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Équations différentielles linéaires

⌚ ~67 min ▢ 8 blocs ✓ 13 exercices ➣ Prérequis : Équations différentielles linéaires, Fonctions vectorielles d'une variable réelle

La MPSI a résolu deux équations différentielles linéaires : l'équation scalaire d'ordre un $y' = a(t)\,y + b(t)$, par une formule explicite à base de primitives ; et l'équation à coefficients constants $y'' + a\,y' + b\,y = c(t)$, en combinant l'équation caractéristique (pour la partie homogène) avec un ansatz polynôme-exponentielle qui traite les seconds membres standards. Ce chapitre passe à l'équation différentielle linéaire générale $x' = a(t)\cdot x + b(t)$ où l'inconnue $x$ est une fonction à valeurs dans un espace normé de dimension finie $E$.
Le résultat phare de la \S1 est le théorème de Cauchy linéaire : par chaque condition initiale $(t_0 \,;\, x_0)$ passe exactement une solution, et cette solution est définie sur tout l'intervalle $I$. Il en découle la structure de l'ensemble des solutions --- un espace affine dont la direction est de dimension $\dim E$. Le chapitre se concentre ensuite, en \S2, sur le cas que le programme distingue : l'équation scalaire d'ordre deux à coefficients éventuellement non constants --- son plan de solutions, le wronskien qui détecte une base de solutions, et la méthode de variation des constantes qui produit une solution particulière.
Notations permanentes. Dans tout le chapitre, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ d'intérieur non vide (en un point extrémité de $I$, « dérivable » signifie la dérivée latérale appropriée, suivant la convention de Fonctions vectorielles d'une variable réelle), et $E$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel normé de dimension finie. L'espace des applications $\mathbb{K}$-linéaires $\mathcal{L}(E)$ est lui-même de dimension finie, et toutes les normes sur lui sont équivalentes (rappelé de Compacité, connexité, dimension finie), donc les notions topologiques sur $\mathcal{L}(E)$ sont sans ambiguïté. $\mathcal{C}^k(I,E)$ désigne l'espace des applications $k$ fois continûment dérivables $I \to E$. Pour alléger, lorsque $u \in \mathcal{L}(E)$ et $e \in E$ on note $u \cdot e$ l'évaluation $u(e)$. Une équation est notée $(E)$ et son équation homogène associée $(E_0)$.

I L'équation différentielle linéaire $x' \equal a(t)\cdot x + b(t)$

I.1 L'équation et le problème de Cauchy

L'équation scalaire de la MPSI $y' = a(t)\,y + b(t)$ faisait intervenir un coefficient scalaire $a(t) \in \mathbb{K}$ multipliant l'inconnue scalaire $y$. Dans un espace de dimension finie $E$, le coefficient devient une application linéaire $a(t) \in \mathcal{L}(E)$ agissant sur l'inconnue vectorielle $x \in E$. Le second membre $b(t)$ est lui-même un vecteur. L'équation s'écrit alors $x' = a(t) \cdot x + b(t)$, où le point désigne l'évaluation d'un endomorphisme en un vecteur. Tout le reste --- le cas homogène, le problème de Cauchy à condition initiale, la formulation intégrale équivalente --- transcrit mot pour mot la matière de la MPSI, avec des vecteurs au lieu de scalaires.

Définition — Équation différentielle linéaire

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ d'intérieur non vide, et $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel normé de dimension finie. Soit $a \in \mathcal{C}(I, \mathcal{L}(E))$ et $b \in \mathcal{C}(I, E)$. L'équation différentielle linéaire associée à $a$ et $b$ est $$ (E)\colon \quad x' = a(t) \cdot x + b(t). $$ Une solution de $(E)$ sur $I$ est une application $\varphi \colon I \to E$ de classe $\mathcal{C}^1$ vérifiant $\varphi'(t) = a(t) \cdot \varphi(t) + b(t)$ pour tout $t \in I$. Lorsque $b = 0$, l'équation est l'équation homogène associée $$ (E_0)\colon \quad x' = a(t) \cdot x. $$

Nous adoptons d'emblée la régularité $\mathcal{C}^1$, selon la tradition prépa. Le choix est cohérent avec la structure de l'équation : si l'on demandait seulement à $\varphi$ d'être dérivable, le second membre $a(t) \cdot \varphi(t) + b(t)$ resterait continu --- $a$ et $b$ sont continues par hypothèse, l'évaluation $(u, e) \mapsto u \cdot e$ est continue sur $\mathcal{L}(E) \times E$ (bilinéaire sur un espace de dimension finie, rappelée de Limites et continuité dans un espace normé), et $\varphi$ dérivable est en particulier continue. Donc $\varphi' = a \cdot \varphi + b$ est continue, et $\varphi$ est automatiquement de classe $\mathcal{C}^1$.

Exemple — Le cas scalaire retrouvé

Pour $E = \mathbb{K}$, un élément de $\mathcal{L}(\mathbb{K}) = \mathbb{K}$ est simplement un scalaire, et l'équation $x' = a(t) \cdot x + b(t)$ redonne l'équation scalaire d'ordre un $y' = a(t)\,y + b(t)$ de la MPSI, avec $a, b \colon I \to \mathbb{K}$ continues. La formule explicite de la MPSI --- rappelée ici pour usage ultérieur dans le chapitre --- s'écrit $y(t) = e^{A(t)}\bigl(y_0 + \int_{t_0}^{t} e^{-A(s)} b(s)\,ds\bigr)$ pour toute primitive $A$ de $a$, et fournit l'unique solution avec $y(t_0) = y_0$.

Exemple — Un système plan homogène

Sur $E = \mathbb{R}^2$, considérons le système plan homogène $$ x' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot x. $$ L'application $a \colon \mathbb{R} \to \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ est l'endomorphisme constant dont la matrice dans la base canonique est celle ci-dessus. On vérifie par dérivation directe que $\varphi_1 \colon t \mapsto (\cos t \,;\, -\sin t)$ et $\varphi_2 \colon t \mapsto (\sin t \,;\, \cos t)$ sont solutions, et l'on anticipe que la solution générale est la combinaison linéaire $\lambda_1 \varphi_1 + \lambda_2 \varphi_2$ --- le théorème de la dimension du \S 1.3 le confirmera dans toute la généralité.

Définition — Problème de Cauchy

Soit $(t_0 \,;\, x_0) \in I \times E$. Le problème de Cauchy associé à $(E)$ et à la donnée $(t_0 \,;\, x_0)$ est l'équation différentielle $(E)$ munie de la condition initiale $x(t_0) = x_0$ : $$ \begin{cases} x' = a(t) \cdot x + b(t), \\ x(t_0) = x_0. \end{cases} $$ Une solution du problème de Cauchy est une solution $\varphi$ de $(E)$ sur $I$ vérifiant $\varphi(t_0) = x_0$.

Exemple — Un problème de Cauchy plan

Dans la continuité de l'exemple précédent, le problème de Cauchy $$ \begin{cases} x' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot x, \\ x(0) = (1 \,;\, 0) \end{cases} $$ admet $\varphi \colon t \mapsto (\cos t \,;\, -\sin t)$ pour solution sur $\mathbb{R}$ (dérivons : $\varphi'(t) = (-\sin t \,;\, -\cos t)$ ; et $a \cdot \varphi(t) = (-\sin t \,;\, -\cos t)$ également, puisque la matrice envoie $(\cos t \,;\, -\sin t)$ sur $(-\sin t \,;\, -\cos t)$). En $t = 0$, $\varphi(0) = (1 \,;\, 0)$. L'unicité sur tout $\mathbb{R}$ sera accordée par le théorème de Cauchy linéaire du \S 1.2.

Proposition — Formulation intégrale du problème de Cauchy

Soit $(t_0 \,;\, x_0) \in I \times E$ et $\varphi \colon I \to E$. Les assertions suivantes sont équivalentes :

[(i)] $\varphi$ est une solution du problème de Cauchy sur $I$ ;
[(ii)] $\varphi$ est continue sur $I$ et vérifie, pour tout $t \in I$, $$ \varphi(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t} \bigl(\,a(s) \cdot \varphi(s) + b(s)\,\bigr) \,\mathrm{d}s. $$

Preuve

(i) $\Rightarrow$ (ii). Si $\varphi$ est une solution $\mathcal{C}^1$ du problème de Cauchy, alors $\varphi$ est en particulier continue. Le théorème fondamental du calcul intégral (rappelé de Fonctions vectorielles d'une variable réelle) donne, pour tout $t \in I$, $$ \varphi(t) - \varphi(t_0) = \int_{t_0}^{t} \varphi'(s) \,\mathrm{d}s = \int_{t_0}^{t} \bigl(\,a(s) \cdot \varphi(s) + b(s)\,\bigr) \,\mathrm{d}s, $$ et $\varphi(t_0) = x_0$, d'où l'identité intégrale.
(ii) $\Rightarrow$ (i). Réciproquement, supposons $\varphi$ continue sur $I$ et vérifiant l'identité intégrale. L'intégrande $s \mapsto a(s) \cdot \varphi(s) + b(s)$ est continue sur $I$ (composition et somme d'applications continues), donc l'intégrale $t \mapsto \int_{t_0}^{t}(a \cdot \varphi + b)$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ (théorème fondamental du calcul intégral). Donc $\varphi$ est $\mathcal{C}^1$, avec $\varphi'(t) = a(t) \cdot \varphi(t) + b(t)$ pour tout $t \in I$. En évaluant l'identité intégrale en $t = t_0$, on obtient $\varphi(t_0) = x_0$. Donc $\varphi$ résout le problème de Cauchy.

Méthode — Mettre en équation une équation différentielle linéaire

Face à une inconnue vectorielle $x(t)$ vérifiant une relation différentielle :

identifier l'intervalle de travail $I$ sur lequel la relation doit être satisfaite ;
lire la partie linéaire $a(t) \in \mathcal{L}(E)$ agissant sur $x$ --- vérifier que $a$ est continue sur $I$ ;
lire le second membre $b(t) \in E$ --- vérifier que $b$ est continu sur $I$ ;
écrire l'équation sous la forme standard $x' = a(t) \cdot x + b(t)$, et l'équation homogène associée $(E_0)\colon x' = a(t) \cdot x$.

Un problème de Cauchy requiert en outre une donnée $(t_0 \,;\, x_0) \in I \times E$ pour la condition initiale $x(t_0) = x_0$.

Compétences à pratiquer

Mettre en équation une équation différentielle linéaire

I.2 Le théorème de Cauchy linéaire

Le théorème phare d'existence et unicité. Géométriquement : par chaque condition initiale $(t_0 \,;\, x_0) \in I \times E$ passe exactement une solution, et cette solution est définie sur tout l'intervalle $I$ --- aucun problème d'intervalle maximal, aucune possibilité d'« explosion ». C'est la structure linéaire de $(E)$ qui rend cela si propre.

Theorem — Théorème de Cauchy linéaire

Soit $a \in \mathcal{C}(I, \mathcal{L}(E))$ et $b \in \mathcal{C}(I, E)$. Pour tout $(t_0 \,;\, x_0) \in I \times E$, le problème de Cauchy $$ \begin{cases} x' = a(t) \cdot x + b(t), \\ x(t_0) = x_0 \end{cases} $$ admet une et une seule solution $\varphi$, et $\varphi$ est définie sur tout l'intervalle $I$.

Démonstration non exigible

Le programme officiel indique « Cauchy linéaire » parmi les résultats dont la démonstration est non exigible. Le théorème est donc énoncé et admis dans ce chapitre. L'argument qui l'établit repose sur des outils analytiques hors programme --- ni la technique ni aucun lemme auxiliaire ne sont développés ici.

Exemple — Deux solutions ne se croisent jamais

Deux solutions distinctes $\varphi_1, \varphi_2$ de $(E)$ sur $I$ vérifient $\varphi_1(t) \ne \varphi_2(t)$ pour tout $t \in I$ : si elles coïncidaient en un point $t_0$, elles seraient toutes deux solutions du même problème de Cauchy de donnée $(t_0, \varphi_1(t_0))$, et l'unicité du théorème de Cauchy linéaire forcerait $\varphi_1 = \varphi_2$ sur $I$. Géométriquement, les « courbes intégrales » $\{(t, \varphi(t)) : t \in I\}$ de solutions distinctes sont disjointes --- elles feuillettent le bandeau $I \times E$.

Exemple — Une solution homogène non nulle ne s'annule pas

Soit $\varphi$ une solution de $(E_0)\colon x' = a(t) \cdot x$ sur $I$. Si $\varphi$ s'annule en un point $t_0 \in I$, alors $\varphi$ résout le même problème de Cauchy que la fonction nulle (donnée $(t_0 \,;\, 0)$). Par unicité, $\varphi$ est identiquement nulle sur $I$. Par contraposée : une solution de $(E_0)$ qui ne s'annule pas en un point ne s'annule nulle part sur $I$.

Méthode — Utiliser l'unicité sans résoudre

Pour identifier une fonction candidate $\tilde\varphi$ (construite à partir d'une solution connue $\varphi$ par un procédé --- un multiple scalaire $\lambda \varphi$, un translaté $t \mapsto \varphi(t+s)$, une réflexion $t \mapsto \varphi(-t)$, \ldots) avec $\varphi$ elle-même, vérifier trois choses dans l'ordre :

[(1)] $\tilde\varphi$ est définie sur le même intervalle $I$ que $\varphi$ --- une translation ou une réflexion peut exiger une symétrie appropriée de $I$ ou une restriction à un sous-intervalle ;
[(2)] $\tilde\varphi$ vérifie la même équation différentielle que $\varphi$ sur $I$ --- ce qui requiert une invariance correspondante des coefficients $a, b$ (par exemple, pour une translation de $s$, les coefficients doivent eux-mêmes être $s$-périodiques) ;
[(3)] en un point $t_0 \in I$, $\tilde\varphi(t_0) = \varphi(t_0)$.

Le théorème de Cauchy linéaire force alors $\tilde\varphi = \varphi$ sur tout $I$. Les trois conditions sont nécessaires --- l'équation seule ne suffit pas.

Compétences à pratiquer

Exploiter le théorème de Cauchy linéaire

I.3 Structure de l'ensemble des solutions

L'ensemble des solutions de $(E)$ a une structure algébrique nette : un sous-espace affine de $\mathcal{C}^1(I, E)$. Le plus propre est de l'aborder par un opérateur linéaire $L$ dont le noyau est l'espace des solutions homogènes $\mathcal{S}_0$, et dont la préimage de $b$ est l'ensemble complet des solutions $\mathcal{S}$.

Proposition — L'opérateur des solutions

L'application $$ L \colon \mathcal{C}^1(I, E) \to \mathcal{C}^0(I, E), \quad x \mapsto x' - a \cdot x $$ est bien définie et linéaire. L'équation $(E)$ s'écrit $L(x) = b$, et l'équation homogène $(E_0)$ s'écrit $L(x) = 0$.

Preuve

Pour $x \in \mathcal{C}^1(I, E)$, la dérivée $x'$ est continue, $a$ est continue, et l'évaluation bilinéaire $(u, e) \mapsto u \cdot e$ est continue sur un espace de dimension finie, donc $a \cdot x$ est continue et $L(x) = x' - a \cdot x \in \mathcal{C}^0(I, E)$ : $L$ est bien définie. La linéarité découle de la linéarité de la dérivation et de $x \mapsto a \cdot x$ : pour $x_1, x_2 \in \mathcal{C}^1(I, E)$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$, $$ \begin{aligned} L(\lambda x_1 + \mu x_2) &= (\lambda x_1 + \mu x_2)' - a \cdot (\lambda x_1 + \mu x_2) && \\ &= \lambda x_1' + \mu x_2' - \lambda(a \cdot x_1) - \mu(a \cdot x_2) && \text{(linéarité de $'$ et de $a \cdot$)} \\ &= \lambda L(x_1) + \mu L(x_2). && \end{aligned} $$

Theorem — Structure de l'ensemble des solutions

L'ensemble $\mathcal{S}_0 = \ker L$ des solutions de $(E_0)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}^1(I, E)$. Le théorème de Cauchy linéaire du \S 1.2 garantit que $(E)$ admet au moins une solution $\varphi_p$, et l'ensemble $\mathcal{S}$ des solutions de $(E)$ est alors le sous-espace affine $$ \mathcal{S} = \varphi_p + \mathcal{S}_0. $$

Preuve

$\mathcal{S}_0$ est le noyau de l'application linéaire $L$, donc un sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}^1(I, E)$. L'existence d'une solution particulière $\varphi_p$ est le théorème de Cauchy linéaire appliqué à une condition initiale quelconque (par exemple $(t_0 \,;\, 0)$ pour un $t_0 \in I$ fixé). Pour la description affine : une fonction $\varphi$ résout $(E)$ ssi $L(\varphi) = b = L(\varphi_p)$, ssi $L(\varphi - \varphi_p) = 0$, ssi $\varphi - \varphi_p \in \mathcal{S}_0$, ssi $\varphi \in \varphi_p + \mathcal{S}_0$.

Proposition — Principe de superposition

Soit $b_1, b_2 \in \mathcal{C}(I, E)$ et $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{K}$. Si $\varphi_i$ est une solution de $x' = a(t) \cdot x + b_i(t)$ pour $i = 1, 2$, alors $\lambda_1 \varphi_1 + \lambda_2 \varphi_2$ est une solution de $x' = a(t) \cdot x + (\lambda_1 b_1 + \lambda_2 b_2)(t)$.

Preuve

Linéarité de $L$ : $L(\lambda_1 \varphi_1 + \lambda_2 \varphi_2) = \lambda_1 L(\varphi_1) + \lambda_2 L(\varphi_2) = \lambda_1 b_1 + \lambda_2 b_2$.

Theorem — Dimension de l'espace des solutions

Fixons $t_0 \in I$. L'application d'évaluation en $t_0$, $$ \delta_{t_0} \colon \mathcal{S}_0 \to E, \quad \varphi \mapsto \varphi(t_0), $$ est un isomorphisme linéaire. En particulier, $$ \dim \mathcal{S}_0 = \dim E. $$

Preuve

$\delta_{t_0}$ est linéaire. Pour la bijectivité, appliquons le théorème de Cauchy linéaire du \S 1.2 avec $b = 0$ (le cas homogène est un cas particulier de l'énoncé inhomogène) : pour tout $x_0 \in E$, il existe une et une seule $\varphi \in \mathcal{S}_0$ avec $\varphi(t_0) = x_0$ --- l'existence donne la surjectivité, l'unicité l'injectivité. Donc $\delta_{t_0}$ est un isomorphisme de $\mathbb{K}$-espaces vectoriels, et $\dim \mathcal{S}_0 = \dim E$.

Définition — Système fondamental de solutions

Un système fondamental de solutions de $(E_0)$ est une base $(\varphi_1, \ldots, \varphi_n)$ de l'espace des solutions $\mathcal{S}_0$, où $n = \dim E$.

Proposition — Caractérisation d'un système fondamental

Soit $(\varphi_1, \ldots, \varphi_n)$ une famille d'éléments de $\mathcal{S}_0$ avec $n = \dim E$. Les assertions suivantes sont équivalentes :

[(i)] $(\varphi_1, \ldots, \varphi_n)$ est un système fondamental ;
[(ii)] il existe $t_0 \in I$ tel que $\bigl(\varphi_1(t_0) \,;\, \ldots \,;\, \varphi_n(t_0)\bigr)$ soit une base de $E$ ;
[(iii)] pour tout $t \in I$, $\bigl(\varphi_1(t) \,;\, \ldots \,;\, \varphi_n(t)\bigr)$ est une base de $E$.

Preuve

Pour tout $t \in I$, l'isomorphisme $\delta_t \colon \mathcal{S}_0 \to E$ envoie base sur base (et réciproquement). Donc $(\varphi_1, \ldots, \varphi_n)$ est une base de $\mathcal{S}_0$ ssi $(\delta_t(\varphi_1) \,;\, \ldots \,;\, \delta_t(\varphi_n)) = (\varphi_1(t) \,;\, \ldots \,;\, \varphi_n(t))$ est une base de $E$. Cela donne (i) $\iff$ (ii) (pour un $t$ donné) et (i) $\iff$ (iii) (pour tout $t$), d'où l'équivalence à trois branches.

Exemple — Un système homogène plan$\virgule$ à nouveau

Pour le système plan $x' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot x$ sur $E = \mathbb{R}^2$, le théorème de la dimension donne $\dim \mathcal{S}_0 = 2$. Les deux solutions $\varphi_1 \colon t \mapsto (\cos t \,;\, -\sin t)$ et $\varphi_2 \colon t \mapsto (\sin t \,;\, \cos t)$ prennent en $t = 0$ les valeurs $\varphi_1(0) = (1 \,;\, 0)$ et $\varphi_2(0) = (0 \,;\, 1)$ --- la base canonique de $\mathbb{R}^2$. Par la caractérisation ci-dessus, $(\varphi_1, \varphi_2)$ est un système fondamental, et la solution générale du système est la combinaison linéaire $t \mapsto \lambda_1 \varphi_1(t) + \lambda_2 \varphi_2(t)$ avec $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$.

L'image géométrique du théorème de Cauchy linéaire est frappante : dans le bandeau $I \times E$, les courbes intégrales de $(E)$ forment un feuilletage --- par chaque point passe exactement une courbe, et deux courbes distinctes ne se rencontrent jamais.

Par le point $(t_0 \,;\, x_0)$ passe exactement une courbe intégrale ; deux courbes distinctes ne se croisent jamais.

Méthode — Démontrer qu'une famille est un système fondamental

Pour démontrer que $(\varphi_1, \ldots, \varphi_n)$ avec $n = \dim E$ est un système fondamental de $(E_0)$ :

exhiber les $n$ fonctions et vérifier que chacune résout $(E_0)$ ;
choisir un $t_0 \in I$ commode et vérifier que $\bigl(\varphi_1(t_0) \,;\, \ldots \,;\, \varphi_n(t_0)\bigr)$ est une base de $E$ (par exemple en calculant un déterminant dans une base de $E$).

Comme $\dim \mathcal{S}_0 = n$, une alternative est d'exhiber $n$ solutions et de vérifier que la famille est libre de cardinal $n$ dans $\mathcal{S}_0$ : une famille libre du bon cardinal dans un espace de dimension $n$ est une base.

Compétences à pratiquer

Utiliser la structure de l'ensemble des solutions

I.4 Systèmes matriciels et équation scalaire d'ordre deux comme système plan

Deux reformulations de $(E)$ sont utiles et concrètes. La première : une base de $E$ transforme l'équation abstraite en un système matriciel $X' = A(t)X + B(t)$. La seconde : une équation scalaire d'ordre deux devient un système plan d'ordre un, via sa matrice compagnon. Ce second cas est le pont vers \S 2.

Définition — Système différentiel linéaire

Soit $n \ge 1$, $A \in \mathcal{C}(I, \mathcal{M}_n(\mathbb{K}))$ et $B \in \mathcal{C}(I, \mathbb{K}^n)$. Le système différentiel linéaire associé à $A$ et $B$ est $$ (\Sigma)\colon \quad X' = A(t)\,X + B(t), $$ où l'inconnue est une application $\mathcal{C}^1$ à valeurs colonnes $X \colon I \to \mathbb{K}^n$.

Exemple — Lire un système sur ses équations

Sur $I = \mathbb{R}$ et $n = 2$, le système $$ \begin{cases} x_1' = 2\,x_1 + t\,x_2 + 1, \\ x_2' = x_1 + \cos t \end{cases} $$ entre dans la définition avec $$ A(t) = \begin{pmatrix} 2 & t \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B(t) = \begin{pmatrix} 1 \\ \cos t \end{pmatrix}, $$ toutes deux continues sur $\mathbb{R}$. L'inconnue colonne $X = (x_1 \,;\, x_2)$ est à chercher dans $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}, \mathbb{R}^2)$. La matrice $A$ est non constante (le coefficient $a_{12}(t) = t$ dépend de $t$), donc c'est un véritable système à coefficients variables ; le théorème de Cauchy linéaire du \S 1.2, transporté par la proposition ci-dessous, produira une et une seule solution par condition initiale $X(t_0) = X_0 \in \mathbb{R}^2$.

Proposition — Équation $\Leftrightarrow$ système

Fixons une base $\mathcal{B}$ de $E$. Une application $\varphi \colon I \to E$ résout $(E)\colon x' = a(t) \cdot x + b(t)$ si et seulement si sa colonne de coordonnées $X \colon I \to \mathbb{K}^n$ dans $\mathcal{B}$ résout $$ X' = A(t)\,X + B(t), $$ où $A(t)$ est la matrice de $a(t)$ dans $\mathcal{B}$ et $B(t)$ la colonne des coordonnées de $b(t)$ dans $\mathcal{B}$.

Preuve

Lecture de $(E)$ coordonnée par coordonnée dans $\mathcal{B}$ : pour $\varphi(t) = \sum_j X_j(t)\,e_j$, la dérivée est $\varphi'(t) = \sum_j X_j'(t)\,e_j$. Le second membre $a(t) \cdot \varphi(t) + b(t)$ a pour colonne de coordonnées $A(t)\,X(t) + B(t)$. L'équation $\varphi'(t) = a(t) \cdot \varphi(t) + b(t)$ est satisfaite pour tout $t$ ssi les colonnes de coordonnées coïncident pour tout $t$, ssi $X'(t) = A(t)\,X(t) + B(t)$.

Proposition — Équation scalaire d'ordre deux $\Leftrightarrow$ système plan d'ordre un

Soit $a_0, a_1, b \in \mathcal{C}(I, \mathbb{K})$. L'équation scalaire d'ordre deux $$ x'' + a_1(t)\,x' + a_0(t)\,x = b(t) $$ et le système plan d'ordre un $$ X' = A(t)\,X + B(t) \quad \text{avec} \quad A(t) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -a_0(t) & -a_1(t) \end{pmatrix}, \quad B(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ b(t) \end{pmatrix} $$ sont équivalents au sens suivant :

[(i)] si $\varphi$ est une solution $\mathcal{C}^2$ de l'équation scalaire, alors $\Phi = (\varphi \,;\, \varphi')$ est une solution $\mathcal{C}^1$ du système plan ;
[(ii)] réciproquement, toute solution $\mathcal{C}^1$ $X = (u \,;\, v)$ du système plan vérifie automatiquement $v = u'$ (par la première ligne), donc $u$ est $\mathcal{C}^2$ et résout l'équation scalaire.

La correspondance $\varphi \leftrightarrow (\varphi \,;\, \varphi')$ est une bijection entre les deux ensembles de solutions.

Preuve

(i). Soit $\varphi$ une solution $\mathcal{C}^2$ de l'équation scalaire. Posons $\Phi = (\varphi \,;\, \varphi')$. Alors $\Phi$ est $\mathcal{C}^1$ (ses deux composantes sont $\mathcal{C}^2$ et $\mathcal{C}^1$ respectivement, donc au moins $\mathcal{C}^1$). La première composante de $\Phi'$ est $\varphi'$, qui coïncide avec la première composante de $A(t)\,\Phi(t) + B(t)$, à savoir $0 \cdot \varphi + 1 \cdot \varphi' + 0 = \varphi'$. La seconde composante de $\Phi'$ est $\varphi''$, qui par l'équation scalaire vaut $-a_0(t)\,\varphi - a_1(t)\,\varphi' + b(t)$ --- exactement la seconde composante de $A(t)\,\Phi(t) + B(t)$.
(ii). Réciproquement, soit $X = (u \,;\, v)$ une solution $\mathcal{C}^1$ du système plan. La première ligne de $X' = A(t)\,X + B(t)$ s'écrit $u' = v$. Comme $X$ est $\mathcal{C}^1$, sa composante $v$ est $\mathcal{C}^1$ ; et $u' = v$, donc $u'$ est $\mathcal{C}^1$, donc $u$ est $\mathcal{C}^2$. La seconde ligne donne $v' = -a_0(t)\,u - a_1(t)\,v + b(t)$ ; en substituant $v = u'$, on obtient $u'' = -a_0(t)\,u - a_1(t)\,u' + b(t)$, soit $u'' + a_1(t)\,u' + a_0(t)\,u = b(t)$ --- l'équation scalaire.

Exemple — L'oscillateur harmonique comme système plan

L'équation scalaire $x'' + \omega^2 x = 0$ (avec $\omega \in \mathbb{R}^*$ constant) est le cas d'ordre deux de la proposition, avec $a_1 = 0$, $a_0 = \omega^2$, $b = 0$. Son système compagnon s'écrit $$ X' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\omega^2 & 0 \end{pmatrix} \cdot X. $$ Les théorèmes de structure du \S 1.3 appliqués à ce système plan donnent $\dim \mathcal{S}_0 = 2$, et la résolution à coefficients constants (MPSI) fournit la base $(\cos(\omega t) \,;\, \sin(\omega t))$ des solutions scalaires, autrement dit $((\cos(\omega t) \,;\, -\omega \sin(\omega t)) \,;\, (\sin(\omega t) \,;\, \omega \cos(\omega t)))$ sous forme plane.

Méthode — Ramener une équation d'ordre deux à un système plan

Étant donnée une équation scalaire d'ordre deux $x'' + a_1(t)\,x' + a_0(t)\,x = b(t)$, posons $X = (x, x')$. La proposition ci-dessus transforme le problème d'ordre deux en le système plan d'ordre un $$ X' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -a_0(t) & -a_1(t) \end{pmatrix}\,X + \begin{pmatrix} 0 \\ b(t) \end{pmatrix}, $$ auquel s'applique la théorie générale du \S 1.2--1.3 avec $\dim E = 2$. L'étape de remontée en régularité (ii) de la proposition est le pont qui transforme une solution plane $\mathcal{C}^1$ en une solution scalaire $\mathcal{C}^2$.

Compétences à pratiquer

Ramener une équation d'ordre deux à un système plan

II Équations différentielles linéaires scalaires d'ordre deux

II.1 L'équation d'ordre deux et son espace de solutions

Le cas que le programme distingue. Les coefficients sont désormais autorisés à varier avec $t$ --- une généralisation stricte du cas à coefficients constants traité en MPSI. L'espace des solutions de l'équation homogène est un plan dans $\mathcal{C}^2(I, \mathbb{K})$, et l'ensemble complet des solutions de l'équation inhomogène est un plan translaté par une solution particulière.

Définition — Équation différentielle linéaire scalaire d'ordre deux

Soit $a_0, a_1, b \in \mathcal{C}(I, \mathbb{K})$. L'équation différentielle linéaire scalaire d'ordre deux normalisée est $$ (E)\colon \quad x'' + a_1(t)\,x' + a_0(t)\,x = b(t). $$ Une solution de $(E)$ sur $I$ est une application $x \colon I \to \mathbb{K}$ de classe $\mathcal{C}^2$ vérifiant $(E)$. L'équation homogène associée est $$ (E_0)\colon \quad x'' + a_1(t)\,x' + a_0(t)\,x = 0. $$

Theorem — Théorème de Cauchy et structure$\virgule$ ordre deux

Pour tout $(t_0 \,;\, x_0 \,;\, x_1) \in I \times \mathbb{K} \times \mathbb{K}$, le problème de Cauchy $$ \begin{cases} x'' + a_1(t)\,x' + a_0(t)\,x = b(t), \\ x(t_0) = x_0, \quad x'(t_0) = x_1 \end{cases} $$ admet une et une seule solution, définie sur tout $I$. L'espace des solutions $\mathcal{S}_0$ de $(E_0)$ est de dimension $2$ sur $\mathbb{K}$ (un $\mathbb{K}$-plan), et l'ensemble des solutions de $(E)$ est le plan affine $\mathcal{S} = \varphi_p + \mathcal{S}_0$ pour toute solution particulière $\varphi_p$.

Preuve

La proposition du \S 1.4 transforme le problème de Cauchy d'ordre deux en le problème de Cauchy plan $$ \begin{cases} X' = A(t)\,X + B(t), \\ X(t_0) = (x_0 \,;\, x_1) \end{cases} $$ de matrice compagnon. Par le théorème de Cauchy linéaire du \S 1.2 (appliqué au système plan sur $E = \mathbb{K}^2$), ce problème plan a une unique solution $\mathcal{C}^1$ $X = (u \,;\, v)$ sur $I$. Par l'étape de remontée en régularité (ii) de la proposition du \S 1.4, $u$ est automatiquement $\mathcal{C}^2$ et résout l'équation scalaire avec $u(t_0) = x_0$, $u'(t_0) = v(t_0) = x_1$ --- existence et unicité du problème scalaire s'ensuivent. Pour la structure, la bijection $\varphi \leftrightarrow (\varphi \,;\, \varphi')$ identifie le $\mathcal{S}_0$ scalaire au $\mathcal{S}_0$ plan, et le plan a pour dimension $\dim \mathbb{K}^2 = 2$ par le théorème de la dimension du \S 1.3. La description affine $\mathcal{S} = \varphi_p + \mathcal{S}_0$ est le théorème de structure du \S 1.3.

Proposition — Isomorphisme d'évaluation scalaire d'ordre deux

Fixons $t_0 \in I$. L'application d'évaluation $$ \delta_{t_0} \colon \mathcal{S}_0 \to \mathbb{K}^2, \quad \varphi \mapsto \bigl(\varphi(t_0) \,;\, \varphi'(t_0)\bigr) $$ est un isomorphisme linéaire de $\mathbb{K}$-espaces vectoriels. En particulier $\dim \mathcal{S}_0 = 2$.

Preuve

La linéarité de $\delta_{t_0}$ est directe. La bijectivité est le théorème de Cauchy établi à l'instant : pour tout couple $(x_0 \,;\, x_1) \in \mathbb{K}^2$, il existe une et une seule $\varphi \in \mathcal{S}_0$ avec $\varphi(t_0) = x_0$, $\varphi'(t_0) = x_1$.

Exemple — Le cas à coefficients constants retrouvé

Pour $a_1 = 0$ et $a_0 = 1$ constants, l'équation homogène est $x'' + x = 0$. La résolution de la MPSI donne $\mathcal{S}_0 = \mathrm{Vect}(\cos, \sin)$. En effet $\cos$ et $\sin$ sont $\mathcal{C}^2$ et résolvent l'équation ; le couple $(\cos, \sin)$ prend en $t = 0$ les valeurs $(\cos 0 \,;\, \cos'(0)) = (1 \,;\, 0)$ et $(\sin 0 \,;\, \sin'(0)) = (0 \,;\, 1)$ --- la base canonique de $\mathbb{K}^2$. Par la caractérisation du \S 1.3 (transportée par l'isomorphisme d'évaluation d'ordre deux), $(\cos, \sin)$ est un système fondamental de $(E_0)$.

Proposition — Zéros isolés

Soit $\varphi$ une solution non nulle de $(E_0)$ sur $I$. Les zéros de $\varphi$ sont isolés : pour tout $t_0 \in I$ avec $\varphi(t_0) = 0$, il existe un voisinage de $t_0$ dans $I$ (bilatéral si $t_0$ est intérieur à $I$, unilatéral si $t_0$ est extrémité) sur lequel $\varphi$ ne s'annule qu'en $t_0$.

Preuve

En un zéro $t_0$ de $\varphi$, $\varphi'(t_0) \ne 0$ --- sinon la donnée de Cauchy $(\varphi(t_0) \,;\, \varphi'(t_0)) = (0 \,;\, 0)$ forcerait (par unicité) $\varphi \equiv 0$ sur $I$, contredisant l'hypothèse. Le développement de Taylor-Young de $\varphi$ en $t_0$ comme fonction de la variable réelle $t$ à valeurs $\mathbb{K}$ s'écrit $\varphi(t) = \varphi'(t_0)\,(t - t_0) + (t - t_0)\,\varepsilon(t)$ avec $\varepsilon(t) \to 0$ quand $t \to t_0$. Pour $|t - t_0|$ assez petit, $|\varepsilon(t)| < |\varphi'(t_0)|/2$, d'où $$ \left| \frac{\varphi(t)}{t - t_0} \right| \ge |\varphi'(t_0)| - |\varepsilon(t)| > \frac{|\varphi'(t_0)|}{2} > 0, $$ donc $\varphi(t) \ne 0$ sur un voisinage épointé de $t_0$ dans $I$. L'argument est valable dans $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

Méthode — Cadrer un problème d'ordre deux

Face à une équation scalaire d'ordre deux $x'' + a_1(t)\,x' + a_0(t)\,x = b(t)$ :

identifier $a_0, a_1, b$ et l'intervalle de travail $I$ sur lequel elles sont continues ;
par le théorème ci-dessus, l'espace des solutions homogènes $\mathcal{S}_0$ est un $\mathbb{K}$-plan, et l'ensemble complet $\mathcal{S}$ est un plan translaté par une solution particulière $\varphi_p$ ;
la recherche d'un système fondamental de $(E_0)$ et d'une solution particulière de $(E)$ est alors tout le travail --- c'est ce que \S 2.2--2.4 rend opérationnel.

Compétences à pratiquer

Caractériser l'espace des solutions d'une équation d'ordre deux

II.2 Le wronskien

Un déterminant deux par deux qui détecte si deux solutions de $(E_0)$ forment une base du plan des solutions. Sa propriété clé : comme fonction de $t$, le wronskien résout une équation scalaire d'ordre un, donc il est soit identiquement nul soit jamais nul sur $I$.

Définition — Wronskien

Soit $\varphi_1, \varphi_2 \colon I \to \mathbb{K}$ dérivables. Le wronskien du couple $(\varphi_1, \varphi_2)$ est la fonction $$ W_{\varphi_1, \varphi_2} \colon I \to \mathbb{K}, \quad t \mapsto \det \begin{pmatrix} \varphi_1(t) & \varphi_2(t) \\ \varphi_1'(t) & \varphi_2'(t) \end{pmatrix} = \varphi_1(t)\,\varphi_2'(t) - \varphi_1'(t)\,\varphi_2(t). $$

Proposition — Équation différentielle du wronskien

Soit $(\varphi_1, \varphi_2) \in \mathcal{S}_0^2$ un couple de solutions de $(E_0)$. Le wronskien $W = W_{\varphi_1, \varphi_2}$ vérifie $$ W'(t) = -a_1(t)\,W(t) \quad \text{sur } I. $$ Donc $W = \lambda \exp(-A_1)$ pour une constante $\lambda \in \mathbb{K}$, où $A_1$ est une primitive de $a_1$. En particulier $W$ est soit identiquement nul soit jamais nul sur $I$.

Preuve

Dérivons $W = \varphi_1 \varphi_2' - \varphi_1' \varphi_2$. Les deux $\varphi_i$ sont $\mathcal{C}^2$, donc $W$ est dérivable : $$ \begin{aligned} W'(t) &= \varphi_1'\varphi_2' + \varphi_1\varphi_2'' - \varphi_1''\varphi_2 - \varphi_1'\varphi_2' && \\ &= \varphi_1\varphi_2'' - \varphi_1''\varphi_2. && \end{aligned} $$ Substituons $\varphi_i'' = -a_1\,\varphi_i' - a_0\,\varphi_i$ (puisque $\varphi_i \in \mathcal{S}_0$) : $$ \begin{aligned} W'(t) &= \varphi_1\bigl(-a_1\varphi_2' - a_0\varphi_2\bigr) - \bigl(-a_1\varphi_1' - a_0\varphi_1\bigr)\varphi_2 && \\ &= -a_1\bigl(\varphi_1\varphi_2' - \varphi_1'\varphi_2\bigr) - a_0\bigl(\varphi_1\varphi_2 - \varphi_1\varphi_2\bigr) && \\ &= -a_1\,W. && \end{aligned} $$ L'équation $W' = -a_1 W$ est une équation scalaire d'ordre un linéaire homogène ; par la formule explicite de la MPSI, sa solution générale est $W(t) = \lambda \exp\!\bigl(-A_1(t)\bigr)$ avec $\lambda \in \mathbb{K}$ et $A_1$ une primitive de $a_1$. Comme $\exp \ne 0$, $W$ est soit identiquement nul ($\lambda = 0$) soit jamais nul ($\lambda \ne 0$).

Proposition — Le wronskien détecte un système fondamental

Soit $(\varphi_1, \varphi_2) \in \mathcal{S}_0^2$. Les assertions suivantes sont équivalentes :

[(i)] $(\varphi_1, \varphi_2)$ est un système fondamental de $(E_0)$ ;
[(ii)] il existe $t_0 \in I$ avec $W(t_0) \ne 0$ ;
[(iii)] pour tout $t \in I$, $W(t) \ne 0$.

Preuve

(ii) $\iff$ (iii). C'est la dichotomie de la proposition précédente : le wronskien $W$ est soit identiquement nul soit jamais nul sur $I$, donc une non-annulation en un point $t_0$ se propage à tout point, et réciproquement.
(i) $\iff$ (ii). Fixons $t_0 \in I$. Par l'isomorphisme d'évaluation d'ordre deux $\delta_{t_0} \colon \mathcal{S}_0 \to \mathbb{K}^2$, $\varphi \mapsto (\varphi(t_0) \,;\, \varphi'(t_0))$, le couple $(\varphi_1, \varphi_2)$ est une base de $\mathcal{S}_0$ ssi $(\delta_{t_0}(\varphi_1) \,;\, \delta_{t_0}(\varphi_2)) = ((\varphi_1(t_0) \,;\, \varphi_1'(t_0)) \,;\, (\varphi_2(t_0) \,;\, \varphi_2'(t_0)))$ est une base de $\mathbb{K}^2$, ssi le déterminant $$ \det \begin{pmatrix} \varphi_1(t_0) & \varphi_2(t_0) \\ \varphi_1'(t_0) & \varphi_2'(t_0) \end{pmatrix} = W(t_0) $$ est non nul.

Exemple — Le wronskien de $\cos$ et $\sin$

Pour l'équation $x'' + x = 0$, le couple $(\cos, \sin)$ a pour wronskien $$ W_{\cos, \sin}(t) = \cos t \cdot \cos t - (-\sin t) \cdot \sin t = \cos^2 t + \sin^2 t = 1. $$ Il est non nul (constant égal à $1$), donc $(\cos, \sin)$ est un système fondamental. La constance de $W$ est cohérente avec la proposition : ici $a_1 = 0$, donc $W' = -a_1 W = 0$.

Exemple — Lorsque $a_1 \equal 0$$\virgule$ le wronskien est constant

Pour une équation de la forme $x'' + a_0(t)\,x = 0$ (sans terme en $x'$, $a_1 \equiv 0$) : pour tout couple $(\varphi_1, \varphi_2) \in \mathcal{S}_0^2$, $W' = -a_1 W = 0$, donc $W$ est constant sur $I$. Pour vérifier si $(\varphi_1, \varphi_2)$ est un système fondamental, évaluer $W$ en un $t_0$ commode --- la valeur en un point est la valeur en tout point.

Méthode — Tester un système fondamental par le wronskien

Étant données deux solutions connues $\varphi_1, \varphi_2 \in \mathcal{S}_0$ de $(E_0)$, calculer le wronskien $$ W(t) = \varphi_1(t)\,\varphi_2'(t) - \varphi_1'(t)\,\varphi_2(t) $$ en un point commode $t_0 \in I$. Si $W(t_0) \ne 0$ : $(\varphi_1, \varphi_2)$ est un système fondamental de $(E_0)$, et la solution générale homogène est $\lambda_1 \varphi_1 + \lambda_2 \varphi_2$ avec $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{K}$. Si $W(t_0) = 0$ : $W$ est identiquement nul sur $I$, et $(\varphi_1, \varphi_2)$ est liée.

Compétences à pratiquer

Calculer un wronskien

II.3 La méthode de variation des constantes

Un système fondamental de l'équation homogène $(E_0)$ étant connu, la méthode de variation des constantes produit une solution particulière de l'équation complète $(E)$. L'astuce de la méthode : remplacer les constantes $\lambda_1, \lambda_2$ de la combinaison homogène par des fonctions de $t$, et imposer une relation commode entre elles.

Theorem — Variation des constantes$\virgule$ ordre deux

Soit $(\varphi_1, \varphi_2)$ un système fondamental de $(E_0)$ de wronskien $W$ (non nul sur $I$). Le système de Cramer $$ \begin{cases} \lambda_1'\,\varphi_1 + \lambda_2'\,\varphi_2 = 0, \\ \lambda_1'\,\varphi_1' + \lambda_2'\,\varphi_2' = b \end{cases} $$ a pour déterminant $W \ne 0$, et son unique solution est $$ \lambda_1' = -\frac{b\,\varphi_2}{W}, \quad \lambda_2' = \frac{b\,\varphi_1}{W}. $$ Les deux seconds membres sont continus sur $I$ (quotients de fonctions continues à dénominateur non nul), donc tout couple $(\lambda_1, \lambda_2)$ de primitives est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ ; l'application $$ \varphi = \lambda_1\,\varphi_1 + \lambda_2\,\varphi_2 $$ est alors $\mathcal{C}^2$ et est une solution particulière de $(E)$. Deux choix de primitives diffèrent par un élément de $\mathcal{S}_0$, donc fournissent le même ensemble de solutions affine $\mathcal{S} = \varphi + \mathcal{S}_0$.

Preuve

Posons $\varphi = \lambda_1\varphi_1 + \lambda_2\varphi_2$ avec $\lambda_1, \lambda_2$ dérivables. Dérivons : $$ \varphi' = \lambda_1'\varphi_1 + \lambda_2'\varphi_2 + \lambda_1\varphi_1' + \lambda_2\varphi_2'. $$ Imposons la première relation de Cramer $\lambda_1'\varphi_1 + \lambda_2'\varphi_2 = 0$. Alors $\varphi' = \lambda_1\varphi_1' + \lambda_2\varphi_2'$. Dérivons à nouveau : $$ \varphi'' = \lambda_1'\varphi_1' + \lambda_2'\varphi_2' + \lambda_1\varphi_1'' + \lambda_2\varphi_2''. $$ Substituons dans $(E)$ : $$ \begin{aligned} \varphi'' + a_1\varphi' + a_0\varphi &= \lambda_1'\varphi_1' + \lambda_2'\varphi_2' + \lambda_1\bigl(\varphi_1'' + a_1\varphi_1' + a_0\varphi_1\bigr) + \lambda_2\bigl(\varphi_2'' + a_1\varphi_2' + a_0\varphi_2\bigr) && \\ &= \lambda_1'\varphi_1' + \lambda_2'\varphi_2', && \text{(les deux $\varphi_i \in \mathcal{S}_0$)} \end{aligned} $$ ce qui vaut $b$ ssi la seconde relation de Cramer $\lambda_1'\varphi_1' + \lambda_2'\varphi_2' = b$ est satisfaite. Le système de Cramer a pour déterminant $W \ne 0$ et solution $\lambda_1' = -b\varphi_2/W$, $\lambda_2' = b\varphi_1/W$. L'argument de continuité pour la régularité de $\varphi$ est celui énoncé.

Exemple — Le second membre tangente $x'' + x \equal \tan t$

Prenons $a_1 = 0$, $a_0 = 1$, $b(t) = \tan t$ sur $I = \,]{-}\pi/2 \,;\, \pi/2[$. L'équation homogène $x'' + x = 0$ admet $(\cos, \sin)$ pour système fondamental (exemple ci-dessus), de wronskien $W = 1$. Les formules de Cramer donnent $$ \lambda_1'(t) = -\frac{\tan t \cdot \sin t}{1} = -\frac{\sin^2 t}{\cos t}, \qquad \lambda_2'(t) = \frac{\tan t \cdot \cos t}{1} = \sin t. $$ Une primitive de $\lambda_2'$ est $\lambda_2(t) = -\cos t$. Pour $\lambda_1'$, calculons $\sin^2 t / \cos t = (1 - \cos^2 t)/\cos t = 1/\cos t - \cos t$. Une primitive de $1/\cos t$ sur $\,]{-}\pi/2 \,;\, \pi/2[$ est $t \mapsto \ln\!\bigl((1+\sin t)/\cos t\bigr)$ (l'argument y est positif ; classique, rappelée de la MPSI), donc une primitive de $\sin^2 t / \cos t$ est $\ln\!\bigl((1+\sin t)/\cos t\bigr) - \sin t$, et par conséquent une primitive de $\lambda_1'(t) = -\sin^2 t/\cos t$ est $\lambda_1(t) = -\ln\!\bigl((1+\sin t)/\cos t\bigr) + \sin t$. Une solution particulière est donc $$ \varphi(t) = \lambda_1(t)\,\cos t + \lambda_2(t)\,\sin t = -\cos t \cdot \ln\!\left(\frac{1 + \sin t}{\cos t}\right) $$ sur $\,]{-}\pi/2 \,;\, \pi/2[$ (les termes $\sin t \cos t$ provenant de $\lambda_1$ et $\lambda_2$ se compensent).

Exemple — Une équation de Cauchy-Euler avec second membre

Prenons $t^2 x'' - 2 t x' + 2 x = t^3$ sur $I = \,]0 \,;\, +\infty[$. Divisons par $t^2$ (légitime puisque $t > 0$) pour normaliser : $x'' - (2/t)\,x' + (2/t^2)\,x = t$. Donc $a_1 = -2/t$, $a_0 = 2/t^2$, $b = t$. L'équation homogène $t^2 x'' - 2 t x' + 2 x = 0$ admet des solutions puissances $x = t^a$ avec $a(a-1) - 2a + 2 = 0$, soit $a^2 - 3a + 2 = 0$, $a \in \{1, 2\}$. Donc $\varphi_1(t) = t$ et $\varphi_2(t) = t^2$ sont solutions ; le wronskien est $$ W = \varphi_1 \varphi_2' - \varphi_1' \varphi_2 = t \cdot 2t - 1 \cdot t^2 = t^2 \ne 0 \quad \text{sur } I, $$ donc $(\varphi_1, \varphi_2)$ est un système fondamental. Avec $b(t) = t$, les formules de Cramer donnent $$ \lambda_1'(t) = -\frac{t \cdot t^2}{t^2} = -t, \qquad \lambda_2'(t) = \frac{t \cdot t}{t^2} = 1. $$ Primitives : $\lambda_1(t) = -t^2/2$, $\lambda_2(t) = t$. Une solution particulière est donc $$ \varphi_p(t) = \lambda_1\,\varphi_1 + \lambda_2\,\varphi_2 = -\frac{t^2}{2} \cdot t + t \cdot t^2 = \frac{t^3}{2}, $$ et la solution générale de l'équation complète est $t \mapsto t^3/2 + \alpha t + \beta t^2$ avec $\alpha, \beta \in \mathbb{K}$.

Méthode — Appliquer la variation des constantes

Étant donnée $(E)\colon x'' + a_1(t)\,x' + a_0(t)\,x = b(t)$ sur $I$ :

[(1)] trouver un système fondamental $(\varphi_1, \varphi_2)$ de $(E_0)$ (par inspection, par la résolution à coefficients constants de la MPSI, par une des techniques du \S 2.4, \ldots) ;
[(2)] calculer le wronskien $W$ en un point pour confirmer qu'il est non nul --- la dichotomie assure alors $W \ne 0$ sur tout $I$ ;
[(3)] résoudre le système de Cramer : $\lambda_1' = -b\,\varphi_2/W$, $\lambda_2' = b\,\varphi_1/W$ ;
[(4)] primitiver $\lambda_1'$ et $\lambda_2'$ pour obtenir $\lambda_1$ et $\lambda_2$ (n'importe quel choix de primitives convient) ;
[(5)] la solution particulière est $\varphi_p = \lambda_1 \varphi_1 + \lambda_2 \varphi_2$, et la solution générale de $(E)$ est $\mathcal{S} = \varphi_p + \mathcal{S}_0$.

Compétences à pratiquer

Appliquer la variation des constantes

II.4 Techniques de résolution

Lorsque aucun système fondamental de $(E_0)$ n'est fourni, trois techniques d'exemples-types pour l'équation d'ordre deux --- appliquées pragmatiquement au cas par cas, non énoncées comme théorèmes généraux : la recherche d'une solution polynomiale (quand les coefficients sont polynomiaux), la réduction d'ordre à partir d'une solution non nulle connue, et un changement de variable qui ramène l'équation à coefficients constants.

Méthode — Chercher une solution polynomiale --- heuristique par l'exemple

Sur une équation d'ordre deux normalisée à coefficients polynomiaux, injecter un ansatz $P(t) = \sum_{k=0}^{d} a_k\,t^k$ de degré provisoire $d$, avec $a_d \ne 0$. Développer et identifier les coefficients de $t^k$ : un système linéaire fini sur $(a_k)$ en résulte. Deux issues :

le système fixe $d$ par un argument de degré sur le terme dominant, et les coefficients restants sont déterminés par une récurrence finie --- les solutions polynomiales sont alors explicitement connues ;
ou bien la comparaison du terme dominant est incompatible avec $a_d \ne 0$, et aucune solution polynomiale de ce degré n'existe --- l'analyse peut alors être relancée pour tout autre degré candidat.

La technique est une heuristique appliquée au cas par cas, non un théorème général.

Exemple — Une solution polynomiale de $x'' - 2 t x' + 2 x \equal 0$

Prenons l'équation normalisée $x'' - 2 t x' + 2 x = 0$ sur $\mathbb{R}$. Injectons un polynôme $P(t) = \sum_{k=0}^{d} a_k t^k$ de degré $d \ge 0$ avec $a_d \ne 0$. La contribution de plus haut degré de $P'' - 2 t P' + 2 P$ est le terme en $t^d$ : $P''$ contribue au degré $d - 2$ (négligeable), $-2 t P'$ contribue $-2 d\,a_d\,t^d$, et $2 P$ contribue $2\,a_d\,t^d$. Le terme dominant est donc $2(1 - d)\,a_d\,t^d$. Pour que $P$ résolve l'équation, ce terme doit s'annuler ; avec $a_d \ne 0$, la seule option est $d = 1$.
Donc $P(t) = a_0 + a_1 t$ avec $a_1 \ne 0$. En substituant : $$ P'' - 2 t P' + 2 P = 0 - 2 t\,a_1 + 2(a_0 + a_1 t) = 2\,a_0, $$ qui s'annule ssi $a_0 = 0$. Les solutions polynomiales sont exactement les multiples scalaires de $\varphi(t) = t$. (C'est le cas $n = 1$ de la famille d'Hermite $x'' - 2 t x' + 2 n x = 0$ pour $n \in \mathbb{N}$, dont les solutions polynomiales sont les polynômes d'Hermite de degré $n$ --- un schéma classique.)

Méthode — Réduire l'ordre connaissant une solution

La route prépa-tradition par substitution et annulation. Étant donnée une solution connue $\varphi_1 \in \mathcal{S}_0$ ne s'annulant pas sur un sous-intervalle $J \subset I$, chercher une seconde solution sous la forme $\varphi = \varphi_1 \cdot z$ avec $z \colon J \to \mathbb{K}$ à déterminer. Calculons par Leibniz : $$ \varphi' = \varphi_1'\,z + \varphi_1\,z', \quad \varphi'' = \varphi_1''\,z + 2\,\varphi_1'\,z' + \varphi_1\,z''. $$ Substituons dans $(E_0)$ et collectons le coefficient de $z$ : $\varphi_1'' + a_1\,\varphi_1' + a_0\,\varphi_1 = 0$ puisque $\varphi_1 \in \mathcal{S}_0$, donc le terme en $z$ disparaît. Il reste $$ \varphi_1\,z'' + (2\,\varphi_1' + a_1\,\varphi_1)\,z' = 0, $$ une équation linéaire d'ordre un en l'inconnue $w = z'$. La résoudre (par séparation des variables ou par facteur intégrant), puis primitiver $w$ pour obtenir $z$, et former $\varphi_2 = \varphi_1 \cdot z$. Le piège classique est de s'arrêter à $z$ --- $z$ n'est pas la nouvelle solution ; la multiplication par $\varphi_1$ est nécessaire.

Exemple — Réduction d'ordre sur $x'' + x'/t - x/t^2 \equal 0$

Sur $I = \,]0 \,;\, +\infty[$, considérons $x'' + x'/t - x/t^2 = 0$. La fonction $\varphi_1(t) = t$ en est solution (vérification : $0 + 1/t - 1/t = 0$). Posons $\varphi = t\,z$. Alors $\varphi' = z + t\,z'$, $\varphi'' = 2\,z' + t\,z''$. Substituons : $$ \begin{aligned} \varphi'' + \frac{\varphi'}{t} - \frac{\varphi}{t^2} &= 2\,z' + t\,z'' + \frac{z + t\,z'}{t} - \frac{t\,z}{t^2} && \\ &= t\,z'' + 2\,z' + \frac{z}{t} + z' - \frac{z}{t} && \\ &= t\,z'' + 3\,z'. && \end{aligned} $$ L'équation s'écrit $t\,z'' + 3\,z' = 0$, soit $w' + (3/t)\,w = 0$ pour $w = z'$. La formule explicite de la MPSI donne $w(t) = C/t^3$ avec $C \in \mathbb{K}$. En primitivant, $z(t) = -C/(2 t^2) + D$ avec $D \in \mathbb{K}$. Le choix $(C \,;\, D) = (-2 \,;\, 0)$ donne $z(t) = 1/t^2$, d'où $\varphi_2(t) = t \cdot 1/t^2 = 1/t$. Cette $\varphi_2$ est indépendante de $\varphi_1 = t$, donc $(\varphi_1 \,;\, \varphi_2) = (t \,;\, 1/t)$ est un système fondamental sur $\,]0 \,;\, +\infty[$.

Méthode — Changement de variable

Étant donnée une application $\mathcal{C}^2$ $\theta \colon J \to I$ entre intervalles, bijective et de dérivée $\theta'$ ne s'annulant pas sur $J$ (alors $\theta^{-1}$ est automatiquement $\mathcal{C}^2$, ce qui fait de $\theta$ un $\mathcal{C}^2$-difféomorphisme), la substitution $u = \theta^{-1}(t)$ (soit $t = \theta(u)$) transporte une solution $\varphi \colon I \to \mathbb{K}$ de $(E)$ en la fonction $\psi = \varphi \circ \theta \colon J \to \mathbb{K}$. La règle de la chaîne donne $$ \psi'(u) = \theta'(u)\,\varphi'(\theta(u)), \quad \psi''(u) = \theta''(u)\,\varphi'(\theta(u)) + \bigl(\theta'(u)\bigr)^2\,\varphi''(\theta(u)). $$ En résolvant pour $\varphi', \varphi''$ en fonction de $\psi', \psi''$ et en substituant dans $(E)$, on obtient une équation d'ordre deux équivalente en $\psi$ sur $J$. Lorsque la nouvelle équation est à coefficients constants, on la résout par l'équation caractéristique de la MPSI ; le changement est inversé à la fin ($\varphi(t) = \psi(\theta^{-1}(t))$) pour récupérer $\varphi$.

Exemple — $t^2 x'' + 3 t x' + 4 x \equal t \ln t$ par $t \equal e^u$

Sur $I = \,]0 \,;\, +\infty[$, la division par $t^2$ (légitime puisque $t > 0$) normalise l'équation. Posons $\theta(u) = e^u$, un $\mathcal{C}^\infty$-difféomorphisme $\mathbb{R} \to \,]0 \,;\, +\infty[$, et $\psi(u) = \varphi(e^u)$. La règle de la chaîne donne $$ \psi'(u) = e^u\,\varphi'(e^u) = t\,\varphi'(t), \quad \psi''(u) = e^{2 u}\,\varphi''(e^u) + e^u\,\varphi'(e^u) = t^2\,\varphi''(t) + t\,\varphi'(t), $$ donc $t^2\,\varphi''(t) = \psi''(u) - \psi'(u)$. L'équation $t^2 \varphi'' + 3 t \varphi' + 4\varphi = t \ln t$ devient $$ \bigl(\psi'' - \psi'\bigr) + 3\,\psi' + 4\,\psi = u\,e^u, \quad \text{soit} \quad \psi'' + 2\,\psi' + 4\,\psi = u\,e^u. $$ C'est une équation d'ordre deux à coefficients constants en $u$, résolue par la méthode de la MPSI. L'équation caractéristique $r^2 + 2 r + 4 = 0$ a pour racines complexes conjuguées $r = -1 \pm i \sqrt{3}$, donc la solution générale homogène est $\psi_h(u) = e^{-u}\bigl(\lambda \cos(\sqrt{3}\,u) + \mu \sin(\sqrt{3}\,u)\bigr)$ avec $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. Pour une solution particulière on essaie l'ansatz $\psi_p(u) = (\alpha u + \beta)\,e^u$ ($1$ n'étant pas racine de l'équation caractéristique) ; en injectant et en identifiant les coefficients de $u e^u$ et $e^u$ on obtient $7\alpha = 1$ et $7\beta + 4\alpha = 0$, soit $\alpha = 1/7$ et $\beta = -4/49$. En inversant par $u = \ln t$ on récupère $$ \varphi(t) = \frac{1}{t}\bigl(\lambda \cos(\sqrt{3}\,\ln t) + \mu \sin(\sqrt{3}\,\ln t)\bigr) + \frac{t \ln t}{7} - \frac{4\,t}{49}, \qquad \lambda, \mu \in \mathbb{R}, $$ sur $\,]0 \,;\, +\infty[$.

Note de scope --- équations non normalisées

Les équations non normalisées $\alpha(t)\,x'' + \beta(t)\,x' + \gamma(t)\,x = \delta(t)$ dont le coefficient dominant $\alpha$ s'annule en un ou plusieurs points de $I$ sortent du cadre de ce chapitre. Le programme (\S 10 e) encadre la théorie pour des équations d'ordre deux normalisées sur un intervalle $I$, et le raccord des branches de solutions en un point singulier est délicat et au cas par cas --- ni une recette propre ni un objectif du programme. Rappelé en passant depuis la MPSI ; non retraité ici.

Pour aller plus loin

Ce chapitre a construit l'équation différentielle linéaire générale $x' = a(t) \cdot x + b(t)$ sur un espace de dimension finie, son théorème de Cauchy linéaire, la structure de dimension $\dim E$ de son ensemble de solutions, et la spécialisation à l'ordre deux avec wronskien et variation des constantes. Le chapitre Exponentielle de matrice poursuit l'histoire : lorsque le coefficient $a$ est constant (dans $\mathcal{L}(E)$, ou de manière équivalente $A$ constante dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$), le système homogène $X' = A\,X$ est résolu explicitement par l'exponentielle de matrice $X(t) = e^{(t - t_0)A}\,X_0$. Le théorème de Cauchy linéaire énoncé et admis ici est exactement ce qui rend cette résolution possible ; les théorèmes de structure et de dimension sont exactement le cadre dans lequel $e^{tA}$ opère.

Compétences à pratiquer

Résoudre une équation d'ordre deux par une technique classique