CommeUnJeu · L1 PCSI

Raisonner et rédiger

⌚ ~115 min ▢ 14 blocs ✓ 53 exercices ➣ Prérequis : Logique

Aperçu du chapitre

Ce chapitre est la boîte à outils de la rédaction mathématique pour ce cours. Il n'introduit pas de nouveaux objets mathématiques : il codifie les patrons de rédaction qu'un mathématicien utilise sans cesse --- comment introduire un objet, comment démontrer un énoncé universel ou existentiel, comment rédiger une récurrence, comment raisonner par l'absurde, comment manier l'analyse-synthèse, comment définir correctement une fonction.
En Terminale, le chapitre de lycée Raisonnement et démonstration présentait déjà la structure en quatre étapes d'une preuve écrite --- Énoncé, Hypothèses, Étapes logiques, Conclusion. Ce chapitre raffine chacune de ces étapes à ce niveau : précision du vocabulaire (axiome, définition, théorème, proposition, lemme, corollaire, caractérisation), grammaire des verbes (Soit vs On pose vs On note), patrons universels/existentiels/d'unicité explicites, discipline du symbole d'implication ($\Rightarrow$ n'est pas le mot donc), récurrence double et forte, dispositif d'analyse-synthèse, et rédaction propre des fonctions.
Chaque section suit la même micro-rythmique : un bloc Text introduit le patron, un bloc Method présente le squelette de rédaction, et un ou deux Examples appliquent le patron sur un problème concret. Quelques sections se terminent par un bloc Attention isolant une erreur fréquente. Même lorsque les explications sont bilingues, les patrons de preuve utilisent volontairement la rédaction mathématique française standard (Soit, Posons, Montrons, Supposons, Donc) dans les deux moitiés : ces termes sont le vocabulaire universel de l'écriture mathématique dans la tradition mathématique française et sont conservés tels quels. Dans tout ce chapitre, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, $\mathbb{N}^*$ désigne $\mathbb{N} \setminus \{0\}$, et $\mathbb{R}_+$ désigne l'ensemble des réels positifs ou nuls.

I Vocabulaire : axiomes$\virgule$ définitions$\virgule$ théorèmes

Pourquoi le vocabulaire compte

Les mathématiques bâtissent une tour d'énoncés vrais à partir d'une petite base de vérités admises et en suivant des règles de dérivation strictes. Le vocabulaire distingue le bas (axiomes, admis), le milieu (définitions, conventions de nommage) et le haut (théorèmes, dérivés). Au sein de l'étage « dérivé », quatre mots affinent le rôle d'un énoncé : proposition, lemme, corollaire, caractérisation. Savoir choisir le bon mot n'est pas de la pédanterie --- cela indique au lecteur, en un coup d'œil, le rôle joué par l'énoncé dans le chapitre.

Définition — Axiome

Un axiome est une proposition acceptée comme vraie sans justification, prise comme point de départ d'une théorie. Dans ce cours, on admet l'existence de $\mathbb{R}$ avec toutes les propriétés des nombres réels apprises en Terminale, plutôt que de construire $\mathbb{R}$ à partir d'axiomes plus élémentaires.

Définition — Définition

Une définition introduit un mot ou un symbole en précisant son sens mathématique exact. Elle peut nommer un objet, une classe d'objets, une propriété, une relation ou une opération. Dans une même portée active du raisonnement, un même symbole ne doit pas avoir deux significations.

Définition — Théorème et ses variantes

Un théorème est une proposition dérivée des axiomes, des définitions et de résultats déjà établis. Quatre raffinements nomment le rôle joué par un théorème dans le développement :

une proposition est un théorème de portée modeste, généralement local à un chapitre ou à une section ;
un lemme est un théorème préparatoire qui sert à découper un résultat plus gros en morceaux ;
un corollaire est un théorème qui découle presque immédiatement d'un précédent ;
une caractérisation est un théorème donnant une condition équivalente à une définition --- au fond, une redéfinition alternative.

Exemple — Définition / caractérisation appariées

Définition d'une fonction croissante : soient $I$ un intervalle et $f \colon I \to \mathbb{R}$ une fonction. On dit que $f$ est croissante sur $I$ si $$ \forall x, y \in I, \quad x < y \;\Longrightarrow\; f(x) \le f(y). $$ Caractérisation : soient $I$ un intervalle d'intérieur non vide et $f \colon I \to \mathbb{R}$ une fonction continue sur $I$ et dérivable sur l'intérieur de $I$. Alors $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x) \ge 0$ pour tout $x$ dans l'intérieur de $I$.
La définition fixe le sens du mot croissante via l'ordre sur $\mathbb{R}$. La caractérisation est un théorème qui reformule ce sens en une condition sur $f'$ --- utile en pratique car elle ramène la vérification de croissante à un calcul de signe.

Piège --- pas d'homonymie

Dans un même raisonnement, chaque symbole a exactement une signification. Réutiliser la lettre $K$ pour deux quantités différentes dans la même preuve crée une ambiguïté qui casse la rigueur. Si une seconde expression composée a besoin d'un nom court, choisissez une autre lettre. Le mot courant verre est toléré en français pour désigner à la fois la matière et l'objet --- l'homonymie est admise dans la langue naturelle ; elle est interdite en mathématiques.

Compétences à pratiquer

Écrire des définitions et énoncés corrects

II Introduire un objet : Soit$\virgule$ On pose$\virgule$ On note

Pourquoi les introductions comptent

La première règle de la rédaction mathématique est que tout objet dont on parle doit d'abord être introduit. En français, si vous dites « Ils ont travaillé toute la soirée » sans avoir précisé qui sont « ils », personne ne comprend. En maths c'est pareil : écrire $\sin(x + \pi/4) = \ldots$ sans préciser d'abord ce qu'est $x$ vide l'égalité de tout sens.
Trois verbes font le travail d'introduction, et ils ne sont pas interchangeables :

Soit introduit une variable générique : un emplacement pour « un élément quelconque » d'un ensemble donné. La variable ne vit que le temps de la preuve.
On pose introduit un nom flambant neuf à gauche, attaché à une expression connue à droite. Le nouveau nom est un raccourci, avec le verbe « poser » qui le lie à sa valeur.
On note introduit une notation pour un objet dont l'existence est claire dans le contexte ou que l'on est précisément en train de définir. Le verbe « noter » marque l'acte de nommage.

Méthode — Introduire une variable générique

Pour introduire $x$ comme un élément quelconque d'un ensemble $E$ :

Soit $x \in E$.
$\vdots$ $\quad$ (raisonner sur $x$)
L'énoncé est démontré pour tout $x \in E$.

La variable $x$ naît au « Soit » et meurt à la fin de la preuve. L'introduction peut aussi se faire collectivement pour un énoncé quantifié : Pour tout $x \in E$, suivi de la propriété à établir.

Méthode — Nommer un objet précis : On pose vs On note

Pour attacher un nom court $K$ à une quantité déjà introduite :

On pose $K = \tfrac{e^\alpha + 1}{\alpha^2 + 1}$. $\quad$ (on crée le nom $K$ et on le lie à la valeur ; valable seulement si $\alpha$ a été introduit auparavant)
On note $K$ le réel $\tfrac{e^\alpha + 1}{\alpha^2 + 1}$. $\quad$ (le nombre réel existe ; on lui donne un nom)

Deux règles sont impératives :

le nouveau nom (ici $K$) ne doit pas être déjà utilisé dans le raisonnement ;
le membre de droite ne doit utiliser que des objets déjà introduits (ici $\alpha$).

Exemple — Trois ouvertures correctes

L'identité trigonométrique $\sin(x + \tfrac{\pi}{4}) = \tfrac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2}}$ vaut pour tout réel $x$. Trois ouvertures valables :

Soit $x \in \mathbb{R}$. $\quad$ Alors $\sin(x + \tfrac{\pi}{4}) = \sin x \cos \tfrac{\pi}{4} + \cos x \sin \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2}}.$
Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\sin(x + \tfrac{\pi}{4}) = \sin x \cos \tfrac{\pi}{4} + \cos x \sin \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2}}.$
À l'intérieur d'une expression sommée ou intégrée, le symbole s'introduit tout seul : $\sum_{k=1}^n \sqrt{k}$ ne demande pas de « Soit » pour $k$. La variable $n$, en revanche, doit être introduite en amont.

Ce qui n'est pas acceptable, c'est d'écrire l'identité seule, sans introduire $x$ --- l'égalité serait alors vide de sens (à propos de quel $x$ ?).

Exemple — On pose vs On note sur une quantité concrète

Supposons que $\alpha \in \mathbb{R}$ ait déjà été introduit. Nous voulons donner le nom court $K$ au nombre réel $\tfrac{e^\alpha + 1}{\alpha^2 + 1}$. Les deux rédactions suivantes sont correctes et équivalentes :

On pose $K = \tfrac{e^\alpha + 1}{\alpha^2 + 1}$.
On note $K$ le réel $\tfrac{e^\alpha + 1}{\alpha^2 + 1}$.

Remarquez que la nouvelle lettre $K$ apparaît à gauche de l'égalité, la quantité connue à droite. La formulation inverse « On pose $\tfrac{e^\alpha + 1}{\alpha^2 + 1} = K$ » est à éviter : elle masque le symbole que l'on est en train d'introduire.

Piège --- l'existence demande une justification

Il ne suffit pas de souhaiter qu'un objet existe pour qu'il existe. Si vous écrivez « On note $N$ le plus grand des entiers naturels non nuls », vous présupposez l'existence d'un tel $N$. Or il n'existe pas (les entiers naturels ne sont pas bornés). Tout raisonnement ultérieur partant de ce $N$ est vide. Avant d'introduire $N$ avec On note, l'existence de $N$ doit être soit évidente, soit démontrée.

Compétences à pratiquer

Corriger une copie d'élève : introductions
Écrire des introductions correctes

III Démontrer des propositions universelles et existentielles

Deux saveurs de quantificateur

Une proposition universelle a la forme $\forall x \in E, \, P(x)$ : « pour tout $x$ de $E$, la propriété $P(x)$ vaut ». Une proposition existentielle a la forme $\exists x \in E, \, P(x)$ : « il existe $x$ dans $E$ tel que $P(x)$ vaille ». Les deux se démontrent par des mouvements opposés : une preuve universelle commence par Soit $x \in E$ et établit la propriété pour un $x$ générique ; une preuve existentielle exhibe un $x$ précis et y vérifie la propriété.

Méthode — Démontrer une proposition universelle

Soit $x \in E$. Montrons $P(x)$.
$\vdots$ $\quad$ (preuve de $P(x)$ pour ce $x$ générique)
Donc $P(x)$ vaut pour tout $x \in E$.

La clé est que $x$ est générique : rien dans la preuve ne doit reposer sur une valeur spécifique de $x$.

Exemple — Une inégalité universelle

Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\tfrac{x}{x^2 + 1} \le \tfrac{1}{2}$.

Correction

Soit $x \in \mathbb{R}$. L'inégalité $(x - 1)^2 \ge 0$ est vraie car le carré d'un réel est positif ou nul. En développant, $$ x^2 - 2x + 1 \ge 0, \qquad \text{i.e.} \qquad x^2 + 1 \ge 2x. $$ Comme $x^2 + 1 > 0$, la division par $x^2 + 1$ préserve l'inégalité : $$ \frac{2x}{x^2 + 1} \le 1, \qquad \text{i.e.} \qquad \frac{x}{x^2 + 1} \le \frac{1}{2}. $$ Donc $\tfrac{x}{x^2 + 1} \le \tfrac{1}{2}$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Méthode — Démontrer une proposition existentielle

Exhiber un $x$ spécifique qui vérifie $P$ :

Posons $x = \ldots$ (le candidat explicite).
Vérifions $P(x)$ : $\vdots$ (vérification sur ce $x$ précis)
Donc $\exists x \in E$ tel que $P(x)$.

Le difficile est en général de trouver le candidat ; la vérification est ensuite routinière. L'ouverture utilise Posons, pas Soit, car $x$ est un objet précis que l'on construit.

Exemple — Un énoncé d'existence avec paramètres universellement quantifiés

Montrer que pour tous $x, y \in \mathbb{N}$, il existe $z \in \mathbb{N}$ tel que $\sqrt{z} > x + y$.

Correction

Soient $x, y \in \mathbb{N}$. Posons $z = (x + y + 1)^2$. Alors $z \in \mathbb{N}$ comme carré d'un entier naturel. De plus, $$ \sqrt{z} = |x + y + 1| = x + y + 1 > x + y, $$ la valeur absolue étant inutile car $x + y + 1 \ge 1 > 0$. Donc $z$ vérifie la propriété voulue.
Donc pour tous $x, y \in \mathbb{N}$, il existe $z \in \mathbb{N}$ tel que $\sqrt{z} > x + y$.

Compétences à pratiquer

Écrire des preuves universelles et existentielles correctes

IV Démontrer l'unicité

Deux saveurs d'unicité

Deux formulations à ne pas confondre :

« Au plus un $x \in E$ vérifie $P$ » --- l'unicité seule. Cela n'affirme pas l'existence de $x$ ; seulement que si un tel $x$ existe, il y en a au plus un.
$\exists ! \, x \in E, \, P(x)$ (lire « il existe un unique $x$ ») --- existence et unicité. Le symbole $\exists !$ encapsule les deux affirmations.

Dans une démonstration de $\exists !$, les deux pièces sont rédigées séparément : existence (exhiber un $x$) et unicité (montrer que deux candidats coïncident).

Méthode — Démontrer l'unicité

Pour montrer qu'au plus un $x \in E$ vérifie $P$ :

Soient $x, x' \in E$.
Supposons $P(x)$ et $P(x')$.
Montrons $x = x'$.
$\vdots\quad $ (argument algébrique / ensembliste)

Inutile de raisonner par l'absurde « supposons $x \ne x'$ » --- montrer directement que deux candidats coïncident est plus court et plus propre.

Exemple — Existence et unicité d'une racine carrée positive

Montrer qu'il existe un unique $x \in \mathbb{R}_+$ tel que $x^2 = 1$.

Correction

Existence. Posons $x = 1$. Alors $x \in \mathbb{R}_+$ et $x^2 = 1$.
Unicité. Soient $x, x' \in \mathbb{R}_+$. Supposons $x^2 = 1$ et $x'^2 = 1$. Alors $0 = x^2 - x'^2 = (x - x')(x + x')$. Comme $x \ge 0$ et $x' \ge 0$, le facteur $x + x' \ge 0$. Si $x + x' = 0$, alors $x = x' = 0$ (une somme de deux réels positifs est nulle seulement si les deux sont nuls), ce qui contredit $x^2 = 1$ ; donc $x + x' > 0$, et par conséquent $x - x' = 0$, c'est-à-dire $x = x'$.
D'où il existe un unique $x \in \mathbb{R}_+$ tel que $x^2 = 1$ (à savoir $x = 1$).

Piège --- au plus un n'est pas exactement un

La formulation « au plus un » traduit une affirmation d'unicité sans existence. À l'inverse, « exactement un » (ou le symbole $\exists !$) cumule existence et unicité. L'erreur consistant à écrire « au plus un » pour signifier $\exists !$ est fréquente : elle laisse la moitié « existence » du résultat implicite et non démontrée. Dans une preuve de $\exists !$, ne commencez jamais par l'unicité seule pour conclure ensuite à l'existence : montrer que deux objets possibles seraient égaux ne montre pas qu'il en existe un.

Compétences à pratiquer

Écrire des preuves d'unicité correctes

V Disjonction$\virgule$ implication$\virgule$ équivalence

Trois connecteurs et leurs patrons de preuve

Trois connecteurs logiques apparaissent en permanence : « $p$ ou $q$ », « $p \Rightarrow q$ », « $p \iff q$ ». Chacun a un patron de preuve spécifique. Il faut aussi savoir réfuter une implication ou une équivalence, ce qui revient à produire un contre-exemple.

Méthode — Démontrer une disjonction

Les propositions « $p$ ou $q$ » et « (non $p$) $\Rightarrow q$ » sont équivalentes. Donc :

Supposons $p$ fausse.
$\vdots$ $\quad$ (preuve de $q$)
Donc $q$ est vraie, et donc « $p$ ou $q$ » est vraie.

Exemple — Un maximum est minoré

Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\max\{x^2, (x-2)^2\} \ge 1$.

Correction

Soit $x \in \mathbb{R}$. L'énoncé à démontrer est « $x^2 \ge 1$ ou $(x-2)^2 \ge 1$ ». Supposons $x^2 < 1$. Alors $-1 < x < 1$, donc $-3 < x - 2 < -1$. La fonction carré est décroissante sur $\mathbb{R}_-$ et $-3 < x - 2 < -1 \le 0$, donc $(x - 2)^2 \ge (-1)^2 = 1$.
Donc soit $x^2 \ge 1$, soit $(x - 2)^2 \ge 1$, et dans tous les cas $\max\{x^2, (x-2)^2\} \ge 1$.

Méthode — Démontrer une implication

Supposons $p$ vraie.
$\vdots$ $\quad$ (preuve de $q$ à partir de $p$)
Donc $q$, et l'implication « $p \Rightarrow q$ » est démontrée.

Exemple — Une implication restreignant l'ensemble des solutions

Montrer que pour tout $x \in [0, 1]$, $x - x^2 \in \mathbb{N} \Rightarrow x \in \{0, 1\}$.

Correction

Soit $x \in [0, 1]$. Supposons $x - x^2 \in \mathbb{N}$. On a $0 \le x \le 1$, donc $0 \le x^2 \le x$, donc $0 \le x - x^2$. Pour la borne supérieure, on utilise l'identité algébrique $$ x - x^2 = \frac{1}{4} - \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 \le \frac{1}{4}, $$ le carré étant positif ou nul. Donc $0 \le x - x^2 \le 1/4$.
Le seul entier naturel dans $[0, 1/4]$ est $0$, donc $x - x^2 = 0$, soit $x(1 - x) = 0$, soit $x = 0$ ou $x = 1$.
Donc $x \in \{0, 1\}$.

Piège --- la flèche d'implication n'est pas le mot donc

Le symbole $\Rightarrow$ est un connecteur qui construit la proposition « $p \Rightarrow q$ », pas une ponctuation signifiant « donc » ou « par conséquent ». Une rédaction fausse typique : $$ 0 \le x \le 1 \;\Rightarrow\; 0 \le x^2 \le 1 \;\Rightarrow\; 0 \le 1 - x^2 \le 1 \;\Rightarrow\; \sqrt{1 - x^2} \in [0, 1]. $$ Ceci n'est pas une preuve --- c'est une chaîne d'implications sans $x$ introduit et sans mots d'articulation. La rédaction correcte est : \begin{quote} Soit $x \in [0, 1]$. Par croissance de la fonction carré sur $\mathbb{R}_+$, $0 \le x^2 \le 1$. Donc $0 \le 1 - x^2 \le 1$. La fonction racine carrée étant croissante, donc $0 \le \sqrt{1 - x^2} \le 1$, c'est-à-dire $\sqrt{1 - x^2} \in [0, 1]$. \end{quote} En pratique, la flèche d'implication est rare dans le corps d'une preuve. Utilisez donc, ainsi, par conséquent, dès lors, alors, etc., pour articuler le raisonnement.

Méthode — Démontrer une implication par contraposée

Pour démontrer « $p \Rightarrow q$ », on peut démontrer sa contraposée « (non $q$) $\Rightarrow$ (non $p$) ». Les deux implications sont logiquement équivalentes.

Supposons non $q$.
$\vdots$ $\quad$ (preuve de non $p$)
Donc non $p$. Par contraposée, $p \Rightarrow q$.

Ce patron est utile quand « non $q$ » est plus facile à manipuler que $p$ --- typiquement quand $p$ est un énoncé d'existence difficile à exploiter directement.

Méthode — Nier des énoncés quantifiés

Les deux règles de négation des quantificateurs sont : $$ \text{non} \bigl( \forall x \in E, \, P(x) \bigr) \iff \exists x \in E, \, \text{non } P(x), $$ $$ \text{non} \bigl( \exists x \in E, \, P(x) \bigr) \iff \forall x \in E, \, \text{non } P(x). $$ Les quantificateurs s'échangent lorsqu'on nie un énoncé : $\forall$ devient $\exists$ et $\exists$ devient $\forall$. Combinées avec la règle « non $(p \Rightarrow q) \iff p$ et (non $q$) », ce sont les fondations des contre-exemples et du raisonnement par l'absurde.

Méthode — Réfuter une implication

La proposition « non $(p \Rightarrow q)$ » équivaut à « $p$ et (non $q$) ». Pour réfuter « $\forall x \in E, \, p(x) \Rightarrow q(x)$ », exhiber un $x \in E$ pour lequel $p(x)$ est vraie et $q(x)$ est fausse.

Exemple — Une implication qui ne tient pas pour le sinus

Montrer que la proposition $\forall x, y \in \mathbb{R}, \, x < y \Rightarrow \sin x \le \sin y$ est fausse.

Correction

La négation s'écrit $\exists x, y \in \mathbb{R}, \, x < y$ et $\sin x > \sin y$. Posons $x = \tfrac{\pi}{2}$ et $y = \pi$. Alors $x, y \in \mathbb{R}$ et $x < y$ (puisque $\tfrac{\pi}{2} < \pi$). De plus $\sin x = \sin \tfrac{\pi}{2} = 1$ et $\sin y = \sin \pi = 0$, donc $\sin x > \sin y$.
Donc la proposition est fausse.

Méthode — Démontrer une équivalence

Deux approches :

Par double implication. Démontrer $p \Rightarrow q$ et $q \Rightarrow p$ séparément.
Par chaîne d'équivalences. Trouver des propositions intermédiaires $r, s, \ldots$ telles que $p \iff r \iff s \iff \cdots \iff q$, chaque $\iff$ valant par une raison explicite.

Exemple — Équivalence par chaîne d'équivalences

Montrer que pour tous $x, y \in \mathbb{R}$, $x^2 + y^2 = 0 \iff x = y = 0$.

Correction

Soient $x, y \in \mathbb{R}$. Comme $x^2 \ge 0$ et $y^2 \ge 0$, la somme $x^2 + y^2$ est une somme de réels positifs ou nuls, donc s'annule si et seulement si chaque terme s'annule : $$ x^2 + y^2 = 0 \iff (x^2 = 0 \text{ et } y^2 = 0) \iff (x = 0 \text{ et } y = 0). $$ Chaque équivalence se justifie : la première par « somme de réels positifs nulle ssi chaque terme nul », la seconde par « $t^2 = 0 \iff t = 0$ ».
Donc pour tous $x, y \in \mathbb{R}$, $x^2 + y^2 = 0 \iff x = y = 0$.

Piège --- la double flèche n'est pas l'abréviation c.-à-d.

La double flèche $\iff$ vous engage à une preuve dans les deux sens. C'est le symbole de « si et seulement si ». Dans un calcul où vous souhaitez simplement écrire « c'est-à-dire » ou « i.e. » (reformulation de la même affirmation sous une forme plus claire), utilisez les mots ; n'écrivez pas $\iff$. N'utilisez $\iff$ que lorsque la transformation est réversible. Chaque équivalence doit être soit évidente (par exemple $x + 1 = 3 \iff x = 2$), soit justifiée explicitement.

Compétences à pratiquer

Corriger une copie d'élève : flèche d'implication et équivalence
Écrire des preuves logiques correctes

VI Inclusion et égalité d'ensembles

Des éléments aux ensembles

Les affirmations ensemblistes se ramènent à des affirmations logiques sur les éléments : $E \subset F$ signifie $\forall x, \, x \in E \Rightarrow x \in F$. L'inclusion se démontre en introduisant un élément générique du plus petit ensemble ; l'égalité se démontre par double inclusion (deux passages) ou par chaîne d'équivalences (un seul passage).

Méthode — Démontrer une inclusion

Soit $x \in E$.
$\vdots$ $\quad$ (déduire $x \in F$ à partir de $x \in E$)
Donc $x \in F$, et $E \subset F$.

Exemple — Une petite inclusion

Montrer que $\{ x \in \mathbb{R} \mid \exists y \in \mathbb{R}_+, \, x \ge y \} \subset \mathbb{R}_+$.

Correction

Soit $x$ un élément du membre de gauche. Par définition, $x \in \mathbb{R}$ et il existe $y \in \mathbb{R}_+$ tel que $x \ge y$. Donc $x \ge y \ge 0$, soit $x \in \mathbb{R}_+$.
Donc $\{ x \in \mathbb{R} \mid \exists y \in \mathbb{R}_+, \, x \ge y \} \subset \mathbb{R}_+$. L'inclusion réciproque est immédiate en choisissant $y = 0$, donc les deux ensembles sont en fait égaux.

Méthode — Démontrer une égalité ensembliste

Deux approches :

Par double inclusion. Démontrer $E \subset F$ (par la méthode précédente) et $F \subset E$ séparément.
Par chaîne d'équivalences. Pour tout $x$, montrer $x \in E \iff \cdots \iff x \in F$, chaque $\iff$ valant par une raison explicite.

La méthode par chaîne est concise quand chaque étape est une réécriture claire ; la méthode par double inclusion est préférable quand les deux implications ont des preuves différentes.

Exemple — De Morgan pour une famille indexée

Soient $E$ un ensemble et $(A_i)_{i \in I}$ une famille de parties de $E$. Montrer que $E \setminus \bigcup_{i \in I} A_i = \bigcap_{i \in I} (E \setminus A_i)$.

Correction

Les deux membres sont des parties de $E$. Soit $x \in E$. On enchaîne des équivalences : $$ \begin{aligned} x \in E \setminus \bigcup_{i \in I} A_i &\iff x \notin \bigcup_{i \in I} A_i && \text{(par définition de $\setminus$, $x \in E$ étant donné)} \\ &\iff \text{non} \, \bigl( \exists i \in I, \, x \in A_i \bigr) && \text{(par définition de $\bigcup$)} \\ &\iff \forall i \in I, \, x \notin A_i && \text{(négation d'un existentiel)} \\ &\iff \forall i \in I, \, x \in E \setminus A_i && \text{(par définition de $\setminus$, $x \in E$ étant donné)} \\ &\iff x \in \bigcap_{i \in I} (E \setminus A_i) && \text{(par définition de $\bigcap$).} \end{aligned} $$ Donc $E \setminus \bigcup_{i \in I} A_i = \bigcap_{i \in I} (E \setminus A_i)$.

Compétences à pratiquer

Écrire des preuves ensemblistes correctes

VII Démonstration par récurrence

L'idée de la récurrence

Certaines propriétés des entiers se démontrent le mieux par récurrence : au lieu de vérifier la propriété pour chaque $n$ séparément (impossible, puisque $\mathbb{N}$ est infini), on montre que la propriété se « transmet » de $n$ à $n + 1$, en partant d'un cas initial. Trois variantes sont utiles ici : récurrence simple, double, forte. Chacune repose sur un théorème sur $\mathbb{N}$ que l'on admet (la propriété sous-jacente de $\mathbb{N}$ est hors programme à ce niveau).

Theorem — Récurrence simple

Soit $A \subset \mathbb{N}$. Si $0 \in A$ et $\forall n \in \mathbb{N}, \, n \in A \Rightarrow n + 1 \in A$, alors $A = \mathbb{N}$.

Énoncé admis

La démonstration de la récurrence simple repose sur la construction de $\mathbb{N}$ à partir d'axiomes plus élémentaires, ce qui est hors programme. On admet le théorème.

Méthode — Rédiger une récurrence simple

Pour démontrer $\forall n \in \mathbb{N}, \, P_n$ :

Initialisation. Montrer $P_0$.
Hérédité. Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons $P_n$. Montrons $P_{n+1}$.
$\vdots$ $\quad$ (preuve de $P_{n+1}$ à partir de $P_n$)
Conclusion. Par récurrence simple, $\forall n \in \mathbb{N}, \, P_n$.

La phrase « Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons $P_n$. » introduit un unique $n$ générique --- pas tous les $n$ à la fois.

Méthode — Récurrence à partir d'un rang non nul

Pour démontrer $\forall n \ge n_0, \, P_n$, le théorème de récurrence simple s'applique après une translation d'indices. En pratique :

Initialisation. Montrer $P_{n_0}$.
Hérédité. Soit $n \ge n_0$. Supposons $P_n$. Montrons $P_{n+1}$.
$\vdots$ $\quad$ (preuve de $P_{n+1}$ à partir de $P_n$)
Conclusion. Par récurrence à partir du rang $n_0$, $\forall n \ge n_0, \, P_n$.

Les cas $n_0 = 1$ et $n_0 = 2$ apparaissent constamment en pratique (formules valables à partir d'un certain rang seulement).

Exemple — Une suite récurrente majorée

Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $a_0 = 1$ et $a_{n+1} = 1 + \tfrac{a_n}{n + 1}$ pour $n \in \mathbb{N}$. Montrer que $a_n \le 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Correction

Notons $P_n$ la propriété « $a_n \le 2$ ».
Initialisation. $a_0 = 1 \le 2$, donc $P_0$.
Hérédité. Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons $P_n$, c.-à-d. $a_n \le 2$. Montrons $P_{n+1}$. On distingue $n = 0$ et $n \ge 1$ :

Cas $n = 0$. $a_1 = 1 + \tfrac{a_0}{1} = 1 + 1 = 2 \le 2$, donc $P_1$.
Cas $n \ge 1$. Comme $n + 1 \ge 2$, $\tfrac{a_n}{n + 1} \le \tfrac{2}{2} = 1$, donc $a_{n+1} = 1 + \tfrac{a_n}{n + 1} \le 1 + 1 = 2$, soit $P_{n+1}$.

Conclusion. Par récurrence simple, $\forall n \in \mathbb{N}, \, a_n \le 2$.

Piège --- l'hérédité est pour un entier générique

Une erreur gravissime de récurrence : ouvrir l'hérédité par « Supposons $P_n$ vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ ». Si $P_n$ était déjà vraie pour tout $n$, il n'y aurait plus rien à démontrer. L'ouverture correcte est « Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons $P_n$. » --- un $n$ à la fois, et ce $n$ est générique, pas spécifique.

Theorem — Récurrence double

Soit $A \subset \mathbb{N}$. Si $0 \in A$, $1 \in A$, et $\forall n \in \mathbb{N}, \, (n \in A$ et $n + 1 \in A) \Rightarrow n + 2 \in A$, alors $A = \mathbb{N}$.

Énoncé admis

La démonstration se ramène à une récurrence simple appliquée à $B = \{ n \in \mathbb{N} \mid n \in A$ et $n + 1 \in A \}$ ; comme pour la récurrence simple, on l'admet à ce niveau.

Méthode — Rédiger une récurrence double

Pour démontrer $\forall n \in \mathbb{N}, \, P_n$, quand $P_{n+2}$ dépend à la fois de $P_n$ et $P_{n+1}$ :

Initialisation. Montrer $P_0$ et $P_1$.
Hérédité. Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons $P_n$ et $P_{n+1}$. Montrons $P_{n+2}$.
$\vdots$
Conclusion. Par récurrence double, $\forall n \in \mathbb{N}, \, P_n$.

Exemple — Une formule explicite par récurrence double

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 4$, $u_1 = 5$, et $u_{n+2} = 3 u_{n+1} - 2 u_n$ pour $n \in \mathbb{N}$. Montrer que $u_n = 2^n + 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Correction

Notons $P_n$ la propriété « $u_n = 2^n + 3$ ».
Initialisation. $u_0 = 4 = 1 + 3 = 2^0 + 3$, donc $P_0$. $u_1 = 5 = 2 + 3 = 2^1 + 3$, donc $P_1$.
Hérédité. Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons $P_n$ et $P_{n+1}$, c.-à-d. $u_n = 2^n + 3$ et $u_{n+1} = 2^{n+1} + 3$. Montrons $P_{n+2}$. $$ \begin{aligned} u_{n+2} &= 3 u_{n+1} - 2 u_n \\ &= 3 (2^{n+1} + 3) - 2 (2^n + 3) && \text{(par hypothèse de récurrence)} \\ &= 3 \cdot 2^{n+1} - 2 \cdot 2^n + (9 - 6) \\ &= 3 \cdot 2^{n+1} - 2^{n+1} + 3 \\ &= 2 \cdot 2^{n+1} + 3 \\ &= 2^{n+2} + 3. \end{aligned} $$ Donc $P_{n+2}$.
Conclusion. Par récurrence double, $\forall n \in \mathbb{N}, \, u_n = 2^n + 3$.

Theorem — Récurrence forte

Soit $A \subset \mathbb{N}$. Si $0 \in A$ et $\forall n \in \mathbb{N}, \, (\forall k \in \llbracket 0, n \rrbracket, \, k \in A) \Rightarrow n + 1 \in A$, alors $A = \mathbb{N}$.

Énoncé admis

La récurrence forte se ramène également à une récurrence simple, appliquée à $B = \{ n \in \mathbb{N} \mid \forall k \in \llbracket 0, n \rrbracket, \, k \in A \}$. On l'admet.

Méthode — Rédiger une récurrence forte

Pour démontrer $\forall n \in \mathbb{N}, \, P_n$, quand $P_{n+1}$ peut dépendre de tous les $P_0, \ldots, P_n$ :

Initialisation. Montrer $P_0$.
Hérédité. Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons $P_k$ pour tout $k \in \llbracket 0, n \rrbracket$. Montrons $P_{n+1}$.
$\vdots$
Conclusion. Par récurrence forte, $\forall n \in \mathbb{N}, \, P_n$.

Exemple — Une borne via la somme des termes précédents

Soit $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle avec $v_0 \ge 0$ et $v_{n+1} \le \sum_{k = 0}^n v_k$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Montrer que $v_n \le 2^n v_0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Correction

Notons $P_n$ la propriété « $v_n \le 2^n v_0$ ».
Initialisation. $v_0 \le v_0 = 2^0 v_0$, donc $P_0$.
Hérédité. Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons $P_k$ pour tout $k \in \llbracket 0, n \rrbracket$, c.-à-d. $v_k \le 2^k v_0$. Montrons $P_{n+1}$. Par hypothèse, $$ \begin{aligned} v_{n+1} &\le \sum_{k = 0}^n v_k && \text{(hypothèse sur la suite)} \\ &\le \sum_{k = 0}^n 2^k v_0 && \text{(hypothèse de récurrence forte, $v_0 \ge 0$ donc on peut sommer les inégalités)} \\ &= v_0 \sum_{k = 0}^n 2^k && \text{(linéarité)} \\ &= v_0 \cdot \frac{2^{n+1} - 1}{2 - 1} && \text{(somme géométrique)} \\ &= (2^{n+1} - 1) v_0 \le 2^{n+1} v_0. \end{aligned} $$ Donc $P_{n+1}$.
Conclusion. Par récurrence forte, $\forall n \in \mathbb{N}, \, v_n \le 2^n v_0$.

Compétences à pratiquer

Corriger une copie d'élève : hérédité
Écrire des preuves par récurrence correctes

VIII Démonstration par l'absurde

L'idée

Pour démontrer $p$, supposer le contraire (non $p$) et aboutir à une contradiction --- une proposition de la forme $q$ et (non $q$). Si non $p$ conduit à une telle contradiction, alors non $p$ est fausse, donc $p$ est vraie.

Méthode — Rédiger une démonstration par l'absurde

Raisonnons par l'absurde. Supposons non $p$.
$\vdots$ $\quad$ (dériver une contradiction $q$ et non $q$)
Contradiction. Donc $p$.

La contradiction doit être explicite : une proposition $q$ accompagnée de sa négation, toutes deux établies au cours du raisonnement.

Exemple — Une racine carrée qui n'est jamais entière

Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\sqrt{n^2 + 2}$ n'est pas un entier.

Correction

Soit $n \in \mathbb{N}$. Raisonnons par l'absurde. Supposons $\sqrt{n^2 + 2}$ entier ; notons $p$ cet entier, de sorte que $p \in \mathbb{N}$ et $p^2 = n^2 + 2$. Donc $$ (p - n)(p + n) = p^2 - n^2 = 2. $$ $p$ et $n$ sont positifs, donc $p + n \ge 0$ et $p^2 = n^2 + 2 > n^2$, soit $p > n$, donc $p - n \ge 1$ et $p + n \ge p - n \ge 1$. Ce sont deux entiers naturels positifs dont le produit vaut $2$.
Le seul couple $(a, b)$ d'entiers naturels avec $a \le b$ et $ab = 2$ est $(1, 2)$. Donc $p - n = 1$ et $p + n = 2$, d'où $p = \tfrac{3}{2}$ par demi-somme. Or $p \in \mathbb{N}$, donc $p \ne \tfrac{3}{2}$.
Contradiction. Donc $\sqrt{n^2 + 2}$ n'est pas un entier.

Compétences à pratiquer

Écrire des preuves par l'absurde correctes

IX Analyse-synthèse

La méthode du détective

Pour déterminer tous les éléments d'un ensemble $E$ vérifiant une propriété $P$, on procède par analyse-synthèse. Analyse. Soit $x \in E$ vérifiant $P$. À partir de cette hypothèse, dériver des contraintes sur $x$ jusqu'à ne plus avoir qu'un nombre fini de candidats. Synthèse. Pour chaque candidat, vérifier qu'il appartient bien à $E$ et vérifie $P$.
La moitié analyse restreint le champ des possibles --- elle démontre « si une solution existe, c'est l'un de ces candidats ». La moitié synthèse teste chaque candidat --- elle démontre « ce candidat est effectivement une solution ». Ensemble elles déterminent l'ensemble complet des solutions, qui peut être vide, un singleton, ou comporter plusieurs éléments. L'unicité n'est établie que dans le cas où cet ensemble se révèle être un singleton.

Méthode — Rédiger une démonstration par analyse-synthèse

Analyse. Soit $x \in E$ vérifiant $P$.
$\vdots$ $\quad$ (déduire des restrictions sur $x$ jusqu'à ce que les candidats soient explicites)
Synthèse. Pour chaque candidat, vérifier qu'il appartient à $E$ et vérifie $P$.
$\vdots$
Conclusion. L'ensemble des solutions est $\{ \ldots \}$.

Exemple — Résoudre une équation bicarrée

Trouver tous les réels $x$ tels que $x^4 - 4 x^2 + 3 = 0$.

Correction

Analyse. Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $x^4 - 4 x^2 + 3 = 0$. Posons $X = x^2 \ge 0$. Alors $$ X^2 - 4 X + 3 = 0 \iff (X - 1)(X - 3) = 0 \iff X = 1 \text{ ou } X = 3. $$ Donc $x^2 = 1$ ou $x^2 = 3$, soit $x \in \{ -\sqrt{3}, -1, 1, \sqrt{3} \}$.
Synthèse. On vérifie pour chaque candidat : $$ \begin{aligned} (\pm 1)^4 - 4 (\pm 1)^2 + 3 &= 1 - 4 + 3 = 0, \\ (\pm \sqrt{3})^4 - 4 (\pm \sqrt{3})^2 + 3 &= 9 - 12 + 3 = 0. \end{aligned} $$ Tous les candidats vérifient l'équation.
Conclusion. L'ensemble des solutions est $\{ -\sqrt{3}, -1, 1, \sqrt{3} \}$.

Exemple — Une équation fonctionnelle

Trouver toutes les fonctions $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que pour tous $x, y \in \mathbb{R}$, $f(y - f(x)) = 2 - x - y$.

Correction

Analyse. Soit $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ vérifiant l'équation. En particulier, pour tout $x \in \mathbb{R}$, en choisissant $y = f(x)$ on obtient $f(0) = 2 - x - f(x)$, donc $$ f(x) = (2 - f(0)) - x. $$ Ce calcul montre que $f$ est nécessairement de la forme $x \longmapsto \lambda - x$ pour un certain réel $\lambda = 2 - f(0)$.
Synthèse. Soit $\lambda \in \mathbb{R}$. Notons $f$ la fonction $x \longmapsto \lambda - x$. Pour tous $x, y \in \mathbb{R}$, $$ \begin{aligned} f(y - f(x)) &= f(y - (\lambda - x)) \\ &= f(y - \lambda + x) \\ &= \lambda - (y - \lambda + x) \\ &= 2 \lambda - x - y. \end{aligned} $$ On veut $2 \lambda - x - y = 2 - x - y$, soit $\lambda = 1$. Donc la seule valeur de $\lambda$ qui convient est $\lambda = 1$.
Conclusion. L'unique fonction solution est $f \colon x \longmapsto 1 - x$.

Pourquoi l'analyse-synthèse détermine l'ensemble complet des solutions

La moitié analyse restreint le champ des possibles : elle démontre que toute solution doit figurer parmi un nombre fini de candidats (condition nécessaire). La moitié synthèse teste chaque candidat et conserve ceux qui sont solutions (condition suffisante). Ensemble elles fournissent l'ensemble exact des solutions --- exactement les candidats qui survivent à la synthèse. Cet ensemble peut être vide, un singleton, ou comporter plusieurs éléments : l'équation fonctionnelle ci-dessus a une seule solution, tandis que l'équation bicarrée en a quatre. L'analyse-synthèse ne démontre pas $\exists !$ automatiquement ; l'unicité n'est obtenue que lorsque l'ensemble survivant se trouve être un singleton.

Compétences à pratiquer

Écrire des preuves par analyse-synthèse correctes

X Rédiger avec les fonctions

Une fonction est un objet$\virgule$ pas une expression

L'expression $e^x \sin x$ est un nombre réel dépendant de $x$, pas une fonction. La fonction est la règle qui à $x$ associe $e^x \sin x$, écrite $x \longmapsto e^x \sin x$. La distinction compte : « la fonction $e^x \sin x$ est dérivable » est incorrect ; la formulation correcte est « la fonction $x \longmapsto e^x \sin x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ ».

Méthode — Définir une fonction

Pour définir une fonction $f$ d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$ par une règle, quatre rédactions équivalentes sont possibles :

On note $f$ la fonction de $\mathbb{R}_+$ dans $\mathbb{R}$ définie par $x \longmapsto \sqrt{x} + 1$.
On note $f$ la fonction $\begin{cases} \mathbb{R}_+ \longrightarrow \mathbb{R} \\ x \longmapsto \sqrt{x} + 1 \end{cases}$.
On note $f \colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$ la fonction définie pour tout $x \in \mathbb{R}_+$ par $f(x) = \sqrt{x} + 1$.
On pose, pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, $f(x) = \sqrt{x} + 1$, en notant $f \colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$.

La flèche $\longrightarrow$ va d'ensemble à ensemble (ici $\mathbb{R}_+ \longrightarrow \mathbb{R}$) ; la flèche $\longmapsto$ va d'élément à valeur (ici $x \longmapsto \sqrt{x} + 1$). Les deux flèches ne sont pas interchangeables. L'ensemble d'arrivée $\mathbb{R}$ doit être précisé même quand il est « évident », pour lever toute ambiguïté.

Méthode — Parler d'une fonction

On dit généralement qu'une fonction est dérivable, continue, croissante ou bornée sur un ensemble. On peut aussi dire que $f$ est dérivable en tout point d'un ensemble. Ce qu'il faut éviter, c'est d'accrocher « pour tout $x$ » directement à l'objet fonction $x \longmapsto x^2$, car la fonction ne dépend pas de $x$ --- la lettre est une variable muette dans la règle. Donc :

Préféré. La fonction $x \longmapsto x^2$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
Aussi correct. La fonction $f$ est dérivable en tout point de $\mathbb{R}$.
À éviter. La fonction $x \longmapsto x^2$ est dérivable pour tout $x \in \mathbb{R}$.

La formulation « pour tout $x \in \mathbb{R}$ » est appropriée quand on parle de $f'(x)$ (qui, lui, dépend de $x$) : « Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = 2 x$ ».

Exemple — Calculer une dérivée proprement

Dériver la fonction $f \colon x \longmapsto e^{\sin(2 x)}$ sur $\mathbb{R}$, avec une rédaction propre.

Correction

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme composée de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, par la règle de dérivation en chaîne, $$ f'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \bigl( e^{\sin(2 x)} \bigr) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \bigl( \sin(2 x) \bigr) \cdot e^{\sin(2 x)} = 2 \cos(2 x) \cdot e^{\sin(2 x)}. $$ Remarque : la notation $(f(x))'$ est interdite ; la notation $\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}$ précise la variable de dérivation.

Piège --- distinguer les deux flèches de fonction

$\longrightarrow$ va d'ensemble à ensemble ; $\longmapsto$ va d'élément à valeur. Écrire « $x \longrightarrow e^{x^2}$ » pour décrire une fonction est incorrect --- la règle qui à $x$ associe son image utilise la flèche avec une barre, $\longmapsto$. La flèche simple $\longrightarrow$ est réservée aux ensembles de départ et d'arrivée d'une fonction ou à la notion de limite (« $f(x) \longrightarrow \ell$ quand $x \to a$ »).

Piège --- la notation parenthèse-primée est interdite

La notation $(f(x))'$ est à éviter dans une rédaction rigoureuse car elle ne précise pas clairement si l'on dérive la fonction $f$ ou l'expression $f(x)$ par rapport à $x$. Pour écrire la dérivée de la fonction $f$ au point $x$, utilisez $f'(x)$. Pour indiquer explicitement qu'on dérive par rapport à $x$, utilisez la notation de Leibniz $\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \bigl( f(x) \bigr)$ --- particulièrement utile quand plusieurs variables sont en jeu.

Compétences à pratiquer

Corriger une copie d'élève : notation de fonction
Écrire des rédactions de fonctions correctes