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Intégration sur un intervalle quelconque

⌚ ~83 min ▢ 10 blocs ✓ 18 exercices ➣ Prérequis : Intégration sur un segment, Analyse asymptotique, Séries numériques et vectorielles

L'intégrale MPSI était définie sur un segment compact $[a, b]$ pour des fonctions continues par morceaux (CM). Ce chapitre étend la construction aux intervalles non compacts --- $[a, +\infty[$, $]a, b]$, $]a, b[$ --- par passage à la limite à une ou deux bornes. Deux outils nouveaux structurent le chapitre. D'abord l'intégrabilité : une condition suffisante qui calque la convergence absolue pour les séries, avec $L^1(I, \mathbb{K})$ comme $\mathbb{K}$-espace vectoriel des fonctions intégrables de $I$. Ensuite l'intégration des relations de comparaison : le miroir intégral de la sommation des relations de comparaison de Séries numériques et vectorielles, de même structure (référence positive ; transfert aux restes si intégrabilité, aux intégrales partielles sinon).
Le chapitre est calibré pour soutenir une boîte à outils asymptotique : extraire des équivalents et des développements asymptotiques d'intégrales lorsque $x \to +\infty$ ou au voisinage d'une singularité, avec l'asymptotique gaussienne $\int_x^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t \;\sim\; \mathrm{e}^{-x^2}/(2x)$ comme application phare.

Conventions

Tout au long de ce chapitre, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ d'intérieur non vide. On note $\mathcal{C}_{pm}(I, \mathbb{K})$ le $\mathbb{K}$-espace vectoriel des fonctions continues par morceaux de $I$ --- la même construction que $\mathcal{CM}([a, b], \mathbb{K})$ de MPSI dans Intégration sur un segment, appliquée à un intervalle quelconque $I$ au lieu d'un segment compact (une fonction $f : I \to \mathbb{K}$ est CM sur $I$ si sa restriction à tout sous-segment compact de $I$ est CM au sens MPSI). L'indice « pm » (« par morceaux ») est la convention de prépa utilisée tout au long du chapitre. Notation d'intégrale impropre : $\int_a^{+\infty} f$, $\int_a^b f$ avec $b$ ouvert (ou $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$), $\int_I f$ pour $f$ intégrable.

I Intégrales généralisées

I.1 Intégrale généralisée sur une demi-droite en l'infini

À partir de l'intégrale sur un segment de Intégration sur un segment, on étend par passage à la limite à la borne supérieure $+\infty$. La fonction $f$ reste dans la même classe --- continue par morceaux --- seule la borne change.

Définition — Intégrale généralisée sur une demi-droite en l'infini

Soit $f \in \mathcal{C}_{pm}([a, +\infty[, \mathbb{K})$. L'intégrale généralisée de $f$ sur $[a, +\infty[$ est dite convergente lorsque la fonction $x \mapsto \int_a^x f$ admet une limite finie quand $x \to +\infty$. La limite est alors notée $$ \int_a^{+\infty} f \;=\; \lim_{x \to +\infty} \int_a^x f \;\in\; \mathbb{K}, $$ ou encore $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$. Sinon l'intégrale est dite divergente. Lorsque $f$ est à valeurs réelles et $x \mapsto \int_a^x f$ tend vers $\pm\infty$, on écrit par convention $\int_a^{+\infty} f = \pm\infty$.

Exemple — Intégrale de Riemann en l'infini convergente

Une primitive de $t \mapsto 1/t^2$ sur $[1, +\infty[$ est $t \mapsto -1/t$, donc $$ \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t^2} \;=\; \left[-\frac{1}{t}\right]_1^x \;=\; 1 - \frac{1}{x} \;\xrightarrow[x \to +\infty]{}\; 1. $$ L'intégrale converge, avec $\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t^2 = 1$.

Exemple — Intégrale harmonique divergente vers l'infini

Une primitive de $1/t$ sur $[1, +\infty[$ est $\ln$, donc $\int_1^x \mathrm{d}t/t = \ln x \to +\infty$. Par convention on écrit $\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t = +\infty$.

Exemple — Intégrale du cosinus divergente par oscillation

$\int_0^x \cos t\,\mathrm{d}t = \sin x$, qui n'a pas de limite quand $x \to +\infty$ (oscille entre $-1$ et $1$). L'intégrale diverge --- et ce n'est pas une divergence vers $\pm\infty$.

Proposition — Dérivée d'une intégrale de queue

Si $f \in \mathcal{C}([a, +\infty[, \mathbb{K})$ et $\int_a^{+\infty} f$ converge, la fonction $$ G : x \;\longmapsto\; \int_x^{+\infty} f \;=\; \int_a^{+\infty} f - \int_a^x f $$ est dérivable sur $[a, +\infty[$ avec $G'(x) = -f(x)$ (par convention, la dérivée à droite en $a$ est la dérivée en ce point).

Preuve

Par le théorème fondamental du calcul intégral (rappel de Intégration sur un segment) appliqué à $f$ continue sur $[a, +\infty[$, l'application $x \mapsto \int_a^x f$ est dérivable sur $[a, +\infty[$ de dérivée $f$. La soustraction à la constante $\int_a^{+\infty} f$ renverse le signe.

Proposition — Divergence grossière à l'infini

Soit $f \in \mathcal{C}_{pm}([a, +\infty[, \mathbb{R})$. Si $f$ admet une limite finie non nulle $\ell$ ou $\pm\infty$ en $+\infty$, alors $\int_a^{+\infty} f$ diverge.

Preuve

L'argument repose sur le signe constant à partir d'un rang de $f$ :

Si $f(x) \to \ell > 0$, alors à partir d'un rang $N$, $f(x) \ge \ell/2 > 0$ pour $x \ge N$, donc $\int_N^x f \ge (\ell/2)(x - N) \to +\infty$, d'où $\int_a^x f \to +\infty$.
Le cas $\ell < 0$ est symétrique, avec $\int_a^x f \to -\infty$.
Le cas $\ell = +\infty$ est encore plus immédiat : à partir d'un rang, $f(x) \ge 1$, donc $\int_a^x f \ge x - a - C \to +\infty$. Le cas $\ell = -\infty$ est symétrique.

C'est le signe constant à partir d'un rang de $f$ qui pousse l'intégrale vers $\pm\infty$.

Attention

Contrairement au cas des séries (où $u_n \to 0$ est nécessaire à la convergence de $\sum u_n$), l'intégrale $\int_a^{+\infty} f$ peut converger sans que $f$ admette de limite en $+\infty$. La proposition de divergence grossière est une condition suffisante de divergence à sens unique, pas la contraposée d'une affirmation « $f \to 0$ nécessaire ».
Contre-exemple. Une fonction « triangulaire » positive $f$ sur $[2, +\infty[$ : des triangles de base $1/n^2$, de hauteur $2$, centrés sur chaque entier $n \ge 3$ (chaque triangle reste donc strictement à l'intérieur de $[2, +\infty[$ ; $f = 0$ sur $[2, 3 - 1/18]$). Le triangle en $n$ a pour aire $1/n^2$, donc $\int_2^x f \le \sum_{k \ge 3} 1/k^2 \le \pi^2/6 - 1 - 1/4$, et $\int_2^{+\infty} f$ converge. Pourtant $f$ atteint la valeur $2$ en chaque entier $n \ge 3$, donc $f$ n'a pas de limite en $+\infty$.

Méthode — Vérifier la convergence d'une intégrale impropre en l'infini

Vérifier $f \in \mathcal{C}_{pm}([a, +\infty[, \mathbb{K})$.
Si $f$ admet une limite non nulle (finie ou $\pm\infty$) en $+\infty$ : divergence par divergence grossière.
Sinon, essayer de calculer une primitive de $f$ sur $[a, +\infty[$ et passer à la limite.
Si pas de primitive close : se rabattre sur la caractérisation du cas positif du \S 2.1 ou le théorème de comparaison pour l'intégrabilité du \S 2.3.

Ne pas reproduire la règle des séries « $u_n \to 0$ nécessaire » --- le contre-exemple triangulaire ci-dessus montre que cette règle est fausse pour les intégrales.

Compétences à pratiquer

Calculer une intégrale généralisée sur une demi-droite en l'infini

I.2 Intégrale généralisée sur un intervalle quelconque

La construction du \S 1.1 s'étend aux deux autres types d'intervalles par symétrie : semi-ouvert $]a, b]$ (passage à la limite en $a^+$), ouvert $]a, b[$ (passage à la limite aux deux bornes indépendamment). On isole également le cas « faussement impropre » où une limite finie à la borne ouverte fait que l'intégrale est en fait une intégrale sur un segment déguisée.

Définition — Intégrale généralisée sur un intervalle semi-ouvert à gauche

Soit $f \in \mathcal{C}_{pm}(]a, b], \mathbb{K})$ (avec $a \in \mathbb{R} \cup \{-\infty\}$, $b \in \mathbb{R}$). L'intégrale impropre $\int_a^b f$ converge lorsque $x \mapsto \int_x^b f$ admet une limite finie quand $x$ tend vers la borne ouverte $a$ depuis l'intérieur de $]a, b]$ --- c'est-à-dire $x \to a^+$ si $a \in \mathbb{R}$, ou $x \to -\infty$ si $a = -\infty$. La limite est alors $$ \int_a^b f \;=\; \lim_{x \to a} \int_x^b f. $$

Exemple — Une intégrale impropre semi-ouverte à gauche par primitive

Pour $f(t) = 1/\sqrt{t}$ sur $]0, 1]$, $f$ est continue sur $]0, 1]$ et une primitive est $t \mapsto 2\sqrt{t}$, donc $$ \int_x^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}} \;=\; \bigl[2\sqrt{t}\bigr]_x^1 \;=\; 2 - 2\sqrt{x} \;\xrightarrow[x \to 0^+]{}\; 2. $$ L'intégrale impropre $\int_0^1 \mathrm{d}t/\sqrt{t}$ converge et vaut $2$. (Même conclusion par la référence du \S 1.4 : $\int_0^1 \mathrm{d}t/t^\alpha$ converge pour $\alpha = 1/2 < 1$.)

Définition — Intégrale généralisée sur un intervalle ouvert

Soit $f \in \mathcal{C}_{pm}(]a, b[, \mathbb{K})$ (avec $a \in \mathbb{R} \cup \{-\infty\}$, $b \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$). On choisit $c \in ]a, b[$ quelconque. L'intégrale impropre $\int_a^b f$ converge lorsque les deux intégrales $\int_a^c f$ (impropre en $a$) et $\int_c^b f$ (impropre en $b$) convergent, et alors $$ \int_a^b f \;:=\; \int_a^c f \,+\, \int_c^b f. $$ La valeur ne dépend pas de $c$ (conséquence de Chasles sur les segments). Les deux convergences sont requises indépendamment : il ne suffit pas qu'une limite symétrique / en valeur principale (par exemple $\lim_{r \to +\infty} \int_{-r}^{r} f$ pour $]-\infty, +\infty[$) existe --- voir l'Exemple ci-dessous.

Exemple — Limite symétrique vs convergence

L'intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty} t\,\mathrm{d}t$ diverge : en effet, $\int_0^x t\,\mathrm{d}t = x^2/2 \to +\infty$, donc $\int_0^{+\infty} t\,\mathrm{d}t$ diverge, et la définition pour intervalle ouvert échoue en $+\infty$. Pourtant par symétrie, $\int_{-x}^{x} t\,\mathrm{d}t = 0$ pour tout $x > 0$, donc la limite symétrique vaut $0$ --- une « compensation » trompeuse qui n'est pas la définition de la convergence sur $]-\infty, +\infty[$.

Proposition — Intégrale faussement impropre

Soit $f \in \mathcal{C}_{pm}([a, b[, \mathbb{K})$ avec $b \in \mathbb{R}$ fini. On suppose que $f$ est continue sur un voisinage à gauche de $b$ et admet une limite finie en $b^-$. On définit le prolongement $\tilde{f}$ sur $[a, b]$ en posant $\tilde{f}(b) := \lim_{x \to b^-} f(x)$ (et $\tilde{f} = f$ sur $[a, b[$). Alors $\tilde{f} \in \mathcal{C}_{pm}([a, b], \mathbb{K})$, l'intégrale impropre $\int_a^b f$ converge, et $$ \int_a^b f \;=\; \int_a^b \tilde{f}, $$ le membre de droite étant une intégrale sur un segment.

Preuve

L'hypothèse de continuité au voisinage de gauche de $b$ empêche l'accumulation des sauts CM en $b$, donc $\tilde{f}$ n'a que les sauts intérieurs en nombre fini de $f$ sur $[a, b[$, plus la continuité en $b$ par construction --- ainsi $\tilde{f} \in \mathcal{C}_{pm}([a, b], \mathbb{K})$. L'application $x \mapsto \int_a^x \tilde{f}$ est continue sur $[a, b]$ (rappel de Intégration sur un segment) ; sur $[a, b[$ elle coïncide avec $x \mapsto \int_a^x f$, donc cette dernière admet en $b^-$ la limite $\int_a^b \tilde{f}$.

Exemple — Sinus cardinal faussement impropre en zéro

La fonction $t \mapsto (\sin t)/t$ est continue sur $]0, 1]$ et $(\sin t)/t \to 1$ quand $t \to 0^+$ (développement $\sin t = t + O(t^3)$). Par la proposition (appliquée symétriquement à la borne gauche $0$, selon la convention du \S 1.2) : $\int_0^1 (\sin t)/t\,\mathrm{d}t$ converge en tant qu'intégrale faussement impropre, égale à l'intégrale sur un segment du prolongement continu.

Exemple — Intégrale du logarithme vraiment impropre en zéro

La fonction $\ln$ n'a pas de limite finie en $0^+$ ($\ln t \to -\infty$), donc la proposition ne s'applique pas. L'intégrale converge néanmoins par calcul direct : une primitive de $\ln$ est $t \mapsto t \ln t - t$, donc $$ \int_x^1 \ln t\,\mathrm{d}t \;=\; [t \ln t - t]_x^1 \;=\; -1 - (x \ln x - x) \;\xrightarrow[x \to 0^+]{}\; -1, $$ en utilisant $x \ln x \to 0$.

Compétences à pratiquer

Étudier une intégrale généralisée sur un intervalle quelconque

I.3 Propriétés et notations

Les quatre propriétés ci-dessous sont des conséquences directes des propriétés correspondantes de l'intégrale sur un segment (rappel de Intégration sur un segment) par passage à la limite. Chaque énoncé est donné pour le cas $[a, b[$ avec $b \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$ --- les autres types d'intervalles sont identiques par symétrie.

Proposition — Linéarité

Soient $f, g \in \mathcal{C}_{pm}([a, b[, \mathbb{K})$ avec $\int_a^b f$ et $\int_a^b g$ convergentes, et $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$. Alors $\int_a^b (\lambda f + \mu g)$ converge et $$ \int_a^b (\lambda f + \mu g) \;=\; \lambda \int_a^b f \;+\; \mu \int_a^b g. $$ L'ensemble des $f \in \mathcal{C}_{pm}([a, b[, \mathbb{K})$ tels que $\int_a^b f$ converge est un $\mathbb{K}$-sous-espace, et l'intégrale y est linéaire.

Preuve

La linéarité de l'intégrale sur un segment (rappel de Intégration sur un segment) donne, pour tout $x \in [a, b[$, $$ \int_a^x (\lambda f + \mu g) \;=\; \lambda \int_a^x f \,+\, \mu \int_a^x g. $$ On fait tendre $x \to b^-$ : chaque terme de droite admet une limite finie, donc celui de gauche aussi.

Proposition — Relation de Chasles

Soit $f \in \mathcal{C}_{pm}(]a, b[, \mathbb{K})$ avec $\int_a^b f$ convergente, et $c \in ]a, b[$. Alors $\int_a^c f$ et $\int_c^b f$ convergent toutes deux, et $$ \int_a^b f \;=\; \int_a^c f \;+\; \int_c^b f. $$

Preuve

Direct depuis la définition de la convergence sur l'intervalle ouvert, qui est précisément la convergence simultanée de $\int_a^c f$ et $\int_c^b f$ pour tout $c \in ]a, b[$, plus Chasles sur les segments pour l'égalité.

Proposition — Positivité et croissance (cas réel)

Pour $f \in \mathcal{C}_{pm}([a, b[, \mathbb{R})$ à valeurs réelles avec $\int_a^b f$ convergente :

si $f \ge 0$ sur $[a, b[$, alors $\int_a^b f \ge 0$ ;
si $f, g \in \mathcal{C}_{pm}([a, b[, \mathbb{R})$ avec $f \le g$ et $\int_a^b f$, $\int_a^b g$ convergentes, alors $\int_a^b f \le \int_a^b g$.

Preuve

Limite d'intégrales segmentaires positives (resp. ordonnées). L'ordre entre limites de suites réelles est conservé par passage à la limite.

Proposition — Décomposition partie réelle / imaginaire pour les intégrales complexes

Soit $f \in \mathcal{C}_{pm}(]a, b[, \mathbb{C})$. Alors $\int_a^b f$ converge si et seulement si $\int_a^b \operatorname{Re}(f)$ et $\int_a^b \operatorname{Im}(f)$ convergent toutes deux, et en cas de convergence $$ \int_a^b f \;=\; \int_a^b \operatorname{Re}(f) \;+\; i \int_a^b \operatorname{Im}(f). $$

Preuve

Une suite complexe converge dans $\mathbb{C}$ si et seulement si ses parties réelle et imaginaire convergent dans $\mathbb{R}$. On l'applique à l'intégrale segmentaire $y \mapsto \int_c^y f$ (avec $\operatorname{Re}(\int_c^y f) = \int_c^y \operatorname{Re}(f)$ par linéarité de l'intégrale sur un segment) pour un $c \in ]a, b[$ intérieur quelconque : l'intégrale impropre à la borne supérieure $\int_c^b f$ converge ssi $\int_c^b \operatorname{Re}(f)$ et $\int_c^b \operatorname{Im}(f)$ convergent. Symétriquement pour la demi-intégrale à la borne inférieure sur $]a, c]$. En recollant les deux moitiés par linéarité, on obtient l'équivalence annoncée pour $\int_a^b f$.

Définition — Notation de divergence vers l'infini pour les intégrands positifs

Pour $f \in \mathcal{C}_{pm}(I, \mathbb{R}^+)$ avec $\int_I f$ divergente, on écrit par convention $\int_I f = +\infty$. Comme capacité pratique (programme § 8a) : un calcul aboutissant à $\int_I f < +\infty$ pour $f$ positive vaut preuve de convergence.

Exemple — La notation en action

Par cette convention, $\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t = +\infty$ (rappel de l'Exemple du § 1.1 : l'intégrand est positif sur $[1, +\infty[$, $\int_1^x \mathrm{d}t/t = \ln x \to +\infty$). Réciproquement, calculer $\int_1^x \mathrm{d}t/t^2 = 1 - 1/x \le 1$ pour tout $x \ge 1$ prouve $\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t^2 < +\infty$, donc la convergence (sans avoir à identifier explicitement la limite $1$).

Compétences à pratiquer

Appliquer linéarité$\virgule$ Chasles et la notation de divergence

I.4 Intégrales généralisées de référence

Quatre intégrales impropres calculées explicitement reviennent partout en analyse asymptotique et sont à connaître par cœur. Chacune se règle par une primitive explicite et un passage à la limite.

Proposition — Intégrales de Riemann en l'infini

Pour $\alpha \in \mathbb{R}$, $$ \int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha} \quad\text{converge} \iff \alpha > 1. $$ La valeur est alors $1/(\alpha - 1)$.

Preuve

Pour $\alpha \ne 1$, la primitive de $t \mapsto 1/t^\alpha$ est $t \mapsto t^{1 - \alpha}/(1 - \alpha)$, donc $$ \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha} \;=\; \frac{x^{1 - \alpha} - 1}{1 - \alpha} \;=\; \frac{1}{\alpha - 1}\bigl(1 - x^{1 - \alpha}\bigr). $$ Quand $x \to +\infty$, $x^{1 - \alpha} \to 0$ si $\alpha > 1$ (limite finie $1/(\alpha - 1)$) et $x^{1 - \alpha} \to +\infty$ si $\alpha < 1$ (divergence).
Pour $\alpha = 1$, $\int_1^x \mathrm{d}t/t = \ln x \to +\infty$. Divergence.

Proposition — Intégrales de Riemann en zéro

Pour $\alpha \in \mathbb{R}$, $$ \int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha} \quad\text{converge} \iff \alpha < 1. $$

Preuve

Pour $\alpha \ne 1$, la primitive $t \mapsto t^{1 - \alpha}/(1 - \alpha)$ donne $\int_x^1 \mathrm{d}t/t^\alpha = (1 - x^{1 - \alpha})/(1 - \alpha)$. Quand $x \to 0^+$ : $x^{1 - \alpha} \to 0$ si $\alpha < 1$ (limite finie $1/(1 - \alpha)$), $x^{1 - \alpha} \to +\infty$ si $\alpha > 1$ (divergence).
Pour $\alpha = 1$, la primitive est $\ln$ (pas la puissance $t^{1-\alpha}/(1-\alpha)$, invalide pour cette valeur), donc $\int_x^1 \mathrm{d}t/t = -\ln x \to +\infty$. Divergence.

Proposition — Exponentielle en l'infini

Pour $a \in \mathbb{R}$ :

si $a > 0$, $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-at}\,\mathrm{d}t$ converge et vaut $1/a$ ;
si $a = 0$, $\int_0^{+\infty} 1\,\mathrm{d}t = +\infty$ (divergence triviale) ;
si $a < 0$, l'intégrale diverge par divergence grossière ($\mathrm{e}^{-at} \to +\infty$).

Preuve

Pour $a > 0$, la primitive de $\mathrm{e}^{-at}$ est $-\mathrm{e}^{-at}/a$, donc $$ \int_0^x \mathrm{e}^{-at}\,\mathrm{d}t \;=\; \frac{1 - \mathrm{e}^{-ax}}{a} \;\xrightarrow[x \to +\infty]{}\; \frac{1}{a}. $$ Pour $a \le 0$, le terme général ne tend pas vers $0$ en $+\infty$ (il tend vers $1$ si $a = 0$, vers $+\infty$ si $a < 0$), donc la divergence grossière du \S 1.1 force la divergence.

Proposition — Logarithme en zéro

$\int_0^1 \ln t\,\mathrm{d}t$ converge et vaut $-1$.

Preuve

Une primitive de $\ln$ est $t \mapsto t \ln t - t$, donc $\int_x^1 \ln t\,\mathrm{d}t = -1 - (x \ln x - x) \to -1$ quand $x \to 0^+$ (en utilisant $x \ln x \to 0$).

Méthode — Reconnaître une intégrale de référence

Lire le paramètre depuis l'intégrand --- $\alpha$ pour une intégrale de Riemann, $a$ pour une exponentielle --- et vérifier le seuil ($\alpha > 1$ en $+\infty$, $\alpha < 1$ en $0$, $a > 0$ pour l'exponentielle). Mémoriser les quatre références ; les théorèmes de comparaison du \S 2.3 ramènent alors la plupart des questions d'intégrabilité de ce chapitre à comparer l'intégrand à l'une de ces quatre références.

Compétences à pratiquer

Identifier une intégrale généralisée de référence

I.5 IPP et changement de variable sur un intervalle quelconque

Les deux théorèmes segmentaires de première année --- intégration par parties et changement de variable --- s'étendent au cas non compact sous les mêmes hypothèses de régularité, plus l'existence de limites finies aux bornes ouvertes. Dans les applications pratiques, on ne répète pas les hypothèses de régularité (permission explicite du programme).

Theorem — IPP sur un intervalle quelconque

Soient $f, g \in \mathcal{C}^1([a, b[, \mathbb{K})$ avec $b \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$. Si $\lim_{x \to b^-} f(x) g(x)$ existe et est finie, alors les intégrales impropres $\int_a^b f' g$ et $\int_a^b f g'$ sont de même nature, et en cas de convergence $$ \int_a^b f g' \;=\; \bigl[fg\bigr]_a^{b^-} \,-\, \int_a^b f' g, \qquad \bigl[fg\bigr]_a^{b^-} \,:=\, \lim_{x \to b^-} f(x)g(x) \,-\, f(a)g(a). $$ Version bilatérale sur $]a, b[$ : si $\lim_{x \to a^+} f(x) g(x)$ et $\lim_{x \to b^-} f(x) g(x)$ existent et sont finies, même conclusion avec $\bigl[fg\bigr]_{a^+}^{b^-} = \lim_{b^-} fg - \lim_{a^+} fg$.

Preuve

IPP sur le segment $[a, x]$ (rappel de Intégration sur un segment) : $$ \int_a^x f g' \;=\; [fg]_a^x \,-\, \int_a^x f' g. $$ Quand $x \to b^-$ : le terme de bord $[fg]_a^x$ tend vers $\lim_{b^-} fg - f(a)g(a)$, fini par hypothèse. Donc $\int_a^x fg'$ et $\int_a^x f'g$ diffèrent d'une quantité de limite finie ; elles sont de même nature, et l'égalité annoncée suit. Le cas bilatéral se ramène au cas unilatéral en coupant en un point intérieur.

Méthode — Appliquer IPP sur un intervalle quelconque

Calculer le terme de bord $[fg]$ d'abord : il doit admettre des limites finies aux bornes ouvertes. Si oui, l'IPP transforme l'intégrale ; sinon, l'IPP ne s'applique pas directement --- il faut d'abord amortir $f$ ou $g$ (par exemple intégrer par parties sur un intervalle légèrement réduit).

Exemple — Premier moment exponentiel par IPP

Posons $u(t) = t$, $v'(t) = \mathrm{e}^{-t}$, donc $u'(t) = 1$, $v(t) = -\mathrm{e}^{-t}$. Le terme de bord $u v = -t \mathrm{e}^{-t}$ a pour limites $0$ en $0$ et $0$ en $+\infty$ (la seconde par $t \mathrm{e}^{-t} \to 0$) ; finie, donc IPP s'applique. Alors $$ \int_0^{+\infty} t \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t \;=\; \bigl[-t \mathrm{e}^{-t}\bigr]_0^{+\infty} \,+\, \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t \;=\; 0 \,+\, 1 \;=\; 1. $$

Theorem — Changement de variable sur un intervalle quelconque

Soit $f$ continue sur $]a, b[$ et $\varphi : ]\alpha, \beta[ \,\to\, ]a, b[$ une bijection strictement croissante de classe $\mathcal{C}^1$. Alors les intégrales $$ \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \quad\text{et}\quad \int_\alpha^\beta f\bigl(\varphi(u)\bigr) \varphi'(u)\,\mathrm{d}u $$ sont de même nature, et égales en cas de convergence. Si $\varphi$ est strictement décroissante bijective $\mathcal{C}^1$, même conclusion : on a alors $\varphi(\alpha^+) = b^-$ et $\varphi(\beta^-) = a^+$, donc $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \int_\beta^\alpha f(\varphi(u)) \varphi'(u)\,\mathrm{d}u = -\int_\alpha^\beta f(\varphi(u)) \varphi'(u)\,\mathrm{d}u$ (les bornes s'inversent automatiquement, puis on les remet à l'endroit au prix du signe en tête).

Preuve

Fixons $\gamma \in ]\alpha, \beta[$ et posons $c := \varphi(\gamma) \in ]a, b[$. Par la définition de l'intervalle ouvert (\S 1.2), $\int_a^b f$ converge ssi $\int_a^c f$ et $\int_c^b f$ convergent indépendamment ; même chose à droite en $\gamma$. Par le théorème de changement de variable sur un segment (rappel de Intégration sur un segment), pour tout segment $[\gamma, \beta'] \subset [\gamma, \beta[$ : $$ \int_c^{\varphi(\beta')} f(t)\,\mathrm{d}t \;=\; \int_\gamma^{\beta'} f\bigl(\varphi(u)\bigr) \varphi'(u)\,\mathrm{d}u. $$ On passe à la limite $\beta' \to \beta^-$ : par bijectivité et monotonie de $\varphi$, $\varphi(\beta') \to b^-$, donc les deux intégrales impropres de la borne supérieure sont de même nature et de même valeur en cas de convergence. Symétriquement pour les demi-intégrales à la borne inférieure (limite $\alpha' \to \alpha^+$, $\varphi(\alpha') \to a^+$). En recollant les deux moitiés par Chasles, on obtient l'équivalence pour l'intervalle ouvert complet.

Méthode — Appliquer un changement de variable sur un intervalle non compact

Utiliser la monotonie de $\varphi$ pour envoyer correctement les bornes. Dans les applications standards, les hypothèses $\mathcal{C}^1$ et bijectivité ne sont pas répétées (permission du programme). Manœuvres classiques : $t = \tan u$ pour envoyer $]0, \pi/2[ \to ]0, +\infty[$ ; $t = \mathrm{e}^u$ pour envoyer $]-\infty, +\infty[ \to ]0, +\infty[$ ; $t = u^2$ pour traiter les singularités de type $1/\sqrt{t}$.

Exemple — Intégrale de l'arctangente par changement de variable

Appliquons $t = \tan u$, avec $\varphi : ]0, \pi/2[ \,\to\, ]0, +\infty[$ bijection strictement croissante $\mathcal{C}^1$, $\varphi'(u) = 1 + \tan^2 u = 1 + t^2$. Alors $$ \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^2} \;=\; \int_0^{\pi/2} \frac{1 + \tan^2 u}{1 + \tan^2 u}\,\mathrm{d}u \;=\; \int_0^{\pi/2} \mathrm{d}u \;=\; \frac{\pi}{2}. $$

Compétences à pratiquer

Appliquer IPP et changement de variable sur un intervalle quelconque

II Cas positif et fonctions intégrables

II.1 Cas des fonctions positives

Pour une fonction continue par morceaux à valeurs positives, le problème de convergence se réduit à la borne des intégrales partielles --- exactement la même simplification que pour les séries à termes positifs dans Séries numériques et vectorielles \S 2.

Theorem — Caractérisation du cas positif

Soit $f \in \mathcal{C}_{pm}([a, b[, \mathbb{R}^+)$. Alors $\int_a^b f$ converge si et seulement si $x \mapsto \int_a^x f$ est bornée sur $[a, b[$.

Preuve

L'application $F : x \mapsto \int_a^x f$ est croissante sur $[a, b[$ --- pour $x \le y$ dans $[a, b[$, $F(y) - F(x) = \int_x^y f \ge 0$ par positivité de $f$ (positivité de l'intégrale sur un segment, rappel de Intégration sur un segment ; la dérivabilité de $F$ aux points de saut est sans importance). Le théorème de la limite monotone affirme alors : $F$ admet une limite finie en $b^-$ si et seulement si $F$ est majorée sur $[a, b[$. Pour un intervalle $]a, b[$, on l'applique séparément aux deux moitiés après découpage en $c \in ]a, b[$.

Méthode — Convergence par intégrales partielles majorées

Pour $f$ à valeurs positives, un calcul aboutissant à $\int_a^x f \le M < +\infty$ pour tout $x \in [a, b[$ vaut preuve de convergence (permission explicite du programme). On n'a pas besoin de la valeur explicite de la limite.

Theorem — Règle de majoration

Soient $f, g \in \mathcal{C}_{pm}([a, b[, \mathbb{R})$ avec $0 \le f \le g$ sur $[a, b[$. Si $\int_a^b g$ converge, alors $\int_a^b f$ converge, et $\int_a^b f \le \int_a^b g$. Par contraposée, si $\int_a^b f$ diverge, $\int_a^b g$ diverge.

Preuve

Pour tout $x \in [a, b[$, $\int_a^x f \le \int_a^x g \le \int_a^b g$ (dernière étape par convergence et positivité de $g$). Donc $x \mapsto \int_a^x f$ est majorée par $\int_a^b g$. Par la caractérisation du cas positif, $\int_a^b f$ converge, et $\int_a^b f \le \int_a^b g$ (passage à la limite dans l'inégalité).

Exemple — Sinus carré sur polynôme converge

L'intégrand est positif et $\sin^2(t)/(1+t^2) \le 1/(1+t^2)$ pour tout $t \ge 0$. Comme $\int_0^{+\infty} \mathrm{d}t/(1+t^2) = \pi/2$ (calculée au \S 1.5), la règle de majoration s'applique : l'intégrale converge.

Méthode — Choisir un majorant

Viser une intégrale de référence connue (\S 1.4) : Riemann $1/t^\alpha$ en $+\infty$ ou $0$, exponentielle $\mathrm{e}^{-at}$ en $+\infty$, $|\ln t|$ en $0$ (la référence positive intégrable, puisque $\ln t < 0$ sur $]0, 1[$). Le comportement asymptotique de $f$ à la borne ouverte dicte la référence à comparer.

Compétences à pratiquer

Exploiter la caractérisation du cas positif

II.2 Convergence absolue et espace des fonctions intégrables

L'analogue intégral de la convergence absolue pour les séries. L'espace $L^1(I, \mathbb{K})$ des fonctions intégrables est l'objet central du chapitre, gouverné par l'inégalité triangulaire.

Définition — Convergence absolue

Soit $f \in \mathcal{C}_{pm}([a, b[, \mathbb{K})$. L'intégrale impropre $\int_a^b f$ est dite absolument convergente lorsque l'intégrale numérique positive $\int_a^b |f|$ converge. Même définition sur $]a, b]$ et $]a, b[$.

Exemple — Une première intégrale absolument convergente

Pour $t \ge 0$, $|\cos(t)/(1+t^2)| \le 1/(1+t^2)$, et $\int_0^{+\infty} \mathrm{d}t/(1+t^2) = \pi/2$ converge (exemple du \S 1.5). Par la règle de majoration appliquée à l'intégrand positif $|\cos(t)/(1+t^2)|$, $\int_0^{+\infty} |\cos(t)/(1+t^2)|\,\mathrm{d}t$ converge, donc $\int_0^{+\infty} \cos(t)/(1+t^2)\,\mathrm{d}t$ est absolument convergente.

Theorem — Convergence absolue entraîne convergence

Si $\int_a^b f$ est absolument convergente, alors elle est convergente.

Preuve

Cas réel. Soit $f \in \mathcal{C}_{pm}([a, b[, \mathbb{R})$ avec $\int |f|$ convergente. La décomposition $0 \le f + |f| \le 2|f|$ montre que $f + |f|$ est positive avec $\int (f + |f|) \le 2 \int |f|$, donc convergente par la règle de majoration. Comme $\int |f|$ converge par hypothèse, par linéarité des intégrales impropres convergentes (\S 1.3), $$ \int_a^b f \;=\; \int_a^b (f + |f|) \,-\, \int_a^b |f| \;\in\; \mathbb{R}, $$ différence de deux intégrales impropres convergentes --- donc $\int_a^b f$ converge.
Cas complexe. Soit $f \in \mathcal{C}_{pm}([a, b[, \mathbb{C})$ avec $\int |f|$ convergente. Alors $|\!\operatorname{Re}(f)| \le |f|$ et $|\!\operatorname{Im}(f)| \le |f|$, donc par la règle de majoration $\int |\!\operatorname{Re}(f)|$ et $\int |\!\operatorname{Im}(f)|$ convergent. Par le cas réel appliqué à $\operatorname{Re}(f)$ et $\operatorname{Im}(f)$, $\int \operatorname{Re}(f)$ et $\int \operatorname{Im}(f)$ convergent. Par la décomposition partie réelle / imaginaire du \S 1.3, $\int f = \int \operatorname{Re}(f) + i \int \operatorname{Im}(f)$ converge.
Aucun critère de Cauchy n'est nécessaire.

Remarque -- les intégrales semi-convergentes ne sont pas un objectif du programme

L'étude des intégrales semi-convergentes n'est pas un objectif du programme. (Programme § 8b, reproduit mot pour mot.) Le chapitre MP traite donc la convergence presque exclusivement par convergence absolue ; l'énoncé parallèle apparaît dans Séries numériques et vectorielles § 1.4 pour les séries semi-convergentes, avec le même marqueur hors-programme.

Définition — Fonction intégrable et espace des fonctions intégrables

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f : I \to \mathbb{K}$ une fonction. $f$ est intégrable sur $I$ lorsque $f \in \mathcal{C}_{pm}(I, \mathbb{K})$ et $\int_I |f|$ converge. L'ensemble des fonctions intégrables de $I$ dans $\mathbb{K}$ est noté $L^1(I, \mathbb{K})$. Pour $f \in L^1(I, \mathbb{K})$, l'intégrale $\int_I f$ est définie et automatiquement convergente (par convergence absolue).

Exemple — Intégration composante par composante d'une fonction matricielle

Le cadre $L^1(I, \mathbb{K})$ ci-dessus n'est défini que pour $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, mais s'étend naturellement à une fonction matricielle $f : I \to \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ par définition coefficient par coefficient : $f$ est intégrable sur $I$ lorsque chaque coefficient scalaire $f_{ij} : I \to \mathbb{K}$ est intégrable, et alors $\int_I f := (\int_I f_{ij})_{1 \le i, j \le n}$ (matrice coefficient par coefficient). Concrètement, pour $f : [0, +\infty[ \,\to\, \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ définie par $f_{ij}(t) = a_{ij}\, \mathrm{e}^{-t}$ (avec $a_{ij} \in \mathbb{R}$), chaque coefficient $|a_{ij}| \mathrm{e}^{-t}$ est intégrable par majoration par la référence exponentielle du \S 1.4, donc $f$ est intégrable composante par composante et $$ \int_0^{+\infty} f \;=\; \bigl(a_{ij}\bigr)_{1 \le i, j \le n}. $$ Cette construction coefficient par coefficient calque le critère par les coordonnées des séries matricielles de Séries numériques et vectorielles \S 1.3.

Proposition — L'espace des fonctions intégrables est un espace vectoriel

$L^1(I, \mathbb{K})$ est un $\mathbb{K}$-sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}_{pm}(I, \mathbb{K})$.

Preuve

La fonction nulle est intégrable. Pour $\lambda \in \mathbb{K}$ et $f, g \in L^1(I, \mathbb{K})$, $|\lambda f + g| \le |\lambda||f| + |g|$. Le membre de droite est combinaison positive de deux fonctions intégrables, donc intégrable par linéarité + majoration ; donc $\int |\lambda f + g|$ converge. Ainsi $\lambda f + g \in L^1(I, \mathbb{K})$.

Proposition — Inégalité triangulaire

Pour $f \in L^1(I, \mathbb{K})$, $$ \left|\int_I f\right| \;\le\; \int_I |f|. $$

Preuve

Sur tout sous-segment $[c, d] \subset I$, l'inégalité triangulaire pour l'intégrale sur un segment (rappel de Intégration sur un segment) donne $|\int_c^d f| \le \int_c^d |f|$. Le processus de limite dépend du type de $I$ : pour $I = [a, b[$, fixer $c = a$ et faire tendre $d \to b^-$ ; pour $I = ]a, b]$, fixer $d = b$ et $c \to a^+$ ; pour $I = ]a, b[$, couper en un point intérieur et appliquer le cas unilatéral à chaque moitié (chaque demi-intégrale n'a qu'une seule borne ouverte). Dans tous les cas, le membre de gauche tend vers $|\int_I f|$ par continuité de $|\cdot|$, celui de droite vers $\int_I |f|$, et l'inégalité est préservée à la limite.

Proposition — Continue positive intégrable et intégrale nulle implique nulle

Soit $f : I \to \mathbb{R}^+$ continue sur $I$ et intégrable sur $I$, avec $\int_I f = 0$. Alors $f \equiv 0$ sur $I$.

Preuve

Pour tout segment $[c, d] \subset I$, $0 \le \int_c^d f \le \int_I f = 0$ (positivité + intégrale totale = 0), donc $\int_c^d f = 0$. Par la version MPSI sur un segment ($f \in \mathcal{C}([c, d], \mathbb{R}^+)$ avec $\int_c^d f = 0$ implique $f \equiv 0$ sur $[c, d]$, rappel de Intégration sur un segment), $f \equiv 0$ sur $[c, d]$. Comme $[c, d]$ est arbitraire, $f \equiv 0$ sur $I$.

Attention

La continuité est essentielle dans la Proposition précédente : une fonction CM positive avec des valeurs positives isolées peut avoir une intégrale nulle. L'hypothèse « continue » ne peut pas être affaiblie en « continue par morceaux ».

Exemple — Sinus sur carré absolument convergente en l'infini

Pour $t \ge 1$, $|\sin(t)/t^2| \le 1/t^2$, et $\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t^2$ est l'intégrale de Riemann avec $\alpha = 2 > 1$, donc convergente. Donc $\int_1^{+\infty} \sin(t)/t^2\,\mathrm{d}t$ est absolument convergente. (Borne inférieure $1$ choisie pour éviter la singularité de $\sin(t)/t^2 \sim 1/t$ en $t = 0$, qui n'est pas intégrable en $0$.)

Exemple — Sinus amorti absolument convergente

Pour $t \ge 0$, $|\mathrm{e}^{-t} \sin(t)| \le \mathrm{e}^{-t}$, et $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t = 1$ (référence du \S 1.4). L'intégrale est absolument convergente.

Proposition — Réduction aux bornes

Soit $f \in \mathcal{C}_{pm}(]a, a+\varepsilon], \mathbb{K})$. Alors $f$ est intégrable en $a$ (c'est-à-dire $\int_a^{a+\varepsilon} |f|$ converge) si et seulement si $t \mapsto f(a + t)$ est intégrable en $0$ (sur $]0, \varepsilon]$). Énoncé symétrique en $b$ avec $t \mapsto f(b - t)$.

Preuve

Pour tout $x \in ]a, a+\varepsilon]$, l'invariance par translation de l'intégrale sur un segment appliquée à la fonction CM $|f|$ sur $[x, a+\varepsilon]$ (qui découle du changement de variable continu appliqué entre sauts consécutifs de $|f|$ + Chasles, rappel de Intégration sur un segment) donne $$ \int_x^{a+\varepsilon} |f(t)|\,\mathrm{d}t \;=\; \int_{x-a}^{\varepsilon} |f(a+u)|\,\mathrm{d}u. $$ On passe à la limite $x \to a^+$ (i.e. $x - a \to 0^+$) : les deux membres sont de même nature et de même limite en cas de convergence. Donc $\int_a^{a+\varepsilon} |f|$ converge ssi $\int_0^{\varepsilon} |f(a + \cdot)|$ converge.

Proposition — Référence $\int_a^b \mathrm{d}x/|x-a|^\alpha$ (corollaire du § 1.4 + réduction aux bornes)

Pour $\alpha \in \mathbb{R}$ et $a < b$ finis, $\int_a^b \mathrm{d}x/|x - a|^\alpha$ converge si et seulement si $\alpha < 1$. (Se ramène à $\int_0^{b-a} \mathrm{d}t/t^\alpha$ par translation $t = x - a$.)

Méthode — Démontrer l'intégrabilité par majoration

Majorer $|f|$ par le terme général d'une référence intégrable connue (Riemann en $+\infty$ avec $\alpha > 1$, Riemann en $0$ avec $\alpha < 1$, exponentielle en $+\infty$, $|\ln t|$ en $0$). Alors $\int_I |f|$ converge par la règle de majoration, et $f$ est intégrable. Le théorème de comparaison pour l'intégrabilité du \S 2.3 généralise cette méthode aux comparaisons $O$, $o$, $\sim$.

Compétences à pratiquer

Démontrer l'intégrabilité par majoration

II.3 Théorème de comparaison pour l'intégrabilité

C'est le théorème de comparaison pour l'intégrabilité du programme § 8b : étant donné une référence positive intégrable $g$, une comparaison asymptotique $f = O(g)$ / $f = o(g)$ / $f \sim g$ entraîne l'intégrabilité de $f$. Ceci est distinct du § 3, qui part d'une comparaison sur l'intégrand et transfère l'asymptotique aux restes ou aux intégrales partielles. § 2.3 conclut sur l'intégrabilité de $f$ ; § 3 fournit un équivalent asymptotique pour l'intégrale elle-même.

Theorem — Comparaison $O / o$ pour l'intégrabilité

Soient $f \in \mathcal{C}_{pm}([a, b[, \mathbb{K})$ et $g \in \mathcal{C}_{pm}([a, b[, \mathbb{R}^+)$, avec $g$ intégrable sur $[a, b[$. Si $f = O(g)$ (resp. $f = o(g)$) en $b^-$, alors $f$ est intégrable sur $[a, b[$.

Preuve

L'hypothèse $f = O(g)$ en $b^-$ fournit un rang $c \in [a, b[$ et $M \ge 0$ tels que $|f(t)| \le M g(t)$ pour $t \in [c, b[$. Sur $[c, b[$, la règle de majoration (positivité de $|f|$ vs $M g$) donne l'intégrabilité de $|f|$ sur $[c, b[$. Sur la portion finie $[a, c]$, $|f|$ est CM donc bornée, donc intégrable. Par Chasles, $|f|$ est intégrable sur $[a, b[$, donc $f \in L^1([a, b[, \mathbb{K})$. Le cas $o$ est identique avec $\varepsilon$ à la place de $M$.

Theorem — Comparaison $\sim$ pour l'intégrabilité

Soient $f, g \in \mathcal{C}_{pm}([a, b[, \mathbb{R}^+)$ avec $g$ strictement positive à partir d'un rang près de $b^-$. Si $f \sim g$ en $b^-$, alors $f$ est intégrable sur $[a, b[$ si et seulement si $g$ l'est.

Preuve

$f \sim g$ avec $g > 0$ à partir d'un rang signifie $f/g \to 1$ en $b^-$, donc à partir d'un rang $c$, $f/g \in [1/2, 2]$, soit $g/2 \le f \le 2g$. Deux applications de la règle de majoration donnent l'intégrabilité simultanée de $f$ et $g$ sur $[c, b[$ ; la portion finie $[a, c]$ ajoute une contribution CM bornée, automatiquement intégrable. Conclure par Chasles.

Méthode — Choisir la comparaison

En $+\infty$, comparer à $1/t^\alpha$ pour un $\alpha > 1$. Près de $0$, comparer à $1/t^\alpha$ pour un $\alpha < 1$. Près d'une singularité finie $a$, effectuer le changement de variable $t = x - a$ pour se ramener au cas $0$.

Exemple — Fonction Gamma : intégrabilité

Pour $\alpha \in \mathbb{R}$, l'intégrale Gamma $\int_0^{+\infty} t^{\alpha-1} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t$ est intégrable en $0$ si et seulement si $\alpha > 0$ (comparer à $t^{\alpha-1}$, $\int_0^1 t^{\alpha-1}\,\mathrm{d}t$ converge ssi $-(\alpha-1) < 1$, soit $\alpha > 0$) ; et intégrable en $+\infty$ pour tout $\alpha$ (par comparaison à $\mathrm{e}^{-t/2}$ : $t^{\alpha-1} \mathrm{e}^{-t} = o(\mathrm{e}^{-t/2})$ en $+\infty$ puisque $t^{\alpha-1} \mathrm{e}^{-t/2} \to 0$). Donc $\Gamma(\alpha) = \int_0^{+\infty} t^{\alpha-1} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t$ converge pour tout $\alpha > 0$.

Exemple — Logarithme sur racine carrée convergente

L'intégrand a deux singularités potentielles, en $0$ et en $1$.

Près de $0$. $\sqrt{1 - t^2} \to 1$, donc $\ln t/\sqrt{1 - t^2} \sim \ln t$. Prenons $g = -\ln t$ (la valeur absolue) : $\int_0^1 (-\ln t)\,\mathrm{d}t = 1$ converge (référence du \S 1.4), donc $|\!\ln t / \sqrt{1 - t^2}|$ est intégrable en $0$ par majoration.
Près de $1$. $\sqrt{1 - t^2} = \sqrt{(1 - t)(1 + t)} \sim \sqrt{2(1 - t)}$ et $\ln t = \ln(1 + (t-1)) \sim -(1 - t)$, donc l'intégrand se comporte comme $-(1 - t)/\sqrt{2(1 - t)} = -\sqrt{(1 - t)/2}$, qui $\to 0$ quand $t \to 1^-$. La singularité en $1$ est faussement impropre.

Les deux bornes sont réglées, donc $\int_0^1 \ln t / \sqrt{1 - t^2}\,\mathrm{d}t$ converge.

Compétences à pratiquer

Étudier l'intégrabilité par comparaison

III Intégration des relations de comparaison

Dictionnaire avec le chapitre 13 § 2.3

Cette section est le miroir intégral de Séries numériques et vectorielles § 2.3 (sommation des relations de comparaison). Le dictionnaire est exact : une série $\sum u_n$ a une somme partielle $S_n$ (indice discret) et un reste $R_n$ (défini en cas de convergence) ; une intégrale impropre $\int_a^b f$ a une intégrale partielle $\int_a^x f$ (indice continu $x \to b^-$) et un reste $\int_x^b f$ (défini en cas de convergence). Les deux théorèmes de sommation se transposent mot pour mot : référence positive ; transfert aux restes si intégrabilité, aux intégrales partielles sinon. La seule différence technique est que le passage à la limite est continu ($x \to b^-$) plutôt que discret ($n \to +\infty$).

III.1 Cas intégrable

Lorsque la fonction de référence $g$ est positive et intégrable, une comparaison asymptotique sur l'intégrand se transfère aux restes. C'est le miroir de la sommation dans le cas convergent de Séries numériques et vectorielles § 2.3.

Theorem — Intégration des relations de comparaison -- cas intégrable

Soit $g \in \mathcal{C}_{pm}([a, b[, \mathbb{R}^+)$ intégrable sur $[a, b[$. En $b^-$ :

(cas $O$ et $o$) Pour $f \in \mathcal{C}_{pm}([a, b[, \mathbb{K})$ : si $f = O(g)$ (resp. $f = o(g)$) en $b^-$, alors $f$ est intégrable sur $[a, b[$, et les restes vérifient $\int_x^b f = O(\int_x^b g)$ (resp. $o(\int_x^b g)$) quand $x \to b^-$.
(cas $\sim$) Pour $f \in \mathcal{C}_{pm}([a, b[, \mathbb{R})$ à valeurs réelles : si $f \sim g$ en $b^-$ (avec $g > 0$ à partir d'un rang, donc $f > 0$ aussi à partir d'un rang), alors $f$ est intégrable sur $[a, b[$ et $\int_x^b f \sim \int_x^b g$.

Preuve

Cas $O$. D'après le théorème de comparaison pour l'intégrabilité du § 2.3, $f$ est intégrable. Pour un $M \ge 0$ et un rang $c \in [a, b[$, $|f(t)| \le M g(t)$ pour $t \in [c, b[$. Pour $x \ge c$, l'inégalité triangulaire (Prop du § 2.2) donne $$ \left|\int_x^b f\right| \;\le\; \int_x^b |f| \;\le\; M \int_x^b g, $$ donc $\int_x^b f = O(\int_x^b g)$.
Cas $o$. Même argument avec $\varepsilon$ à la place de $M$ : pour tout $\varepsilon > 0$, $|\int_x^b f| \le \varepsilon \int_x^b g$ à partir d'un rang.
Cas $\sim$. $f$ est intégrable par la comparaison $\sim$ du § 2.3. Écrivons $f = g + (f - g)$ avec $f - g = o(g)$. Par le cas $o$, $\int_x^b (f - g) = o(\int_x^b g)$, donc $\int_x^b f - \int_x^b g = o(\int_x^b g)$, ce qui équivaut à $\int_x^b f / \int_x^b g \to 1$, soit $\int_x^b f \sim \int_x^b g$.

Méthode — Sommer une comparaison asymptotique sur les restes intégrables

Choisir un $g$ positif dont l'asymptotique du reste est connue (une primitive de $g$ disponible), puis transférer. Le plus souvent : $g(t) = 1/t^\alpha$ pour $\alpha > 1$ en $+\infty$, avec $\int_x^{+\infty} \mathrm{d}t/t^\alpha = 1/((\alpha-1) x^{\alpha-1})$ explicite.

Exemple — Reste de Riemann d'ordre trois

Par primitive directe, $\int_x^{+\infty} \mathrm{d}t/t^3 = [-1/(2t^2)]_x^{+\infty} = 1/(2x^2)$, donc $\int_x^{+\infty} \mathrm{d}t/t^3 \sim 1/(2x^2)$ quand $x \to +\infty$ (égalité, en fait). C'est la brique pour transférer des comparaisons $\sim$ sur des références positives intégrables via le théorème ci-dessus.

Exemple — Phare -- l'asymptotique gaussienne

Posons $F(x) := \int_x^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t$. D'abord, $F(x)$ converge absolument : pour $t \ge 1$, $t^2 \ge t$, donc $\mathrm{e}^{-t^2} \le \mathrm{e}^{-t}$, et $\int_1^{+\infty} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t = 1/\mathrm{e}$ converge (référence du \S 1.4) ; sur $[0, 1]$ l'intégrand est borné continu, donc intégrable sur tout segment. Donc $\mathrm{e}^{-t^2}$ est intégrable sur $[0, +\infty[$ et $F(x)$ est bien défini pour $x \ge 0$. Appliquons à présent une IPP avec $u(t) = -1/(2t)$ et $v'(t) = -2t \mathrm{e}^{-t^2}$ (donc $u'(t) = 1/(2t^2)$ et $v(t) = \mathrm{e}^{-t^2}$) ; ainsi $u v' = \mathrm{e}^{-t^2}$. La forme standard de l'IPP $\int u v' = [uv] - \int u' v$ sur $[x, +\infty[$ (pour $x > 0$) donne $$ F(x) \;=\; \left[\frac{-\mathrm{e}^{-t^2}}{2t}\right]_x^{+\infty} \,-\, \int_x^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-t^2}}{2t^2}\,\mathrm{d}t \;=\; \frac{\mathrm{e}^{-x^2}}{2x} \,-\, R(x), $$ où $R(x) := \int_x^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^2}/(2t^2)\,\mathrm{d}t > 0$. Borne non circulaire sur $R$ : pour $t \ge x$, $1/t^2 \le 1/x^2$, donc $$ 0 \;\le\; R(x) \;\le\; \frac{1}{2x^2} \int_x^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t \;=\; \frac{F(x)}{2x^2}. $$ En substituant : $F(x)\bigl(1 + O(1/x^2)\bigr) = \mathrm{e}^{-x^2}/(2x)$, donc $F(x) \sim \mathrm{e}^{-x^2}/(2x)$ quand $x \to +\infty$. La non-circularité vient de la borne élémentaire $1/t^2 \le 1/x^2$, pas d'une intégration des $o$ auto-référentielle.

Compétences à pratiquer

Intégrer des relations de comparaison -- cas intégrable

III.2 Cas non intégrable

Lorsque la fonction de référence $g$ est positive et non intégrable sur $[a, b[$, une comparaison asymptotique se transfère aux intégrales partielles (dont la limite est $+\infty$). C'est le miroir de la sommation dans le cas divergent de Séries numériques et vectorielles § 2.3.

Theorem — Intégration des relations de comparaison -- cas non intégrable

Soit $g \in \mathcal{C}_{pm}([a, b[, \mathbb{R}^+)$ non intégrable sur $[a, b[$ (donc $\int_a^x g \to +\infty$). En $b^-$ :

(cas $O$ et $o$) Pour $f \in \mathcal{C}_{pm}([a, b[, \mathbb{K})$ : si $f = O(g)$ (resp. $f = o(g)$) en $b^-$, alors les intégrales partielles vérifient $\int_a^x f = O(\int_a^x g)$ (resp. $o(\int_a^x g)$) quand $x \to b^-$.
(cas $\sim$) Pour $f \in \mathcal{C}_{pm}([a, b[, \mathbb{R})$ à valeurs réelles : si $f \sim g$ en $b^-$, alors $f$ n'est pas non plus intégrable sur $[a, b[$ et $\int_a^x f \sim \int_a^x g$.

Preuve

Cas $o$. Pour $\varepsilon > 0$, à partir d'un rang $c \in [a, b[$, $|f(t)| \le \varepsilon g(t)$ pour $t \in [c, b[$. Coupons : $$ \left|\int_a^x f\right| \;\le\; \underbrace{\int_a^c |f|}_{\text{constante } C} \,+\, \int_c^x |f| \;\le\; C \,+\, \varepsilon \int_c^x g \;\le\; C \,+\, \varepsilon \int_a^x g. $$ Comme $\int_a^x g \to +\infty$, à partir d'un rang $C \le \varepsilon \int_a^x g$, donc $|\int_a^x f| \le 2 \varepsilon \int_a^x g$. Comme $\varepsilon$ est arbitraire, $\int_a^x f = o(\int_a^x g)$.
Cas $O$. Même découpage avec une constante fixée $M$ à la place de $\varepsilon$.
Cas $\sim$. Écrivons $f = g + (f - g)$ avec $f - g = o(g)$. Le cas $o$ donne $\int_a^x (f - g) = o(\int_a^x g)$, donc $\int_a^x f = \int_a^x g + o(\int_a^x g)$, soit $\int_a^x f \sim \int_a^x g$. Comme $\int_a^x g \to +\infty$, $\int_a^x f$ aussi, donc $f$ n'est pas non plus intégrable sur $[a, b[$.

Méthode — Équivalent d'une intégrale partielle

Choisir un $g$ positif non intégrable d'asymptotique d'intégrale partielle connue. Références typiques : $g(t) = 1/t$ en $+\infty$ (intégrale partielle $\ln x$) ; $g(t) = 1/t^\alpha$ avec $\alpha < 1$ en $+\infty$ (intégrale partielle $x^{1-\alpha}/(1-\alpha)$) ; $g(t) = 1$ sur $[a, +\infty[$ (intégrale partielle $x - a$).

Exemple — L'intégrale de Bertrand

Une primitive de $t \mapsto 1/(t \ln t)$ sur $[2, +\infty[$ est $t \mapsto \ln(\ln t)$, donc $$ \int_2^x \frac{\mathrm{d}t}{t \ln t} \;=\; \ln(\ln x) \,-\, \ln(\ln 2) \;\sim\; \ln(\ln x) \quad\text{quand }x \to +\infty. $$ (Borne inférieure $2$ choisie pour éviter la singularité de $1/(t \ln t)$ en $t = 1$.) Comparer à la série analogue $\sum_{k \ge 2} 1/(k \ln k) \sim \ln(\ln n)$ de Séries numériques et vectorielles § 2.2 --- dictionnaire exact.

Exemple — Intégrale partielle de $\ln t / t$

Une primitive de $t \mapsto \ln t / t$ sur $[1, +\infty[$ est $t \mapsto (\ln t)^2 / 2$, donc $\int_1^x \ln t / t\,\mathrm{d}t = (\ln x)^2 / 2 \sim (\ln x)^2 / 2$ quand $x \to +\infty$ (égalité). Brique pour le transfert $\sim$ sur des références non intégrables.

Compétences à pratiquer

Intégrer des relations de comparaison -- cas non intégrable