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Compacité, connexité, dimension finie
Le chapitre Limites et continuité dans un espace normé nous a munis de la continuité entre espaces normés. Deux théorèmes rencontrés dès le lycée n'étaient énoncés que sur un segment \([a,b]\) de la droite réelle : une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes, et le théorème des valeurs intermédiaires. Pourquoi un segment ? Ce chapitre isole les deux hypothèses structurelles --- une pour chaque théorème --- qui les rendent vrais dans tout espace normé.
La première hypothèse est la compacité : une partie sur laquelle toute suite admet une sous-suite qui converge à l'intérieur. C'est la forme abstraite de la propriété de Bolzano--Weierstrass, et elle porte le théorème des bornes atteintes et le théorème de Heine. La seconde est la connexité par arcs : une partie « d'un seul tenant », dont deux points quelconques sont reliés par un chemin continu. Elle porte le théorème des valeurs intermédiaires en toute généralité. La section~1 construit la compacité et ses premières propriétés, la section~2 les deux théorèmes qu'elle porte, la section~3 la connexité par arcs et le théorème des valeurs intermédiaires généralisé.
La section~4 clôt le chapitre avec les espaces normés de dimension finie, où tout le tableau devient le plus simple possible : toutes les normes sont équivalentes, les parties compactes sont exactement les fermés bornés, et toute application linéaire ou multilinéaire est automatiquement continue --- de même que toute application polynomiale à valeurs scalaires. Les critères de continuité de Limites et continuité dans un espace normé sont alors satisfaits gratuitement.
Notations permanentes. Dans tout le chapitre, \(\mathbb{K}\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), et \((E,\norme{\cdot})\), \((F,\norme{\cdot})\) désignent des \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels normés. Une partie de \(E\) désigne un sous-ensemble de \(E\). Les boules ouvertes et fermées, les parties bornées, les ouverts, les fermés et l'adhérence \(\overline{A}\) sont ceux d'Espaces vectoriels normés et de Topologie d'un espace normé ; les suites convergentes, les sous-suites (notées \((u_{\varphi(n)})\) avec \(\varphi\) strictement croissante) et les valeurs d'adhérence sont celles d'Espaces vectoriels normés, où le théorème de Bolzano--Weierstrass a été démontré pour les suites réelles bornées ; les limites et la continuité des applications sont celles de Limites et continuité dans un espace normé.
La première hypothèse est la compacité : une partie sur laquelle toute suite admet une sous-suite qui converge à l'intérieur. C'est la forme abstraite de la propriété de Bolzano--Weierstrass, et elle porte le théorème des bornes atteintes et le théorème de Heine. La seconde est la connexité par arcs : une partie « d'un seul tenant », dont deux points quelconques sont reliés par un chemin continu. Elle porte le théorème des valeurs intermédiaires en toute généralité. La section~1 construit la compacité et ses premières propriétés, la section~2 les deux théorèmes qu'elle porte, la section~3 la connexité par arcs et le théorème des valeurs intermédiaires généralisé.
La section~4 clôt le chapitre avec les espaces normés de dimension finie, où tout le tableau devient le plus simple possible : toutes les normes sont équivalentes, les parties compactes sont exactement les fermés bornés, et toute application linéaire ou multilinéaire est automatiquement continue --- de même que toute application polynomiale à valeurs scalaires. Les critères de continuité de Limites et continuité dans un espace normé sont alors satisfaits gratuitement.
Notations permanentes. Dans tout le chapitre, \(\mathbb{K}\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), et \((E,\norme{\cdot})\), \((F,\norme{\cdot})\) désignent des \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels normés. Une partie de \(E\) désigne un sous-ensemble de \(E\). Les boules ouvertes et fermées, les parties bornées, les ouverts, les fermés et l'adhérence \(\overline{A}\) sont ceux d'Espaces vectoriels normés et de Topologie d'un espace normé ; les suites convergentes, les sous-suites (notées \((u_{\varphi(n)})\) avec \(\varphi\) strictement croissante) et les valeurs d'adhérence sont celles d'Espaces vectoriels normés, où le théorème de Bolzano--Weierstrass a été démontré pour les suites réelles bornées ; les limites et la continuité des applications sont celles de Limites et continuité dans un espace normé.
I
Parties compactes
I.1
Définition d'une partie compacte
Dans Espaces vectoriels normés, le théorème de Bolzano--Weierstrass affirmait qu'une suite réelle bornée admet une sous-suite convergente, et un segment \([a,b]\) héritait de la propriété que toute suite de \([a,b]\) admet une sous-suite qui converge dans \([a,b]\). Une partie compacte est définie comme étant exactement une partie ayant cette propriété --- c'est la bonne abstraction pour porter les grands théorèmes de la section suivante.
Définition — Partie compacte
Une partie \(A\) d'un espace normé \((E,\norme{\cdot})\) est dite compacte si toute suite d'éléments de \(A\) admet une sous-suite qui converge vers une limite appartenant à \(A\).
La propriété de Borel-Lebesgue
Une seconde définition de la compacité existe, à l'aide des recouvrements ouverts --- la propriété de Borel-Lebesgue. La propriété de Borel-Lebesgue est hors programme. Dans ce cours, « compacte » désigne uniquement la propriété séquentielle de la définition ci-dessus : toute suite de \(A\) admet une sous-suite qui converge dans \(A\).
L'image est la même que pour Bolzano--Weierstrass : la suite peut errer dans \(A\), mais une sous-suite est forcée de s'accumuler, et le point d'accumulation ne peut pas s'échapper de \(A\). 
Une sous-suite d'une suite du compact \(A\) converge vers un point \(\ell\) de \(A\).
Exemple — Une partie finie et un segment
Toute partie finie \(A\) est compacte : une suite à valeurs dans un ensemble fini prend au moins une valeur une infinité de fois (principe des tiroirs), et la sous-suite constante correspondante converge vers cette valeur, qui appartient à \(A\). Un segment \([a,b]\) de \(\mathbb{R}\) est compact : une suite de \([a,b]\) est bornée, donc par Bolzano--Weierstrass elle admet une sous-suite convergente, et comme \([a,b]\) est fermé la limite reste dans \([a,b]\). Exemple — Un fermé borné non compact
Munissons \(\mathbb{K}[X]\) de la norme sup des coefficients \(\norme{P}_\infty = \max_k |a_k|\) (la plus grande valeur absolue parmi les coefficients de \(P\)). La sphère unité \(S = \{P : \norme{P}_\infty = 1\}\) est fermée et bornée. Pourtant elle n'est pas compacte : les monômes \(X^n\) vérifient tous \(\norme{X^n}_\infty = 1\), donc \((X^n)_n\) est une suite de \(S\), et \(\norme{X^n - X^m}_\infty = 1\) pour tous \(n \ne m\). Aucune sous-suite ne peut converger --- deux termes distincts restent toujours à distance \(1\). Fermé et borné ne suffit donc pas pour la compacité ; la section~4 montre que cela suffit en dimension finie. Méthode — Montrer qu'une partie est compacte ou non
- Pour montrer \(A\) compacte à partir de la définition : prendre une suite quelconque de \(A\), en extraire une sous-suite, et prouver que cette sous-suite converge vers une limite appartenant à \(A\). La section~4 donne une voie bien plus courte dès que l'espace est de dimension finie.
- Pour montrer \(A\) non compacte : exhiber une suite de \(A\) sans sous-suite convergente. Le témoin le plus net est une suite \((u_n)\) avec \(\norme{u_n - u_p} \ge \alpha > 0\) pour tous \(n \ne p\) --- aucune sous-suite ne peut converger, puisque deux quelconques de ses termes restent à distance au moins \(\alpha\).
Compétences à pratiquer
- Identifier une partie compacte
I.2
Premières propriétés
La compacité force aussitôt deux contraintes de forme --- une partie compacte est fermée et bornée --- et elle est héritée par les morceaux fermés et par les produits finis. Ces propriétés sont la boîte à outils quotidienne pour reconnaître les compacts.
Theorem — Une partie compacte est fermée et bornée
Toute partie compacte d'un espace normé est fermée et bornée.
Soit \(A\) une partie compacte de \(E\).
- \(A\) est fermée. Soit \((u_n)\) une suite de \(A\) convergeant vers une limite \(\ell \in E\). Par compacité, \((u_n)\) admet une sous-suite \((u_{\varphi(n)})\) convergeant vers un certain \(\ell' \in A\). Mais \((u_{\varphi(n)})\), étant une sous-suite de la suite convergente \((u_n)\), converge aussi vers \(\ell\). Par unicité de la limite, \(\ell = \ell' \in A\). Donc \(A\) contient la limite de toute suite convergente de ses points : \(A\) est fermée.
- \(A\) est bornée. Supposons le contraire. Alors pour chaque \(n \in \mathbb{N}\) il existe \(u_n \in A\) avec \(\norme{u_n} > n\). Par compacité, \((u_n)\) admet une sous-suite convergente \((u_{\varphi(n)})\) ; une suite convergente est bornée, donc \(\norme{u_{\varphi(n)}} \le M\) pour un certain \(M\) et tout \(n\). Mais \(\norme{u_{\varphi(n)}} > \varphi(n) \ge n\) (une application \(\varphi \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) strictement croissante vérifie \(\varphi(n) \ge n\)), ce qui dépasse \(M\) pour \(n\) grand --- contradiction. Donc \(A\) est bornée.
Proposition — Une partie fermée d'un compact est compacte
Soit \(A\) une partie compacte et \(X \subset A\). Alors \(X\) est compacte si et seulement si \(X\) est fermée dans \(E\) --- de manière équivalente, fermée dans \(A\), puisque \(A\) est elle-même fermée.
Si \(X\) est compacte, elle est fermée par le théorème ci-dessus. Réciproquement, supposons \(X\) fermée dans \(E\). Soit \((u_n)\) une suite de \(X\). Comme \(X \subset A\) et que \(A\) est compacte, \((u_n)\) admet une sous-suite \((u_{\varphi(n)})\) convergeant vers une limite \(\ell \in A\). Chaque terme \(u_{\varphi(n)}\) appartient à \(X\), et \(X\) est fermée, donc \(\ell \in X\). Ainsi toute suite de \(X\) admet une sous-suite qui converge dans \(X\) : \(X\) est compacte.
Proposition — Produit fini de compacts
Soit \(A\) une partie compacte de \(E\) et \(B\) une partie compacte de \(F\). Alors \(A \times B\) est une partie compacte de \(E \times F\) pour la norme produit \(\norme{(x,y)} = \max(\norme{x},\norme{y})\). Plus généralement, un produit fini \(A_1 \times \dots \times A_p\) de parties compactes est compact pour la norme produit \(\norme{(x_1,\dots,x_p)} = \max_i \norme{x_i}\).
Pour la norme produit, \((z_n) = (x_n,y_n)\) converge vers \((x,y)\) si et seulement si \(x_n \to x\) et \(y_n \to y\) --- la convergence est coordonnée par coordonnée.
- Deux facteurs. Soit \((z_n) = (x_n,y_n)\) une suite de \(A \times B\). La suite \((x_n)\) est à valeurs dans le compact \(A\), donc elle admet une sous-suite \((x_{\varphi(n)})\) convergeant vers un certain \(x \in A\). La suite \((y_{\varphi(n)})\) est à valeurs dans le compact \(B\), donc elle admet une sous-suite \((y_{\varphi(\psi(n))})\) convergeant vers un certain \(y \in B\). Le long de l'application strictement croissante \(\varphi \circ \psi\), la suite \(x_{\varphi(\psi(n))}\) converge encore vers \(x\) (sous-suite d'une suite convergente) et \(y_{\varphi(\psi(n))}\) converge vers \(y\). Par convergence coordonnée par coordonnée, \(z_{\varphi(\psi(n))} \to (x,y) \in A \times B\). Donc \(A \times B\) est compacte.
- Récurrence sur \(p\). Le cas \(p = 1\) est trivial et \(p = 2\) est la ligne ci-dessus. La norme produit à \(p+1\) facteurs est cohérente avec l'imbrication : \(\max_{1 \le i \le p+1} \norme{x_i} = \max\bigl(\max_{1 \le i \le p} \norme{x_i},\, \norme{x_{p+1}}\bigr)\), donc \(A_1 \times \dots \times A_{p+1} = (A_1 \times \dots \times A_p) \times A_{p+1}\) est, muni de sa norme produit, le produit des deux parties \(A_1 \times \dots \times A_p\) et \(A_{p+1}\). Si la première est compacte (hypothèse de récurrence), c'est un produit de deux compacts, donc compact.
Exemple — Un pavé fermé borné
Le rectangle \([a,b] \times [c,d]\) est une partie compacte de \(\mathbb{R}^2\) pour la norme produit, comme produit des deux segments compacts \([a,b]\) et \([c,d]\). Plus généralement un pavé fermé borné \(\prod_{i=1}^{n} [a_i,b_i]\) est une partie compacte de \(\mathbb{R}^n\) pour la norme produit, produit de \(n\) segments compacts. La section~4 montrera qu'en dimension finie la norme n'importe pas. Compétences à pratiquer
- Appliquer les propriétés des compacts
I.3
Suites à valeurs dans un compact
À l'intérieur d'un compact, posséder une valeur d'adhérence est automatique --- la compacité est précisément cela. Ce qui reste pour décider de la convergence d'une suite est l'unicité de sa valeur d'adhérence.
Proposition — Convergence par une unique valeur d'adhérence
Une suite à valeurs dans une partie compacte \(A\) converge si et seulement si elle a exactement une valeur d'adhérence, et la limite est alors cette valeur.
Soit \((u_n)\) à valeurs dans le compact \(A\) ; par compacité elle admet au moins une valeur d'adhérence dans \(A\).
- (\(\Rightarrow\)) Si \((u_n)\) converge vers \(\ell\), alors toute sous-suite converge vers \(\ell\), donc la seule valeur d'adhérence est \(\ell\) : exactement une.
- (\(\Leftarrow\)) Raisonnons par contraposée : supposons que \((u_n)\) ne converge pas et produisons une seconde valeur d'adhérence. Soit \(\alpha \in A\) une valeur d'adhérence. Comme \((u_n)\) ne converge pas vers \(\alpha\), il existe \(\varepsilon > 0\) tel que \(\norme{u_n - \alpha} \ge \varepsilon\) pour une infinité de \(n\) ; soit \((u_{\psi(n)})\) la sous-suite de ces termes. Elle est à valeurs dans le compact \(A\), donc admet une sous-suite \((u_{\psi(\theta(n))})\) convergeant vers un certain \(\beta \in A\). Chacun de ses termes vérifie \(\norme{u_{\psi(\theta(n))} - \alpha} \ge \varepsilon\) ; le passage à la limite donne \(\norme{\beta - \alpha} \ge \varepsilon\), donc \(\beta \ne \alpha\) : une seconde valeur d'adhérence. Ainsi une suite de \(A\) ayant une unique valeur d'adhérence converge nécessairement, et par (\(\Rightarrow\)) sa limite est cette valeur.
Exemple — Une valeur d'adhérence contre deux
Les deux suites ci-dessous sont à valeurs dans le compact \([-2,2]\) de \(\mathbb{R}\). La suite \(u_n = \dfrac{(-1)^n}{n+1}\) a l'unique valeur d'adhérence \(0\), et elle converge vers \(0\). La suite \(v_n = (-1)^n\!\left(1 + \dfrac{1}{n+1}\right)\) a les deux valeurs d'adhérence \(-1\) et \(1\) (le long des indices pairs et impairs), et elle diverge. Le critère se lit directement sur les valeurs d'adhérence. Méthode — Démontrer qu'une suite d'un compact converge
Pour une suite \((u_n)\) que l'on sait à valeurs dans un compact \(A\) : - exhiber une valeur d'adhérence \(\alpha \in A\) --- elle existe automatiquement par compacité, ou se devine sur la formule de \(u_n\) ;
- montrer que toute valeur d'adhérence est égale à \(\alpha\), typiquement en prenant une sous-suite convergente quelconque et en identifiant sa limite ;
- conclure par la proposition : une unique valeur d'adhérence force la convergence vers \(\alpha\).
Compétences à pratiquer
- Démontrer la convergence d'une suite d'un compact
II
Applications continues sur un compact
II.1
Image d'un compact et théorème des bornes atteintes
La continuité transporte la compacité : l'image continue d'un compact est un compact. Lorsque l'espace d'arrivée est \(\mathbb{R}\), ce seul fait produit le théorème des bornes atteintes --- la forme générale du résultat du lycée « une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes ».
Theorem — Image d'un compact par une application continue
Soit \(A\) une partie compacte de \(E\) et \(f \colon A \to F\) une application continue. Alors \(f(A)\) est une partie compacte de \(F\).
Soit \((v_n)\) une suite de \(f(A)\). Chaque \(v_n\) est de la forme \(v_n = f(u_n)\) avec \(u_n \in A\). La suite \((u_n)\) est à valeurs dans le compact \(A\), donc elle admet une sous-suite \((u_{\varphi(n)})\) convergeant vers une limite \(\ell \in A\). Par la caractérisation séquentielle de la continuité (rappelée de Limites et continuité dans un espace normé), \(f(u_{\varphi(n)}) \to f(\ell)\). Donc la sous-suite \((v_{\varphi(n)})\) converge vers \(f(\ell) \in f(A)\). Toute suite de \(f(A)\) admet ainsi une sous-suite convergeant dans \(f(A)\) : \(f(A)\) est compacte.
Theorem — Théorème des bornes atteintes
Soit \(A\) une partie compacte non vide et \(f \colon A \to \mathbb{R}\) une application continue. Alors \(f\) est bornée et atteint ses bornes : il existe \(u,v \in A\) tels que \(f(u) = \inf_{A} f\) et \(f(v) = \sup_{A} f\).
Par le théorème précédent, \(f(A)\) est une partie compacte de \(\mathbb{R}\), donc fermée et bornée. Bornée et non vide, \(f(A)\) a une borne inférieure finie \(m = \inf f(A)\) et une borne supérieure finie \(M = \sup f(A)\). Par la caractérisation de la borne inférieure et de la borne supérieure comme limites de points de l'ensemble, \(m\) et \(M\) sont chacun limite d'une suite de points de \(f(A)\). Comme \(f(A)\) est fermée, ces limites restent dans \(f(A)\) : \(m \in f(A)\) et \(M \in f(A)\). Donc il existe \(u,v \in A\) avec \(f(u) = m\) et \(f(v) = M\) : les bornes sont atteintes.
Exemple — Le segment retrouvé\(\virgule\) et une norme sur un compact
Une fonction continue \(f \colon [a,b] \to \mathbb{R}\) atteint un maximum et un minimum : le théorème du lycée est le théorème des bornes atteintes appliqué au segment compact \([a,b]\). De même, une norme \(\norme{\cdot}\), étant une application continue, atteint son maximum sur tout compact non vide \(A\) --- un fait utilisé à plusieurs reprises dans la section~4. Méthode — Utiliser la compacité pour une existence ou une majoration
Pour démontrer qu'une quantité réelle continue est bornée, ou qu'un extremum est atteint : - écrire la quantité comme \(f(x)\) pour une application réelle continue \(f\) ;
- exhiber une partie compacte non vide \(A\) comme domaine --- en dimension finie, une partie fermée bornée (section~4) ;
- invoquer le théorème des bornes atteintes : \(f\) est bornée sur \(A\) et atteint \(\inf_A f\) et \(\sup_A f\).
Compétences à pratiquer
- Appliquer le théorème des bornes atteintes
II.2
Le théorème de Heine
Sur un compact, la continuité est automatiquement uniforme : le module \(\alpha\) qui répond à un défi \(\varepsilon\) peut être choisi une fois pour toutes, indépendamment du point. C'est le théorème de Heine, l'hypothèse silencieuse derrière toute approximation par sommes de Riemann et par intégrales.
Theorem — Théorème de Heine
Soit \(A\) une partie compacte de \(E\). Toute application continue \(f \colon A \to F\) est uniformément continue sur \(A\).
Raisonnons par l'absurde : supposons que \(f\) ne soit pas uniformément continue sur \(A\).
- La négation de la continuité uniforme donne un \(\varepsilon > 0\) tel que, pour tout \(\delta > 0\), deux points de \(A\) brisent l'implication. En prenant \(\delta = \frac{1}{n+1}\), on obtient des points \(x_n, y_n \in A\) avec \(\norme{x_n - y_n} \le \frac{1}{n+1}\) et \(\norme{f(x_n) - f(y_n)} \ge \varepsilon\).
- La suite \((x_n)\) est à valeurs dans le compact \(A\), donc elle admet une sous-suite \((x_{\varphi(n)})\) convergeant vers un certain \(\ell \in A\). Alors $$ \norme{y_{\varphi(n)} - \ell} \le \norme{y_{\varphi(n)} - x_{\varphi(n)}} + \norme{x_{\varphi(n)} - \ell} \le \tfrac{1}{\varphi(n)+1} + \norme{x_{\varphi(n)} - \ell} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0, $$ donc \((y_{\varphi(n)})\) converge aussi vers \(\ell\).
- Par continuité de \(f\) en \(\ell\), \(f(x_{\varphi(n)}) \to f(\ell)\) et \(f(y_{\varphi(n)}) \to f(\ell)\), d'où \(\norme{f(x_{\varphi(n)}) - f(y_{\varphi(n)})} \to 0\). Cela contredit \(\norme{f(x_{\varphi(n)}) - f(y_{\varphi(n)})} \ge \varepsilon\).
Exemple — Pourquoi l'hypothèse de compacité est réelle
L'application \(x \mapsto x^2\) est uniformément continue sur le compact \([-1,1]\) par Heine. Sur \(\mathbb{R}\) tout entier --- qui n'est pas compact --- elle reste continue, mais n'est plus uniformément continue : prendre \(x_n = n\) et \(y_n = n + \frac{1}{n}\), de sorte que \(|x_n - y_n| = \frac{1}{n} \to 0\), tandis que \(|x_n^2 - y_n^2| = 2 + \frac{1}{n^2} \ge 2\). Aucun \(\delta\) unique ne peut convenir pour \(\varepsilon = 2\). La compacité du domaine est exactement ce qui lève cet obstacle. Méthode — Reconnaître quand Heine est nécessaire
La continuité uniforme --- et non la simple continuité --- est l'hypothèse requise pour contrôler \(\norme{f(x) - f(y)}\) par un unique \(\delta\) sur tout le domaine : c'est elle qui fait converger les sommes de Riemann vers une intégrale, et qui majore uniformément une approximation. Lorsqu'un tel contrôle uniforme est nécessaire et que le domaine est un compact, ne pas démontrer la continuité uniforme à la main : énoncer que \(f\) est continue sur un compact, et invoquer Heine. Compétences à pratiquer
- Appliquer le théorème de Heine
III
Connexité par arcs
III.1
Chemins et composantes connexes par arcs
La seconde notion structurelle du chapitre répond à une autre question : quand une partie est-elle « d'un seul tenant » ? La réponse retenue ici est concrète --- deux quelconques de ses points peuvent être reliés par un chemin continu qui ne quitte jamais la partie.
Définition — Chemin et partie connexe par arcs
Soit \(A\) une partie de \(E\) et \(a,b \in A\). Un chemin joignant \(a\) à \(b\) dans \(A\) est une application continue \(\gamma \colon [0,1] \to E\) avec \(\gamma(0) = a\), \(\gamma(1) = b\) et \(\gamma([0,1]) \subset A\). La partie \(A\) est connexe par arcs si deux quelconques de ses points sont joints par un chemin dans \(A\). Par convention la partie vide, n'ayant pas deux points, est connexe par arcs. Exemple — Parties convexes et étoilées
Une partie convexe \(A\) est connexe par arcs : pour \(a,b \in A\) le chemin rectiligne \(\gamma(t) = (1-t)a + tb\) est continu, reste dans \(A\) par convexité, et joint \(a\) à \(b\). Plus généralement une partie étoilée --- contenant un point \(c\) tel que le segment \([c,x]\) soit inclus dans \(A\) pour tout \(x \in A\) --- est connexe par arcs : deux points \(x,y\) quelconques sont joints en passant par \(c\), le long de \([x,c]\) puis de \([c,y]\). Proposition — « Joint par un chemin » est une relation d'équivalence
Sur une partie \(A\), la relation « \(x\) et \(y\) sont joints par un chemin dans \(A\) » est réflexive, symétrique et transitive. - Réflexive. L'application constante \(\gamma(t) = x\) est un chemin joignant \(x\) à lui-même dans \(A\).
- Symétrique. Si \(\gamma\) joint \(x\) à \(y\) dans \(A\), alors \(t \mapsto \gamma(1-t)\) est continue, a pour image \(\gamma([0,1]) \subset A\), et joint \(y\) à \(x\).
- Transitive. Soit \(\gamma_1\) joignant \(x\) à \(y\) et \(\gamma_2\) joignant \(y\) à \(z\), tous deux dans \(A\). Définissons \(\gamma\) sur \([0,1]\) par \(\gamma(t) = \gamma_1(2t)\) pour \(t \le \frac{1}{2}\) et \(\gamma(t) = \gamma_2(2t-1)\) pour \(t \ge \frac{1}{2}\). Les deux formules coïncident en \(t = \frac{1}{2}\) (elles donnent toutes deux \(y\)), donc \(\gamma\) est continue ; son image est \(\gamma_1([0,1]) \cup \gamma_2([0,1]) \subset A\) ; et elle joint \(x\) à \(z\).
Définition — Composantes connexes par arcs
Les classes d'équivalence de la relation « joint par un chemin dans \(A\) » sont appelées les composantes connexes par arcs de \(A\).
Les composantes sont les « morceaux » de \(A\) : chacune est connexe par arcs, deux distinctes ne peuvent être jointes par aucun chemin. Une partie non vide \(A\) est donc connexe par arcs si et seulement si elle a une unique composante --- un seul morceau. La partie vide n'a pas de composante, ce pourquoi cette équivalence est énoncée pour une partie non vide. 
Méthode — Montrer qu'une partie est connexe par arcs
Pour démontrer qu'une partie non vide \(A\) est connexe par arcs : - la reconnaître convexe ou étoilée --- le chemin rectiligne ou en deux segments est alors immédiat ;
- ou fixer un point base \(c \in A\) et joindre chaque \(x \in A\) à \(c\) par un chemin explicite, en utilisant la transitivité pour relier deux points quelconques en passant par \(c\).
Compétences à pratiquer
- Démontrer la connexité par arcs
III.2
Parties connexes par arcs de la droite réelle
Sur la droite réelle, la connexité par arcs se ramène à une notion familière : les parties connexes par arcs de \(\mathbb{R}\) sont exactement ses intervalles. C'est le pont qui transforme le théorème de l'image de la section suivante en théorème des valeurs intermédiaires.
Proposition — Les parties connexes par arcs de \(\mathbb{R}\) sont les intervalles
Une partie de \(\mathbb{R}\) est connexe par arcs si et seulement si c'est un intervalle --- l'ensemble vide et les singletons étant comptés comme intervalles, en cohérence avec la convention de connexité par arcs par vacuité.
Un intervalle de \(\mathbb{R}\) est convexe, donc connexe par arcs par l'exemple du \S3.1. Réciproquement, soit \(A \subset \mathbb{R}\) connexe par arcs ; montrons que \(A\) est convexe, ce qui pour une partie de \(\mathbb{R}\) signifie être un intervalle. Si \(A\) a au plus un point, c'est l'ensemble vide ou un singleton --- deux intervalles --- et il n'y a rien à démontrer ; supposons que \(A\) ait au moins deux points distincts. Prenons \(a,b \in A\) avec \(a < b\) et soit \(c \in [a,b]\). Comme \(A\) est connexe par arcs, il existe un chemin \(\gamma \colon [0,1] \to \mathbb{R}\), continu, avec \(\gamma(0) = a\), \(\gamma(1) = b\) et \(\gamma([0,1]) \subset A\). Le nombre \(c\) est compris entre \(\gamma(0)\) et \(\gamma(1)\), donc par le théorème des valeurs intermédiaires (réel) il existe \(t \in [0,1]\) avec \(\gamma(t) = c\). Alors \(c = \gamma(t) \in A\). Donc \(A\) contient tout point compris entre deux de ses points : \(A\) est convexe, c'est-à-dire un intervalle.
Exemple — Une droite privée d'un point n'est pas connexe par arcs
La partie \(\mathbb{R} \setminus \{a\}\) n'est pas un intervalle, donc par la proposition elle n'est pas connexe par arcs. Ses deux composantes connexes par arcs sont les demi-droites \(\,]{-}\infty ; a[\,\) et \(\,]a ; +\infty[\,\) : chacune est un intervalle donc connexe par arcs, et aucun chemin ne peut passer de l'une à l'autre sans franchir \(a\), qui a été retiré. Compétences à pratiquer
- Identifier les parties connexes par arcs de la droite
III.3
Image continue et théorème des valeurs intermédiaires généralisé
De même que la continuité transporte la compacité, elle transporte la connexité par arcs. Lorsque l'espace d'arrivée est \(\mathbb{R}\), cela produit le théorème des valeurs intermédiaires en toute généralité --- valable sur tout domaine connexe par arcs, et non seulement sur un segment.
Theorem — Image d'une partie connexe par arcs
Soit \(A\) une partie connexe par arcs de \(E\) et \(f \colon A \to F\) une application continue. Alors \(f(A)\) est une partie connexe par arcs de \(F\).
Soit \(f(a)\) et \(f(b)\) deux points de \(f(A)\), avec \(a,b \in A\). Comme \(A\) est connexe par arcs, il existe un chemin \(\gamma\) joignant \(a\) à \(b\) dans \(A\). La composée \(f \circ \gamma \colon [0,1] \to F\) est continue (composition d'applications continues), vérifie \((f\circ\gamma)(0) = f(a)\) et \((f\circ\gamma)(1) = f(b)\), et a pour image \(f(\gamma([0,1])) \subset f(A)\). Donc \(f \circ \gamma\) est un chemin joignant \(f(a)\) à \(f(b)\) dans \(f(A)\) : la partie \(f(A)\) est connexe par arcs.
Theorem — Théorème des valeurs intermédiaires généralisé
Soit \(A\) une partie connexe par arcs de \(E\) et \(f \colon A \to \mathbb{R}\) une application continue. Alors \(f(A)\) est un intervalle de \(\mathbb{R}\). En particulier, \(f\) prend toute valeur comprise entre deux de ses valeurs.
Par le théorème précédent, \(f(A)\) est une partie connexe par arcs de \(\mathbb{R}\). Par la proposition du \S3.2, une partie connexe par arcs de \(\mathbb{R}\) est un intervalle. Un intervalle contient tout réel compris entre deux de ses éléments, ce qui est exactement l'énoncé selon lequel \(f\) prend toute valeur comprise entre deux de ses valeurs.
Exemple — Le cercle unité est connexe par arcs
Le cercle unité de \(\mathbb{R}^2\) est connexe par arcs. En effet c'est l'image du segment \([0,1]\) --- convexe, donc connexe par arcs --- par l'application continue \(t \mapsto (\cos 2\pi t \,;\, \sin 2\pi t)\). Le théorème de l'image s'applique aussitôt, sans avoir à étudier \(\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}\). Méthode — Utiliser le TVI généralisé pour localiser un zéro
Pour démontrer qu'une application réelle continue \(f\) sur un domaine connexe par arcs \(A\) s'annule : - exhiber deux points \(x,y \in A\) en lesquels \(f\) a des signes opposés --- c'est-à-dire \(f(x)\,f(y) \le 0\) ;
- invoquer le théorème des valeurs intermédiaires généralisé : \(0\) est compris entre \(f(x)\) et \(f(y)\), donc c'est une valeur de \(f\) --- il existe un point de \(A\), le long d'un chemin joignant \(x\) à \(y\), où \(f\) s'annule.
Compétences à pratiquer
- Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires généralisé
IV
Espaces vectoriels normés de dimension finie
IV.1
Équivalence des normes
Rappelons d'Espaces vectoriels normés que deux normes \(N_1\) et \(N_2\) sur un espace sont équivalentes lorsque chacune est majorée par une constante fois l'autre : \(\alpha N_1 \le N_2 \le \beta N_1\) pour certaines constantes \(\alpha,\beta > 0\). Des normes équivalentes définissent les mêmes suites convergentes, les mêmes ouverts et fermés, les mêmes applications continues. Le résultat phare de cette section est qu'en dimension finie le choix de la norme n'a jamais d'importance --- toutes les normes sont équivalentes.
Theorem — En dimension finie toutes les normes sont équivalentes
Sur un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie, deux normes quelconques sont équivalentes.
Le programme officiel indique cette démonstration « non exigible ». Elle est donnée ici car elle est courte et repose sur la compacité --- l'outil que ce chapitre vient de construire.
Si \(\dim E = 0\) la seule norme est l'application nulle, et l'énoncé est trivial ; supposons \(\dim E = n \ge 1\) et fixons une base \((e_1,\dots,e_n)\). Pour \(x = \sum_{k=1}^{n} x_k e_k\), posons \(N_\infty(x) = \max_{1 \le k \le n} |x_k|\) --- une norme sur \(E\). Il suffit de prouver que toute norme \(N\) est équivalente à \(N_\infty\) ; la transitivité rend alors deux normes quelconques équivalentes.
Si \(\dim E = 0\) la seule norme est l'application nulle, et l'énoncé est trivial ; supposons \(\dim E = n \ge 1\) et fixons une base \((e_1,\dots,e_n)\). Pour \(x = \sum_{k=1}^{n} x_k e_k\), posons \(N_\infty(x) = \max_{1 \le k \le n} |x_k|\) --- une norme sur \(E\). Il suffit de prouver que toute norme \(N\) est équivalente à \(N_\infty\) ; la transitivité rend alors deux normes quelconques équivalentes.
- (1) Majoration et continuité. Pour tout \(x\), $$ N(x) = N\Bigl(\sum_k x_k e_k\Bigr) \le \sum_k |x_k|\,N(e_k) \le \Bigl(\sum_k N(e_k)\Bigr) N_\infty(x) = M\,N_\infty(x), $$ avec \(M = \sum_k N(e_k) > 0\). Appliquée à \(x - y\), elle donne \(|N(x) - N(y)| \le N(x-y) \le M\,N_\infty(x-y)\) : l'application \(N\) est \(N_\infty\)-continue.
- (2) La sphère unité de \(N_\infty\) est compacte. Soit \(S = \{x \in E : N_\infty(x) = 1\}\), et prouvons \(S\) compacte directement --- non par le \S4.2, ce qui serait circulaire. Soit \((x^{(p)})_p\) une suite de \(S\). Chaque suite de coordonnées \((x^{(p)}_k)_p\) est bornée, puisque \(|x^{(p)}_k| \le N_\infty(x^{(p)}) = 1\). En effectuant \(n\) extractions successives, une coordonnée à la fois --- chacune par Bolzano--Weierstrass dans \(\mathbb{K}\), appliquée pour \(\mathbb{K} = \mathbb{C}\) aux parties réelle et imaginaire, la version réelle étant la seule supposée --- on obtient une sous-suite le long de laquelle chaque coordonnée converge : \(x^{(\sigma(p))}_k \to c_k\). Avec \(c = \sum_k c_k e_k\), cela signifie \(N_\infty(x^{(\sigma(p))} - c) = \max_k |x^{(\sigma(p))}_k - c_k| \to 0\), donc \(x^{(\sigma(p))} \to c\) pour \(N_\infty\). Par continuité de \(N_\infty\), \(N_\infty(c) = \lim N_\infty(x^{(\sigma(p))}) = 1\), donc \(c \in S\). Ainsi \(S\) est compacte.
- (3) Minoration et majoration. L'ensemble \(S\) est non vide (il contient \(e_1\)) et, par l'étape (2), compact, tandis que \(N\) y est continue par l'étape (1) --- le tout pour une seule et même norme \(N_\infty\). Donc le théorème des bornes atteintes du \S2.1, appliqué dans l'espace normé \((E,N_\infty)\), fait atteindre à \(N\) un minimum \(\alpha\) et un maximum \(\beta\) sur \(S\). Le minimum est atteint en un certain \(x_0 \in S\), et \(x_0 \ne 0\) puisque \(N_\infty(x_0) = 1\), donc \(\alpha = N(x_0) > 0\). Pour tout \(x \ne 0\), le vecteur \(x / N_\infty(x)\) appartient à \(S\), d'où \(\alpha \le N\bigl(x/N_\infty(x)\bigr) \le \beta\), c'est-à-dire \(\alpha\,N_\infty(x) \le N(x) \le \beta\,N_\infty(x)\) --- vrai aussi en \(x = 0\). Donc \(N\) et \(N_\infty\) sont équivalentes.
- (4) Transitivité. Deux normes quelconques \(N_1, N_2\) sont chacune équivalentes à \(N_\infty\) par l'étape (3), donc équivalentes entre elles.
Les trois normes usuelles de \(\mathbb{R}^2\) ont des boules unité de trois formes différentes --- pourtant, étant équivalentes, elles ne peuvent être distinguées par aucune propriété topologique. 
Les boules unité de \(\norme{\cdot}_1\), \(\norme{\cdot}_2\), \(\norme{\cdot}_\infty\) dans \(\mathbb{R}^2\) : un losange, un disque, un carré --- trois normes équivalentes.
Exemple — Les normes usuelles de \(\mathbb{K}^n\)
Sur \(\mathbb{K}^n\) les normes \(\norme{x}_1 = \sum_k |x_k|\), \(\norme{x}_2 = \bigl(\sum_k |x_k|^2\bigr)^{1/2}\) et \(\norme{x}_\infty = \max_k |x_k|\) sont équivalentes, puisque \(\mathbb{K}^n\) est de dimension finie. Par conséquent « ouvert », « fermé », « borné », « convergente » et « continue » dans \(\mathbb{K}^n\) ne dépendent pas de laquelle des trois est choisie --- on prend toujours la plus commode. Méthode — Exploiter l'équivalence des normes
Dans un espace de dimension finie, une question topologique --- convergence d'une suite, caractère ouvert ou fermé d'une partie, bornitude d'une partie, continuité d'une application --- a la même réponse pour toute norme. Donc : - choisir la norme qui rend le calcul le plus simple --- souvent \(\norme{\cdot}_\infty\) dans une base, qui ramène la convergence à la convergence coordonnée par coordonnée ;
- mener l'argument pour cette norme ;
- énoncer que la conclusion se transfère à toute norme, par équivalence.
Compétences à pratiquer
- Exploiter l'équivalence des normes
IV.2
Parties compactes en dimension finie
Le contre-exemple en dimension infinie du \S1.1 --- une sphère fermée bornée non compacte --- disparaît en dimension finie. Là, « compacte » et « fermée et bornée » coïncident exactement.
Theorem — Caractérisation des compacts en dimension finie
Dans un espace normé de dimension finie, une partie est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.
Si \(\dim E = 0\) l'énoncé est trivial ; supposons \(\dim E = n \ge 1\) et fixons une base, avec la norme \(N_\infty\) du \S4.1. Une partie compacte est fermée et bornée par le théorème du \S1.2 --- une implication. Réciproquement, soit \(A\) une partie fermée bornée. Le caractère fermé et borné ne dépend pas de la norme (équivalence des normes, \S4.1), donc \(A\) est fermée et bornée pour \(N_\infty\). Soit \((u^{(p)})\) une suite de \(A\) : elle est \(N_\infty\)-bornée, disons \(N_\infty(u^{(p)}) \le R\), donc chaque suite de coordonnées est bornée. Comme au \S4.1, \(n\) extractions successives --- chacune par Bolzano--Weierstrass dans \(\mathbb{K}\), appliquée pour \(\mathbb{K} = \mathbb{C}\) aux parties réelle et imaginaire --- donnent une sous-suite convergeant coordonnée par coordonnée, donc convergeant pour \(N_\infty\) vers une limite \(\ell\). Comme \(A\) est fermée, \(\ell \in A\). Donc \(A\) est compacte pour \(N_\infty\), donc pour toute norme par équivalence.
Proposition — Conséquences
Dans un espace normé de dimension finie : - [(i)] la boule unité fermée et la sphère unité sont compactes ;
- [(ii)] toute suite bornée admet une sous-suite convergente (Bolzano--Weierstrass) ;
- [(iii)] une suite bornée converge si et seulement si elle a une unique valeur d'adhérence.
- (i) La boule unité fermée et la sphère unité sont fermées et bornées, donc compactes par le théorème.
- (ii) Une suite bornée est contenue dans une boule fermée \(B_f(0,R)\), fermée et bornée donc compacte ; par définition de la compacité elle admet une sous-suite convergente.
- (iii) Une telle suite est à valeurs dans le compact \(B_f(0,R)\), donc le critère du \S1.3 s'applique mot pour mot.
Exemple — La boule unité fermée de \(\mathbb{R}^n\)
La boule unité fermée de \(\mathbb{R}^n\) est compacte --- fermée, bornée, et \(\mathbb{R}^n\) est de dimension finie. Cela contraste nettement avec la sphère unité de \(\mathbb{K}[X]\) du \S1.1, fermée et bornée mais non compacte : la différence est précisément la dimension infinie de \(\mathbb{K}[X]\). Méthode — Caractériser les compacts en dimension finie
Dans un espace de dimension finie, ne jamais revenir à la définition par sous-suites pour reconnaître un compact. À la place : - vérifier que la partie est bornée --- contenue dans une boule ;
- vérifier qu'elle est fermée --- par exemple comme image réciproque d'un fermé par une application continue, ou stable par limite séquentielle ;
- conclure « fermée et bornée en dimension finie, donc compacte ».
Compétences à pratiquer
- Caractériser les compacts en dimension finie
IV.3
Continuité des applications linéaires\(\virgule\) multilinéaires et polynomiales
Limites et continuité dans un espace normé a ramené la continuité d'une application linéaire à une seule inégalité \(\norme{u(x)} \le C\norme{x}\). En dimension finie cette inégalité est toujours vraie : la linéarité --- et davantage --- force la continuité gratuitement, sans estimation à trouver.
Theorem — Une application linéaire d'un espace de dimension finie est continue
Soit \(E\) un espace normé de dimension finie et \(F\) un espace normé. Toute application linéaire \(u \colon E \to F\) est continue.
Si \(\dim E = 0\) alors \(u\) est l'application nulle, trivialement continue ; supposons \(\dim E = n \ge 1\). Fixons une base \((e_1,\dots,e_n)\) de \(E\) et la norme \(N_\infty\) du \S4.1. Pour \(x = \sum_k x_k e_k\), la linéarité donne $$ \norme{u(x)} = \norme[\big]{\sum_k x_k\,u(e_k)} \le \sum_k |x_k|\,\norme{u(e_k)} \le \Bigl(\sum_k \norme{u(e_k)}\Bigr) N_\infty(x) = C\,N_\infty(x), $$ avec \(C = \sum_k \norme{u(e_k)}\). Par l'équivalence des normes (\S4.1) il existe \(\beta > 0\) avec \(N_\infty(x) \le \beta\,\norme{x}\) pour la norme donnée de \(E\). Donc \(\norme{u(x)} \le C\beta\,\norme{x}\) pour tout \(x\) --- le critère de continuité d'une application linéaire (Limites et continuité dans un espace normé). Donc \(u\) est continue.
Theorem — Les applications multilinéaires sur des espaces de dimension finie sont continues
Soit \(E_1,\dots,E_p\) des espaces normés de dimension finie et \(F\) un espace normé. Toute application \(p\)-linéaire \(u \colon E_1 \times \dots \times E_p \to F\) est continue.
Fixons une base de chaque \(E_i\) et la norme \(N_\infty\) sur chacun. En développant chaque argument \(x_i\) dans sa base et en utilisant la \(p\)-linéarité, \(u(x_1,\dots,x_p)\) devient une somme finie de termes, chacun produit d'une coordonnée de chaque argument par un vecteur fixe \(u(e_{1,k_1},\dots,e_{p,k_p})\). En majorant chaque coordonnée par \(N_\infty(x_i)\) on obtient une constante \(C\) avec $$ \norme{u(x_1,\dots,x_p)} \le C\,N_\infty(x_1)\cdots N_\infty(x_p). $$ Par équivalence des normes chaque \(N_\infty(x_i)\) est majorée par une constante fois \(\norme{x_i}\), donc \(\norme{u(x_1,\dots,x_p)} \le C'\,\norme{x_1}\cdots\norme{x_p}\) --- le critère de continuité d'une application multilinéaire (Limites et continuité dans un espace normé), ce qui rend \(u\) continue pour la norme produit \(\max_i \norme{x_i}\) sur le domaine. Ce produit d'espaces de dimension finie est lui-même de dimension finie, donc toutes ses normes sont équivalentes : \(u\) est continue pour toute norme.
Proposition — Les applications polynomiales sont continues
Soit \(E\) un espace normé de dimension finie. Une application polynomiale \(E \to \mathbb{K}\) --- une combinaison \(\mathbb{K}\)-linéaire de monômes en les coordonnées relatives à une base fixée --- est continue. Une application à valeurs dans un espace normé de dimension finie dont les composantes dans une base d'arrivée sont polynomiales est alors continue composante par composante ; un espace d'arrivée normé quelconque n'est pas concerné.
Chaque application coordonnée \(E \to \mathbb{K}\), \(x \mapsto x_k\), est linéaire, donc continue par le théorème sur les applications linéaires. Un monôme est un produit fini de telles applications coordonnées, continu comme produit d'applications continues. Une application polynomiale est une somme finie de multiples scalaires de monômes, continue comme combinaison linéaire d'applications continues. Pour le cas à valeurs vectorielles, une application à valeurs dans un espace normé de dimension finie est continue si et seulement si ses composantes dans une base d'arrivée le sont (rappelé de Limites et continuité dans un espace normé) ; lorsque ces composantes sont des applications polynomiales, chacune est continue par le cas scalaire, donc l'application l'est aussi.
Proposition — Un sous-espace de dimension finie est fermé
Tout sous-espace \(F\) de dimension finie d'un espace normé \(E\) est fermé dans \(E\).
Soit \((e_1,\dots,e_p)\) une base de \(F\) et soit \(\psi \colon \mathbb{K}^p \to E\), \(c = (c_1,\dots,c_p) \mapsto \sum_k c_k e_k\). L'application \(\psi\) est linéaire et injective d'image \(F\) ; elle est continue, et sa réciproque \(\psi^{-1} \colon F \to \mathbb{K}^p\) est linéaire sur l'espace de dimension finie \(F\), donc continue. Soit \((x_n)\) une suite de \(F\) convergeant vers une limite \(\ell \in E\). Une suite convergente est bornée, donc \((x_n)\) est bornée ; par suite \((c_n) = (\psi^{-1}(x_n))\) est une suite bornée de \(\mathbb{K}^p\). Par Bolzano--Weierstrass en dimension finie (\S4.2), \((c_n)\) admet une sous-suite \((c_{\varphi(n)})\) convergeant vers un certain \(c \in \mathbb{K}^p\). Alors \(x_{\varphi(n)} = \psi(c_{\varphi(n)}) \to \psi(c)\) par continuité de \(\psi\), tandis que \(x_{\varphi(n)} \to \ell\) ; l'unicité de la limite donne \(\ell = \psi(c) \in F\). Donc \(F\) contient toute limite séquentielle de ses points : \(F\) est fermé. Aucun appel à la complétude n'est fait --- la notion d'« espace de Banach » est hors programme.
Exemple — Sur l'espace des matrices
Sur l'espace de dimension finie \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) : la trace et le déterminant sont continus, étant des applications polynomiales scalaires en les coefficients ; l'application \(M \mapsto \chi_M\), vue comme à valeurs dans l'espace de dimension finie \(\mathbb{K}_n[X]\), est continue puisque chaque coefficient de \(\chi_M\) est polynomial en les coefficients. L'ensemble \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\) est ouvert, comme \(\det^{-1}(\mathbb{K}^*)\) avec \(\det\) continu et \(\mathbb{K}^* = \mathbb{K} \setminus \{0\}\) l'ouvert des scalaires non nuls. Le sous-espace \(\mathcal{S}_n(\mathbb{R})\) des matrices symétriques est fermé, étant un sous-espace de dimension finie. Méthode — Démontrer la continuité en dimension finie
Dès que le domaine est de dimension finie : - une application linéaire ou multilinéaire est continue sans estimation à écrire --- énoncer le théorème et s'arrêter ;
- une application polynomiale est continue lorsqu'elle est à valeurs scalaires, ou à valeurs vectorielles dans un espace d'arrivée de dimension finie à fonctions coordonnées polynomiales --- la réserve sur l'espace d'arrivée de la proposition ;
- pour lire qu'une partie est ouverte ou fermée, l'écrire comme image réciproque d'un ouvert ou d'un fermé par une telle application continue.
Pour aller plus loin
Ce chapitre a isolé les deux hypothèses --- compacité et connexité par arcs --- qui portent les grands théorèmes de la continuité, et a montré qu'en dimension finie la topologie devient uniforme sur toutes les normes. Le chapitre Fonctions vectorielles utilisera l'équivalence des normes en dimension finie pour dériver et intégrer coordonnée par coordonnée ; Séries numériques et vectorielles s'appuiera sur le même fait pour étudier la convergence dans \(\mathbb{K}^n\) et \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Dans Optimisation, le théorème des bornes atteintes sur un compact est le moteur d'existence derrière tout énoncé « un minimum est atteint ». La compacité et la connexité par arcs, construites ici, sont désormais des outils permanents.
Compétences à pratiquer
- Démontrer la continuité en dimension finie
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