CommeUnJeu · L2 MP

Dénombrabilité

⌚ ~43 min ▢ 5 blocs ✓ 13 exercices ➣ Prérequis : Applications, Dénombrement

I Les ensembles dénombrables

Lorsque $f : E \to \mathbb{C}$ ($E \subset \mathbb{R}$), limite et continuité se transmettent aux parties réelle et imaginaire. Le pont depuis les sections précédentes est purement formel : tout résultat pour les fonctions réelles se prolonge aux fonctions complexes sans théorie supplémentaire, à l'exception des énoncés intrinsèquement liés à l'ordre de $\mathbb{R}$ (TVI, bornes atteintes, limite monotone) qui ne se prolongent pas.

Définition — Limite d'une fonction complexe

Soit $f : E \to \mathbb{C}$, $a \in \overline{\mathbb{R}}$ adhérent à $E$ et $\ell \in \mathbb{C}$. On dit que $f$ tend vers $\ell$ en $a$, noté $\textcolor{colordef}{f \to \ell}$ en $a$, si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée :

$|f - \ell| \to 0$ en $a$ dans $\mathbb{R}$;
$\mathrm{Re}(f) \to \mathrm{Re}(\ell)$ et $\mathrm{Im}(f) \to \mathrm{Im}(\ell)$ en $a$.

L'équivalence provient de $\max(|\mathrm{Re}\,z|, |\mathrm{Im}\,z|) \le |z| \le |\mathrm{Re}\,z| + |\mathrm{Im}\,z|$.

Définition — Continuité d'une fonction complexe

Soit $f : E \to \mathbb{C}$ et $a \in E$. On dit que $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. De manière équivalente, $\mathrm{Re}(f)$ et $\mathrm{Im}(f)$ sont toutes deux continues en $a$. L'ensemble des fonctions continues sur $I \subset \mathbb{R}$ à valeurs dans $\mathbb{C}$ se note $\textcolor{colordef}{C^0(I, \mathbb{C})}$.

Proposition — Opérations sur limites et continuité complexes

Soit $f, g : E \to \mathbb{C}$ admettant des limites $\ell, m \in \mathbb{C}$ en $a$ (resp. continues en $a$). Alors pour tous $\lambda, \mu \in \mathbb{C}$, $\textcolor{colorprop}{\lambda f + \mu g}$, $\textcolor{colorprop}{f g}$, et $\textcolor{colorprop}{f / g}$ (lorsque $m \ne 0$, resp. $g(a) \ne 0$) admettent les limites correspondantes dans $\mathbb{C}$ (resp. sont continues en $a$). Énoncés identiques à P4.1 et P5.3 avec $\mathbb{C}$ à la place de $\mathbb{R}$. Les démonstrations se ramènent aux parties réelle et imaginaire via D8.1.

Exemple

Calculer $\lim_{x \to 0} (\mathrm{e}^{i x} - 1) / x$ dans $\mathbb{C}$.

Correction

Décomposons : $$ \frac{\mathrm{e}^{i x} - 1}{x} = \frac{\cos x - 1}{x} + i \, \frac{\sin x}{x}. $$ Partie imaginaire. Par Ex4.1, $\sin x / x \to 1$ en $0$.
\noindent Partie réelle. Utilisons l'identité de demi-angle $\cos x - 1 = -2 \sin^2(x/2)$ : $$ \frac{\cos x - 1}{x} = \frac{-2 \sin^2(x/2)}{x} = -\sin(x/2) \cdot \frac{\sin(x/2)}{x/2}. $$ Quand $x \to 0$, $\sin(x/2) \to 0$ et $\sin(x/2)/(x/2) \to 1$ (Ex4.1 à nouveau, avec $u = x/2$). Donc la partie réelle tend vers $0 \cdot 1 = 0$.
\noindent Conclusion. Par D8.1, $$ \lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{e}^{i x} - 1}{x} = 0 + i \cdot 1 = i. $$

Ex 4

Compétences à pratiquer

Exhiber une bijection explicite
Énumérer une partie de $\mathbb{N}$

II Caractériser la dénombrabilité

Ex 5

La dérivabilité formalise la pente d'une tangente comme limite d'un taux d'accroissement. De cette notion unique jaillit tout un calcul : règles algébriques, dérivation en chaîne, dérivée d'une fonction réciproque, puis trois piliers de l'analyse --- théorème de Fermat, théorème de Rolle, théorème des accroissements finis (TAF). Ils produisent l'inégalité des accroissements finis (IAF), le lien signe de $f'$ $\leftrightarrow$ monotonie, et le théorème de la limite de la dérivée pour les prolongements rigoureux $C^1$. On termine avec les dérivées itérées, la classe $C^k$, la formule de Leibniz pour $(fg)^{(n)}$, et une brève extension aux fonctions à valeurs complexes.
Convention pour les bornes. Lorsque $a \in I$ est un point intérieur de $I$, « dérivable en $a$ » désigne la notion bilatérale (limite des deux côtés). Lorsque $a$ est une borne de $I$, c'est la notion unilatérale (limite par l'intérieur de $I$). La plupart des théorèmes globaux utilisent l'hypothèse « $f$ continue sur $I$, dérivable sur $\mathring{I}$ » : la dérivabilité n'est alors exigée qu'aux points intérieurs, les bornes étant traitées par continuité.
Anticipations vers Fonctions usuelles. Ce chapitre s'appuie sur les polynômes, fractions rationnelles, $\sqrt{\cdot}$, $|\cdot|$, $\sqrt[3]{\cdot}$ comme boîte à outils autonome. Quand un exemple invoque $\exp$, $\sin$, $\cos$, la dérivée est admise depuis Fonctions réelles ; les dérivées de $\ln$, $\arcsin$, $\arctan$, fonctions hyperboliques réciproques sont reportées à Fonctions usuelles, qui utilisera P2.5 du présent chapitre.

Définition — Dérivée en un point

Soient $f : I \to \mathbb{R}$ et $a \in I$. Pour tout $h \in \mathbb{R}^*$ tel que $a + h \in I$, le taux d'accroissement de $f$ en $a$ avec incrément $h$ est $$ \tau_a(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}. $$ On dit que $f$ est dérivable en $a$ si $\tau_a(h)$ admet une limite finie quand $h \to 0$ avec $a + h \in I$. Cette limite est appelée nombre dérivé de $f$ en $a$ et notée $$ \textcolor{colordef}{f'(a)} \qquad \text{ou} \qquad \textcolor{colordef}{\frac{df}{dx}(a)}. $$ De manière équivalente, en posant $x = a + h$, cela revient à demander l'existence d'une limite finie de $$ \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \quad \text{quand } x \to a. $$

Définition — Tangente

Supposons $f$ dérivable en $a$. La tangente au graphe de $f$ en $a$ est la droite d'équation $$ \textcolor{colordef}{y = f(a) + f'(a)(x - a)}. $$ Si $a$ est une borne de $I$, on parle de demi-tangente du côté intérieur à $I$. Si $\tau_a(h)$ n'admet pas de limite finie mais tend vers $\pm \infty$ quand $h \to 0$, on parle de tangente verticale d'équation $x = a$ (demi-tangente verticale en une borne).

Exemple

Calculer $f'(a)$ pour $f(x) = x^2$, pour tout $a \in \mathbb{R}$.

Correction

Pour $h \ne 0$, $$ \tau_a(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = \frac{(a + h)^2 - a^2}{h} = \frac{2 a h + h^2}{h} = 2 a + h. $$ Quand $h \to 0$, $\tau_a(h) \to 2 a$. Donc $f'(a) = 2 a$.

Définition — Dérivabilité à gauche et à droite

Soit $a \in I$. On dit que $f$ est dérivable à droite en $a$ si $\tau_a(h)$ admet une limite finie quand $h \to 0^+$ avec $a + h \in I$. Cette limite est notée $\textcolor{colordef}{f'_d(a)}$.
On dit que $f$ est dérivable à gauche en $a$ si $\tau_a(h)$ admet une limite finie quand $h \to 0^-$ avec $a + h \in I$. Cette limite est notée $\textcolor{colordef}{f'_g(a)}$.
Si $a$ est un point intérieur de $I$, alors $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si $f'_g(a)$ et $f'_d(a)$ existent et sont égales ; la valeur commune est $f'(a)$. En une borne, seule la dérivée venant de l'intérieur de $I$ est considérée.

Exemple

Montrer que $f(x) = |x|$ n'est pas dérivable en $0$.

Correction

Pour $h > 0$, $\tau_0(h) = |h|/h = 1$, donc $f'_d(0) = 1$. Pour $h < 0$, $\tau_0(h) = |h|/h = -1$, donc $f'_g(0) = -1$. Comme $f'_g(0) \ne f'_d(0)$, $f$ n'est pas dérivable en $0$.

Compétences à pratiquer

Appliquer les critères d'injection et de surjection

III Opérations sur les ensembles dénombrables

Proposition — Dérivable implique continue

Si $f$ est dérivable en $a$, alors $\textcolor{colorprop}{f}$ est continue en $a$.

Preuve

Pour $h \ne 0$ avec $a + h \in I$, $$ f(a + h) - f(a) = h \, \tau_a(h). $$ Quand $h \to 0$, $h \to 0$ et $\tau_a(h) \to f'(a) \in \mathbb{R}$, donc $h \, \tau_a(h) \to 0$ par la règle du produit pour les limites de fonctions (P3.1 de Limites et continuité). D'où $f(a + h) \to f(a)$, ce qui est la continuité en $a$.

Exemple

La réciproque de P1.2 est fausse : $f(x) = |x|$ est continue en $0$ (Ex1.3 ci-dessus) mais non dérivable en $0$.

Méthode — Démontrer la dérivabilité en un point

Trois approches classiques :

Direct par le taux d'accroissement. Calculer $$ \tau_a(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} $$ et regarder s'il admet une limite finie quand $h \to 0$.
Par $DL_1$. Trouver $\ell \in \mathbb{R}$ et $\varepsilon$ avec $\varepsilon(h) \to 0$ tels que $f(a+h) = f(a) + \ell h + h \varepsilon(h)$. Alors $f'(a) = \ell$.
Par le théorème de la limite de la dérivée (T5.2 ci-après). Si $f$ est continue en $a$ et dérivable sur $I \setminus \{a\}$, calculer $\lim_a f'$.

Ex 6 Ex 7 Ex 8 Ex 9 Ex 10

Compétences à pratiquer

Démontrer la dénombrabilité par opérations

IV Les ensembles non dénombrables

Ex 11

Linéarité, produit, quotient, dérivation en chaîne, dérivée d'une fonction réciproque : la même boîte à outils qu'au lycée, mais avec preuves rigoureuses. La dérivée d'une fonction réciproque (P2.5) est le nouvel atome de ce niveau ; elle fonde les dérivées rigoureuses de $\arcsin$, $\arctan$, $\ln$ dans Fonctions usuelles.

Proposition — Règle du produit

Soient $f, g : I \to \mathbb{R}$ dérivables en $a \in I$. Alors $f g$ est dérivable en $a$ et $$ \textcolor{colorprop}{(f g)'(a) = f'(a) g(a) + f(a) g'(a)}. $$

Preuve

Pour $h \ne 0$ avec $a + h \in I$, $$ f(a + h) g(a + h) - f(a) g(a) = (f(a + h) - f(a)) g(a + h) + f(a) (g(a + h) - g(a)). $$ Divisons par $h$ : $$ \tau_a^{f g}(h) = \tau_a^f(h) \cdot g(a + h) + f(a) \cdot \tau_a^g(h). $$ Quand $h \to 0$ : $\tau_a^f(h) \to f'(a)$ ; $g(a + h) \to g(a)$ par continuité de $g$ en $a$ (P1.2) ; $\tau_a^g(h) \to g'(a)$. Donc $\tau_a^{f g}(h) \to f'(a) g(a) + f(a) g'(a)$.

Proposition — Règle du quotient

Soient $f, g : I \to \mathbb{R}$ dérivables en $a \in I$, avec $g(a) \ne 0$. Alors $f/g$ est définie sur un voisinage de $a$ dans $I$, dérivable en $a$, et $$ \textcolor{colorprop}{(f/g)'(a) = \frac{f'(a) g(a) - f(a) g'(a)}{g(a)^2}}. $$

Preuve

D'abord la dérivée de $1/g$ en $a$. Par continuité de $g$ en $a$ et $g(a) \ne 0$, $g$ ne s'annule pas sur un voisinage de $a$. Pour $h$ petit avec $a + h$ dans ce voisinage et $h \ne 0$, $$ \frac{1}{g(a + h)} - \frac{1}{g(a)} = \frac{g(a) - g(a + h)}{g(a + h) \, g(a)}. $$ Divisons par $h$ : $$ \tau_a^{1/g}(h) = -\frac{\tau_a^g(h)}{g(a + h) \, g(a)} \to -\frac{g'(a)}{g(a)^2}. $$ D'où $1/g$ est dérivable en $a$ avec $(1/g)'(a) = -g'(a)/g(a)^2$. Le cas $f/g = f \cdot (1/g)$ s'obtient par la règle du produit (P2.2).

Exemple

Par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$, montrer que $(x^n)' = n x^{n - 1}$ sur $\mathbb{R}$.

Correction

Cas $n = 0$ : $f(x) = x^0 = 1$ constante, donc $f'(x) = 0$. (La formule $(x^n)' = n x^{n-1}$ s'interprète en $n = 0$ comme $0$ ; l'expression $x^{-1}$ n'a pas besoin d'être définie.) Cas $n \ge 1$, par récurrence. Base $n = 1$ : $f(x) = x$, $\tau_a(h) = ((a + h) - a)/h = 1 \to 1$, donc $f'(a) = 1 = 1 \cdot x^0$. Hérédité : si $(x^n)' = n x^{n-1}$ pour un $n \ge 1$, alors par la règle du produit (P2.2), $(x^{n+1})' = (x \cdot x^n)' = 1 \cdot x^n + x \cdot n x^{n-1} = x^n + n x^n = (n+1) x^n$.

Compétences à pratiquer

Appliquer un argument diagonal