CommeUnJeu · L1 PCSI

Séries numériques

⌚ ~91 min ▢ 11 blocs ✓ 33 exercices ➣ Prérequis : Suites réelles

Une série numérique est une somme formelle $\sum u_n$ associée à une suite réelle ou complexe $(u_n)$. Étudier « la série $\sum u_n$ » signifie étudier la limite de ses sommes partielles $S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$ quand $n \to +\infty$. Lorsque cette limite existe, on l'appelle la somme de la série et on la note $\sum_{n=0}^{+\infty} u_n$. Tout le chapitre porte sur la question : à quelles conditions $\sum u_n$ converge-t-elle, et lorsqu'elle converge, comment extraire des informations structurelles sur les sommes partielles (signe, équivalents, comportement asymptotique du reste) ?
Le chapitre comporte trois sections. La section Convergence et divergence pose les définitions (somme partielle, convergence, somme, reste), démontre la linéarité et la condition nécessaire $u_n \to 0$, énonce le lien suite-série (une suite converge si et seulement si sa série télescopique associée converge --- la clef conceptuelle du chapitre), et se clôt sur les deux séries de référence universelles : les séries géométriques et l'identité exponentielle $e^z = \sum z^n / n!$ (admise dans Séries géométriques et exponentielle complexe, démonstration complète dans la section Convergence absolue). La section Séries à termes positifs traite les séries à termes positifs : les sommes partielles sont monotones, donc la convergence se réduit à majorer $(S_n)$. Toute la boîte à outils des séries positives (comparaison $0 \le u_n \le v_n$, équivalents, comparaison série-intégrale, séries de Riemann $\sum 1/n^\alpha$) vit dans ce cadre monotone. La section Convergence absolue introduit la convergence absolue et le Théorème « abs cv $\Rightarrow$ cv », qui convertit tout problème de signe variable en un problème à termes positifs, le ramenant à la boîte à outils des séries positives.
Trois réflexes que le lecteur doit emporter :

le lien suite-série : toute question sur une suite récurrente peut se reformuler en une question sur la convergence d'une série, par passage à la série télescopique $\sum (u_{n+1} - u_n)$ ;
le réflexe Riemann : devant une série positive $\sum u_n$ de nature douteuse, chercher un équivalent de la forme $C / n^\alpha$ et conclure par Riemann ($\alpha > 1$ converge, $\alpha \le 1$ diverge) ;
la convergence absolue d'abord : une série de signe variable doit être testée pour la convergence absolue, qui la ramène à la boîte à outils des séries positives.

I Convergence et divergence d'une série

I.1 Série$\virgule$ sommes partielles$\virgule$ somme$\virgule$ reste

Une série est l'objet-somme formel associé à une suite : étant donnée $(u_n)_{n \ge n_0}$ de nombres réels ou complexes, on forme les sommes partielles $S_n = u_{n_0} + u_{n_0 + 1} + \cdots + u_n$ et on demande si $(S_n)$ admet une limite. La série est un objet comptable --- elle empaquette, en une notation, la question « la somme s'étend-elle à l'infini ? » et la réponse (lorsqu'elle est affirmative). Les notations varient : $\sum u_n$, $\sum_n u_n$, $\sum_{n \ge n_0} u_n$ désignent toutes le même objet ; l'indice initial $n_0$ vaut souvent $0$ ou $1$ et n'importe que pour la valeur de la somme, non pour sa nature.

Définition — Série$\virgule$ sommes partielles$\virgule$ convergence$\virgule$ somme

Soit $(u_n)_{n \ge n_0}$ une suite de nombres réels ou complexes (avec $n_0 \in \mathbb N$). La série de terme général $u_n$, notée $\sum u_n$, est l'objet formel associé à la suite des sommes partielles $$ S_n \ = \ \sum_{k = n_0}^{n} u_k \qquad (n \ge n_0). $$ La série $\sum u_n$ est dite convergente si la suite $(S_n)$ des sommes partielles admet une limite finie ; dans ce cas, la somme de la série est $$ \sum_{n = n_0}^{+\infty} u_n \ = \ \lim_{n \to +\infty} S_n. $$ Sinon, $\sum u_n$ est dite divergente.

Définition — Nature d'une série$\virgule$ reste

La nature de $\sum u_n$ est le qualificatif « convergente » ou « divergente ». Lorsque $\sum u_n$ converge de somme $S$, le reste d'ordre $n$ est la différence entre $S$ et la somme partielle d'ordre $n$ : $$ R_n \ = \ S - S_n \ = \ \sum_{k = n + 1}^{+\infty} u_k. $$ Par construction $R_n \to 0$ quand $n \to +\infty$.

Exemple — Deux séries élémentaires

La série $\sum_{n \ge 0} 1$ (de terme général constant égal à $1$) a pour sommes partielles $S_n = n + 1 \to +\infty$, donc diverge. La série $\sum_{n=0}^{+\infty} 1/2^n$ a $S_n = 2 - 1/2^n \to 2$ (somme d'une progression géométrique), donc converge de somme $2$.

Compétences à pratiquer

Calculer des sommes partielles et des restes

I.2 Linéarité de la somme des séries convergentes

Une fois la convergence définie comme limite des sommes partielles, la linéarité se transfère mot pour mot depuis le cadre des limites de suites : la somme de deux séries convergentes est la série convergente des termes ajoutés terme à terme, et multiplier chaque terme par un scalaire multiplie la somme par ce scalaire. C'est le squelette algébrique du chapitre ; toutes les Propositions qui suivent s'y appuient.

Proposition — Linéarité

Soient $\sum u_n$ et $\sum v_n$ deux séries convergentes de sommes $U$ et $V$, et soient $\lambda, \mu \in \mathbb K$ (où $\mathbb K = \mathbb R$ ou $\mathbb C$). Alors la série $\sum (\lambda u_n + \mu v_n)$ converge, de somme $$ \sum_{n = n_0}^{+\infty} (\lambda u_n + \mu v_n) \ = \ \lambda U + \mu V. $$

Preuve

Par linéarité des sommes finies, les sommes partielles de $\sum (\lambda u_n + \mu v_n)$ valent $$ \sum_{k = n_0}^{n} (\lambda u_k + \mu v_k) \ = \ \lambda \sum_{k = n_0}^{n} u_k + \mu \sum_{k = n_0}^{n} v_k \ = \ \lambda S_n^u + \mu S_n^v. $$ Par hypothèse $S_n^u \to U$ et $S_n^v \to V$. Par linéarité de la limite des suites, $\lambda S_n^u + \mu S_n^v \to \lambda U + \mu V$. Donc $\sum (\lambda u_n + \mu v_n)$ converge de somme $\lambda U + \mu V$.

Exemple — Linéarité en pratique

$\sum_{n=0}^{+\infty} 1/2^n = 2$ et $\sum_{n=0}^{+\infty} 1/3^n = 3/2$ convergent (séries géométriques, voir la sous-section Séries géométriques et exponentielle complexe). Par linéarité, $$ \sum_{n=0}^{+\infty} \left(2 \cdot \frac{1}{2^n} - \frac{1}{3^n}\right) \ = \ 2 \cdot 2 - \frac{3}{2} \ = \ \frac{5}{2}. $$

Compétences à pratiquer

Appliquer la linéarité

I.3 Condition nécessaire$\virgule$ divergence grossière

Une série qui converge a un terme général tendant vers $0$ : c'est la condition nécessaire élémentaire, le tout premier test qu'on applique à une série candidate. La réciproque est notoirement fausse : la série harmonique $\sum 1/n$ a $u_n \to 0$ mais diverge (démontré dans la sous-section Comparaison série-intégrale et séries de Riemann via la référence Riemann). Lorsque la condition nécessaire échoue, on dit que la série diverge grossièrement : une réfutation en une ligne par inspection du terme général.

Proposition — Condition nécessaire de convergence

Si la série $\sum u_n$ converge, alors $u_n \to 0$ quand $n \to +\infty$.

Preuve

Notons $S$ la somme de $\sum u_n$. Pour $n \ge n_0 + 1$, $$ u_n \ = \ S_n - S_{n-1}. $$ $S_n$ et $S_{n-1}$ tendent toutes deux vers $S$ quand $n \to +\infty$ (la seconde est un décalage de la première), donc $u_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0$.

Définition — Divergence grossière

Une série $\sum u_n$ est dite divergente grossièrement lorsque $u_n \not\to 0$. La contraposée de la Proposition précédente dit : si $\sum u_n$ diverge grossièrement, alors $\sum u_n$ diverge.

Méthode — Le réflexe « divergence grossière »

Avant tout autre test, se demander : $u_n \to 0$ ?

Si $u_n \not\to 0$ (la limite est non nulle, infinie, ou n'existe pas), conclure immédiatement : la série diverge grossièrement, donc diverge.
Si $u_n \to 0$, la condition nécessaire est satisfaite mais la convergence n'est pas garantie --- procéder à un test plus fin : la boîte à outils des séries positives (section suivante) lorsque les termes sont positifs, ou la convergence absolue (dernière section) lorsque les termes sont de signe variable.

Exemple — Divergence grossière en trois exemples

(i) $\sum_{n \ge 0} (-1)^n$ : le terme général oscille entre $\pm 1$, pas de limite, donc $u_n \not\to 0$ --- diverge grossièrement.
(ii) $\sum_{n \ge 1} n / (n + 1)$ : $u_n \to 1 \ne 0$ --- diverge grossièrement.
(iii) $\sum_{n \ge 1} \cos(1/n)$ : $\cos(1/n) \to \cos 0 = 1 \ne 0$ --- diverge grossièrement.
Contre-illustration (nécessaire $\ne$ suffisant). La série harmonique $\sum_{n \ge 1} 1/n$ a $u_n = 1/n \to 0$, donc passe la condition nécessaire ; pourtant elle diverge (démontré dans la sous-section Comparaison série-intégrale et séries de Riemann par comparaison à une intégrale).

Compétences à pratiquer

Reconnaître la divergence grossière

I.4 Lien suite-série

Le fait structurel le plus utile sur les séries est le lien suite-série : une suite $(u_n)$ converge si et seulement si sa série télescopique associée $\sum (u_{n+1} - u_n)$ converge. C'est le pont bidirectionnel entre le cadre « limite d'une suite » du chapitre SuitesReelles et le cadre « convergence d'une série » du chapitre présent. Presque tout problème sur les suites récurrentes peut se reformuler en problème de convergence d'une série (et inversement) en empruntant ce pont.

Proposition — Lien suite-série

Pour toute suite réelle ou complexe $(u_n)_{n \ge n_0}$, la suite $(u_n)$ converge si et seulement si la série télescopique $\sum (u_{n+1} - u_n)$ converge. Dans ce cas, $$ \sum_{n = n_0}^{+\infty} (u_{n+1} - u_n) \ = \ \lim_{n \to +\infty} u_n - u_{n_0}. $$

Preuve

Par télescopage, $$ \begin{aligned} \sum_{k = n_0}^{n} (u_{k+1} - u_k) \ &= \ (u_{n_0 + 1} - u_{n_0}) + (u_{n_0 + 2} - u_{n_0 + 1}) + \cdots + (u_{n + 1} - u_n) && \text{(forme étendue)} \\ &= \ u_{n+1} - u_{n_0} && \text{(annulations internes).} \end{aligned} $$ Les sommes partielles de la série télescopique valent $u_{n+1} - u_{n_0}$. Elles ont une limite finie quand $n \to +\infty$ si et seulement si $u_{n+1}$ a une limite finie, c'est-à-dire $(u_n)$ converge. Dans ce cas, la limite des sommes partielles est $\lim u_n - u_{n_0}$, qui est la valeur de la somme annoncée.

Méthode — Étudier une suite par sa série télescopique

Pour étudier la convergence d'une suite $(u_n)$ difficile à traiter directement :

Former la série télescopique $\sum (u_{n+1} - u_n)$ de ses différences consécutives.
Estimer $u_{n+1} - u_n$ (par DL, par algèbre directe, par équivalent), produisant souvent un terme de la forme $O(1/n^\alpha)$ ou une décroissance géométrique.
Appliquer les boîtes à outils des séries positives et de la convergence absolue à la série télescopique. Si elle converge, $(u_n)$ aussi ; la somme donne la limite.

Exemple — Une convergence par télescopage pur

Soit $u_n = 1 - 1/2^n$ pour $n \ge 0$. La série télescopique vaut $$ u_{n+1} - u_n \ = \ \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right) - \left(1 - \frac{1}{2^n}\right) \ = \ \frac{1}{2^n} - \frac{1}{2^{n+1}} \ = \ \frac{1}{2^{n+1}}. $$ La série $\sum 1/2^{n+1}$ est géométrique de raison $1/2$, donc converge (voir la sous-section Séries géométriques et exponentielle complexe). Par le lien suite-série, $(u_n)$ converge. Sa limite, donnée par $\lim u_n - u_0 = \sum_{n=0}^{+\infty} 1/2^{n+1} = 1$, plus $u_0 = 0$, donne $\lim u_n = 1$ --- cohérent avec le calcul direct $1 - 1/2^n \to 1$.

Exemple — Calcul de $\sum 1/(k(k+1))$ par décomposition en éléments simples

Pour $k \ge 1$, la décomposition en éléments simples donne $$ \frac{1}{k(k+1)} \ = \ \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}. $$ Les sommes partielles de $\sum_{k=1}^n 1/(k(k+1))$ sont, par télescopage, $$ \sum_{k = 1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) \ = \ 1 - \frac{1}{n+1} \ \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \ 1. $$ Donc $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k(k+1)} = 1$.

Exemple — Convergence de $H_n - \ln n$ (constante d'Euler $\gamma$)

On pose $H_n = \sum_{k=1}^n 1/k$ et $u_n = H_n - \ln n$ pour $n \ge 1$. On calcule la différence télescopique : $$ u_{n+1} - u_n \ = \ \frac{1}{n+1} - \bigl( \ln(n+1) - \ln n \bigr) \ = \ \frac{1}{n+1} - \ln\!\left( 1 + \frac{1}{n} \right). $$ En utilisant le DL $\ln(1 + x) = x - x^2/2 + O(x^3)$ en $x = 1/n$ et $1/(n+1) = 1/n - 1/n^2 + O(1/n^3)$ : $$ u_{n+1} - u_n \ = \ \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} \right) - \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{2 n^2} \right) + O\!\left(\frac{1}{n^3}\right) \ = \ -\frac{1}{2 n^2} + O\!\left(\frac{1}{n^3}\right). $$ Donc $|u_{n+1} - u_n| = O(1/n^2)$. La série de Riemann $\sum 1/n^2$ converge, donc, par comparaison par $O$, $\sum |u_{n+1} - u_n|$ converge, donc $\sum (u_{n+1} - u_n)$ converge absolument, donc converge. Par le lien suite-série, $(u_n)$ converge. Sa limite est la constante d'Euler-Mascheroni $\gamma \approx 0{,}5772156\ldots$ déjà rencontrée au chapitre AnalyseAsymptotique.

Compétences à pratiquer

Étudier une suite par sa série télescopique

I.5 Séries géométriques et exponentielle complexe

On clôt cette section par les deux séries de référence universelles : les séries géométriques $\sum z^n$ (l'exemple le plus simple d'une question de convergence non triviale, avec un critère de nature complètement explicite) et l'identité exponentielle $e^z = \sum z^n / n!$ sur $\mathbb C$ (l'exemple le plus simple d'une série convergente d'une nature un peu plus élaborée, et la porte d'entrée des propriétés de l'exponentielle complexe). Toutes deux seront utilisées comme références de comparaison tout au long du reste du chapitre.

Theorem — Séries géométriques

Soit $z \in \mathbb C$. La série $\sum_{n \ge 0} z^n$ converge si et seulement si $|z| < 1$. Dans ce cas, $$ \sum_{n = 0}^{+\infty} z^n \ = \ \frac{1}{1 - z}. $$

Preuve

Cas $z = 1$. Les sommes partielles valent $S_n = n + 1 \to +\infty$, donc la série diverge.
Cas $z \ne 1$. La formule de la somme géométrique (du chapitre CalculAlgebrique) donne, pour tout $n \ge 0$, $$ S_n \ = \ \sum_{k = 0}^{n} z^k \ = \ \frac{1 - z^{n+1}}{1 - z}. $$ Donc $S_n$ a une limite finie si et seulement si $z^{n+1}$ a une limite finie. Or $|z^{n+1}| = |z|^{n+1}$ :
- si $|z| < 1$, $|z|^{n+1} \to 0$, donc $z^{n+1} \to 0$ ; la limite de $S_n$ est $1/(1-z)$ --- convergence ;
- si $|z| > 1$, $|z|^{n+1} \to +\infty$, donc $|S_n| \to +\infty$ --- divergence ;
- si $|z| = 1$, alors $|z^n| = 1$ pour tout $n$, donc $z^n \not\to 0$ ; par divergence grossière (Théorème de la sous-section Condition nécessaire, divergence grossière), la série diverge.

Theorem — Exponentielle complexe comme série

Pour tout $z \in \mathbb C$, la série positive $\sum_{n \ge 0} |z|^n / n!$ converge. Par conséquent, la série complexe $\sum_{n \ge 0} z^n / n!$ converge, et sa somme est l'exponentielle complexe : $$ e^z \ = \ \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!}. $$ (Dans la terminologie de la section Convergence absolue, $\sum z^n / n!$ est absolument convergente.)

Preuve

Admis à ce stade. Démonstration complète dans la section Séries à termes positifs et dans la sous-section Définition et théorème principal de Convergence absolue. La convergence de la série positive $\sum |z|^n / n!$ utilise le Théorème de comparaison terme à terme (sous-section Comparaison terme à terme) appliqué à une majoration géométrique (esquisse : pour $n \ge 2 |z|$, le rapport $|z|/(n+1) \le 1/2$, donc $a_n = |z|^n / n!$ est majorée, à partir du rang $N = \lceil 2 |z| \rceil$, par $a_N / 2^{n - N}$ --- une référence géométrique convergente). La convergence de la série complexe $\sum z^n / n!$ découle alors du Théorème « abs cv $\Rightarrow$ cv » de la même sous-section Convergence absolue une fois la boîte à outils des séries positives disponible. L'identification de la somme à l'exponentielle complexe $e^z$ définie au chapitre FonctionsUsuelles (via $e^z = e^x (\cos y + i \sin y)$ pour $z = x + i y$) découle de la caractérisation $e^z$-équation différentielle ou de la série de Taylor de $e^x$ pour $x$ réel.

Méthode — Reconnaître une série géométrique

Pour reconnaître une série géométrique :

Essayer d'écrire le terme général sous la forme $u_n = a \, r^n$ (ou $a \, r^{n - n_0}$ si la série démarre à l'indice $n_0$).
Si $|r| \ge 1$, la série diverge (grossièrement si $|r| > 1$, ou par $z^n \not\to 0$ si $|r| = 1$, $r \ne 1$).
Si $|r| < 1$, la série converge de somme $a \, r^{n_0} / (1 - r)$.

Exemple — Trois sommes géométriques

(i) $\sum_{n=0}^{+\infty} (1/3)^n = 1/(1 - 1/3) = 3/2$.
(ii) $\sum_{n=2}^{+\infty} (1/2)^n = (1/2)^2 / (1 - 1/2) = 1/2$ (indice de départ $n_0 = 2$).
(iii) $\sum_{n=0}^{+\infty} (-1/2)^n = 1 / (1 - (-1/2)) = 1 / (3/2) = 2/3$.

Exemple — L'exponentielle en $z \equal i\pi$

L'identité exponentielle donne, en $z = i\pi$, $$ e^{i \pi} \ = \ \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{(i \pi)^n}{n!} \ = \ -1 $$ (l'identité célèbre d'Euler, équivalente à $\cos \pi = -1$ et $\sin \pi = 0$). Les sommes partielles de $\sum (i\pi)^n / n!$ convergent absolument vers $-1$ --- un test fort du cadre de convergence.

Compétences à pratiquer

Reconnaître des séries géométriques

II Séries à termes positifs

Les termes initiaux en nombre fini ne changent pas la nature

Ajouter, supprimer ou modifier en nombre fini les termes d'une série ne change pas sa nature. Lorsque la série converge, cela change la valeur de la somme, mais jamais le qualificatif « convergente » vs.\ « divergente ». Cela justifie tous les énoncés « pour $n$ assez grand » qui suivent : on peut toujours tronquer la série à sa queue à partir d'un rang $N$ adapté.

II.1 Caractérisation de la convergence pour les séries positives

Lorsque $u_n \ge 0$ pour $n$ grand, les sommes partielles $(S_n)$ forment une suite croissante. Une suite croissante converge si et seulement si elle est majorée. Cette unique observation produit une condition nécessaire et suffisante en une étape pour la convergence d'une série positive, et c'est le fondement sur lequel reposent tous les autres tests des séries positives.

Theorem — CNS de convergence pour les séries positives

Soit $\sum_{n \ge n_0} u_n$ une série avec $u_n \ge 0$ pour tout $n \ge n_0$. Alors $\sum u_n$ converge si et seulement si la suite des sommes partielles $(S_n)$ est majorée. Dans ce cas, $$ \sum_{n = n_0}^{+\infty} u_n \ = \ \sup_{n \ge n_0} S_n. $$

Preuve

Comme $u_n \ge 0$ pour tout $n \ge n_0$, les sommes partielles vérifient $S_{n+1} - S_n = u_{n+1} \ge 0$, donc $(S_n)_{n \ge n_0}$ est croissante au sens large. Par un résultat standard du chapitre SuitesReelles, une suite croissante converge si et seulement si elle est majorée ; dans ce cas, sa limite est égale à sa borne supérieure. Donc $(S_n)$ a une limite finie ssi $(S_n)$ est majorée, et la limite vaut $\sup_{n \ge n_0} S_n$.

Méthode — Majoration directe des sommes partielles

Pour une série positive $\sum u_n$ :

Soit exhiber un majorant explicite $S_n \le M$ pour tout $n$ --- alors la série converge et sa somme est au plus $M$ ;
Soit montrer que $S_n \to +\infty$ --- alors la série diverge (la seule divergence possible pour une série positive).

Compétences à pratiquer

Montrer la convergence par majoration directe des sommes partielles

II.2 Comparaison terme à terme

La première application concrète du cadre monotone (sous-section Caractérisation de la convergence pour les séries positives) est la comparaison terme à terme : si $0 \le u_n \le v_n$, alors $S_n^u \le S_n^v$, donc tout majorant de $S_n^v$ majore aussi $S_n^u$. Cette « hiérarchie des comparaisons » est l'outil-clef pour prouver la convergence d'une série positive inconnue en la majorant par une référence convergente connue (géométrique, Riemann), et inversement, pour prouver la divergence en la minorant par une référence divergente connue.

Theorem — Comparaison terme à terme

Soient $\sum u_n$ et $\sum v_n$ deux séries avec $0 \le u_n \le v_n$ pour $n$ assez grand.

Si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge.
Si $\sum u_n$ diverge, alors $\sum v_n$ diverge.

Preuve

Sans perte de généralité, $0 \le u_n \le v_n$ pour $n \ge n_1$. En sommant pour $k = n_1, \ldots, n$ : $$ 0 \ \le \ \sum_{k = n_1}^{n} u_k \ \le \ \sum_{k = n_1}^{n} v_k. $$ (1) Si $\sum v_n$ converge, le membre de droite est majoré par $\sum_{k = n_1}^{+\infty} v_k$. Donc les sommes partielles de $\sum u_n$ (à partir du rang $n_1$) sont majorées. Par la caractérisation des séries positives, $\sum u_n$ converge.
(2) Contraposée de (1) : si $\sum u_n$ diverge et $\sum v_n$ convergeait, alors $\sum u_n$ convergerait --- contradiction. Donc $\sum v_n$ diverge.

Méthode — Encadrements classiques

Pour déterminer la nature d'une série positive $\sum u_n$ par comparaison :

Pour la convergence : trouver une série positive convergente connue $\sum v_n$ (Riemann $1/n^\alpha$ avec $\alpha > 1$, géométrique avec $|r| < 1$, $\sum 1/n!$, etc.) telle que $u_n \le v_n$ pour $n$ grand.
Pour la divergence : trouver une série positive divergente connue $\sum w_n$ (harmonique $1/n$, Riemann $1/n^\alpha$ avec $\alpha \le 1$) telle que $u_n \ge w_n$ pour $n$ grand.

Compétences à pratiquer

Déterminer la nature d'une série positive par majoration directe ou comparaison

II.3 Comparaison par équivalent et par $O$

La comparaison terme à terme est « ponctuelle » : elle requiert une inégalité explicite $u_n \le v_n$. En pratique, cette inégalité est rarement littérale --- au lieu de cela, on connaît $u_n \sim v_n$ en $+\infty$ (les deux termes généraux ont le même comportement dominant) ou $u_n = O(v_n)$ (l'un est au plus de la taille de l'autre). Les tests par équivalent et par $O$ ramènent le problème de comparaison asymptotique au cadre de la comparaison terme à terme. Ce sont les tests sur les séries positives les plus utilisés à ce niveau.

Theorem — Équivalents pour séries positives

Soient $\sum u_n$ et $\sum v_n$ deux séries avec $u_n \ge 0$ et $v_n > 0$ pour $n$ assez grand, et $u_n \sim v_n$ en $+\infty$. Alors $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature (toutes deux convergent ou toutes deux divergent).

Preuve

Par définition de $u_n \sim v_n$ (avec $v_n > 0$ pour $n$ grand), $u_n / v_n \to 1$ en $+\infty$. Fixons $\varepsilon = 1/2$ : il existe $N$ tel que pour $n \ge N$, $$ \frac{1}{2} \ \le \ \frac{u_n}{v_n} \ \le \ \frac{3}{2}, \qquad \text{donc} \qquad \frac{1}{2} v_n \ \le \ u_n \ \le \ \frac{3}{2} v_n. $$ Par linéarité (sous-section Linéarité de la somme des séries convergentes), les natures de $\sum v_n$, $\sum \frac{1}{2} v_n$ et $\sum \frac{3}{2} v_n$ sont identiques (multiplier une série convergente par un scalaire non nul produit une série convergente, et la réciproque suit en multipliant par le scalaire inverse). Par le Théorème de comparaison terme à terme appliqué à $u_n$ majorée par $\frac{3}{2} v_n$ et minorée par $\frac{1}{2} v_n$ à partir du rang $N$ :

si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge (majoration par $\frac{3}{2} v_n$) ;
si $\sum v_n$ diverge, alors $\sum u_n$ diverge (minoration par $\frac{1}{2} v_n$).

Proposition — Comparaison par $O$

Soient $\sum u_n$ et $\sum v_n$ deux séries avec $v_n \ge 0$ pour $n$ assez grand et $u_n = O(v_n)$ en $+\infty$. Si $\sum v_n$ converge, alors $\sum |u_n|$ converge. (Dans la section Convergence absolue, on reformulera : $\sum u_n$ converge absolument.)

Preuve

Par définition de $u_n = O(v_n)$, il existe $K > 0$ et $N$ tels que $|u_n| \le K v_n$ pour $n \ge N$. $|u_n|$ et $K v_n$ sont positifs. La série $\sum K v_n$ converge par linéarité (sous-section Linéarité de la somme des séries convergentes), puisque $\sum v_n$ converge. Par le Théorème de comparaison terme à terme appliqué à $0 \le |u_n| \le K v_n$ pour $n \ge N$, $\sum |u_n|$ converge.

Méthode — Réflexe équivalent ou $O$

Pour déterminer la nature d'une série positive $\sum u_n$ au terme général touffu :

Factoriser le terme dominant. Écrire $u_n$ comme produit, isoler le facteur dominant en $+\infty$.
Comparer par équivalent ou par $O$. Si $u_n \sim C / n^\alpha$ avec $C > 0$, conclure par le Théorème de Riemann (sous-section Comparaison série-intégrale et séries de Riemann) : converge ssi $\alpha > 1$. Si $u_n = O(v_n)$ avec $\sum v_n$ série positive convergente connue, conclure à la convergence.
Réflexe « croissances comparées ». Utiliser $\ln^\beta n = o(n^a)$ et $n^a = o(b^n)$ pour simplifier.

Exemple — Nature par équivalent

On considère $\sum_{n \ge 1} \frac{n + \cos n}{n^3}$. Le terme général est positif (numérateur $\ge n - 1 > 0$ pour $n \ge 2$). L'équivalent en $+\infty$ vaut $$ \frac{n + \cos n}{n^3} \ \sim \ \frac{n}{n^3} \ = \ \frac{1}{n^2}. $$ Les deux termes généraux sont positifs pour $n$ grand. La série de Riemann $\sum 1/n^2$ converge ($\alpha = 2 > 1$), donc $\sum (n + \cos n)/n^3$ converge (par le Théorème des équivalents pour séries positives).

Exemple — Nature par croissance comparée

On considère $\sum_{n \ge 2} \frac{\ln n}{n^{3/2}}$. Le terme général est positif pour $n \ge 2$. Par croissance comparée, $\ln n = o(n^{1/4})$, donc $\ln n / n^{3/2} = o(1 / n^{5/4})$ en $+\infty$. La série de Riemann $\sum 1/n^{5/4}$ converge ($\alpha = 5/4 > 1$). Par comparaison par $O$ (le « $o$ » est un « $O$ » renforcé) appliquée à une série positive, $\sum \ln n / n^{3/2}$ converge.

Compétences à pratiquer

Déterminer la nature par équivalent ou par $O$

II.4 Comparaison série-intégrale et séries de Riemann

Le dernier outil des séries positives --- et celui qui fonde la famille de référence Riemann --- est la comparaison série-intégrale : pour une fonction $f$ positive, continue et décroissante, la série $\sum f(k)$ et l'intégrale $\int^{+\infty} f$ sont de même nature, encadrées par la construction « rectangles inférieurs » et « rectangles supérieurs ». C'est la technique standard qui démontre que la série de Riemann $\sum 1/n^\alpha$ converge ssi $\alpha > 1$ --- par comparaison à $\int 1/x^\alpha \, dx$.

Theorem — Comparaison série-intégrale

Soient $n_0 \in \mathbb N$ et $f : [n_0, +\infty[ \to \mathbb R_+$ une fonction continue, décroissante. Alors la série $\sum_{k \ge n_0} f(k)$ et l'intégrale $\int_{n_0}^{+\infty} f(t) \, dt$ sont de même nature. De plus, pour tout $n \ge n_0$, $$ \int_{n_0}^{n + 1} f(t) \, dt \ \le \ \sum_{k = n_0}^{n} f(k) \ \le \ f(n_0) + \int_{n_0}^{n} f(t) \, dt. $$

Preuve

Encadrement par rectangles. Pour $k \ge n_0$ et $t \in [k, k+1]$, $f$ étant décroissante, $f(k+1) \le f(t) \le f(k)$. En intégrant sur $[k, k+1]$ (intervalle de longueur $1$) : $$ f(k + 1) \ \le \ \int_k^{k+1} f(t) \, dt \ \le \ f(k). $$ En sommant. Pour $k = n_0, \ldots, n$ dans l'inégalité de droite, puis $k = n_0, \ldots, n - 1$ dans celle de gauche : $$ \begin{aligned} \int_{n_0}^{n+1} f(t) \, dt \ &= \ \sum_{k = n_0}^{n} \int_k^{k+1} f(t) \, dt \ \le \ \sum_{k = n_0}^{n} f(k), \\ \sum_{k = n_0 + 1}^{n} f(k) \ &\le \ \sum_{k = n_0}^{n - 1} \int_k^{k+1} f(t) \, dt \ = \ \int_{n_0}^{n} f(t) \, dt. \end{aligned} $$ En ajoutant $f(n_0)$ à la seconde inégalité, on obtient $\sum_{k = n_0}^n f(k) \le f(n_0) + \int_{n_0}^n f(t) \, dt$, la majoration annoncée.
Même nature. On raisonne par double implication sur des suites majorées.

Si $\int_{n_0}^{+\infty} f(t) \, dt$ converge, la majoration $\sum_{k=n_0}^n f(k) \le f(n_0) + \int_{n_0}^n f(t) \, dt$ montre que les sommes partielles de $\sum f(k)$ sont majorées. Comme la série est à termes positifs (caractérisation des séries positives), elle converge.
Réciproquement, si $\sum_{k \ge n_0} f(k)$ converge, ses sommes partielles sont majorées. La minoration $\int_{n_0}^{n+1} f(t) \, dt \le \sum_{k = n_0}^n f(k)$ montre que les intégrales tronquées sont majorées. Comme elles forment une fonction croissante de la borne supérieure (puisque $f \ge 0$), l'intégrale impropre $\int_{n_0}^{+\infty} f$ converge.

Theorem — Séries de Riemann

Soit $\alpha \in \mathbb R$. La série $\sum_{n \ge 1} 1/n^\alpha$ converge si et seulement si $\alpha > 1$.

Preuve

Cas $\alpha \le 0$. Si $\alpha < 0$, $u_n = n^{-\alpha} \to +\infty$ ; si $\alpha = 0$, $u_n = 1$ pour tout $n$, donc $u_n \to 1 \ne 0$. Dans les deux sous-cas $u_n \not\to 0$ --- divergence grossière.
Cas $\alpha > 0$. La fonction $f(x) = 1/x^\alpha$ est continue et décroissante sur $[1, +\infty[$, avec $f(x) \ge 0$. Appliquer le Théorème de comparaison série-intégrale. L'intégrale $\int_1^{+\infty} dx / x^\alpha$ vaut, d'après le chapitre Primitives, $$ \int_1^M \frac{dx}{x^\alpha} \ = \ \begin{cases} \ln M & \text{si } \alpha = 1, \\ \dfrac{M^{1 - \alpha} - 1}{1 - \alpha} & \text{si } \alpha \ne 1.\end{cases} $$ Quand $M \to +\infty$ : si $0 < \alpha \le 1$, l'intégrale tend vers $+\infty$, donc la série diverge ; si $\alpha > 1$, l'intégrale tend vers $1/(\alpha - 1)$ (finie), donc la série converge.

Méthode — Le réflexe Riemann

Pour une série positive $\sum u_n$ inconnue, le premier réflexe est la comparaison à Riemann :

Chercher un équivalent $u_n \sim C / n^\alpha$ en $+\infty$ avec $C > 0$.
Conclure par Riemann : $\sum u_n$ converge ssi $\alpha > 1$.

Lorsqu'aucun équivalent propre n'existe, retomber sur la majoration directe ou sur la comparaison par $O$.

Exemple — Riemann à l'\oe il

$\sum_{n \ge 1} 1/n$ (série harmonique) diverge ($\alpha = 1$, cas frontière). $\sum_{n \ge 1} 1/n^2$ converge ($\alpha = 2 > 1$). $\sum_{n \ge 1} 1/\sqrt n$ diverge ($\alpha = 1/2 \le 1$). $\sum_{n \ge 1} 1/n^{3/2}$ converge ($\alpha = 3/2 > 1$).

Compétences à pratiquer

Déterminer la nature par comparaison à une intégrale --- séries de Riemann

III Convergence absolue

III.1 Définition et théorème principal

La boîte à outils des séries positives traite les séries à termes positifs. Pour traiter les séries de signe variable ($u_n \in \mathbb R$ sans contrainte de signe, ou $u_n \in \mathbb C$), la technique standard consiste à regarder d'abord la série des valeurs absolues $\sum |u_n|$ : si elle converge, alors $\sum u_n$ converge aussi. C'est le cœur conceptuel de la présente section : « la convergence absolue entraîne la convergence ». Elle convertit tout problème de signe variable en un problème à termes positifs, accessible à la boîte à outils des séries positives.

Définition — Convergence absolue

Une série $\sum u_n$ (avec $u_n \in \mathbb R$ ou $\mathbb C$) est dite absolument convergente si la série des valeurs absolues $\sum |u_n|$ converge.

Theorem — Convergence absolue entraîne convergence

Toute série absolument convergente est convergente. De plus, $$ \left| \sum_{n = n_0}^{+\infty} u_n \right| \ \le \ \sum_{n = n_0}^{+\infty} |u_n|. $$

Preuve

Cas $u_n \in \mathbb R$ (série réelle). On décompose $u_n = u_n^+ - u_n^-$ où $u_n^+ = \max(u_n, 0)$ et $u_n^- = \max(-u_n, 0)$ sont les parties positive et négative. Toutes deux sont $\ge 0$ et majorées par $|u_n|$ : $$ 0 \ \le \ u_n^\pm \ \le \ |u_n|. $$ Comme $\sum |u_n|$ converge par hypothèse, le Théorème de comparaison terme à terme donne que $\sum u_n^+$ et $\sum u_n^-$ convergent toutes deux. Par linéarité, $\sum u_n = \sum (u_n^+ - u_n^-)$ converge. L'inégalité triangulaire appliquée aux sommes partielles donne $|S_n| \le \sum_{k = n_0}^n |u_k|$, et le passage à la limite produit la majoration annoncée.
Cas $u_n \in \mathbb C$ (série complexe). On écrit $u_n = a_n + i \, b_n$ avec $a_n, b_n \in \mathbb R$. Alors $|a_n|, |b_n| \le |u_n|$, donc par comparaison terme à terme les séries réelles $\sum |a_n|$ et $\sum |b_n|$ convergent. Par le cas réel ci-dessus, $\sum a_n$ et $\sum b_n$ convergent. Par linéarité, $\sum u_n = \sum a_n + i \sum b_n$ converge. L'inégalité triangulaire, encore appliquée aux sommes partielles et passée à la limite, donne $|\sum u_n| \le \sum |u_n|$.

Exemple — Série alternée de Riemann absolument convergente

On considère $\sum_{n \ge 1} (-1)^n / n^2$. La série des valeurs absolues est $\sum 1/n^2$, série de Riemann avec $\alpha = 2 > 1$, donc convergente. Donc $\sum (-1)^n / n^2$ converge absolument (et a fortiori converge).

Compétences à pratiquer

Montrer la convergence absolue

III.2 Comparaison par $O$ pour les séries de signe variable

Le Théorème « abs cv $\Rightarrow$ cv », combiné à la Proposition de comparaison par $O$ de la sous-section Comparaison par équivalent et par $O$, donne le réflexe standard pour les séries de signe variable : majorer $|u_n|$ par une série de référence à termes positifs. Cette sous-section se clôt sur la règle de d'Alembert --- non exigible, mais utile en aval (séries entières en deuxième année).

Méthode — Réduction au cas positif

Pour déterminer la nature d'une série de signe variable $\sum u_n$ :

Étudier $\sum |u_n|$ (série à termes positifs) avec la boîte à outils des séries positives.
Si $\sum |u_n|$ converge, alors $\sum u_n$ converge absolument, donc converge, et $\left|\sum u_n\right| \le \sum |u_n|$.
Si $\sum |u_n|$ diverge, la convergence absolue échoue. Cette réduction est le principal outil systématique pour une série de signe variable à ce niveau (en dehors du cas particulier d'une série télescopique, traitée via le lien suite-série) : lorsqu'elle ne s'applique pas, la nature de $\sum u_n$ reste ici indéterminée.

Exemple — Signe variable ramené au cas positif

On considère $\sum_{n \ge 1} \frac{\sin n}{n^2}$. Le terme général est de signe variable (puisque $\sin n$ oscille). On passe aux valeurs absolues : $|\sin n / n^2| \le 1/n^2$. La série de Riemann $\sum 1/n^2$ converge, donc par le Théorème de comparaison terme à terme, $\sum |\sin n / n^2|$ converge, c'est-à-dire $\sum \sin n / n^2$ converge absolument. Donc elle converge.

Règle de d'Alembert --- complément non exigible

L'énoncé suivant n'est pas au programme et est donc non exigible. Il est donné pour référence culturelle, car c'est l'outil standard pour la convergence des « séries entières » en deuxième année et il raccourcit souvent les preuves de convergence de séries positives en pratique. (Énoncé admis sans démonstration.) Soit $\sum u_n$ une série avec $u_n > 0$ pour $n$ assez grand, et supposons que le rapport $u_{n+1}/u_n$ admette une limite $\ell \in [0, +\infty]$ quand $n \to +\infty$.

Si $\ell < 1$, alors $\sum u_n$ converge.
Si $\ell > 1$ (y compris $\ell = +\infty$), alors $\sum u_n$ diverge (en fait, $u_n \not\to 0$, divergence grossière).
Si $\ell = 1$, le test est non concluant.

Dans ce cours, lorsque la règle de d'Alembert est l'outil naturel (par exemple pour $\sum z^n / n!$, $\sum n^k / r^n$), on retrouve la conclusion par majoration géométrique directe (cf.\ la preuve de convergence de $e^z$ dans la sous-section Séries géométriques et exponentielle complexe).

Compétences à pratiquer

Réduire une série de signe variable à une référence positive