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CommeUnJeu · L1 PCSI

Trigonométrie

⌚ ~123 min ▢ 15 blocs ✓ 50 exercices ➣ Prérequis : Radians et cercle unité, Fonctions trigonométriques
La trigonométrie au lycée est une recette : \(\cos\), \(\sin\), \(\tan\) sont des boîtes dont on mémorise les valeurs en \(0, \pi/6, \pi/4, \pi/3, \pi/2\). Ce cours les reconstruit à partir d'une seule image --- le cercle trigonométrique --- et remplace le « modulo \(2\pi\) » abrégé par une relation précise, la congruence modulo \(2\pi\). À partir de cette image, chaque formule du chapitre (symétries, valeurs usuelles, addition, duplication, produit-somme, dérivées, paramétrage par \(\tan(t/2)\)) devient soit une lecture directe du cercle, soit une conséquence en deux lignes d'une identité maîtresse, \(\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\).
Le plan a six sections. La première section introduit le cercle, le radian et la relation de congruence \(a \equiv b \,[2\pi]\). La deuxième section rassemble les symétries et les valeurs usuelles --- l'image fait l'essentiel du travail. La troisième section déduit les formules d'addition, de duplication et de produit-somme à partir de la preuve par produit scalaire de \(\cos(a - b)\). La quatrième section démontre l'inégalité géométrique \(|\sin x| \le |x|\) et s'en sert pour établir la limite \(\sin x / x \to 1\) et les dérivées \(\sin' = \cos\), \(\cos' = -\sin\). La cinquième section donne l'étude complète de la tangente : \(\pi\)-périodicité, parité, addition, dérivée, variations, graphe, et le paramétrage par \(\tan(t/2)\) exigé par le programme. La dernière section résout les équations trigonométriques \(\cos x = a\), \(\sin x = a\), \(\tan x = a\) et les inéquations correspondantes.
Trois notions sont volontairement reportées à des chapitres ultérieurs. La linéarisation systématique de \(\cos^p \theta \sin^q \theta\), les formules somme-produit, la forme amplitude-phase \(a \cos x + b \sin x = R \cos(x - \varphi)\), et les sommes trigonométriques \(\sum \cos(k\theta)\) sont toutes reportées au chapitre Nombres complexes, où la formule d'Euler \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) les rend en une ligne. Les fonctions réciproques \(\arccos, \arcsin, \arctan\) comme objets dérivables sont reportées à Fonctions usuelles ; ici, elles n'apparaissent que comme noms d'angle sur l'intervalle standard.
I Cercle trigonométrique\(\virgule\) radians\(\virgule\) congruence modulo \(2\pi\)
Le cercle trigonométrique est le cercle unité du plan, orienté dans le sens trigonométrique (anti-horaire). À tout réel \(\theta\) on associe le point du cercle obtenu en parcourant un arc de longueur \(\theta\) depuis \((1, 0)\), dans le sens direct si \(\theta > 0\), indirect si \(\theta < 0\). L'abscisse de ce point est \(\cos\theta\), l'ordonnée est \(\sin\theta\). L'image complète --- cercle, point, projections --- est le seul diagramme dont on a vraiment besoin pour la suite du chapitre. La relation « deux réels \(a\) et \(b\) correspondent au même point du cercle » est la congruence modulo \(2\pi\), que l'on précise maintenant.
Définition — Cercle trigonométrique\(\virgule\) radian\(\virgule\) cosinus\(\virgule\) sinus
Le cercle trigonométrique est le cercle unité du plan \(\mathbb{R}^2\) centré à l'origine, orienté dans le sens trigonométrique. La mesure en radians d'un angle est la longueur de l'arc correspondant sur le cercle trigonométrique. Pour \(\theta \in \mathbb{R}\), le point \(M(\theta)\) du cercle atteint en parcourant un arc de longueur (signée) \(\theta\) depuis \((1, 0)\) a pour coordonnées $$ M(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta). $$ Cela définit deux fonctions \(\cos, \sin : \mathbb{R} \to [-1, 1]\).
Définition — Congruence modulo \(2\pi\)
Pour \(a, b \in \mathbb{R}\), on dit que \(a\) est congru à \(b\) modulo \(2\pi\), et l'on écrit $$ a \equiv b \,[2\pi], $$ lorsque \(a - b \in 2\pi\mathbb{Z}\), c'est-à-dire lorsqu'il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(a = b + 2k\pi\). La même notation avec \(\pi\) à la place de \(2\pi\) définit la congruence modulo \(\pi\) (utilisée plus loin pour \(\tan\)).
Proposition — Algèbre des congruences
Soit \(\alpha > 0\). La relation \(\equiv \,[\alpha]\) est une relation d'équivalence sur \(\mathbb{R}\) (réflexive, symétrique, transitive). Pour tous \(a, a', b, b' \in \mathbb{R}\) :
  • si \(a \equiv b \,[\alpha]\) et \(a' \equiv b' \,[\alpha]\), alors \(a + a' \equiv b + b' \,[\alpha]\) et \(a - a' \equiv b - b' \,[\alpha]\) ;
  • si \(a \equiv b \,[\alpha]\) et \(r \in \mathbb{R}^*\), alors \(r a \equiv r b \,[\,|r|\,\alpha\,]\) (le module est multiplié par \(|r|\) ; on garde \(|r|\), et non \(r\), car un module doit être \(> 0\)). Pour \(r = 0\) l'énoncé est trivial : les deux membres valent \(0\).
En cas de doute, repasser à la forme paramétrique \(a = b + k\alpha\) (\(k \in \mathbb{Z}\)).

  • Relation d'équivalence. Réflexive : \(a - a = 0 \in \alpha\mathbb{Z}\). Symétrique : \(a - b \in \alpha\mathbb{Z} \Rightarrow b - a = -(a - b) \in \alpha\mathbb{Z}\). Transitive : \((a - b) + (b - c) = a - c \in \alpha\mathbb{Z}\).
  • Somme / différence. Si \(a = b + k\alpha\) et \(a' = b' + k'\alpha\) avec \(k, k' \in \mathbb{Z}\), alors \(a \pm a' = (b \pm b') + (k \pm k')\alpha\).
  • Multiplication par \(r\). Soit \(r \in \mathbb{R}^*\). Si \(a = b + k\alpha\) avec \(k \in \mathbb{Z}\), alors \(ra = rb + k r \alpha = rb + (\operatorname{sgn}(r)\, k)\,|r|\alpha\). Comme \(\operatorname{sgn}(r)\, k\) décrit \(\mathbb{Z}\) lorsque \(k\) le décrit, cela signifie exactement \(ra \equiv rb \,[\,|r|\alpha\,]\) ; le nouveau module est \(|r|\alpha > 0\), pas \(\alpha\). (Pour \(r = 0\) les deux membres valent \(0\), la congruence est trivialement vraie.)
Attention. Ne pas multiplier une congruence par un réel quelconque en gardant le même module : \(a \equiv b \,[\alpha]\) n'implique pas \(ra \equiv rb \,[\alpha]\) en général.

Congruence \(\ne\) égalité
Attention : \(a \equiv b \,[2\pi]\) ne signifie pas \(a = b\). Cela signifie « \(a\) et \(b\) correspondent au même point du cercle trigonométrique ». Concrètement, \(\frac{13\pi}{6} \ne \frac{\pi}{6}\) (deux réels différents), mais \(\frac{13\pi}{6} \equiv \frac{\pi}{6} \,[2\pi]\) puisque \(\frac{13\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = 2\pi\). Dans tout le chapitre, la congruence est l'outil pour « position sur le cercle », l'égalité est l'outil pour « valeur d'un réel ».
Proposition — Identité fondamentale
Pour tout \(\theta \in \mathbb{R}\), $$ \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1. $$

Par définition, \(M(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta)\) est sur le cercle unité, dont l'équation cartésienne est \(x^2 + y^2 = 1\). En substituant \(x = \cos\theta\), \(y = \sin\theta\), on obtient \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\). *(Autrement dit : l'identité est l'équation du cercle unité, appliquée au point \((\cos\theta, \sin\theta)\).)*

Proposition — Périodicité et parité
Pour tout \(\theta \in \mathbb{R}\) :
  • \(\cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta\) et \(\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta\) (toutes deux \(2\pi\)-périodiques) ;
  • \(\cos(-\theta) = \cos\theta\) (\(\cos\) est paire) et \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\) (\(\sin\) est impaire).

Lecture directe sur le cercle. Parcourir un tour complet supplémentaire (\(+2\pi\)) ramène au même point, donc les coordonnées sont inchangées : \(\cos\) et \(\sin\) sont \(2\pi\)-périodiques. Parcourir un arc \(-\theta\) au lieu de \(\theta\) revient à symétriser le point par rapport à l'axe des abscisses : l'abscisse est conservée (\(\cos\) paire), l'ordonnée est changée en son opposée (\(\sin\) impaire).

Méthode — Lire sur le cercle\(\virgule\) réduire un grand angle
Étant donné un réel \(\theta\), pour calculer \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\) :
  1. Réduire \(\theta\) modulo \(2\pi\) à un représentant \(\theta' \in [0, 2\pi[\) (ou \(]-\pi, \pi]\) si plus pratique) : retrancher ou ajouter des multiples de \(2\pi\).
  2. Placer \(M(\theta')\) sur le cercle trigonométrique.
  3. Lire l'abscisse (\(\cos\theta'\)) et l'ordonnée (\(\sin\theta'\)).
  4. Par \(2\pi\)-périodicité, \(\cos\theta = \cos\theta'\) et \(\sin\theta = \sin\theta'\).
Exemple
Calculer \(\cos\!\big(\frac{11\pi}{6}\big)\) et \(\sin\!\big(\frac{11\pi}{6}\big)\).

On a \(\frac{11\pi}{6} = 2\pi - \frac{\pi}{6}\), donc \(\frac{11\pi}{6} \equiv -\frac{\pi}{6} \,[2\pi]\). Par \(2\pi\)-périodicité puis parité : $$ \cos\!\left(\frac{11\pi}{6}\right) = \cos\!\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin\!\left(\frac{11\pi}{6}\right) = \sin\!\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}. $$

Exemple
Montrer que \(\frac{13\pi}{6} \equiv \frac{\pi}{6} \,[2\pi]\).

La différence \(\frac{13\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{12\pi}{6} = 2\pi \in 2\pi\mathbb{Z}\), donc la congruence est vraie (avec \(k = 1\) dans la forme paramétrique \(a = b + 2k\pi\)).

Exemple
Le cercle de référence standard, avec les angles cardinaux aux multiples de \(\pi/6\) et \(\pi/4\) :
Cette figure doit être redessinée de mémoire à chaque utilisation, et non consultée comme une table : lire directement l'abscisse et l'ordonnée sur le cercle est plus robuste que mémoriser 16 couples de nombres.
Compétences à pratiquer
  • Lire les valeurs aux angles remarquables
  • Manipuler la congruence modulo \(2\pi\)
II Symétries et valeurs usuelles
Symétriser un point du cercle trigonométrique par rapport à un axe de symétrie, à l'origine, ou à la diagonale \(y = x\) produit un nouveau point dont les coordonnées \((\cos, \sin)\) sont prévisibles. Cette unique observation donne huit identités d'un coup. Les valeurs usuelles en \(0, \pi/6, \pi/4, \pi/3, \pi/2\) viennent ensuite de deux triangles de référence : le triangle rectangle isocèle (pour \(\pi/4\)) et la moitié d'un triangle équilatéral (pour \(\pi/6\) et \(\pi/3\)). La combinaison « table standard + symétrie » donne toute valeur à tout multiple de \(\pi/6\) ou \(\pi/4\) sur le cercle.
Proposition — Symétries axiales et centrale
Pour tout \(\theta \in \mathbb{R}\) : $$ \begin{aligned} \cos(-\theta) &= \cos\theta, & \sin(-\theta) &= -\sin\theta & &\text{(symétrie d'axe \(Ox\))}, \\ \cos(\pi - \theta) &= -\cos\theta, & \sin(\pi - \theta) &= \sin\theta & &\text{(symétrie d'axe \(Oy\))}, \\ \cos(\pi + \theta) &= -\cos\theta, & \sin(\pi + \theta) &= -\sin\theta & &\text{(symétrie centrale en \(O\))}. \end{aligned} $$

Lecture sur le cercle. Les trois opérations (changer le signe de \(\theta\), prendre \(\pi - \theta\), prendre \(\pi + \theta\)) sont exactement les trois symétries de \(M(\theta)\) par rapport à l'axe \(Ox\), à l'axe \(Oy\) et à l'origine respectivement. Les coordonnées se transforment de manière prévisible :
  • Symétrie d'axe \(Ox\) : abscisse conservée, ordonnée changée en son opposée : \(\cos(-\theta) = \cos\theta\), \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\).
  • Symétrie d'axe \(Oy\) : abscisse changée en son opposée, ordonnée conservée : \(\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta\), \(\sin(\pi - \theta) = \sin\theta\).
  • Symétrie centrale en \(O\) : les deux changées en leurs opposées : \(\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta\), \(\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta\).

Exemple
Les trois symétries axiales / centrale sur le cercle unité :
Proposition — Angles complémentaires\(\virgule\) décalages de \(\pi/2\)
Pour tout \(\theta \in \mathbb{R}\) : $$ \begin{aligned} \cos\!\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) &= \sin\theta, & \sin\!\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) &= \cos\theta & &\text{(symétrie d'axe \(y = x\))}, \\ \cos\!\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) &= -\sin\theta, & \sin\!\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) &= \cos\theta & &\text{(rotation d'un quart de tour)}. \end{aligned} $$

L'angle \(\frac{\pi}{2} - \theta\) est la symétrie de \(\theta\) par rapport à la diagonale \(y = x\) sur le cercle trigonométrique (qui échange abscisse et ordonnée) ; d'où la première paire. L'angle \(\frac{\pi}{2} + \theta\) est la rotation de \(M(\theta)\) d'un quart de tour direct : \((x, y) \mapsto (-y, x)\) ; d'où la seconde paire.

Deux mnémoniques opérationnels pour les symétries
Les huit identités de symétrie se ramènent à deux règles que les étudiants retiennent rapidement :
  • Ajouter \(\pi\) multiplie \(\cos\) et \(\sin\) par \(-1\). \(\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta\), \(\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta\) --- les deux changent de signe par le même décalage. À utiliser dès qu'un problème demande « changer le signe d'un cos / sin ».
  • L'application \(\theta \mapsto \pi/2 - \theta\) échange \(\cos\) et \(\sin\). C'est LA transformation à utiliser dès qu'un problème demande « remplacer un \(\cos\) par un \(\sin\) » ou l'inverse.
Exemple
Les symétries d'angles complémentaires et de quart de tour sur le cercle unité :
Proposition — Valeurs usuelles
$$ \begin{array}{c|ccccc} \theta & 0 & \pi/6 & \pi/4 & \pi/3 & \pi/2 \\ \hline \cos\theta & 1 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 \\ \sin\theta & 0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{array} $$

Les valeurs en \(0\) et \(\pi/2\) se lisent sur le cercle : \(M(0) = (1, 0)\) et \(M(\pi/2) = (0, 1)\).
Valeur en \(\pi/4\). Le point \(M(\pi/4)\) est sur la diagonale \(y = x\) dans le premier quadrant. En posant \(M(\pi/4) = (a, a)\) avec \(a > 0\) et en utilisant \(a^2 + a^2 = 1\), on trouve \(a = \sqrt{2}/2\).
Valeurs en \(\pi/3\) et \(\pi/6\). Considérons le triangle équilatéral \(OAB\) avec \(O = (0, 0)\), \(A = (1, 0)\), et \(B\) sur le demi-cercle unité supérieur. Par construction, l'angle en \(O\) vaut \(\pi/3\), donc \(B = M(\pi/3)\). Abaissons la perpendiculaire de \(B\) sur \(OA\) : le pied est le milieu de \(OA\) (le triangle équilatéral est isocèle, donc sa hauteur partage la base en deux), donc \(B\) a pour abscisse \(1/2\), d'où \(\cos(\pi/3) = 1/2\). L'identité de Pythagore donne alors \(\sin(\pi/3) = \sqrt{1 - 1/4} = \sqrt{3}/2\). Les valeurs en \(\pi/6\) suivent par angles complémentaires : \(\cos(\pi/6) = \sin(\pi/2 - \pi/6) = \sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2\) et \(\sin(\pi/6) = \cos(\pi/3) = 1/2\).

Méthode — Atteindre toute valeur en un multiple de \(\pi/6\) ou \(\pi/4\)
Pour tout angle \(\theta\) multiple de \(\pi/6\) ou de \(\pi/4\) :
  1. Réduire \(\theta\) modulo \(2\pi\) à un représentant dans \([0, 2\pi[\).
  2. Identifier l'« angle de base » \(\theta_0 \in [0, \pi/2]\) du tableau standard en appliquant une des formules de symétrie (Propositions ci-dessus).
  3. Lire \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\) à partir de \(\cos\theta_0\) et \(\sin\theta_0\) avec les bons signes.
Exemple
Calculer \(\cos(7\pi/6)\).

On a \(7\pi/6 = \pi + \pi/6\). La symétrie « \(+ \pi\) » donne \(\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta\), donc $$ \cos\!\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Compétences à pratiquer
  • Ramener un angle dans le secteur standard
III Addition\(\virgule\) duplication\(\virgule\) produits en somme
L'identité la plus productive de la trigonométrie est la formule d'addition pour \(\cos\) : $$ \cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b. $$ Une fois acquise, toute autre formule d'addition (pour \(\cos(a + b)\), \(\sin(a \pm b)\)), toute formule de duplication (pour \(\cos 2a\), \(\sin 2a\)), et toute formule de produit-somme (pour \(\cos a \cos b\), \(\sin a \sin b\), \(\sin a \cos b\)) est une conséquence en deux lignes. La preuve de l'identité maîtresse utilise la formule de lycée du produit scalaire de deux vecteurs unitaires --- une seule idée géométrique, sans avoir besoin du chapitre sur les espaces vectoriels.
Les formules somme-produit (\(\cos p + \cos q = \dots\)), la linéarisation systématique de \(\cos^p\theta\sin^q\theta\) pour \(p, q\) généraux, et la forme amplitude-phase \(a\cos x + b\sin x = R\cos(x - \varphi)\) sont reportées au chapitre Nombres complexes, où l'exponentielle imaginaire les rend en une ligne.
Proposition — Formule d'addition maîtresse pour \(\cos\)
Pour tous \(a, b \in \mathbb{R}\), $$ \cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b. $$

Plaçons \(A = M(a) = (\cos a, \sin a)\) et \(B = M(b) = (\cos b, \sin b)\) sur le cercle trigonométrique. Calculons le produit scalaire \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}\) de deux façons :
  • En coordonnées. \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \cos a \cos b + \sin a \sin b\).
  • Géométriquement (formule de lycée \(u \cdot v = \|u\| \|v\| \cos(\widehat{u, v})\)). Les deux vecteurs sont de norme \(1\) (ils aboutissent sur le cercle unité), et l'angle entre eux, mesuré de \(\overrightarrow{OB}\) vers \(\overrightarrow{OA}\), vaut \(a - b\). Donc \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(a - b) = \cos(a - b)\).
En égalant les deux expressions on obtient \(\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\).
Remarque (rigueur). La formule de lycée \(u \cdot v = \|u\| \|v\| \cos(\widehat{u, v})\) est elle-même une conséquence de la loi des cosinus, qui n'est rien d'autre que \(\cos(a - b)\) sous un autre nom --- la preuve a donc une saveur circulaire au plan fondationnel. Une preuve algébrique non circulaire sera donnée dans Nombres complexes via \(|e^{ia} - e^{ib}|^2 = 2 - 2\cos(a - b)\). À ce niveau du cours, on accepte la formule du produit scalaire de lycée comme axiome de travail ; aucune référence anticipée aux espaces préhilbertiens.

Proposition — Autres formules d'addition
Pour tous \(a, b \in \mathbb{R}\) : $$ \begin{aligned} \cos(a + b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b, \\ \sin(a + b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b, \\ \sin(a - b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b. \end{aligned} $$

  • \(\cos(a + b)\). Remplacer \(b\) par \(-b\) dans la formule maîtresse : \(\cos(a - (-b)) = \cos a \cos(-b) + \sin a \sin(-b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\), en utilisant la parité de \(\cos\) et \(\sin\).
  • \(\sin(a + b)\). Utiliser \(\sin x = \cos(\pi/2 - x)\). Alors \(\sin(a + b) = \cos(\pi/2 - a - b) = \cos((\pi/2 - a) - b)\). Appliquer la formule maîtresse au membre de droite : \(\cos(\pi/2 - a) \cos b + \sin(\pi/2 - a) \sin b = \sin a \cos b + \cos a \sin b\).
  • \(\sin(a - b)\). Remplacer \(b\) par \(-b\) dans l'identité précédente et utiliser la parité.

Proposition — Formules de duplication
Pour tout \(a \in \mathbb{R}\) : $$ \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a, \qquad \sin 2a = 2 \sin a \cos a. $$

Poser \(b = a\) dans les formules d'addition. Pour \(\cos\) : \(\cos(a + a) = \cos a \cos a - \sin a \sin a = \cos^2 a - \sin^2 a\). Les deux formes alternatives viennent de \(\cos^2 a + \sin^2 a = 1\) : remplacer \(\sin^2 a\) par \(1 - \cos^2 a\) pour obtenir \(2\cos^2 a - 1\), ou remplacer \(\cos^2 a\) par \(1 - \sin^2 a\) pour obtenir \(1 - 2\sin^2 a\). Pour \(\sin\) : \(\sin(a + a) = 2 \sin a \cos a\).

Proposition — Linéarisation de base
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) : $$ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}, \qquad \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \qquad \cos x \sin x = \frac{\sin 2x}{2}. $$

Réarrangement direct des formules de duplication : de \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\) on isole \(\cos^2 x = (1 + \cos 2x)/2\) ; de \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\) on isole \(\sin^2 x = (1 - \cos 2x)/2\) ; de \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\) on isole \(\cos x \sin x = (\sin 2x)/2\).

Renvoi. La linéarisation systématique de \(\cos^p \theta \sin^q \theta\) pour \(p, q \in \mathbb{N}\) généraux (recette : écrire \(\cos\theta = (e^{i\theta} + e^{-i\theta})/2\), \(\sin\theta = (e^{i\theta} - e^{-i\theta})/(2i)\), développer par le binôme, regrouper les exponentielles conjuguées) est l'objet du chapitre Nombres complexes.
Proposition — Produits en somme
Pour tous \(a, b \in \mathbb{R}\) : $$ \begin{aligned} \cos a \cos b &= \tfrac{1}{2}\big[\cos(a - b) + \cos(a + b)\big], \\ \sin a \sin b &= \tfrac{1}{2}\big[\cos(a - b) - \cos(a + b)\big], \\ \sin a \cos b &= \tfrac{1}{2}\big[\sin(a - b) + \sin(a + b)\big]. \end{aligned} $$

Ajouter et soustraire des paires de formules d'addition.
Pour \(\cos a \cos b\) : additionner \(\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\) et \(\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\), on obtient \(\cos(a - b) + \cos(a + b) = 2 \cos a \cos b\), puis diviser par \(2\).
Pour \(\sin a \sin b\) : soustraire les deux mêmes formules : \(\cos(a - b) - \cos(a + b) = 2 \sin a \sin b\).
Pour \(\sin a \cos b\) : additionner \(\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\) et \(\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\) : \(\sin(a + b) + \sin(a - b) = 2 \sin a \cos b\).

Méthode — Choisir la bonne forme de \(\cos 2a\)
Les trois formes équivalentes \(\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a\) ne sont pas interchangeables en pratique. Pour éliminer \(\sin a\) (par exemple pour intégrer \(\cos^2 a\)), utiliser \(\cos 2a = 2\cos^2 a - 1\), puis \(\cos^2 a = (1 + \cos 2a)/2\). Pour éliminer \(\cos a\), utiliser \(\cos 2a = 1 - 2 \sin^2 a\), puis \(\sin^2 a = (1 - \cos 2a)/2\). La troisième forme \(\cos^2 a - \sin^2 a\) est symétrique et utile lorsque l'on garde à la fois \(\cos a\) et \(\sin a\).
Exemple
Calculer \(\cos(\pi/12)\) en utilisant \(\pi/12 = \pi/3 - \pi/4\).

Par la formule d'addition maîtresse, $$ \begin{aligned} \cos\!\left(\frac{\pi}{12}\right) &= \cos\!\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) \\ &= \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right) \sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right) \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}. \end{aligned} $$

Deux autres renvois au chapitre Nombres complexes.
  • Les formules somme-produit \(\cos p \pm \cos q = \dots\), \(\sin p \pm \sin q = \dots\) découlent en une ligne de \(e^{ip} \pm e^{iq} = (e^{i(p-q)/2} \pm e^{-i(p-q)/2}) e^{i(p+q)/2}\).
  • La forme amplitude-phase \(a \cos x + b \sin x = R \cos(x - \varphi)\) découle de la forme polaire de \(a + ib\), avec \(R = \sqrt{a^2 + b^2}\) et \(\varphi\) un argument de \(a + ib\).
Compétences à pratiquer
  • Calculer des sommes d'angles remarquables
  • Linéariser les carrés de base
  • Utiliser produit-en-somme
IV Inégalité \(|\sin x| \le |x|\) et dérivées de \(\sin\)\(\virgule\) \(\cos\)
Outils d'analyse utilisés dans cette section
On utilise ici la notion de dérivée vue au lycée ainsi que les règles usuelles de dérivation (somme, produit, quotient), sans reconstruire toute la théorie de la dérivabilité. Celle-ci sera reprise rigoureusement dans le chapitre Dérivabilité.
Deux faits que les chapitres d'analyse citeront souvent : \(\sin x\) se comporte comme \(x\) au voisinage de \(0\) (\(|\sin x| \le |x|\)), et \((\sin)' = \cos\), \((\cos)' = -\sin\). Les deux proviennent d'une seule image géométrique : corde \(\le\) arc sur le cercle unité. La déduction : inégalité géométrique \(\Rightarrow\) corollaire \(|\sin x| \le |x|\) \(\Rightarrow\) continuité de \(\cos\) en \(0\) \(\Rightarrow\) limite \(\sin x / x \to 1\) \(\Rightarrow\) dérivées de \(\sin\) et \(\cos\). La section sur la tangente plus bas utilise ensuite ces dérivées pour calculer \(\tan'\) par la règle du quotient, sans dépendance cyclique.
Note pédagogique (départ assumé de la biblio usuelle). Les manuels usuels admettent les dérivées \(\sin' = \cos\) et \(\cos' = -\sin\) d'entrée de jeu, puis en déduisent \(\sin x / x \to 1\) comme valeur de la dérivée de \(\sin\) en \(0\). On prend ici la direction historique, plus rigoureuse : prouver l'inégalité géométrique sur le cercle, en déduire \(\sin x / x \to 1\) par encadrement, puis \(\sin' = \cos\). Cela évite tout postulat sur la dérivée de \(\sin\) et donne l'inégalité \(|\sin x| \le |x|\) comme sous-produit gratuit. Le prix : un développement légèrement plus long ici ; le gain : une dérivation entièrement autonome, conforme au programme « Démonstration : \(\sin x / x \to 1\) et \(|\sin x| \le |x|\) ».
Définition — Tangente (provisoire)
Pour \(x \in \mathbb{R}\) avec \(x \not\equiv \pi/2 \,[\pi]\), on pose $$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}. $$ L'étude complète de \(\tan\) (période, parité, formule d'addition, dérivée, graphe, paramétrage par \(\tan(t/2)\)) est l'objet de la section sur la tangente plus bas ; ici on n'utilise que cette notation.
Proposition — Inégalité géométrique
Pour tout \(x \in [0, \pi/2[\), $$ \sin x \le x \le \tan x. $$

Plaçons sur le cercle unité les points \(A = (1, 0)\), \(P = M(x) = (\cos x, \sin x)\), et \(T = (1, \tan x)\) --- l'intersection de la demi-droite \(OP\) avec la droite verticale \(x = 1\). Comparons trois régions emboîtées :
  • le triangle \(OAP\) de base \(OA\) de longueur \(1\) et de hauteur \(\sin x\), d'aire \(\tfrac{1}{2} \sin x\) ;
  • le secteur circulaire \(OAP\) qui sous-tend un arc de longueur \(x\) sur le cercle unité, d'aire \(\tfrac{1}{2} x\) (la définition du radian plus haut --- la longueur d'arc sur le cercle unité égale l'angle en radians --- donne aire du secteur \(= \tfrac{1}{2} \times \text{rayon} \times \text{arc} = \tfrac{1}{2} \times 1 \times x\) pour \(r = 1\) ; cette formule sera redémontrée rigoureusement dans Intégration) ;
  • le triangle rectangle \(OAT\) de cathètes \(OA = 1\) et \(AT = \tan x\), d'aire \(\tfrac{1}{2} \tan x\).
Les trois régions sont emboîtées : \(\text{(triangle \)OAP\()} \subset \text{(secteur \)OAP\()} \subset \text{(triangle \)OAT\()}\). Leurs aires sont donc ordonnées : $$ \frac{1}{2} \sin x \le \frac{1}{2} x \le \frac{1}{2} \tan x, $$ ce qui est l'inégalité annoncée après multiplication par \(2\).

Proposition — Majoration universelle
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), $$ |\sin x| \le |x|. $$

  • Pour \(x \in [0, \pi/2[\) : par l'inégalité géométrique, \(\sin x \le x\), donc \(|\sin x| = \sin x \le x = |x|\).
  • Pour \(x \ge \pi/2\) : \(|\sin x| \le 1 < \pi/2 \le x = |x|\).
  • Pour \(x \le 0\) : par parité, \(|\sin x| = |\sin(-x)| \le |-x| = |x|\) (utiliser les deux cas précédents sur \(-x \ge 0\)).

Proposition — Continuité de \(\cos\) en \(0\)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \cos x = 1\).

Par la formule de duplication, \(1 - \cos x = 2 \sin^2(x/2)\). Combiné à \(|\sin(x/2)| \le |x/2|\) (Proposition précédente), $$ 0 \le 1 - \cos x = 2 \sin^2(x/2) \le 2 \cdot \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{x^2}{2}. $$ Le majorant tend vers \(0\) quand \(x \to 0\), donc par le théorème d'encadrement \(1 - \cos x \to 0\), soit \(\cos x \to 1\).

Proposition — Limite de \(\sin x / x\) en \(0\)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\).

Pour \(x \in \,]0, \pi/2[\), divisons l'inégalité géométrique \(\sin x \le x \le \tan x = \sin x / \cos x\) par \(\sin x > 0\) : on obtient \(1 \le x / \sin x \le 1/\cos x\), puis en passant aux inverses (tous les termes positifs) : $$ \cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1. $$ Le minorant \(\cos x\) tend vers \(1\) quand \(x \to 0^+\) par la Proposition précédente, et le majorant est constamment \(1\). Par le théorème d'encadrement, \(\sin x / x \to 1\) quand \(x \to 0^+\).
La fonction \(x \mapsto \sin x / x\) est paire (rapport d'une impaire par une impaire), donc la même limite vaut quand \(x \to 0^-\). Donc \(\sin x / x \to 1\) quand \(x \to 0\).

Proposition — Dérivées de \(\sin\) et \(\cos\)
Les fonctions \(\sin\) et \(\cos\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\), et pour tout \(x \in \mathbb{R}\) : $$ \sin'(x) = \cos x, \qquad \cos'(x) = -\sin x. $$

Fixons \(x \in \mathbb{R}\). Par la formule d'addition \(\sin(x + h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h\), le taux d'accroissement vaut $$ \frac{\sin(x + h) - \sin x}{h} = \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h}. $$ Quand \(h \to 0\) : le second terme \(\frac{\sin h}{h}\) tend vers \(1\) (Proposition précédente), et le premier facteur \(\frac{\cos h - 1}{h} = -\frac{1 - \cos h}{h}\) tend vers \(0\) puisque \(|1 - \cos h| \le h^2/2\) donne \(|(1 - \cos h)/h| \le |h|/2 \to 0\). Donc $$ \sin'(x) = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x. $$ Symétriquement, par la formule d'addition \(\cos(x + h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h\), $$ \frac{\cos(x + h) - \cos x}{h} = \cos x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x \cdot \frac{\sin h}{h} \xrightarrow[h \to 0]{} 0 - \sin x = -\sin x. $$

Méthode — « \(\sin x \approx x\) pour les petits \(x\) »
L'intuition « \(\sin x \approx x\) au voisinage de \(0\) », constamment invoquée en physique et en analyse, est rigoureusement justifiée par \(|\sin x - x| \le |x|^3 / 6\) (un majorant plus fin, traité plus tard dans le chapitre Développements limités) ou, à ce niveau, par la limite \(\sin x / x \to 1\). En pratique : dès qu'un problème demande le comportement à l'ordre dominant d'une expression avec \(\sin x\) au voisinage de \(0\), remplacer \(\sin x\) par \(x\) et vérifier la cohérence en calculant la limite du rapport obtenu.
Exemple
Une utilisation numérique de \(|\sin x| \le |x|\) : borner l'erreur dans l'approximation \(\sin(0{,}1) \approx 0{,}1\).

Posons \(x = 0{,}1 > 0\). Minoration. L'inégalité du chapitre \(\sin x \le |x| = x\) (valable pour \(x \ge 0\)) donne immédiatement $$ x - \sin x \ge 0, \qquad \text{c'est-à-dire} \quad \sin(0{,}1) \le 0{,}1. $$ L'approximation \(\sin(0{,}1) \approx 0{,}1\) sur-estime donc, jamais ne sous-estime. Majoration de l'erreur. Les seuls outils démontrés dans cette section, à savoir \(|\sin x| \le |x|\), ne fournissent que la borne grossière \(0 \le x - \sin x \le x\), bien trop faible pour lire quatre décimales. La borne fine qui rend « \(\sin x \approx x\) » quantitatif est $$ 0 \le x - \sin x \le \frac{x^3}{6}, $$ annoncée dans la Méthode ci-dessus et démontrée plus tard dans Développements limités (elle n'est pas disponible avec les seuls outils élémentaires de ce chapitre). En l'admettant, pour \(x = 0{,}1\) : $$ 0 \le 0{,}1 - \sin(0{,}1) \le \frac{(0{,}1)^3}{6} = \frac{10^{-3}}{6} \approx 1{,}67 \cdot 10^{-4}. $$ Ainsi \(\sin(0{,}1) \in [\,0{,}1 - 1{,}67 \cdot 10^{-4},\ 0{,}1\,]\), donc \(\sin(0{,}1) = 0{,}0998\) à quatre décimales, et l'approximation \(\sin(0{,}1) \approx 0{,}1\) est correcte à \(2 \cdot 10^{-4}\) près. (Avec les outils propres au chapitre, seule la conclusion qualitative \(\sin(0{,}1) \le 0{,}1\) est rigoureuse ; la précision à quatre chiffres repose sur la borne cubique différée.) C'est la version opérationnelle de « \(\sin x \approx x\) pour les petits \(x\) ».

Compétences à pratiquer
  • Démontrer l'inégalité géométrique
  • Calculer limites et dérivées de \(\sin\)\(\virgule\) \(\cos\)
V Tangente : étude complète
Géométriquement, la tangente d'un angle \(\theta\) est l'ordonnée de l'intersection de la droite passant par \(O\) d'angle \(\theta\) avec la droite verticale \(x = 1\) tangente au cercle unité en \((1, 0)\). À partir de cette image unique, la période, la parité, la formule d'addition, la dérivée, les variations, et le paramétrage par \(\tan(t/2)\) découlent tous.
Définition — Tangente
Pour \(\theta \in \mathbb{R}\) avec \(\theta \not\equiv \pi/2 \,[\pi]\), la tangente de \(\theta\) est $$ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}. $$ Le domaine de \(\tan\) est \(\mathbb{R} \setminus \{ \pi/2 + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\).
Proposition — Période\(\virgule\) parité\(\virgule\) décalages\(\virgule\) valeurs usuelles
Sur son domaine :
  • \(\tan\) est \(\pi\)-périodique : \(\tan(\theta + \pi) = \tan\theta\).
  • \(\tan\) est impaire : \(\tan(-\theta) = -\tan\theta\).
  • Identités aux décalages de \(\pi\) : \(\tan(\pi + \theta) = \tan\theta\) (\(\pi\)-périodicité reformulée) et \(\tan(\pi - \theta) = -\tan\theta\) (signes différents, ne pas écrire les deux sous la forme « \(\tan(\pi \pm \theta) = \pm \tan\theta\) »).
  • Valeurs usuelles : $$ \begin{array}{c|cccc} \theta & 0 & \pi/6 & \pi/4 & \pi/3 \\ \hline \tan\theta & 0 & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & 1 & \sqrt{3} \end{array} $$

  • \(\pi\)-périodicité : \(\tan(\theta + \pi) = \sin(\theta + \pi)/\cos(\theta + \pi) = (-\sin\theta)/(-\cos\theta) = \sin\theta/\cos\theta = \tan\theta\).
  • Parité : \(\tan(-\theta) = \sin(-\theta)/\cos(-\theta) = -\sin\theta/\cos\theta = -\tan\theta\).
  • \(\tan(\pi - \theta) = \sin(\pi - \theta)/\cos(\pi - \theta) = \sin\theta/(-\cos\theta) = -\tan\theta\).
  • Valeurs usuelles : lecture du tableau de \(\sin\) et \(\cos\) plus haut.

Proposition — Formule d'addition pour \(\tan\)
Pour \(a, b \in \mathbb{R}\) avec \(a, b \notin \pi/2 + \pi\mathbb{Z}\) et \(1 \mp \tan a \tan b \ne 0\), on a \(a \pm b \notin \pi/2 + \pi\mathbb{Z}\) et $$ \tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}. $$

On traite le signe « \(+\) » ; le signe « \(-\) » est analogue (remplacer \(b\) par \(-b\) et utiliser la parité de \(\tan\)). Par les formules d'addition plus haut : $$ \tan(a + b) = \frac{\sin(a + b)}{\cos(a + b)} = \frac{\sin a \cos b + \cos a \sin b}{\cos a \cos b - \sin a \sin b}. $$ L'hypothèse \(a, b \notin \pi/2 + \pi\mathbb{Z}\) assure \(\cos a \ne 0\) et \(\cos b \ne 0\), donc on peut diviser numérateur et dénominateur par \(\cos a \cos b\) (non nul) : $$ \tan(a + b) = \frac{\sin a / \cos a + \sin b / \cos b}{1 - (\sin a / \cos a)(\sin b / \cos b)} = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}, $$ ce qui est bien défini précisément quand le dénominateur \(1 - \tan a \tan b\) est non nul --- la seconde hypothèse. La non-annulation de \(\cos(a + b)\) force alors \(a + b \notin \pi/2 + \pi\mathbb{Z}\).

Proposition — Duplication de \(\tan\)
Pour \(a \in \mathbb{R}\) avec \(a \notin \pi/2 + \pi\mathbb{Z}\) et \(1 - \tan^2 a \ne 0\) : $$ \tan 2a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^2 a}. $$

Poser \(b = a\) dans la formule d'addition pour \(\tan\).

Proposition — Dérivée de \(\tan\)
\(\tan\) est dérivable sur son domaine \(\mathbb{R} \setminus (\pi/2 + \pi\mathbb{Z})\), et $$ \tan'(x) = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}. $$

Sur le domaine de \(\tan\), \(\cos x \ne 0\). Appliquons la règle du quotient à \(\tan = \sin / \cos\), avec \(\sin' = \cos\) et \(\cos' = -\sin\) de la section précédente : $$ \tan'(x) = \frac{\sin'(x) \cos x - \sin x \cos'(x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}. $$ La forme alternative \(1 + \tan^2 x\) vient de la division du numérateur \(\cos^2 x + \sin^2 x\) par \(\cos^2 x\) : $$ \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x. $$ Note pratique. Cette identité \(\tan'(x) = 1 + \tan^2 x = 1/\cos^2 x\) sert moins à calculer \(\tan'\) qu'à convertir \(\cos\) en \(\tan\) ou inversement : \(1/\cos^2 x = 1 + \tan^2 x\). C'est sous cette forme « pont \(\cos \leftrightarrow \tan\) » qu'il faut la retenir.

Proposition — Variations et graphe de \(\tan\) sur l'intervalle principal
Sur \(]-\pi/2, \pi/2[\), \(\tan\) est strictement croissante, \(\tan(-\pi/2^+) = -\infty\), \(\tan(\pi/2^-) = +\infty\), et \(\tan(0) = 0\). $$ \begin{array}{c|ccccc} x & -\pi/2 & & 0 & & \pi/2 \\ \hline \tan'(x) & & + & + & + & \\ \hline \tan(x) & -\infty & \nearrow & 0 & \nearrow & +\infty \end{array} $$

La stricte croissance vient de \(\tan'(x) = 1/\cos^2 x > 0\) sur l'intervalle ouvert \(]-\pi/2, \pi/2[\). Les limites aux bornes proviennent de \(\sin(\pm\pi/2) = \pm 1\) et \(\cos(\pm\pi/2^{\mp}) = 0^+\), donc \(\tan(\pm\pi/2^{\mp}) = \pm 1/0^+ = \pm \infty\).

Proposition — Paramétrage par \(\tan(t/2)\)
Pour \(t \in \mathbb{R}\) avec \(t \not\equiv \pi \,[2\pi]\), posons \(u = \tan(t/2)\). Alors $$ \cos t = \frac{1 - u^2}{1 + u^2}, \qquad \sin t = \frac{2u}{1 + u^2}. $$ Si de plus \(t \notin \pi/2 + \pi\mathbb{Z}\) (donc \(1 - u^2 \ne 0\)), $$ \tan t = \frac{2u}{1 - u^2}. $$

Par les formules de duplication appliquées à \(a = t/2\) : $$ \cos t = 2 \cos^2(t/2) - 1 = 1 - 2 \sin^2(t/2), \qquad \sin t = 2 \sin(t/2) \cos(t/2). $$ La condition \(t \not\equiv \pi \,[2\pi]\) donne \(t/2 \not\equiv \pi/2 \,[\pi]\), donc \(\cos(t/2) \ne 0\) et \(u = \tan(t/2)\) est bien défini. On utilise l'identité \(1 + \tan^2(t/2) = 1/\cos^2(t/2)\) de la Proposition précédente pour extraire \(\cos^2(t/2) = 1/(1 + u^2)\).
  • Pour \(\cos t\) : \(\cos t = 2 \cos^2(t/2) - 1 = 2/(1 + u^2) - 1 = (2 - 1 - u^2)/(1 + u^2) = (1 - u^2)/(1 + u^2)\).
  • Pour \(\sin t\) : \(\sin t = 2 \sin(t/2) \cos(t/2) = 2 \tan(t/2) \cos^2(t/2) = 2u \cdot 1/(1 + u^2) = 2u/(1 + u^2)\).
  • Pour \(\tan t\) : \(\tan t = \sin t / \cos t = (2u/(1 + u^2))/((1 - u^2)/(1 + u^2)) = 2u/(1 - u^2)\), valable lorsque le dénominateur \(1 - u^2\) est non nul.

Méthode — Quand utiliser le changement \(\tan(t/2)\)
Le changement \(u = \tan(t/2)\) transforme toute fonction rationnelle de \(\sin t\) et \(\cos t\) en fonction rationnelle de \(u\). C'est le mouvement canonique lorsque le contenu trigonométrique d'une expression est « rationnel en \(\sin t, \cos t\) » : le changement supprime la trigonométrie et ramène le problème à de l'algèbre. L'application à l'intégration (substitution de Weierstrass) relève du chapitre Primitives.
Exemple
Vérifier les formules de \(\tan(t/2)\) en \(t = \pi/3\).

On a \(u = \tan(\pi/6) = 1/\sqrt{3}\), donc \(u^2 = 1/3\) et \(1 + u^2 = 4/3\). Alors $$ \frac{1 - u^2}{1 + u^2} = \frac{2/3}{4/3} = \frac{1}{2} = \cos(\pi/3) \quad \checkmark, \qquad \frac{2u}{1 + u^2} = \frac{2/\sqrt{3}}{4/3} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\pi/3) \quad \checkmark. $$

Compétences à pratiquer
  • Calculer avec \(\tan\)\(\virgule\) formule d'addition
  • Étudier variations\(\virgule\) dérivée\(\virgule\) graphe de \(\tan\)
  • Utiliser le paramétrage par \(\tan(t/2)\)
VI Équations et inéquations trigonométriques
Résoudre \(\cos x = a\) revient à demander : quels angles \(x\) se projettent en \(a\) sur l'axe des abscisses du cercle trigonométrique ? L'image dit : au plus deux angles dans tout intervalle de longueur \(2\pi\), puis ajouter des multiples de \(2\pi\). La notation qui capture « ajouter des multiples de \(2\pi\) » est la congruence \(\equiv \,[2\pi]\) introduite plus haut dans le chapitre. Les inéquations suivent la même image : « \(\cos x \ge a\) » devient « quels angles se projettent en \(\ge a\) ? », dont la réponse est un arc du cercle.
Theorem — Solutions de \(\cos x \equal a\)
Soit \(a \in \mathbb{R}\).
  • Si \(a \notin [-1, 1]\), l'équation \(\cos x = a\) n'a pas de solution dans \(\mathbb{R}\).
  • Si \(a \in [-1, 1]\), on note \(\alpha\) l'unique angle de \([0, \pi]\) dont le cosinus vaut \(a\). (À ce stade \(\alpha\) est un angle nommé, pas la valeur d'une fonction « \(\arccos\) » --- dont la dérivabilité et le graphe sont étudiés dans Fonctions usuelles.) Alors $$ \cos x = a \iff x \equiv \alpha \,[2\pi] \quad \text{ou} \quad x \equiv -\alpha \,[2\pi]. $$

Le premier cas vient de \(\cos x \in [-1, 1]\) pour tout \(x\).
Pour le second cas, la fonction \(\cos\) est continue et strictement décroissante sur \([0, \pi]\) de \(\cos 0 = 1\) à \(\cos \pi = -1\), donc (par le théorème des valeurs intermédiaires et la stricte monotonie, deux résultats de lycée --- formalisés dans Dérivabilité) elle est une bijection \([0, \pi] \to [-1, 1]\). Il existe donc un unique \(\alpha \in [0, \pi]\) avec \(\cos \alpha = a\). Par la symétrie \(\cos(-\theta) = \cos\theta\) et la \(2\pi\)-périodicité, l'ensemble complet des solutions de \(\cos x = a\) dans \(\mathbb{R}\) est la réunion de \(\alpha + 2\pi\mathbb{Z}\) et \(-\alpha + 2\pi\mathbb{Z}\), ce qui est l'énoncé annoncé.

Proposition — Égalité de deux cosinus\(\virgule\) sinus\(\virgule\) tangentes
Pour tous \(a, b \in \mathbb{R}\) : $$ \begin{aligned} \cos a = \cos b &\iff a \equiv b \,[2\pi] \quad \text{ou} \quad a \equiv -b \,[2\pi], \\ \sin a = \sin b &\iff a \equiv b \,[2\pi] \quad \text{ou} \quad a \equiv \pi - b \,[2\pi], \\ \tan a = \tan b &\iff a \equiv b \,[\pi] \quad (\text{si \(a, b \notin \pi/2 + \pi\mathbb{Z}\)}). \end{aligned} $$ Cette forme « deux angles nommés » est la plus utilisée en pratique : à chaque fois qu'un problème se ramène à comparer deux valeurs trigonométriques, c'est cette règle qui produit la famille paramétrique de solutions. C'est la contrepartie symétrique des théorèmes d'équation pour \(\cos\), \(\sin\) et \(\tan\) énoncés à proximité.

  • Cosinus. \(\cos a = \cos b\) signifie que \(a\) est solution de « \(\cos x = \cos b\) ». Par le théorème précédent (avec la valeur \(\cos b \in [-1, 1]\) et l'angle nommé \(\alpha\) de \([0, \pi]\) tel que \(\cos\alpha = \cos b\)), l'ensemble des solutions est \(\{a : a \equiv \alpha \,[2\pi]\) ou \(a \equiv -\alpha \,[2\pi]\}\). En réappliquant \(\cos\alpha = \cos b\) avec le même théorème à \(b\), on obtient \(b \equiv \alpha \,[2\pi]\) ou \(b \equiv -\alpha \,[2\pi]\), d'où les deux cas annoncés à congruence près.
  • Sinus. Même argument avec la symétrie \(\sin(\pi - \theta) = \sin\theta\) à la place de \(\cos(-\theta) = \cos\theta\). (Cela utilise implicitement le théorème de \(\sin\) énoncé ci-dessous ; la dépendance est acyclique puisque le théorème de \(\sin\) n'utilise pas la présente Proposition.)
  • Tangente. La \(\pi\)-périodicité de \(\tan\) regroupe les deux familles de congruence en une seule \(a \equiv b \,[\pi]\). (Même mise en garde : cela utilise le théorème de \(\tan\) énoncé ci-dessous.)

Theorem — Solutions de \(\sin x \equal a\)
Soit \(a \in \mathbb{R}\).
  • Si \(a \notin [-1, 1]\), l'équation \(\sin x = a\) n'a pas de solution dans \(\mathbb{R}\).
  • Si \(a \in [-1, 1]\), on note \(\beta\) l'unique angle de \([-\pi/2, \pi/2]\) dont le sinus vaut \(a\) (angle nommé, pas la fonction « \(\arcsin\) »). Alors $$ \sin x = a \iff x \equiv \beta \,[2\pi] \quad \text{ou} \quad x \equiv \pi - \beta \,[2\pi]. $$

Même structure que pour \(\cos\) : \(\sin\) est une bijection \([-\pi/2, \pi/2] \to [-1, 1]\) (continue et strictement croissante --- deux résultats de lycée, formalisés dans Dérivabilité ; la stricte monotonie provient de \(\sin'(x) = \cos x > 0\) sur \(]-\pi/2, \pi/2[\) établie plus haut dans le chapitre). La symétrie \(\sin(\pi - \theta) = \sin\theta\) donne alors la seconde famille de solutions.

Theorem — Solutions de \(\tan x \equal a\)
Soit \(a \in \mathbb{R}\). On note \(\gamma\) l'unique angle de \(]-\pi/2, \pi/2[\) dont la tangente vaut \(a\) (angle nommé, pas la fonction « \(\arctan\) »). Alors $$ \tan x = a \iff x \equiv \gamma \,[\pi]. $$ La congruence est modulo \(\pi\) (\(\pi\)-périodicité de \(\tan\)), pas modulo \(2\pi\).

Par la section précédente, \(\tan\) est une bijection \(]-\pi/2, \pi/2[\, \to \mathbb{R}\), donc \(\gamma\) existe et est unique. La \(\pi\)-périodicité de \(\tan\) donne alors la famille annoncée.

Méthode — Résoudre une équation se ramenant à \(\cos x \equal a\)\(\virgule\) etc.
  1. Se ramener algébriquement à \(\cos x = a\), \(\sin x = a\), ou \(\tan x = a\) --- outils typiques : formules d'addition / duplication / linéarisation, factoriser un \(\cos\) ou \(\sin\), substituer \(\sin^2 = 1 - \cos^2\).
  2. Appliquer le théorème adapté pour écrire l'ensemble des solutions comme réunion de deux (ou une pour \(\tan\)) classes de congruence modulo \(2\pi\) (modulo \(\pi\) pour \(\tan\)).
  3. Si le problème restreint à un intervalle borné \([a, b]\), intersecter chaque classe de congruence avec \([a, b]\) et lister les solutions concrètes en nombre fini.
Méthode — Résoudre une inéquation simple \(\cos x \ge a\)\(\virgule\) etc.
  1. Tracer le cercle trigonométrique et la ligne de niveau \(x = a\) (verticale) pour \(\cos x \ge a\), \(y = a\) (horizontale) pour \(\sin x \ge a\), ou le graphe de la tangente pour \(\tan x \ge a\).
  2. Identifier l'arc du cercle (ou la réunion d'intervalles sur le graphe de \(\tan\)) sur lequel l'inégalité est vraie. Lire deux extrémités dans \([0, 2\pi[\) (ou \([-\pi/2, \pi/2[\) pour \(\tan\)).
  3. Relever à \(\mathbb{R}\) par réunion sur \(2k\pi\) (ou \(k\pi\) pour \(\tan\)) : l'ensemble des solutions est une réunion d'intervalles. Ne pas écrire « \(x \equiv \alpha \,[2\pi]\) avec \(\alpha \in [-\beta, \beta]\) » --- une congruence porte sur un nombre, pas sur une plage.
Exemple
Résoudre \(\cos 2x = \sin x\) sur \([0, 2\pi]\).

Par duplication, \(\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x\). L'équation devient $$ 1 - 2 \sin^2 x = \sin x \iff 2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0. $$ Posons \(u = \sin x\) et résolvons la quadratique \(2u^2 + u - 1 = 0\) : discriminant \(\Delta = 1 + 8 = 9\), racines \(u = (-1 \pm 3)/4\), d'où \(u = 1/2\) ou \(u = -1\).
  • \(\sin x = 1/2\) : \(\beta = \pi/6\), donc \(x \equiv \pi/6 \,[2\pi]\) ou \(x \equiv 5\pi/6 \,[2\pi]\). Sur \([0, 2\pi]\) : \(x = \pi/6\) ou \(x = 5\pi/6\).
  • \(\sin x = -1\) : \(\beta = -\pi/2\), donc \(x \equiv -\pi/2 \,[2\pi]\). Sur \([0, 2\pi]\) : \(x = 3\pi/2\).
Les solutions sont \(x \in \{\pi/6, \, 5\pi/6, \, 3\pi/2\}\).

Exemple
Résoudre \(\cos x \ge 1/2\) sur \(\mathbb{R}\).

Sur le cercle trigonométrique, la condition \(\cos x \ge 1/2\) décrit l'arc des points d'abscisse au moins \(1/2\). Les deux angles frontières dans \([-\pi, \pi]\) sont \(-\pi/3\) et \(\pi/3\) (puisque \(\cos(\pm \pi/3) = 1/2\)), et l'arc favorable est \([-\pi/3, \pi/3]\). En relevant à \(\mathbb{R}\) par \(2\pi\)-périodicité : $$ \{ x \in \mathbb{R} \mid \cos x \ge 1/2 \} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left[2k\pi - \frac{\pi}{3}, \, 2k\pi + \frac{\pi}{3}\right]. $$

Compétences à pratiquer
  • Résoudre \(\cos x \equal a\)\(\virgule\) \(\sin x \equal a\)\(\virgule\) \(\tan x \equal a\)
  • Résoudre par réduction à \(\cos\)\(\virgule\) \(\sin\)\(\virgule\) \(\tan\)
  • Démontrer la forme paramétrique des solutions
  • Résoudre des inéquations simples