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Primitives --- techniques élémentaires

⌚ ~67 min ▢ 8 blocs ✓ 31 exercices ➣ Prérequis : Intégration sur un segment, Dérivabilité

Ce chapitre est la passe pratique de l'intégration dans ce cours. Étant donnée une fonction $f$, on apprend à trouver une fonction $F$ telle que $F' = f$ --- une primitive de $f$. On travaille entièrement au niveau des primitives ; la théorie rigoureuse de l'intégrale $\int_a^b f(x) \, dx$ comme un nombre réel (ou complexe), le théorème fondamental du calcul intégral, et les démonstrations des versions bornées de l'intégration par parties et du changement de variable font l'objet du chapitre Intégration sur un segment, en semestre 2. Ici, $\int f(x) \, dx$ est une notation pour « une primitive quelconque de $f$ » : une fonction, définie à une constante additive près. On utilise librement les règles de dérivation acquises au lycée et la table des dérivées du chapitre Fonctions usuelles ; leurs justifications formelles sont consolidées au chapitre Dérivabilité.
Le chapitre a trois parties. La première définit la primitive, présente la table des dérivées lue à l'envers, et enseigne la reconnaissance du motif « $u' g(u)$ » (la règle de chaîne lue à rebours). La deuxième partie introduit les deux techniques universelles --- l'intégration par parties (IPP) et le changement de variable (COV) --- énoncées pour des primitives, avec des démonstrations d'une ligne à partir de la règle du produit et de la règle de chaîne. La troisième partie présente trois recettes en forme explicite : primitives de $e^{ax} \cos(bx)$ via l'exponentielle complexe, primitives de $1/(ax^2 + bx + c)$ lorsque le discriminant est négatif, et décomposition en éléments simples dans les cas simples.
Trois réflexes que le lecteur doit emporter : (i) vérifier toute primitive par dérivation --- un contrôle d'une ligne qui rattrape la plupart des erreurs ; (ii) IPP et COV sont des recettes, pas des théorèmes avec $\int_a^b$ --- elles disent « si $H$ primitive de $uv'$, alors $uv - H$ primitive de $u'v$ » et « $F$ primitive de $f$ implique $F \circ \varphi$ primitive de $(f \circ \varphi) \varphi'$ » ; les versions bornées vivent dans le chapitre Intégration sur un segment ; (iii) toute primitive vit sur un intervalle : « trouver une primitive de $1/x$ » signifie « sur $\mathbb R_+^*$ » ou « sur $\mathbb R_-^*$ », pas sur $\mathbb R^*$, car l'unicité à constante additive près n'a lieu que sur un intervalle.

I Primitives --- définitions$\virgule$ table$\virgule$ identification

I.1 Définition d'une primitive

Une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ avec $F' = f$. Il n'y a jamais la primitive --- seulement une primitive : l'opération $F \mapsto F'$ tue les constantes, donc les primitives viennent en familles différant par une constante additive. C'est l'« unicité à constante additive près » qui impose le choix d'un intervalle $I$ comme domaine naturel.

Définition — Primitive d'une fonction

Soient $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $f : I \to \mathbb{K}$ une fonction, où $\mathbb{K} = \mathbb R$ ou $\mathbb C$. On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F : I \to \mathbb{K}$ telle que $F$ soit dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$. On écrit parfois $F(x) = \int f(x) \, dx$ ou $F = \int f$.

Notation $\int f \mathrm{d}x$ vs intégrale définie

Dans tout ce chapitre, $\int f(x) \, dx$ désigne une primitive de $f$ --- une fonction, définie à une constante additive près. La définition rigoureuse de l'intégrale $\int_a^b f(x) \, dx$ comme un nombre (« l'aire sous la courbe », définie par sommes de Riemann) fait l'objet du chapitre Intégration sur un segment (semestre 2). Ici, $\int f \, dx$ n'est qu'une notation.

Proposition — Unicité à constante additive près

Soit $f : I \to \mathbb{K}$ admettant une primitive $F$ sur l'intervalle $I$. Alors les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions de la forme $F + c$ pour $c \in \mathbb{K}$. En particulier, deux primitives de $f$ sur $I$ diffèrent d'une constante.

Preuve

Soit $G : I \to \mathbb{K}$ une primitive de $f$ sur $I$. Alors $(G - F)'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0$ pour tout $x \in I$. On utilise le fait standard suivant : une fonction réelle dont la dérivée est nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle. Ce fait sera démontré rigoureusement au chapitre Dérivabilité (chapitre 16) comme conséquence du théorème des accroissements finis ; à ce stade on l'admet (acquis du lycée). Pour $\mathbb{K} = \mathbb C$, on applique le résultat réel aux parties réelle et imaginaire de $G - F$ pour conclure que $G - F$ est constante. Donc $G - F$ est une fonction constante sur $I$, soit $G(x) - F(x) = c$ pour tout $x \in I$, c'est-à-dire $G = F + c$. Réciproquement, pour tout $c \in \mathbb{K}$, la fonction $F + c$ a pour dérivée $F' = f$, c'est donc une primitive de $f$.

Proposition — Linéarité des primitives

Soient $F$ une primitive de $f$ et $G$ une primitive de $g$ sur un intervalle $I$. Pour tous $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$, la fonction $\lambda F + \mu G$ est une primitive de $\lambda f + \mu g$ sur $I$.

Preuve

Par la linéarité de la dérivation, $(\lambda F + \mu G)'(x) = \lambda F'(x) + \mu G'(x) = \lambda f(x) + \mu g(x)$ pour tout $x \in I$.

Méthode — Vérifier que $F$ est une primitive de $f$

Chaque fois que l'on affirme « $F$ est une primitive de $f$ », dériver $F$ et vérifier que $F' = f$ sur l'intervalle annoncé. Ce contrôle d'une ligne rattrape la plupart des erreurs dans les calculs de primitive et est attendu dans toute rédaction.

Exemple — Une primitive polynomiale

La fonction $F : x \mapsto \dfrac{x^3}{3} + x^2 - 5 x + 7$ est une primitive de $f : x \mapsto x^2 + 2 x - 5$ sur $\mathbb R$. Vérification : $F'(x) = x^2 + 2 x - 5 = f(x)$. Toute autre primitive de $f$ sur $\mathbb R$ est de la forme $F + c$ pour un réel $c$.

Exemple — Un cas non élémentaire

La fonction $x \mapsto e^{-x^2}$ admet des primitives sur $\mathbb R$ (toute fonction continue en admet ; cela sera rendu rigoureux au chapitre Intégration sur un segment), mais aucune primitive de $e^{-x^2}$ ne s'exprime à l'aide des fonctions usuelles élémentaires $\exp$, $\log$, $\sin$, $\arctan$, etc. Ce fait est admis ici et sort du programme. On peut tout de même parler de $\int e^{-x^2} \, dx$ comme primitive formelle ; on ne peut simplement pas la ramener à une fonction connue.

Compétences à pratiquer

Vérifier une primitive et la retrouver à partir de $F'$

I.2 Primitives usuelles --- la table

Chaque entrée de la table des dérivées du chapitre Fonctions usuelles, lue à l'envers, donne une primitive. On rassemble ci-dessous les entrées les plus utilisées ; la table doit être sue par cœur.

Proposition — Table des primitives usuelles

Chaque ligne ci-dessous donne une primitive sur l'intervalle indiqué (où $a$ est un paramètre réel et $c \in \mathbb{K}$ une constante arbitraire ; $\mathbb{K} = \mathbb R$ ou $\mathbb C$) :

$f(x) = e^x$ sur $\mathbb R$ : primitive $F(x) = e^x + c$.
$f(x) = \ln x$ sur $\mathbb R_+^*$ : primitive $F(x) = x \ln x - x + c$.
$f(x) = 1/x$ sur tout intervalle inclus dans $\mathbb R^*$ : primitive $F(x) = \ln |x| + c$.
$f(x) = x^a$ pour $a \in \mathbb R \setminus \{-1\}$, sur $\mathbb R_+^*$ : primitive $F(x) = \dfrac{x^{a+1}}{a + 1} + c$.
$f(x) = \cos x$ sur $\mathbb R$ : primitive $F(x) = \sin x + c$.
$f(x) = \sin x$ sur $\mathbb R$ : primitive $F(x) = -\cos x + c$.
$f(x) = \tan x$ sur tout intervalle ne rencontrant pas $\pi/2 + \pi \mathbb Z$ : primitive $F(x) = -\ln |\cos x| + c$.
$f(x) = \cosh x$ sur $\mathbb R$ : primitive $F(x) = \sinh x + c$.
$f(x) = \sinh x$ sur $\mathbb R$ : primitive $F(x) = \cosh x + c$.
$f(x) = \tanh x$ sur $\mathbb R$ : primitive $F(x) = \ln(\cosh x) + c$.
$f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$ sur $\mathbb R$ : primitive $F(x) = \arctan x + c$.
$f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ sur $]-1, 1[$ : primitive $F(x) = \arcsin x + c$.

Preuve

Chaque ligne se vérifie en dérivant la primitive proposée et en retrouvant $f$. On illustre sur trois cas :

$\bigl(\ln |x|\bigr)' = 1/x$ sur $\mathbb R^*$, par la règle de chaîne appliquée à $\ln |x| = \ln x$ (pour $x > 0$) ou $\ln(-x)$ (pour $x < 0$).
$\bigl(x \ln x - x\bigr)' = \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} - 1 = \ln x$ sur $\mathbb R_+^*$, par la règle du produit.
$\bigl(\arctan x\bigr)' = \dfrac{1}{1 + x^2}$ sur $\mathbb R$, par la dérivée de $\arctan$ du chapitre Fonctions usuelles.

Les autres lignes suivent identiquement de la table des dérivées de ce chapitre.

Méthode — Lire la table des dérivées à l'envers

Pour trouver une primitive de $f$, commencer par scanner la table des dérivées usuelles du chapitre Fonctions usuelles : $f$ figure-t-elle déjà dans la « colonne de droite » d'une dérivée standard ? Si oui, la primitive est la « colonne de gauche ». C'est la route la plus rapide chaque fois qu'elle marche.

Exemple — Lecture directe de la table

Une primitive de $f(x) = 3 x^2 - 2 \cos x + \dfrac{1}{x}$ sur $\mathbb R_+^*$ est $$ F(x) \ = \ x^3 - 2 \sin x + \ln x + c, \qquad c \in \mathbb R. $$ Vérification : $F'(x) = 3 x^2 - 2 \cos x + 1/x = f(x)$ sur $\mathbb R_+^*$.

Exemple — Combiner plusieurs entrées

Une primitive de $f(x) = x^{-3} + e^x + \dfrac{1}{1 + x^2}$ sur $\mathbb R_+^*$ est $$ F(x) \ = \ -\dfrac{1}{2 x^2} + e^x + \arctan x + c. $$ (Pour le terme $x^{-3}$, utiliser la ligne $x^a \mapsto x^{a+1}/(a+1)$ avec $a = -3$, ce qui donne $x^{-2}/(-2) = -1/(2 x^2)$.)

Compétences à pratiquer

Lire la table des primitives

I.3 Identification --- reconnaître $u' \ g(u)$

La règle de chaîne s'écrit $(g \circ u)' = u' \cdot (g' \circ u)$. Lue à l'envers : si $G$ est une primitive de $g$, alors $G \circ u$ est une primitive de $u' \cdot (g \circ u)$. Ce réflexe de reconnaissance --- repérer la composition $u'(x) \cdot g(u(x))$ dans l'intégrande, puis écrire $G(u(x))$ pour la primitive --- est le pilier du calcul de primitives.

Proposition — Identification --- motif $u' \ g(u)$

Soient $I, J$ des intervalles de $\mathbb R$, $u : I \to J$ dérivable sur $I$, et $G : J \to \mathbb{K}$ une primitive d'une fonction $g : J \to \mathbb{K}$ sur $J$. Alors $G \circ u$ est une primitive de $u' \cdot (g \circ u)$ sur $I$. Les instances les plus utiles de ce motif sont :

$u' \, e^u$ admet $e^u$ pour primitive.
$\dfrac{u'}{u}$ admet $\ln |u|$ pour primitive (sur tout intervalle où $u \ne 0$).
$u' \, u^a$ pour $a \ne -1$ admet $\dfrac{u^{a+1}}{a+1}$ pour primitive (sur tout intervalle où $u^a$ est défini).
$u' \cos u$ admet $\sin u$ pour primitive ; $u' \sin u$ admet $-\cos u$.
$\dfrac{u'}{1 + u^2}$ admet $\arctan u$ pour primitive.
$\dfrac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$ admet $\arcsin u$ pour primitive (sur tout intervalle où $|u| < 1$).

Preuve

Par la règle de chaîne, $(G \circ u)'(x) = G'(u(x)) \cdot u'(x) = g(u(x)) \cdot u'(x) = u'(x) \, g(u(x))$. Donc $G \circ u$ est une primitive de $u' \cdot (g \circ u)$ sur $I$. Les instances listées sont obtenues en prenant $g$ respectivement égal à $\exp$, $\mathrm{inv}$, $x \mapsto x^a$, $\cos$, $\sin$, $x \mapsto 1/(1 + x^2)$, $x \mapsto 1/\sqrt{1 - x^2}$, et en lisant la primitive correspondante $G$ dans la table des primitives usuelles.

Proposition — Substitution affine

Soit $F$ une primitive de $f$ sur un intervalle $J$. Pour tous $a \in \mathbb R^*$ et $b \in \mathbb R$, la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{a} F(a x + b)$ est une primitive de $x \mapsto f(a x + b)$ sur tout intervalle $I$ tel que $\{a x + b \mid x \in I\} \subset J$.

Preuve

Par la règle de chaîne avec $u(x) = a x + b$, $u'(x) = a$ : $$ \left( \dfrac{1}{a} F(a x + b) \right)' \ = \ \dfrac{1}{a} \cdot a \cdot F'(a x + b) \ = \ F'(a x + b) \ = \ f(a x + b). $$

Méthode — Identifier le motif $u' \ g(u)$

Pour primitiver un intégrande compliqué, commencer par essayer la reconnaissance de motif :

Repérer un facteur qui pourrait être $u'$ (la dérivée d'une expression « intérieure »).
Identifier l'expression intérieure $u$ correspondante.
Vérifier que le reste de l'intégrande est $g(u)$ pour une fonction $g$ connue dans la table.
Écrire la primitive sous la forme $G(u(x))$ où $G$ est une primitive de $g$, et vérifier par dérivation.

Le cas de la substitution affine $f(a x + b)$ est l'instance la plus simple : $u(x) = a x + b$, $u' = a$ constant, donc $\int f(a x + b) \, dx = \dfrac{1}{a} F(a x + b)$ où $F$ est une primitive de $f$.

Exemple — Motif logarithmique

Sur $\mathbb R$, une primitive de $f(x) = \dfrac{x}{1 + x^2}$ se trouve en remarquant que le numérateur $x$ est (à un facteur $1/2$ près) la dérivée du dénominateur $1 + x^2$. En posant $u(x) = 1 + x^2$, $u'(x) = 2 x$, on reconnaît $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{u'}{u}$, dont la primitive est $\dfrac{1}{2} \ln |u|$ : $$ \int \dfrac{x}{1 + x^2} \, dx \ = \ \dfrac{1}{2} \ln(1 + x^2) + c. $$ (La valeur absolue saute car $1 + x^2 > 0$.) Vérification : $\bigl(\dfrac{1}{2} \ln(1 + x^2)\bigr)' = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2 x}{1 + x^2} = \dfrac{x}{1 + x^2}$. $\checkmark$

Exemple — Motif arctan

Sur $\mathbb R$, une primitive de $f(x) = \dfrac{e^x}{1 + e^{2 x}}$ se trouve en posant $u(x) = e^x$, donc $u'(x) = e^x$ et $u^2 = e^{2 x}$ ; l'intégrande est $\dfrac{u'}{1 + u^2}$, primitive $\arctan u$ : $$ \int \dfrac{e^x}{1 + e^{2 x}} \, dx \ = \ \arctan(e^x) + c. $$ Vérification : $\bigl(\arctan(e^x)\bigr)' = \dfrac{e^x}{1 + e^{2 x}}$. $\checkmark$

Exemple — Substitution affine

Sur $\mathbb R$, une primitive de $f(x) = \cos(2 x + \pi/3)$ se trouve par la règle de substitution affine avec $a = 2$, $b = \pi/3$, $F = \sin$ : $$ \int \cos(2 x + \pi/3) \, dx \ = \ \dfrac{1}{2} \sin(2 x + \pi/3) + c. $$ Vérification : $\bigl(\dfrac{1}{2} \sin(2 x + \pi/3)\bigr)' = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cos(2 x + \pi/3) = \cos(2 x + \pi/3)$. $\checkmark$

Compétences à pratiquer

Identifier les motifs $u' \ g(u)$

II Deux techniques d'intégration

II.1 Intégration par parties

La règle du produit dit $(u v)' = u' v + u v'$. Lue à l'envers, elle donne la recette de l'intégration par parties : pour primitiver $u' v$, on transfère la dérivation de $u$ vers $v$, en payant le prix $u v$ au passage. L'art consiste à choisir $u'$ et $v$ de sorte que le nouvel intégrande $u v'$ soit plus simple que l'original $u' v$.

Proposition — Intégration par parties pour les primitives --- IPP

Soient $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $u, v : I \to \mathbb{K}$ de classe $C^1$ sur $I$. Si $H : I \to \mathbb{K}$ est une primitive de $u v'$ sur $I$, alors $u v - H$ est une primitive de $u' v$ sur $I$. On écrit cela informellement $$ \int u'(x) v(x) \, dx \ = \ u(x) v(x) - \int u(x) v'(x) \, dx. $$

Preuve

Par la règle du produit et l'hypothèse $H' = u v'$, $$ \begin{aligned} (u v - H)'(x) \ &= \ (u v)'(x) - H'(x) && \text{(linéarité)} \\ &= \ u'(x) v(x) + u(x) v'(x) - u(x) v'(x) && \text{(règle du produit et $H' = u v'$)} \\ &= \ u'(x) v(x). \end{aligned} $$ Donc $u v - H$ est une primitive de $u' v$ sur $I$.

Version bornée

La version bornée $\int_a^b u'(x) v(x) \, dx = \bigl[u v\bigr]_a^b - \int_a^b u(x) v'(x) \, dx$ requiert la théorie rigoureuse de l'intégrale définie et le théorème fondamental du calcul intégral, tous deux traités au chapitre Intégration sur un segment (semestre 2). Ici on travaille uniquement avec des primitives.

Méthode — Appliquer l'IPP

Pour primitiver un produit, identifier un facteur comme $u'$ et l'autre comme $v$ :

Choisir un facteur $u'$ facile à primitiver (donnant $u$).
Choisir un facteur $v$ dont la dérivée $v'$ est plus simple que $v$ lui-même.
Écrire l'identité IPP $\int u' v = u v - \int u v'$.
Vérifier que $\int u v'$ est bien plus simple ; sinon, échanger les choix de $u'$ et $v$.

Cas classiques typiques : $\int P(x) e^{a x} \, dx$ (prendre $u' = e^{a x}$), $\int P(x) \cos(a x) \, dx$ (prendre $u' = \cos(a x)$), $\int P(x) \ln x \, dx$ (prendre $v = \ln x$), $\int \arctan x \, dx$ (astuce du « 1 invisible » : $u' = 1$, $v = \arctan x$), $\int \ln x \, dx$ (même astuce).

Exemple — Primitive de $x \ e^x$

Sur $\mathbb R$, on prend $u'(x) = e^x$ (primitive $u(x) = e^x$) et $v(x) = x$ (dérivée $v'(x) = 1$). L'IPP donne $$ \int x \, e^x \, dx \ = \ x \, e^x - \int e^x \cdot 1 \, dx \ = \ x \, e^x - e^x + c \ = \ (x - 1) e^x + c. $$ Vérification : $\bigl((x - 1) e^x\bigr)' = e^x + (x - 1) e^x = x \, e^x$. $\checkmark$

Exemple — Primitive de $\ln x$ par le « 1 invisible »

Sur $\mathbb R_+^*$, on écrit $\ln x = 1 \cdot \ln x$ et on applique l'IPP avec $u'(x) = 1$ (primitive $u(x) = x$) et $v(x) = \ln x$ (dérivée $v'(x) = 1/x$) : $$ \int \ln x \, dx \ = \ x \ln x - \int x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \ = \ x \ln x - x + c. $$ Vérification : $\bigl(x \ln x - x\bigr)' = \ln x + 1 - 1 = \ln x$. $\checkmark$ Cela retrouve la ligne du tableau pour $\ln x$ de la sous-section « table des dérivées lue à l'envers » ci-dessus.

Compétences à pratiquer

Appliquer l'intégration par parties

II.2 Changement de variable

La règle de chaîne dit $(F \circ \varphi)'(x) = (f \circ \varphi)(x) \cdot \varphi'(x)$ lorsque $F' = f$. Lue à l'envers, c'est la recette du changement de variable : lorsque l'intégrande contient à la fois une fonction et sa dérivée, on pose $u = \varphi(t)$ et l'intégrande devient $f(u) \, du$ --- que l'on sait déjà primitiver.

Proposition — Changement de variable pour les primitives --- COV

Soient $I, J$ des intervalles de $\mathbb R$, $\varphi : I \to J$ dérivable, $f : J \to \mathbb{K}$, et $F : J \to \mathbb{K}$ une primitive de $f$ sur $J$. Alors $F \circ \varphi$ est une primitive de $(f \circ \varphi) \cdot \varphi'$ sur $I$. Informellement, en posant $u = \varphi(t)$ avec $du = \varphi'(t) \, dt$ : $$ \int f(\varphi(t)) \, \varphi'(t) \, dt \ = \ \int f(u) \, du \ = \ F(u) + c \ = \ F(\varphi(t)) + c. $$

Preuve

Par la règle de chaîne appliquée à $F \circ \varphi$ sur $I$ : $$ (F \circ \varphi)'(t) \ = \ F'(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) \ = \ f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t). $$ Donc $F \circ \varphi$ est une primitive de $(f \circ \varphi) \cdot \varphi'$ sur $I$.

Version bornée

La version bornée $\int_a^b f(\varphi(t)) \, \varphi'(t) \, dt = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u) \, du$ requiert la théorie rigoureuse de l'intégrale définie et est traitée au chapitre Intégration sur un segment.

Méthode — Appliquer le COV

Pour primitiver un intégrande de la forme $f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)$ :

Poser $u = \varphi(t)$.
Écrire la différentielle $du = \varphi'(t) \, dt$.
Réécrire l'intégrande entièrement en termes de $u$ : il doit se réduire à $f(u) \, du$.
Trouver une primitive $F$ de $f$ dans la nouvelle variable.
Revenir à la variable initiale : la primitive de l'intégrande original est $F(\varphi(t))$.

Cas classiques typiques : $\int f(\sqrt x) \, dx$ via $u = \sqrt x$ ; $\int f(\sin x) \cos x \, dx$ via $u = \sin x$ ; $\int f(\ln x)/x \, dx$ via $u = \ln x$ ; $\int f(e^x) e^x \, dx$ via $u = e^x$.

Exemple — Primitive de $1/(x \ln x)$

Sur tout intervalle inclus dans $]0, 1[$ ou dans $]1, +\infty[$ (afin que $\ln x$ ne s'annule pas), on pose $u = \ln x$, $du = dx/x$. L'intégrande $\dfrac{1}{x \ln x} dx = \dfrac{du}{u}$, primitive $\ln |u| + c$. En revenant : $$ \int \dfrac{dx}{x \ln x} \ = \ \ln |\ln x| + c. $$ Vérification : $\bigl(\ln |\ln x|\bigr)' = \dfrac{1/x}{\ln x} = \dfrac{1}{x \ln x}$. $\checkmark$

Exemple — Primitive de la racine de $1 - x^2$

Sur $]-1, 1[$, on applique une substitution inverse : on pose $x = \sin \theta$ pour $\theta \in {]-\pi/2, \pi/2[}$. C'est justifié car $\arcsin : {]-1, 1[} \to {]-\pi/2, \pi/2[}$ est une bijection $C^1$ (chapitre Fonctions usuelles), donc $\theta = \arcsin x$ est un changement de variable légitime sur cet intervalle ; la formule finale est vérifiée par dérivation ci-dessous. On a $dx = \cos \theta \, d\theta$ et $\sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = |\cos \theta| = \cos \theta$ (positif sur $]-\pi/2, \pi/2[$). L'intégrande devient $$ \sqrt{1 - x^2} \, dx \ = \ \cos \theta \cdot \cos \theta \, d\theta \ = \ \cos^2 \theta \, d\theta \ = \ \dfrac{1 + \cos(2 \theta)}{2} \, d\theta $$ en utilisant les formules de linéarisation du chapitre Trigonométrie. Une primitive en $\theta$ est $\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\sin(2 \theta)}{4} = \dfrac{\theta + \sin \theta \cos \theta}{2}$. En revenant à $\theta = \arcsin x$, $\sin \theta = x$, $\cos \theta = \sqrt{1 - x^2}$ : $$ \int \sqrt{1 - x^2} \, dx \ = \ \dfrac{\arcsin x + x \sqrt{1 - x^2}}{2} + c. $$ Vérification par dérivation : avec $F(x) = \dfrac{\arcsin x + x \sqrt{1 - x^2}}{2}$, $$ F'(x) \ = \ \dfrac{1}{2}\!\left[\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \sqrt{1 - x^2} + x \cdot \dfrac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}\right] \ = \ \dfrac{1}{2}\!\left[\dfrac{1 + (1 - x^2) - x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\right] \ = \ \dfrac{2 - 2 x^2}{2 \sqrt{1 - x^2}} \ = \ \sqrt{1 - x^2}. \ \checkmark $$

Compétences à pratiquer

Appliquer le changement de variable

III Techniques en forme explicite pour les familles usuelles

III.1 Primitives de $e^{ax} \cos(bx)$ et $e^{ax} \sin(bx)$ --- la méthode complexe

La voie la plus propre pour primitiver $e^{a x} \cos(b x)$ passe par l'exponentielle complexe : $e^{a x} \cos(b x) = \mathrm{Re}\bigl(e^{(a + i b) x}\bigr)$. L'exponentielle complexe se primitive aussi facilement que la réelle --- $\int e^{c x} \, dx = e^{c x}/c$ pour $c \ne 0$ --- donc la forme explicite suit en prenant les parties réelles. Cette route évite le détour de la double IPP et utilise le calcul exponentiel complexe du chapitre Nombres complexes.

Proposition — Primitives en forme explicite de $e^{ax} \cos(bx)$ et $e^{ax} \sin(bx)$

Soient $a, b \in \mathbb R$ non tous deux nuls. Sur $\mathbb R$, une primitive de $f(x) = e^{a x} \cos(b x)$ est $$ F(x) \ = \ \dfrac{a \cos(b x) + b \sin(b x)}{a^2 + b^2} \cdot e^{a x}, $$ et une primitive de $g(x) = e^{a x} \sin(b x)$ est $$ G(x) \ = \ \dfrac{a \sin(b x) - b \cos(b x)}{a^2 + b^2} \cdot e^{a x}. $$

Preuve

On pose $c = a + i b$ ; alors $c \ne 0$ puisque $a$ et $b$ ne sont pas tous deux nuls. Par la dérivée de l'exponentielle complexe (chapitre Nombres complexes), $\dfrac{d}{dx}\bigl(e^{c x}\bigr) = c \, e^{c x}$. Donc $\dfrac{e^{c x}}{c}$ est une primitive de $e^{c x}$. On décompose en parties réelle et imaginaire en utilisant $1/c = \overline{c}/|c|^2 = (a - i b)/(a^2 + b^2)$ : $$ \begin{aligned} \dfrac{e^{c x}}{c} \ &= \ \dfrac{a - i b}{a^2 + b^2} \cdot e^{a x} (\cos(b x) + i \sin(b x)) && \text{(définition de $c$ et Euler)} \\ &= \ \dfrac{e^{a x}}{a^2 + b^2} \bigl[ (a - i b)(\cos(b x) + i \sin(b x)) \bigr] && \text{(factoriser $e^{ax}$)} \\ &= \ \dfrac{e^{a x}}{a^2 + b^2} \bigl[ (a \cos(b x) + b \sin(b x)) + i (a \sin(b x) - b \cos(b x)) \bigr] && \text{(développer)}. \end{aligned} $$ La partie réelle donne $F(x)$ (primitive de $\mathrm{Re}(e^{c x}) = e^{a x} \cos(b x)$), et la partie imaginaire donne $G(x)$ (primitive de $\mathrm{Im}(e^{c x}) = e^{a x} \sin(b x)$).

Méthode — Primitives par le passage au complexe

Pour un intégrande de la forme $e^{a x} \cos(b x)$ ou $e^{a x} \sin(b x)$ :

Écrire $e^{a x} \cos(b x) = \mathrm{Re}\bigl(e^{(a + i b) x}\bigr)$ (resp.\ $\mathrm{Im}$ pour le cas $\sin$).
Primitiver l'exponentielle complexe : $\int e^{(a + i b) x} \, dx = \dfrac{e^{(a + i b) x}}{a + i b}$.
Prendre la partie réelle (resp.\ imaginaire) du résultat.

Il existe une route par double IPP (deux intégrations par parties sur $e^{a x} \cos(b x)$ retrouvent la même primitive) mais elle est significativement plus longue.

Exemple — Primitive de $e^x \cos(2x)$

On prend $a = 1$, $b = 2$, donc $a^2 + b^2 = 5$. La Proposition donne $$ \int e^x \cos(2 x) \, dx \ = \ \dfrac{\cos(2 x) + 2 \sin(2 x)}{5} \cdot e^x + c. $$ Vérification : la dérivation de la primitive candidate donne $$ \dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac{e^x (\cos(2 x) + 2 \sin(2 x))}{5}\right] \ = \ \dfrac{e^x (\cos(2 x) + 2 \sin(2 x)) + e^x (-2 \sin(2 x) + 4 \cos(2 x))}{5} \ = \ \dfrac{e^x \cdot 5 \cos(2 x)}{5} \ = \ e^x \cos(2 x). \ \checkmark $$

Exemple — Primitive de $e^{-x} \sin x$

On prend $a = -1$, $b = 1$, donc $a^2 + b^2 = 2$. La Proposition donne $$ \int e^{-x} \sin x \, dx \ = \ \dfrac{-\sin x - \cos x}{2} \cdot e^{-x} + c \ = \ -\dfrac{e^{-x} (\sin x + \cos x)}{2} + c. $$ Une dérivation directe vérifie le résultat.

Compétences à pratiquer

Calculer des primitives par la méthode complexe

III.2 Primitives de $1/(Ax^2 + Bx + C)$ à discriminant négatif

Lorsque le dénominateur $A x^2 + B x + C$ n'a aucune racine réelle (discriminant $B^2 - 4 A C < 0$), on met le trinôme sous forme canonique : $A \bigl[(x - \alpha)^2 + \beta^2\bigr]$. L'intégrande devient alors du type $\arctan$ : $1/(u^2 + \beta^2)$. (On utilise ici des majuscules pour les coefficients du trinôme afin d'éviter une confusion avec le paramètre $a$ de l'identité encadrée ci-dessous.)

Proposition — Identité encadrée --- $1/(x^2 + a^2)$

Pour tout $a > 0$, la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{a} \arctan \dfrac{x}{a}$ est une primitive de $x \mapsto \dfrac{1}{x^2 + a^2}$ sur $\mathbb R$.

Preuve

Par la règle de chaîne appliquée à $\arctan(x/a)$ : $$ \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{a} \arctan \dfrac{x}{a}\right) \ = \ \dfrac{1}{a} \cdot \dfrac{1/a}{1 + (x/a)^2} \ = \ \dfrac{1}{a^2 + x^2}. $$

Méthode — Compléter le carré

Pour primitiver $1/(A x^2 + B x + C)$ lorsque le discriminant est négatif :

Factoriser le coefficient dominant : $A x^2 + B x + C = A (x^2 + (B/A) x + C/A)$.
Compléter le carré : $x^2 + (B/A) x + C/A = (x + B/(2A))^2 + (C/A - B^2/(4 A^2))$. On pose $\alpha = -B/(2A)$ et $\beta^2 = C/A - B^2/(4 A^2)$ ; on choisit $\beta > 0$ (possible car le discriminant est négatif, donc $\beta^2 > 0$).
Appliquer l'identité encadrée par la substitution affine $u = x - \alpha$ : primitive $= \dfrac{1}{A \beta} \arctan \dfrac{x - \alpha}{\beta}$.

Exemple — Primitive de $1/(x^2 + 2x + 5)$

Forme canonique : $x^2 + 2 x + 5 = (x + 1)^2 + 4$. On applique l'identité encadrée avec $a = 2$ et un décalage de $1$ : $$ \int \dfrac{dx}{x^2 + 2 x + 5} \ = \ \dfrac{1}{2} \arctan \dfrac{x + 1}{2} + c. $$ Vérification : $\dfrac{d}{dx}\!\bigl[\dfrac{1}{2} \arctan \dfrac{x+1}{2}\bigr] = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1/2}{1 + ((x+1)/2)^2} = \dfrac{1}{4 + (x+1)^2} = \dfrac{1}{x^2 + 2 x + 5}$. $\checkmark$

Exemple — Primitive de $1/(2x^2 + 4x + 3)$

On factorise $2$ : $2 x^2 + 4 x + 3 = 2 \bigl[(x + 1)^2 + 1/2\bigr]$. Avec $\alpha = -1$ et $\beta = 1/\sqrt 2$ : $$ \int \dfrac{dx}{2 x^2 + 4 x + 3} \ = \ \dfrac{1}{2 \cdot (1/\sqrt 2)} \arctan \dfrac{x + 1}{1/\sqrt 2} + c \ = \ \dfrac{1}{\sqrt 2} \arctan\!\bigl(\sqrt 2 (x + 1)\bigr) + c. $$ Une dérivation directe vérifie le résultat.

Compétences à pratiquer

Compléter le carré et appliquer $\arctan$

III.3 Décomposition en éléments simples --- cas simples

Une fonction rationnelle $P(x)/Q(x)$ se décompose souvent en somme de fractions plus simples --- une par facteur linéaire de $Q$, une par facteur quadratique irréductible --- chacune dont on sait déjà calculer une primitive. La théorie complète de cette décomposition en éléments simples (DES) fait l'objet du chapitre Arithmétique des polynômes (chapitre 23). Ici on couvre quatre cas simples qui suffisent aux calculs de primitives de ce chapitre et de la plus grande partie de l'analyse.

Proposition — Décomposition en éléments simples --- quatre cas simples

Les décompositions simples suivantes se vérifient en réduisant le membre de droite au même dénominateur. La théorie générale expliquant pourquoi de telles décompositions existent toujours dans le bon cadre est reportée au chapitre Arithmétique des polynômes.

Type 1. Pour $a \ne b$ dans $\mathbb R$, $\dfrac{1}{(x - a)(x - b)} = \dfrac{1}{a - b} \cdot \dfrac{1}{x - a} + \dfrac{1}{b - a} \cdot \dfrac{1}{x - b}$.
Type 2. La fraction $\dfrac{1}{(x - a)^2}$ est déjà sous forme simple ; primitive $-\dfrac{1}{x - a}$.
Type 3. Pour $p, q \in \mathbb R$ avec $p^2 - 4 q < 0$, $\dfrac{\alpha x + \beta}{x^2 + p x + q}$ se décompose en $\dfrac{\alpha}{2} \cdot \dfrac{2 x + p}{x^2 + p x + q} + \dfrac{2 \beta - \alpha p}{2} \cdot \dfrac{1}{x^2 + p x + q}$. Le premier morceau est un motif $u'/u$ (donnant $\ln$) ; le second morceau est la recette arctan de la sous-section précédente.
Type 4. La fraction $\dfrac{1}{x (x^2 + 1)}$ se décompose en $\dfrac{1}{x} - \dfrac{x}{x^2 + 1}$, et les primitives suivent terme par terme. Des décompositions analogues ont lieu pour $1/((x - a)(x^2 + p x + q))$ avec un trinôme à discriminant négatif.

Renvoi

La théorie générale de la DES --- division euclidienne des polynômes pour extraire la « partie entière », factorisations irréductibles sur $\mathbb R$ et $\mathbb C$, techniques systématiques (« couverture », passage à la limite en $+\infty$, évaluation en un point, identification) pour calculer les coefficients --- fait l'objet du chapitre Arithmétique des polynômes (chapitre 23). Les quatre cas ci-dessus sont énoncés comme des recettes que le lecteur peut appliquer par inspection.

Méthode — Technique de couverture pour les facteurs linéaires

Pour trouver le coefficient de $\dfrac{1}{x - \lambda}$ dans une décomposition de Type 1 ou Type 4 :

Multiplier les deux membres de la décomposition par $(x - \lambda)$.
Évaluer le résultat en $x = \lambda$ ; le membre de droite se réduit au seul coefficient cherché.
Lire le coefficient.

Cette technique de « couverture » est la route la plus rapide pour les Types 1 et 4. Pour le Type 3 (le morceau $(\alpha x + \beta)/(x^2 + p x + q)$), utiliser la décomposition décrite dans la Proposition.

Exemple — Type 1 --- $1/((x-1)(x+2))$

Sur tout intervalle inclus dans $\mathbb R \setminus \{-2, 1\}$, la décomposition de Type 1 avec $a = 1$, $b = -2$ donne $a - b = 3$ : $$ \dfrac{1}{(x - 1)(x + 2)} \ = \ \dfrac{1/3}{x - 1} - \dfrac{1/3}{x + 2}. $$ Chaque morceau est $u'/u$, de primitives $\dfrac{1}{3} \ln |x - 1|$ et $-\dfrac{1}{3} \ln|x + 2|$. Une primitive de l'original est $$ \int \dfrac{dx}{(x - 1)(x + 2)} \ = \ \dfrac{1}{3} \ln \left| \dfrac{x - 1}{x + 2} \right| + c. $$ Une dérivation directe vérifie le résultat.

Exemple — Type 3 --- décomposition log plus arctan

Le dénominateur $x^2 + 2 x + 5$ a pour discriminant $4 - 20 < 0$, donc ne s'annule pas ; on travaille sur $\mathbb R$. Le numérateur est $x$ ; on l'arrange pour faire apparaître le motif $u' = 2 x + 2$ : $$ x \ = \ \dfrac{1}{2} (2 x + 2) - 1, \qquad \dfrac{x}{x^2 + 2 x + 5} \ = \ \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2 x + 2}{x^2 + 2 x + 5} - \dfrac{1}{x^2 + 2 x + 5}. $$ Premier morceau (motif $u'/u$ avec $u = x^2 + 2 x + 5$, $u' = 2 x + 2$) : primitive $\dfrac{1}{2} \ln(x^2 + 2 x + 5)$. Second morceau (forme canonique de la sous-section précédente) : $x^2 + 2 x + 5 = (x + 1)^2 + 4$, primitive $\dfrac{1}{2} \arctan \dfrac{x + 1}{2}$.
En combinant : $$ \int \dfrac{x}{x^2 + 2 x + 5} \, dx \ = \ \dfrac{1}{2} \ln(x^2 + 2 x + 5) - \dfrac{1}{2} \arctan \dfrac{x + 1}{2} + c. $$ Une dérivation directe vérifie le résultat.

Exemple — Type 4 --- $1/(x(x^2+1))$ par couverture

Sur $\mathbb R_+^*$ (ou sur $\mathbb R_-^*$), on cherche une décomposition $\dfrac{1}{x (x^2 + 1)} = \dfrac{a}{x} + \dfrac{b x + c}{x^2 + 1}$ avec $a, b, c \in \mathbb R$. On multiplie les deux membres par $x$ et on évalue en $x = 0$ : $1/(0^2 + 1) = a$, donc $a = 1$. Puis $\dfrac{1}{x (x^2 + 1)} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{1 - (x^2 + 1)}{x (x^2 + 1)} = \dfrac{-x^2}{x (x^2 + 1)} = -\dfrac{x}{x^2 + 1}$, ce qui identifie $b = -1$, $c = 0$. Donc $$ \dfrac{1}{x (x^2 + 1)} \ = \ \dfrac{1}{x} - \dfrac{x}{x^2 + 1}. $$ Chaque morceau admet une primitive explicite : sur tout intervalle inclus dans $\mathbb R_+^*$ ou $\mathbb R_-^*$, $$ \int \dfrac{dx}{x (x^2 + 1)} \ = \ \ln |x| - \dfrac{1}{2} \ln(1 + x^2) + c \ = \ \ln\!\left(\dfrac{|x|}{\sqrt{1 + x^2}}\right) + c. $$ Une dérivation directe vérifie le résultat.

Compétences à pratiquer

Décomposition en éléments simples et primitivation