Espérance, variance et fonctions génératrices

La fonction \(f : [0 \,;\, 2 \pi] \to \mathbb{C}\), \(f(t) = \exp(i t)\), vérifie \(f(0) = f(2 \pi) = 1\), est \(C^\infty\) sur \([0 \,;\, 2 \pi]\) avec \(f'(t) = i \exp(i t)\). Mais \(|f'(t)| = 1\) partout, donc \(f'\) ne s'annule jamais --- Rolle est en défaut. Par suite, aucun \(c\) ne vérifie \(f(2\pi) - f(0) = f'(c) \cdot 2 \pi\) (membre gauche \(0\), membre droit de module \(2 \pi\)), donc TAF égalité est en défaut.

T7.1 est admise dans ce chapitre. L'inégalité résulte d'une simple majoration d'intégrale, justifiée ultérieurement dans la section Intégration. La preuve complète sera donnée dans Intégration sur un segment. D'ici là, T7.1 s'utilise comme boîte noire.

La convexité capture, en une seule inégalité, l'idée géométrique d'une courbe située en-dessous de toutes ses cordes. De cette unique définition découle une boîte à outils : caractérisation par croissance des pentes, inégalité de Jensen, test par la dérivée (\(f'\) croissante ou \(f'' \ge 0\)), et énoncé dual « graphe au-dessus de ses tangentes » qui produit des inégalités classiques comme \(e^x \ge 1 + x\), \(\ln(1+x) \le x\) et \(\sin x \ge 2x/\pi\) sur \([0 \,;\, \pi/2]\). Le chapitre se clôt sur un traitement bref et balisé des points d'inflexion.
On note \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) (éventuellement non borné, ouvert ou fermé). La dualité « concave \(\Leftrightarrow\) \(-f\) convexe » est énoncée une fois au début et utilisée implicitement ensuite ; les inégalités concaves sont inversées. L'inégalité de Jensen est énoncée et démontrée pour les combinaisons convexes finies ; les inégalités de Hölder et Minkowski relèvent de l'intégration et des espaces normés ultérieurs. Les points d'inflexion sont introduits dans la section finale comme critère suffisant pratique.

L'idée géométrique : une fonction est convexe si son graphe reste en-dessous de toute corde tracée entre deux de ses points. On traduit cela par l'inégalité de la corde, puis on démontre deux caractérisations : monotonie des pentes et inégalité de Jensen pour les combinaisons convexes finies.

Côte à côte : une parabole \(y = \tfrac{1}{2} x^2\) (convexe, graphe sous la corde entre deux de ses points) et un logarithme translaté \(y = \ln x + 0{,}3\) (concave, graphe au-dessus de la corde). Le facteur d'échelle et le décalage sont cosmétiques --- la convexité/concavité est préservée. Le graphe convexe est sous la corde \(AB\) ; le graphe concave est au-dessus de la corde \(AB\).

Le graphe d'une fonction convexe est sous sa sécante sur \([x \,;\, y]\) et au-dessus de la sécante en dehors de \([x \,;\, y]\).

L'inégalité de Jensen est la version « plusieurs points » de la convexité : elle étend l'inégalité de la corde de D1.1 à toute combinaison convexe finie. On reste strictement dans le cas de combinaisons finies --- tout développement général sur les barycentres est hors programme.

Une fonction convexe sur un intervalle ouvert est continue. Ce théorème utile est admis ici.
(La preuve s'appuie sur la caractérisation par les pentes P1.2 et le théorème de la limite monotone de Limites et continuité.)

Lorsque \(f\) est (deux fois) dérivable, la convexité admet des caractérisations « au niveau de la dérivée » : \(f\) convexe \(\Leftrightarrow\) \(f'\) croissante (au sens large) \(\Leftrightarrow\) graphe au-dessus de ses tangentes. La version \(C^2\) --- \(f\) convexe \(\Leftrightarrow\) \(f'' \ge 0\) --- donne le test opérationnel utilisé partout. L'inégalité de la tangente est le moteur des bornes classiques \(e^x \ge 1 + x\), \(\ln(1+x) \le x\), \(\sin x \le x\) et \(\sqrt{x} \le (x+1)/2\).
Convention de dérivation. Dans les énoncés faisant intervenir les dérivées ci-dessous, soit \(I\) est ouvert, soit les assertions contenant \(f'(a)\) sont lues pour les points intérieurs \(a \in \mathring{I}\). Lorsqu'un point de bord est utilisé dans un exemple, la fonction est vue comme la restriction d'une fonction dérivable sur un intervalle ouvert plus grand.

Pour \(f\) concave dérivable, les inégalités s'inversent. En particulier, le graphe de \(f\) est sous chacune de ses tangentes : $$ \forall a, x \in I, \qquad f(x) \le f(a) + f'(a)(x - a). $$ C'est le moteur des bornes \(\ln(1+x) \le x\), \(\sqrt{x} \le (x+1)/2\) et \(\sin x \le x\) démontrées plus bas.

Une fonction \(f : I \to \mathbb{R}\) est strictement convexe sur \(I\) si, pour tout \(x \ne y\) dans \(I\) et tout \(\lambda \in \,]0 \,;\, 1[\), \(f((1 - \lambda) x + \lambda y) < (1 - \lambda) f(x) + \lambda f(y)\) (inégalité stricte). Pour les fonctions dérivables, \(f'\) strictement croissante sur \(I\) entraîne \(f\) strictement convexe. Pour \(f \in C^2\), la condition \(f'' > 0\) sur \(I\) est suffisante mais non nécessaire --- la fonction \(x \mapsto x^4\) est strictement convexe sur \(\mathbb{R}\) mais \(f''(0) = 0\).

Pour une fonction \(C^2\) vérifiant la définition par transition convexe/concave ci-dessus, \(f''(a) = 0\) est nécessaire mais non suffisante. Le contre-exemple standard est \(f(x) = x^4\) en \(a = 0\) : \(f''(x) = 12 x^2\) s'annule en \(0\) mais reste positif partout, donc \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\) tout entier --- pas de transition convexe/concave, donc pas de point d'inflexion. La fiche d'exercices reprend ce piège explicitement.

La cubique \(f(x) = x^3 - 3 x\) vérifie \(f''(x) = 6 x\), donc l'unique point d'inflexion est en \(x = 0\). Le graphe est concave sur \(]-\infty \,;\, 0]\) et convexe sur \([0 \,;\, +\infty[\).

Les entiers relatifs \(\mathbb{Z}\) forment, sous leurs addition et multiplication usuelles, un monde clos suffisamment riche pour accueillir une théorie complète de la divisibilité. Ce chapitre la développe en cinq étapes. On part de la relation de divisibilité \(b \mid a\) et du théorème de la division euclidienne \(a = bq + r\), le seul outil algorithmique qui transforme la question « \(b\) divise-t-il \(a\) ? » en la question « le reste est-il nul ? ». On construit ensuite, sur la division euclidienne, le plus grand commun diviseur \(a \wedge b\), à la fois via l'algorithme itératif d'Euclide et via l'identité de Bézout \(a \wedge b = a u + b v\). On isole le cas particulier \(a \wedge b = 1\) (entiers premiers entre eux) et on démontre le théorème de Bézout et le lemme de Gauss --- les deux moteurs de tous les raisonnements de divisibilité qui suivent. On introduit les nombres premiers, on démontre leur infinitude (Euclide) et l'existence/unicité de la décomposition en facteurs premiers \(n = \prod_p p^{v_p(n)}\), et on utilise la valuation \(p\)-adique \(v_p\) pour donner des formules explicites de \(a \wedge b\) et \(a \vee b\). On revient enfin sur la divisibilité sous une autre forme --- les congruences modulo \(n\) --- et on utilise la machinerie précédente pour caractériser l'inversibilité modulo \(n\) (\(a \wedge n = 1\)) et démontrer le petit théorème de Fermat \(a^p \equiv a \pmod p\) pour \(p\) premier.
L'approche est tout du long élémentaire : par convention dans ce chapitre, on ne fait pas appel au langage des structures algébriques. On évite donc, délibérément, toute référence aux groupes, anneaux, idéaux et morphismes ; l'ensemble \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) apparaît dans la section sur les congruences seulement comme ensemble de \(n\) classes, avec un rappel explicite que sa structure d'anneau est hors programme et sera revue dans le chapitre Structures algébriques. Deux autres chapitres prolongent ce travail : Arithmétique des polynômes rejoue toute l'histoire pour \(\mathbb{K}[X]\) à la place de \(\mathbb{Z}\) (division euclidienne, PGCD, Bézout, Gauss, irréductibilité), et Structures algébriques reformule la divisibilité, les idéaux et l'arithmétique modulaire dans le cadre abstrait.
Convention permanente. Tout au long de ce chapitre, un diviseur est toujours un entier non nul. Chaque fois qu'on écrit « \(d \mid a\) », on suppose tacitement \(d \in \mathbb{Z}^*\). En particulier \(\operatorname{div}(0) = \mathbb{Z}^*\) (tout entier non nul divise \(0\)). On utilise \(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}\) et \(\mathbb{N}^* = \mathbb{N} \setminus \{0\}\). Les notations \(a \wedge b\) (plus grand commun diviseur) et \(a \vee b\) (plus petit commun multiple) sont standard.

Deux définitions, un théorème. La définition de la divisibilité est le point d'entrée du chapitre ; la division euclidienne est l'outil algorithmique qui convertit « \(b \mid a\) ? » en « le reste est-il nul ? ». La spécialité de Terminale couvre déjà les deux --- on les rappelle brièvement, on les énonce et démontre rigoureusement, et on étend l'énoncé de la division euclidienne aux dividendes négatifs.

La division euclidienne convertit la question de divisibilité en question algorithmique. L'énoncé de Terminale couvre \(a \in \mathbb{N}\), \(b \in \mathbb{N}^*\) ; on étend à \(a \in \mathbb{Z}\), avec le même diviseur \(b \in \mathbb{N}^*\) et la même contrainte sur le reste \(0 \leq r < b\). Le cas négatif est le piège classique : les étudiants doivent se souvenir que \(r\) est toujours positif ou nul.

Le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux entiers \(a\) et \(b\) est, intuitivement, le plus grand entier qui les divise tous les deux. Deux subtilités sont à signaler : (i) « plus grand » doit être précisé --- plus grand au sens de l'ordre naturel \(\leq\) sur \(\mathbb{N}^*\) ou plus grand au sens de l'ordre de divisibilité \(\mid\) ---, et le PGCD se trouve être le plus grand dans les deux sens ; (ii) le PGCD se calcule effectivement par l'algorithme d'Euclide, une suite itérée de divisions euclidiennes. On démontre ensuite l'identité centrale du chapitre : l'identité de Bézout \(a \wedge b = a u + b v\) pour certains \(u, v \in \mathbb{Z}\). De là la caractérisation « les diviseurs communs divisent le PGCD » tombe comme corollaire, et le PPCM \(a \vee b\) (ainsi que la formule \((a \wedge b)(a \vee b) = |a b|\)) suivent naturellement.

Le calcul algorithmique du PGCD repose sur une seule observation : quand un entier est réduit modulo l'autre, le PGCD ne change pas. Itérée, cette règle donne l'algorithme d'Euclide, et le PGCD se lit comme le dernier reste non nul.

L'identité de Bézout est la face « combinaison linéaire » du PGCD : \(a \wedge b\) s'écrit \(a u + b v\) pour certains \(u, v \in \mathbb{Z}\). La démonstration réutilise la suite d'Euclide : chaque reste \(r_k\) s'écrit comme combinaison \(\mathbb{Z}\)-linéaire de \(a\) et \(b\), par récurrence. En pratique, on déroule l'algorithme d'Euclide vers l'avant puis on remonte par substitution pour extraire un couple \((u, v)\).

Munis de l'identité de Bézout, la caractérisation du PGCD par son ensemble de diviseurs tombe comme un corollaire immédiat.