaire réelle $\mathcal{C}^1$ ($I$ intervalle réel), la règle de dérivation composée appliquée à $t \mapsto \exp(u(t) A)$ donne $$ \frac{d}{dt} \exp(u(t) A) \;=\; u'(t)\, A\, \exp(u(t) A) \;=\; u'(t)\, \exp(u(t) A)\, A. $$ Avertissement. La formule analogue pour une famille matricielle variable $t \mapsto A(t)$, $$ \frac{d}{dt} \exp(A(t)) \;\overset{?}{=}\; A'(t) \exp(A(t)), $$ est fausse en général ; une condition suffisante pour qu'elle soit vraie est la commutation locale $[A(t), A'(t)] = 0$ en chaque $t$ (et davantage --- voir références). La multiplication scalaire par $u(t)$ vérifie trivialement cette condition puisque $A$ commute avec elle-même ; une $A(t)$ générale ne le vérifie pas.

Compétences à pratiquer

Dériver des expressions en $\exp(tA)$

I.3 Propriété morphique et matrices semblables

L'exponentielle scalaire est un morphisme $(\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}^*, \times)$ : $e^{x + y} = e^x e^y$. L'exponentielle matricielle étend cette propriété uniquement sur les paires commutantes --- sans la commutation, les termes correcteurs de Baker-Campbell-Hausdorff entrent en jeu (hors de notre cadre). Trois conséquences en découlent : $\exp(A)$ est inversible d'inverse $\exp(-A)$, et les matrices semblables ont des exponentielles semblables.

Theorem — Propriété morphique sous commutation

Si $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ commutent ($AB = BA$), alors $$ \textcolor{colorprop}{\exp(A + B) \;=\; \exp(A)\, \exp(B) \;=\; \exp(B)\, \exp(A).} $$

Preuve

Définissons $\varphi : \mathbb{R} \to \mathcal{M}_n(K)$ par $\varphi(t) = \exp(t(A+B))\, \exp(-tA)\, \exp(-tB)$. Par la Proposition de commutation du \S 1.2, $A+B$, $A$, $B$ commutent chacun avec chaque $\exp(\pm sA)$ et $\exp(\pm sB)$ pour tout $s$ (puisque les paires sous-jacentes commutent). Dérivons par le théorème de dérivation du \S 1.2 : $$ \begin{aligned} \varphi'(t) & = (A+B)\exp(t(A+B))\, \exp(-tA)\, \exp(-tB) && \text{(dérivée du $1^{\mathrm{er}}$ facteur)}\\ & \quad + \exp(t(A+B))\, (-A)\exp(-tA)\, \exp(-tB) && \text{(dérivée du $2^{\mathrm{e}}$ facteur)}\\ & \quad + \exp(t(A+B))\, \exp(-tA)\, (-B)\exp(-tB) && \text{(dérivée du $3^{\mathrm{e}}$ facteur)}\\ & = (A+B)\, \varphi(t) && \text{($1^{\mathrm{er}}$ terme déjà $(A+B)\cdot \varphi(t)$)}\\ & \quad + (-A)\, \exp(t(A+B))\, \exp(-tA)\, \exp(-tB) && \text{(Prop.\ comm.\ : $A$ commute avec $\exp(t(A+B))$)}\\ & \quad + (-B)\, \exp(t(A+B))\, \exp(-tA)\, \exp(-tB) && \text{(Prop.\ comm.\ : $B$ commute avec $\exp(t(A+B))$ et $\exp(-tA)$)}\\ & = (A+B)\, \varphi(t) \,-\, A\, \varphi(t) \,-\, B\, \varphi(t) && \text{(re-collecte de $\varphi(t)$)}\\ & = (A + B - A - B)\, \varphi(t) \;=\; 0. \end{aligned} $$ Donc $\varphi$ est constante sur $\mathbb{R}$ ; en évaluant en $t = 0$, $\varphi(0) = \exp(0)\exp(0)\exp(0) = I_n$. Donc $\varphi(1) = I_n$, i.e. $$ \exp(A+B)\,\exp(-A)\,\exp(-B) \;=\; I_n. \qquad (\star) $$ Cas particulier $B = 0$ (inversibilité). Le même argument $\varphi$ avec $B$ remplacé par $0$ (qui commute trivialement avec $A$) donne $\exp(tA)\exp(-tA) = I_n$ pour tout $t \in \mathbb{R}$ ; en $t = 1$, $\exp(A)\exp(-A) = I_n$, et par $A \leftrightarrow -A$ également $\exp(-A)\exp(A) = I_n$. Donc $\exp(A) \in \mathrm{GL}_n(K)$ d'inverse $\exp(-A)$ pour tout $A \in \mathcal{M}_n(K)$ (c'est le contenu de la Proposition suivante --- le Théorème morphique et la Proposition d'inversibilité partagent un même argument $\varphi$). Idem pour $B$ et pour $-A, -B$.
Réarrangement de $(\star)$. Maintenant que $\exp(B)$, $\exp(A)$ sont connues inversibles : multiplier $(\star)$ à droite par $\exp(B)$ donne $\exp(A+B)\exp(-A)\cdot I_n = \exp(B)$, soit $\exp(A+B)\exp(-A) = \exp(B)$ ; puis multiplier à droite par $\exp(A)$ donne $\exp(A+B) = \exp(B)\exp(A)$. Par la Proposition de commutation du \S 1.2 ($A$ commute avec $\exp(B)$, puisque $A$ commute avec $B$), $\exp(B)\exp(A) = \exp(A)\exp(B)$. Donc $\exp(A+B) = \exp(A)\exp(B) = \exp(B)\exp(A)$.

Proposition — Inversibilité

Pour tout $A \in \mathcal{M}_n(K)$, $\exp(A) \in \textcolor{colorprop}{\mathrm{GL}_n(K)}$, et $\exp(A)^{-1} = \exp(-A)$.

Preuve

Déjà établi comme cas particulier $B = 0$ de l'argument $\varphi$ du Théorème morphique (voir la Preuve ci-dessus) : $\varphi(t) = \exp(tA)\exp(-tA)$ en $t = 1$ donne $\exp(A)\exp(-A) = I_n$, et par $A \leftrightarrow -A$ également $\exp(-A)\exp(A) = I_n$. Donc $\exp(A) \in \mathrm{GL}_n(K)$ d'inverse $\exp(-A)$.

Proposition — Matrices semblables

Si $A = PBP^{-1}$ avec $P \in \mathrm{GL}_n(K)$, alors $\exp(A) = \textcolor{colorprop}{P \exp(B) P^{-1}}$. En particulier, $\exp(A)$ et $\exp(B)$ sont semblables via le même $P$.

Preuve

Par récurrence sur $k$, $(PBP^{-1})^k = PB^k P^{-1}$ (initialisation $k = 0$ : $I_n = P I_n P^{-1}$ ; hérédité : $(PBP^{-1})^{k+1} = PBP^{-1} \cdot PB^k P^{-1} = PB^{k+1} P^{-1}$). Passons à la limite dans la somme partielle : $$ \sum_{k \leq n} \frac{(PBP^{-1})^k}{k!} \;=\; \sum_{k \leq n} \frac{P B^k P^{-1}}{k!} \;=\; P \left( \sum_{k \leq n} \frac{B^k}{k!} \right) P^{-1}. $$ L'application $M \mapsto P M P^{-1}$ est linéaire sur l'espace de dimension finie $\mathcal{M}_n(K)$, donc continue (rappelé de Compacité, connexité, dimension finie). En faisant $n \to +\infty$, $\exp(PBP^{-1}) = P \exp(B) P^{-1}$.

Exemple — Échec sans commutation

Prenons $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$. Les deux sont nilpotentes d'indice $2$, donc $\exp(A) = I_2 + A = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ et $\exp(B) = I_2 + B = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{pmatrix}$. Calculons le produit : $$ \exp(A)\exp(B) \;=\; \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}. $$ D'autre part, $A + B = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ est la matrice d'échange, une involution : $(A+B)^2 = I_2$. Par la formule d'involution du \S 1.1 avec $t = 1$, $\exp(A + B) = \cosh(1)\, I_2 + \sinh(1)\, (A+B) = \begin{pmatrix}\cosh 1 & \sinh 1\\ \sinh 1 & \cosh 1\end{pmatrix}$ (numériquement $\approx \begin{pmatrix}1{,}543 & 1{,}175\\ 1{,}175 & 1{,}543\end{pmatrix}$). Les deux matrices diffèrent, confirmant que $AB \neq BA$ casse la propriété morphique : en effet $AB = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} = BA$.

Méthode — Invoquer la propriété morphique

Avant d'utiliser $\exp(A + B) = \exp(A)\exp(B)$, toujours vérifier $AB = BA$. Trois cas standard où la commutation est automatique :

L'une de $A$, $B$ est scalaire ($\lambda I_n$ commute avec toute matrice).
Toutes deux diagonalisent dans la même base ($A = PDP^{-1}$, $B = PD'P^{-1}$ avec $D, D'$ diagonales commutent, donc $A, B$ commutent).
L'une est un polynôme en l'autre (e.g.\ $B = p(A)$ commute avec $A$).

Quand les matrices ne commutent pas, la propriété morphique n'a pas de remplacement en forme close en MP --- la formule de Baker-Campbell-Hausdorff (impliquant des commutateurs itérés) est hors du chapitre.

La propriété morphique se résume par un diagramme conditionnel : l'application $\exp$ envoie une somme commutante de matrices vers le produit de leurs exponentielles.

La condition $AB = BA$ se trouve au milieu du diagramme précisément pour rappeler que les deux chemins coïncident seulement sur ce lieu conditionnel.

Compétences à pratiquer

Appliquer la propriété morphique

II Calcul effectif de l'exponentielle

II.1 Le cas diagonalisable

La diagonalisation est la voie opérationnelle : elle réduit $\exp(A)$ à une matrice diagonale d'exponentielles scalaires, ce qui est trivial. La voie est restreinte aux $A$ diagonalisables ; le \S 2.2 traite le cas non diagonalisable via le spectre, le déterminant et le raccourci à valeur propre unique $\lambda I + N$.

Theorem — Exponentielle d'une matrice diagonalisable

Soit $A = PDP^{-1}$ avec $D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ diagonale. Alors $\exp(A)$ est diagonalisable dans la même base : $$ \textcolor{colorprop}{\exp(A) \;=\; P\, \operatorname{diag}(e^{\lambda_1}, \ldots, e^{\lambda_n})\, P^{-1}.} $$

Preuve

Par la Proposition de similitude du \S 1.3, $\exp(A) = P \exp(D) P^{-1}$. Il reste à calculer $\exp(D)$ pour $D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$. La puissance $k$-ième $D^k = \operatorname{diag}(\lambda_1^k, \ldots, \lambda_n^k)$, donc la série se somme coordonnée par coordonnée : $$ \exp(D) \;=\; \sum_{k \geq 0} \frac{D^k}{k!} \;=\; \operatorname{diag}\!\left( \sum_{k \geq 0} \frac{\lambda_1^k}{k!}, \ldots, \sum_{k \geq 0} \frac{\lambda_n^k}{k!} \right) \;=\; \operatorname{diag}(e^{\lambda_1}, \ldots, e^{\lambda_n}). $$ En combinant, on obtient la formule annoncée.

Exemple — Une diagonalisation réelle $2 \times 2$

Calculons $\exp(A)$ pour $A = \begin{pmatrix}0 & -2\\ -1 & 1\end{pmatrix}$. Étape 1 : polynôme caractéristique. $\chi_A(X) = X^2 - X - 2 = (X-2)(X+1)$. Spectre $\operatorname{Sp}(A) = \{2, -1\}$, deux valeurs propres réelles distinctes, donc $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$. Étape 2 : vecteurs propres. Pour $\lambda_1 = 2$, $(A - 2I_2)X = 0$ donne $X_1 = \begin{pmatrix}1\\ -1\end{pmatrix}$. Pour $\lambda_2 = -1$, $(A + I_2)X = 0$ donne $X_2 = \begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}$. Posons $P = \begin{pmatrix}1 & 2\\ -1 & 1\end{pmatrix}$, $D = \operatorname{diag}(2, -1)$. Étape 3 : inverse de $P$. $\det P = 1 + 2 = 3$, donc $P^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & -2\\ 1 & 1\end{pmatrix}$. Étape 4 : assembler. $$ \exp(A) \;=\; P\, \operatorname{diag}(e^2, e^{-1})\, P^{-1} \;=\; \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 2\\ -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e^2 & 0\\ 0 & e^{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -2\\ 1 & 1\end{pmatrix} \;=\; \frac{1}{3}\begin{pmatrix}e^2 + 2 e^{-1} & -2 e^2 + 2 e^{-1}\\ -e^2 + e^{-1} & 2 e^2 + e^{-1}\end{pmatrix}. $$

Exemple — Matrice antisymétrique et rotation

Pour $\theta \in \mathbb{R}$, considérons la matrice antisymétrique $C(\theta) = \begin{pmatrix}0 & -\theta\\ \theta & 0\end{pmatrix}$ (convention de signe : il s'agit du générateur de rotation standard). Un calcul direct donne $C(\theta)^2 = -\theta^2 I_2$, et par récurrence $$ C(\theta)^{2k} \,=\, (-1)^k \theta^{2k} I_2, \qquad C(\theta)^{2k+1} \,=\, (-1)^k \theta^{2k} C(\theta) \qquad (k \in \mathbb{N}). $$ Séparons la série exponentielle selon la parité : $$ \begin{aligned} \exp(C(\theta)) & = \sum_{k \geq 0} \frac{C(\theta)^{2k}}{(2k)!} + \sum_{k \geq 0} \frac{C(\theta)^{2k+1}}{(2k+1)!} && \text{(séparation pair / impair)}\\ & = \left( \sum_{k \geq 0} \frac{(-1)^k \theta^{2k}}{(2k)!} \right) I_2 + \left( \sum_{k \geq 0} \frac{(-1)^k \theta^{2k}}{(2k+1)!} \right) C(\theta) && \text{(substitution des formules de puissances)}\\ & = \cos(\theta)\, I_2 + \frac{\sin(\theta)}{\theta}\, C(\theta) && \text{(séries de Taylor de $\cos$, $\sin$).} \end{aligned} $$ (Le facteur $\sin(\theta)/\theta$ en $\theta = 0$ se lit comme la limite $1$, donnant $\exp(0) = I_2$ --- cohérent avec $\exp$ de la matrice nulle.) En substituant $C(\theta) = \begin{pmatrix}0 & -\theta\\ \theta & 0\end{pmatrix}$, $$ \exp(C(\theta)) \;=\; \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} $$ --- la matrice de rotation d'angle $\theta$ dans $\mathbb{R}^2$.

Méthode — Calculer $\exp(A)$ par diagonalisation

Procédure en quatre étapes pour $A \in \mathcal{M}_n(K)$ diagonalisable :

Spectre. Calculer $\chi_A$ et trouver $\operatorname{Sp}(A)$ (sur $K$ si $A$ se diagonalise sur $K$ ; sur $\mathbb{C}$ sinon). Lister les valeurs propres $(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ avec multiplicité, dans l'ordre correspondant à une base de vecteurs propres choisie à l'étape suivante.
Vecteurs propres. Pour chaque $\lambda_i$, résoudre $(A - \lambda_i I)X = 0$ pour trouver une base de $E_{\lambda_i}$ ; concaténer dans la matrice de passage $P = [X_1 | \cdots | X_n]$ et poser $D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$.
Exponentielle diagonale. $\exp(D) = \operatorname{diag}(e^{\lambda_1}, \ldots, e^{\lambda_n})$ (trivial).
Assembler. $\exp(A) = P \exp(D) P^{-1}$ (produit matriciel).

La procédure est opérationnellement efficace quand $n$ est petit et les valeurs propres explicites. Pour résoudre $X' = AX$, il n'est généralement pas nécessaire de calculer $\exp(A)$ explicitement --- voir \S 3.2 pour le raccourci par découplage.

Compétences à pratiquer

Calculer $\exp(A)$ par diagonalisation

II.2 Spectre et déterminant de l'exponentielle

Même quand $A$ n'est pas diagonalisable, le spectre de $\exp(A)$ est déterminé par le spectre complexe de $A$. Tout vecteur propre de $A$ est un vecteur propre de $\exp(A)$ (sens unique : $\exp(A)$ peut avoir des vecteurs propres supplémentaires lorsque deux valeurs propres distinctes de $A$ partagent la même exponentielle, par exemple $\lambda$ et $\lambda + 2\pi i$ ont tous deux pour image $e^\lambda$ sur $\mathbb{C}$). Le déterminant de $\exp(A)$ a une expression close via la trace. Les deux résultats utilisent la trigonalisation sur $\mathbb{C}$, toujours possible parce que $\chi_A$ scinde sur $\mathbb{C}$ (d'Alembert-Gauss).

Proposition — Puissances d'une matrice triangulaire supérieure

Si $T \in \mathcal{M}_n(K)$ est triangulaire supérieure de diagonale $(t_{11}, \ldots, t_{nn})$, alors pour tout $k \in \mathbb{N}$, $T^k$ est triangulaire supérieure de diagonale $(t_{11}^k, \ldots, t_{nn}^k)$.

Preuve

Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieure, et sa diagonale est le produit composante par composante des diagonales (le coefficient $(i,i)$ de $UV$ vaut $\sum_k u_{ik} v_{ki}$ ; comme $u_{ik} = 0$ pour $k < i$ et $v_{ki} = 0$ pour $k > i$, seul $k = i$ contribue, donnant $u_{ii} v_{ii}$). En itérant $k$ fois à partir de $T \cdot T \cdots T$, on obtient $T^k$ triangulaire supérieure de diagonale $(t_{ii}^k)$.

Proposition — Spectre de $\exp(A)$ sur $\mathbb{C}$

Pour tout $A \in \mathcal{M}_n(K)$, $$ \textcolor{colorprop}{\operatorname{Sp}_{\mathbb{C}}(\exp(A)) \;=\; \{ e^\lambda \,:\, \lambda \in \operatorname{Sp}_{\mathbb{C}}(A) \},} $$ comptés avec multiplicité. De plus, si $X \in \mathbb{C}^n$ vérifie $AX = \lambda X$, alors $\exp(A) X = e^\lambda X$.

Preuve

Énoncé vectoriel. Si $AX = \lambda X$, une récurrence donne $A^k X = \lambda^k X$ pour tout $k \geq 0$. Donc la somme partielle $S_n = \sum_{k \leq n} A^k/k!$ vérifie $S_n X = \big( \sum_{k \leq n} \lambda^k/k! \big) X$. L'application $M \mapsto MX$ est linéaire sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, donc continue ; en passant à la limite $n \to +\infty$, $\exp(A) X = e^\lambda X$.
Spectre. Sur $\mathbb{C}$, $\chi_A$ scinde (d'Alembert-Gauss, rappelé de MPSI). Par Réduction : éléments propres, diagonalisation, $A$ est donc trigonalisable sur $\mathbb{C}$ : $A = P T P^{-1}$ avec $T \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ triangulaire supérieure de diagonale $(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ (les valeurs propres complexes, comptées avec multiplicité). Par la Proposition précédente, $T^k$ est triangulaire supérieure de diagonale $(\lambda_i^k)$, donc la somme partielle $\sum_{k \leq n} T^k/k!$ est triangulaire supérieure de diagonale $\big(\sum_{k \leq n} \lambda_i^k / k!\big)$. En passant à la limite, $\exp(T)$ est triangulaire supérieure de diagonale $(e^{\lambda_1}, \ldots, e^{\lambda_n})$. Les valeurs propres d'une matrice triangulaire supérieure sont ses coefficients diagonaux, donc $\operatorname{Sp}_{\mathbb{C}}(\exp(T)) = \{e^{\lambda_i}\}$ avec multiplicités identifiées aux répétitions diagonales. La Proposition de similitude donne $\exp(A) = P \exp(T) P^{-1}$, et des matrices semblables ont des spectres égaux (rappelé de Réduction).

Proposition — Déterminant de l'exponentielle

Pour tout $A \in \mathcal{M}_n(K)$, $$ \textcolor{colorprop}{\det(\exp(A)) \;=\; e^{\operatorname{tr}(A)}.} $$

Preuve

Trigonalisons $A$ sur $\mathbb{C}$ comme dans la preuve précédente : $A = PTP^{-1}$ avec $T$ triangulaire supérieure de diagonale $(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$, les valeurs propres complexes avec multiplicité. La trace et le déterminant sont invariants par similitude, donc $$ \begin{aligned} \operatorname{tr}(A) & = \operatorname{tr}(T) \;=\; \sum_{i = 1}^n \lambda_i && \text{(invariance de la trace ; coefficients diagonaux de $T$)}\\ \det(\exp(A)) & = \det(P \exp(T) P^{-1}) \;=\; \det(\exp(T)) && \text{(invariance du déterminant par similitude)}\\ & = \prod_{i=1}^n e^{\lambda_i} && \text{(déterminant d'une triangulaire = produit de la diagonale)}\\ & = e^{\sum_i \lambda_i} \;=\; e^{\operatorname{tr}(A)}. && \text{} \end{aligned} $$

Exemple — Une matrice trigonalisable non diagonalisable

Soit $A = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$. Alors $\chi_A(X) = (X - 1)^2$, valeur propre unique $\lambda = 1$ de multiplicité $2$, mais $E_1(A) = \ker(A - I_2)$ est la droite $\mathbb{R} e_1$ de dimension $1 < 2$, donc $A$ n'est pas diagonalisable. Pourtant $A$ est trigonalisable (elle est déjà triangulaire !). Décomposons $A = I_2 + N$ avec $N = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ nilpotente d'indice $2$. Les sommands $I_2$ et $N$ commutent (tout commute avec $I_2$), donc par le Théorème morphique du \S 1.3, $$ \exp(A) \;=\; \exp(I_2)\, \exp(N) \;=\; e\, I_2 \cdot (I_2 + N) \;=\; e \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}. $$ Vérification du déterminant : $\det(\exp(A)) = e^2 = e^{1 + 1} = e^{\operatorname{tr}(A)}$, en accord avec la Proposition du déterminant.

Méthode — Cas à valeur propre unique et cas trigonalisable

Quand $\operatorname{Sp}_{\mathbb{C}}(A) = \{\lambda\}$ (une valeur propre unique de multiplicité totale), Cayley-Hamilton et $\chi_A = (X - \lambda)^n$ donnent $(A - \lambda I_n)^n = 0$. Décomposer $$ A \;=\; \lambda I_n \,+\, (A - \lambda I_n), $$ où les deux sommands commutent ($\lambda I_n$ commute avec tout) et le second est nilpotent. Par la propriété morphique, $$ \exp(A) \;=\; e^\lambda \cdot \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{(A - \lambda I_n)^k}{k!} $$ --- somme finie, entièrement explicite. La décomposition de Dunford $A = D + N$ avec $D$ diagonalisable, $N$ nilpotente, $DN = ND$ existe pour toute $A$ et donne $\exp(A) = \exp(D)\exp(N)$ --- généralisant le cas à valeur propre unique --- mais son théorème d'existence est hors programme (voir Pour aller plus loin). Pour les matrices non diagonalisables à plusieurs valeurs propres distinctes, la route stricte au programme est d'invoquer la décomposition de Dunford comme admise ou de recourir à des techniques explicites au cas par cas (e.g.\ blocs de Jordan pour $n \leq 3$).

Compétences à pratiquer

Utiliser le spectre et le raccourci à valeur propre unique

III Système différentiel linéaire à coefficients constants

III.1 Résolution du système homogène $X' \equal AX$

Avec l'exponentielle établie et calculable, le système linéaire homogène à coefficient matriciel constant se résout d'un coup : la solution générale est $\exp(tA)$ appliquée à un vecteur constant libre. On distingue le système matriciel $X' = AX$ (avec $X : \mathbb{R} \to K^n$ et $A \in \mathcal{M}_n(K)$ constante) de l'équation scalaire linéaire $x' = a(t) x + b(t)$ étudiée dans Équations différentielles linéaires. Les deux sont reliés par le point de vue système matriciel d'Équations différentielles linéaires \S 1.4, mais le cas à coefficients constants admet la forme close la plus propre via l'exponentielle.

Theorem — Le problème de Cauchy $X' \equal AX$

Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ une matrice constante. Le problème de Cauchy $$ X' \;=\; AX, \qquad X(t_0) \;=\; X_0 $$ (où $X : \mathbb{R} \to K^n$, $t_0 \in \mathbb{R}$, $X_0 \in K^n$) admet l'unique solution sur $\mathbb{R}$ $$ \textcolor{colorprop}{X(t) \;=\; \exp((t - t_0) A)\, X_0.} $$ La solution générale de $X' = AX$ est donc $X(t) = \exp(tA)\, C$ pour $C \in K^n$, avec $C = \exp(-t_0 A) X_0$ ajustant la condition initiale.

Preuve

Existence. La fonction $X(t) = \exp((t - t_0) A) X_0$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ (la Méthode de dérivation composée du \S 1.2 avec $u(t) = t - t_0$, de dérivée $u'(t) = 1$). Dérivons par la même Méthode : $$ X'(t) \;=\; A\, \exp((t - t_0) A)\, X_0 \;=\; A\, X(t). $$ En $t = t_0$, $X(t_0) = \exp(0) X_0 = I_n X_0 = X_0$. Donc $X$ résout le problème de Cauchy.
Unicité. Le système $X' = AX$ est une équation différentielle linéaire au sens d'Équations différentielles linéaires (à coefficient constant continu $a(t) \equiv A$ et second membre $b(t) \equiv 0$). Le théorème de Cauchy linéaire de ce chapitre (rappelé, jamais redémontré ici) donne l'existence-unicité sur $\mathbb{R}$ tout entier. Notre $X$ explicite est donc la solution.

Exemple — Le cas scalaire

Pour $n = 1$, $A = (a)$ avec $a \in K$, le système $X' = AX$ est l'équation scalaire $x' = a x$, et le Théorème retrouve le résultat élémentaire de MPSI $x(t) = e^{a(t - t_0)} x_0$. L'exponentielle matricielle en dimension $1$ est simplement l'exponentielle scalaire.

Proposition — Variation des constantes

Pour $A \in \mathcal{M}_n(K)$ constante et $B \in \mathcal{C}(I, K^n)$ continue sur un intervalle $I \ni t_0$, le problème de Cauchy $$ X' \;=\; AX + B(t), \qquad X(t_0) \;=\; X_0 $$ admet l'unique solution sur $I$ $$ \textcolor{colorprop}{X(t) \;=\; \exp((t - t_0) A)\, X_0 \,+\, \int_{t_0}^t \exp((t - s) A)\, B(s)\, ds.} $$

Preuve

Factoriser l'intégrale. Pour tous $t, s \in I$, $tA$ et $-sA$ commutent (deux multiples scalaires de $A$) ; par le Théorème morphique du \S 1.3, $\exp((t - s) A) = \exp(tA)\exp(-sA)$. Donc $$ \int_{t_0}^t \exp((t-s)A)\, B(s)\, ds \;=\; \exp(tA) \int_{t_0}^t \exp(-sA)\, B(s)\, ds. $$ Posons $J(t) = \int_{t_0}^t \exp(-sA) B(s) ds$ --- fonction $\mathcal{C}^1$ de $t$ (intégrande continue, TFC pour fonctions vectorielles rappelé de Fonctions vectorielles d'une variable réelle) avec $J'(t) = \exp(-tA) B(t)$ et $J(t_0) = 0$.
Dériver $X$. En réécrivant $X(t) = \exp((t-t_0)A) X_0 + \exp(tA) J(t)$, appliquons la règle du produit et la Méthode de dérivation composée du \S 1.2 (appliquée à $u(t) = t - t_0$ et à $u(t) = t$) : $$ \begin{aligned} X'(t) & = A \exp((t-t_0) A)\, X_0 \,+\, A \exp(tA)\, J(t) \,+\, \exp(tA)\, J'(t) && \text{(règle du produit + Méthode chain-rule)}\\ & = A \exp((t-t_0) A)\, X_0 \,+\, A \exp(tA)\, J(t) \,+\, \exp(tA)\, \exp(-tA)\, B(t) && \text{(formule pour $J'$)}\\ & = A \big[ \exp((t-t_0) A) X_0 + \exp(tA) J(t) \big] \,+\, I_n\, B(t) && \text{($\exp(tA)\exp(-tA) = I_n$, \S 1.3)}\\ & = A\, X(t) \,+\, B(t). && \end{aligned} $$ En $t = t_0$, $J(t_0) = 0$, donc $X(t_0) = \exp(0) X_0 = X_0$. L'unicité résulte du théorème de Cauchy linéaire d'Équations différentielles linéaires.

Méthode — Résoudre $X' \equal AX$ par l'exponentielle

Trois étapes pour $A \in \mathcal{M}_n(K)$ constante :

Calculer $\exp(tA)$. Utiliser la diagonalisation (\S 2.1) si $A$ est diagonalisable, sinon la décomposition à valeur propre unique $\lambda I + N$ (\S 2.2) ou la trigonalisation directe.
Écrire la solution générale. $X(t) = \exp(tA)\, C$ pour $C \in K^n$.
Ajuster la condition initiale. $X(t_0) = X_0$ donne $C = \exp(-t_0 A) X_0$, donc $X(t) = \exp((t - t_0) A) X_0$.

En pratique, quand $A$ est diagonalisable, le raccourci par découplage du \S 3.2 évite de calculer $\exp(tA)$ explicitement --- c'est la route recommandée quand on ne cherche que les solutions, pas le propagateur.

Compétences à pratiquer

Résoudre $X' \equal AX$ par l'exponentielle

III.2 Résolution effective dans le cas diagonalisable

Quand $A$ est diagonalisable, passer par $\exp(tA)$ est superflu. Le changement de variable $Y = P^{-1} X$ découple le système en $n$ équations scalaires indépendantes, chacune résolue trivialement. La recombinaison donne la solution générale comme somme de contributions $e^{\lambda_i t} X_i$, une par vecteur propre --- la « décomposition spectrale » de la solution.

Theorem — Résolution dans le cas diagonalisable

Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ diagonalisable, $(X_1, \ldots, X_n)$ une base de vecteurs propres associée aux valeurs propres $(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ (listées avec multiplicité dans l'ordre des vecteurs propres). La solution générale de $X' = AX$ est $$ \textcolor{colorprop}{X(t) \;=\; C_1\, e^{\lambda_1 t}\, X_1 \,+\, \cdots \,+\, C_n\, e^{\lambda_n t}\, X_n, \qquad C_1, \ldots, C_n \in K.} $$

Preuve

Deux routes.

Via $\exp(tA)$. Appliquons le \S 2.1 : $\exp(tA) = P\, \operatorname{diag}(e^{\lambda_i t})\, P^{-1}$ où $P$ a pour colonnes $X_1, \ldots, X_n$. La solution générale de $X' = AX$ (Théorème du \S 3.1) est $X(t) = \exp(tA) C$ pour $C \in K^n$ ; en développant, $$ X(t) \;=\; P\, \operatorname{diag}(e^{\lambda_i t})\, P^{-1}\, C \;=\; \sum_{i = 1}^n (P^{-1} C)_i\, e^{\lambda_i t}\, X_i. $$ Renommer les constantes libres en $C_i = (P^{-1} C)_i$.
Via le changement de variable $Y = P^{-1} X$. Le système $X' = AX$ avec $A = PDP^{-1}$ devient $Y' = D Y$ dans les nouvelles variables (multiplier des deux côtés par $P^{-1}$). Comme $D = \operatorname{diag}(\lambda_i)$ est diagonale, $Y' = DY$ se découple en $y_i' = \lambda_i y_i$ pour $i = 1, \ldots, n$. Chaque équation scalaire a pour solution générale $y_i(t) = C_i e^{\lambda_i t}$. En recombinant, $X(t) = P Y(t) = \sum_i C_i e^{\lambda_i t} X_i$.

La seconde route est opérationnellement préférée : elle évite de calculer $\exp(tA)$ explicitement --- seuls le spectre et les vecteurs propres sont nécessaires.

Exemple — Un point selle $2 \times 2$

Résolvons $X' = A X$ pour $A = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & 0\end{pmatrix}$. Spectre. $\chi_A = X^2 - X - 2 = (X-2)(X+1)$, donc $\operatorname{Sp}(A) = \{2, -1\}$. Deux valeurs propres réelles distinctes, de signes opposés --- cas du point selle. Vecteurs propres. Pour $\lambda_1 = 2$, $(A - 2I_2)X_1 = 0$ donne $X_1 = (1, 1)^\mathsf{T}$. Pour $\lambda_2 = -1$, $(A + I_2) X_2 = 0$ donne $X_2 = (1, -2)^\mathsf{T}$. Solution générale. $$ X(t) \;=\; C_1\, e^{2t} \begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix} \,+\, C_2\, e^{-t} \begin{pmatrix}1\\ -2\end{pmatrix}, \qquad C_1, C_2 \in \mathbb{R}. $$ Le portrait de phase dans le plan $(x_1, x_2)$ a des trajectoires hyperboliques asymptotes aux droites propres : $X_1$ est la direction instable ($e^{2t} \to +\infty$), $X_2$ est la direction stable ($e^{-t} \to 0$). L'origine est un point selle.

Méthode — Résoudre par découplage spectral

Pour $A \in \mathcal{M}_n(K)$ constante et diagonalisable, trois étapes :

Diagonaliser. Calculer $\chi_A$ pour trouver $\operatorname{Sp}(A)$ et une base de vecteurs propres $(X_1, \ldots, X_n)$.
Écrire la solution générale. $X(t) = \sum_{i = 1}^n C_i\, e^{\lambda_i t}\, X_i$ avec $C_i \in K$ constantes libres.
Ajuster la condition de Cauchy. $X(t_0) = X_0$ donne un système linéaire pour $(C_1, \ldots, C_n)$ --- le résoudre.

L'exponentielle matricielle $\exp(tA)$ n'est jamais calculée dans cette route. Pour les matrices non diagonalisables à une seule valeur propre, utiliser la décomposition $\lambda I + N$ du \S 2.2 suivie de la route du \S 3.1. Pour les matrices non diagonalisables à plusieurs valeurs propres distinctes, recourir à l'approche Dunford-admis (\S 2.2 / Pour aller plus loin) ou au cas par cas.

Pour aller plus loin

Le chapitre a construit l'exponentielle de matrice et l'a appliquée au système linéaire à coefficients constants. Quatre fils continuent. Matrices antisymétriques et groupe spécial orthogonal. L'exemple de rotation du \S 2.1 est l'instance visible $n = 2$ d'un fait plus général : $\exp(\mathcal{A}_n(\mathbb{R})) \subset \mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$. Esquisse de preuve : si $A^\mathsf{T} = -A$, alors $\exp(A)^\mathsf{T} = \exp(A^\mathsf{T}) = \exp(-A) = \exp(A)^{-1}$ (la transposition commute avec la série ; puis Théorème morphique avec $-A$ et $A$, qui commutent trivialement), donc $\exp(A)$ est orthogonale ; et $\det \exp(A) = e^{\operatorname{tr}(A)} = e^0 = 1$ (puisque $\operatorname{tr}(A) = 0$ pour $A$ antisymétrique), donc $\exp(A) \in \mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$. C'est la correspondance algèbre de Lie -- groupe de Lie au niveau $n$-dimensionnel. La décomposition de Dunford écrit une matrice non diagonalisable comme $A = D + N$ avec $D$ diagonalisable, $N$ nilpotente, $DN = ND$ ; alors $\exp(tA) = \exp(tD)\exp(tN)$ est un polynôme en $t$ fois une exponentielle diagonale, et les solutions de $X' = AX$ ont la structure polynôme-fois-exponentielle. Le théorème d'existence de Dunford est hors programme (voir Polynômes d'un endomorphisme) ; les alternatives pratiques en programme sont le raccourci à valeur propre unique $\lambda I + N$ du \S 2.2 et Dunford-admis au cas par cas. Les portraits de phase dans $\mathbb{R}^2$ pour $X' = AX$ admettent une classification en six types selon les signes et la réalité des valeurs propres (selle, nœud stable/instable, foyer stable/instable, centre) ; l'exemple du \S 3.2 traite seulement la selle. Les systèmes non linéaires $X' = F(X)$ admettent un théorème d'existence-unicité local (Cauchy-Lipschitz), hors du cadre MP.

Compétences à pratiquer

Résoudre les systèmes diagonalisables par découplage spectral