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Limites et continuité dans un espace normé

⌚ ~75 min ▢ 9 blocs ✓ 20 exercices ➣ Prérequis : Limites et continuité, Topologie d'un espace normé

Le chapitre Topologie d'un espace normé a décrit les espaces normés de l'intérieur --- leurs ouverts et leurs fermés, l'adhérence d'une partie, la densité. Ce chapitre étudie les applications entre espaces normés et pose les deux questions sur lesquelles repose toute l'analyse : $f(x)$ s'approche-t-il d'une valeur quand $x$ s'approche d'un point $a$, et cette valeur vaut-elle $f(a)$ ? La première est la notion de limite, la seconde la notion de continuité.
Le chapitre a trois sections. La section~1 construit la limite d'une application, sa caractérisation séquentielle --- le pont vers la théorie des suites --- et les règles pour la calculer. La section~2 passe à la continuité : ses opérations, sa lecture à travers les images réciproques des ouverts et des fermés, et les degrés plus fins de continuité lipschitzienne et uniforme. La section~3 traite le cas remarquablement simple des applications linéaires et multilinéaires, où la continuité se ramène à une seule inégalité $\norme{u(x)} \le C\,\norme{x}$ et se mesure par la norme d'opérateur.
Notations permanentes. Dans tout le chapitre, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et $E$, $F$, $G$ désignent des $\mathbb{K}$-espaces vectoriels normés ; une norme est notée $\norme{\cdot}$, ou $\norme{\cdot}_E$ et $\norme{\cdot}_F$ lorsqu'il faut en distinguer deux. Une application est étudiée sur une partie $A$ de $E$, et le point $a$ en lequel on prend une limite est un point adhérent de $A$ --- noté $a \in \overline{A}$, l'adhérence étant celle de Topologie d'un espace normé. Les boules ouvertes $B(a,r)$, les boules fermées $B_f(a,r)$, la distance $d(x,y) = \norme{x-y}$, les suites convergentes et leurs opérations sont celles d'Espaces vectoriels normés ; les ouverts, les fermés, les voisinages, l'adhérence $\overline{A}$, la densité et la topologie induite sont ceux de Topologie d'un espace normé. Ce chapitre est la couche analytique qui alimente Compacité, connexité, dimension finie et tout chapitre ultérieur qui dérive ou intègre.

I Limites

I.1 Limite d'une application

Dans Limites et continuité, la limite d'une fonction réelle s'écrivait $\norme{x-a}$ petit $\Rightarrow$ $\norme{f(x)-\ell}$ petit, avec des valeurs absolues. Remplacer chaque valeur absolue par la norme de l'espace où elle vit donne, mot pour mot, la limite d'une application entre espaces normés : $f$ tend vers $b$ en $a$ lorsque $f$ envoie tout point assez proche de $a$ sur un point aussi proche que voulu de $b$. Le point $a$ est pris adhérent au domaine $A$, de sorte que toute boule autour de $a$ rencontre $A$.

Définition — Limite d'une application en un point

Soit $A$ une partie non vide de $E$, soit $f \colon A \to F$, soit $a \in \overline{A}$ et $b \in F$. On dit que $f$ admet la limite $b$ en $a$ si $$ \forall \varepsilon > 0,\ \exists \alpha > 0,\ \forall x \in A,\quad \norme{x-a} \le \alpha \implies \norme{f(x)-b} < \varepsilon. $$

La définition dit : la partie de $A$ contenue dans la boule fermée $B_f(a,\alpha)$ est envoyée dans la boule ouverte $B(b,\varepsilon)$.

Proposition — Unicité de la limite

Soit $f \colon A \to F$ et $a \in \overline{A}$. Si $f$ admet une limite en $a$, cette limite est unique. On la note alors $\displaystyle\lim_{a} f$ ou $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$, et la convergence se note $f(x) \xrightarrow[x \to a]{} b$.

Preuve

Supposons que $f$ admette deux limites $b$ et $b'$ en $a$. Fixons $\varepsilon > 0$. La définition donne $\alpha > 0$ et $\alpha' > 0$ tels que $\norme{x-a} \le \alpha \Rightarrow \norme{f(x)-b} < \varepsilon$ et $\norme{x-a} \le \alpha' \Rightarrow \norme{f(x)-b'} < \varepsilon$. Comme $a \in \overline{A}$, la boule $B\bigl(a,\min(\alpha,\alpha')\bigr)$ rencontre $A$ : il existe au moins un $x \in A$ avec $\norme{x-a} \le \min(\alpha,\alpha')$. Pour un tel $x$, $$ \begin{aligned} \norme{b-b'} &= \norme{\bigl(b-f(x)\bigr) + \bigl(f(x)-b'\bigr)} && \\ &\le \norme{f(x)-b} + \norme{f(x)-b'} && \text{(inégalité triangulaire)}\\ &< \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon. && \text{(les deux implications ci-dessus)} \end{aligned} $$ Ainsi $\norme{b-b'} < 2\varepsilon$ pour tout $\varepsilon > 0$, donc $\norme{b-b'} = 0$ et $b = b'$.

Proposition — Reformulation par boules et par voisinages

Soit $f \colon A \to F$, $a \in \overline{A}$ et $b \in F$. Les assertions suivantes sont équivalentes :

[(i)] $\displaystyle\lim_{a} f = b$ ;
[(ii)] pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\alpha > 0$ avec $f\bigl(A \cap B_f(a,\alpha)\bigr) \subset B(b,\varepsilon)$ ;
[(iii)] pour tout voisinage $W$ de $b$ il existe un voisinage $V$ de $a$ avec $f(A \cap V) \subset W$.

Preuve

(i) $\iff$ (ii). L'appartenance $x \in A \cap B_f(a,\alpha)$ est exactement « $x \in A$ et $\norme{x-a} \le \alpha$ », et $f(x) \in B(b,\varepsilon)$ est exactement $\norme{f(x)-b} < \varepsilon$. Donc « $f\bigl(A \cap B_f(a,\alpha)\bigr) \subset B(b,\varepsilon)$ » est une réécriture de « $\forall x \in A,\ \norme{x-a} \le \alpha \Rightarrow \norme{f(x)-b} < \varepsilon$ », et (ii) est la définition de la limite posée avec des inclusions d'ensembles.
(ii) $\Rightarrow$ (iii). Soit $W$ un voisinage de $b$ : il contient une boule $B(b,\varepsilon)$. Par (ii) il existe $\alpha > 0$ avec $f\bigl(A \cap B_f(a,\alpha)\bigr) \subset B(b,\varepsilon) \subset W$. La boule $V = B(a,\alpha)$ est un voisinage de $a$, et $A \cap V \subset A \cap B_f(a,\alpha)$, donc $f(A \cap V) \subset W$.
(iii) $\Rightarrow$ (ii). Soit $\varepsilon > 0$. La boule $W = B(b,\varepsilon)$ est un voisinage de $b$ ; (iii) donne un voisinage $V$ de $a$ avec $f(A \cap V) \subset W$, et $V$ contient une boule $B(a,\alpha)$. Alors $f\bigl(A \cap B_f(a,\alpha/2)\bigr) \subset f(A \cap V) \subset B(b,\varepsilon)$.

La limite est ici prise sur tous les $x \in A$, y compris $x = a$ lorsque $a$ appartient à $A$ : c'est une limite non épointée. Une conséquence est que si $a \in A$ et que $\lim_a f$ existe, alors nécessairement $\lim_a f = f(a)$ --- c'est exactement la continuité, objet de la section~2. La limite épointée familière de l'analyse à une variable, où la valeur en $a$ est ignorée, se retrouve ici comme la limite de la restriction de $f$ à $A \setminus \{a\}$.

Définition — Limites faisant intervenir l'infini

La définition d'une limite s'étend, par le même gabarit, aux points de base infinis et aux valeurs infinies, chaque cas portant son hypothèse d'adhérence.

Si $A$ est non bornée, $f \colon A \to F$ tend vers $b$ quand $\norme{x} \to +\infty$ si $\forall \varepsilon > 0,\ \exists M \in \mathbb{R},\ \forall x \in A,\ \norme{x} \ge M \Rightarrow \norme{f(x)-b} < \varepsilon$.
Si $A \subset \mathbb{R}$ est non majorée (resp. non minorée), la limite en $+\infty$ (resp. $-\infty$) se définit de même, avec $x \ge M$ (resp. $x \le M$).
Pour une application réelle $f \colon A \to \mathbb{R}$ et $a \in \overline{A \setminus \{a\}}$, $f$ tend vers $+\infty$ en $a$ si $\forall M \in \mathbb{R},\ \exists \alpha > 0,\ \forall x \in A \setminus \{a\},\ \norme{x-a} \le \alpha \Rightarrow f(x) \ge M$ --- ici le domaine épointé $A \setminus \{a\}$ est obligatoire, car une valeur finie $f(a)$ interdirait $f(x) \to +\infty$. La limite $-\infty$ est symétrique.

Les cas mixtes combinent les deux gabarits explicitement : par exemple, pour $A \subset \mathbb{R}$ non majorée, $f \colon A \to \mathbb{R}$ tend vers $+\infty$ quand $x \to +\infty$ si $\forall M \in \mathbb{R},\ \exists B \in \mathbb{R},\ \forall x \in A,\ x \ge B \Rightarrow f(x) \ge M$. L'unicité de la limite et la caractérisation séquentielle s'étendent à tous ces cas par les mêmes arguments --- une boule autour d'une extrémité infinie étant remplacée par la demi-droite correspondante, et les suites de test convergentes par des suites tendant vers cette extrémité ; les règles d'opérations exigent, exactement comme en analyse à une variable, qu'aucune forme indéterminée ($+\infty + (-\infty)$, $0 \cdot \infty$, $\tfrac{\infty}{\infty}$, $\tfrac{0}{0}$) n'apparaisse.

Exemple — Une limite par la définition $\varepsilon$-$\alpha$

Munissons $\mathbb{R}^2$ de la norme $\norme{\cdot}_\infty$ (une norme usuelle d'Espaces vectoriels normés) et soit $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $f(x,y) = 2x - 3y$. Montrer que $\displaystyle\lim_{(x,y) \to (1,1)} f(x,y) = -1$.

Correction

Notons $u = (x,y)$ et $a = (1,1)$, de sorte que $f(a) = -1$. Pour tout $u \in \mathbb{R}^2$, $$ \begin{aligned} |f(u) - (-1)| &= |2x - 3y + 1| = |2(x-1) - 3(y-1)| && \\ &\le 2\,|x-1| + 3\,|y-1| && \text{(inégalité triangulaire)}\\ &\le 5\,\norme{u-a}_\infty, && \text{(}|x-1|,|y-1| \le \norme{u-a}_\infty\text{)} \end{aligned} $$ car $\norme{u-a}_\infty = \max(|x-1|,|y-1|)$. Fixons $\varepsilon > 0$ et posons $\alpha = \varepsilon/10 > 0$. Alors $\norme{u-a}_\infty \le \alpha$ donne $|f(u)+1| \le 5\alpha = \varepsilon/2 < \varepsilon$ --- ce qui établit $\lim_{u \to a} f(u) = -1$.

Exemple — Une limite quand la norme tend vers l'infini

Sur un espace normé non nul $E$ --- donc $E$ non borné --- considérons $f \colon E \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{1}{1+\norme{x}}$. Quand $\norme{x} \to +\infty$, le dénominateur $1+\norme{x} \to +\infty$, donc $f(x) \to 0$ : pour $\varepsilon > 0$, prendre $M = 1/\varepsilon$ donne $\norme{x} \ge M \Rightarrow 0 < f(x) \le \frac{1}{1+M} < \varepsilon$. C'est la première extension de la définition précédente.

Méthode — Montrer qu'une application admet une limite donnée

Pour démontrer $\lim_a f = b$ directement à partir de la définition :

fixer $\varepsilon > 0$ et viser à produire $\alpha > 0$ ;
majorer $\norme{f(x)-b}$ par une fonction croissante explicite de $\norme{x-a}$ --- typiquement de la forme $C\,\norme{x-a}$, obtenue par l'inégalité triangulaire ;
lire $\alpha$ sur cette majoration, de sorte que $\norme{x-a} \le \alpha$ force $\norme{f(x)-b} < \varepsilon$.

La caractérisation séquentielle de la sous-section suivante remplace souvent ce travail ; la voie directe est le recours lorsqu'aucune règle ne s'applique.

Compétences à pratiquer

Démontrer une limite par la définition

I.2 Caractérisation séquentielle et limite dans un produit

Le résultat suivant transporte la limite d'une application sur les suites : $f$ tend vers $b$ en $a$ exactement lorsque $f$ transforme toute suite convergeant vers $a$ en une suite convergeant vers $b$. C'est le pont qui rend toute la théorie des suites convergentes d'Espaces vectoriels normés disponible pour les applications --- et c'est l'outil standard pour calculer une limite comme pour prouver qu'il n'en existe pas.

Proposition — Caractérisation séquentielle de la limite

Soit $f \colon A \to F$, $a \in \overline{A}$ et $b \in F$. Alors $\displaystyle\lim_{a} f = b$ si et seulement si, pour toute suite $(u_n)$ d'éléments de $A$ telle que $u_n \to a$, la suite $\bigl(f(u_n)\bigr)$ converge vers $b$.

Preuve

$(\Rightarrow)$ Supposons $\lim_a f = b$, et soit $(u_n)$ une suite de $A$ avec $u_n \to a$. Fixons $\varepsilon > 0$ ; la limite donne $\alpha > 0$ avec $\norme{x-a} \le \alpha \Rightarrow \norme{f(x)-b} < \varepsilon$ pour $x \in A$. Comme $u_n \to a$, il existe un rang $N$ à partir duquel $\norme{u_n-a} \le \alpha$ ; alors $\norme{f(u_n)-b} < \varepsilon$ pour $n \ge N$. Donc $f(u_n) \to b$.
$(\Leftarrow)$ On démontre la contraposée : supposons que $\lim_a f = b$ échoue, et construisons une suite mettant en défaut le membre de droite. La négation de la définition s'écrit $$ \exists \varepsilon > 0,\ \forall \alpha > 0,\ \exists x \in A,\quad \norme{x-a} \le \alpha \ \text{ et }\ \norme{f(x)-b} \ge \varepsilon. $$ Appliquons-la avec $\alpha = \tfrac{1}{n+1}$ : pour chaque $n$ il existe $u_n \in A$ avec $\norme{u_n-a} \le \tfrac{1}{n+1}$ et $\norme{f(u_n)-b} \ge \varepsilon$. Alors $u_n \to a$, mais $\bigl(f(u_n)\bigr)$ ne converge pas vers $b$ --- donc le membre de droite échoue aussi.

La caractérisation se lit sur un dessin : $f$ transforme une suite se resserrant sur $a$ en une suite se resserrant sur $b$.

Proposition — Limite d'une application à valeurs dans un produit fini

Soit $F_1,\dots,F_p$ des espaces normés, le produit $F_1 \times \dots \times F_p$ étant muni de la norme produit $\norme{(y_1,\dots,y_p)} = \max_{k} \norme{y_k}$. Soit $f \colon A \to F_1 \times \dots \times F_p$ de composantes $f = (f_1,\dots,f_p)$, et $a \in \overline{A}$. Alors $f$ admet une limite en $a$ si et seulement si chaque composante $f_k$ admet une limite en $a$, et dans ce cas $$ \lim_{a} f = \Bigl(\lim_{a} f_1,\ \dots,\ \lim_{a} f_p\Bigr). $$

Preuve

Par la caractérisation séquentielle, $f$ admet la limite $b = (b_1,\dots,b_p)$ en $a$ exactement lorsque $f(u_n) \to b$ pour toute suite $(u_n)$ de $A$ avec $u_n \to a$. Or $f(u_n) = \bigl(f_1(u_n),\dots,f_p(u_n)\bigr)$, et une suite d'un produit fini converge vers $(b_1,\dots,b_p)$ pour la norme produit si et seulement si chaque suite de coordonnées $\bigl(f_k(u_n)\bigr)$ converge vers $b_k$ --- c'est la convergence dans un produit fini rappelée d'Espaces vectoriels normés. Donc $f(u_n) \to b$ pour toute telle $(u_n)$ si et seulement si $f_k(u_n) \to b_k$ pour toute telle $(u_n)$ et tout $k$, c'est-à-dire --- de nouveau par la caractérisation séquentielle --- si et seulement si chaque $f_k$ admet la limite $b_k$ en $a$.

Exemple — Réfuter une limite avec deux suites

Soit $f \colon \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \to \mathbb{R}$, $f(x,y) = \dfrac{xy}{x^2+y^2}$, et $a = (0,0) \in \overline{\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}}$. Le long de la suite $u_n = \bigl(\tfrac1n,0\bigr) \to a$ on a $f(u_n) = 0 \to 0$ ; le long de $v_n = \bigl(\tfrac1n,\tfrac1n\bigr) \to a$ on a $f(v_n) = \tfrac12 \to \tfrac12$. Deux suites convergeant vers $a$ produisent des images de limites différentes, donc par la caractérisation séquentielle $f$ n'admet aucune limite en $(0,0)$.

Exemple — Une application à valeurs dans un produit

L'application $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$, $f(t) = (t^2,\ 3t-1)$, a pour composantes $f_1(t) = t^2$ et $f_2(t) = 3t-1$. Chacune a une limite en $t = 2$, à savoir $4$ et $5$ --- limites élémentaires d'une variable, rappelées des études antérieures --- donc $f$ a une limite en $2$ et $\lim_{t \to 2} f(t) = (4,5)$. Une limite dans un produit se calcule coordonnée par coordonnée.

Méthode — Prouver ou réfuter une limite avec des suites

Pour prouver $\lim_a f = b$, montrer $f(u_n) \to b$ pour une suite $(u_n)$ quelconque de $A$ avec $u_n \to a$ --- une seule suite choisie ne prouve jamais une limite, elle ne fait que suggérer un candidat.
Pour réfuter une limite proposée, exhiber deux suites $u_n \to a$ et $v_n \to a$ dont les images $\bigl(f(u_n)\bigr)$ et $\bigl(f(v_n)\bigr)$ ont des limites différentes --- ou une suite $u_n \to a$ pour laquelle $\bigl(f(u_n)\bigr)$ diverge.

Compétences à pratiquer

Appliquer la caractérisation séquentielle

I.3 Opérations sur les limites

La caractérisation séquentielle permet de transférer chaque règle sur les limites de suites, sans un seul $\varepsilon$, aux limites d'applications. Une combinaison linéaire, un produit par une application scalaire, un quotient et une composée sont traités tour à tour --- et dès lors une limite se calcule par décomposition, sans jamais revenir à la définition.

Proposition — Opérations algébriques sur les limites

Soit $a \in \overline{A}$, soit $f,g \colon A \to F$ et $\varphi \colon A \to \mathbb{K}$, et supposons que $\lim_a f$, $\lim_a g$ et $\lim_a \varphi$ existent toutes.

Pour tous $\lambda,\mu \in \mathbb{K}$, $\lim_a (\lambda f + \mu g) = \lambda \lim_a f + \mu \lim_a g$.
$\lim_a (\varphi f) = \bigl(\lim_a \varphi\bigr)\bigl(\lim_a f\bigr)$.
Si $\lim_a \varphi \ne 0$, alors $\varphi$ est non nulle sur $A \cap B(a,\alpha)$ pour un certain $\alpha > 0$, et sur ce domaine $\lim_a \tfrac{f}{\varphi} = \tfrac{\lim_a f}{\lim_a \varphi}$.

Preuve

Notons $b = \lim_a f$, $c = \lim_a g$, $\ell = \lim_a \varphi$. Soit $(u_n)$ une suite quelconque de $A$ avec $u_n \to a$. Par la caractérisation séquentielle, $f(u_n) \to b$, $g(u_n) \to c$ et $\varphi(u_n) \to \ell$.

Combinaison linéaire. Par les opérations sur les suites convergentes (rappelées d'Espaces vectoriels normés), $\lambda f(u_n) + \mu g(u_n) \to \lambda b + \mu c$. Comme cela vaut pour toute telle $(u_n)$, la caractérisation séquentielle donne $\lim_a (\lambda f + \mu g) = \lambda b + \mu c$.
Produit par une application scalaire. De même le produit de la suite scalaire convergente $\bigl(\varphi(u_n)\bigr)$ par la suite convergente $\bigl(f(u_n)\bigr)$ converge : $\varphi(u_n) f(u_n) \to \ell\,b$, d'où $\lim_a (\varphi f) = \ell\,b$.
Quotient. Supposons $\ell \ne 0$. En appliquant la limite de $\varphi$ avec $\varepsilon = \tfrac{|\ell|}{2}$ on obtient $\alpha > 0$ tel que $|\varphi(x)-\ell| < \tfrac{|\ell|}{2}$ pour $x \in A \cap B(a,\alpha)$ ; alors $|\varphi(x)| \ge |\ell| - \tfrac{|\ell|}{2} = \tfrac{|\ell|}{2} > 0$, donc $\varphi$ ne s'annule pas sur $A \cap B(a,\alpha)$, et $a$ reste adhérent à cette partie. Sur celle-ci, pour $u_n \to a$ le quotient de suites convergentes donne $\tfrac{f(u_n)}{\varphi(u_n)} \to \tfrac{b}{\ell}$, d'où $\lim_a \tfrac{f}{\varphi} = \tfrac{b}{\ell}$.

Proposition — Limite d'une composée

Soit $f \colon A \to F$ avec $f(A) \subset B$, où $B$ est une partie de $F$, et soit $g \colon B \to G$. Soit $a \in \overline{A}$. Si $f$ admet une limite $b$ en $a$, alors $b \in \overline{B}$ automatiquement. Si, de plus, $g$ admet une limite $\ell$ en $b$, alors $g \circ f$ admet la limite $\ell$ en $a$.

Preuve

Comme $a \in \overline{A}$, il existe une suite $(u_n)$ de $A$ avec $u_n \to a$ ; alors $f(u_n) \to b$ par la caractérisation séquentielle, et $\bigl(f(u_n)\bigr)$ est une suite de $f(A) \subset B$, donc $b$ est limite d'une suite de $B$, d'où $b \in \overline{B}$ --- la limite $\lim_b g$ a donc un sens. Prenons maintenant une suite $(u_n)$ quelconque de $A$ avec $u_n \to a$. Alors $f(u_n) \to b$, et $\bigl(f(u_n)\bigr)$ est une suite de $B$ convergeant vers $b$ ; par la caractérisation séquentielle appliquée à $g$, $g\bigl(f(u_n)\bigr) \to \ell$. Comme cela vaut pour toute telle $(u_n)$, la caractérisation séquentielle donne $\lim_a (g \circ f) = \ell$.

Exemple — Une limite calculée par opérations

Calculer $\displaystyle\lim_{(x,y) \to (1,2)} \frac{x^2 + y}{x + y}$ pour l'application définie sur $A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x + y \ne 0\}$, avec $\mathbb{R}^2$ normé par $\norme{\cdot}_\infty$.

Correction

Le point $a = (1,2)$ est adhérent à $A$ (il est dans $A$, car $1 + 2 = 3 \ne 0$). Les deux applications coordonnées $(x,y) \mapsto x$ et $(x,y) \mapsto y$ ont pour limites $1$ et $2$ en $a$ --- chacune à une majoration près, $|x-1| \le \norme{(x,y)-a}_\infty$ et de même $|y-2| \le \norme{(x,y)-a}_\infty$. Par les opérations algébriques :

le numérateur $x^2 + y = x \cdot x + y$ a pour limite $1 \cdot 1 + 2 = 3$ (produit, puis somme) ;
le dénominateur $x + y$ a pour limite $1 + 2 = 3 \ne 0$ ;
le quotient a donc pour limite $\dfrac{3}{3} = 1$.

Ainsi $\displaystyle\lim_{(x,y) \to (1,2)} \frac{x^2 + y}{x + y} = 1$.

Exemple — Une limite de composée

Soit $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(t) = 1 + t^2$, et $g \colon [1,+\infty[ \to \mathbb{R}$, $g(s) = \sqrt{s}$, avec $f(\mathbb{R}) \subset [1,+\infty[$. En $a = 0$, $f$ tend vers $b = 1$ ; comme $1 \in \overline{[1,+\infty[}$ et que $g$ tend vers $\ell = 1$ en $1$, la composée $g \circ f \colon t \mapsto \sqrt{1+t^2}$ tend vers $1$ en $0$. Une limite de composée se lit sur les deux limites successivement.

Méthode — Calculer une limite à l'aide des opérations

Pour calculer $\lim_a f$ lorsque $f$ est construite à partir d'applications plus simples :

décomposer $f$ en sommes, produits scalaires, quotients et composées d'applications dont les limites sont connues --- typiquement les applications coordonnées et les fonctions élémentaires d'une variable ;
appliquer les propositions d'opérations algébriques et de composée, en vérifiant, avant tout quotient, que la limite du dénominateur est non nulle ;
ne revenir à la définition directe $\varepsilon$-$\alpha$ que pour les briques atomiques.

Compétences à pratiquer

Calculer une limite par opérations

II Continuité

II.1 Continuité en un point et sur une partie

La continuité en un point $a$ est la notion de limite sans surprise : $f$ est continue en $a$ lorsque sa limite en $a$ existe et vaut la valeur $f(a)$. L'application $f$ est alors continue sur tout son domaine lorsqu'elle est continue en chaque point. Les opérations sur les limites se transmettent aussitôt, et un résultat nouveau apparaît --- deux applications continues qui coïncident sur une partie dense coïncident partout.

Définition — Continuité en un point et sur une partie

Soit $f \colon A \to F$ et $a \in A$.

$f$ est continue en $a$ si $\displaystyle\lim_{a} f = f(a)$, c'est-à-dire $$ \forall \varepsilon > 0,\ \exists \alpha > 0,\ \forall x \in A,\quad \norme{x-a} \le \alpha \implies \norme{f(x)-f(a)} < \varepsilon. $$
$f$ est continue sur $A$ si elle est continue en tout point de $A$. L'ensemble des applications continues de $A$ dans $F$ est noté $\mathcal{C}(A,F)$.

Proposition — Caractérisation séquentielle de la continuité

Soit $f \colon A \to F$ et $a \in A$. Alors $f$ est continue en $a$ si et seulement si, pour toute suite $(u_n)$ de $A$ avec $u_n \to a$, on a $f(u_n) \to f(a)$.

Preuve

La continuité en $a$ est l'égalité $\lim_a f = f(a)$. On applique la caractérisation séquentielle de la limite avec $b = f(a)$ : $\lim_a f = f(a)$ a lieu si et seulement si $f(u_n) \to f(a)$ pour toute suite $(u_n)$ de $A$ avec $u_n \to a$. C'est exactement l'équivalence annoncée.

La continuité en $a$ se lit sur le même type de dessin que la limite, la cible étant maintenant fixée à $f(a)$.

Proposition — Opérations sur les applications continues

Soit $a \in A$.

Une combinaison linéaire $\lambda f + \mu g$ de deux applications $f,g \colon A \to F$ continues en $a$ est continue en $a$ ; donc $\mathcal{C}(A,F)$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel.
Le produit $\varphi f$ d'une application $f \colon A \to F$ continue en $a$ par une application scalaire $\varphi \colon A \to \mathbb{K}$ continue en $a$ est continu en $a$ ; et le produit de deux applications scalaires continues est continu, donc $\mathcal{C}(A,\mathbb{K})$ est une $\mathbb{K}$-algèbre.
Si $f \colon A \to F$ et $\varphi \colon A \to \mathbb{K}$ sont continues en $a$ et $\varphi(a) \ne 0$, alors $\tfrac{f}{\varphi}$ est définie près de $a$ et continue en $a$.
Si $f \colon A \to F$ est continue en $a$ avec $f(A) \subset B$, et $g \colon B \to G$ continue en $f(a)$, alors $g \circ f$ est continue en $a$.

Preuve

La continuité en $a$ est l'égalité $\lim_a = (\text{valeur en }a)$, donc chaque énoncé est la règle correspondante du \S1.3 lue avec les limites égales aux valeurs.

Pour la combinaison linéaire : $\lim_a f = f(a)$ et $\lim_a g = g(a)$ donnent, par la proposition d'opérations algébriques, $\lim_a (\lambda f + \mu g) = \lambda f(a) + \mu g(a) = (\lambda f + \mu g)(a)$.
Pour les produits : $\lim_a (\varphi f) = \varphi(a) f(a) = (\varphi f)(a)$, et le produit scalaire est le cas $F = \mathbb{K}$.
Pour le quotient : $f$ et $\varphi$ continues en $a$ donnent $\lim_a f = f(a)$ et $\lim_a \varphi = \varphi(a) \ne 0$ ; la règle de quotient du \S1.3 rend alors $\varphi$ non nulle sur un certain $A \cap B(a,\alpha)$ et donne $\lim_a \tfrac{f}{\varphi} = \tfrac{f(a)}{\varphi(a)}$.
Pour la composée : $f$ continue en $a$ et $g$ continue en $f(a)$ sont $\lim_a f = f(a)$ et $\lim_{f(a)} g = g(f(a))$ ; la proposition de composée du \S1.3 donne $\lim_a (g \circ f) = g(f(a)) = (g \circ f)(a)$.

Proposition — Coïncidence sur une partie dense

Soit $f,g \colon A \to F$ deux applications continues sur $A$, et $D$ une partie dense dans $A$. Si $f$ et $g$ coïncident sur $D$, alors $f = g$ sur $A$ tout entière.

Preuve

Soit $x \in A$. Comme $D$ est dense dans $A$, la forme séquentielle de la densité (rappelée de Topologie d'un espace normé) donne une suite $(u_n)$ d'éléments de $D$ avec $u_n \to x$. Comme $f$ et $g$ sont continues en $x$, la caractérisation séquentielle de la continuité donne $f(u_n) \to f(x)$ et $g(u_n) \to g(x)$. Mais $u_n \in D$, où $f$ et $g$ coïncident, donc $f(u_n) = g(u_n)$ pour tout $n$ ; les deux suites $\bigl(f(u_n)\bigr)$ et $\bigl(g(u_n)\bigr)$ sont égales, donc ont la même limite, et par unicité de la limite $f(x) = g(x)$. Comme $x \in A$ était quelconque, $f = g$ sur $A$.

Exemple — Les projections coordonnées sont continues

Sur un produit fini $F_1 \times \dots \times F_p$ muni de la norme produit, chaque projection coordonnée $\pi_k \colon (y_1,\dots,y_p) \mapsto y_k$ est continue : une suite convergeant dans le produit converge dans chaque coordonnée (la proposition de produit fini du \S1.2), ce qui est exactement $\pi_k(u_n) \to \pi_k(\ell)$. La continuité de la norme $x \mapsto \norme{x}$ est traitée à part au \S2.3, où on la montre $1$-lipschitzienne.

Exemple — Une vérification de continuité par opérations

Montrer que $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $f(x,y) = \dfrac{x^2 - y}{1 + x^2 + y^2}$, est continue sur $\mathbb{R}^2$ (normé par $\norme{\cdot}_\infty$).

Correction

Fixons un point quelconque $a = (x_0,y_0) \in \mathbb{R}^2$ et raisonnons par opérations.

Les projections coordonnées $(x,y) \mapsto x$ et $(x,y) \mapsto y$ sont continues en $a$ (exemple précédent).
Par la proposition d'opérations, le numérateur $x^2 - y$ --- un produit et une différence d'applications continues --- est continu en $a$, et le dénominateur $1 + x^2 + y^2$ de même.
Le dénominateur ne s'annule jamais : $1 + x^2 + y^2 \ge 1 > 0$. Donc le quotient $f$ est continu en $a$.

Comme $a$ était quelconque, $f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$.

Exemple — Une application continue nulle sur les rationnels

Une application $f \colon \mathbb{R} \to F$ continue sur $\mathbb{R}$ qui s'annule en tout point rationnel est identiquement nulle. En effet $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ (rappelé de Topologie d'un espace normé) ; $f$ et l'application nulle sont toutes deux continues et coïncident sur $\mathbb{Q}$, donc elles coïncident sur $\mathbb{R}$ tout entier. Une application continue est déterminée par ses valeurs sur une partie dense.

Méthode — Montrer qu'une application est continue

Trois voies établissent que $f$ est continue en un point $a$ --- ou sur $A$ :

par opérations --- décomposer $f$ en sommes, produits, quotients et composées d'applications déjà connues continues (projections coordonnées, fonctions élémentaires), en vérifiant la non-annulation des dénominateurs ;
par la caractérisation séquentielle --- prendre une suite quelconque $u_n \to a$ et montrer $f(u_n) \to f(a)$ ;
par l'argument direct $\varepsilon$-$\alpha$ --- le recours pour une application atomique, en majorant $\norme{f(x)-f(a)}$ par une fonction explicite de $\norme{x-a}$.

Compétences à pratiquer

Démontrer qu'une application est continue

II.2 Caractérisation topologique de la continuité

La continuité peut s'exprimer sans aucun $\varepsilon$, à travers les ouverts et les fermés de Topologie d'un espace normé : une application est continue exactement lorsque l'image réciproque de tout ouvert est ouverte, et l'image réciproque de tout fermé est fermée --- entendu, pour une application définie sur une partie $A$, avec les ouverts et fermés relatifs de $A$.

Theorem — Caractérisation topologique de la continuité

Soit $f \colon A \to F$ avec $A \subset E$. Les assertions suivantes sont équivalentes :

[(i)] $f$ est continue sur $A$ ;
[(ii)] pour tout ouvert $O$ de $F$, l'image réciproque $f^{-1}(O)$ est un ouvert relatif de $A$ ;
[(iii)] pour tout fermé $C$ de $F$, l'image réciproque $f^{-1}(C)$ est un fermé relatif de $A$.

Preuve

(i) $\Rightarrow$ (ii). Soit $O$ ouvert dans $F$ et $x \in f^{-1}(O)$, donc $f(x) \in O$. Comme $O$ est ouvert il existe $\varepsilon > 0$ avec $B(f(x),\varepsilon) \subset O$. Par continuité de $f$ en $x$ il existe $\alpha > 0$ tel que : $y \in A$ et $\norme{y-x} \le \alpha$ entraînent $\norme{f(y)-f(x)} < \varepsilon$, c.-à-d. $f(y) \in B(f(x),\varepsilon) \subset O$, c.-à-d. $y \in f^{-1}(O)$. Donc $A \cap B(x,\alpha) \subset f^{-1}(O)$. Comme cela vaut en tout $x \in f^{-1}(O)$, la caractérisation des ouverts relatifs (de Topologie d'un espace normé) fait de $f^{-1}(O)$ un ouvert relatif de $A$.
(ii) $\Rightarrow$ (i). Soit $x \in A$ et $\varepsilon > 0$. La boule $B(f(x),\varepsilon)$ est ouverte dans $F$, donc par (ii) $f^{-1}\bigl(B(f(x),\varepsilon)\bigr)$ est un ouvert relatif de $A$ contenant $x$ ; la caractérisation des ouverts relatifs donne $\alpha > 0$ avec $A \cap B(x,\alpha) \subset f^{-1}\bigl(B(f(x),\varepsilon)\bigr)$. Alors $y \in A$, $\norme{y-x} \le \alpha/2$ entraînent $\norme{f(y)-f(x)} < \varepsilon$ : $f$ est continue en $x$.
(ii) $\iff$ (iii). Pour toute partie $X$ de $F$, $f^{-1}(F \setminus X) = A \setminus f^{-1}(X)$, le complémentaire du côté image réciproque étant pris dans le domaine $A$ (car $f^{-1}(X) \subset A$). Une partie $C$ de $F$ est fermée exactement lorsque $F \setminus C$ est ouverte ; et $f^{-1}(C)$ est un fermé relatif de $A$ exactement lorsque $A \setminus f^{-1}(C) = f^{-1}(F \setminus C)$ est un ouvert relatif de $A$. Donc (iii) vaut pour tout fermé $C$ si et seulement si (ii) vaut pour tout ouvert $F \setminus C$ --- c'est-à-dire que (ii) et (iii) sont équivalentes.

Proposition — Le cas d'une application définie sur l'espace entier

Soit $f \colon E \to F$ continue sur $E$. Alors l'image réciproque de tout ouvert de $F$ est un ouvert de $E$, et l'image réciproque de tout fermé de $F$ est un fermé de $E$.

Preuve

On applique le théorème avec $A = E$. Un ouvert relatif de $E$ est une partie de la forme $E \cap O = O$ avec $O$ ouvert dans $E$ --- c'est-à-dire simplement un ouvert de $E$ ; de même un fermé relatif de $E$ est un fermé de $E$. Donc les énoncés relatifs (ii) et (iii) deviennent : l'image réciproque d'un ouvert est ouverte, l'image réciproque d'un fermé est fermée.

Pour une application réelle continue $g \colon E \to \mathbb{R}$, l'image réciproque d'un intervalle ouvert est un ouvert de $E$ --- la manière pratique de reconnaître un ouvert décrit par une inégalité stricte.

Exemple — Ouverts et fermés découpés par une application continue

Soit $g \colon E \to \mathbb{R}$ continue sur $E$. L'ensemble $\{x \in E : g(x) > 0\} = g^{-1}(\,]0 ; +\infty[\,)$ est ouvert, comme image réciproque de l'ouvert $]0 ; +\infty[$. L'ensemble $\{x \in E : g(x) = 0\} = g^{-1}(\{0\})$ est fermé, comme image réciproque du fermé $\{0\}$, et de même $\{g(x) \ge 0\} = g^{-1}([0 ; +\infty[)$ est fermé.

Exemple — Un demi-plan ouvert

Montrer que le demi-plan $H = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : 2x - y > 1\}$ est un ouvert de $\mathbb{R}^2$.

Correction

Introduisons $g \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $g(x,y) = 2x - y - 1$. L'application $g$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ --- une combinaison linéaire des deux projections coordonnées continues, moins une constante. Or $$ H = \{(x,y) : 2x - y > 1\} = \{(x,y) : g(x,y) > 0\} = g^{-1}(\,]0 ; +\infty[\,). $$ L'intervalle $]0 ; +\infty[$ est un ouvert de $\mathbb{R}$, et $g$ est continue sur l'espace entier $\mathbb{R}^2$, donc par la proposition ci-dessus $H = g^{-1}(\,]0 ; +\infty[\,)$ est un ouvert de $\mathbb{R}^2$.

Exemple — L'image d'un fermé peut ne pas être fermée

Le théorème concerne les images réciproques, non les images. L'image directe d'un fermé par une application continue peut ne pas être fermée : l'application $\arctan \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est continue, l'ensemble $[0,+\infty[$ est fermé dans $\mathbb{R}$, et pourtant son image $\arctan([0,+\infty[) = [0,\tfrac{\pi}{2}[$ n'est pas fermée. La continuité contrôle les images réciproques, pas les images.

Méthode — Montrer qu'une partie est ouverte ou fermée par image réciproque

Pour démontrer qu'une partie $S$ de $E$ est ouverte (resp. fermée) :

écrire $S$ sous la forme $\{x : g(x) \in X\} = g^{-1}(X)$ pour une application continue $g \colon E \to F$ bien choisie et une partie $X$ de $F$ ;
reconnaître $X$ comme un ouvert de $F$ (resp. un fermé) --- une inégalité stricte indique un $X$ ouvert, une inégalité large ou une égalité un $X$ fermé ;
conclure par la proposition : $g$ continue sur $E$ envoie l'ouvert (resp. le fermé) $X$ sur une image réciproque ouverte (resp. fermée).

Compétences à pratiquer

Identifier les ouverts et fermés par image réciproque

II.3 Applications lipschitziennes et uniformément continues

La continuité en un point laisse le seuil $\alpha$ dépendre du point. Deux degrés plus forts en exigent davantage : la continuité uniforme demande un seul $\alpha$ valable en tout point à la fois, et le caractère lipschitzien demande un taux contrôlé $\norme{f(x)-f(y)} \le k\,\norme{x-y}$. Cette sous-section introduit aussi la distance $d(x,A)$ d'un point à une partie --- une application qui se révèle lipschitzienne.

Définition — Application lipschitzienne

Soit $f \colon A \to F$ avec $A \subset E$, et soit $k \ge 0$ un réel. L'application $f$ est $k$-lipschitzienne si $$ \forall x,y \in A,\quad \norme{f(x)-f(y)} \le k\,\norme{x-y}. $$ Elle est lipschitzienne si elle est $k$-lipschitzienne pour un certain $k \ge 0$.

Définition — Application uniformément continue

Une application $f \colon A \to F$ est uniformément continue sur $A$ si $$ \forall \varepsilon > 0,\ \exists \alpha > 0,\ \forall x,y \in A,\quad \norme{x-y} \le \alpha \implies \norme{f(x)-f(y)} < \varepsilon. $$ Le même $\alpha$ sert tous les couples $x,y$ du domaine ; il ne dépend que de $\varepsilon$. Le quantificateur universel sur $x$ et $y$ est ce qui sépare la continuité uniforme de la continuité ordinaire, où $\alpha$ peut varier d'un point à l'autre.

Proposition — La hiérarchie lipschitzienne$\virgule$ uniforme et continue

Soit $f \colon A \to F$. Alors $f$ lipschitzienne $\implies$ $f$ uniformément continue $\implies$ $f$ continue sur $A$.

Preuve

Lipschitzienne $\Rightarrow$ uniformément continue. Supposons $f$ $k$-lipschitzienne. Fixons $\varepsilon > 0$. Si $k = 0$, alors $\norme{f(x)-f(y)} \le 0$ pour tous $x,y$, donc $f$ est constante et tout $\alpha > 0$ convient. Si $k > 0$, posons $\alpha = \varepsilon/(2k) > 0$ ; alors $\norme{x-y} \le \alpha$ donne $\norme{f(x)-f(y)} \le k\,\norme{x-y} \le k\alpha = \varepsilon/2 < \varepsilon$. Dans les deux cas $f$ est uniformément continue.
Uniformément continue $\Rightarrow$ continue. Supposons $f$ uniformément continue, et fixons $a \in A$ et $\varepsilon > 0$. Le $\alpha$ de continuité uniforme, lu avec la seconde variable figée à $y = a$, donne : $x \in A$, $\norme{x-a} \le \alpha$ entraînent $\norme{f(x)-f(a)} < \varepsilon$. C'est la continuité de $f$ en $a$ ; comme $a$ était quelconque, $f$ est continue sur $A$.

Définition — Distance d'un point à une partie

Soit $A$ une partie non vide de $E$ et $x \in E$. La distance de $x$ à $A$ est $$ d(x,A) = \inf_{a \in A} \norme{x-a}. $$ La borne inférieure existe : $\{\norme{x-a} : a \in A\}$ est une partie non vide de $\mathbb{R}$ minorée par $0$.

Proposition — La norme et la distance à une partie sont $1$-lipschitziennes

La norme $x \mapsto \norme{x}$ sur $E$ est $1$-lipschitzienne. Pour toute partie non vide $A$ de $E$, l'application $x \mapsto d(x,A)$ est $1$-lipschitzienne. Toutes deux sont donc continues sur $E$.

Preuve

La norme. L'inégalité triangulaire renversée (rappelée d'Espaces vectoriels normés) donne $\bigl|\,\norme{x}-\norme{y}\,\bigr| \le \norme{x-y}$ pour tous $x,y$, ce qui est exactement l'inégalité $1$-lipschitzienne pour $x \mapsto \norme{x}$.
La distance à $A$. Fixons $x,y \in E$. Pour tout $a \in A$, l'inégalité triangulaire donne $$ \begin{aligned} d(x,A) &\le \norme{x-a} && \text{(la borne inférieure est un minorant)}\\ &\le \norme{x-y} + \norme{y-a}. && \text{(inégalité triangulaire)} \end{aligned} $$ Donc $d(x,A) - \norme{x-y} \le \norme{y-a}$ pour tout $a \in A$ ; le membre de gauche est un minorant de $\{\norme{y-a} : a \in A\}$, donc est $\le$ sa borne inférieure : $d(x,A) - \norme{x-y} \le d(y,A)$, soit $d(x,A) - d(y,A) \le \norme{x-y}$. En échangeant $x$ et $y$ on obtient $d(y,A) - d(x,A) \le \norme{x-y}$, donc $\bigl|\,d(x,A)-d(y,A)\,\bigr| \le \norme{x-y}$.

Dans les deux cas l'application est $1$-lipschitzienne, donc continue par la hiérarchie.

Proposition — La distance à une partie détecte son adhérence

Soit $A$ une partie non vide de $E$ et $x \in E$. Alors $d(x,A) = 0$ si et seulement si $x \in \overline{A}$.

Preuve

Par la caractérisation de la borne inférieure, $d(x,A) = 0$ signifie : pour tout $r > 0$ il existe $a \in A$ avec $\norme{x-a} < r$, c'est-à-dire $a \in B(x,r) \cap A$. Donc $d(x,A) = 0$ a lieu exactement lorsque toute boule ouverte $B(x,r)$ rencontre $A$ --- ce qui est précisément la définition d'un point adhérent de $A$, rappelée de Topologie d'un espace normé. D'où $d(x,A) = 0 \iff x \in \overline{A}$.

L'inégalité $1$-lipschitzienne $\bigl|\,d(x,A)-d(y,A)\,\bigr| \le \norme{x-y}$ dit que la distance à $A$ varie pas plus vite que le déplacement.

Exemple — La hiérarchie est stricte

Aucune des deux implications de la hiérarchie ne se renverse.

L'application $x \mapsto \sqrt{x}$ sur $\mathbb{R}_+$ est uniformément continue mais non lipschitzienne. La continuité uniforme découle de l'inégalité classique $|\sqrt{x}-\sqrt{y}| \le \sqrt{|x-y|}$ (valable pour $x,y \ge 0$) : étant donné $\varepsilon > 0$, tout $\alpha$ avec $0 < \alpha < \varepsilon^2$ donne $|x-y| \le \alpha \Rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{y}| \le \sqrt{\alpha} < \varepsilon$. Elle n'est pas lipschitzienne : pour $x_n = \tfrac1n$ et $y_n = 0$, le taux $\tfrac{|\sqrt{x_n}-\sqrt{y_n}|}{|x_n-y_n|} = \sqrt{n} \to +\infty$, donc aucune constante $k$ ne peut le majorer.
L'application $x \mapsto \ln x$ sur $]0,+\infty[$ est continue mais non uniformément continue. Supposons, par l'absurde, qu'elle le soit : appliquée avec $\varepsilon = \ln 2$, la continuité uniforme donnerait $\alpha > 0$ tel que $|x-y| \le \alpha \Rightarrow |\ln x - \ln y| < \ln 2$ pour tous $x,y > 0$. Mais pour $n$ assez grand pour que $\tfrac1n \le \alpha$, les points $x_n = \tfrac1n$ et $y_n = \tfrac2n$ vérifient $|x_n-y_n| = \tfrac1n \le \alpha$ alors que $|\ln x_n - \ln y_n| = \bigl|\ln\tfrac12\bigr| = \ln 2$ --- ce qui contredit l'inégalité stricte. Donc aucun $\alpha$ ne convient, et $\ln$ n'est pas uniformément continue.

Lipschitzienne est strictement plus fort qu'uniformément continue, qui est strictement plus fort que continue.

Exemple — Une distance à une partie calculée

Dans $\mathbb{R}$ muni de la valeur absolue, calculer $d(x,A)$ pour $A = [0,1]$ et un $x \in \mathbb{R}$ quelconque.

Correction

Par définition $d(x,A) = \inf_{a \in [0,1]} |x-a|$. Trois cas, selon la position de $x$ par rapport à $[0,1]$ :

si $x < 0$, alors $|x-a| = a - x$ est minimal en $a = 0$, donc $d(x,A) = -x = |x|$ ;
si $0 \le x \le 1$, alors $x \in A$ et $a = x$ donne $|x-a| = 0$, donc $d(x,A) = 0$ ;
si $x > 1$, alors $|x-a| = x - a$ est minimal en $a = 1$, donc $d(x,A) = x - 1$.

En bref $d(x,[0,1]) = \max(0,\ -x,\ x-1)$. Conformément à la proposition précédente, $d(x,A) = 0$ exactement sur $[0,1] = \overline{[0,1]}$.

Méthode — Montrer qu'une application est lipschitzienne ou uniformément continue

Lipschitzienne --- majorer $\norme{f(x)-f(y)}$ par $k\,\norme{x-y}$ avec une constante $k \ge 0$ indépendante de $x,y$ ; l'inégalité triangulaire et l'inégalité triangulaire renversée sont les outils usuels.
Uniformément continue --- exhiber, pour chaque $\varepsilon > 0$, un $\alpha > 0$ valable pour tous les couples $x,y$ ; la voie la plus rapide est de prouver $f$ lipschitzienne, puisque lipschitzienne entraîne uniformément continue.
pour montrer qu'une application n'est pas uniformément continue, exhiber deux suites $(x_n)$, $(y_n)$ avec $\norme{x_n-y_n} \to 0$ mais $\norme{f(x_n)-f(y_n)}$ minorée par un réel strictement positif.

Compétences à pratiquer

Vérifier les caractères lipschitzien et uniformément continu

III Applications linéaires et multilinéaires continues

III.1 Critère de continuité d'une application linéaire

Les applications linéaires bénéficient d'un test de continuité bien plus simple que la définition générale $\varepsilon$-$\alpha$. Par linéarité, la continuité partout se ramène à la continuité en $0_E$, laquelle se résume à une seule inégalité $\norme{u(x)} \le C\,\norme{x}$. Lorsque $E$ est de dimension finie l'inégalité est automatique --- toute application linéaire est alors continue --- comme l'établit le chapitre ultérieur Compacité, connexité, dimension finie ; ici $E$ est quelconque, donc le critère a un vrai contenu.

Theorem — Critère de continuité d'une application linéaire

Soit $u \colon E \to F$ une application linéaire. Alors $u$ est continue sur $E$ si et seulement s'il existe un réel $C \ge 0$ tel que $$ \forall x \in E,\quad \norme{u(x)} \le C\,\norme{x}. $$

Preuve

$(\Leftarrow)$ Supposons $\norme{u(x)} \le C\,\norme{x}$ pour tout $x$. Pour tout $x_0 \in E$ et tout $x \in E$, la linéarité donne $u(x) - u(x_0) = u(x - x_0)$, d'où $$ \norme{u(x) - u(x_0)} = \norme{u(x-x_0)} \le C\,\norme{x - x_0}. $$ Donc $u$ est $C$-lipschitzienne, donc continue sur $E$ par la hiérarchie du \S2.3.
$(\Rightarrow)$ Supposons $u$ continue ; en particulier elle est continue en $0_E$, où $u(0_E) = 0_F$ par linéarité. En appliquant la définition avec $\varepsilon = 1$, il existe $\alpha > 0$ tel que $\norme{x} \le \alpha \Rightarrow \norme{u(x)} \le 1$. Soit $x \in E$ avec $x \ne 0_E$. Le vecteur $\dfrac{\alpha x}{\norme{x}}$ a pour norme $\alpha$, donc $\norme{u\!\left(\dfrac{\alpha x}{\norme{x}}\right)} \le 1$ ; par linéarité et homogénéité, $$ \begin{aligned} \norme{u\!\left(\tfrac{\alpha x}{\norme{x}}\right)} &= \tfrac{\alpha}{\norme{x}}\,\norme{u(x)} && \text{(linéarité et homogénéité de la norme)}\\ &\le 1, && \end{aligned} $$ d'où $\norme{u(x)} \le \tfrac{1}{\alpha}\,\norme{x}$. Cette inégalité vaut aussi en $x = 0_E$ (les deux membres sont nuls). Donc $C = \tfrac{1}{\alpha}$ convient.

Proposition — Formes équivalentes de la continuité d'une application linéaire

Pour une application linéaire $u \colon E \to F$, les assertions suivantes sont équivalentes :

[(i)] $u$ est continue sur $E$ ;
[(ii)] $u$ est continue en $0_E$ ;
[(iii)] il existe $C \ge 0$ avec $\norme{u(x)} \le C\,\norme{x}$ pour tout $x$ ;
[(iv)] $u$ est bornée sur la boule unité fermée $B_f(0_E,1)$ ;
[(v)] $u$ est lipschitzienne.

Preuve

Le théorème donne déjà (i) $\iff$ (iii), et sa démonstration montre (iii) $\Rightarrow$ (v) ($u$ est $C$-lipschitzienne) et (v) $\Rightarrow$ (i) (lipschitzienne entraîne continue). Il reste à y intégrer (ii) et (iv).

(i) $\Rightarrow$ (ii) est immédiat : la continuité sur $E$ contient la continuité en $0_E$.
(ii) $\Rightarrow$ (iii) : la démonstration du théorème n'a utilisé que la continuité en $0_E$ pour produire $C = 1/\alpha$.
(iii) $\Rightarrow$ (iv) : si $\norme{u(x)} \le C\,\norme{x}$, alors pour $\norme{x} \le 1$ on a $\norme{u(x)} \le C$, donc $u$ est bornée sur $B_f(0_E,1)$.
(iv) $\Rightarrow$ (iii) : supposons $\norme{u(x)} \le M$ pour $\norme{x} \le 1$. Pour $x \ne 0_E$, le vecteur $x/\norme{x}$ est dans $B_f(0_E,1)$, donc $\norme{u(x/\norme{x})} \le M$, soit $\norme{u(x)} \le M\,\norme{x}$ par homogénéité ; l'inégalité vaut aussi en $0_E$.

Les implications s'enchaînent pour rendre (i)--(v) toutes équivalentes.

Une application linéaire continue garde bornée l'image de la boule unité ; une application discontinue l'envoie à l'infini le long d'une suite.

Exemple — Une forme linéaire continue

Sur l'espace $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{K})$ des fonctions continues, normé par la norme uniforme $\norme{f}_\infty = \sup_{t \in [0,1]} |f(t)|$ (une norme usuelle des espaces de fonctions d'Espaces vectoriels normés), considérons l'évaluation $u \colon f \mapsto f(1)$. Montrer que $u$ est une forme linéaire continue.

Correction

L'application $u$ est linéaire : $(\lambda f + \mu g)(1) = \lambda f(1) + \mu g(1)$. Pour sa continuité, majorons $|u(f)|$ par la norme de $f$ : pour toute $f \in \mathcal{C}([0,1],\mathbb{K})$, $$ |u(f)| = |f(1)| \le \sup_{t \in [0,1]} |f(t)| = \norme{f}_\infty. $$ Donc $\norme{u(f)} \le C\,\norme{f}_\infty$ avec $C = 1$. Par le critère de continuité, la forme linéaire $u$ est continue.

Exemple — Une forme linéaire discontinue

La même évaluation $u \colon f \mapsto f(1)$, prise cette fois sur $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{K})$ avec la norme intégrale $\norme{f}_1 = \int_0^1 |f(t)|\,\mathrm{d}t$ (aussi une norme usuelle des espaces de fonctions d'Espaces vectoriels normés), n'est pas continue. Considérons $f_n(t) = t^n$ : alors $\norme{f_n}_1 = \int_0^1 t^n\,\mathrm{d}t = \tfrac{1}{n+1} \to 0$, tandis que $u(f_n) = f_n(1) = 1$ pour tout $n$. Aucune constante $C$ ne peut vérifier $1 = |u(f_n)| \le C\,\norme{f_n}_1 = \tfrac{C}{n+1}$ pour tout $n$, donc le critère échoue : $u$ est discontinue. La continuité d'une application linéaire dépend bel et bien de la norme choisie.

Méthode — Montrer qu'une application linéaire est continue ou discontinue

Pour une application linéaire $u \colon E \to F$ :

pour prouver $u$ continue, trouver une constante $C \ge 0$ et établir $\norme{u(x)} \le C\,\norme{x}$ pour tout $x \in E$ --- en général en majorant $\norme{u(x)}$ par l'inégalité triangulaire et la définition de la norme choisie ;
pour prouver $u$ discontinue, exhiber une suite $(x_n)$ de vecteurs non nuls avec $\dfrac{\norme{u(x_n)}}{\norme{x_n}} \to +\infty$ --- alors aucune constante $C$ ne peut majorer le rapport, et le critère échoue.

Compétences à pratiquer

Appliquer le critère de continuité linéaire

III.2 La norme d'opérateur

Le critère de continuité attache à une application linéaire continue tout un ensemble de constantes $C$ admissibles. Leur plus petit élément mesure l'application : c'est la norme d'opérateur. Elle fait de l'espace $\mathcal{L}_c(E,F)$ des applications linéaires continues un espace normé à part entière. Dans toute cette sous-section les espaces servant de domaine à une norme d'opérateur --- $E$, et $F$ là où il est domaine --- sont supposés non nuls, de sorte que chaque sphère unité est non vide.

Définition — Norme d'opérateur

L'ensemble des applications linéaires continues de $E$ dans $F$ est noté $\mathcal{L}_c(E,F)$. Pour $u \in \mathcal{L}_c(E,F)$, la norme d'opérateur (ou norme subordonnée) de $u$, notée $\norme{u}_{\mathrm{op}}$, est $$ \norme{u}_{\mathrm{op}} = \sup_{x \ne 0_E} \frac{\norme{u(x)}}{\norme{x}} = \sup_{\norme{x} \le 1} \norme{u(x)} = \sup_{\norme{x} = 1} \norme{u(x)}. $$ Les trois bornes supérieures sont égales et finies : finies car $u$ est continue ; égales car l'homogénéité donne $\norme{u(x)}/\norme{x} = \norme{u(x/\norme{x})}$, donc chaque rapport est la valeur de $\norme{u(\cdot)}$ au vecteur unitaire $x/\norme{x}$ --- d'où le $\sup$ sur $x \ne 0_E$ égal au $\sup$ sur $\norme{x} = 1$ --- tandis que pour un point de la boule unité ($0 < \norme{x} \le 1$) on a $\norme{u(x)} \le \norme{u(x/\norme{x})}$, une valeur déjà comptée dans la borne supérieure sur la sphère, donc le $\sup$ sur $\norme{x} \le 1$ égale aussi le $\sup$ sur $\norme{x} = 1$ --- une égalité de bornes supérieures, sans affirmer qu'aucune soit atteinte.

Proposition — La norme d'opérateur est une norme

L'application $u \mapsto \norme{u}_{\mathrm{op}}$ est une norme sur l'espace vectoriel $\mathcal{L}_c(E,F)$. De plus, pour tout $u \in \mathcal{L}_c(E,F)$, $$ \forall x \in E,\quad \norme{u(x)} \le \norme{u}_{\mathrm{op}}\,\norme{x}, $$ et pour tout réel $C \ge 0$, $\norme{u}_{\mathrm{op}} \le C$ si et seulement si $\norme{u(x)} \le C\,\norme{x}$ pour tout $x$ --- donc $\norme{u}_{\mathrm{op}}$ est exactement la plus petite constante valable du critère de continuité.

Preuve

D'abord, $\mathcal{L}_c(E,F)$ est un espace vectoriel : les opérations sur les applications continues rendent continue et linéaire une combinaison linéaire d'applications linéaires continues.

L'inégalité fondamentale et la propriété de plus petite constante. Pour $x \ne 0_E$, $\norme{u(x)}/\norme{x} \le \norme{u}_{\mathrm{op}}$ par définition de la borne supérieure, donc $\norme{u(x)} \le \norme{u}_{\mathrm{op}}\,\norme{x}$ ; cela vaut aussi en $0_E$. Et $\norme{u}_{\mathrm{op}} \le C$ signifie que $C$ majore tous les rapports $\norme{u(x)}/\norme{x}$, ce qui est exactement $\norme{u(x)} \le C\,\norme{x}$ pour tout $x \ne 0_E$ --- donc pour tout $x$. Ainsi $\norme{u}_{\mathrm{op}}$, étant la borne supérieure, est la plus petite constante $C$ admissible.
Séparation. Si $\norme{u}_{\mathrm{op}} = 0$, alors $\norme{u(x)} \le 0$ pour tout $x$, donc $u(x) = 0_F$ pour tout $x$, c'est-à-dire $u$ est l'application nulle. Réciproquement l'application nulle a une norme d'opérateur nulle.
Homogénéité. Pour $\lambda \in \mathbb{K}$, $\norme{(\lambda u)(x)} = |\lambda|\,\norme{u(x)}$, donc en prenant la borne supérieure sur $\norme{x} = 1$ on obtient $\norme{\lambda u}_{\mathrm{op}} = |\lambda|\,\norme{u}_{\mathrm{op}}$.
Inégalité triangulaire. Pour $\norme{x} = 1$, $\norme{(u+v)(x)} \le \norme{u(x)} + \norme{v(x)} \le \norme{u}_{\mathrm{op}} + \norme{v}_{\mathrm{op}}$ ; le membre de droite est un majorant, donc $\norme{u+v}_{\mathrm{op}} \le \norme{u}_{\mathrm{op}} + \norme{v}_{\mathrm{op}}$.

Les trois axiomes de norme sont vérifiés, donc $\norme{\cdot}_{\mathrm{op}}$ est une norme sur $\mathcal{L}_c(E,F)$.

Proposition — Sous-multiplicativité de la norme d'opérateur

Soit $u \in \mathcal{L}_c(E,F)$ et $v \in \mathcal{L}_c(F,G)$, avec $E$ et $F$ non nuls. Alors $v \circ u \in \mathcal{L}_c(E,G)$ et $$ \norme{v \circ u}_{\mathrm{op}} \le \norme{v}_{\mathrm{op}}\,\norme{u}_{\mathrm{op}}. $$ En particulier, pour l'identité d'un espace non nul, $\norme{\mathrm{id}_E}_{\mathrm{op}} = 1$.

Preuve

La composée $v \circ u$ est linéaire, et continue comme composée d'applications continues, donc $v \circ u \in \mathcal{L}_c(E,G)$. Pour tout $x \in E$, en appliquant deux fois l'inégalité fondamentale, $$ \begin{aligned} \norme{(v \circ u)(x)} &= \norme{v\bigl(u(x)\bigr)} && \\ &\le \norme{v}_{\mathrm{op}}\,\norme{u(x)} && \text{(inégalité fondamentale pour }v\text{)}\\ &\le \norme{v}_{\mathrm{op}}\,\norme{u}_{\mathrm{op}}\,\norme{x}. && \text{(inégalité fondamentale pour }u\text{)} \end{aligned} $$ Donc $\norme{v}_{\mathrm{op}}\,\norme{u}_{\mathrm{op}}$ est une constante admissible pour $v \circ u$ ; étant la plus petite, $\norme{v \circ u}_{\mathrm{op}} \le \norme{v}_{\mathrm{op}}\,\norme{u}_{\mathrm{op}}$. Pour l'identité : $\norme{\mathrm{id}_E(x)} = \norme{x}$, donc tout rapport vaut $1$ et $\norme{\mathrm{id}_E}_{\mathrm{op}} = \sup_{\norme{x}=1} \norme{x} = 1$ (la sphère unité est non vide car $E \ne \{0_E\}$).

Définition — Norme subordonnée d'une matrice

Munissons $\mathbb{K}^p$ et $\mathbb{K}^n$ chacun de l'une des normes usuelles $\norme{\cdot}_1$, $\norme{\cdot}_2$, $\norme{\cdot}_\infty$ d'Espaces vectoriels normés. Pour une matrice $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$, la norme subordonnée $\norme{A}_{\mathrm{op}}$ est la norme d'opérateur de l'application linéaire $X \mapsto AX$ de $\mathbb{K}^p$ dans $\mathbb{K}^n$. Cette application est continue : la majoration $\norme{AX} \le C\,\norme{X}$ vaut avec un $C$ explicite lu sur les coefficients de $A$ --- par exemple, avec $\norme{\cdot}_\infty$ au départ et à l'arrivée, $\norme{AX}_\infty \le \bigl(\max_i \sum_j |a_{ij}|\bigr)\,\norme{X}_\infty$ --- un calcul direct sur les coefficients, et le même genre d'estimation finie sur les coefficients fournit un tel $C$ pour chaque appariement des normes usuelles au départ et à l'arrivée, sans recours à l'équivalence des normes en dimension finie. La valeur de $\norme{A}_{\mathrm{op}}$ dépend des deux normes choisies, celle au départ et celle à l'arrivée.

La norme d'opérateur est le plus loin que la sphère unité atteint une fois transformée par $u$ --- une borne supérieure, pas nécessairement atteinte.

Exemple — Une norme d'opérateur calculée

Sur $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{K})$ muni de la norme uniforme $\norme{\cdot}_\infty$, calculer la norme d'opérateur de la forme linéaire continue $u \colon f \mapsto f(1)$.

Correction

Deux étapes : un majorant, puis un vecteur qui l'atteint.

Majorant. Pour toute $f$, $|u(f)| = |f(1)| \le \norme{f}_\infty$, donc $C = 1$ est une constante admissible ; étant la plus petite, $\norme{u}_{\mathrm{op}} \le 1$.
Égalité. Prenons la fonction constante $f_0 \equiv 1$. Alors $\norme{f_0}_\infty = 1$ et $|u(f_0)| = |f_0(1)| = 1$, donc le rapport $|u(f_0)|/\norme{f_0}_\infty = 1$ est atteint. D'où $\norme{u}_{\mathrm{op}} \ge 1$.

En combinant les deux, $\norme{u}_{\mathrm{op}} = 1$.

Exemple — L'identité et une norme subordonnée matricielle

L'identité de tout espace normé non nul a pour norme d'opérateur $\norme{\mathrm{id}_E}_{\mathrm{op}} = 1$. Pour une matrice, prenons $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ agissant sur $\mathbb{K}^2$ avec $\norme{\cdot}_\infty$ : pour $X = (x_1,x_2)$, $\norme{AX}_\infty = \max(2|x_1|,3|x_2|) \le 3\,\norme{X}_\infty$, et l'égalité a lieu pour $X = (0,1)$, donc $\norme{A}_{\mathrm{op}} = 3$ --- le plus grand facteur de dilatation.

Méthode — Calculer une norme d'opérateur

Pour déterminer $\norme{u}_{\mathrm{op}}$ d'une application linéaire continue $u$ :

majorant --- établir $\norme{u(x)} \le C\,\norme{x}$ pour tout $x$ avec une constante $C$ explicite ; cela donne $\norme{u}_{\mathrm{op}} \le C$ ;
minorant --- exhiber un vecteur non nul $x_0$ avec $\norme{u(x_0)} = C\,\norme{x_0}$, ou une suite $(x_n)$ de vecteurs non nuls avec $\norme{u(x_n)}/\norme{x_n} \to C$ ; cela donne $\norme{u}_{\mathrm{op}} \ge C$ ;
conclure $\norme{u}_{\mathrm{op}} = C$.

Compétences à pratiquer

Calculer et majorer des normes d'opérateur

III.3 Applications multilinéaires continues

L'image simple du \S3.1 s'étend aux applications linéaires en chaque variable séparément --- les applications multilinéaires. La continuité est de nouveau saisie par une seule inégalité, cette fois une majoration produit $\norme{u(x_1,\dots,x_p)} \le C\,\norme{x_1}\cdots\norme{x_p}$.

Définition — Application multilinéaire

Soit $p \ge 1$ un entier et $E_1,\dots,E_p$, $F$ des espaces normés. Une application $u \colon E_1 \times \dots \times E_p \to F$ est multilinéaire (ou $p$-linéaire) si elle est linéaire en chaque variable séparément : pour tout indice $k$ et tout choix fixé des autres variables, l'application partielle $$ x_k \longmapsto u(x_1,\dots,x_{k-1},x_k,x_{k+1},\dots,x_p) $$ est linéaire de $E_k$ dans $F$. Pour $p = 2$ on dit bilinéaire.

Theorem — Critère de continuité d'une application multilinéaire

Soit $u \colon E_1 \times \dots \times E_p \to F$ une application multilinéaire, le produit $E_1 \times \dots \times E_p$ étant muni de la norme produit $\norme{(x_1,\dots,x_p)} = \max_{k} \norme{x_k}$. Alors $u$ est continue si et seulement s'il existe un réel $C \ge 0$ tel que $$ \forall (x_1,\dots,x_p) \in E_1 \times \dots \times E_p,\quad \norme{u(x_1,\dots,x_p)} \le C\,\norme{x_1}\,\norme{x_2}\cdots\norme{x_p}. $$

Ce critère est admis : sa démonstration n'est pas exigible par le programme. Il généralise le critère linéaire du \S3.1 --- la continuité équivaut de nouveau à une seule majoration, maintenant multiplicative en les $p$ variables --- et se démontre par le même genre d'argument de remise à l'échelle, rendu plus délicat par la pluralité des variables.

Exemple — La multiplication matricielle est continue

Fixons une norme usuelle sur $\mathbb{K}^n$ et munissons $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ de la norme subordonnée $\norme{\cdot}_{\mathrm{op}}$ correspondante du \S3.2. L'application produit $\mu \colon (A,B) \mapsto AB$ sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})^2$ est bilinéaire. La sous-multiplicativité, démontrée au \S3.2, donne $\norme{AB}_{\mathrm{op}} \le \norme{A}_{\mathrm{op}}\,\norme{B}_{\mathrm{op}}$, c'est-à-dire la majoration produit avec $C = 1$. Par le critère, $\mu$ est continue --- la norme concrète et l'inégalité sont nommées, non supposées.

Exemple — La composition d'applications linéaires continues est continue

Avec $E$, $F$, $G$ non nuls (la convention de norme d'opérateur du \S3.2), l'application de composition $c \colon (u,v) \mapsto v \circ u$ de $\mathcal{L}_c(E,F) \times \mathcal{L}_c(F,G)$ dans $\mathcal{L}_c(E,G)$ est bilinéaire. Par la sous-multiplicativité du \S3.2, $\norme{v \circ u}_{\mathrm{op}} \le \norme{v}_{\mathrm{op}}\,\norme{u}_{\mathrm{op}}$ --- la majoration produit avec $C = 1$ --- donc $c$ est continue. La composition d'applications linéaires continues est elle-même une opération continue.

Pour aller plus loin

Ce chapitre a construit les limites et la continuité des applications entre espaces normés. Le chapitre Compacité, connexité, dimension finie distingue les parties compactes et connexes par arcs et démontre les grands théorèmes que la continuité porte sur elles --- Bolzano--Weierstrass, le théorème de Heine, le théorème des bornes atteintes et le théorème des valeurs intermédiaires généralisé --- et montre qu'en dimension finie toutes les normes sont équivalentes et que toute application linéaire et multilinéaire est automatiquement continue, de sorte que les critères de la section~3 sont alors satisfaits gratuitement.

Compétences à pratiquer

Appliquer le critère de continuité multilinéaire