Espaces vectoriels de dimension finie

Soit \(X = (x_1, \ldots, x_n)\) une famille génératrice de \(E\) et soit \(Y\) une famille libre de \(E\). Supposons par l'absurde que \(Y\) possède au moins \(n + 1\) éléments. Démontrons par récurrence sur \(k \in \llbracket 0, n \rrbracket\) la propriété $$ \mathcal{P}(k) : \ E \text{ est engendré par une famille de } n \text{ vecteurs : les } n - k \text{ premiers issus de } X, \text{ les } k \text{ derniers issus de } Y. $$

• Initialisation. Pour \(k = 0\) : \(E\) est engendré par \((x_1, \ldots, x_n)\), la famille \(X\) initiale. C'est l'hypothèse.
• Hérédité. Supposons \(\mathcal{P}(k)\) vraie pour un certain \(k \in \llbracket 0, n - 1 \rrbracket\). Alors \(E\) est engendré par \((x_1, \ldots, x_{n-k}, y_1, \ldots, y_k)\) pour un certain étiquetage. Comme \(Y\) a au moins \(n + 1\) éléments, choisissons \(y_{k+1} \in Y\) distinct de \(y_1, \ldots, y_k\). Par hypothèse de récurrence, \(y_{k+1}\) est combinaison linéaire de \((x_1, \ldots, x_{n-k}, y_1, \ldots, y_k)\) : $$ y_{k+1} = \lambda_1 x_1 + \cdots + \lambda_{n-k} x_{n-k} + \mu_1 y_1 + \cdots + \mu_k y_k. $$ Les coefficients \(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-k}\) ne sont pas tous nuls, sinon \(y_{k+1}\) serait combinaison linéaire de \(y_1, \ldots, y_k\) et la sous-famille \((y_1, \ldots, y_{k+1})\) de \(Y\) serait liée, contredisant la liberté de \(Y\). Choisissons un indice \(i\) avec \(\lambda_i \ne 0\) ; quitte à réétiqueter, \(\lambda_{n-k} \ne 0\). Isolons \(x_{n-k}\) comme combinaison linéaire de \((x_1, \ldots, x_{n-k-1}, y_1, \ldots, y_{k+1})\). Donc \(E\) est engendré par \((x_1, \ldots, x_{n-k-1}, y_1, \ldots, y_{k+1})\) : \(\mathcal{P}(k + 1)\) est vraie.

En \(k = n\) : \(E\) est engendré par \((y_1, \ldots, y_n)\). Alors \(y_{n+1} \in E\) est combinaison linéaire de \((y_1, \ldots, y_n)\), donc la sous-famille \((y_1, \ldots, y_{n+1})\) de \(Y\) est liée --- contredisant la liberté de \(Y\). Donc \(Y\) ne peut avoir plus de \(n\) éléments.

Initialisons la famille \(\mathcal{B} := (x_1, \ldots, x_p)\) --- libre par hypothèse. Boucle sur \(k\) de \(p + 1\) à \(n\) :

• si la famille \(\mathcal{B}\) augmentée de \(x_k\) est encore libre, remplacer \(\mathcal{B}\) par cette famille augmentée --- la nouvelle \(\mathcal{B}\) est encore libre ;
• sinon, laisser \(\mathcal{B}\) inchangée et continuer la boucle.

À chaque étape \(\mathcal{B}\) est libre, donc la \(\mathcal{B}\) finale est libre. Reste à démontrer que la \(\mathcal{B}\) finale engendre \(E\). Comme \((x_1, \ldots, x_n)\) engendre \(E\), il suffit de démontrer que tout \(x_k\) est combinaison linéaire de vecteurs de \(\mathcal{B}\) :

• si \(x_k\) a été ajouté à \(\mathcal{B}\) pendant la boucle, il est dans \(\mathcal{B}\), donc combinaison linéaire (triviale) ;
• si \(x_k\) n'a pas été ajouté, c'est que \(\mathcal{B}\) augmentée de \(x_k\) était liée à ce moment-là ; par la proposition d'extension de la liberté (chapitre Espaces vectoriels, Proposition « Propriétés des familles libres et liées »), \(x_k\) est combinaison linéaire de la \(\mathcal{B}\) à ce moment-là, donc de la \(\mathcal{B}\) finale.

Donc la \(\mathcal{B}\) finale est libre et génératrice : une base de \(E\) contenant \(x_1, \ldots, x_p\) et une sous-famille de \(x_{p+1}, \ldots, x_n\).

• Base extraite. Appliquer l'algorithme avec \(p = 0\) : \(\mathcal{B}\) part de la famille vide (libre), la boucle parcourt les \(n\) générateurs ; la \(\mathcal{B}\) finale est une base contenue dans la famille génératrice initiale.
• Base incomplète. Soit \(\mathcal{L} = (\ell_1, \ldots, \ell_p)\) libre dans \(E\). Choisissons une famille génératrice finie \((g_1, \ldots, g_q)\) de \(E\). La famille concaténée \((\ell_1, \ldots, \ell_p, g_1, \ldots, g_q)\) engendre \(E\) (elle contient une famille génératrice) et ses \(p\) premiers vecteurs sont libres. Appliquer l'algorithme : la base obtenue contient \(\ell_1, \ldots, \ell_p\) et une sous-famille de \(g_1, \ldots, g_q\).
• Existence d'une base finie. Conséquence de l'un ou l'autre : extraire une base d'une famille génératrice quelconque de \(E\).

\(E\) admet une base finie par le théorème d'existence d'une base finie. Soient \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{B}'\) deux bases de \(E\), de cardinaux respectifs \(n\) et \(n'\). Comme \(\mathcal{B}\) engendre \(E\) et \(\mathcal{B}'\) est libre, le théorème du maximum de libres donne \(n' \le n\). Par symétrie, \(n \le n'\). Donc \(n = n'\) : toutes les bases ont même cardinal.

• Libre \(\le n\). \(E\) admet une base \(\mathcal{B}\) de cardinal \(n\) qui engendre \(E\). Par le théorème du maximum de libres, toute famille libre a au plus \(n\) éléments.
• Génératrice \(\ge n\). Soit \(\mathcal{G}\) une famille génératrice finie de \(E\). Par le théorème de la « base extraite », \(\mathcal{G}\) contient une base de \(E\), de cardinal \(n\). Donc \(\#\mathcal{G} \ge n\). (Si \(\mathcal{G}\) est infinie, elle a \(\ge n\) éléments a fortiori.)

\((1) \Rightarrow (2)\) et \((1) \Rightarrow (3)\) sont par définition de « base ». Démontrons \((2) \Rightarrow (1)\) et \((3) \Rightarrow (1)\).

• \((2) \Rightarrow (1)\). Supposons \(\mathcal{F}\) libre de cardinal \(n\). Par le théorème de la « base incomplète », \(\mathcal{F}\) peut être complétée en une base de \(E\). Par la majoration des familles libres et génératrices, cette base a cardinal \(n\). Donc aucun vecteur n'a été ajouté : \(\mathcal{F}\) est déjà une base.
• \((3) \Rightarrow (1)\). Supposons \(\mathcal{F}\) génératrice de cardinal \(n\). Par le théorème de la « base extraite », on peut extraire une base de \(\mathcal{F}\). Par la majoration des familles libres et génératrices, cette base a cardinal \(n\). Donc aucun vecteur n'a été abandonné : \(\mathcal{F}\) est déjà une base.

Soient \((e_1, \ldots, e_m)\) une base de \(E\) et \((f_1, \ldots, f_n)\) une base de \(F\). Démontrons que la famille concaténée $$ \mathcal{B} := \bigl((e_1, 0_F), \ldots, (e_m, 0_F), (0_E, f_1), \ldots, (0_E, f_n)\bigr) $$ est une base de \(E \times F\).

• Génératrice. Tout \((x, y) \in E \times F\) s'écrit \(x = \sum_{i=1}^m x_i e_i\) et \(y = \sum_{j=1}^n y_j f_j\), donc $$ (x, y) = \sum_{i=1}^m x_i (e_i, 0_F) + \sum_{j=1}^n y_j (0_E, f_j) \in \mathrm{Vect}(\mathcal{B}). $$
• Libre. Supposons \(\sum_{i=1}^m \lambda_i (e_i, 0_F) + \sum_{j=1}^n \mu_j (0_E, f_j) = (0_E, 0_F)\). En lisant les deux coordonnées séparément : \(\sum \lambda_i e_i = 0_E\) et \(\sum \mu_j f_j = 0_F\). Par liberté de chaque base, tous les \(\lambda_i = 0\) et tous les \(\mu_j = 0\).

Donc \(\mathcal{B}\) est une base de \(E \times F\), de cardinal \(m + n = \dim E + \dim F\).

La famille \((x_1, \ldots, x_n)\) engendre \(\mathrm{Vect}(x_1, \ldots, x_n)\). Par la majoration des familles libres et génératrices appliquée à ce sous-espace, \(\dim \mathrm{Vect}(x_1, \ldots, x_n) \le n\). Cas d'égalité : si la famille est libre, alors c'est une base de \(\mathrm{Vect}(x_1, \ldots, x_n)\) (libre + génératrice dans son propre \(\mathrm{Vect}\)), donc \(\dim = n\). Réciproquement si \(\dim \mathrm{Vect}(x_1, \ldots, x_n) = n\), alors par la caractérisation des bases en dimension \(n\) appliquée dans \(\mathrm{Vect}(x_1, \ldots, x_n)\) (dim \(n\) avec une famille génératrice de cardinal \(n\)), la famille est une base, donc libre.

Les deux opérations laissent \(\mathrm{Vect}\) de la famille inchangé, donc la dimension --- qui est le rang --- inchangée.

Posons \(n := \dim E\). Considérons l'ensemble $$ \mathcal{N} := \{k \in \mathbb{N} : F \text{ contient une famille libre de cardinal } k\}. $$ \(\mathcal{N}\) est non vide (il contient \(0\), la famille vide) et majoré par \(n\) (toute famille libre de \(F\) est libre dans \(E\), donc de cardinal \(\le n\) par la majoration des familles libres et génératrices). Soit \(r := \max \mathcal{N} \le n\). Choisissons une famille libre \(\mathcal{L} = (\ell_1, \ldots, \ell_r)\) de \(F\) réalisant ce maximum. Affirmation : \(\mathcal{L}\) est une base de \(F\). La liberté est par construction. Pour le caractère générateur : soit \(x \in F\). La famille augmentée \((\ell_1, \ldots, \ell_r, x)\) a cardinal \(r + 1 > r\), donc n'est pas dans \(\mathcal{N}\) --- elle est liée. Par la proposition d'extension de la liberté (chapitre Espaces vectoriels), \(x\) est combinaison linéaire de \(\mathcal{L}\). Donc \(\mathcal{L}\) engendre \(F\). \(F\) a une base finie de cardinal \(r\), donc \(F\) est de dimension finie avec \(\dim F = r \le n = \dim E\). Cas d'égalité. Si \(\dim F = n\) : \(\mathcal{L}\) est une famille libre de \(E\) de cardinal \(n = \dim E\), donc une base de \(E\) par la caractérisation des bases en dimension \(n\). Donc \(\mathrm{Vect}(\mathcal{L}) = E\). Mais \(\mathrm{Vect}(\mathcal{L}) = F\) (base de \(F\)). Donc \(F = E\). Réciproquement, \(F = E\) donne trivialement \(\dim F = \dim E\).

Posons \(r := \dim(F \cap G)\). Le sous-espace \(F \cap G\) est de dimension finie (sous-espace de \(F\) de dimension finie, par le théorème de la dimension d'un sous-espace). Prenons une base \((e_1, \ldots, e_r)\) de \(F \cap G\). Étape 1 --- compléter la base de \(F \cap G\) en bases de \(F\) et \(G\). La famille \((e_1, \ldots, e_r)\) est libre dans \(F\). Par le théorème de la « base incomplète » appliqué dans \(F\), on la complète en une base \((e_1, \ldots, e_r, f_1, \ldots, f_p)\) de \(F\), où \(p = \dim F - r\). De même, on la complète en une base \((e_1, \ldots, e_r, g_1, \ldots, g_q)\) de \(G\), où \(q = \dim G - r\). Étape 2 --- \(F + G\) est engendré par la famille concaténée. Posons \(\mathcal{C} := (e_1, \ldots, e_r, f_1, \ldots, f_p, g_1, \ldots, g_q)\). Tout \(f + g \in F + G\) s'écrit comme combinaison de vecteurs des bases de \(F\) et \(G\) (et donc de \(\mathcal{C}\)). Donc \(F + G \subset \mathrm{Vect}(\mathcal{C})\). Réciproquement \(\mathcal{C} \subset F \cup G \subset F + G\), donc \(\mathrm{Vect}(\mathcal{C}) \subset F + G\). Donc \(F + G = \mathrm{Vect}(\mathcal{C})\). Étape 3 --- la famille \(\mathcal{C}\) est libre. Supposons $$ \sum_{i=1}^r \lambda_i e_i + \sum_{j=1}^p \mu_j f_j + \sum_{k=1}^q \nu_k g_k = 0_E. $$ Posons \(v := \sum_{i=1}^r \lambda_i e_i + \sum_{j=1}^p \mu_j f_j \in F\) et \(w := -\sum_{k=1}^q \nu_k g_k \in G\). La relation s'écrit \(v = w\), donc \(v \in F \cap G\). Alors \(v = \sum_{i=1}^r \alpha_i e_i\) pour certains \(\alpha_i\). En utilisant la liberté de la base \((e_1, \ldots, e_r, f_1, \ldots, f_p)\) de \(F\) : $$ \sum_{i=1}^r \alpha_i e_i = \sum_{i=1}^r \lambda_i e_i + \sum_{j=1}^p \mu_j f_j, $$ donne \(\mu_j = 0\) pour tout \(j\) et \(\alpha_i = \lambda_i\) pour tout \(i\). Donc d'une part \(w = v = \sum_{i=1}^r \lambda_i e_i\), et d'autre part \(w = -\sum_{k=1}^q \nu_k g_k\), d'où \(\sum_{i=1}^r \lambda_i e_i + \sum_{k=1}^q \nu_k g_k = 0_E\). Par liberté de la base \((e_1, \ldots, e_r, g_1, \ldots, g_q)\) de \(G\), tous les \(\lambda_i = 0\) et tous les \(\nu_k = 0\). Donc tous les coefficients s'annulent : \(\mathcal{C}\) est libre. Étape 4 --- comptage. \(\mathcal{C}\) est une base de \(F + G\) de cardinal \(r + p + q\). Donc \(F + G\) est de dimension finie et $$ \dim(F + G) = r + p + q = r + (\dim F - r) + (\dim G - r) = \dim F + \dim G - r = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G). $$

Par le théorème de la dimension d'un sous-espace, \(F\) est de dimension finie ; prenons une base \((e_1, \ldots, e_p)\) de \(F\), où \(p = \dim F\). Par le théorème de la « base incomplète » appliqué dans \(E\), complétons en une base \((e_1, \ldots, e_p, e_{p+1}, \ldots, e_n)\) de \(E\), où \(n = \dim E\). Posons \(G := \mathrm{Vect}(e_{p+1}, \ldots, e_n)\). Somme directe. Si \(w \in F \cap G\) : \(w = \sum_{i=1}^p \alpha_i e_i = \sum_{j=p+1}^n \beta_j e_j\), donc \(\sum_{i=1}^p \alpha_i e_i - \sum_{j=p+1}^n \beta_j e_j = 0\). Par liberté de la base de \(E\), tous les \(\alpha_i = 0\) et \(\beta_j = 0\), d'où \(w = 0\). Somme égale à \(E\). Tout \(x \in E\) s'écrit \(x = \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i = \underbrace{\sum_{i=1}^p \lambda_i e_i}_{\in F} + \underbrace{\sum_{j=p+1}^n \lambda_j e_j}_{\in G}\). Donc \(E = F \oplus G\). Dimension de \(G\). \(G\) a pour base \((e_{p+1}, \ldots, e_n)\) de cardinal \(n - p\), donc \(\dim G = n - p = \dim E - \dim F\). Tout autre supplémentaire \(G'\) de \(F\) dans \(E\) vérifie, par Grassmann, \(\dim E = \dim(F + G') = \dim F + \dim G' - \dim(F \cap G') = \dim F + \dim G' - 0\), donc \(\dim G' = \dim E - \dim F\).

Appliquer la formule de Grassmann \(\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G)\).

• \((1) + (2) \Rightarrow (3)\). \(F \cap G = \{0\}\) donne \(\dim(F \cap G) = 0\) ; \(F + G = E\) donne \(\dim(F + G) = \dim E\). Grassmann : \(\dim E = \dim F + \dim G\).
• \((1) + (3) \Rightarrow (2)\). \(\dim(F \cap G) = 0\) ; Grassmann donne \(\dim(F + G) = \dim F + \dim G = \dim E\). Donc \(F + G\) est un sous-espace de \(E\) avec \(\dim(F + G) = \dim E\), d'où \(F + G = E\) par le théorème de la dimension d'un sous-espace (cas d'égalité).
• \((2) + (3) \Rightarrow (1)\). \(\dim(F + G) = \dim E\) ; Grassmann donne \(\dim(F \cap G) = \dim F + \dim G - \dim E = 0\). Donc \(F \cap G = \{0\}\) (seul le sous-espace nul est de dimension \(0\)).

Lorsque les trois sont vraies, \((1)\) et \((2)\) donnent ensemble \(E = F \oplus G\) par définition de la supplémentarité.

Application directe du théorème de la « base incomplète » : une base de \(F\) est en particulier une famille libre de \(E\), et \(E\) admet une famille génératrice finie. Compléter par l'algorithme ; le résultat est une base de \(E\) dont les \(\dim F\) premiers vecteurs sont la base de \(F\) initiale --- une base adaptée à \(F\).

Soient \((e_1, \ldots, e_p)\) une base de \(F\) et \((f_1, \ldots, f_q)\) une base de \(G\). Démontrons que \(\mathcal{B} := (e_1, \ldots, e_p, f_1, \ldots, f_q)\) est une base de \(E\).

• Génératrice. Tout \(w \in E = F \oplus G\) s'écrit \(w = f + g\) avec \(f \in F\), \(g \in G\) (définition de la somme). Développons \(f = \sum_{i=1}^p \lambda_i e_i\) dans la base de \(F\) et \(g = \sum_{j=1}^q \mu_j f_j\) dans la base de \(G\). Donc \(w\) est combinaison linéaire de \(\mathcal{B}\).
• Libre. Supposons \(\sum_{i=1}^p \lambda_i e_i + \sum_{j=1}^q \mu_j f_j = 0_E\). Posons \(f := \sum_{i=1}^p \lambda_i e_i \in F\) et \(g := \sum_{j=1}^q \mu_j f_j \in G\). La relation s'écrit \(f + g = 0_E\). Par le caractère direct de la somme (\(F \cap G = \{0\}\)), la décomposition de \(0_E\) en élément de \(F\) plus élément de \(G\) est unique, à savoir \(0_E = 0_F + 0_G\). Donc \(f = 0_E\) et \(g = 0_E\). Par liberté de la base de \(F\), tous les \(\lambda_i = 0\) ; par liberté de la base de \(G\), tous les \(\mu_j = 0\).

\(\mathcal{B}\) est libre et génératrice : une base de \(E\). Les \(p\) premiers vecteurs forment une base de \(F\) et les \(q\) suivants une base de \(G\), donc \(\mathcal{B}\) est adaptée à la décomposition \(E = F \oplus G\).

Admise ici, démontrée dans Équations différentielles.

Admise ici, démontrée dans Équations différentielles.

Admise ici, démontrée dans Suites récurrentes.