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Calcul matriciel

⌚ ~107 min ▢ 13 blocs ✓ 45 exercices ➣ Prérequis : Matrices, Compléments de calcul algébrique

Une matrice est un tableau rectangulaire de scalaires. En tant qu'objet, elle organise les coefficients d'un système d'équations linéaires, les composantes d'une famille finie de vecteurs, ou l'action d'une application linéaire sur une base. Ce chapitre formalise la structure algébrique des matrices : $M_{n,p}(\mathbb{K})$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, le cas carré $M_n(\mathbb{K})$ est un anneau (non commutatif), les matrices carrées inversibles forment le groupe linéaire $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$. Tout au long du chapitre, $\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}$ et $n, p, q, r$ désignent des entiers strictement positifs.
Le plan a six sections. Nous introduisons d'abord $M_{n,p}(\mathbb{K})$ avec l'addition et la multiplication par un scalaire, et décomposons toute matrice sur la famille canonique des matrices élémentaires $E_{ij}$. Nous définissons ensuite le produit matriciel, démontrons bilinéarité et associativité, identifions la matrice identité $I_n$, et exposons les trois pathologies de la multiplication matricielle absentes de la multiplication scalaire : non-commutativité, diviseurs de zéro, éléments nilpotents. Nous présentons puis la transposée et les sous-espaces des matrices symétriques et antisymétriques, suivis des familles diagonale et triangulaire, stables par combinaison linéaire et par produit. Nous définissons l'inversibilité, le groupe linéaire $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$, et démontrons la formule fermée d'inversion d'une matrice $2 \times 2$. Nous concluons avec l'identification des opérations élémentaires sur les lignes et colonnes comme des multiplications par des matrices inversibles, et l'utilisons pour calculer des inverses par la méthode de Gauss-Jordan et caractériser l'inversibilité d'une matrice triangulaire.
Par convention, toute technicité est exclue dans deux contextes --- pour l'algorithme d'inversion et pour le calcul d'opérations élémentaires par pivot. Les exemples du cours respectent cette consigne : ils restent en taille $2 \times 2$ ou en $3 \times 3$ simple à coefficients entiers ; le fichier d'exercices porte la technicité. La structure d'espace vectoriel de $M_{n,p}(\mathbb{K})$ est admise ici et démontrée rigoureusement au chapitre Espaces vectoriels. Les solutions d'un système linéaire et l'algorithme du pivot sont reportés au chapitre suivant Systèmes linéaires ; ce chapitre traite uniquement du côté matriciel. Les prérequis sont Calcul algébrique (notation $\sum$, formule du binôme scalaire) et les rudiments de Logique, Ensembles, Applications.

I L'espace $M_{n\virgule p}(\mathbb{K})$

Une matrice de taille $n \times p$ stocke $n p$ scalaires dans une grille rectangulaire : $n$ lignes et $p$ colonnes. L'ensemble de toutes ces matrices, noté $M_{n,p}(\mathbb{K})$, porte une structure naturelle de $\mathbb{K}$-espace vectoriel (addition et multiplication par un scalaire coefficient par coefficient). La description la plus économe écrit toute matrice comme combinaison linéaire de matrices « élémentaires » $E_{ij}$, ayant chacune un unique $1$ en position $(i, j)$ et des zéros ailleurs ; cette base élémentaire revient tout au long du chapitre (dans la règle ligne $\times$ colonne, dans l'encodage des opérations élémentaires, etc.).

Définition — Matrice

Une matrice de taille $n \times p$ à coefficients dans $\mathbb{K}$ est une famille $A = (a_{ij})_{\substack{1 \le i \le n \\ 1 \le j \le p}}$ de $n p$ éléments de $\mathbb{K}$ indexée par $\llbracket 1, n \rrbracket \times \llbracket 1, p \rrbracket$, écrite sous la forme rectangulaire $$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1p} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{np} \end{pmatrix}. $$ Le scalaire $a_{ij}$ est le coefficient de $A$ à la position $(i, j)$. L'ensemble des matrices de taille $n \times p$ à coefficients dans $\mathbb{K}$ est noté $M_{n, p}(\mathbb{K})$.
Formes particulières. Une matrice de taille $n \times n$ est une matrice carrée de taille $n$ ; l'ensemble est noté $M_n(\mathbb{K})$. Une matrice de taille $n \times 1$ est une matrice colonne (ou vecteur), et une matrice de taille $1 \times p$ est une matrice ligne. La matrice de taille $n \times p$ dont tous les coefficients sont nuls est la matrice nulle, notée $0$ (ou $0_{n, p}$ lorsque la taille importe).

Exemple

La matrice $$ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix} \in M_{2, 3}(\mathbb{R}) $$ a pour coefficients $a_{11} = 2$, $a_{12} = -1$, $a_{13} = 0$, $a_{21} = 3$, $a_{22} = 5$, $a_{23} = 1$. Sa première ligne est $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ et sa deuxième colonne est $\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}$.

Exemple

Trois matrices sous forme particulière : $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \in M_{1, 3}(\mathbb{R}) \text{ (ligne)}, \qquad \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \in M_{3, 1}(\mathbb{R}) \text{ (colonne)}, \qquad 0_{2, 3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ (nulle)}. $$

Définition — Égalité de matrices

Deux matrices $A = (a_{ij})$ et $B = (b_{ij})$ sont égales si et seulement si elles ont la même taille et $a_{ij} = b_{ij}$ pour tout $(i, j)$.

Définition — Addition$\virgule$ multiplication par un scalaire$\virgule$ combinaison linéaire

Pour $A, B \in M_{n, p}(\mathbb{K})$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$, la combinaison linéaire $\lambda A + \mu B$ est la matrice de $M_{n, p}(\mathbb{K})$ dont le coefficient en $(i, j)$ vaut $\lambda a_{ij} + \mu b_{ij}$ : $$ \lambda A + \mu B = \begin{pmatrix} \lambda a_{11} + \mu b_{11} & \cdots & \lambda a_{1p} + \mu b_{1p} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda a_{n1} + \mu b_{n1} & \cdots & \lambda a_{np} + \mu b_{np} \end{pmatrix}. $$ Le cas particulier $\lambda = \mu = 1$ donne la somme $A + B$, et le cas $\mu = 0$ donne le multiple scalaire $\lambda A$.

Exemple

Avec $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ : $$ 3 A - 2 B = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 - 2 \cdot 1 & 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 \\ 3 \cdot 0 - 2 \cdot (-2) & 3 \cdot 4 - 2 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}. $$

Proposition — Structure d'espace vectoriel de $M_{n\virgule p}(\mathbb{K})$

Muni de l'addition $A + B$ et de la multiplication par un scalaire $\lambda A$ définies ci-dessus, $M_{n, p}(\mathbb{K})$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Concrètement : l'addition est associative et commutative, la matrice nulle $0_{n, p}$ est un élément neutre, toute matrice $A$ a un opposé $-A$, et les règles standard de distributivité par rapport au scalaire sont vérifiées. Admis à ce stade ; la justification complète est donnée au chapitre Espaces vectoriels.

Définition — Matrices élémentaires

Pour $(i, j) \in \llbracket 1, n \rrbracket \times \llbracket 1, p \rrbracket$, la matrice élémentaire $E_{ij}$ de $M_{n, p}(\mathbb{K})$ est la matrice dont tous les coefficients sont nuls, sauf le coefficient en position $(i, j)$, qui vaut $1$.

Exemple

Les matrices élémentaires de $M_{2, 3}(\mathbb{R})$ sont : $$ \begin{aligned} &E_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad E_{21} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad E_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \\ &E_{22} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad E_{13} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad E_{23} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned} $$ Toute matrice $M \in M_{2, 3}(\mathbb{R})$ est combinaison linéaire de ces matrices élémentaires : $$ M = \begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \end{pmatrix} = m_{11} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + m_{21} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} + m_{12} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \ldots = \sum_{\substack{1 \le i \le 2 \\ 1 \le j \le 3}} m_{ij} E_{ij}. $$

Proposition — Décomposition sur les matrices élémentaires

Toute matrice $M = (m_{ij}) \in M_{n, p}(\mathbb{K})$ s'écrit de manière unique comme une combinaison linéaire des matrices élémentaires : $$ M = \sum_{\substack{1 \le i \le n \\ 1 \le j \le p}} m_{ij} E_{ij}. $$ Les scalaires $m_{ij}$ sont les coefficients de $M$ eux-mêmes : toute matrice se décompose de manière unique sur la famille des matrices élémentaires. On appellera plus tard $(E_{ij})_{i, j}$ la base canonique du $\mathbb{K}$-espace vectoriel $M_{n, p}(\mathbb{K})$ (vocabulaire reporté au chapitre Espaces vectoriels).

Preuve

Le coefficient du membre de droite à la position $(k, l) \in \llbracket 1, n \rrbracket \times \llbracket 1, p \rrbracket$ vaut $$ \sum_{i, j} m_{ij} (E_{ij})_{kl} = \sum_{i, j} m_{ij} \cdot \delta_{ik} \delta_{jl} = m_{kl}, $$ puisque $(E_{ij})_{kl} = 1$ si et seulement si $(i, j) = (k, l)$, et $0$ sinon. Ceci coïncide avec le coefficient de $M$ en $(k, l)$, d'où l'égalité $M = \sum_{i, j} m_{ij} E_{ij}$.
Pour l'unicité, supposons $M = \sum_{i, j} \lambda_{ij} E_{ij}$. La lecture du coefficient en $(k, l)$ des deux côtés donne $m_{kl} = \lambda_{kl}$, donc les scalaires sont forcés.

Exemple

Dans $M_{2, 3}(\mathbb{R})$, la matrice $$ M = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix} $$ se décompose en $$ M = 2 E_{11} - E_{12} + 0 \cdot E_{13} + 3 E_{21} + 5 E_{22} + E_{23}. $$

Compétences à pratiquer

Calculer une combinaison linéaire
Décomposer sur les matrices élémentaires

II Produit matriciel

Le produit matriciel est l'opération qui relie les matrices aux systèmes d'équations linéaires (tout système $A X = B$ multiplie la colonne $X$ à gauche par $A$), aux compositions d'applications linéaires (la matrice de $g \circ f$ est le produit des matrices de $g$ et $f$), et aux changements de base. Il n'est défini que si les tailles intérieures coïncident : $A$ est de taille $p \times q$ et $B$ de taille $q \times r$ --- un seul $q$. Le produit est bilinéaire, associatif, et admet la matrice identité $I_n$ comme élément neutre dans le cas carré. Mais il n'est pas commutatif, et contrairement aux scalaires deux matrices peuvent se multiplier en zéro sans qu'aucune d'elles soit nulle --- phénomènes qui structurent beaucoup de la suite.

Définition — Produit matriciel

Pour $A \in M_{p, q}(\mathbb{K})$ et $B \in M_{q, r}(\mathbb{K})$, le produit matriciel $A B \in M_{p, r}(\mathbb{K})$ est défini par $$ (A B)_{ij} = \sum_{k = 1}^{q} a_{ik} b_{kj} \qquad \text{pour } i \in \llbracket 1, p \rrbracket, \ j \in \llbracket 1, r \rrbracket. $$ Le produit $A B$ n'est défini que si le nombre de colonnes de $A$ vaut le nombre de lignes de $B$ (tous deux égaux à $q$). La taille du produit est alors $(\text{lignes de } A) \times (\text{colonnes de } B) = p \times r$.

Exemple

Avec $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \in M_{3, 2}(\mathbb{R})$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix} \in M_{2, 3}(\mathbb{R})$, le produit $A B \in M_{3, 3}(\mathbb{R})$ : $$ A B = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 & 2 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) & 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 \\ 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 & 1 \cdot 0 + 3 \cdot (-1) & 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 \\ 2 \cdot 1 + 0 \cdot 2 & 2 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) & 2 \cdot 1 + 0 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 5 \\ 7 & -3 & 10 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}. $$

Méthode — Règle ligne $\times$ colonne

Le coefficient $(A B)_{ij}$ est le « produit scalaire » de la $i$-ème ligne de $A$ par la $j$-ème colonne de $B$ : on écrit la ligne horizontale au-dessus de la colonne verticale, on apparie les termes deux à deux, on ajoute. C'est le raccourci mental le plus utile pour calculer un seul coefficient d'un produit sans poser la matrice complète.

Proposition — Interprétation par colonnes de $A X$

Soient $A \in M_{n, p}(\mathbb{K})$ de colonnes $C_1(A), \ldots, C_p(A) \in M_{n, 1}(\mathbb{K})$, et $X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_p \end{pmatrix} \in M_{p, 1}(\mathbb{K})$. Alors $$ A X = \sum_{j = 1}^{p} x_j \, \textcolor{colorprop}{C_j(A)}. $$ Le produit $A X$ est la combinaison linéaire des colonnes de $A$ de coefficients donnés par les composantes de $X$. Plus généralement, pour $B \in M_{p, r}(\mathbb{K})$ de colonnes $C_1(B), \ldots, C_r(B)$, $$ A B = \begin{pmatrix} A C_1(B) & \cdots & A C_r(B) \end{pmatrix}. $$

Exemple

Avec $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ et $X = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$ : $$ A X = 5 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 6 \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 + 18 \\ 10 + 24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 \\ 34 \end{pmatrix}. $$

Proposition — Bilinéarité et associativité du produit matriciel

Soient $A, A' \in M_{p, q}(\mathbb{K})$, $B, B' \in M_{q, r}(\mathbb{K})$, $C \in M_{r, s}(\mathbb{K})$, $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$. Alors :

Bilinéarité : $(\lambda A + \mu A') B = \lambda A B + \mu A' B$ et $A (\lambda B + \mu B') = \lambda A B + \mu A B'$.
Associativité : $(A B) C = A (B C)$.

Preuve

Bilinéarité. Pour tout $(i, j) \in \llbracket 1, p \rrbracket \times \llbracket 1, r \rrbracket$, $$ \begin{aligned} \bigl( (\lambda A + \mu A') B \bigr)_{ij} &= \sum_{k = 1}^{q} (\lambda a_{ik} + \mu a'_{ik}) b_{kj} && \text{(définition du produit, avec } (\lambda A + \mu A')_{ik} = \lambda a_{ik} + \mu a'_{ik}\text{)} \\ &= \lambda \sum_{k = 1}^{q} a_{ik} b_{kj} + \mu \sum_{k = 1}^{q} a'_{ik} b_{kj} && \text{(linéarité de } \sum\text{)} \\ &= \lambda (A B)_{ij} + \mu (A' B)_{ij}. \end{aligned} $$ La bilinéarité à droite est symétrique.
Associativité. Pour $(i, j) \in \llbracket 1, p \rrbracket \times \llbracket 1, s \rrbracket$, $$ \begin{aligned} \bigl( (A B) C \bigr)_{ij} &= \sum_{l = 1}^{r} (A B)_{il} c_{lj} && \text{(définition du produit extérieur)} \\ &= \sum_{l = 1}^{r} \left( \sum_{k = 1}^{q} a_{ik} b_{kl} \right) c_{lj} && \text{(définition du produit intérieur } A B\text{)} \\ &= \sum_{l = 1}^{r} \sum_{k = 1}^{q} a_{ik} b_{kl} c_{lj} && \text{(distributivité par rapport à } c_{lj}\text{)} \\ &= \sum_{k = 1}^{q} \sum_{l = 1}^{r} a_{ik} b_{kl} c_{lj} && \text{(échange de sommes finies)} \\ &= \sum_{k = 1}^{q} a_{ik} \sum_{l = 1}^{r} b_{kl} c_{lj} && \text{(factorisation de } a_{ik}\text{ hors de la somme intérieure)} \\ &= \sum_{k = 1}^{q} a_{ik} (B C)_{kj} && \text{(reconnaissance de } B C\text{)} \\ &= \bigl( A (B C) \bigr)_{ij} && \text{(définition du produit } A (B C)\text{)}. \end{aligned} $$

Définition — Matrice identité

La matrice identité de taille $n$ est la matrice carrée $$ I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \in M_n(\mathbb{K}), $$ c'est-à-dire $(I_n)_{ij} = \delta_{ij}$ où $\delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker ($1$ si $i = j$, $0$ sinon).

Proposition — La matrice identité est neutre

Pour toute $A \in M_{n, p}(\mathbb{K})$ : $$ I_n A = A \qquad \text{et} \qquad A I_p = A. $$

Preuve

Pour $(i, j) \in \llbracket 1, n \rrbracket \times \llbracket 1, p \rrbracket$, $$ \begin{aligned} (I_n A)_{ij} &= \sum_{k = 1}^{n} (I_n)_{ik} a_{kj} && \text{(définition du produit)} \\ &= \sum_{k = 1}^{n} \delta_{ik} a_{kj} && \text{(définition de } I_n\text{)} \\ &= a_{ij} && \text{(seul le terme } k = i \text{ survit, où } \delta_{ii} = 1\text{)}. \end{aligned} $$ La preuve de $A I_p = A$ est symétrique.

Proposition — Produit de matrices élémentaires

Pour $E_{ij} \in M_{n, p}(\mathbb{K})$ et $E_{kl} \in M_{p, q}(\mathbb{K})$, $$ \textcolor{colorprop}{E_{ij} E_{kl} = \delta_{jk} E_{il}}. $$ Le produit de deux matrices élémentaires est nul sauf si les indices intérieurs coïncident ($j = k$) ; lorsqu'ils coïncident, le résultat est la matrice élémentaire portée par les indices extérieurs ($i, l$).

Preuve

Pour $(s, t) \in \llbracket 1, n \rrbracket \times \llbracket 1, q \rrbracket$, $$ \begin{aligned} (E_{ij} E_{kl})_{st} &= \sum_{r = 1}^{p} (E_{ij})_{sr} (E_{kl})_{rt} && \text{(définition du produit)} \\ &= \sum_{r = 1}^{p} \delta_{is} \delta_{jr} \cdot \delta_{kr} \delta_{lt} && \text{(définition de $E_{ij}$ et $E_{kl}$)} \\ &= \delta_{is} \delta_{lt} \sum_{r = 1}^{p} \delta_{jr} \delta_{kr} && \text{(factorisation des indices indépendants de $r$)} \\ &= \delta_{is} \delta_{lt} \cdot \delta_{jk} && \text{(seul le terme $r = j$ survit, contribuant $\delta_{kj}$)} \\ &= \delta_{jk} (E_{il})_{st} && \text{(reconnaissance de $(E_{il})_{st} = \delta_{is} \delta_{lt}$)}. \end{aligned} $$

Proposition — Structure d'anneau de $M_n(\mathbb{K})$

Muni de l'addition et du produit matriciels, $M_n(\mathbb{K})$ est un anneau d'élément neutre $I_n$. Pour $n \ge 2$, cet anneau n'est en général pas commutatif.

Exemple — Non-commutativité

Le produit matriciel n'est pas commutatif. Avec $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ : $$ A B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = B A. $$ C'est une différence fondamentale avec la multiplication scalaire, où $\lambda \mu = \mu \lambda$ toujours.

Exemple — Diviseurs de zéro

Un produit de matrices peut être nul sans qu'aucun facteur ne le soit. Avec $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ : $$ A B = \begin{pmatrix} 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, $$ bien que $A \neq 0$ et $B \neq 0$. Cela exhibe des diviseurs de zéro non nuls dans l'anneau $M_2(\mathbb{K})$. Le phénomène est impossible dans $\mathbb{K}$ : si $\lambda \mu = 0$ dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, alors $\lambda = 0$ ou $\mu = 0$.

Définition — Puissances et matrices nilpotentes

Pour $A \in M_n(\mathbb{K})$, les puissances de $A$ sont définies par $A^0 = I_n$ et $A^{k + 1} = A \cdot A^k$ pour $k \in \mathbb{N}$. Lorsque $A$ est inversible, cette définition se prolonge aux entiers négatifs par $A^{-k} = (A^{-1})^k$ pour $k \in \mathbb{N}^*$, de sorte que $A^k$ est défini pour tout $k \in \mathbb{Z}$. La matrice $A$ est nilpotente s'il existe $p \in \mathbb{N}^*$ tel que $A^p = 0$. Le plus petit tel $p$ est l'indice de nilpotence.

Exemple

La matrice $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ est nilpotente d'indice $2$ : $$ N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. $$ Donc $N^k = 0$ pour tout $k \ge 2$, et $N \neq 0$.

Proposition — Formule du binôme et différence de puissances pour des matrices qui commutent

Soient $A, B \in M_n(\mathbb{K})$ avec $A B = B A$ (les matrices commutent). Alors pour tout $k \in \mathbb{N}$, $$ \textcolor{colorprop}{(A + B)^k = \sum_{i = 0}^{k} \binom{k}{i} A^i B^{k - i}}, $$ et pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, $$ \textcolor{colorprop}{A^k - B^k = (A - B) \sum_{i = 0}^{k - 1} A^i B^{k - 1 - i}}. $$ Attention. L'hypothèse $A B = B A$ est essentielle : sans elle, $(A + B)^2 = A^2 + A B + B A + B^2 \neq A^2 + 2 A B + B^2$ en général, et l'identité de différence de puissances échoue également.

Preuve

La preuve est identique à celle du binôme scalaire dans Calcul algébrique, puisque le seul ingrédient (au-delà des axiomes d'anneau) est la commutation $A B = B A$ servant à réordonner les facteurs.
Formule du binôme. Récurrence sur $k \in \mathbb{N}$.

Initialisation. Pour $k = 0$ : $(A + B)^0 = I_n$ et $\sum_{i = 0}^{0} \binom{0}{i} A^0 B^0 = \binom{0}{0} I_n = I_n$.
Hérédité. Supposons la formule au rang $k$. Multiplions par $(A + B)$ à droite : $$ \begin{aligned} (A + B)^{k + 1} &= (A + B)^k (A + B) && \text{(décomposition de la puissance)} \\ &= \left( \sum_{i = 0}^{k} \binom{k}{i} A^i B^{k - i} \right) (A + B) && \text{(hypothèse de récurrence)} \\ &= \sum_{i = 0}^{k} \binom{k}{i} A^i B^{k - i} A + \sum_{i = 0}^{k} \binom{k}{i} A^i B^{k - i + 1} && \text{(distributivité)} \\ &= \sum_{i = 0}^{k} \binom{k}{i} A^{i + 1} B^{k - i} + \sum_{i = 0}^{k} \binom{k}{i} A^i B^{k - i + 1} && \text{(commutation } A^i B^{k - i} A = A^{i + 1} B^{k - i}\text{)} \\ &= \sum_{i = 1}^{k + 1} \binom{k}{i - 1} A^i B^{k - i + 1} + \sum_{i = 0}^{k} \binom{k}{i} A^i B^{k - i + 1} && \text{(réindexation de la première somme : } i \mapsto i - 1\text{)} \\ &= A^{k + 1} + \sum_{i = 1}^{k} \left[ \binom{k}{i - 1} + \binom{k}{i} \right] A^i B^{k - i + 1} + B^{k + 1} && \text{(extraction des termes extrêmes)} \\ &= A^{k + 1} + \sum_{i = 1}^{k} \binom{k + 1}{i} A^i B^{k + 1 - i} + B^{k + 1} && \text{(formule de Pascal)} \\ &= \sum_{i = 0}^{k + 1} \binom{k + 1}{i} A^i B^{k + 1 - i} && \text{(réabsorption des termes extrêmes)}. \end{aligned} $$
Conclusion. La formule vaut pour tout $k \in \mathbb{N}$ par récurrence.

Différence de puissances. Pour $k \in \mathbb{N}^*$, développons le membre de droite en utilisant $A B = B A$ pour faire commuter les facteurs : $$ \begin{aligned} (A - B) \sum_{i = 0}^{k - 1} A^i B^{k - 1 - i} &= \sum_{i = 0}^{k - 1} A^{i + 1} B^{k - 1 - i} - \sum_{i = 0}^{k - 1} B \cdot A^i B^{k - 1 - i} && \text{(distributivité)} \\ &= \sum_{i = 0}^{k - 1} A^{i + 1} B^{k - 1 - i} - \sum_{i = 0}^{k - 1} A^i B^{k - i} && \text{(commutation : } B \cdot A^i = A^i B \text{)} \\ &= \sum_{j = 1}^{k} A^{j} B^{k - j} - \sum_{i = 0}^{k - 1} A^i B^{k - i} && \text{(réindexation de la première somme : } j = i + 1\text{)} \\ &= A^k - B^k && \text{(télescopage : les termes appariés } j = i \text{ s'annulent)}. \end{aligned} $$

Méthode — Puissances par décomposition $\alpha I_n + N$ avec $N$ nilpotente

Pour calculer $A^k$ lorsque $A = \alpha I_n + N$ avec $\alpha \in \mathbb{K}$ et $N \in M_n(\mathbb{K})$ nilpotente d'indice $p$, on observe que $\alpha I_n$ commute avec toute matrice (en particulier avec $N$). On applique la formule du binôme : $$ A^k = \sum_{i = 0}^{k} \binom{k}{i} (\alpha I_n)^{k - i} N^i = \sum_{i = 0}^{\min(k, p - 1)} \binom{k}{i} \alpha^{k - i} N^i. $$ La somme se tronque à $i = p - 1$ car $N^p = 0$ --- seuls un nombre fini de termes contribuent.

Exemple

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Posons $A = I_3 + N$ avec $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. Calculons $N^2$ : $$ N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, $$ donc $N$ est nilpotente d'indice $2$. Puisque $I_3$ et $N$ commutent, la formule du binôme se tronque à $i = 1$ : $$ A^k = (I_3 + N)^k = \binom{k}{0} I_3 + \binom{k}{1} N = I_3 + k N = \begin{pmatrix} 1 & k & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$

Compétences à pratiquer

Calculer un produit matriciel
Identifier la non-commutativité et les diviseurs de zéro
Calculer des puissances de matrice

III Transposée$\virgule$ matrices symétriques et antisymétriques

L'échange des lignes et des colonnes produit la transposée d'une matrice. La transposée est une involution linéaire qui transforme un produit en produit inversé : $(A B)^\top = B^\top A^\top$. Deux sous-espaces naturels de $M_n(\mathbb{K})$ émergent : les matrices fixes par transposition (symétriques) et les matrices changées de signe par transposition (antisymétriques).

Définition — Transposée

Pour $A = (a_{ij}) \in M_{n, p}(\mathbb{K})$, la transposée de $A$ est la matrice $A^\top = (a_{ji}) \in M_{p, n}(\mathbb{K})$. Concrètement, les lignes de $A$ deviennent les colonnes de $A^\top$ (et réciproquement) ; le coefficient de $A^\top$ en $(i, j)$ est le coefficient de $A$ en $(j, i)$.

Exemple

$$ \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 5 & 2 & 7 \end{pmatrix}^\top = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 2 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}. $$ La transposée d'une matrice colonne est une matrice ligne, et réciproquement.

Proposition — Propriétés de la transposée

Pour $A, B \in M_{n, p}(\mathbb{K})$, $C \in M_{p, q}(\mathbb{K})$, $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$ :

Linéarité : $(\lambda A + \mu B)^\top = \lambda A^\top + \mu B^\top$.
Involutivité : $(A^\top)^\top = A$.
Inversion du produit : $(A C)^\top = C^\top A^\top$.

Preuve

La linéarité et l'involutivité sont des conséquences directes de l'échange d'indices $(a_{ij}) \mapsto (a_{ji})$. L'inversion du produit est le seul point non trivial. Pour $(i, j) \in \llbracket 1, q \rrbracket \times \llbracket 1, n \rrbracket$, $$ \begin{aligned} \bigl( (A C)^\top \bigr)_{ij} &= (A C)_{ji} && \text{(définition de la transposée)} \\ &= \sum_{k = 1}^{p} a_{jk} c_{ki} && \text{(définition du produit matriciel)} \\ &= \sum_{k = 1}^{p} (A^\top)_{kj} (C^\top)_{ik} && \text{(}a_{jk} = (A^\top)_{kj}\text{ et }c_{ki} = (C^\top)_{ik}\text{)} \\ &= \sum_{k = 1}^{p} (C^\top)_{ik} (A^\top)_{kj} && \text{(réordonnement du produit scalaire dans } \mathbb{K}\text{)} \\ &= (C^\top A^\top)_{ij} && \text{(reconnaissance du produit matriciel } C^\top A^\top\text{)}. \end{aligned} $$

Définition — Matrices symétriques et antisymétriques

Une matrice $A \in M_n(\mathbb{K})$ est symétrique si $A^\top = A$ et antisymétrique si $A^\top = -A$. L'ensemble des matrices symétriques (resp. antisymétriques) est noté $S_n(\mathbb{K})$ (resp. $A_n(\mathbb{K})$). Remarque. Une matrice antisymétrique a tous ses coefficients diagonaux nuls (puisque $a_{ii} = -a_{ii}$).

Exemple

La matrice $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 6 \end{pmatrix}$ est symétrique (miroir le long de la diagonale) ; la matrice $\begin{pmatrix} 0 & 1 & -5 \\ -1 & 0 & 2 \\ 5 & -2 & 0 \end{pmatrix}$ est antisymétrique (changement de signe le long de la diagonale, zéros sur celle-ci).

Compétences à pratiquer

Manipuler la transposée
Travailler avec des matrices symétriques et antisymétriques

IV Matrices diagonales et triangulaires

Deux familles distinguées de matrices carrées sont stables par combinaison linéaire et par produit matriciel : les matrices diagonales (nulles hors de la diagonale) et les matrices triangulaires (nulles en dessous ou au-dessus de la diagonale). Leur stabilité par produit en fait des sous-anneaux utiles de $M_n(\mathbb{K})$, et leurs coefficients diagonaux contrôlent l'inversibilité (traitée dans les sections suivantes sur l'inversibilité et Gauss-Jordan).

Définition — Matrices diagonales$\virgule$ scalaires$\virgule$ triangulaires

Soit $A = (a_{ij}) \in M_n(\mathbb{K})$.

$A$ est diagonale si $a_{ij} = 0$ dès que $i \neq j$. La matrice est alors notée $\mathrm{diag}(a_{11}, \ldots, a_{nn})$.
$A$ est une matrice scalaire si $A = \lambda I_n$ pour un certain $\lambda \in \mathbb{K}$ (une matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux sont égaux).
$A$ est triangulaire supérieure si $a_{ij} = 0$ dès que $i > j$ (zéros strictement sous la diagonale) ; triangulaire inférieure si $a_{ij} = 0$ dès que $i < j$ (zéros strictement au-dessus).

Une matrice est diagonale si et seulement si elle est à la fois triangulaire supérieure et triangulaire inférieure.

Exemple

Trois exemples concrets dans $M_3(\mathbb{R})$ : $$ \mathrm{diag}(2, -1, 5) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 0 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \text{ (triangulaire supérieure)}, \qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 7 & 8 & 3 \end{pmatrix} \text{ (triangulaire inférieure)}. $$

Proposition — Les matrices scalaires commutent avec tout

Pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$ et toute $A \in M_{n, p}(\mathbb{K})$, $$ \textcolor{colorprop}{(\lambda I_n) A = A (\lambda I_p) = \lambda A}. $$ Les matrices scalaires agissent exactement comme le scalaire sous-jacent ; en particulier, elles commutent avec toute matrice carrée de taille compatible.

Proposition — Stabilité des familles triangulaire et diagonale

Soient $A, B \in M_n(\mathbb{K})$ toutes deux triangulaires supérieures (resp. toutes deux triangulaires inférieures, resp. toutes deux diagonales), et $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$. Alors $\lambda A + \mu B$ et $A B$ sont triangulaires supérieures (resp. triangulaires inférieures, resp. diagonales). De plus, les coefficients diagonaux du produit vérifient $$ \textcolor{colorprop}{(A B)_{ii} = a_{ii} b_{ii}} \qquad \text{pour tout } i \in \llbracket 1, n \rrbracket. $$

Preuve

Traitons le cas triangulaire supérieur ; le cas inférieur s'en déduit par transposition, et le cas diagonal est l'intersection.

Combinaison linéaire. Pour $i > j$, $(\lambda A + \mu B)_{ij} = \lambda a_{ij} + \mu b_{ij} = \lambda \cdot 0 + \mu \cdot 0 = 0$, donc $\lambda A + \mu B$ est triangulaire supérieure.
Produit. Pour $i, j \in \llbracket 1, n \rrbracket$ avec $i > j$, en scindant la somme selon $k \le i - 1$ et $k \ge i$ : $$ \begin{aligned} (A B)_{ij} &= \sum_{k = 1}^{n} a_{ik} b_{kj} = \sum_{k = 1}^{i - 1} \underbrace{a_{ik}}_{= 0 \text{ car } k < i} b_{kj} + \sum_{k = i}^{n} a_{ik} \underbrace{b_{kj}}_{= 0 \text{ car } k \ge i > j} && \text{(analyse par zones)} \\ &= 0 + 0 = 0, \end{aligned} $$ donc $A B$ est triangulaire supérieure. Pour $i \in \llbracket 1, n \rrbracket$, la même analyse par zones en $i = j$ ne laisse que le terme $k = i$ : $$ (A B)_{ii} = \sum_{k = 1}^{i - 1} \underbrace{a_{ik}}_{= 0} b_{ki} + a_{ii} b_{ii} + \sum_{k = i + 1}^{n} a_{ik} \underbrace{b_{ki}}_{= 0} = a_{ii} b_{ii}. $$

Méthode — Produit de matrices diagonales

Pour $\alpha_1, \ldots, \alpha_n, \beta_1, \ldots, \beta_n \in \mathbb{K}$ : $$ \mathrm{diag}(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \cdot \mathrm{diag}(\beta_1, \ldots, \beta_n) = \mathrm{diag}(\alpha_1 \beta_1, \ldots, \alpha_n \beta_n). $$ Le produit se calcule terme à terme sur la diagonale --- pas de gymnastique ligne $\times$ colonne. Cela fait des matrices diagonales la famille stable la plus simple à manipuler à l'intérieur de $M_n(\mathbb{K})$.

Exemple

$$ \mathrm{diag}(2, 3, 5) \cdot \mathrm{diag}(1, 4, 1) = \mathrm{diag}(2 \cdot 1, \ 3 \cdot 4, \ 5 \cdot 1) = \mathrm{diag}(2, 12, 5). $$

Compétences à pratiquer

Calculer des produits de matrices diagonales et triangulaires

V Matrices inversibles

La version scalaire de « inversible » est « non nul » : tout scalaire non nul possède un inverse multiplicatif. La version matricielle est plus délicate : seules les matrices carrées peuvent être inversées, et toutes les matrices non nulles ne sont pas inversibles (Exemple $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$). Quand l'inverse existe, il est unique. L'ensemble des matrices inversibles de $M_n(\mathbb{K})$ forme un groupe pour la multiplication, le groupe linéaire $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$. Pour les matrices $2 \times 2$ une formule fermée d'inversion est disponible ; pour les tailles supérieures on utilise les opérations élémentaires (traitées dans la section Gauss-Jordan plus bas).

Définition — Matrice inversible$\virgule$ inverse$\virgule$ groupe linéaire

Une matrice $A \in M_n(\mathbb{K})$ est inversible s'il existe $B \in M_n(\mathbb{K})$ telle que $$ A B = B A = I_n. $$ Une telle matrice $B$, lorsqu'elle existe, est unique (démonstration ci-dessous) ; elle est appelée inverse de $A$ et notée $A^{-1}$. L'ensemble des matrices inversibles de $M_n(\mathbb{K})$ est noté $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ et appelé groupe linéaire de dimension $n$ sur $\mathbb{K}$.

Proposition — Unicité de l'inverse

Si $A \in M_n(\mathbb{K})$ est inversible, alors la matrice $B$ telle que $A B = B A = I_n$ est unique.

Preuve

Supposons que $B$ et $B'$ vérifient toutes deux $A B = B A = I_n$ et $A B' = B' A = I_n$. Alors $$ B = B I_n = B (A B') = (B A) B' = I_n B' = B', $$ en utilisant successivement l'élément neutre, l'hypothèse $A B' = I_n$, l'associativité, l'hypothèse $B A = I_n$, et l'élément neutre. Donc $B = B'$.

Exemple

La matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ est inversible d'inverse $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, puisque $$ A A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) & 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2, $$ et de même $A^{-1} A = I_2$.

Theorem — Inverse d'une matrice $2 \times 2$

Soit $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{K})$. Définissons le déterminant $$ \det A = a d - b c \in \mathbb{K}. $$ Alors $A$ est inversible si et seulement si $\det A \neq 0$, et dans ce cas $$ \textcolor{colorprop}{A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}}. $$

Preuve

Calculons le produit $$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a d - b c & -a b + a b \\ c d - c d & -b c + a d \end{pmatrix} = (a d - b c) I_2 = (\det A) I_2. $$ De manière symétrique, $\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = (\det A) I_2$.

($\Leftarrow$) Si $\det A \neq 0$, on divise les deux produits par $\det A$ et on obtient $A \cdot \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = I_2$ et l'identité symétrique. Donc $A$ est inversible d'inverse annoncé.
($\Rightarrow$) Réciproquement, supposons par l'absurde que $\det A = 0$ et que $A$ est inversible. Multiplions les deux membres de $A \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = (\det A) I_2 = 0_{2, 2}$ à gauche par $A^{-1}$ : $$ \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = A^{-1} \cdot 0_{2, 2} = 0_{2, 2}, $$ ce qui force $a = b = c = d = 0$, donc $A = 0_{2, 2}$. Or la matrice nulle n'est pas inversible (son produit avec toute matrice vaut zéro, pas $I_2$), contradiction. Donc $\det A \neq 0$.

Méthode — Inverser une matrice $2 \times 2$

Soit $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ :

Calculer $\det A = a d - b c$.
Si $\det A = 0$ : $A$ n'est pas inversible. Stop.
Si $\det A \neq 0$ : $A^{-1} = \dfrac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ --- échanger la diagonale, opposer l'anti-diagonale, diviser par le déterminant.

Exemple

Pour $A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ : $\det A = 3 \cdot 2 - 5 \cdot 1 = 6 - 5 = 1$, non nul, donc $A$ est inversible et $$ A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}. $$ Vérification : $A A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 + 5 \cdot (-1) & 3 \cdot (-5) + 5 \cdot 3 \\ 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) & 1 \cdot (-5) + 2 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$. $\checkmark$

Proposition — Opérations sur les matrices inversibles

Soient $A, B \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$.

$A^{-1} \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ et $(A^{-1})^{-1} = A$.
$A B \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ et $(A B)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ --- l'inverse renverse l'ordre.
$A^\top \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ et $(A^\top)^{-1} = (A^{-1})^\top$.
Pour tout $k \in \mathbb{Z}$, $A^k \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ et $(A^k)^{-1} = (A^{-1})^k$.

En particulier, $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ est un groupe pour le produit matriciel, d'élément neutre $I_n$.

Preuve

Auto-inverse. Les relations $A A^{-1} = A^{-1} A = I_n$ montrent, par symétrie, que $A^{-1}$ est inversible d'inverse $A$.
Produit. Calculons $(A B)(B^{-1} A^{-1}) = A (B B^{-1}) A^{-1} = A I_n A^{-1} = A A^{-1} = I_n$ (et l'identité symétrique $(B^{-1} A^{-1})(A B) = I_n$). Donc $A B$ est inversible d'inverse $B^{-1} A^{-1}$.
Transposée. Appliquons la transposée à $A A^{-1} = I_n$ et utilisons $(X Y)^\top = Y^\top X^\top$ : $(A^{-1})^\top A^\top = I_n^\top = I_n$, et de même $A^\top (A^{-1})^\top = I_n$. Donc $A^\top$ est inversible d'inverse $(A^{-1})^\top$.
Puissances. Pour $k \ge 0$, on raisonne par récurrence sur $k$ via le résultat sur le produit. Pour $k < 0$, on pose $A^k = (A^{-1})^{-k}$ et on applique le cas précédent.

Exemple — Matrices involutives

Si $A \in M_n(\mathbb{K})$ vérifie $A^2 = I_n$, alors $A$ est inversible et $A^{-1} = A$. En effet, dans la définition de l'inverse les deux conditions $A B = I_n$ et $B A = I_n$ se réduisent toutes deux, avec $B = A$, à l'unique équation $A^2 = I_n$ --- qui est l'hypothèse. Une telle matrice est dite involutive. Exemples : $I_n$, $-I_n$, la matrice « d'échange » $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Compétences à pratiquer

Inverser une matrice $2 \times 2$
Utiliser $(A B)^{-1}$ et $(A^\top)^{-1}$

VI Opérations élémentaires et calcul de l'inverse

Trois opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice --- échanger deux lignes, multiplier une ligne par un scalaire non nul, ajouter à une ligne un multiple d'une autre --- sont exactement les opérations utilisées dans l'élimination de Gauss. Les trois mêmes existent sur les colonnes. Le fait clé : chaque opération élémentaire sur les lignes équivaut à une multiplication à gauche par une matrice inversible, et chaque opération sur les colonnes à une multiplication à droite par une matrice inversible. Cette identification est le pont entre la vision « algorithmique » de la réduction de Gauss et la structure algébrique de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$, et fournit un moyen constructif de calculer les inverses : réduire le tableau augmenté $(A | I_n)$ en $(I_n | A^{-1})$. Le cas triangulaire admet un critère net (inversibilité ssi tous les coefficients diagonaux sont non nuls), que l'on démontre directement.

Définition — Opérations élémentaires

Soient $i, j \in \llbracket 1, n \rrbracket$ avec $i \neq j$, et $\lambda \in \mathbb{K}$. Les trois opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice $A \in M_{n, p}(\mathbb{K})$ sont :

Échange : $L_i \leftrightarrow L_j$ --- échanger la ligne $i$ et la ligne $j$.
Mise à l'échelle : $L_i \leftarrow \lambda L_i$ --- multiplier la ligne $i$ par $\lambda \neq 0$.
Transvection : $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ --- ajouter $\lambda$ fois la ligne $j$ à la ligne $i$ (avec $i \neq j$).

Les trois opérations élémentaires sur les colonnes sont définies de manière analogue, en remplaçant les lignes par les colonnes : $C_i \leftrightarrow C_j$, $C_i \leftarrow \lambda C_i$, $C_i \leftarrow C_i + \lambda C_j$.

Theorem — Opération élémentaire $\equal$ multiplication par une matrice inversible

Chaque opération élémentaire sur les lignes de $A \in M_{n, p}(\mathbb{K})$ est réalisée par multiplication à gauche par une matrice inversible $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$. La matrice $P$ s'obtient en appliquant la même opération à la matrice identité $I_n$.
De manière symétrique, chaque opération élémentaire sur les colonnes de $A$ est réalisée par multiplication à droite par une matrice inversible $Q \in \mathrm{GL}_p(\mathbb{K})$, où $Q$ s'obtient en appliquant la même opération à $I_p$.

Proposition — Les opérations élémentaires préservent l'inversibilité

Soit $A \in M_n(\mathbb{K})$. Appliquer à $A$ une opération élémentaire sur les lignes ou les colonnes préserve l'inversibilité : le résultat est inversible si et seulement si $A$ l'est.

Preuve

Une opération sur les lignes transforme $A$ en $P A$ avec $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ (Théorème ci-dessus). Comme le produit de deux matrices inversibles est inversible (Proposition « opérations sur les matrices inversibles » plus haut), $P A$ est inversible ssi $A$ l'est. L'argument pour les opérations sur les colonnes est symétrique : $A$ devient $A Q$ avec $Q \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$.

Méthode — Les trois matrices élémentaires

Soient $i \neq j \in \llbracket 1, n \rrbracket$ et $\lambda \in \mathbb{K}$. La matrice réalisant l'opération sur les lignes, appliquée à $I_n$ :

Matrice d'échange $P_{i \leftrightarrow j}$ : $I_n$ avec les lignes $i$ et $j$ échangées. Inverse : $P_{i \leftrightarrow j}$ elle-même (involution).
Dilatation $D_i(\lambda)$ ($\lambda \neq 0$) : $I_n$ dont le $1$ diagonal en position $i$ est remplacé par $\lambda$. Inverse : $D_i(1 / \lambda)$.
Transvection $T_{ij}(\lambda) = I_n + \lambda E_{ij}$ (avec $i \neq j$) : $I_n$ avec un $\lambda$ supplémentaire en position $(i, j)$. Inverse : $T_{ij}(-\lambda)$.

Pour les colonnes : les mêmes matrices, mais elles multiplient $A$ à droite (et $T_{ij}(\lambda)$ à droite réalise $C_j \leftarrow C_j + \lambda C_i$, c'est-à-dire l'ajout de $\lambda C_i$ à $C_j$ --- noter l'inversion d'indices).

Exemple — Matrice d'échange sur $M_3$

La matrice réalisant $L_1 \leftrightarrow L_2$ sur une matrice $3 \times p$ est $$ P_{1 \leftrightarrow 2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$ Vérification sur $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$ : $$ P_{1 \leftrightarrow 2} A = \begin{pmatrix} d & e & f \\ a & b & c \\ g & h & i \end{pmatrix}. $$ La matrice est sa propre inverse : $P_{1 \leftrightarrow 2}^2 = I_3$.

Exemple — Matrice de transvection sur $M_3$

La matrice réalisant $L_2 \leftarrow L_2 + 3 L_1$ sur une matrice $3 \times p$ est $$ T_{21}(3) = I_3 + 3 E_{21} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad T_{21}(3)^{-1} = T_{21}(-3) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$

Méthode — Inverser une matrice par opérations sur les lignes (Gauss-Jordan)

Pour calculer $A^{-1}$ pour $A \in M_n(\mathbb{K})$ :

Former le tableau augmenté $(A | I_n) \in M_{n, 2n}(\mathbb{K})$.
Appliquer des opérations élémentaires sur les lignes pour réduire $A$ en $I_n$. Appliquer les mêmes opérations au bloc de droite.
Si $A$ se réduit en $I_n$ : le bloc de droite est devenu $A^{-1}$. Le tableau se lit $(I_n | A^{-1})$.
Si une ligne nulle apparaît à gauche : $A$ n'est pas inversible. Stop.

Justification : chaque opération sur les lignes équivaut à une multiplication à gauche par une matrice inversible (Théorème ci-dessus). Si $P_r \cdots P_1$ est le composé qui transforme $A$ en $I_n$, alors $P_r \cdots P_1 \cdot A = I_n$, donc $A^{-1} = P_r \cdots P_1 = P_r \cdots P_1 \cdot I_n$ --- exactement le bloc de droite au final.

Exemple — Inverser une matrice $3 \times 3$ par Gauss-Jordan

Calculer l'inverse de $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$.

Correction

Former $(A | I_3)$ et réduire une opération élémentaire à la fois : $$ \begin{aligned} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) && \text{(initial)} \\ \xrightarrow[L_2 \leftarrow L_2 - L_1]{} \ & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) && \text{(transvection : annulation de } a_{21}\text{)} \\ \xrightarrow[L_3 \leftarrow L_3 - L_1]{} \ & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right) && \text{(transvection : annulation de } a_{31}\text{)} \\ \xrightarrow[L_3 \leftarrow L_3 - L_2]{} \ & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 1 \end{array} \right) && \text{(transvection : annulation du nouveau } a_{32}\text{)} \\ \xrightarrow[L_2 \leftarrow -L_2]{} \ & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 1 \end{array} \right) && \text{(échelonnement par } -1\text{ : pivot $1$ en $(2,2)$)} \\ \xrightarrow[L_3 \leftarrow -L_3]{} \ & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right) && \text{(échelonnement par } -1\text{ : pivot $1$ en $(3,3)$)} \\ \xrightarrow[L_2 \leftarrow L_2 + L_3]{} \ & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right) && \text{(transvection : annulation de } a_{23}\text{ au-dessus du pivot)} \\ \xrightarrow[L_1 \leftarrow L_1 - L_3]{} \ & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right) && \text{(transvection : annulation de } a_{13}\text{ au-dessus du pivot)} \\ \xrightarrow[L_1 \leftarrow L_1 - 3 L_2]{} \ & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -2 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right) && \text{(transvection : annulation de } a_{12}\text{ au-dessus du pivot)}. \end{aligned} $$ Le bloc de gauche est devenu $I_3$, donc $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 4 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$.
Vérification. $A A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & -1 & 4 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_3$. $\checkmark$

Méthode — Calculer l'inverse en résolvant $A X \equal Y$

Une alternative à Gauss-Jordan : introduire un second membre générique $Y = (y_1, \ldots, y_n)^\top$ et résoudre le système $A X = Y$ d'inconnue $X$ en fonction de $Y$. Si la résolution produit une forme close $X = B Y$ valable pour tout $Y \in \mathbb{K}^n$, alors $A B = B A = I_n$, donc $A^{-1} = B$. Si la résolution montre que certains choix de $Y$ rendent le système incompatible, $A$ n'est pas inversible.
Pourquoi ça marche : $A^{-1}$ est l'unique matrice telle que $A^{-1} Y$ soit la solution de $A X = Y$ pour tout $Y$. Lire la dépendance linéaire de $X$ en $Y$, c'est lire les lignes de $A^{-1}$.

Exemple — Inverse par $A X \equal Y$

Inverser $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ en résolvant $A X = Y$ d'inconnue $X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ en fonction de $Y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}$.

Correction

Le système s'écrit $$ \begin{cases} 2 x_1 + x_2 = y_1, \\ x_1 + x_2 = y_2. \end{cases} $$ Soustrayons : $x_1 = y_1 - y_2$. Reportons dans la seconde équation : $x_2 = y_2 - x_1 = -y_1 + 2 y_2$. Donc $$ X = \begin{pmatrix} y_1 - y_2 \\ -y_1 + 2 y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} Y, $$ ce qui donne $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$. (On vérifie que cela coïncide avec la formule fermée du $2 \times 2$ avec $\det A = 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 1$.)

Theorem — Inversibilité d'une matrice triangulaire

Soit $A \in M_n(\mathbb{K})$ triangulaire (supérieure ou inférieure). Alors $A$ est inversible si et seulement si $\text{tous ses coefficients diagonaux sont non nuls}$. Dans ce cas, $A^{-1}$ est triangulaire de même type, de coefficients diagonaux $1 / a_{ii}$ pour $i \in \llbracket 1, n \rrbracket$. Cas particulier (diagonal). $\mathrm{diag}(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ est inversible ssi $\alpha_i \neq 0$ pour tout $i$, d'inverse $\mathrm{diag}(1 / \alpha_1, \ldots, 1 / \alpha_n)$.

Preuve

Traitons le cas triangulaire supérieur ; le cas inférieur s'en déduit par transposition (Proposition « opérations sur les matrices inversibles » plus haut).

($\Rightarrow$) Si $A$ est inversible, tous les coefficients diagonaux sont non nuls. Posons $B = A^{-1}$. Les matrices $A$ et $B$ sont carrées de taille $n$ ; nous lisons $A B = I_n$ ligne par ligne, du bas vers le haut, pour extraire successivement $a_{nn} \ne 0, a_{n - 1, n - 1} \ne 0, \ldots, a_{11} \ne 0$. Le coefficient en bas à droite de $A B = I_n$ s'écrit $\sum_{k = 1}^{n} a_{nk} b_{kn} = (I_n)_{nn} = 1$. Comme $A$ est triangulaire supérieure, $a_{nk} = 0$ pour $k < n$, et la somme se réduit à $a_{nn} b_{nn} = 1$. En particulier $a_{nn} \ne 0$ (et $b_{nn} = 1 / a_{nn}$). Pour la récurrence descendante, supposons $a_{ii} \ne 0$ pour $i = m + 1, \ldots, n$. Lisons le coefficient $(m, m)$ de $A B = I_n$ : $$ 1 = (A B)_{mm} = \sum_{k = 1}^{n} a_{mk} b_{km} = \sum_{k = m}^{n} a_{mk} b_{km}, $$ où la borne inférieure est passée à $k = m$ car $a_{mk} = 0$ pour $k < m$ (triangularité supérieure). La lecture du coefficient $(i, m)$ pour $i > m$ donne $0 = (A B)_{im} = \sum_{k = i}^{n} a_{ik} b_{km}$ ; sachant $a_{ii} \ne 0$ ($i = m + 1, \ldots, n$), une récurrence descendante sur $i$ de $i = n$ jusqu'à $i = m + 1$ force $b_{km} = 0$ pour $k > m$. En reportant dans l'équation-$(m, m)$, seul subsiste le terme $k = m$ : $1 = a_{mm} b_{mm}$, donc $a_{mm} \ne 0$. L'étape de récurrence est terminée ; en itérant jusqu'à $m = 1$, on obtient $a_{ii} \ne 0$ pour tout $i$.
($\Leftarrow$) Si tous les coefficients diagonaux sont non nuls, $A$ est inversible. Appliquons des opérations sur les colonnes à $A$ pour la réduire en $I_n$, tandis que les multiplications à droite correspondantes par des matrices élémentaires s'accumulent en $A^{-1}$.
- Étape 1. On applique $C_1 \leftarrow (1 / a_{11}) C_1$ (légal car $a_{11} \ne 0$) pour mettre $1$ en position $(1, 1)$. Puis pour chaque $j \ge 2$, on applique $C_j \leftarrow C_j - a_{1j} C_1$ pour annuler le reste de la ligne 1.
- Étape $k$. Les $k - 1$ premières lignes de la matrice courante coïncident déjà avec $I_n$ sur leurs $k - 1$ premières entrées. La $k$-ième entrée diagonale vaut encore $a_{kk}$ (les opérations sur les colonnes précédentes n'ont pas touché l'entrée $(k, k)$ car ces colonnes portaient un zéro en ligne $k$ au-dessus de la diagonale d'origine --- triangularité supérieure). On applique $C_k \leftarrow (1 / a_{kk}) C_k$ puis $C_j \leftarrow C_j - (\text{courant}_{k j}) C_k$ pour $j > k$.
- Conclusion. Après $n$ étapes, $A$ est transformée en $I_n$ par multiplication à droite par des matrices élémentaires (donc inversibles). Donc $A$ est inversible (produit de matrices inversibles), et les mêmes opérations appliquées à $I_n$ donnent $A^{-1}$. Chaque opération élémentaire de l'algorithme préserve la forme triangulaire supérieure (la colonne $j$ n'est modifiée que par des colonnes d'indice $\le j$, qui ont des zéros strictement en dessous de la ligne $j$), donc $A^{-1}$ est triangulaire supérieure. Ses coefficients diagonaux sont exactement $1 / a_{11}, \ldots, 1 / a_{nn}$ (chaque étape redivise une entrée diagonale par son inverse et laisse les autres inchangées).

Méthode — Inverser une matrice triangulaire

Soit $A$ triangulaire (supérieure ou inférieure) :

Lire la diagonale $(a_{11}, \ldots, a_{nn})$.
Si un $a_{ii} = 0$ : $A$ n'est pas inversible. Stop.
Sinon : $A^{-1}$ est triangulaire de même type, de diagonale $(1 / a_{11}, \ldots, 1 / a_{nn})$. Calculer les coefficients hors-diagonale par Gauss-Jordan, en se limitant au triangle approprié.

Exemple — Inverser une matrice triangulaire supérieure $3 \times 3$

Inverser $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$.

Correction

Les coefficients diagonaux $2, 3, 4$ sont tous non nuls, donc $A$ est inversible. L'inverse est triangulaire supérieure de diagonale $(1/2, 1/3, 1/4)$. Appliquons Gauss-Jordan une opération à la fois pour trouver les entrées hors-diagonale : $$ \begin{aligned} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) && \text{(initial)} \\ \xrightarrow[L_1 \leftarrow L_1 / 2]{} \ & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) && \text{(échelonner la ligne 1, pivot $1$ en $(1,1)$)} \\ \xrightarrow[L_2 \leftarrow L_2 / 3]{} \ & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1/3 & 0 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) && \text{(échelonner la ligne 2, pivot $1$ en $(2,2)$)} \\ \xrightarrow[L_3 \leftarrow L_3 / 4]{} \ & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1/3 & 0 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1/4 \end{array} \right) && \text{(échelonner la ligne 3, pivot $1$ en $(3,3)$)} \\ \xrightarrow[L_2 \leftarrow L_2 - L_3 / 3]{} \ & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1/3 & -1/12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1/4 \end{array} \right) && \text{(annulation de } a_{23}\text{ au-dessus du pivot)} \\ \xrightarrow[L_1 \leftarrow L_1 - L_2 / 2]{} \ & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1/2 & -1/6 & 1/24 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1/3 & -1/12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1/4 \end{array} \right) && \text{(annulation de } a_{12}\text{ au-dessus du pivot)}. \end{aligned} $$ Donc $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & -1/6 & 1/24 \\ 0 & 1/3 & -1/12 \\ 0 & 0 & 1/4 \end{pmatrix}$, triangulaire supérieure avec la diagonale annoncée.

Compétences à pratiquer

Écrire la matrice d'une opération élémentaire sur les lignes
Inverser une matrice par opérations sur les lignes
Inverser une matrice triangulaire