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Équations différentielles linéaires

⌚ ~59 min ▢ 7 blocs ✓ 27 exercices ➣ Prérequis : Primitives --- techniques élémentaires, Dérivabilité

Une équation différentielle linéaire est une équation de la forme $T(y) = f$ où l'inconnue est une fonction $y$, $T$ est un opérateur linéaire construit à partir de $y$ et de ses dérivées, et $f$ est une fonction donnée. Ce chapitre traite les deux seuls cas au programme :

premier ordre : $y'(x) + a(x) \, y(x) = b(x)$, avec $a, b \in C(I, \mathbb{K})$ fonctions continues données sur un intervalle $I$ ;
second ordre à coefficients constants : $y''(x) + a \, y'(x) + b \, y(x) = f(x)$, avec $a, b \in \mathbb{K}$ scalaires et $f \in C(I, \mathbb{K})$.

Ici $\mathbb{K} = \mathbb R$ ou $\mathbb C$ et $I$ est un intervalle non vide de $\mathbb R$ non réduit à un point.
La linéarité de l'opérateur $y \mapsto y' + a y$ (resp.\ $y \mapsto y'' + a y' + b y$) gouverne toute la structure du chapitre. Deux conséquences reviennent constamment : le principe de superposition (les combinaisons linéaires de solutions d'équations séparées résolvent l'équation combinée) et la structure affine de l'ensemble des solutions (l'ensemble des solutions est la somme d'une solution particulière et de l'espace vectoriel des solutions de l'équation homogène associée $T(y) = 0$).
Le chapitre comporte deux sections. La première traite les équations différentielles linéaires du premier ordre : le cas homogène par le facteur intégrant $e^A$ où $A$ est une primitive de $a$, puis le cas complet par la méthode de la variation de la constante, puis le problème de Cauchy (existence + unicité, preuve incluse), puis un complément optionnel sur les problèmes de raccord lorsque le coefficient dominant peut s'annuler. La seconde section traite les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants : le cas homogène via le polynôme caractéristique (3 cas selon le discriminant lorsque $\mathbb{K} = \mathbb R$), puis le cas complet avec le théorème de Cauchy (énoncé admis, preuve hors programme), puis la recette pratique de l'ansatz pour les trois seconds membres particuliers du programme (polynôme, $\alpha e^{\lambda x}$, $\beta \cos(\omega x) / \beta \sin(\omega x)$).
Trois réflexes que le lecteur doit emporter : (i) la structure linéaire de l'ensemble des solutions est l'idée directrice --- chaque résultat est une conséquence de la linéarité de $y \mapsto y' + a y$ ou $y \mapsto y'' + a y' + b y$ ; (ii) les solutions du premier ordre se ramènent à de la primitivation (une primitive dans le cas homogène, deux dans la formule de variation de la constante), invoquant la boîte à outils du chapitre Primitives ; (iii) les solutions du second ordre se ramènent à un polynôme caractéristique (pour la partie homogène) et à un ansatz avec identification de coefficients (pour une solution particulière).

I Équations différentielles linéaires du premier ordre

I.1 Définition et cas homogène

Une équation différentielle linéaire du premier ordre s'écrit $y'(x) + a(x) \, y(x) = b(x)$, où $a, b$ sont des fonctions continues données sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$. L'inconnue est une fonction $y$ sur $I$ ; on cherche les fonctions $y \in C^1(I, \mathbb{K})$ vérifiant l'équation point par point sur $I$. L'équation est linéaire car l'application $y \mapsto y' + a y$ est linéaire sur $C^1(I, \mathbb{K})$ ; c'est ce qui gouverne toute la structure du chapitre. Le cas le plus simple --- l'équation homogène $y' + a(x) y = 0$ --- admet une solution en une ligne via le facteur intégrant $e^A$ où $A$ est une primitive de $a$ sur $I$.

Définition — Équation différentielle linéaire du premier ordre

Soient $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $a, b \in C(I, \mathbb{K})$, où $\mathbb{K} = \mathbb R$ ou $\mathbb C$. L'équation différentielle linéaire du premier ordre associée à $a$ et $b$ est l'équation $$ y'(x) + a(x) \, y(x) \ = \ b(x), \qquad x \in I, $$ d'inconnue $y \in C^1(I, \mathbb{K})$. L'équation homogène associée est $y'(x) + a(x) \, y(x) = 0$. Une solution sur $I$ est une fonction $y \in C^1(I, \mathbb{K})$ vérifiant l'équation point par point. On note $S$ l'ensemble des solutions de l'équation complète et $S_0$ celui des solutions de l'équation homogène.

Theorem — Solutions de l'équation homogène $y' + a(x) y \equal 0$

Soient $a \in C(I, \mathbb{K})$ et $A$ une primitive de $a$ sur $I$. Les solutions de l'équation homogène $y'(x) + a(x) \, y(x) = 0$ sur $I$ sont exactement les fonctions $$ x \ \longmapsto \ \lambda \, e^{-A(x)}, \qquad \lambda \in \mathbb{K}. $$ Autrement dit, $S_0 = \mathbb{K} \cdot e^{-A}$ est un sous-espace vectoriel de dimension $1$ de $C^1(I, \mathbb{K})$.

Preuve

L'observation clef est que pour tout $y \in C^1(I, \mathbb{K})$, $$ \begin{aligned} \bigl( y(x) \, e^{A(x)} \bigr)' \ &= \ y'(x) \, e^{A(x)} + y(x) \, A'(x) \, e^{A(x)} && \text{(règle du produit)} \\ &= \ y'(x) \, e^{A(x)} + a(x) \, y(x) \, e^{A(x)} && \text{(car $A' = a$ sur $I$)} \\ &= \ \bigl( y'(x) + a(x) \, y(x) \bigr) \, e^{A(x)} && \text{(factoriser $e^A$)}. \end{aligned} $$ Comme $e^A$ ne s'annule jamais, $$ y'(x) + a(x) \, y(x) \ = \ 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \bigl( y \, e^A \bigr)' \ = \ 0 \quad \Longleftrightarrow \quad y \, e^A \text{ est constante sur } I. $$ On utilise ici le fait standard qu'une fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle est constante : c'est l'énoncé d'unicité des primitives (déjà invoqué au chapitre Primitives), admis à ce stade ; la démonstration formelle par le théorème des accroissements finis est consolidée au chapitre Dérivabilité. Donc $y' + a y = 0$ si et seulement s'il existe $\lambda \in \mathbb{K}$ avec $y(x) e^{A(x)} = \lambda$ pour tout $x \in I$, i.e.\ $y(x) = \lambda e^{-A(x)}$. Réciproquement, toute fonction $y(x) = \lambda e^{-A(x)}$ est dérivable sur $I$ et $$ y'(x) \ = \ - a(x) \, \lambda \, e^{-A(x)} \ = \ - a(x) \, y(x), $$ donc vérifie $y' + a y = 0$.

Méthode — Résoudre l'équation homogène $y' + a(x) y \equal 0$

Pour trouver toutes les solutions de $y' + a(x) y = 0$ sur un intervalle $I$ :

Calculer une primitive $A$ de $a$ sur $I$ (une primitivation, en utilisant la table du chapitre Primitives).
Écrire la solution générale sous la forme $x \mapsto \lambda \, e^{-A(x)}$, avec $\lambda \in \mathbb{K}$ un paramètre libre.

L'ensemble des solutions $S_0$ est un sous-espace vectoriel de dimension $1$ ; un degré de liberté, capturé par la constante $\lambda$.

Exemple — Coefficient $a$ constant

Pour $a \in \mathbb{K}$ constant, l'équation $y' + a y = 0$ sur $\mathbb R$ admet $A(x) = a x$ comme primitive de la constante $a$. Donc les solutions sont $$ x \ \longmapsto \ \lambda \, e^{-a x}, \qquad \lambda \in \mathbb{K}. $$ En particulier, avec $a = -1$ et la condition initiale $y(0) = 1$, on retrouve la caractérisation : l'exponentielle est l'unique fonction $C^1$ sur $\mathbb R$ vérifiant $y' = y$ et $y(0) = 1$.

Exemple — Coefficient variable

Sur $\mathbb R$, l'équation $y' = \dfrac{y}{1 + x^2}$ se réécrit $y' - \dfrac{1}{1 + x^2} y = 0$. Une primitive de $x \mapsto 1/(1 + x^2)$ est $\arctan$ (table du chapitre Primitives), donc $A(x) = -\arctan x$ est une primitive de $a(x) = -1/(1 + x^2)$. La solution générale est $$ x \ \longmapsto \ \lambda \, e^{\arctan x}, \qquad \lambda \in \mathbb R. $$

Compétences à pratiquer

Résoudre les équations homogènes du premier ordre

I.2 Équation complète$\virgule$ superposition$\virgule$ variation de la constante

Une fois le cas homogène réglé, la linéarité de l'application $y \mapsto y' + a y$ fournit deux résultats structurels. Le premier --- le principe de superposition --- énonce que les solutions d'équations à seconds membres différents se combinent linéairement : si $y_1$ résout $y' + a y = b_1$ et $y_2$ résout $y' + a y = b_2$, alors $\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2$ résout $y' + a y = \lambda_1 b_1 + \lambda_2 b_2$. Le second --- la structure affine de l'ensemble des solutions --- énonce que, connaissant une seule solution particulière $y_{\mathrm{part}}$, toute solution est $y_{\mathrm{part}}$ plus une solution de l'équation homogène. Pour trouver une solution particulière, la technique standard est la variation de la constante : on remplace la constante $\lambda$ de la solution homogène $\lambda e^{-A}$ par une fonction $\lambda(x)$, et on détermine $\lambda$ en injectant dans l'équation complète.

Proposition — Principe de superposition au premier ordre

Soient $a \in C(I, \mathbb{K})$ et $b_1, b_2 \in C(I, \mathbb{K})$. Si $y_1$ résout $y' + a(x) y = b_1(x)$ sur $I$ et $y_2$ résout $y' + a(x) y = b_2(x)$ sur $I$, alors pour tous $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{K}$, la fonction $\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2$ résout $$ y'(x) + a(x) \, y(x) \ = \ \lambda_1 b_1(x) + \lambda_2 b_2(x) \qquad \text{sur } I. $$

Preuve

Par linéarité de la dérivation et de la multiplication par $a$, $$ (\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2)' + a (\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2) \ = \ \lambda_1 (y_1' + a y_1) + \lambda_2 (y_2' + a y_2) \ = \ \lambda_1 b_1 + \lambda_2 b_2. $$

Proposition — Structure affine de l'ensemble des solutions

Soient $a, b \in C(I, \mathbb{K})$ et supposons que l'équation $y' + a(x) y = b(x)$ admet au moins une solution $y_{\mathrm{part}} \in C^1(I, \mathbb{K})$. Alors $$ S \ = \ y_{\mathrm{part}} + S_0 \ = \ \bigl\{ \, y_{\mathrm{part}} + \lambda \, e^{-A} \;\big|\; \lambda \in \mathbb{K} \, \bigr\}, $$ où $A$ est une primitive quelconque de $a$ sur $I$. En particulier, $S$ est une droite affine de direction $S_0 = \mathbb{K} \cdot e^{-A}$.

Preuve

Corollaire direct de la superposition. Soit $y \in S$ une solution quelconque de l'équation complète ; alors $y$ résout $y' + a y = b$ et $y_{\mathrm{part}}$ résout $y' + a y = b$, donc par superposition (avec $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = -1$), $y - y_{\mathrm{part}}$ résout $y' + a y = 0$, i.e.\ $y - y_{\mathrm{part}} \in S_0$. Réciproquement, pour tout $y_0 \in S_0$, la superposition donne $(y_{\mathrm{part}} + y_0)' + a (y_{\mathrm{part}} + y_0) = b + 0 = b$, donc $y_{\mathrm{part}} + y_0 \in S$.

Méthode — Variation de la constante

Pour trouver une solution particulière de $y' + a(x) y = b(x)$ sur $I$, en 4 étapes :

Résoudre l'équation homogène : écrire une solution homogène non nulle $y_h(x) = e^{-A(x)}$, avec $A$ une primitive de $a$.
Ansatz : chercher $y(x) = \lambda(x) \, e^{-A(x)}$ avec $\lambda \in C^1(I, \mathbb{K})$ à déterminer.
Injecter dans l'équation complète : calculer $y'(x) = \lambda'(x) e^{-A(x)} - \lambda(x) a(x) e^{-A(x)}$, puis $y'(x) + a(x) y(x) = \lambda'(x) e^{-A(x)}$ ; en imposant l'égalité avec $b(x)$, on obtient $\lambda'(x) = b(x) e^{A(x)}$.
Prendre une primitive de $b e^A$ pour obtenir $\lambda$, puis assembler $y(x) = \lambda(x) e^{-A(x)}$.

La procédure utilise deux primitivations : une pour $A$ (primitive de $a$), une pour $\lambda$ (primitive de $b e^A$).

Proposition — Existence d'une solution particulière

Soient $a, b \in C(I, \mathbb{K})$. L'équation $y' + a(x) y = b(x)$ admet au moins une solution sur $I$ : explicitement, si $A$ est une primitive de $a$ sur $I$ et $\Lambda$ une primitive de $b e^A$ sur $I$, alors $x \mapsto \Lambda(x) \, e^{-A(x)}$ est solution.

Preuve

$A$ et $\Lambda$ existent comme primitives de fonctions continues sur un intervalle (chapitre Primitives). En posant $y(x) = \Lambda(x) e^{-A(x)}$, on a $$ \begin{aligned} y'(x) \ &= \ \Lambda'(x) \, e^{-A(x)} - \Lambda(x) \, A'(x) \, e^{-A(x)} && \text{(produit + règle de chaîne)} \\ &= \ b(x) \, e^{A(x)} \, e^{-A(x)} - a(x) \, \Lambda(x) \, e^{-A(x)} && \text{($\Lambda' = b e^A$, $A' = a$)} \\ &= \ b(x) - a(x) \, y(x). \end{aligned} $$ Donc $y' + a y = b$ sur $I$.

Exemple — Résolution de $x y' + y \equal x^2$ sur $\mathbb R_+^*$

Sur $\mathbb R_+^*$, on divise par $x$ pour mettre l'équation sous forme normalisée : $y' + y/x = x$. Donc $a(x) = 1/x$ et $b(x) = x$. Une primitive de $a$ sur $\mathbb R_+^*$ est $A(x) = \ln x$, d'où $e^{-A(x)} = 1/x$. Les solutions homogènes sont $x \mapsto \lambda/x$, $\lambda \in \mathbb R$.
Variation de la constante. Ansatz $y(x) = \lambda(x)/x$. Alors $y'(x) = \lambda'(x)/x - \lambda(x)/x^2$ et $y'(x) + y(x)/x = \lambda'(x)/x$. En imposant l'égalité avec $x$, on obtient $\lambda'(x) = x^2$, donc $\lambda(x) = x^3/3$ convient. Une solution particulière est $y_{\mathrm{part}}(x) = x^2/3$. La solution générale est $$ y(x) \ = \ \dfrac{x^2}{3} + \dfrac{\lambda}{x}, \qquad \lambda \in \mathbb R. $$ Vérification : $\bigl( x^2/3 + \lambda/x \bigr)' \cdot x + (x^2/3 + \lambda/x) = 2 x^2/3 - \lambda/x + x^2/3 + \lambda/x = x^2$. $\checkmark$

Exemple — Coefficient constant avec second membre exponentiel

Sur $\mathbb R$, résoudre $y' + 2 y = e^x$. Ici $a = 2$ constant, $A(x) = 2 x$, $e^{-A(x)} = e^{-2 x}$. Solutions homogènes $\lambda e^{-2 x}$.
Variation de la constante. Ansatz $y(x) = \lambda(x) e^{-2 x}$, alors $\lambda'(x) = b(x) e^{A(x)} = e^x \cdot e^{2 x} = e^{3 x}$, donc $\lambda(x) = e^{3 x}/3$ et $y_{\mathrm{part}}(x) = e^{3 x}/3 \cdot e^{-2 x} = e^x/3$.
Solution générale : $y(x) = \lambda e^{-2 x} + e^x/3$, $\lambda \in \mathbb R$. Vérification : $(e^x/3)' + 2 (e^x/3) = e^x/3 + 2 e^x/3 = e^x$. $\checkmark$

Compétences à pratiquer

Résoudre les équations complètes par variation de la constante

I.3 Problème de Cauchy (premier ordre)

Avec la section Équation complète, superposition, variation de la constante, le calcul par variation de la constante a en fait résolu le problème de Cauchy : pour tout $(x_0, y_0) \in I \times \mathbb{K}$, le système $\{y' + a(x) y = b(x), \ y(x_0) = y_0\}$ admet une et une seule solution sur $I$. La formule close est la formule de variation de la constante avec la condition initiale qui fixe la constante. On l'énonce en forme primitive d'abord ; la forme équivalente avec intégrale définie est donnée en Remarque avec un renvoi au chapitre Intégration sur un segment (chapitre 26).

Theorem — Problème de Cauchy au premier ordre

Soient $a, b \in C(I, \mathbb{K})$, $x_0 \in I$, $y_0 \in \mathbb{K}$. Soient $A$ une primitive de $a$ sur $I$ et $B$ l'unique primitive de $b \cdot e^{A}$ sur $I$ telle que $B(x_0) = 0$. Le problème de Cauchy $$ \left\{ \begin{aligned} y'(x) + a(x) \, y(x) \ &= \ b(x) \quad \text{sur } I, \\ y(x_0) \ &= \ y_0, \end{aligned} \right. $$ admet une et une seule solution sur $I$, donnée par $$ y(x) \ = \ \bigl( y_0 \, e^{A(x_0)} + B(x) \bigr) \, e^{-A(x)}. $$

Preuve

Par la méthode de la variation de la constante (Équation complète, superposition, variation de la constante), toute solution de $y' + a y = b$ sur $I$ s'écrit $y(x) = \lambda(x) e^{-A(x)}$ où $\lambda$ est une primitive de $b e^A$. Soit $B$ l'unique telle primitive vérifiant $B(x_0) = 0$ (bien définie : deux primitives de $b e^A$ diffèrent d'une constante, et imposer la valeur en $x_0$ fixe cette constante). La primitive générale de $b e^A$ s'écrit alors $\lambda(x) = B(x) + c$ pour un certain $c \in \mathbb{K}$, et la solution correspondante est $$ y(x) \ = \ (B(x) + c) \, e^{-A(x)}. $$ La condition initiale $y(x_0) = y_0$ devient $(B(x_0) + c) e^{-A(x_0)} = c \, e^{-A(x_0)} = y_0$, donc $c = y_0 \, e^{A(x_0)}$. La solution est $$ y(x) \ = \ \bigl( B(x) + y_0 \, e^{A(x_0)} \bigr) \, e^{-A(x)}. $$ Existence : la fonction ci-dessus est $C^1$ sur $I$ (comme produit de fonctions $C^1$) et satisfait l'équation (par la méthode de la variation de la constante) ainsi que la condition initiale (par construction de $c$). Unicité : toute autre solution s'écrit également $\lambda(x) e^{-A(x)}$ avec $\lambda$ une primitive de $b e^A$, et la condition initiale fixe la constante d'intégration de manière unique.

Forme avec intégrale définie (renvoi au chapitre 26)

Au chapitre Intégration sur un segment (chapitre 26, semestre 2), la primitive $B$ de $b e^A$ s'annulant en $x_0$ admet l'expression intégrale explicite $$ B(x) \ = \ \int_{x_0}^{x} b(t) \, e^{A(t)} \, dt, $$ et l'unique solution du problème de Cauchy s'écrit $$ y(x) \ = \ y_0 \, e^{A(x_0) - A(x)} + \int_{x_0}^{x} b(t) \, e^{A(t) - A(x)} \, dt. $$ À ce stade du cursus, c'est une notation pour la primitive $B$ ci-dessus ; la définition rigoureuse de l'intégrale bornée $\int_{x_0}^{x}$ fait l'objet du chapitre 26.

Méthode — Résoudre un problème de Cauchy au premier ordre

Pour résoudre $\{y' + a(x) y = b(x), \ y(x_0) = y_0\}$ sur $I$ :

Calculer une primitive $A$ de $a$ sur $I$ (une primitivation).
Écrire les solutions homogènes $\lambda \, e^{-A}$.
Trouver une solution particulière $y_{\mathrm{part}}$ par variation de la constante (seconde primitivation, de $b e^A$).
Écrire la solution générale $y_{\mathrm{part}} + \lambda \, e^{-A}$, puis imposer $y(x_0) = y_0$ pour déterminer $\lambda$ uniquement.

Exemple — Problème de Cauchy avec condition initiale

Sur $\mathbb R$, résoudre $\{y' + y = e^x, \ y(0) = 1\}$. Ici $a = 1$ constant, $A(x) = x$, $e^{-A(x)} = e^{-x}$. Solutions homogènes $\lambda e^{-x}$.
Solution particulière : la variation de la constante donne $\lambda'(x) = e^x \cdot e^x = e^{2 x}$, donc $\lambda(x) = e^{2 x}/2$ et $y_{\mathrm{part}}(x) = e^{2 x}/2 \cdot e^{-x} = e^x/2$.
Solution générale : $y(x) = \lambda \, e^{-x} + e^x/2$.
Condition initiale : $y(0) = \lambda + 1/2 = 1$ donne $\lambda = 1/2$. L'unique solution est $$ y(x) \ = \ \dfrac{e^{-x} + e^x}{2} \ = \ \cosh x. $$ Vérification : $(\cosh x)' + \cosh x = \sinh x + \cosh x = e^x$ et $\cosh 0 = 1$. $\checkmark$

Compétences à pratiquer

Résoudre les problèmes de Cauchy au premier ordre

I.4 Raccord sur $a(x) y' + b(x) y \equal f(x)$ --- complément optionnel

Les équations des sections précédentes (premier ordre) sont normalisées : le coefficient de $y'$ vaut $1$. Lorsque le problème se présente sous la forme $a(x) y' + b(x) y = f(x)$ et que la fonction $a$ s'annule en des points isolés, on parle de raccord (ou recollement, les deux termes sont synonymes en français) : on résout d'abord sur chaque composante connexe de $\{a \ne 0\}$, puis on recolle les solutions locales aux zéros en imposant la régularité $C^1$. L'ensemble des solutions sur l'intervalle complet peut alors avoir une dimension plus petite ou plus grande que ce que l'on devinerait à partir d'un seul intervalle normalisé. Ce paragraphe est un complément optionnel / exercice classique, pas une partie du programme proprement dit ; il s'agit d'un exercice classique dans les feuilles de TD et la préparation aux concours, et il consolide le réflexe « une équation différentielle vit sur un intervalle, pas sur une partie quelconque ».

Méthode — Raccord en un zéro du coefficient dominant $a$ --- complément optionnel

Pour résoudre $a(x) y' + b(x) y = f(x)$ sur un intervalle $I$ sur lequel $a$ peut s'annuler en des points isolés :

Identifier les zéros de $a$ sur $I$. Les composantes connexes de $I \setminus a^{-1}(0)$ sont les intervalles ouverts sur lesquels l'équation normalisée $y' + (b/a) y = f/a$ a un sens.
Résoudre $y' + (b/a) y = f/a$ sur chaque composante connexe (avec les méthodes du cas homogène et de la variation de la constante ci-dessus) ; cela donne une constante libre par composante.
Pour chaque zéro $x_0$ de $a$, imposer que la fonction globale candidate soit de classe $C^1$ en $x_0$ : cela donne une ou plusieurs relations entre les constantes des différentes composantes (les limites de la fonction et de sa dérivée doivent coïncider de part et d'autre de $x_0$).
Vérifier que la fonction globale obtenue satisfait effectivement l'équation originale $a(x) y' + b(x) y = f(x)$ aux zéros (souvent forcé par substitution en $x = x_0$).

Exemple — Résolution de $x y' + y \equal x^2$ sur $\mathbb R$ --- perte de dimension

Le coefficient $a(x) = x$ ne s'annule qu'en $x = 0$. Sur chacun des deux intervalles $\mathbb R_+^*$ et $\mathbb R_-^*$, l'équation normalisée $y' + y/x = x$ a été résolue à la section sur la variation de la constante : les solutions sont $y(x) = x^2/3 + \lambda/x$ sur $\mathbb R_+^*$ et $y(x) = x^2/3 + \mu/x$ sur $\mathbb R_-^*$, avec $\lambda, \mu \in \mathbb R$ indépendants.
Recollement en $x = 0$. Pour une fonction globale $C^1$ sur $\mathbb R$, il faut $y(x) \to y(0)$ et $y'(x) \to y'(0)$ quand $x \to 0$ des deux côtés. Le terme $\lambda/x$ (resp.\ $\mu/x$) n'est borné au voisinage de $0$ que si $\lambda = 0$ (resp.\ $\mu = 0$). Donc la seule candidate solution globale est $y(x) = x^2/3$, définie et $C^1$ sur $\mathbb R$.
Vérification en $x = 0$. En substituant $y = x^2/3$ dans $x y' + y$, on obtient $x \cdot (2 x/3) + x^2/3 = x^2$. $\checkmark$ L'unique solution globale sur $\mathbb R$ est $y(x) = x^2/3$.
Les ensembles de solutions locales sur $\mathbb R_+^*$ et $\mathbb R_-^*$ sont chacun une droite affine de dimension $1$ ; en les recollant en $0$, on obtient un singleton (dimension $0$) sur $\mathbb R$. C'est une perte de dimension occasionnée par le raccord.

Gain de dimension --- réservé à l'exo

L'équation $x y' - 2 y = x^3$ sur $\mathbb R$ illustre le phénomène opposé : les solutions locales sur $\mathbb R_+^*$ et $\mathbb R_-^*$ sont chacune des droites affines (dimension $1$), mais l'ensemble des solutions globales sur $\mathbb R$ est un plan affine (dimension $2$). Cet exemple est traité dans le fichier d'exercices.

Compétences à pratiquer

Résoudre les problèmes de raccord

II Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

II.1 Définition$\virgule$ lemme complexe$\virgule$ et cas homogène réel

Une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants s'écrit $y'' + a y' + b y = f(x)$, avec $a, b \in \mathbb{K}$ scalaires et $f \in C(I, \mathbb{K})$. Le polynôme caractéristique est $\chi(X) = X^2 + a X + b$ ; ses racines gouvernent la structure des solutions homogènes. Pour traiter proprement le cas des racines complexes conjuguées, on énonce d'abord la structure des solutions complexes comme un court lemme de comptabilité sur $\mathbb{K} = \mathbb C$, puis on lit le résultat réel en prenant les parties réelles. Pour $\mathbb{K} = \mathbb R$, trois cas surviennent selon le signe du discriminant $\Delta = a^2 - 4 b$.

Définition — Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

Soient $a, b \in \mathbb{K}$ scalaires et $f \in C(I, \mathbb{K})$. L'équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants associée à $(a, b, f)$ est l'équation $$ y''(x) + a \, y'(x) + b \, y(x) \ = \ f(x), \qquad x \in I, $$ d'inconnue $y \in C^2(I, \mathbb{K})$. L'équation homogène associée est $y'' + a y' + b y = 0$. Le polynôme caractéristique est $\chi(X) = X^2 + a X + b \in \mathbb{K}[X]$. Une solution sur $I$ est une fonction $y \in C^2(I, \mathbb{K})$ vérifiant l'équation point par point.

Proposition — Lemme des solutions complexes homogènes

Soient $a, b \in \mathbb C$. Les solutions complexes de $y'' + a y' + b y = 0$ sur $I$ forment un sous-espace vectoriel complexe de dimension $2$ de $C^2(I, \mathbb C)$. Explicitement, notons $r_1, r_2$ les racines (complexes) du polynôme caractéristique $X^2 + a X + b$ :

si $r_1 \ne r_2$ (deux racines distinctes), les solutions sont $x \mapsto \lambda \, e^{r_1 x} + \mu \, e^{r_2 x}$ avec $\lambda, \mu \in \mathbb C$ ;
si $r_1 = r_2 = r$ (racine double), les solutions sont $x \mapsto (\lambda x + \mu) \, e^{r x}$ avec $\lambda, \mu \in \mathbb C$.

Preuve

Astuce de réduction de l'ordre. Choisissons $r$ une racine de $\chi(X) = X^2 + a X + b$. On cherche les solutions de l'équation homogène sous la forme $y(x) = z(x) \, e^{r x}$ avec $z \in C^2(I, \mathbb C)$ à déterminer. Calculons : $$ \begin{aligned} y'(x) \ &= \ (z'(x) + r \, z(x)) \, e^{r x} && \text{(règle du produit)} \\ y''(x) \ &= \ (z''(x) + 2 r \, z'(x) + r^2 \, z(x)) \, e^{r x} && \text{(en dérivant $y'$)}. \end{aligned} $$ En injectant dans l'équation homogène $y'' + a y' + b y = 0$ et en factorisant $e^{r x}$ (qui ne s'annule jamais) : $$ z''(x) + (2 r + a) \, z'(x) + \underbrace{(r^2 + a r + b)}_{= \, \chi(r) \, = \, 0} \, z(x) \ = \ 0, $$ qui se simplifie en $z'' + (2 r + a) z' = 0$, soit une équation différentielle linéaire du premier ordre en $u = z'$ : $u' + (2 r + a) u = 0$.

Cas $r_1 \ne r_2$. L'autre racine est $r_2 = -a - r$ (car la somme des racines vaut $-a$), donc $2 r + a = r - r_2$. L'équation du premier ordre en $u$ est $u' + (r - r_2) u = 0$, de solutions $u(x) = c \, e^{-(r - r_2) x} = c \, e^{(r_2 - r) x}$, $c \in \mathbb C$. En primitivant, $z(x) = \dfrac{c}{r_2 - r} e^{(r_2 - r) x} + d$ pour $d \in \mathbb C$. Donc $$ y(x) \ = \ z(x) \, e^{r x} \ = \ \dfrac{c}{r_2 - r} e^{r_2 x} + d \, e^{r x}, $$ ce qui (en renommant les constantes) est exactement $\lambda \, e^{r_1 x} + \mu \, e^{r_2 x}$ avec $r_1 = r$ (et $\lambda, \mu \in \mathbb C$ quelconques).
Cas $r_1 = r_2 = r$. Alors $2 r + a = 0$ (la racine double est $r = -a/2$, et en effet $2 r + a = 0$). L'équation du premier ordre en $u$ devient $u' = 0$, donc $u = c$ constante. En primitivant, $z(x) = c x + d$ pour $c, d \in \mathbb C$. Donc $$ y(x) \ = \ z(x) \, e^{r x} \ = \ (c x + d) \, e^{r x}, $$ ce qui (en renommant les constantes) est $(\lambda x + \mu) e^{r x}$.

Dans les deux cas, l'ensemble des solutions est de dimension $2$ sur $\mathbb C$.

Theorem — Équation homogène réelle $y'' + a y' + b y \equal 0$ pour $\mathbb{K} \equal \mathbb R$

Soient $a, b \in \mathbb R$. Les solutions réelles de $y'' + a y' + b y = 0$ sur $I$ forment un sous-espace vectoriel réel de dimension $2$ de $C^2(I, \mathbb R)$ décrit par le discriminant $\Delta = a^2 - 4 b$ de $X^2 + a X + b$ :

$\Delta > 0$ (deux racines réelles distinctes $r \ne r'$) : solutions $x \mapsto \lambda \, e^{r x} + \mu \, e^{r' x}$, $\lambda, \mu \in \mathbb R$ ;
$\Delta = 0$ (racine réelle double $r = -a/2$) : solutions $x \mapsto (\lambda x + \mu) \, e^{r x}$, $\lambda, \mu \in \mathbb R$ ;
$\Delta < 0$ (racines complexes conjuguées $r \pm i \omega$ avec $r = -a/2$ et $\omega = \sqrt{-\Delta}/2 > 0$) : solutions $x \mapsto e^{r x} \bigl( \lambda \cos(\omega x) + \mu \sin(\omega x) \bigr)$, $\lambda, \mu \in \mathbb R$.

Preuve

Le lecteur doit connaître la table par cœur ; la démonstration est pour la compréhension. Les cas $\Delta > 0$ et $\Delta = 0$ suivent immédiatement du lemme complexe ci-dessus, puisque les racines sont réelles et les formules $\lambda e^{r_1 x} + \mu e^{r_2 x}$ et $(\lambda x + \mu) e^{r x}$ sont réelles pour $\lambda, \mu \in \mathbb R$.
Pour le cas $\Delta < 0$, les racines sont complexes conjuguées, $r_1 = r + i \omega$ et $r_2 = r - i \omega$ avec $r = -a/2 \in \mathbb R$ et $\omega = \sqrt{-\Delta}/2 > 0$. Par le lemme complexe, les solutions complexes sont $y(x) = \alpha \, e^{(r + i \omega) x} + \beta \, e^{(r - i \omega) x}$ avec $\alpha, \beta \in \mathbb C$. Factorisons $e^{r x}$ : $$ y(x) \ = \ e^{r x} \bigl( \alpha \, e^{i \omega x} + \beta \, e^{- i \omega x} \bigr). $$ On cherche la condition pour que $y$ soit à valeurs réelles sur $I$, i.e.\ $y = \overline{y}$ sur $I$. En conjuguant terme à terme l'expression ci-dessus, $$ \overline{y}(x) \ = \ \overline{\alpha} \, e^{(r - i \omega) x} + \overline{\beta} \, e^{(r + i \omega) x}. $$ L'égalité $y = \overline{y}$ sur $I$ s'écrit $$ \alpha \, e^{(r + i \omega) x} + \beta \, e^{(r - i \omega) x} \ = \ \overline{\beta} \, e^{(r + i \omega) x} + \overline{\alpha} \, e^{(r - i \omega) x} \quad \text{sur } I. $$ Les deux fonctions $e^{(r + i \omega) x}$ et $e^{(r - i \omega) x}$ sont $\mathbb C$-linéairement indépendantes sur $I$ : en effet, s'ils étaient liés, leur quotient $e^{2 i \omega x}$ serait constant sur $I$, ce qui est impossible puisque sa dérivée $2 i \omega \, e^{2 i \omega x}$ est non nulle. L'identification des coefficients dans l'égalité ci-dessus force donc $\alpha = \overline{\beta}$, i.e.\ $\beta = \overline{\alpha}$. Réciproquement, si $\beta = \overline{\alpha}$, alors $$ \alpha \, e^{i \omega x} + \overline{\alpha} \, e^{- i \omega x} \ = \ 2 \operatorname{Re}(\alpha \, e^{i \omega x}) \ = \ 2 \operatorname{Re}(\alpha) \cos(\omega x) - 2 \operatorname{Im}(\alpha) \sin(\omega x), $$ donc en posant $\lambda = 2 \operatorname{Re}(\alpha)$ et $\mu = - 2 \operatorname{Im}(\alpha)$, on obtient $y(x) = e^{r x} (\lambda \cos(\omega x) + \mu \sin(\omega x))$. Les paramètres $\lambda, \mu \in \mathbb R$ peuvent être choisis arbitrairement par un choix approprié de $\alpha \in \mathbb C$, donc l'espace des solutions réelles est de dimension $2$ sur $\mathbb R$ avec pour base $(x \mapsto e^{r x} \cos(\omega x), \ x \mapsto e^{r x} \sin(\omega x))$.

Méthode — Résoudre $y'' + a y' + b y \equal 0$ sur $\mathbb R$

En 3 étapes :

Calculer le discriminant $\Delta = a^2 - 4 b$ de $X^2 + a X + b$.
Factoriser le polynôme caractéristique : deux racines réelles distinctes si $\Delta > 0$, une racine réelle double si $\Delta = 0$, deux racines complexes conjuguées $r \pm i \omega$ si $\Delta < 0$.
Écrire la solution générale d'après la table ci-dessus ($\Delta > 0$ : exponentielles ; $\Delta = 0$ : polynôme fois exponentielle ; $\Delta < 0$ : exponentielle fois $\cos / \sin$).

Exemple — Deux racines réelles distinctes ($\Delta > 0$)

Résoudre $y'' - 3 y' + 2 y = 0$ sur $\mathbb R$. Polynôme caractéristique $X^2 - 3 X + 2 = (X - 1)(X - 2)$, donc $\Delta = 9 - 8 = 1 > 0$ avec racines $r = 1$ et $r' = 2$. Solution générale : $$ y(x) \ = \ \lambda \, e^x + \mu \, e^{2 x}, \qquad \lambda, \mu \in \mathbb R. $$

Exemple — Racine réelle double ($\Delta \equal 0$)

Résoudre $y'' - 2 y' + y = 0$ sur $\mathbb R$. Polynôme caractéristique $X^2 - 2 X + 1 = (X - 1)^2$, racine double $r = 1$ ($\Delta = 0$). Solution générale : $$ y(x) \ = \ (\lambda x + \mu) \, e^x, \qquad \lambda, \mu \in \mathbb R. $$ C'est le régime critique en physique (par exemple pour l'oscillateur harmonique linéarisé à la frontière entre régimes sur-amorti et sous-amorti).

Exemple — Racines complexes conjuguées ($\Delta < 0$)

Racines imaginaires pures (l'oscillateur harmonique). Résoudre $y'' + 4 y = 0$ sur $\mathbb R$. Polynôme caractéristique $X^2 + 4$, $\Delta = -16 < 0$, racines $\pm 2 i$ (donc $r = 0$ et $\omega = 2$). Solution générale : $$ y(x) \ = \ \lambda \cos(2 x) + \mu \sin(2 x), \qquad \lambda, \mu \in \mathbb R. $$ Racines à partie réelle non nulle (oscillateur amorti). Résoudre $y'' + 2 y' + 10 y = 0$ sur $\mathbb R$. Polynôme caractéristique $X^2 + 2 X + 10 = (X + 1)^2 + 9$, $\Delta = 4 - 40 = -36 < 0$, racines $-1 \pm 3 i$ (donc $r = -1$ et $\omega = 3$). Solution générale : $$ y(x) \ = \ e^{-x} \bigl( \lambda \cos(3 x) + \mu \sin(3 x) \bigr), \qquad \lambda, \mu \in \mathbb R. $$ Le facteur $e^{-x}$ encode l'amortissement exponentiel ; la partie $\cos(3 x), \sin(3 x)$ l'oscillation à pulsation $3$.

Compétences à pratiquer

Résoudre les équations homogènes du second ordre

II.2 Équation complète$\virgule$ superposition$\virgule$ Cauchy (admis)

L'équation complète $y'' + a y' + b y = f(x)$ a pour ensemble de solutions $S = y_{\mathrm{part}} + S_0$, un plan affine. Le principe de superposition est encore valable comme pour l'équation complète du premier ordre : si $y_k$ résout $y'' + a y' + b y = f_k$ pour $k = 1, 2$, alors $\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2$ résout l'équation avec second membre $\lambda_1 f_1 + \lambda_2 f_2$. Le problème de Cauchy au second ordre demande deux conditions initiales : $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y_0'$. Son théorème d'existence et d'unicité est énoncé ici et admis ; la démonstration est hors programme.

Proposition — Principe de superposition au second ordre

Soient $a, b \in \mathbb{K}$ et $f_1, f_2 \in C(I, \mathbb{K})$. Si $y_1$ résout $y'' + a y' + b y = f_1(x)$ sur $I$ et $y_2$ résout $y'' + a y' + b y = f_2(x)$ sur $I$, alors pour tous $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{K}$, la fonction $\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2$ résout $$ y''(x) + a \, y'(x) + b \, y(x) \ = \ \lambda_1 f_1(x) + \lambda_2 f_2(x) \qquad \text{sur } I. $$

Preuve

Par linéarité de la dérivation et de la multiplication par $a, b$, $$ (\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2)'' + a (\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2)' + b (\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2) \ = \ \lambda_1 (y_1'' + a y_1' + b y_1) + \lambda_2 (y_2'' + a y_2' + b y_2) \ = \ \lambda_1 f_1 + \lambda_2 f_2. $$

Proposition — Structure affine plane de l'ensemble des solutions

Soient $a, b \in \mathbb{K}$, $f \in C(I, \mathbb{K})$, et supposons que l'équation $y'' + a y' + b y = f(x)$ admet au moins une solution $y_{\mathrm{part}} \in C^2(I, \mathbb{K})$. Alors $$ S \ = \ y_{\mathrm{part}} + S_0, $$ où $S_0$ est l'espace de dimension $2$ des solutions homogènes. En particulier, $S$ est un plan affine dans $C^2(I, \mathbb{K})$.

Preuve

Corollaire direct de la superposition, reprenant l'argument de l'équation complète du premier ordre. Soit $y \in S$ une solution quelconque de l'équation complète ; alors $y$ et $y_{\mathrm{part}}$ résolvent la même équation complète, donc par superposition (avec $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = -1$), $y - y_{\mathrm{part}}$ résout l'équation homogène, i.e.\ $y - y_{\mathrm{part}} \in S_0$. Réciproquement, pour tout $y_0 \in S_0$, la superposition donne $(y_{\mathrm{part}} + y_0)'' + a (y_{\mathrm{part}} + y_0)' + b (y_{\mathrm{part}} + y_0) = f + 0 = f$, donc $y_{\mathrm{part}} + y_0 \in S$.

Theorem — Problème de Cauchy au second ordre

Soient $a, b \in \mathbb{K}$, $f \in C(I, \mathbb{K})$, $x_0 \in I$, et $(y_0, y_0') \in \mathbb{K}^2$. Le problème de Cauchy $$ \left\{ \begin{aligned} y''(x) + a \, y'(x) + b \, y(x) \ &= \ f(x) \quad \text{sur } I, \\ y(x_0) \ &= \ y_0, \\ y'(x_0) \ &= \ y_0', \end{aligned} \right. $$ admet une et une seule solution sur $I$. En particulier, en choisissant des conditions initiales arbitraires, on obtient l'existence d'au moins une solution particulière de l'équation complète, ce qui valide rétroactivement la structure de plan affine énoncée ci-dessus.

Preuve

Admis à ce niveau ; voir la Remarque ci-dessous pour le statut de la preuve.

Sur le statut de la preuve

Ce théorème est admis : la démonstration est hors programme (programme 2021 p. 12, « la démonstration de ce résultat est hors programme »). Une preuve constructive consiste à ramener le problème du second ordre à un problème de Cauchy du premier ordre par la substitution $y = z e^{r x}$ avec $r$ une racine du polynôme caractéristique, puis à appliquer le théorème de Cauchy du premier ordre démontré plus haut.

Méthode — Résoudre un problème de Cauchy au second ordre

Pour résoudre $\{y'' + a y' + b y = f(x), \ y(x_0) = y_0, \ y'(x_0) = y_0'\}$ sur $I$ :

Résoudre l'équation homogène $y'' + a y' + b y = 0$ (cas homogène réel) : famille à $2$ paramètres $S_0$.
Trouver une solution particulière $y_{\mathrm{part}}$ de l'équation complète à l'aide de l'ansatz polynôme-exponentielle.
Écrire la solution générale $y(x) = y_{\mathrm{part}}(x) + y_h(x)$ avec $y_h \in S_0$ (deux paramètres libres).
Imposer les deux conditions initiales $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y_0'$ : un système linéaire en les deux paramètres, avec unique solution par le théorème.

Exemple — Problème de Cauchy à deux conditions

Sur $\mathbb R$, résoudre $\{y'' - y = 2 \cos x + e^x, \ y(0) = -1, \ y'(0) = 0\}$.
Partie homogène. Polynôme caractéristique $X^2 - 1 = (X - 1)(X + 1)$, deux racines réelles distinctes $\pm 1$, $\Delta = 4 > 0$. Solutions homogènes $\lambda e^x + \mu e^{-x}$.
Solution particulière par superposition. On décompose le second membre en $f_1(x) = 2 \cos x$ et $f_2(x) = e^x$, puis on additionne les solutions particulières.

Pour $y'' - y = 2 \cos x$, on utilise la méthode complexe de la section des recettes pratiques : on cherche une solution complexe de $y'' - y = 2 e^{i x}$ sous la forme $y_p(x) = \alpha e^{i x}$. Le calcul $y_p'' - y_p = (-1 - 1) \alpha e^{i x} = - 2 \alpha e^{i x} = 2 e^{i x}$ donne $\alpha = -1$, donc $y_p(x) = - e^{i x}$. La solution réelle de $y'' - y = 2 \cos x$ est $\operatorname{Re}(- e^{i x}) = -\cos x$.
Pour $y'' - y = e^x$, ici $P(x) = 1$ est de degré $0$, et $u = 1$ est racine simple de $X^2 - 1$ ($m = 1$). L'ansatz est $y_p(x) = x \, Q(x) \, e^x$ avec $Q$ de degré au plus $0$, i.e.\ $Q(x) = a$ constante : $y_p(x) = a x e^x$. Le calcul $y_p''(x) = a (x e^x + 2 e^x)$, donc $y_p'' - y_p = 2 a e^x = e^x$ donne $a = 1/2$. Donc $y_p(x) = x e^x / 2$.

Par superposition, une solution particulière de l'équation complète est $y_{\mathrm{part}}(x) = - \cos x + x e^x / 2$.
Solution générale. $y(x) = \lambda e^x + \mu e^{-x} + x e^x/2 - \cos x$.
Conditions initiales. On calcule $y'(x) = \lambda e^x - \mu e^{-x} + e^x/2 + x e^x/2 + \sin x$. Alors $$ \begin{aligned} y(0) \ &= \ \lambda + \mu - 1 \ = \ - 1 && \Longrightarrow \quad \lambda + \mu \ = \ 0, \\ y'(0) \ &= \ \lambda - \mu + 1/2 \ = \ 0 && \Longrightarrow \quad \lambda - \mu \ = \ -1/2, \end{aligned} $$ donc $\lambda = -1/4$, $\mu = 1/4$. L'unique solution est $$ y(x) \ = \ \dfrac{(2 x - 1) \, e^x + e^{-x}}{4} - \cos x. $$

Compétences à pratiquer

Résoudre les problèmes de Cauchy au second ordre

II.3 Recettes pratiques$\virgule$ ansatz polynôme-exponentielle

Le programme cite trois catégories de second membre que l'élève doit maîtriser : polynôme, $\alpha \, e^{\lambda x}$ avec $(\alpha, \lambda) \in \mathbb C^2$, et $\beta \cos(\omega x) / \beta \sin(\omega x)$ avec $(\beta, \omega) \in \mathbb R^2$. Toutes les trois sont englobées dans l'ansatz unifié, énoncé sur $\mathbb C$ d'abord : pour un second membre (éventuellement complexifié) de la forme $P(x) \, e^{u x}$ avec $P \in \mathbb C[X]$ et $u \in \mathbb C$, on cherche une solution particulière complexe sous la forme $x^m \, Q(x) \, e^{u x}$ où $Q \in \mathbb C[X]$ est de degré au plus $\deg P$, et $m \in \{0, 1, 2\}$ est la multiplicité de $u$ en tant que racine du polynôme caractéristique $X^2 + a X + b$. Pour une équation réelle avec second membre trigonométrique, on complexifie ($\beta \cos(\omega x) = \operatorname{Re}(\beta e^{i \omega x})$), on résout l'équation complexifiée par le même ansatz, puis on prend la partie réelle (resp.\ imaginaire) à la fin. C'est le même réflexe $\operatorname{Re}(e^{(a + i b) x})$ qu'au chapitre Primitives.

Méthode — Ansatz polynôme-exponentielle sur $\mathbb C$

Pour l'équation complexifiée $y'' + a y' + b y = P(x) \, e^{u x}$ avec $P \in \mathbb C[X]$ non nul et $u \in \mathbb C$ :

Calculer la multiplicité $m \in \{0, 1, 2\}$ de $u$ comme racine du polynôme caractéristique $X^2 + a X + b$ ($m = 0$ si $u$ n'est pas racine, $m = 1$ si racine simple, $m = 2$ si racine double).
Chercher une solution particulière complexe sous la forme $$ y_p(x) \ = \ x^m \, Q(x) \, e^{u x}, $$ où $Q \in \mathbb C[X]$ est de degré au plus $\deg P$.
En pratique, prendre $Q$ comme un polynôme générique de degré $\deg P$, injecter l'ansatz dans l'équation, développer, et identifier les coefficients des puissances de $x$ pour déterminer $Q$.

Pour une équation réelle avec second membre trigonométrique de la forme $\beta \cos(\omega x)$ ou $\beta \sin(\omega x)$ : on complexifie via $\beta \cos(\omega x) = \operatorname{Re}(\beta e^{i \omega x})$ (resp.\ $\operatorname{Im}$ pour $\sin$), on applique l'ansatz ci-dessus au problème complexifié avec $u = i \omega$, puis on prend la partie réelle (resp.\ imaginaire) de $y_p$ à la fin pour obtenir une solution particulière réelle.

Exemple — Second membre polynomial ($m \equal 0$)

Sur $\mathbb R$, résoudre $y'' - 4 y = x^2 + 1$. Le second membre $x^2 + 1$ est de la forme $P(x) \, e^{0 \cdot x}$ avec $P(x) = x^2 + 1$ et $u = 0$. Comme $0$ n'est pas racine de $X^2 - 4 = (X - 2)(X + 2)$, $m = 0$. L'ansatz $y_p(x) = x^0 \, Q(x) \, e^{0 \cdot x} = Q(x)$ avec $Q$ de degré au plus $2$ : $y_p(x) = a x^2 + b x + c$ avec $a, b, c \in \mathbb R$. Le calcul $y_p''(x) = 2 a$, donc $$ y_p'' - 4 y_p \ = \ 2 a - 4 (a x^2 + b x + c) \ = \ - 4 a \, x^2 - 4 b \, x + (2 a - 4 c). $$ L'identification avec $x^2 + 1$ donne $- 4 a = 1$ (donc $a = - 1/4$), $- 4 b = 0$ ($b = 0$), et $2 a - 4 c = 1$ (donc $c = (2 a - 1)/4 = - 3/8$). Une solution particulière est $y_p(x) = - x^2/4 - 3/8$. Solution générale : $y(x) = \lambda e^{2 x} + \mu e^{- 2 x} - x^2/4 - 3/8$.

Exemple — Second membre exponentiel avec résonance ($m \equal 1$)

Sur $\mathbb R$, résoudre $y'' - 3 y' + 2 y = (x + 2) e^x$. Le polynôme caractéristique est $X^2 - 3 X + 2 = (X - 1)(X - 2)$, avec racines simples $1$ et $2$. Le second membre est $P(x) e^{u x}$ avec $P(x) = x + 2$ (degré $1$) et $u = 1$, qui est racine simple du polynôme caractéristique, donc $m = 1$.
Par l'ansatz, on cherche $y_p(x) = x \, Q(x) \, e^x$ avec $Q$ de degré au plus $1$, i.e.\ $Q(x) = a x + b$. Donc $$ y_p(x) \ = \ x (a x + b) \, e^x \ = \ (a x^2 + b x) \, e^x. $$ On calcule : $$ \begin{aligned} y_p'(x) \ &= \ (2 a x + b) e^x + (a x^2 + b x) e^x \ = \ (a x^2 + (2 a + b) x + b) e^x, \\ y_p''(x) \ &= \ (2 a x + 2 a + b) e^x + (a x^2 + (2 a + b) x + b) e^x \ = \ (a x^2 + (4 a + b) x + (2 a + 2 b)) e^x. \end{aligned} $$ Puis $$ y_p'' - 3 y_p' + 2 y_p \ = \ e^x \bigl( a x^2 (1 - 3 + 2) + x (4 a + b - 3 (2 a + b) + 2 b) + (2 a + 2 b - 3 b) \bigr) \ = \ e^x \bigl( - 2 a \, x + (2 a - b) \bigr). $$ L'identification avec $(x + 2) e^x$ donne $- 2 a = 1$ ($a = -1/2$) et $2 a - b = 2$ ($b = 2 a - 2 = -3$). Une solution particulière est $y_p(x) = (- x^2/2 - 3 x) e^x = -\dfrac{x (x + 6)}{2} \, e^x$. Solution générale : $y(x) = \lambda e^x + \mu e^{2 x} -\dfrac{x (x + 6)}{2} \, e^x$.

Exemple — Second membre trigonométrique avec résonance ($m \equal 1$) par la méthode complexe

Sur $\mathbb R$, résoudre $y'' + 4 y = 3 \sin(2 x)$. Le polynôme caractéristique est $X^2 + 4 = (X - 2 i)(X + 2 i)$, avec racines simples $\pm 2 i$.
Complexification. On écrit $3 \sin(2 x) = \operatorname{Im}(3 \, e^{2 i x})$. On résout l'équation complexifiée $y'' + 4 y = 3 \, e^{2 i x}$. Ici $P(x) = 3$ est de degré $0$, et $u = 2 i$ est racine simple du polynôme caractéristique, donc $m = 1$. L'ansatz est $y_p(x) = x \, Q(x) \, e^{2 i x}$ avec $Q$ de degré au plus $0$, i.e.\ $Q(x) = a$ une constante complexe. Donc $$ y_p(x) \ = \ a \, x \, e^{2 i x}, \qquad a \in \mathbb C. $$ On calcule : $$ \begin{aligned} y_p'(x) \ &= \ a \, e^{2 i x} + 2 i a x \, e^{2 i x} \ = \ a (1 + 2 i x) \, e^{2 i x}, \\ y_p''(x) \ &= \ 2 i a \, e^{2 i x} + a (1 + 2 i x) \cdot 2 i \, e^{2 i x} \ = \ a \, e^{2 i x} (2 i + 2 i (1 + 2 i x)) \ = \ a \, e^{2 i x} (4 i - 4 x). \end{aligned} $$ Puis $$ y_p'' + 4 y_p \ = \ a \, e^{2 i x} (4 i - 4 x + 4 x) \ = \ 4 i a \, e^{2 i x}. $$ L'identification avec $3 \, e^{2 i x}$ donne $4 i a = 3$, donc $a = 3 / (4 i) = - 3 i/4$. Une solution particulière complexe est $$ y_p(x) \ = \ - \dfrac{3 i}{4} \, x \, e^{2 i x} \ = \ - \dfrac{3 i}{4} \, x \, (\cos(2 x) + i \sin(2 x)) \ = \ \dfrac{3 x}{4} \, \sin(2 x) - \dfrac{3 i x}{4} \, \cos(2 x). $$ En prenant la partie imaginaire : $\operatorname{Im}(y_p)(x) = - \dfrac{3 x}{4} \, \cos(2 x)$. C'est une solution particulière réelle de $y'' + 4 y = 3 \sin(2 x)$. Solution générale réelle : $$ y(x) \ = \ \lambda \cos(2 x) + \mu \sin(2 x) - \dfrac{3 x}{4} \, \cos(2 x), \qquad \lambda, \mu \in \mathbb R. $$ Le facteur $x \cdot \cos(2 x)$ révèle la résonance : le second membre oscille à la même pulsation $\omega = 2$ que les solutions homogènes, produisant une solution particulière non bornée. C'est le même phénomène que l'ansatz $x e^x$ dans l'exemple précédent (multiplicité $m = 1$ dans les deux cas).

Renvoi au chapitre Primitives

La méthode complexe ici est le même réflexe $\operatorname{Re}(e^{(a + i b) x})$ qu'au chapitre Primitives pour calculer les primitives de $e^{a x} \cos(b x)$ et $e^{a x} \sin(b x)$. L'élève doit reconnaître le motif : chaque fois qu'une équation différentielle réelle a un second membre $\cos / \sin$, on complexifie en $e^{i \omega x}$, on résout dans $\mathbb C$, puis on prend la partie réelle ou imaginaire à la fin.

Compétences à pratiquer

Trouver des solutions particulières par ansatz polynôme-exponentielle