CommeUnJeu · L1 PCSI

Fonctions réelles : rappels et compléments

⌚ ~99 min ▢ 12 blocs ✓ 36 exercices ➣ Prérequis : Applications, Fonctions

Une fonction réelle associe à chaque entrée un réel. De cette seule idée naît toute l'analyse : limites, continuité, dérivation, intégration. Ce chapitre est un chapitre de rappels : il remet à plat le vocabulaire de lycée sur les fonctions réelles --- domaine, parité, périodicité, monotonie, règles de dérivation --- avec des quantificateurs explicites et des énoncés rigoureux, et ajoute les outils mûrs (classe $C^k$, dérivation d'une fonction réciproque) sur lesquels s'appuieront les chapitres suivants.
\medskip
Convention. Dans tout le chapitre, $\ln$, $\exp$, $\sin$, $\cos$, $\tan$ et $\sqrt{\cdot}$ sont utilisées comme fonctions connues du lycée ; leur étude systématique est repoussée aux chapitres Trigonométrie et Fonctions usuelles. Les énoncés de dérivabilité et de classe~$C^k$ sont formulés sur un intervalle $I \subset \mathbb{R}$ d'intérieur non vide ; pour les énoncés sur les parties générales (domaine, parité, périodicité, monotonie, bornitude), une partie quelconque $E \subset \mathbb{R}$ est autorisée.

I Domaine$\virgule$ image$\virgule$ graphe

Une fonction réelle associe à chaque entrée un réel --- mais uniquement lorsque la formule a un sens. Avant toute étude de $f$, il faut fixer son domaine de définition. Ce domaine se lit sur la formule en intersectant les conditions imposées par chaque brique élémentaire ($\ln$ exige un argument strictement positif, $\sqrt{\cdot}$ un argument positif ou nul, la division un dénominateur non nul, etc.).

Définition — Domaine$\virgule$ image$\virgule$ graphe

Soient $E \subset \mathbb{R}$ et $f : E \to \mathbb{R}$ une fonction.

Le domaine de définition de $f$, noté $\textcolor{colordef}{D_f}$, est l'ensemble $E$ sur lequel $f$ est définie. Lorsque $f$ est donnée par une formule sans $E$ explicite, $D_f$ est la plus grande partie de $\mathbb{R}$ sur laquelle la formule a un sens.
Pour $x \in D_f$, $f(x)$ est l'image de $x$ par $f$ ; $x$ est un antécédent de $f(x)$.
L'ensemble image de $f$ est $\textcolor{colordef}{f(D_f) = \{f(x) \mid x \in D_f\}} \subset \mathbb{R}$.
Dans un repère orthonormé $(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})$, le graphe de $f$ est $\textcolor{colordef}{\Gamma_f = \{(x, f(x)) \mid x \in D_f\}} \subset \mathbb{R}^2$. L'équation du graphe est $y = f(x)$.

Exemple

Déterminer le domaine de $f : x \mapsto \sqrt{x+3}$.

Correction

La racine carrée exige un argument positif ou nul : $x + 3 \ge 0$, c'est-à-dire $x \ge -3$. Donc $D_f = [-3 \,;\, +\infty[$.

Exemple

Déterminer le domaine de $g : x \mapsto \ln(x^2 - 3x + 2)$.

Correction

Le logarithme exige un argument strictement positif : $x^2 - 3x + 2 > 0$. Le polynôme se factorise en $(x-1)(x-2)$ ; comme son coefficient dominant vaut $+1$, il est strictement positif en dehors de ses racines. Donc $D_g = ]-\infty \,;\, 1[ \,\cup\, ]2 \,;\, +\infty[$.

Exemple

Déterminer le domaine de $h : x \mapsto \dfrac{1 + \mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{x \sqrt{2 - x}}$.

Correction

Trois conditions doivent être vérifiées simultanément : $\sqrt{x}$ exige $x \ge 0$ ; $\sqrt{2-x}$ exige $2 - x \ge 0$, soit $x \le 2$ ; le dénominateur $x \sqrt{2-x}$ doit être non nul, donc $x \ne 0$ et $x \ne 2$. Intersection : $D_h = ]0 \,;\, 2[$.

Méthode — Trouver le domaine d'une fonction réelle

Algorithme.

Lister chaque brique élémentaire de la formule : $\sqrt{u}$, $\ln u$, $1/u$, $u^\alpha$ (pour $\alpha \notin \mathbb{N}$), $\arccos u$, $\arcsin u$, $\tan u$, etc.
Écrire la condition naturelle de chaque brique ($u \ge 0$ pour $\sqrt{u}$, $u > 0$ pour $\ln u$, $u \ne 0$ pour $1/u$, $u \ne \pi/2 + k\pi$ pour $\tan u$, \dots ; pour $\arccos u$ et $\arcsin u$ la condition $u \in [-1 \,;\, 1]$ s'appliquera une fois ces fonctions introduites au chapitre suivant).
Prendre l'intersection de toutes ces conditions. Le résultat est $D_f$.

Piège. La brique $1/(x \sqrt{2-x})$ exige que $\sqrt{2-x}$ soit définie et non nulle --- deux conditions, pas une seule.

Compétences à pratiquer

Trouver le domaine d'une fonction réelle

II Opérations sur les fonctions réelles

L'ensemble $\mathcal{F}(E, \mathbb{R})$ des fonctions réelles définies sur $E$ hérite d'une structure algébrique : on peut additionner des fonctions, les multiplier par un scalaire ou point par point, leur appliquer $|\cdot|$. Une opération à part, la composition, fabrique de nouvelles fonctions en injectant la sortie de l'une dans l'entrée de l'autre --- et déjoue l'intuition naïve (la composition n'est pas commutative ; le domaine de $g \circ f$ est délicat).

Définition — Somme$\virgule$ produit$\virgule$ multiplication par un scalaire

Soient $E \subset \mathbb{R}$ et $f, g : E \to \mathbb{R}$ deux fonctions, $\lambda \in \mathbb{R}$. On définit sur $E$ :

$\textcolor{colordef}{(f + g)(x) = f(x) + g(x)}$ (somme) ;
$\textcolor{colordef}{(\lambda f)(x) = \lambda \cdot f(x)}$ (multiplication par un scalaire) ;
$\textcolor{colordef}{(fg)(x) = f(x) \cdot g(x)}$ (produit point par point) ;
$\textcolor{colordef}{|f|(x) = |f(x)|}$ (valeur absolue).

L'ensemble $\mathcal{F}(E, \mathbb{R})$, muni de $+$ et de la multiplication par un scalaire, est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.

Exemple

Pour $f(x) = x^2$ et $g(x) = x + 1$ sur $\mathbb{R}$, calculer $(f + g)(x)$, $(fg)(x)$, $(3f)(x)$, $|f - g|(x)$.

Correction

$(f+g)(x) = x^2 + x + 1$. $(fg)(x) = x^2(x+1) = x^3 + x^2$. $(3f)(x) = 3x^2$. $|f-g|(x) = |x^2 - x - 1|$ ; le signe de $x^2 - x - 1$ dépend de $x$ par rapport à ses racines $(1 \pm \sqrt{5})/2$.

Définition — Composition de fonctions

Forme stricte. Soient $f : X \to Y$ et $g : Y \to Z$, où $X, Y, Z$ sont des parties de $\mathbb{R}$. La composée $\textcolor{colordef}{g \circ f : X \to Z}$ est définie par $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ pour $x \in X$.
Forme souple (utilisée avec des formules). Soient $f : X \to \mathbb{R}$ et $g : Y \to \mathbb{R}$. Alors $g \circ f$ est définie sur $$ \textcolor{colordef}{\{x \in X \mid f(x) \in Y\}}. $$ Cet ensemble peut être plus petit que $X$ (lorsque $f$ prend des valeurs en dehors de $Y$) ou égal à $X$ (lorsque $f(X) \subset Y$) ; seul le calcul tranche.

Exemple

Soient $f(x) = x^2$ et $g(x) = x + 1$, toutes deux définies sur $\mathbb{R}$. Calculer $f \circ g$ et $g \circ f$, et vérifier qu'elles diffèrent.

Correction

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$. $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = x^2 + 1$. Les deux fonctions diffèrent : la composition n'est pas commutative.

Exemple

Soient $g(y) = \sqrt{y}$ définie sur $\mathbb{R}_+$ et $f(x) = x^2 + 1$. Déterminer le domaine de $g \circ f$.

Correction

$g \circ f$ est définie sur $\{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \ge 0\}$. Comme $f(x) = x^2 + 1 \ge 1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, la condition est vérifiée partout : $g \circ f$ est définie sur $\mathbb{R}$. On a $(g \circ f)(x) = \sqrt{x^2 + 1}$.

Définition — Parties positive et négative

Pour $f : E \to \mathbb{R}$, on définit sur $E$ : $$ \textcolor{colordef}{f^+ = \frac{|f| + f}{2}}, \qquad \textcolor{colordef}{f^- = \frac{|f| - f}{2}}. $$ $f^+$ est la partie positive de $f$ ; $f^-$ est la partie négative. Toutes deux prennent des valeurs positives ou nulles.

Exemple

Pour $f : x \mapsto x - 1$ sur $\mathbb{R}$, calculer $f^+(x)$ et $f^-(x)$, et vérifier $f = f^+ - f^-$.

Correction

$|f|(x) = |x - 1| = \begin{cases} x - 1 & \text{si } x \ge 1 \\ 1 - x & \text{si } x < 1 \end{cases}$. D'où $f^+(x) = (|f|+f)/2 = \begin{cases} x - 1 & \text{si } x \ge 1 \\ 0 & \text{si } x < 1 \end{cases}$ et $f^-(x) = (|f|-f)/2 = \begin{cases} 0 & \text{si } x \ge 1 \\ 1 - x & \text{si } x < 1 \end{cases}$. Toutes deux sont positives ou nulles. Vérification : pour $x \ge 1$, $f^+ - f^- = (x-1) - 0 = x - 1 = f(x)$ ; pour $x < 1$, $f^+ - f^- = 0 - (1-x) = x - 1 = f(x)$. $\checkmark$

Proposition — Décomposition $f \equal f^+ - f^-$

Pour toute fonction $f : E \to \mathbb{R}$ : $$ \textcolor{colorprop}{f = f^+ - f^-} \qquad \text{et} \qquad \textcolor{colorprop}{|f| = f^+ + f^-}. $$

Preuve

Calcul direct : $$ f^+ - f^- = \frac{|f| + f}{2} - \frac{|f| - f}{2} = \frac{2f}{2} = f, \qquad f^+ + f^- = \frac{|f| + f}{2} + \frac{|f| - f}{2} = \frac{2|f|}{2} = |f|. $$

Compétences à pratiquer

Calculer une composée

III Parité$\virgule$ imparité$\virgule$ périodicité

Une symétrie économise du travail. Si l'on sait qu'une fonction est paire, la moitié droite de son graphe détermine la moitié gauche. Si l'on sait qu'elle est $T$-périodique, une période détermine toute $\mathbb{R}$. Deux saveurs de symétrie : par rapport à une droite (parité), par rapport à une translation (périodicité).

Définition — Fonction paire$\virgule$ fonction impaire

Soient $E \subset \mathbb{R}$ symétrique par rapport à $0$ (c'est-à-dire $\forall x \in E, -x \in E$), et $f : E \to \mathbb{R}$.

$f$ est paire si $\forall x \in E, f(-x) = f(x)$. Le graphe de $f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
$f$ est impaire si $\forall x \in E, f(-x) = -f(x)$. Le graphe de $f$ est symétrique par rapport à l'origine $O$. (Si $0 \in E$, alors $f(0) = 0$.)

Exemple

$x \mapsto x^{2k}$ est paire ($k \in \mathbb{N}$) et $x \mapsto x^{2k+1}$ est impaire. Plus généralement, tout monôme de degré pair est pair ; tout monôme de degré impair est impair.

Exemple

La valeur absolue $|\cdot| : x \mapsto |x|$ est paire sur $\mathbb{R}$ : $|-x| = |x|$. Le cosinus $\cos$ est pair sur $\mathbb{R}$ : $\cos(-x) = \cos(x)$. Le sinus $\sin$, la tangente $\tan$ et l'identité $x \mapsto x$ sont impairs : $\sin(-x) = -\sin x$, $\tan(-x) = -\tan x$ et $-x = -(x)$.

Définition — Fonction périodique

Soient $E \subset \mathbb{R}$ et $T > 0$. On dit que $E$ est $T$-périodique si $\forall x \in E, x + T \in E$ et $x - T \in E$. Une fonction $f : E \to \mathbb{R}$ définie sur un ensemble $T$-périodique est $T$-périodique si $$ \textcolor{colordef}{\forall x \in E, \quad f(x + T) = f(x).} $$ On dit alors que $T$ est une période de $f$. On dit que $f$ est périodique s'il existe au moins un $T > 0$ tel que $f$ soit $T$-périodique.

Exemple

$\sin$ et $\cos$ sont $2\pi$-périodiques sur $\mathbb{R}$. $\tan$ est $\pi$-périodique sur son domaine. La fonction $x \mapsto \mathrm{e}^x$ n'est pas périodique (elle est strictement monotone). Si $T$ est une période de $f$, alors $kT$ en est une aussi pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ ; on parle donc d'une période, pas de la période.

Proposition — Opérations sur les fonctions périodiques

Soient $T > 0$, $E$ une partie $T$-périodique de $\mathbb{R}$, et $f, g : E \to \mathbb{R}$ toutes deux $T$-périodiques. Alors :

$\textcolor{colorprop}{f + g}$ et $\textcolor{colorprop}{fg}$ sont $T$-périodiques sur $E$ ;
si $g$ ne s'annule pas sur $E$, $\textcolor{colorprop}{f/g}$ est $T$-périodique sur $E$ ;
pour $\omega > 0$, la fonction $\textcolor{colorprop}{x \mapsto f(\omega x)}$ est $T/\omega$-périodique sur l'ensemble $\{x \mid \omega x \in E\}$.

(Pour $\omega \ne 0$ en général, la période est $T/|\omega|$ ; on énonce le résultat pour $\omega > 0$ pour alléger la formule.)

Preuve

Somme. Pour $x \in E$ : $(f+g)(x+T) = f(x+T) + g(x+T) = f(x) + g(x) = (f+g)(x)$.
Produit. Pour $x \in E$ : $(fg)(x+T) = f(x+T) \cdot g(x+T) = f(x) \cdot g(x) = (fg)(x)$.
Quotient. Si $g$ ne s'annule pas sur $E$, le même calcul donne $(f/g)(x+T) = f(x)/g(x) = (f/g)(x)$.
Dilatation. Posons $h(x) = f(\omega x)$, définie sur $E' = \{x \mid \omega x \in E\}$. Pour $x \in E'$, $$ h\!\left(x + \frac{T}{\omega}\right) = f\!\left(\omega \cdot \left(x + \frac{T}{\omega}\right)\right) = f(\omega x + T) = f(\omega x) = h(x), $$ en utilisant la $T$-périodicité de $f$.

Méthode — Réduire le domaine d'étude par parité ou périodicité

Stratégie. Avant de calculer des limites ou de dresser un tableau de variations, exploiter la symétrie pour diviser le travail :

Si $f$ est paire sur $E$ (symétrique par rapport à $0$), étudier $f$ uniquement sur $E \cap \mathbb{R}_+$ ; la moitié gauche se déduit par symétrie par rapport à l'axe $Oy$.
Si $f$ est impaire, étudier $f$ uniquement sur $E \cap \mathbb{R}_+$ ; la moitié gauche se déduit par symétrie par rapport au centre $O$.
Si $f$ est $T$-périodique, étudier $f$ sur tout intervalle de longueur $T$ inclus dans $E$, par exemple $[a \,;\, a+T[$ (l'intervalle semi-ouvert évite la redondance des deux extrémités) ; le reste se déduit par translation.
Si $f$ est à la fois paire et $T$-périodique, étudier $f$ uniquement sur $[0 \,;\, T/2]$.

Concret. Pour $f(x) = \cos(2x) + \sin^2 x$ sur $\mathbb{R}$ : $f$ est paire ($\cos$ et $\sin^2$ le sont) et $\pi$-périodique ($\cos(2x)$ a pour période $\pi$, $\sin^2 x$ également). Domaine d'étude : $[0 \,;\, \pi/2]$.

Compétences à pratiquer

Démontrer la parité ou l'imparité
Trouver une période

IV Transformations affines du graphe

Translater, dilater ou réfléchir une fonction déplace son graphe de façon prévisible. Maîtriser ce dictionnaire transforme le tracé en simple lecture. Attention au piège de signe : $f(x+a)$ translate le graphe vers la gauche de $a$, pas vers la droite.

Theorem — Transformations affines d'un graphe

Soient $f : E \to \mathbb{R}$, $a \in \mathbb{R}$, et $\lambda > 0$. Les graphes ci-dessous se déduisent de $\Gamma_f$ comme suit :

Réflexions.
- $\textcolor{colorprop}{x \mapsto -f(x)}$ : symétrie de $\Gamma_f$ par rapport à l'axe des abscisses ($Ox$).
- $\textcolor{colorprop}{x \mapsto f(-x)}$ : symétrie de $\Gamma_f$ par rapport à l'axe des ordonnées ($Oy$).
Translations.
- $\textcolor{colorprop}{x \mapsto f(x) + a}$ : translation de $\Gamma_f$ de vecteur $a \, \vec{\jmath}$ (décalage vertical de $a$ vers le haut).
- $\textcolor{colorprop}{x \mapsto f(x + a)}$ : translation de $\Gamma_f$ de vecteur $-a \, \vec{\imath}$ (décalage horizontal vers la GAUCHE de $a$).
Dilatations.
- $\textcolor{colorprop}{x \mapsto \lambda f(x)}$ : dilatation verticale de rapport $\lambda$ ($\lambda > 1$ étire, $\lambda < 1$ contracte).
- $\textcolor{colorprop}{x \mapsto f(\lambda x)}$ : contraction horizontale de rapport $1/\lambda$ ($\lambda > 1$ contracte, $\lambda < 1$ étire).

Pour $\lambda < 0$, combiner le cas $|\lambda|$ avec la réflexion correspondante.

Exemple

De $y = \sin x$ à $y = 1 - \dfrac{\sin(2x)}{2}$ en trois étapes : (1) contraction horizontale de rapport $2$ donnant $\sin(2x)$ ; (2) contraction verticale de rapport $1/2$ donnant $\sin(2x)/2$ ; (3) symétrie par rapport à $Ox$ puis translation de $\vec{\jmath}$ donnant $1 - \sin(2x)/2$.

Exemple

Pour un $a \in \mathbb{R}$ fixé et une fonction $f : E \to \mathbb{R}$, identifier le lien géométrique entre $\Gamma_f$ et le graphe de $x \mapsto f(a - x)$.

Correction

On écrit $f(a - x) = f(-(x - a))$, puis on le lit comme $f(-y)$ avec $y = x - a$. Étape 1 : $y \mapsto f(-y)$ a un graphe symétrique de $\Gamma_f$ par rapport à $Oy$ (réflexion). Étape 2 : $x \mapsto f(-(x - a))$ translate le graphe précédent de $a$ vers la droite (translation de vecteur $+a \, \vec{\imath}$). Résultat global : le graphe de $x \mapsto f(a - x)$ est le symétrique de $\Gamma_f$ par rapport à la droite verticale $x = a/2$. En effet, les points $x$ et $a - x$ sont symétriques par rapport à $a/2$ puisque leur milieu vaut $(x + a - x)/2 = a/2$.

Exemple

Trois transformations élémentaires : translation verticale, dilatation verticale, symétrie par rapport à $Ox$. Lire chacune comme une opération unique sur le graphe ; la chaîne de transformations de l'exemple précédent en combine plusieurs successivement.

Méthode — Tracer $g(x) \equal a + \lambda f(\mu x + b)$ à partir de $\Gamma_f$

Algorithme. Écrire l'argument intérieur sous la forme $\mu x + b = \mu(x + b/\mu)$. Appliquer les transformations dans cet ordre ; un autre ordre change le résultat.

Dilatation horizontale d'abord. À partir de $\Gamma_f$, appliquer la transformation $x \mapsto \mu x$ (on suppose $\mu > 0$ ; pour $\mu < 0$, combiner $|\mu|$ avec une symétrie par rapport à $Oy$). Le point $(X, Y) \in \Gamma_f$ devient $(X/\mu, Y)$ : contraction horizontale de rapport $1/\mu$ si $\mu > 1$, dilatation de rapport $1/\mu$ si $0 < \mu < 1$. Le nouveau graphe est celui de $u : x \mapsto f(\mu x)$.
Translation horizontale. Appliquer $x \mapsto x + b/\mu$ : translater le graphe précédent de $-b/\mu \, \vec{\imath}$ (vers la GAUCHE si $b/\mu > 0$). En effet $u(x + b/\mu) = f(\mu(x + b/\mu)) = f(\mu x + b)$.
Dilatation verticale. Multiplier par $\lambda$ : dilatation verticale de rapport $\lambda$, avec symétrie par rapport à $Ox$ si $\lambda < 0$.
Translation verticale. Ajouter $a$ : translater de $a \, \vec{\jmath}$.

Piège. L'étape de translation horizontale décale vers la gauche lorsque $b/\mu > 0$, alors qu'on aurait l'intuition qu'un $b/\mu > 0$ donne « vers la droite ».

Compétences à pratiquer

Tracer un graphe transformé

V Monotonie$\virgule$ fonctions bornées$\virgule$ extrema

La monotonie suit la façon dont la fonction varie avec son entrée. La bornitude indique jusqu'où les valeurs peuvent aller. Les maxima et minima identifient des valeurs précises qui sont atteintes. Ensemble, ces notions donnent l'allure générale du graphe et préparent les tableaux de variations (section suivante). Le vocabulaire est direct ici ; les preuves n'utilisent que l'ordre sur $\mathbb{R}$ et la logique élémentaire.

Définition — Fonction monotone$\virgule$ strictement monotone

Soient $E \subset \mathbb{R}$ et $f : E \to \mathbb{R}$.

$f$ est croissante sur $E$ si $\forall x, y \in E, \ x \le y \implies f(x) \le f(y)$.
$f$ est strictement croissante sur $E$ si $\forall x, y \in E, \ x < y \implies f(x) < f(y)$.
$f$ est décroissante sur $E$ si $\forall x, y \in E, \ x \le y \implies f(x) \ge f(y)$.
$f$ est strictement décroissante sur $E$ si $\forall x, y \in E, \ x < y \implies f(x) > f(y)$.
$f$ est (strictement) monotone sur $E$ si elle est (strictement) croissante ou (strictement) décroissante sur $E$.

Exemple

$f : x \mapsto x^2$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$ et strictement décroissante sur $\mathbb{R}_-$, mais pas monotone sur $\mathbb{R}$. Pour démontrer ce dernier point, on contredit à la fois « croissante » et « décroissante ». $f$ n'est pas croissante sur $\mathbb{R}$ : $-1 < 0$ mais $f(-1) = 1 > 0 = f(0)$. $f$ n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}$ : $0 < 1$ mais $f(0) = 0 < 1 = f(1)$. Donc $f$ n'est monotone dans aucun des deux sens. Le comportement par morceaux --- monotone de chaque côté de $0$ mais pas globalement --- est typique des fonctions paires.

Exemple

La fonction $f : x \mapsto 1/x$ est strictement décroissante sur $]0 \,;\, +\infty[$ et sur $]-\infty \,;\, 0[$ séparément, mais pas monotone sur la réunion $\mathbb{R}^* = ]-\infty \,;\, 0[ \,\cup\, ]0 \,;\, +\infty[$. $f$ n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}^*$ : $-1 < 1$ mais $f(-1) = -1 < f(1) = 1$. $f$ n'est pas croissante sur $\mathbb{R}^*$ non plus : $1 < 2$ mais $f(1) = 1 > 1/2 = f(2)$. La monotonie sur une réunion d'intervalles n'est pas la même chose que la monotonie sur chaque morceau.

Proposition — Stricte monotonie $\Rightarrow$ injectivité

Si $f : E \to \mathbb{R}$ est strictement monotone sur $E$, alors $f$ est injective sur $E$ : $\textcolor{colorprop}{\forall x, y \in E, \ x \ne y \implies f(x) \ne f(y)}$.

Preuve

Soient $x, y \in E$ avec $x \ne y$. Quitte à échanger, $x < y$. Par stricte monotonie, soit $f(x) < f(y)$ (cas strictement croissant), soit $f(x) > f(y)$ (cas strictement décroissant). Dans les deux cas, $f(x) \ne f(y)$.

Proposition — Opérations sur les fonctions monotones

Soient $E \subset \mathbb{R}$ et $f, g : E \to \mathbb{R}$.

Somme. Si $f$ et $g$ sont croissantes sur $E$, alors $\textcolor{colorprop}{f+g}$ est croissante sur $E$. De même pour « décroissantes ».
Produit (cas positif). Si $f$ et $g$ sont positives ou nulles et toutes deux croissantes sur $E$, alors $\textcolor{colorprop}{fg}$ est croissante sur $E$. Sans l'hypothèse de positivité, le résultat est faux: $f(x) = g(x) = x$ sont toutes deux croissantes sur $\mathbb{R}$, mais $fg(x) = x^2$ ne l'est pas.
Composition (règle des signes). Pour $f : E \to F$ et $g : F \to \mathbb{R}$ toutes deux monotones : $\textcolor{colorprop}{g \circ f}$ est croissante si $f$ et $g$ ont le même sens de variation, décroissante si elles ont des sens de variation opposés.

Preuve

Somme. Soient $x, y \in E$ avec $x \le y$. Par croissance, $f(x) \le f(y)$ et $g(x) \le g(y)$ ; en additionnant, $(f+g)(x) \le (f+g)(y)$.
Produit (cas positif). Soient $x, y \in E$ avec $x \le y$. Par croissance, $0 \le f(x) \le f(y)$ et $0 \le g(x) \le g(y)$. En multipliant ces deux inégalités entre réels positifs : $f(x) g(x) \le f(y) g(y)$.
Composition. Supposons les deux croissantes. Soient $x \le y$ dans $E$. Par croissance de $f$, $f(x) \le f(y)$. Puis par croissance de $g$, $g(f(x)) \le g(f(y))$. Les trois autres combinaisons de signes se traitent de manière analogue.

Définition — Fonction bornée$\virgule$ maximum$\virgule$ minimum

Soit $f : E \to \mathbb{R}$.

$f$ est majorée si $\exists M \in \mathbb{R}, \forall x \in E, f(x) \le M$. Un tel $M$ est un majorant de $f$.
$f$ est minorée si $\exists m \in \mathbb{R}, \forall x \in E, f(x) \ge m$.
$f$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée ; de manière équivalente, $\exists K \ge 0, \forall x \in E, |f(x)| \le K$.
$f$ admet un maximum en $a \in E$ si $\forall x \in E, f(x) \le f(a)$. La valeur $f(a)$ est alors $\max_E f$.
$f$ admet un minimum en $a \in E$ si $\forall x \in E, f(x) \ge f(a)$. La valeur $f(a)$ est alors $\min_E f$.
En posant $f(E) = \{f(x) \mid x \in E\}$ : $\textcolor{colordef}{\sup_E f = \sup f(E)}$, $\textcolor{colordef}{\inf_E f = \inf f(E)}$ lorsque ces bornes existent (c'est-à-dire lorsque $f$ est majorée / minorée).

Exemple

$\cos$ sur $\mathbb{R}$ est bornée avec $\max_\mathbb{R} \cos = 1$ (atteint en $x = 0$ et en chaque $2k\pi$) et $\min_\mathbb{R} \cos = -1$ (atteint en $x = \pi$ et en chaque $\pi + 2k\pi$). Les deux bornes sont atteintes --- situation typique d'une fonction continue bornée sur un domaine périodique.

Exemple

La fonction $f : x \mapsto \dfrac{1}{1+x^2}$ sur $\mathbb{R}$ est bornée avec $\sup_\mathbb{R} f = 1$ atteint en $x = 0$ (donc $\max_\mathbb{R} f = 1$) et $\inf_\mathbb{R} f = 0$ non atteint (aucun $x \in \mathbb{R}$ ne vérifie $f(x) = 0$). La fonction $g : x \mapsto 1/x$ sur $]0 \,;\, +\infty[$ est minorée par $0$ (en fait $\inf g = 0$, non atteint) mais non majorée (elle diverge quand $x \to 0^+$).

Compétences à pratiquer

Démontrer la monotonie
Démontrer qu'une fonction est bornée

VI Règles de dérivation

La dérivée est la limite de la pente des sécantes. Le lycée en a établi les règles ; on les redonne avec des hypothèses explicites, on ajoute la règle pour la fonction réciproque, et on observe que la dérivabilité entraîne la continuité. Les grands théorèmes (Rolle, accroissements finis) et les preuves formelles de toutes ces règles sont reportés au chapitre Dérivabilité.

Définition — Dérivabilité$\virgule$ fonction dérivée$\virgule$ tangente

Soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f : I \to \mathbb{R}$ une fonction.

Pour $a \in I$, $f$ est dérivable en $a$ si la limite $$ \textcolor{colordef}{f'(a) = \lim_{x \to a, \, x \ne a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}} $$ existe et est finie. Le réel $f'(a)$ est le nombre dérivé de $f$ en $a$. Convention aux bornes. Si $a$ est une extrémité de $I$, la limite est entendue relativement à $I$ (dérivée à droite si $a$ est l'extrémité inférieure, dérivée à gauche si $a$ est l'extrémité supérieure).
$f$ est dérivable sur $I$ si $f$ est dérivable en tout $a \in I$. L'application $f' : I \to \mathbb{R}$, $a \mapsto f'(a)$, est la fonction dérivée de $f$.
Lorsque $f$ est dérivable en $a$, la tangente à $\Gamma_f$ au point $(a, f(a))$ est la droite d'équation $\textcolor{colordef}{y = f(a) + f'(a)(x - a)}$.

Exemple

La pente de la sécante reliant $(a, f(a))$ et $(x, f(x))$ est le taux d'accroissement $\dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}$. Quand $x \to a$, la sécante tend vers la tangente, de pente $f'(a)$.

Proposition — Dérivabilité $\Rightarrow$ continuité

Soient $I$ un intervalle et $f : I \to \mathbb{R}$. Si $f$ est dérivable en $a \in I$, alors $f$ est continue en $a$.

Preuve

Pour $x \in I$ avec $x \ne a$, $$ f(x) - f(a) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \cdot (x - a). $$ Quand $x \to a$, le premier facteur tend vers $f'(a)$ (un réel fini par hypothèse) et le second facteur tend vers $0$. Donc $f(x) - f(a) \to 0$, c'est-à-dire $f(x) \to f(a)$ : $f$ est continue en $a$.

Theorem — Opérations sur les fonctions dérivables

Soient $I$ un intervalle, $f, g : I \to \mathbb{R}$ dérivables sur $I$, et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$.

Linéarité. $\lambda f + \mu g$ est dérivable sur $I$ et $\textcolor{colorprop}{(\lambda f + \mu g)' = \lambda f' + \mu g'}$.
Produit. $fg$ est dérivable sur $I$ et $\textcolor{colorprop}{(fg)' = f'g + fg'}$.
Quotient. Si $g$ ne s'annule pas sur $I$, $f/g$ est dérivable sur $I$ et $\textcolor{colorprop}{\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f' g - f g'}{g^2}}$.
Composition. Soient $J$ un intervalle, $f : I \to J$ dérivable sur $I$, et $h : J \to \mathbb{R}$ dérivable sur $J$. Alors $h \circ f$ est dérivable sur $I$ et $\textcolor{colorprop}{(h \circ f)' = (h' \circ f) \cdot f'}$.

(Énoncés ; preuves rigoureuses au chapitre Dérivabilité.)

Exemple

Esquisser la démonstration de la règle du produit $(fg)' = f'g + fg'$ à partir du taux d'accroissement.

Correction

Pour $a \in I$ et $x \ne a$ dans $I$, on écrit le taux d'accroissement de $fg$ via l'identité algébrique $(fg)(x) - (fg)(a) = f(x) g(x) - f(a) g(a) = f(x)\bigl(g(x) - g(a)\bigr) + g(a)\bigl(f(x) - f(a)\bigr)$. En divisant par $x - a$, $$ \frac{(fg)(x) - (fg)(a)}{x - a} = f(x) \cdot \frac{g(x) - g(a)}{x - a} + g(a) \cdot \frac{f(x) - f(a)}{x - a}. $$ Quand $x \to a$ : $f(x) \to f(a)$ (par la Proposition « Dérivabilité $\Rightarrow$ continuité » ci-dessus, car $f$ est dérivable en $a$, donc continue en $a$) ; $\dfrac{g(x) - g(a)}{x - a} \to g'(a)$ ; $\dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} \to f'(a)$. Le membre de droite tend vers $f(a) g'(a) + g(a) f'(a)$. Donc $(fg)'(a) = f'(a) g(a) + f(a) g'(a)$.

Proposition — Dérivée d'une fonction réciproque

Soient $I$ un intervalle, $f : I \to f(I)$ continue, strictement monotone et dérivable en $a \in I$ avec $f'(a) \ne 0$. Alors $f^{-1}$ est dérivable en $b = f(a)$ et $$ \textcolor{colorprop}{(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(b))}}. $$ (Admis ; la continuité de $f^{-1}$ sur l'intervalle $f(I)$ s'appuie sur le TVI strictement monotone, démontré au chapitre Limites et continuité, et la preuve complète figure au chapitre Dérivabilité.)

Exemple

Calculer $f'$ pour $f : x \mapsto x \sin x$ sur $\mathbb{R}$.

Correction

$f$ est le produit de $u(x) = x$ (avec $u'(x) = 1$) et $v(x) = \sin x$ (avec $v'(x) = \cos x$). Par la règle du produit, $$ f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x. $$

Exemple

Calculer $f'$ pour $f : x \mapsto \sqrt{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$.

Correction

On pose $u(x) = x^2 + 1 > 0$ sur $\mathbb{R}$ et $h(t) = \sqrt{t}$ sur $\mathbb{R}_+^*$. Alors $f = h \circ u$ avec $u'(x) = 2x$ et $h'(t) = 1/(2\sqrt{t})$. Par la règle de composition, $$ f'(x) = h'(u(x)) \cdot u'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}. $$

Exemple

Calculer $f'$ pour $f : x \mapsto \dfrac{x+1}{x^2+3}$ sur $\mathbb{R}$, puis factoriser.

Correction

$f$ est un quotient de fonctions dérivables, avec $g(x) = x^2 + 3 \ge 3 > 0$ sur $\mathbb{R}$. Le numérateur $u(x) = x+1$ et $u'(x) = 1$ ; le dénominateur $g'(x) = 2x$. Par la règle du quotient, $$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{u'(x) g(x) - u(x) g'(x)}{g(x)^2} && \text{(règle du quotient)} \\ &= \frac{1 \cdot (x^2 + 3) - (x+1) \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2} && \text{(substitution)} \\ &= \frac{x^2 + 3 - 2x^2 - 2x}{(x^2 + 3)^2} && \text{(développement)} \\ &= \frac{-x^2 - 2x + 3}{(x^2 + 3)^2} && \text{(simplification)} \\ &= \frac{-(x+3)(x-1)}{(x^2 + 3)^2} && \text{(factorisation de $-x^2 - 2x + 3 = -(x-1)(x+3)$).} \end{aligned} $$

Méthode — Dériver un quotient : factoriser $f'$ pour lire son signe

Doctrine. La règle du quotient donne $f' = (u'g - ug')/g^2$. Le dénominateur $g^2$ est toujours positif ou nul, donc le signe de $f'$ est celui du numérateur $u'g - ug'$. Toujours factoriser ce numérateur avant de lire le signe : une forme factorisée donne le signe d'un coup d'œil, une forme développée non. Recette.

Appliquer la règle du quotient.
Développer le numérateur juste assez pour regrouper les termes semblables.
Factoriser le numérateur (chercher un facteur commun, un discriminant, ou une identité remarquable).
Lire le signe de $f'$ à partir du signe du numérateur factorisé.

Compétences à pratiquer

Calculer une dérivée
Utiliser la formule de la dérivée d'une réciproque

VII Signe de la dérivée et tableaux de variations

Le lien entre le signe de $f'$ et la monotonie de $f$ est le moteur pratique de l'analyse à une variable. On l'énonce ici (la preuve, qui utilise le théorème des accroissements finis, est admise) et on s'en sert pour dresser des tableaux de variations. La restriction cruciale est que le résultat vaut sur un intervalle ; sur une réunion d'intervalles, il faut appliquer le théorème sur chaque morceau séparément.

Theorem — Signe de la dérivée $\Leftrightarrow$ monotonie sur un intervalle

Soient $I$ un intervalle et $f : I \to \mathbb{R}$ dérivable sur $I$.

$f$ est \textcolor{colorprop}{constante sur $I$} $\iff$ $f' = 0$ sur $I$.
$f$ est \textcolor{colorprop}{croissante sur $I$} $\iff$ $f' \ge 0$ sur $I$.
$f$ est \textcolor{colorprop}{décroissante sur $I$} $\iff$ $f' \le 0$ sur $I$.

Corollaire de stricte monotonie. Si $f' \ge 0$ sur $I$ et si $f'$ n'est identiquement nulle sur aucun sous-intervalle non trivial (en particulier si $f' > 0$ sauf en un nombre fini de points de $I$), alors $f$ est \textcolor{colorprop}{strictement croissante sur $I$}.
(Admis ; la preuve repose sur le théorème des accroissements finis, traité au chapitre Dérivabilité.)

Attention -- le domaine doit être un intervalle

Le théorème précédent ne s'applique que sur un intervalle. Contre-exemple : la fonction $f : x \mapsto 1/x$ sur $\mathbb{R}^* = ]-\infty \,;\, 0[ \,\cup\, ]0 \,;\, +\infty[$ a pour dérivée $f'(x) = -1/x^2 < 0$ partout, et pourtant $f$ n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}^*$ : $f(-1) = -1 < f(1) = 1$ contredit la définition de la décroissance. Le théorème s'applique sur chacun des intervalles $]-\infty \,;\, 0[$ et $]0 \,;\, +\infty[$ séparément, sur lesquels $f$ est effectivement strictement décroissante. Règle pratique : lorsque le domaine n'est pas un intervalle, le scinder en intervalles avant d'appliquer le théorème du signe de la dérivée.

Exemple

Dresser le tableau de variations de $f : x \mapsto \dfrac{x+1}{x^2 + 3}$ sur $\mathbb{R}$.

Correction

Le domaine $\mathbb{R}$ est un intervalle. La dérivée a été calculée dans l'exemple précédent : $f'(x) = \dfrac{-x^2 - 2x + 3}{(x^2 + 3)^2} = \dfrac{-(x+3)(x-1)}{(x^2 + 3)^2}$. Comme $(x^2 + 3)^2 > 0$, le signe de $f'$ est celui de $-(x+3)(x-1)$. Racines en $x = -3$ et $x = 1$ ; signes : $$ \begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -3 & & 1 & & +\infty \\ \hline -(x+3)(x-1) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & 0 & \searrow & -\frac{1}{6} & \nearrow & \frac{1}{2} & \searrow & 0 \end{array} $$ On calcule $f(-3) = (-3+1)/((-3)^2 + 3) = -2/12 = -1/6$ et $f(1) = 2/4 = 1/2$. Les limites en $\pm\infty$ valent $0$ car le degré du dénominateur dépasse celui du numérateur. Donc $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty \,;\, -3]$, strictement croissante sur $[-3 \,;\, 1]$, strictement décroissante sur $[1 \,;\, +\infty[$, avec minimum global $-1/6$ atteint en $x = -3$ et maximum global $1/2$ atteint en $x = 1$.

Exemple

En déduire que $\dfrac{x+1}{x^2 + 3} \in \left[-\dfrac{1}{6} \,;\, \dfrac{1}{2}\right]$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Correction

D'après le tableau de variations, $f$ atteint $\min_\mathbb{R} f = -1/6$ en $x = -3$ et $\max_\mathbb{R} f = 1/2$ en $x = 1$. Donc pour tout $x \in \mathbb{R}$, $-1/6 \le f(x) \le 1/2$, soit $f(x) \in [-1/6 \,;\, 1/2]$.

Méthode — Dresser un tableau de variations

Algorithme.

Déterminer le domaine $D_f$. Si $D_f$ n'est pas un intervalle, le scinder en intervalles avant de continuer.
Réduire le domaine d'étude par parité / périodicité si applicable.
Calculer $f'$ à l'intérieur de chaque intervalle.
Factoriser $f'$ pour que son signe se lise d'un coup d'œil (cf. méthode précédente).
Dresser le tableau de signes de $f'$ sur chaque intervalle.
En déduire la monotonie de $f$ sur chaque intervalle (théorème ci-dessus).
Calculer les limites de $f$ aux bornes de chaque intervalle.
Composer le tableau de synthèse : ligne pour $x$, ligne pour le signe de $f'$, ligne pour les variations de $f$ (flèches).

Compétences à pratiquer

Dresser un tableau de variations
Démontrer une inégalité par étude de fonction

VIII Dérivées d'ordre supérieur$\virgule$ classe $C^k$

Une fois dérivable, une fonction peut admettre une dérivée elle-même dérivable, et ainsi de suite. Le vocabulaire itératif --- $f^{(k)}$ pour la dérivée $k$-ième, classes $C^k$ et $C^\infty$ --- structure la hiérarchie de la régularité. On travaille sur un intervalle $I$ tout au long. La définition itérative repose sur le fait que la dérivée précédente est elle-même dérivable ; la classe $C^k$ ajoute la continuité de $f^{(k)}$.

Définition — Dérivées successives

Soient $I$ un intervalle et $f : I \to \mathbb{R}$. On définit les dérivées successives de $f$ par récurrence : $$ \textcolor{colordef}{f^{(0)} = f, \qquad f^{(k+1)} = (f^{(k)})' \text{ si } f^{(k)} \text{ est dérivable sur } I.} $$ $f$ est $k$ fois dérivable sur $I$ si $f^{(k)}$ est bien définie sur $I$. On note $f^{(1)} = f'$, $f^{(2)} = f''$, $f^{(3)} = f'''$ pour les trois premiers ordres.

Définition — Classe $C^k$ et classe $C^\infty$

Soient $I$ un intervalle et $k \in \mathbb{N}$.

$f$ est de classe $C^k$ sur $I$, ce que l'on note $\textcolor{colordef}{f \in C^k(I, \mathbb{R})}$, si $f$ est $k$ fois dérivable sur $I$ et si $f^{(k)}$ est continue sur $I$. (Ici $C^0(I, \mathbb{R})$ désigne l'ensemble des fonctions continues sur $I$ ; la théorie complète de la continuité est développée au chapitre Limites et continuité.)
$f$ est de classe $C^\infty$ sur $I$, noté $\textcolor{colordef}{f \in C^\infty(I, \mathbb{R})}$, si $f \in C^k(I, \mathbb{R})$ pour tout $k \in \mathbb{N}$.

On a la chaîne d'inclusions $$ \textcolor{colordef}{C^\infty(I, \mathbb{R}) \subset \dots \subset C^2(I, \mathbb{R}) \subset C^1(I, \mathbb{R}) \subset C^0(I, \mathbb{R}) \subset \mathcal{F}(I, \mathbb{R}).} $$

Exemple

Pour $n \in \mathbb{N}$, la fonction $f : x \mapsto x^n$ est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$, avec pour dérivées successives : $$ f^{(k)}(x) = \begin{cases} \dfrac{n!}{(n-k)!} x^{n-k} & \text{si } k \le n, \\ 0 & \text{si } k > n. \end{cases} $$ En particulier, après $n+1$ dérivations successives, tout polynôme de degré $\le n$ devient la fonction nulle.

Exemple

Calculer les dérivées successives de $f : x \mapsto \dfrac{1}{x-1}$ sur $I = ]1 \,;\, +\infty[$.

Correction

On écrit $f(x) = (x-1)^{-1}$. Alors $f'(x) = -(x-1)^{-2}$, $f''(x) = 2(x-1)^{-3}$, et par récurrence : $$ f^{(k)}(x) = (-1)^k k! \cdot (x-1)^{-(k+1)} = \frac{(-1)^k \, k!}{(x-1)^{k+1}}, \qquad k \in \mathbb{N}. $$ $f$ est de classe $C^\infty$ sur $I$ car chaque $f^{(k)}$ est continue sur $I$ (le dénominateur ne s'y annule pas).

Proposition — Les opérations préservent la classe $C^k$

Soient $I$ un intervalle, $k \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$, et $f, g \in C^k(I, \mathbb{R})$. Alors :

$\textcolor{colorprop}{\lambda f + \mu g \in C^k(I, \mathbb{R})}$ pour tous $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ (linéarité) ;
$\textcolor{colorprop}{fg \in C^k(I, \mathbb{R})}$ (produit) ;
si $g$ ne s'annule pas sur $I$, $\textcolor{colorprop}{f/g \in C^k(I, \mathbb{R})}$ (quotient) ;
si $J$ est un intervalle, $f : I \to J$ dans $C^k(I, \mathbb{R})$, $h \in C^k(J, \mathbb{R})$, alors $\textcolor{colorprop}{h \circ f \in C^k(I, \mathbb{R})}$ (composition).

(Admis ; preuves au chapitre Dérivabilité.)

Exemple

Montrer que l'inclusion $C^1(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \subset C^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ est stricte en exhibant une fonction de $C^0$ mais pas de $C^1$.

Correction

La fonction $f : x \mapsto |x|$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc $f \in C^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Elle est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ avec $f'(x) = 1$ si $x > 0$ et $f'(x) = -1$ si $x < 0$. En $x = 0$, le taux d'accroissement $\dfrac{|h| - 0}{h - 0} = \dfrac{|h|}{h}$ vaut $+1$ pour $h > 0$ et $-1$ pour $h < 0$, donc la limite n'existe pas : $f$ n'est pas dérivable en $0$. Donc $f \notin C^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. La même construction se généralise : la famille $f_k : x \mapsto x^k |x|$ est de classe $C^k$ sur $\mathbb{R}$ mais pas $C^{k+1}$, ce qui témoigne de la stricte inclusion $C^{k+1} \subsetneq C^k$ pour tout $k \ge 0$. Pour $k = 1$ : $g(x) = x|x|$ vaut $x^2$ pour $x \ge 0$ et $-x^2$ pour $x < 0$, donc $g'(x) = 2x$ pour $x > 0$ et $g'(x) = -2x$ pour $x < 0$ ; le taux d'accroissement en $0$ donne $g'(0) = 0$, d'où $g'(x) = 2|x|$ sur $\mathbb{R}$, qui est continue (donc $g \in C^1$) mais non dérivable en $0$ (donc $g \notin C^2$). Le motif se poursuit pour les $k$ supérieurs.

Fonction réciproque et classe $C^k$ -- annonce

Si $f \in C^k(I, \mathbb{R})$ est strictement monotone avec $f' \ne 0$ sur $I$, alors $f^{-1} \in C^k(f(I), \mathbb{R})$ (admis ; preuve complète au chapitre Dérivabilité). Ce résultat sera utilisé systématiquement au chapitre suivant pour établir la régularité de $\arccos$, $\arcsin$, $\arctan$ et $\ln$ comme réciproques de restrictions convenables de $\cos$ (à $[0 \,;\, \pi]$), $\sin$ (à $[-\pi/2 \,;\, \pi/2]$), $\tan$ (à $]-\pi/2 \,;\, \pi/2[$) et $\exp$ (déjà bijective $\mathbb{R} \to \mathbb{R}_+^*$). Attention au double rôle des bornes : la bijectivité (donc la continuité de la réciproque) exige l'intervalle fermé, mais l'hypothèse $f' \ne 0$ n'est vraie que sur son intérieur ouvert --- $\cos' = -\sin$ et $\sin' = \cos$ s'annulent en $0$, $\pi$, $\pm\pi/2$. Ainsi $\arccos$ et $\arcsin$ sont continues sur $[-1 \,;\, 1]$ mais dérivables (et même $C^\infty$) seulement sur $]-1 \,;\, 1[$, avec des tangentes verticales en $\pm 1$.

Compétences à pratiquer

Calculer des dérivées successives