CommeUnJeu · L1 PCSI
Intégration sur un segment
Vue d'ensemble du chapitre
Ce chapitre établit l'intégrale \(\int_a^b f(t)\,dt\) d'une fonction \(f\) sur un segment \([a \,;\, b]\), à valeurs dans \(K = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), et ses propriétés principales : linéarité, positivité, inégalité triangulaire, relation de Chasles, valeur moyenne, sommes de Riemann, lien entre intégrale et primitive (théorème fondamental du calcul intégral, intégration par parties, changement de variable), et enfin les formules de Taylor globales. L'objet central est une fonction continue sur un segment ; le cas le plus simple --- une fonction en escalier, constante sur chaque morceau d'une subdivision --- donne à l'intégrale son premier sens, purement géométrique (« base \(\times\) hauteur »), et l'extension des fonctions en escalier aux fonctions continues est ici admise. Construire entièrement l'intégrale n'est pas notre but à ce niveau ; il s'agit de comprendre comment on l'approche et d'en manier les propriétés avec aisance.
Convention sur \(K\). Dans tout le chapitre, \(K\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\). Les énoncés faisant intervenir l'ordre (\(\le\), positivité, croissance) sont à valeurs réelles et sont explicitement signalés.
Convention sur \(K\). Dans tout le chapitre, \(K\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\). Les énoncés faisant intervenir l'ordre (\(\le\), positivité, croissance) sont à valeurs réelles et sont explicitement signalés.
I
Continuité uniforme
Pourquoi la continuité uniforme ?\\
Une fonction \(f\) continue sur un intervalle \(I\) vérifie : en chaque point \(y \in I\) et pour chaque tolérance \(\varepsilon > 0\), il existe un rayon \(\alpha_{y, \varepsilon} > 0\) tel que \(|f(x) - f(y)| < \varepsilon\) dès que \(|x - y| < \alpha_{y, \varepsilon}\). Le rayon \(\alpha_{y, \varepsilon}\) dépend de \(y\) --- il peut se rétrécir quand \(y\) varie. La continuité uniforme exige qu'un seul rayon convienne pour tous les \(y\) simultanément. Sur un segment \([a \,;\, b]\), cette propriété plus forte est acquise gratuitement (théorème de Heine), et c'est précisément elle qui permet l'approximation uniforme d'une fonction continue par des fonctions en escalier plus loin, dans la section Fonctions en escalier et continues par morceaux.
Définition — Continuité uniforme
Soit \(f : I \to K\) une fonction sur un intervalle \(I\). On dit que \(f\) est uniformément continue sur \(I\) si $$ \textcolor{colordef}{\forall \varepsilon > 0, \ \exists \alpha > 0, \ \forall x, y \in I, \quad |x - y| < \alpha \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon}. $$ Le rayon \(\alpha\) dépend de \(\varepsilon\) mais pas des points \(x, y\) --- le même \(\alpha\) convient pour tout couple de points à distance inférieure à \(\alpha\).
Figure --- continuité uniforme
Comparaison schématique : en un point à forte pente, le rayon \(\alpha\) requis est petit ; la continuité uniforme exige un seul \(\alpha\) valable pour tout point de l'intervalle. 
Exemple
L'identité \(f(x) = x\) est uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).
Pour tout \(\varepsilon > 0\), posons \(\alpha = \varepsilon\). Alors \(|x - y| < \alpha \Rightarrow |f(x) - f(y)| = |x - y| < \alpha = \varepsilon\).
Exemple
La fonction \(f(x) = x^2\) est continue sur \(\mathbb{R}\) mais pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).
Pour tout \(\alpha > 0\), posons \(x_n = n\) et \(y_n = n + \frac{\alpha}{2}\). Alors \(|x_n - y_n| = \alpha/2 < \alpha\), mais $$ |f(x_n) - f(y_n)| = \left| n^2 - \left(n + \frac{\alpha}{2}\right)^2 \right| = n \alpha + \frac{\alpha^2}{4} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty. $$ Donc aucun \(\alpha\) fixé ne peut assurer \(|f(x) - f(y)| < 1\) pour tout \(x, y\) à distance \(< \alpha\). Donc \(f\) n'est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).
Proposition — Lipschitz \(\Rightarrow\) uniformément continue
Si \(f : I \to K\) est \(K_0\)-lipschitzienne sur \(I\) pour un certain \(K_0 > 0\) (c'est-à-dire \(|f(x) - f(y)| \le K_0 |x - y|\) pour tout \(x, y \in I\)), alors \(f\) est uniformément continue sur \(I\).
Soit \(\varepsilon > 0\). Posons \(\alpha = \varepsilon / K_0\). Alors pour tout \(x, y \in I\) avec \(|x - y| < \alpha\) : $$ |f(x) - f(y)| \le K_0 |x - y| < K_0 \alpha = \varepsilon. $$ Donc \(f\) est uniformément continue sur \(I\).
Theorem — Théorème de Heine
Toute fonction continue sur un segment \([a \,;\, b]\) est uniformément continue sur \([a \,;\, b]\) : $$ \textcolor{colorprop}{f \in C([a \,;\, b], K) \Rightarrow f \text{ uniformément continue sur } [a \,;\, b]}. $$
Démonstration de Heine --- admise
La démonstration est non exigible au programme. Elle se fait par contraposition \(+\) Bolzano-Weierstrass : si \(f\) n'est pas uniformément continue, on construit deux suites \((x_n), (y_n) \in [a \,;\, b]^{\mathbb{N}}\) avec \(|x_n - y_n| \to 0\) mais \(|f(x_n) - f(y_n)| \ge \varepsilon\), puis on extrait une sous-suite convergente avec même limite pour \(x_{\varphi(n)}\) et \(y_{\varphi(n)}\), contredisant la continuité en la limite.
Méthode — Utiliser Heine en pratique
Sur un segment \([a \,;\, b]\), étant donné \(f\) continue et une tolérance \(\varepsilon > 0\) : - Appliquer Heine pour obtenir un rayon uniforme \(\alpha > 0\) valable en tout point de \([a \,;\, b]\).
- Ce rayon ne dépend que de \(\varepsilon\) et de \(f\), pas du point : on peut l'utiliser dans une subdivision ou un argument de partition sans s'inquiéter de la variation de \(\alpha\).
Compétences à pratiquer
- Établir la continuité uniforme par la définition
- Réfuter la continuité uniforme
- Utiliser le théorème de Heine en pratique
II
Fonctions en escalier et continues par morceaux
Les briques de construction
La construction de l'intégrale se fait par étapes. Les fonctions en escalier --- constantes par morceaux sur une subdivision --- ont une intégrale géométrique définie par sommation « base \(\times\) hauteur ». Les fonctions continues par morceaux étendent cela à une classe plus riche contenant toutes les fonctions continues, et l'intégrale s'étendra par approximation uniforme. Cette section introduit les deux classes et leur structure algébrique.
Convention. Sauf mention contraire, la construction sur un segment \([a \,;\, b]\) suppose \(a < b\). Le cas dégénéré \(a = b\) est traité plus loin par la convention \(\int_a^a f = 0\) (Définition D3.4).
Convention. Sauf mention contraire, la construction sur un segment \([a \,;\, b]\) suppose \(a < b\). Le cas dégénéré \(a = b\) est traité plus loin par la convention \(\int_a^a f = 0\) (Définition D3.4).
Définition — Subdivision d'un segment
Une subdivision de \([a \,;\, b]\) est une famille finie \(\sigma = (x_0, x_1, \dots, x_p)\) de points de \([a \,;\, b]\) vérifiant \(a = x_0 < x_1 < \dots < x_p = b\). Le réel $$ \textcolor{colordef}{\operatorname{pas}(\sigma) := \max_{0 \le k \le p-1} (x_{k+1} - x_k) > 0} $$ est appelé le pas de \(\sigma\). Exemple
\(\sigma = (0, 1, 2, 3)\) est une subdivision de \([0 \,;\, 3]\) de pas \(\operatorname{pas}(\sigma) = 1\). La famille \((0, 0{,}5, 1, 3)\) est une autre subdivision de \([0 \,;\, 3]\), de pas \(2\) (l'écart le plus grand est \(3 - 1 = 2\)). Définition — Fonction en escalier
Une fonction \(f : [a \,;\, b] \to K\) est dite en escalier s'il existe une subdivision \(\sigma = (x_0, \dots, x_p)\) de \([a \,;\, b]\), appelée subdivision adaptée à \(f\), telle que $$ \textcolor{colordef}{f \text{ est constante sur chaque sous-intervalle ouvert } ]x_k \,;\, x_{k+1}[ \text{ pour tout } k \in \{0, \dots, p-1\}}. $$ Les valeurs de \(f\) aux points \(x_0, x_1, \dots, x_p\) ne sont pas contraintes par cette définition. Exemple
Toute fonction constante \(f \equiv c\) sur \([a \,;\, b]\) est en escalier : prendre la subdivision triviale \((a, b)\) et \(f\) est constante sur l'unique sous-intervalle ouvert \(\,]a \,;\, b[\). La fonction partie entière \(\lfloor \cdot \rfloor\) sur \([0 \,;\, 3]\) est en escalier de subdivision adaptée \((0, 1, 2, 3)\) et de valeurs \(0, 1, 2\) sur les trois sous-intervalles ouverts.
Figure --- fonction en escalier
Une fonction en escalier sur \([a \,;\, b]\) avec subdivision \((x_0, x_1, x_2, x_3, x_4)\) et valeurs constantes \(y_0, y_1, y_2, y_3\) sur les sous-intervalles ouverts. 
Proposition — Stabilité des fonctions en escalier
Soient \(f, g : [a \,;\, b] \to K\) deux fonctions en escalier et \(\lambda, \mu \in K\). La réunion d'une subdivision adaptée à \(f\) et d'une subdivision adaptée à \(g\) est adaptée aux deux. De plus, \(|f|\), \(\operatorname{Re}(f)\), \(\operatorname{Im}(f)\), \(\lambda f + \mu g\) et \(f g\) sont en escalier sur \([a \,;\, b]\). En particulier, l'ensemble des fonctions en escalier sur \([a \,;\, b]\) à valeurs dans \(K\) est une \textcolor{colorprop}{sous-algèbre de \(K^{[a \,;\, b]}\)}.
Sur la réunion de deux subdivisions adaptées, \(f\) et \(g\) sont chacune constante sur chaque sous-intervalle ouvert ; toute combinaison algébrique de valeurs constantes y est donc constante. Idem pour \(|f|\), \(\operatorname{Re}\), \(\operatorname{Im}\) (appliquées à des valeurs constantes). La propriété de sous-algèbre en découle.
Définition — Fonction continue par morceaux
Une fonction \(f : [a \,;\, b] \to K\) est continue par morceaux sur \([a \,;\, b]\) s'il existe une subdivision \((x_0, \dots, x_p)\) de \([a \,;\, b]\), appelée adaptée à \(f\), telle que : - \(f\) est continue sur chaque sous-intervalle ouvert \(\,]x_k \,;\, x_{k+1}[\) ;
- \(f\) admet une extension continue finie en \(x_k^+\) et en \(x_{k+1}^-\) sur chaque sous-intervalle ouvert.
Figure --- fonction continue par morceaux
Une fonction continue par morceaux avec des discontinuités de saut aux points de subdivision \(x_1, x_2\). 
Exemple
La fonction partie entière \(\lfloor \cdot \rfloor\) est continue par morceaux sur \([0 \,;\, 3]\) (elle est même en escalier, avec subdivision \((0, 1, 2, 3)\)). Exemple
La fonction \(f(x) = 1/x\) sur \(\,]0 \,;\, 1]\) prolongée par une valeur quelconque en \(0\) n'est pas continue par morceaux sur \([0 \,;\, 1]\) : elle est continue sur \(\,]0 \,;\, 1]\) mais n'admet pas d'extension continue finie en \(0^+\) (car \(1/x \to +\infty\)). Proposition — Les fonctions continues par morceaux forment une sous-algèbre
L'ensemble \(\mathcal{CM}([a \,;\, b], K)\) est une sous-algèbre de \(K^{[a \,;\, b]}\) : \(|f|\), \(\operatorname{Re}(f)\), \(\operatorname{Im}(f)\), \(\lambda f + \mu g\), et \(f g\) sont continues par morceaux sur \([a \,;\, b]\) dès que \(f, g\) le sont. Elle contient toutes les fonctions en escalier sur \([a \,;\, b]\) et toutes les fonctions continues sur \([a \,;\, b]\).
Sur la réunion de deux subdivisions adaptées, les extensions continues de \(f\) et \(g\) sur chaque sous-intervalle ouvert sont bien définies ; toute combinaison algébrique de ces extensions est elle-même continûment prolongeable. Le cas en escalier (constante sur chaque sous-intervalle ouvert) s'inscrit trivialement, et une fonction globalement continue utilise la subdivision triviale \((a, b)\).
Proposition — Continue par morceaux \(\Rightarrow\) bornée
Toute fonction \(f \in \mathcal{CM}([a \,;\, b], K)\) est \textcolor{colorprop}{bornée} sur \([a \,;\, b]\) ; en particulier, sa norme infinie \(\|f\|_\infty = \sup_{x \in [a \,;\, b]} |f(x)|\) est finie. Notons que \(|f|\) n'atteint pas nécessairement sa borne supérieure (elle peut être atteinte seulement comme limite d'un côté en un point de subdivision).
Soit \((x_0, \dots, x_p)\) une subdivision adaptée. Sur chaque sous-intervalle ouvert \(\,]x_k \,;\, x_{k+1}[\), l'extension continue \(\tilde f_k\) de \(f\) est continue sur le sous-intervalle fermé \([x_k \,;\, x_{k+1}]\) ; par le théorème des bornes atteintes (chapitre Limites et continuité), \(|\tilde f_k|\) est majorée par un certain \(M_k\). Le maximum de \(M_0, \dots, M_{p-1}\) et des valeurs \(|f(x_0)|, \dots, |f(x_p)|\) majore \(|f|\) sur \([a \,;\, b]\).
Theorem — Approximation uniforme par fonctions en escalier
Toute fonction \(f \in \mathcal{CM}([a \,;\, b], K)\) est la \textcolor{colorprop}{limite uniforme} d'une suite de fonctions en escalier sur \([a \,;\, b]\). En particulier, pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe une fonction en escalier \(\varphi\) telle que \(\|f - \varphi\|_\infty < \varepsilon\).
Deux cas, par un argument de subdivision adaptée.
- Cas 1 --- \(f\) continue sur \([a \,;\, b]\). Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), posons \(x_{n, k} = a + k (b - a)/n\) pour \(k \in \{0, \dots, n\}\), et soit \(\varphi_n\) la fonction en escalier définie par $$ \varphi_n(x) = f(x_{n, k}) \text{ pour } x \in [x_{n, k} \,;\, x_{n, k+1}[, \quad \varphi_n(b) = f(b). $$ Par le théorème de Heine (T1.1), \(f\) est uniformément continue sur \([a \,;\, b]\) : pour \(\varepsilon > 0\) donné, il existe \(\alpha > 0\) avec \(|f(x) - f(y)| < \varepsilon\) dès que \(|x - y| < \alpha\). Choisissons \(N \in \mathbb{N}^*\) tel que \((b - a)/N < \alpha\). Pour \(n \ge N\) et \(x \in [a \,;\, b[\), \(x\) appartient à un certain \([x_{n, k} \,;\, x_{n, k+1}[\) avec \(|x - x_{n, k}| < (b - a)/n \le (b - a)/N < \alpha\), donc \(|\varphi_n(x) - f(x)| = |f(x_{n, k}) - f(x)| < \varepsilon\). D'où \(\|\varphi_n - f\|_\infty \le \varepsilon\), donc \(\varphi_n \to f\) uniformément.
- Cas 2 --- \(f\) continue par morceaux sur \([a \,;\, b]\). Soit \((x_0, \dots, x_p)\) une subdivision adaptée. Sur chaque \([x_k \,;\, x_{k+1}]\), l'extension continue \(\tilde f_k\) de \(f\) sur la partie ouverte est continue sur un segment fermé, donc par le Cas 1 il existe une suite \((\varphi_{k, n})_n\) de fonctions en escalier sur \([x_k \,;\, x_{k+1}]\) qui approche \(\tilde f_k\) uniformément. Recollons : posons \(\varphi_n(x) = \varphi_{k, n}(x)\) pour \(x \in \,]x_k \,;\, x_{k+1}[\) et \(\varphi_n(x_k) = f(x_k)\) en chaque point de subdivision. Alors \(\varphi_n\) est une fonction en escalier sur \([a \,;\, b]\), et \(\|\varphi_n - f\|_\infty = \max_k \|\varphi_{k, n} - \tilde f_k\|_{\infty, \,]x_k \,;\, x_{k+1}[} \to 0\).
Figure --- approximation uniforme
Une fonction \(f\) continue sur \([a \,;\, b]\) et une fonction en escalier \(\varphi_n\) prenant la valeur \(f(x_{n, k})\) sur chaque \([x_{n, k} \,;\, x_{n, k+1}[\) d'une partition uniforme : \(\|\varphi_n - f\|_\infty \to 0\) quand \(n \to +\infty\) par Heine. 
Compétences à pratiquer
- Identifier les fonctions en escalier et continues par morceaux
- Construire des subdivisions adaptées à une fonction
- Utiliser la structure de sous-algèbre des fonctions continues par morceaux
- Approcher une fonction continue par des fonctions en escalier
III
Intégrale d'une fonction continue par morceaux
Stratégie
On définit d'abord l'intégrale \(\int_{[a \,;\, b]} f\) d'une fonction en escalier \(f\) comme la somme géométrique « base \(\times\) hauteur » sur ses paliers. Cette définition est indépendante de la subdivision adaptée (argument de raffinement). Pour une fonction continue par morceaux \(f\) générale, on approche \(f\) uniformément par des fonctions en escalier \(\varphi_n\) (Théorème T2.1) et on définit \(\int_{[a \,;\, b]} f\) comme la limite de \(\int_{[a \,;\, b]} \varphi_n\). L'essentiel du travail est de vérifier que cette limite existe et ne dépend pas du choix de \((\varphi_n)\). Les propriétés standards (linéarité, inégalité triangulaire, Chasles) en découlent par passage à la limite depuis le cas en escalier.
Définition — Intégrale d'une fonction en escalier
Soit \(f : [a \,;\, b] \to K\) une fonction en escalier de subdivision adaptée \((x_0, \dots, x_p)\), et soit \(y_k \in K\) la valeur constante de \(f\) sur \(\,]x_k \,;\, x_{k+1}[\) pour \(k \in \{0, \dots, p - 1\}\). Le nombre $$ \textcolor{colordef}{\sum_{k=0}^{p - 1} y_k (x_{k+1} - x_k)} $$ ne dépend que de \(f\) et non du choix de la subdivision adaptée. Il s'appelle l'intégrale de \(f\) sur \([a \,;\, b]\), notée $$ \textcolor{colordef}{\int_{[a \,;\, b]} f \quad \text{ou} \quad \int_{[a \,;\, b]} f(t)\,dt}. $$ Les valeurs de \(f\) aux points \(x_0, x_1, \dots, x_p\) n'apparaissent pas dans cette somme, et n'affectent donc pas l'intégrale. Exemple
Calculer \(\int_{[0 \,;\, 3]} f\) pour la fonction en escalier \(f\) définie par \(f = 2\) sur \(\,]0 \,;\, 1[\), \(f = -1\) sur \(\,]1 \,;\, 3[\), avec des valeurs arbitraires en \(0, 1, 3\).
La subdivision adaptée est \((0, 1, 3)\). Par D3.1 : $$ \int_{[0 \,;\, 3]} f = 2 \cdot (1 - 0) + (-1) \cdot (3 - 1) = 2 - 2 = 0. $$ Les valeurs de \(f\) en \(0\), \(1\), \(3\) n'interviennent pas dans le calcul.
Proposition — Linéarité et inégalité triangulaire pour les fonctions en escalier
Soient \(f, g : [a \,;\, b] \to K\) deux fonctions en escalier et \(\lambda, \mu \in K\). Alors - (i) \textcolor{colorprop}{Linéarité} : \(\int_{[a \,;\, b]} (\lambda f + \mu g) = \lambda \int_{[a \,;\, b]} f + \mu \int_{[a \,;\, b]} g\).
- (ii) \textcolor{colorprop}{Inégalité triangulaire} : \(\left| \int_{[a \,;\, b]} f \right| \le \int_{[a \,;\, b]} |f| \le (b - a) \|f\|_\infty\).
Sur une subdivision adaptée commune (réunion des subdivisions adaptées à \(f\) et \(g\)), notons les valeurs constantes \(y_k\) pour \(f\) et \(z_k\) pour \(g\) sur \(\,]x_k \,;\, x_{k+1}[\).
- (i) La valeur constante de \(\lambda f + \mu g\) sur \(\,]x_k \,;\, x_{k+1}[\) est \(\lambda y_k + \mu z_k\), donc $$ \int_{[a \,;\, b]} (\lambda f + \mu g) = \sum_k (\lambda y_k + \mu z_k)(x_{k+1} - x_k) = \lambda \sum_k y_k(x_{k+1} - x_k) + \mu \sum_k z_k(x_{k+1} - x_k). $$
- (ii) L'inégalité triangulaire sur les sommes donne \(|\int f| = |\sum_k y_k (x_{k+1} - x_k)| \le \sum_k |y_k|(x_{k+1} - x_k) = \int |f|\). La seconde inégalité vient de \(|y_k| \le \|f\|_\infty\) et \(\sum (x_{k+1} - x_k) = b - a\).
Définition — Intégrale d'une fonction continue par morceaux
Soit \(f \in \mathcal{CM}([a \,;\, b], K)\) et \((\varphi_n)\) une suite de fonctions en escalier sur \([a \,;\, b]\) convergeant uniformément vers \(f\) (une telle suite existe par le Théorème T2.1). Alors la suite \(\left( \int_{[a \,;\, b]} \varphi_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge dans \(K\), et sa limite ne dépend pas du choix de \((\varphi_n)\). Cette limite commune est l'intégrale de \(f\) sur \([a \,;\, b]\), notée $$ \textcolor{colordef}{\int_{[a \,;\, b]} f := \lim_{n \to +\infty} \int_{[a \,;\, b]} \varphi_n}. $$ Pour une fonction en escalier, cette définition coïncide avec la précédente (D3.1). Proposition — Propriétés de l'intégrale
Soient \(f, g \in \mathcal{CM}([a \,;\, b], K)\) avec \(a \le b\) et \(\lambda, \mu \in K\). - (i) \textcolor{colorprop}{Linéarité} : \(\int_{[a \,;\, b]} (\lambda f + \mu g) = \lambda \int_{[a \,;\, b]} f + \mu \int_{[a \,;\, b]} g\).
- (ii) \textcolor{colorprop}{Inégalité triangulaire} : \(\left| \int_{[a \,;\, b]} f \right| \le \int_{[a \,;\, b]} |f| \le (b - a) \|f\|_\infty\).
- (iii) \textcolor{colorprop}{Chasles} : Pour tout \(c \in [a \,;\, b]\), \(\int_{[a \,;\, b]} f = \int_{[a \,;\, c]} f + \int_{[c \,;\, b]} f\).
- (iv) \textcolor{colorprop}{Parties réelle et imaginaire} : \(\int_{[a \,;\, b]} f = \int_{[a \,;\, b]} \operatorname{Re}(f) + i \int_{[a \,;\, b]} \operatorname{Im}(f)\). En particulier, si \(f\) est réelle, \(\int_{[a \,;\, b]} f \in \mathbb{R}\).
- (v) \textcolor{colorprop}{Modification sur un ensemble fini} : Si \(f\) et \(g\) coïncident sur \([a \,;\, b]\) sauf sur un ensemble fini, alors \(\int_{[a \,;\, b]} f = \int_{[a \,;\, b]} g\).
Pour chaque propriété, on prouve le résultat d'abord pour les fonctions en escalier, puis on passe à la limite via une suite \((\varphi_n)\) approchant uniformément \(f\) (et \((\psi_n)\) pour \(g\)). Soient \((\varphi_n)\), \((\psi_n)\) des fonctions en escalier avec \(\varphi_n \to f\), \(\psi_n \to g\) uniformément.
- (i) Pour les fonctions en escalier, la linéarité est P3.1(i). Pour le cas continu par morceaux : \(\lambda \varphi_n + \mu \psi_n\) est en escalier et \(\to \lambda f + \mu g\) uniformément, donc \(\int (\lambda \varphi_n + \mu \psi_n) = \lambda \int \varphi_n + \mu \int \psi_n\) tend vers \(\lambda \int f + \mu \int g\), et par définition de \(\int (\lambda f + \mu g)\) tend aussi vers \(\int (\lambda f + \mu g)\).
- (ii) Pour les fonctions en escalier, c'est P3.1(ii). Pour le cas continu par morceaux : \(|\int \varphi_n| \le \int |\varphi_n| \le (b - a) \|\varphi_n\|_\infty\). Passons à la limite : \(|\int f| \le \int |f|\) (car \(|\varphi_n|\) est en escalier et \(\to |f|\) uniformément, par inégalité triangulaire inverse), et \(\int |f| \le (b - a) \|f\|_\infty\) puisque \(\|\varphi_n\|_\infty \to \|f\|_\infty\).
- (iii) Pour les fonctions en escalier, \(f\) admet une subdivision adaptée contenant \(c\) (raffiner si nécessaire), et la relation de Chasles est un scindage direct de la somme à l'indice \(q\) avec \(x_q = c\). Pour le cas continu par morceaux : restreindre \(\varphi_n\) à \([a \,;\, c]\) et \([c \,;\, b]\) ; chaque restriction est en escalier sur son segment et approche uniformément \(f|_{[a \,;\, c]}\) et \(f|_{[c \,;\, b]}\) respectivement. Passer à la limite.
- (iv) Pour les fonctions en escalier, \(\operatorname{Re}\) et \(\operatorname{Im}\) commutent avec la somme. Pour le cas continu par morceaux : \(\operatorname{Re}(\varphi_n) \to \operatorname{Re}(f)\) uniformément (car \(|\operatorname{Re}(z)| \le |z|\)), idem pour \(\operatorname{Im}\).
- (v) Si \(f, g \in \mathcal{CM}([a \,;\, b], K)\) coïncident sur \([a \,;\, b] \setminus \{a_1, \dots, a_q\}\) pour un ensemble fini \(\{a_1, \dots, a_q\}\), alors \(g - f\) est en escalier sur \([a \,;\, b]\) avec valeur \(0\) sur le complémentaire ouvert des \(a_j\), donc \(\int (g - f) = 0\) (la somme n'a que des contributions nulles). Par linéarité, \(\int g = \int f\).
Proposition — Cas réel
Soient \(f, g \in \mathcal{CM}([a \,;\, b], \mathbb{R})\) avec \(a \le b\). - (i) \textcolor{colorprop}{Positivité} : \(f \ge 0 \Rightarrow \int_{[a \,;\, b]} f \ge 0\).
- (ii) \textcolor{colorprop}{Croissance} : \(f \le g \Rightarrow \int_{[a \,;\, b]} f \le \int_{[a \,;\, b]} g\).
- (iii) \textcolor{colorprop}{Positivité stricte} : Si \(f \ge 0\) sur \([a \,;\, b]\), \(f\) est continue en un certain \(x_0 \in [a \,;\, b]\) avec \(f(x_0) > 0\), et \(a < b\), alors \(\int_{[a \,;\, b]} f > 0\).
- (iv) \textcolor{colorprop}{Nullité pour les fonctions continues positives} : Si \(f \in C([a \,;\, b], \mathbb{R}_+)\), \(a < b\), et \(\int_{[a \,;\, b]} f = 0\), alors \(f \equiv 0\) sur \([a \,;\, b]\).
- (i) Pour \(f \ge 0\) en escalier, la somme \(\sum y_k (x_{k+1} - x_k)\) a des termes positifs ou nuls. Pour \(f \ge 0\) continue par morceaux, approchons par des \(\varphi_n\) issues de la construction du Théorème T2.1 : les valeurs de \(\varphi_n\) sont des valeurs de \(f\) ou de ses prolongements continus unilatéraux, donc positives ou nulles puisque \(f \ge 0\). Donc \(\int \varphi_n \ge 0\) pour tout \(n\), et la limite \(\int f \ge 0\).
- (ii) Appliquer (i) à \(g - f \ge 0\), puis utiliser la linéarité.
- (iii) Argument de minoration. Comme \(f\) est continue en \(x_0\) et \(f(x_0) > 0\), il existe \(\eta > 0\) et un intervalle fermé \(J = [x_0 - \delta \,;\, x_0 + \delta] \cap [a \,;\, b]\) autour de \(x_0\) avec \(\delta > 0\) et \(f \ge \eta\) sur \(J\). Posons \(\varphi = \eta \cdot 1_J\) (fonction en escalier sur \([a \,;\, b]\)). Alors \(0 \le \varphi \le f\) sur \([a \,;\, b]\), donc par croissance (ii) : $$ \int_{[a \,;\, b]} f \ge \int_{[a \,;\, b]} \varphi = \eta \cdot |J| > 0. $$
- (iv) Appliquer (iii) par contraposition : si \(f\) n'est pas identiquement nulle, il existe \(x_0 \in [a \,;\, b]\) avec \(f(x_0) > 0\) ; comme \(f\) est continue sur \([a \,;\, b]\), (iii) s'applique et \(\int f > 0\), contredisant \(\int f = 0\).
Définition — Valeur moyenne
La valeur moyenne de \(f \in \mathcal{CM}([a \,;\, b], K)\) sur \([a \,;\, b]\) (avec \(a < b\)) est $$ \textcolor{colordef}{\bar f := \frac{1}{b - a} \int_{[a \,;\, b]} f}. $$ Proposition — Encadrement de la valeur moyenne
Soit \(f \in \mathcal{CM}([a \,;\, b], \mathbb{R})\) avec \(a < b\). Si \(m \le f(x) \le M\) pour tout \(x \in [a \,;\, b]\), alors $$ \textcolor{colorprop}{m (b - a) \le \int_a^b f(t)\,dt \le M (b - a)}, \qquad \text{donc} \qquad m \le \bar f \le M. $$ Si de plus \(f\) est continue sur \([a \,;\, b]\), alors il existe \(c \in [a \,;\, b]\) tel que \(\bar f = f(c)\).
L'inégalité \(m \le f \le M\) sur \([a \,;\, b]\) donne, par croissance de l'intégrale (P3.3(ii)) : $$ \int_a^b m \, dt \le \int_a^b f(t)\,dt \le \int_a^b M\,dt, \qquad \text{soit} \qquad m(b - a) \le \int_a^b f \le M(b - a). $$ En divisant par \(b - a > 0\) : \(m \le \bar f \le M\).
Si \(f\) est continue sur \([a \,;\, b]\), le théorème des bornes atteintes (chapitre Limites et continuité) donne \(m_0, M_0 \in [a \,;\, b]\) avec \(f(m_0) = \min f\) et \(f(M_0) = \max f\). Alors \(f(m_0) \le \bar f \le f(M_0)\), et par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à \(f\) entre \(m_0\) et \(M_0\), il existe \(c\) entre \(m_0\) et \(M_0\) (donc dans \([a \,;\, b]\)) avec \(f(c) = \bar f\).
Si \(f\) est continue sur \([a \,;\, b]\), le théorème des bornes atteintes (chapitre Limites et continuité) donne \(m_0, M_0 \in [a \,;\, b]\) avec \(f(m_0) = \min f\) et \(f(M_0) = \max f\). Alors \(f(m_0) \le \bar f \le f(M_0)\), et par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à \(f\) entre \(m_0\) et \(M_0\), il existe \(c\) entre \(m_0\) et \(M_0\) (donc dans \([a \,;\, b]\)) avec \(f(c) = \bar f\).
Définition — Extension de la notation à \(b \le a\)
Pour \(f \in \mathcal{CM}(I, K)\) définie sur un intervalle plus large \(I\) et \(a, b \in I\) avec \(b < a\), on étend la notation par $$ \textcolor{colordef}{\int_a^b f(t)\,dt := -\int_b^a f(t)\,dt}. $$ Le cas \(b = a\) donne \(\int_a^a f = 0\). La linéarité et Chasles restent valables pour la notation étendue ; dans (ii) de P3.2, la majoration devient \(\left| \int_a^b f \right| \le |b - a| \|f\|_\infty\) (avec \(|b - a|\) à la place de \(b - a\)). Proposition — Intégrales de fonctions continues paires / impaires / périodiques
Soient \(a \ge 0\) et \(f \in C([-a \,;\, a], K)\). - Si \(f\) est \textcolor{colorprop}{paire} : \(\int_{-a}^a f(x)\,dx = 2 \int_0^a f(x)\,dx\).
- Si \(f\) est \textcolor{colorprop}{impaire} : \(\int_{-a}^a f(x)\,dx = 0\).
Rappel de Primitives. Ces propriétés ont été énoncées et utilisées au niveau lycée dans le chapitre précédent. On les redonne ici pour référence ; leur démonstration utilise le théorème de changement de variable T5.3 (dans la section Lien avec les primitives), énoncé pour des fonctions continues --- d'où l'hypothèse de continuité ici.
Méthode — Calculer une intégrale par symétrie
Pour une intégrale \(\int_a^b f\) : - Vérifier si le domaine d'intégration est symétrique (\([-A \,;\, A]\)) et \(f\) paire ou impaire : utiliser P3.5 (parité).
- Vérifier si \(f\) est \(T\)-périodique et le domaine de longueur \(T\) : translater à \([0 \,;\, T]\) par P3.5 (périodicité).
- Sinon, scinder par Chasles en sous-intervalles où \(f\) a une forme plus simple.
Exemple
Calculer \(\int_{-\pi}^\pi \sin t \, dt\).
L'intégrande \(\sin\) est impair et le domaine \([-\pi \,;\, \pi]\) est symétrique, donc \(\int_{-\pi}^\pi \sin t \, dt = 0\) par P3.5 (cas impair).
Exemple
Calculer \(\int_0^{2\pi} \cos^2 t \, dt\) par périodicité et la formule de duplication.
La fonction \(\cos^2\) est \(\pi\)-périodique (puisque \(\cos^2(t + \pi) = (-\cos t)^2 = \cos^2 t\)), donc $$ \int_0^{2\pi} \cos^2 t \, dt = 2 \int_0^\pi \cos^2 t \, dt. $$ En utilisant \(\cos^2 t = (1 + \cos 2t)/2\) : $$ \begin{aligned} \int_0^\pi \cos^2 t \, dt &= \int_0^\pi \frac{1 + \cos 2t}{2} \, dt && \text{(formule de duplication)} \\
&= \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \int_0^\pi \cos 2t \, dt && \text{(linéarité)} \\
&= \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2} && \text{(car \(\int_0^\pi \cos 2t \, dt = [\sin 2t / 2]_0^\pi = 0\)).} \end{aligned} $$ D'où \(\int_0^{2\pi} \cos^2 t \, dt = \pi\).
Compétences à pratiquer
- Calculer des intégrales avec parité\(\virgule\) périodicité\(\virgule\) Chasles
- Établir des inégalités via positivité et croissance
- Calculer la valeur moyenne d'une fonction continue par morceaux
IV
Sommes de Riemann
Du discret au continu
Les sommes de Riemann approchent \(\int_a^b f\) par une somme rectangulaire à gauche (ou à droite) sur une partition uniforme de \([a \,;\, b]\) en \(n\) morceaux. Géométriquement, chaque rectangle a pour base \((b - a)/n\) et pour hauteur \(f(a + k(b - a)/n)\). Quand \(n \to +\infty\), les sommes convergent vers l'intégrale. Le programme exige la démonstration de cette limite uniquement dans le cas lipschitzien ; le cas général continu par morceaux est admis.
Theorem — Sommes de Riemann
Pour toute \(f \in \mathcal{CM}([a \,;\, b], K)\) (avec \(a < b\)) : $$ \textcolor{colorprop}{\frac{b - a}{n} \sum_{k=0}^{n - 1} f\!\left( a + k \frac{b - a}{n} \right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_a^b f(t)\,dt} $$ et la variante à droite \(\frac{b - a}{n} \sum_{k=1}^n f(a + k (b - a)/n)\) a la même limite. Si de plus \(f\) est \(K_0\)-lipschitzienne sur \([a \,;\, b]\), l'erreur est majorée par $$ \left| \int_a^b f - \frac{b - a}{n} \sum_{k=0}^{n - 1} f\!\left(a + k \frac{b - a}{n}\right) \right| \le \frac{K_0 (b - a)^2}{2 n}. $$
Posons \(x_{n, k} = a + k (b - a)/n\) pour \(k \in \{0, \dots, n\}\). La somme de Riemann à gauche est l'intégrale de la fonction en escalier \(\varphi_n\) définie par \(\varphi_n(x) = f(x_{n, k})\) sur \([x_{n, k} \,;\, x_{n, k+1}[\) et \(\varphi_n(b) = f(b)\) : $$ \int_{[a \,;\, b]} \varphi_n = \sum_{k=0}^{n - 1} f(x_{n, k}) \cdot \frac{b - a}{n}. $$ Calculons l'erreur en utilisant que \(f\) est lipschitzienne : $$ \begin{aligned} \left| \int_{[a \,;\, b]} f - \int_{[a \,;\, b]} \varphi_n \right| &= \left| \int_{[a \,;\, b]} (f - \varphi_n) \right| && \text{(linéarité)} \\
&\le \sum_{k=0}^{n - 1} \int_{x_{n, k}}^{x_{n, k+1}} |f(x) - f(x_{n, k})| \, dx && \text{(inégalité triangulaire \(+\) Chasles)} \\
&\le \sum_{k=0}^{n - 1} \int_{x_{n, k}}^{x_{n, k+1}} K_0 (x - x_{n, k}) \, dx && \text{(borne lipschitzienne)} \\
&= \sum_{k=0}^{n - 1} K_0 \cdot \frac{(b - a)^2}{2 n^2} && \text{(intégrer \(K_0 (x - x_{n, k})\) sur \([x_{n, k} \,;\, x_{n, k+1}]\))} \\
&= \frac{K_0 (b - a)^2}{2 n}. \end{aligned} $$ Cela tend vers \(0\) quand \(n \to +\infty\). La variante à droite se démontre de la même façon, avec la fonction en escalier égale à \(f(x_{n, k+1})\) sur \([x_{n, k} \,;\, x_{n, k+1}[\).
Cas général continu par morceaux --- admis
Le cas général continu par morceaux est admis ici, conformément au programme. Une preuve complète s'obtient en combinant deux faits : d'abord, le résultat se vérifie directement pour les fonctions en escalier ; ensuite, toute fonction continue par morceaux est approchée uniformément par des fonctions en escalier, et les sommes de Riemann sont stables par erreur uniforme.
Figure --- somme de Riemann (à gauche)
Somme de Riemann à gauche sur une partition uniforme : chaque rectangle a pour base \((b - a)/n\) et pour hauteur \(f(a + k(b - a)/n)\). 
Méthode — Reconnaître une somme comme somme de Riemann
Pour calculer la limite d'une somme \(\sum_{k} u_{n, k}\) quand \(n \to +\infty\) : - Réécrire sous la forme \(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(k/n)\) pour une fonction \(f : [0 \,;\, 1] \to K\) adéquate, si possible.
- La limite est alors \(\int_0^1 f(x)\,dx\) par le Théorème T4.1 sur l'intervalle \([0 \,;\, 1]\).
- Plus généralement, \(\frac{b - a}{n} \sum_{k=0}^{n - 1} f(a + k(b-a)/n) \to \int_a^b f(x)\,dx\).
Exemple
Calculer \(\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n + k}\).
Factorisons \(1/n\) : $$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n + k} &= \sum_{k=1}^n \frac{1}{n (1 + k/n)} \\
&= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1 + k/n} && \text{(factorisation de \(1/n\)).} \end{aligned} $$ C'est la somme de Riemann à droite de \(f(x) = 1/(1 + x)\) sur \([0 \,;\, 1]\). Par le Théorème T4.1 : $$ \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n + k} = \int_0^1 \frac{dx}{1 + x} = [\ln(1 + x)]_0^1 = \ln 2. $$
Exemple
Calculer \(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sin\!\left( \frac{k \pi}{n} \right)\).
Reconnaissons la somme de Riemann à droite de \(f(x) = \sin(\pi x)\) sur \([0 \,;\, 1]\) : $$ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sin\!\left(\frac{k \pi}{n}\right) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(k/n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_0^1 \sin(\pi x) \, dx = \left[ -\frac{\cos(\pi x)}{\pi} \right]_0^1 = \frac{2}{\pi}. $$
Compétences à pratiquer
- Reconnaître une somme comme somme de Riemann
- Calculer des limites par identification intégrale
- Utiliser les sommes de Riemann pour borner une suite
V
Lien avec les primitives
Le pont fondamental
Le Théorème fondamental du calcul intégral (TFCI) relie deux notions à première vue sans rapport : l'intégration (aire algébrique sous une courbe) et la dérivation (pente d'une tangente). Pour \(f\) continue sur un intervalle \(I\), la fonction \(F(x) = \int_a^x f(t)\,dt\) est dérivable avec \(F'(x) = f(x)\) --- toute fonction continue admet une primitive, et l'intégrale de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est la différence d'une primitive aux deux bornes. Le TFCI permet aussi deux techniques pratiques --- intégration par parties et changement de variable --- démontrées ici comme théorèmes rigoureux (les versions informelles ont été introduites dans Primitives).
Définition — Primitive
Soit \(f : I \to K\) une fonction sur un intervalle \(I\). Une primitive de \(f\) sur \(I\) est une fonction \(F : I \to K\) dérivable sur \(I\) vérifiant \(F'(x) = f(x)\) pour tout \(x \in I\). Proposition — Unicité des primitives à une constante additive près
Si \(F_1, F_2 : I \to K\) sont deux primitives de la même fonction \(f : I \to K\) sur un intervalle \(I\), alors \(F_1 - F_2\) est constante sur \(I\). En particulier, les primitives de \(f\) sont exactement les fonctions \(F + \lambda\) pour \(\lambda \in K\), où \(F\) est une primitive quelconque.
Posons \(G = F_1 - F_2\). Alors \(G' = F_1' - F_2' = f - f = 0\) sur \(I\). Pour \(K = \mathbb{C}\), raisonnons composante par composante : \((\operatorname{Re} G)' = \operatorname{Re}(G') = 0\) et \((\operatorname{Im} G)' = \operatorname{Im}(G') = 0\), toutes deux réelles dérivables sur un intervalle. Par le théorème des accroissements finis réel appliqué séparément à \(\operatorname{Re} G\) et à \(\operatorname{Im} G\) (Dérivabilité, P5.1), chacune est constante, donc \(G\) est constante. Pour \(K = \mathbb{R}\), cela se réduit à l'unique argument réel.
Theorem — Théorème fondamental du calcul intégral
Soit \(f : I \to K\) continue sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\). Alors : - (i) La fonction \(F : x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt\) est une \textcolor{colorprop}{primitive de \(f\)} sur \(I\).
- (ii) Pour toute primitive \(G\) de \(f\) sur \(I\) et tout \(b \in I\) : \(\int_a^b f(t)\,dt = G(b) - G(a)\).
- (i) Fixons \(x \in I\) et montrons que \(F\) est dérivable en \(x\) avec \(F'(x) = f(x)\). Soit \(\varepsilon > 0\). Par continuité de \(f\) en \(x\), il existe \(\alpha > 0\) tel que \(|f(t) - f(x)| < \varepsilon\) dès que \(t \in I\) et \(|t - x| < \alpha\). Pour \(h \in \mathbb{R}^*\) avec \(x + h \in I\) et \(|h| < \alpha\), en utilisant Chasles : $$ F(x + h) - F(x) = \int_x^{x + h} f(t)\,dt, $$ et donc (en supposant \(h > 0\) sans perte de généralité ; le cas \(h < 0\) est symétrique) : $$ \begin{aligned} \left| \frac{F(x + h) - F(x)}{h} - f(x) \right| &= \left| \frac{1}{h} \int_x^{x + h} (f(t) - f(x))\,dt \right| && \text{(écrire \(f(x) = \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(x)\,dt\))} \\ &\le \frac{1}{h} \int_x^{x + h} |f(t) - f(x)|\,dt && \text{(inégalité triangulaire)} \\ &\le \frac{1}{h} \int_x^{x + h} \varepsilon\,dt = \varepsilon && \text{(par continuité sur \([x \,;\, x+h]\)).} \end{aligned} $$ D'où \((F(x + h) - F(x))/h \to f(x)\) quand \(h \to 0\), donc \(F\) est dérivable en \(x\) avec \(F'(x) = f(x)\).
- (ii) D'après (i), \(F\) est une primitive de \(f\). Par P5.1 (unicité à une constante additive près), \(G = F + \lambda\) pour un certain \(\lambda \in K\). Alors \(G(b) - G(a) = (F(b) + \lambda) - (F(a) + \lambda) = F(b) - F(a) = \int_a^b f - \int_a^a f = \int_a^b f\).
Méthode — Dériver une intégrale à borne mobile
Pour \(f\) continue sur un intervalle \(I\) et \(u : J \to I\) dérivable sur un intervalle \(J\), posons \(H(x) = \int_a^{u(x)} f(t)\,dt\) sur \(J\). Alors \(H\) est dérivable sur \(J\) avec $$ \textcolor{colorprop}{H'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x)}. $$ Démonstration : \(H = F \circ u\) avec \(F(y) = \int_a^y f\), et appliquer la règle de la chaîne.Attention. La variable \(x\) doit apparaître seulement dans les bornes ; si \(x\) apparaît aussi dans l'intégrande, la règle ne s'applique pas directement --- séparer d'abord la dépendance dans les bornes de celle dans l'intégrande.
Exemple
Calculer la dérivée de \(H(x) = \int_0^{x^2} e^{-t^2}\,dt\) sur \(\mathbb{R}\).
L'intégrande \(f(t) = e^{-t^2}\) est continu sur \(\mathbb{R}\), et \(u(x) = x^2\) est \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}\). Par la règle de borne mobile : $$ H'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x) = e^{-(x^2)^2} \cdot 2x = 2x \, e^{-x^4}. $$
Theorem — Intégration par parties (IPP)
Soient \(u, v \in C^1(I, K)\) et \(a, b \in I\). Alors $$ \textcolor{colorprop}{\int_a^b u'(t) v(t)\,dt = \left[ u(t) v(t) \right]_a^b - \int_a^b u(t) v'(t)\,dt}. $$
Comme \(u, v \in C^1(I, K)\), le produit \(uv\) est \(C^1\) avec \((uv)' = u'v + uv'\). La fonction \((uv)'\) est continue, donc par TFCI (ii) : $$ \begin{aligned} [u(t) v(t)]_a^b &= \int_a^b (uv)'(t)\,dt && \text{(TFCI)} \\
&= \int_a^b u'(t) v(t)\,dt + \int_a^b u(t) v'(t)\,dt && \text{(linéarité \(+\) règle du produit).} \end{aligned} $$ Réarrangement donne la formule d'IPP.
Méthode — Appliquer l'intégration par parties
Pour une intégrale \(\int_a^b u'(t) v(t)\,dt\) : - Identifier \(u'\) (le facteur facile à primitiver) et \(v\) (le facteur facile à dériver).
- Calculer \(u\) (primitive de \(u'\)) et \(v'\).
- Appliquer la formule et intégrer le second morceau \(\int u v'\) --- il doit être plus simple que l'original.
Exemple
Calculer \(\int_0^1 t e^t\,dt\) par IPP.
Posons \(u'(t) = e^t\), \(v(t) = t\). Alors \(u(t) = e^t\), \(v'(t) = 1\). Appliquons l'IPP : $$ \begin{aligned} \int_0^1 t e^t\,dt &= [t e^t]_0^1 - \int_0^1 e^t\,dt && \text{(IPP, T5.2)} \\
&= (1 \cdot e^1 - 0) - [e^t]_0^1 && \text{(évaluer le crochet)} \\
&= e - (e - 1) = 1. \end{aligned} $$
Theorem — Changement de variable
Soient \(\varphi \in C^1(I, \mathbb{R})\) à valeurs dans \(J\), \(f \in C(J, K)\) et \(a, b \in I\). Alors $$ \textcolor{colorprop}{\int_a^b f(\varphi(t)) \, \varphi'(t)\,dt = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,dx}. $$
Comme \(f\) est continue sur \(J\), elle admet une primitive \(F\) sur \(J\) par TFCI. La composée \(F \circ \varphi\) est \(C^1\) sur \(I\) (composée de \(C^1\) et \(C^1\) par règle de la chaîne), avec \((F \circ \varphi)'(t) = F'(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) = f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)\). La fonction \((F \circ \varphi)'\) est continue, donc par TFCI (ii) : $$ \begin{aligned} \int_a^b f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,dt &= \int_a^b (F \circ \varphi)'(t)\,dt && \text{(chaîne sur \(F \circ \varphi\))} \\
&= (F \circ \varphi)(b) - (F \circ \varphi)(a) && \text{(TFCI sur \(F \circ \varphi\))} \\
&= F(\varphi(b)) - F(\varphi(a)) \\
&= \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,dx && \text{(TFCI sur \(F\)).} \end{aligned} $$
Méthode — Appliquer un changement de variable
Pour une intégrale \(\int_a^b g(t)\,dt\) qui contient une composition explicite \(g(t) = f(\varphi(t)) \varphi'(t)\) : - Identifier \(x = \varphi(t)\) ; calculer \(dx = \varphi'(t)\,dt\).
- Transporter les bornes : \(t = a \to x = \varphi(a)\), \(t = b \to x = \varphi(b)\).
- Réécrire en \(\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,dx\) et intégrer.
Exemple
Calculer \(\int_0^1 \frac{2t}{1 + t^2}\,dt\) par changement de variable.
Posons \(\varphi(t) = 1 + t^2\), \(\varphi'(t) = 2t\), et \(f(x) = 1/x\). Alors \(f(\varphi(t)) \varphi'(t) = 2t / (1 + t^2)\). Les bornes se transportent : \(\varphi(0) = 1\), \(\varphi(1) = 2\). Par le théorème de changement de variable : $$ \int_0^1 \frac{2t}{1 + t^2}\,dt = \int_1^2 \frac{dx}{x} = [\ln x]_1^2 = \ln 2. $$
Compétences à pratiquer
- Dériver une intégrale à borne mobile
- Appliquer l'intégration par parties
- Appliquer un changement de variable
VI
Formules de Taylor globales
Local vs global
La formule de Taylor-Young de Dérivabilité est locale : au voisinage d'un point \(a\), une fonction suffisamment dérivable vérifie \(f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k + o((x - a)^n)\) quand \(x \to a\) --- elle ne contrôle \(f\) qu'au voisinage immédiat de \(a\). La formule globale de ce paragraphe, l'inégalité de Taylor-Lagrange, est de nature différente : elle majore le reste uniformément sur un segment entier, valable pour tout \(b\) dans l'intervalle. Pour la démontrer, on établit d'abord la formule de Taylor avec reste intégral, expression exacte du reste sous forme d'intégrale ; l'inégalité en découle par l'inégalité triangulaire sur les intégrales.
Ce qui est exigé ici. L'inégalité est le résultat à connaître et à utiliser ; la formule à reste intégral est présentée comme l'outil qui la démontre. La différence de nature entre la formule de Taylor-Young (locale) et l'inégalité de Taylor-Lagrange (globale) est le point à retenir.
Ce qui est exigé ici. L'inégalité est le résultat à connaître et à utiliser ; la formule à reste intégral est présentée comme l'outil qui la démontre. La différence de nature entre la formule de Taylor-Young (locale) et l'inégalité de Taylor-Lagrange (globale) est le point à retenir.
Theorem — Taylor avec reste intégral
Soit \(f \in C^{n+1}(I, K)\) et \(a, b \in I\). Alors $$ \textcolor{colorprop}{f(b) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (b - a)^k + \int_a^b \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!} (b - t)^n\,dt}. $$ Le dernier terme est appelé reste intégral.
Par récurrence sur \(n\).
- Initialisation (\(n = 0\)). Pour \(f \in C^1(I, K)\), la formule se réduit à \(f(b) = f(a) + \int_a^b f'(t)\,dt\), qui est exactement TFCI (ii).
- Hérédité. Supposons la formule vraie pour un certain \(n \in \mathbb{N}\) et pour toute fonction \(C^{n+1}\) sur \(I\). Soit \(f \in C^{n+2}(I, K)\). Alors \(f \in C^{n+1}\), donc par hypothèse de récurrence : $$ f(b) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (b - a)^k + \int_a^b \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!} (b - t)^n\,dt. $$ Appliquons l'IPP à l'intégrale avec \(u'(t) = (b - t)^n / n!\) (primitive \(u(t) = -(b - t)^{n+1}/(n + 1)!\)) et \(v(t) = f^{(n+1)}(t)\) (dérivée \(v'(t) = f^{(n+2)}(t)\), continue car \(f \in C^{n+2}\)) : $$ \begin{aligned} \int_a^b \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!} (b - t)^n\,dt &= \left[ f^{(n+1)}(t) \cdot \left( -\frac{(b - t)^{n+1}}{(n+1)!} \right) \right]_a^b - \int_a^b f^{(n+2)}(t) \cdot \left( -\frac{(b - t)^{n+1}}{(n+1)!} \right)\,dt \\ &= \frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!} (b - a)^{n+1} + \int_a^b \frac{f^{(n+2)}(t)}{(n+1)!} (b - t)^{n+1}\,dt && \text{(IPP, T5.2).} \end{aligned} $$ Substituer pour obtenir la formule au rang \(n + 1\).
Theorem — Inégalité de Taylor-Lagrange
Soit \(f \in C^{n+1}(I, K)\) et \(a, b \in I\). Soit \(J\) le segment d'extrémités \(a\) et \(b\) (c'est-à-dire \(J = [\min(a, b) \,;\, \max(a, b)]\)). Alors $$ \textcolor{colorprop}{\left| f(b) - \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (b - a)^k \right| \le \frac{|b - a|^{n+1}}{(n + 1)!} \, \|f^{(n+1)}\|_{\infty, J}}. $$ L'usage de \(J\) (plutôt que \([a \,;\, b]\)) rend l'énoncé valable aussi pour \(b < a\).
Supposons d'abord \(a \le b\) (le cas \(b < a\) est traité à la fin). Par le Théorème T6.1, le membre de gauche est égal à \(\left| \int_a^b \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!} (b - t)^n\,dt \right|\). Majorons en utilisant l'inégalité triangulaire sur l'intégrale et \(|f^{(n+1)}(t)| \le \|f^{(n+1)}\|_{\infty, J}\) sur \(J = [a \,;\, b]\) : $$ \begin{aligned} \left| \int_a^b \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!} (b - t)^n\,dt \right| &\le \int_a^b \frac{|f^{(n+1)}(t)|}{n!} (b - t)^n\,dt && \text{(inégalité triangulaire)} \\
&\le \frac{\|f^{(n+1)}\|_{\infty, J}}{n!} \int_a^b (b - t)^n\,dt && \text{(borne uniforme sur \(|f^{(n+1)}|\))} \\
&= \frac{\|f^{(n+1)}\|_{\infty, J}}{n!} \cdot \frac{(b - a)^{n+1}}{n + 1} && \text{(intégrer \((b-t)^n\))} \\
&= \frac{(b - a)^{n+1}}{(n + 1)!} \, \|f^{(n+1)}\|_{\infty, J}. \end{aligned} $$ Pour \(b < a\), écrivons l'intégrale avec orientation inverse : \(\left| \int_a^b R(t)\,dt \right| = \left| \int_b^a -R(t)\,dt \right| \le \int_b^a |R(t)|\,dt\) avec \(R(t) = f^{(n+1)}(t) (b - t)^n / n!\). On intègre alors \(|b - t|^n\) sur le segment \(J = [b \,;\, a]\) et la même majoration s'applique, avec \(|b - a|^{n+1}\) à la place de \((b - a)^{n+1}\).
Méthode — Borner une fonction par Taylor-Lagrange
Pour borner l'erreur dans une approximation par polynôme de Taylor de \(f\) autour de \(a\), sur un voisinage \(J\) de \(a\) : - Calculer le polynôme de Taylor \(P_n(b) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (b - a)^k\) à un ordre \(n\) choisi.
- Calculer ou borner \(f^{(n+1)}\) sur \(J\) ; posons \(M = \|f^{(n+1)}\|_{\infty, J}\).
- Par T6.2 : \(|f(b) - P_n(b)| \le \frac{M \cdot |b - a|^{n+1}}{(n + 1)!}\) pour tout \(b \in J\).
Exemple
Montrer que pour tout \(x \ge 0\) : $$ x - \frac{x^2}{2} \le \ln(1 + x) \le x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}. $$
Appliquons Taylor à reste intégral (T6.1) à \(f(t) = \ln(1 + t)\) en \(a = 0\). Calcul de \(f^{(k)}(t) = (-1)^{k-1} (k - 1)! / (1 + t)^k\) pour \(k \ge 1\), d'où \(f^{(k)}(0) = (-1)^{k-1} (k - 1)!\).
- Ordre 2. \(f(x) = x - x^2/2 + \int_0^x \frac{2}{(1 + t)^3} \cdot \frac{(x - t)^2}{2}\,dt\). Le reste est \(\int_0^x \frac{(x - t)^2}{(1 + t)^3}\,dt \ge 0\) car \(x \ge 0\) et l'intégrande est positive ou nulle. Donc \(\ln(1 + x) \ge x - x^2/2\).
- Ordre 3. \(f(x) = x - x^2/2 + x^3/3 - \int_0^x \frac{6}{(1 + t)^4} \cdot \frac{(x - t)^3}{6}\,dt\). Le reste \(-\int_0^x \frac{(x - t)^3}{(1 + t)^4}\,dt \le 0\) car \(x \ge 0\) et l'intégrande est positive ou nulle. Donc \(\ln(1 + x) \le x - x^2/2 + x^3/3\).
Exemple
Borner \(|\sin x - (x - x^3/6)|\) par l'inégalité de Taylor-Lagrange sur \([-1 \,;\, 1]\).
\(f(t) = \sin t\) est \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}\) avec \(|f^{(k)}(t)| \le 1\) pour tous \(t, k\). En \(a = 0\) : le polynôme de Taylor d'ordre 3 est \(P_3(x) = x - x^3/6\) (les termes d'ordre 2 et 4 s'annulent par parité). Appliquons T6.2 avec \(n = 4\), sur \(J = [-1 \,;\, 1]\) : $$ \left| \sin x - \left( x - \frac{x^3}{6} \right) \right| \le \frac{|x|^5}{5!} \, \|f^{(5)}\|_{\infty, J} \le \frac{|x|^5}{120} \le \frac{1}{120}, $$ car \(|f^{(5)}| = |\cos t| \le 1\) et \(|x|^5 \le 1\) sur \(J\).
Compétences à pratiquer
- Écrire Taylor avec reste intégral
- Borner une fonction par l'inégalité de Taylor-Lagrange
- Démontrer des inégalités par Taylor
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