CommeUnJeu · L1 PCSI

Dérivabilité

⌚ ~131 min ▢ 16 blocs ✓ 52 exercices ➣ Prérequis : Limites et continuité, Fonctions réelles : rappels et compléments

La dérivabilité formalise la pente d'une tangente comme limite d'un taux d'accroissement. De cette notion unique jaillit tout un calcul : règles algébriques, dérivation en chaîne, dérivée d'une fonction réciproque, puis trois piliers de l'analyse --- théorème de Fermat, théorème de Rolle, théorème des accroissements finis (TAF). Ils produisent l'inégalité des accroissements finis (IAF), le lien signe de $f'$ $\leftrightarrow$ monotonie, et le théorème de la limite de la dérivée pour les prolongements rigoureux $C^1$. On termine avec les dérivées itérées, la classe $C^k$, la formule de Leibniz pour $(fg)^{(n)}$, et une brève extension aux fonctions à valeurs complexes.
Convention pour les bornes. Lorsque $a \in I$ est un point intérieur de $I$, « dérivable en $a$ » désigne la notion bilatérale (limite des deux côtés). Lorsque $a$ est une borne de $I$, c'est la notion unilatérale (limite par l'intérieur de $I$). La plupart des théorèmes globaux utilisent l'hypothèse « $f$ continue sur $I$, dérivable sur $\mathring{I}$ » : la dérivabilité n'est alors exigée qu'aux points intérieurs, les bornes étant traitées par continuité.
Anticipations vers Fonctions usuelles. Ce chapitre s'appuie sur les polynômes, fractions rationnelles, $\sqrt{\cdot}$, $|\cdot|$, $\sqrt[3]{\cdot}$ comme boîte à outils autonome. Quand un exemple invoque $\exp$, $\sin$, $\cos$, la dérivée est admise depuis Fonctions réelles ; les dérivées de $\ln$, $\arcsin$, $\arctan$, fonctions hyperboliques réciproques sont reportées à Fonctions usuelles, qui utilisera P2.5 du présent chapitre.

I Dérivée en un point --- définition et tangente

La dérivée en $a$ mesure la vitesse instantanée de variation de $f$ en $a$, généralisation rigoureuse de la pente lycéenne de la tangente. Deux formes équivalentes : la limite du taux d'accroissement et le développement limité au premier ordre ($DL_1$). Les dérivées latérales se définissent en restreignant l'incrément $h$ aux valeurs positives ou négatives ; en un point intérieur, la dérivabilité signifie que les deux limites latérales existent et sont égales.

Définition — Dérivée en un point

Soient $f : I \to \mathbb{R}$ et $a \in I$. Pour tout $h \in \mathbb{R}^*$ tel que $a + h \in I$, le taux d'accroissement de $f$ en $a$ avec incrément $h$ est $$ \tau_a(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}. $$ On dit que $f$ est dérivable en $a$ si $\tau_a(h)$ admet une limite finie quand $h \to 0$ avec $a + h \in I$. Cette limite est appelée nombre dérivé de $f$ en $a$ et notée $$ \textcolor{colordef}{f'(a)} \qquad \text{ou} \qquad \textcolor{colordef}{\frac{df}{dx}(a)}. $$ De manière équivalente, en posant $x = a + h$, cela revient à demander l'existence d'une limite finie de $$ \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \quad \text{quand } x \to a. $$

Proposition — Caractérisation équivalente par $DL_1$

$f$ est dérivable en $a$ si et seulement s'il existe $\ell \in \mathbb{R}$ et une fonction $\varepsilon$ définie sur $\{h \in \mathbb{R} : a + h \in I\}$ avec $\varepsilon(h) \to 0$ quand $h \to 0$, telles que $$ \textcolor{colorprop}{f(a + h) = f(a) + \ell h + h \varepsilon(h)} \qquad \text{pour tout } h \text{ avec } a + h \in I. $$ Dans ce cas $\ell = f'(a)$.

Preuve

$(\Rightarrow)$ Supposons $\tau_a(h) \to \ell$ quand $h \to 0$. Pour $h$ tel que $a + h \in I$ et $h \ne 0$, posons $$ \varepsilon(h) = \tau_a(h) - \ell = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} - \ell. $$ Alors $\varepsilon(h) \to 0$ quand $h \to 0$ et $f(a + h) - f(a) = \ell h + h \varepsilon(h)$. On prolonge par $\varepsilon(0) = 0$, ce qui ne modifie pas la limite.
$(\Leftarrow)$ Si $f(a + h) = f(a) + \ell h + h \varepsilon(h)$ avec $\varepsilon(h) \to 0$, alors pour $h \ne 0$, $\tau_a(h) = \ell + \varepsilon(h) \to \ell$, donc $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = \ell$.

Définition — Tangente

Supposons $f$ dérivable en $a$. La tangente au graphe de $f$ en $a$ est la droite d'équation $$ \textcolor{colordef}{y = f(a) + f'(a)(x - a)}. $$ Si $a$ est une borne de $I$, on parle de demi-tangente du côté intérieur à $I$. Si $\tau_a(h)$ n'admet pas de limite finie mais tend vers $\pm \infty$ quand $h \to 0$, on parle de tangente verticale d'équation $x = a$ (demi-tangente verticale en une borne).

Figure --- sécantes convergeant vers la tangente

Les sécantes joignant $(a, f(a))$ et $(a + h, f(a + h))$ ont pour pente $\tau_a(h)$. Quand $h \to 0$, la pente converge vers $f'(a)$ et les sécantes convergent vers la tangente.

Exemple

Calculer $f'(a)$ pour $f(x) = x^2$, pour tout $a \in \mathbb{R}$.

Correction

Pour $h \ne 0$, $$ \tau_a(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = \frac{(a + h)^2 - a^2}{h} = \frac{2 a h + h^2}{h} = 2 a + h. $$ Quand $h \to 0$, $\tau_a(h) \to 2 a$. Donc $f'(a) = 2 a$.

Exemple

Pour $f : [0 \,;\, +\infty[ \to \mathbb{R}$, $f(x) = \sqrt{x}$, étudier la dérivabilité en $0$.

Correction

Pour $h > 0$, $$ \tau_0(h) = \frac{\sqrt{0 + h} - \sqrt{0}}{h} = \frac{\sqrt{h}}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}} \to +\infty \quad (h \to 0^+). $$ La limite est infinie, donc $f$ n'est pas dérivable en $0$, mais le graphe admet une demi-tangente verticale d'équation $x = 0$.

Définition — Dérivabilité à gauche et à droite

Soit $a \in I$. On dit que $f$ est dérivable à droite en $a$ si $\tau_a(h)$ admet une limite finie quand $h \to 0^+$ avec $a + h \in I$. Cette limite est notée $\textcolor{colordef}{f'_d(a)}$.
On dit que $f$ est dérivable à gauche en $a$ si $\tau_a(h)$ admet une limite finie quand $h \to 0^-$ avec $a + h \in I$. Cette limite est notée $\textcolor{colordef}{f'_g(a)}$.
Si $a$ est un point intérieur de $I$, alors $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si $f'_g(a)$ et $f'_d(a)$ existent et sont égales ; la valeur commune est $f'(a)$. En une borne, seule la dérivée venant de l'intérieur de $I$ est considérée.

Exemple

Montrer que $f(x) = |x|$ n'est pas dérivable en $0$.

Correction

Pour $h > 0$, $\tau_0(h) = |h|/h = 1$, donc $f'_d(0) = 1$. Pour $h < 0$, $\tau_0(h) = |h|/h = -1$, donc $f'_g(0) = -1$. Comme $f'_g(0) \ne f'_d(0)$, $f$ n'est pas dérivable en $0$.

Proposition — Dérivable implique continue

Si $f$ est dérivable en $a$, alors $\textcolor{colorprop}{f}$ est continue en $a$.

Preuve

Pour $h \ne 0$ avec $a + h \in I$, $$ f(a + h) - f(a) = h \, \tau_a(h). $$ Quand $h \to 0$, $h \to 0$ et $\tau_a(h) \to f'(a) \in \mathbb{R}$, donc $h \, \tau_a(h) \to 0$ par la règle du produit pour les limites de fonctions (P3.1 de Limites et continuité). D'où $f(a + h) \to f(a)$, ce qui est la continuité en $a$.

Exemple

La réciproque de P1.2 est fausse : $f(x) = |x|$ est continue en $0$ (Ex1.3 ci-dessus) mais non dérivable en $0$.

Définition — Dérivabilité sur un intervalle

$f$ est dérivable sur $I$ si $f$ est dérivable en tout point de $I$ (bilatéralement à l'intérieur, unilatéralement aux bornes, suivant la convention). L'application $f' : I \to \mathbb{R}$, $a \mapsto f'(a)$, est appelée fonction dérivée de $f$.

Méthode — Démontrer la dérivabilité en un point

Trois approches classiques :

Direct par le taux d'accroissement. Calculer $$ \tau_a(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} $$ et regarder s'il admet une limite finie quand $h \to 0$.
Par $DL_1$. Trouver $\ell \in \mathbb{R}$ et $\varepsilon$ avec $\varepsilon(h) \to 0$ tels que $f(a+h) = f(a) + \ell h + h \varepsilon(h)$. Alors $f'(a) = \ell$.
Par le théorème de la limite de la dérivée (T5.2 ci-après). Si $f$ est continue en $a$ et dérivable sur $I \setminus \{a\}$, calculer $\lim_a f'$.

Compétences à pratiquer

Calculer une dérivée par la définition
Étudier la dérivabilité à gauche et à droite
Utiliser la caractérisation par $DL_1$ de la dérivabilité

II Opérations algébriques sur les dérivées

Linéarité, produit, quotient, dérivation en chaîne, dérivée d'une fonction réciproque : la même boîte à outils qu'au lycée, mais avec preuves rigoureuses. La dérivée d'une fonction réciproque (P2.5) est le nouvel atome de ce niveau ; elle fonde les dérivées rigoureuses de $\arcsin$, $\arctan$, $\ln$ dans Fonctions usuelles.

Proposition — Linéarité

Soient $f, g : I \to \mathbb{R}$ dérivables en $a \in I$, et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. Alors $\lambda f + \mu g$ est dérivable en $a$ et $$ \textcolor{colorprop}{(\lambda f + \mu g)'(a) = \lambda f'(a) + \mu g'(a)}. $$

Preuve

Pour $h \ne 0$ avec $a + h \in I$, $$ \tau_a^{\lambda f + \mu g}(h) = \lambda \, \tau_a^f(h) + \mu \, \tau_a^g(h). $$ Passage à la limite quand $h \to 0$, par linéarité de la limite de fonction (Limites et continuité P3.1) : $\tau_a^{\lambda f + \mu g}(h) \to \lambda f'(a) + \mu g'(a)$.

Proposition — Règle du produit

Soient $f, g : I \to \mathbb{R}$ dérivables en $a \in I$. Alors $f g$ est dérivable en $a$ et $$ \textcolor{colorprop}{(f g)'(a) = f'(a) g(a) + f(a) g'(a)}. $$

Preuve

Pour $h \ne 0$ avec $a + h \in I$, $$ f(a + h) g(a + h) - f(a) g(a) = (f(a + h) - f(a)) g(a + h) + f(a) (g(a + h) - g(a)). $$ Divisons par $h$ : $$ \tau_a^{f g}(h) = \tau_a^f(h) \cdot g(a + h) + f(a) \cdot \tau_a^g(h). $$ Quand $h \to 0$ : $\tau_a^f(h) \to f'(a)$ ; $g(a + h) \to g(a)$ par continuité de $g$ en $a$ (P1.2) ; $\tau_a^g(h) \to g'(a)$. Donc $\tau_a^{f g}(h) \to f'(a) g(a) + f(a) g'(a)$.

Proposition — Règle du quotient

Soient $f, g : I \to \mathbb{R}$ dérivables en $a \in I$, avec $g(a) \ne 0$. Alors $f/g$ est définie sur un voisinage de $a$ dans $I$, dérivable en $a$, et $$ \textcolor{colorprop}{(f/g)'(a) = \frac{f'(a) g(a) - f(a) g'(a)}{g(a)^2}}. $$

Preuve

D'abord la dérivée de $1/g$ en $a$. Par continuité de $g$ en $a$ et $g(a) \ne 0$, $g$ ne s'annule pas sur un voisinage de $a$. Pour $h$ petit avec $a + h$ dans ce voisinage et $h \ne 0$, $$ \frac{1}{g(a + h)} - \frac{1}{g(a)} = \frac{g(a) - g(a + h)}{g(a + h) \, g(a)}. $$ Divisons par $h$ : $$ \tau_a^{1/g}(h) = -\frac{\tau_a^g(h)}{g(a + h) \, g(a)} \to -\frac{g'(a)}{g(a)^2}. $$ D'où $1/g$ est dérivable en $a$ avec $(1/g)'(a) = -g'(a)/g(a)^2$. Le cas $f/g = f \cdot (1/g)$ s'obtient par la règle du produit (P2.2).

Exemple

Par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$, montrer que $(x^n)' = n x^{n - 1}$ sur $\mathbb{R}$.

Correction

Cas $n = 0$ : $f(x) = x^0 = 1$ constante, donc $f'(x) = 0$. (La formule $(x^n)' = n x^{n-1}$ s'interprète en $n = 0$ comme $0$ ; l'expression $x^{-1}$ n'a pas besoin d'être définie.) Cas $n \ge 1$, par récurrence. Base $n = 1$ : $f(x) = x$, $\tau_a(h) = ((a + h) - a)/h = 1 \to 1$, donc $f'(a) = 1 = 1 \cdot x^0$. Hérédité : si $(x^n)' = n x^{n-1}$ pour un $n \ge 1$, alors par la règle du produit (P2.2), $(x^{n+1})' = (x \cdot x^n)' = 1 \cdot x^n + x \cdot n x^{n-1} = x^n + n x^n = (n+1) x^n$.

Exemple

Calculer la dérivée de $f(x) = (x^3 - 2 x + 1)/(x^2 + 1)$ sur $\mathbb{R}$.

Correction

$x^2 + 1 > 0$ ne s'annule jamais. Par la règle du quotient : $$ f'(x) = \frac{(3 x^2 - 2)(x^2 + 1) - (x^3 - 2 x + 1)(2 x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^4 + 5 x^2 - 2 x - 2}{(x^2 + 1)^2}. $$

Proposition — Dérivation en chaîne

Soit $f : I \to \mathbb{R}$ avec $f(I) \subset J$, et $g : J \to \mathbb{R}$. Si $f$ est dérivable en $a \in I$ et $g$ dérivable en $b = f(a) \in J$, alors $g \circ f$ est dérivable en $a$ et $$ \textcolor{colorprop}{(g \circ f)'(a) = g'(f(a)) \cdot f'(a)}. $$

Preuve

On introduit une fonction auxiliaire $\tau : J \to \mathbb{R}$ par $$ \tau(y) = \begin{cases} (g(y) - g(b))/(y - b) & \text{si } y \ne b, \\ g'(b) & \text{si } y = b. \end{cases} $$ Par dérivabilité de $g$ en $b$, $\tau(y) \to g'(b) = \tau(b)$ quand $y \to b$, donc $\tau$ est continue en $b$. Par définition, $g(y) - g(b) = \tau(y) (y - b)$ pour tout $y \in J$ (le cas $y = b$ donne $0 = 0$).
Substituons $y = f(a + h)$ pour $h$ tel que $a + h \in I$ : $$ g(f(a + h)) - g(f(a)) = \tau(f(a + h)) \, (f(a + h) - f(a)). $$ Pour $h \ne 0$, divisons par $h$ : $$ \tau_a^{g \circ f}(h) = \tau(f(a + h)) \cdot \tau_a^f(h). $$ Quand $h \to 0$ : $f(a + h) \to b$ par P1.2, $\tau$ continue en $b$ donne $\tau(f(a + h)) \to g'(b)$ ; $\tau_a^f(h) \to f'(a)$. Le produit tend vers $g'(b) f'(a)$.

Exemple

Calculer les dérivées de $(x^3 + 1)^5$ et $\sqrt{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$ par dérivation en chaîne.

Correction

Pour $f(x) = (x^3 + 1)^5$ : poser $u(x) = x^3 + 1$ et $v(y) = y^5$. La règle de chaîne donne $f'(x) = 5 (x^3 + 1)^4 \cdot 3 x^2 = 15 x^2 (x^3 + 1)^4$.
Pour $g(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ : poser $u(x) = x^2 + 1$ ($u'(x) = 2x$), $v(y) = \sqrt{y}$ définie sur $y > 0$. Dérivée de $v$ en $a > 0$ : pour $h \ne 0$ avec $a + h > 0$, $$ \frac{\sqrt{a + h} - \sqrt{a}}{h} = \frac{(\sqrt{a + h} - \sqrt{a})(\sqrt{a + h} + \sqrt{a})}{h (\sqrt{a + h} + \sqrt{a})} = \frac{1}{\sqrt{a + h} + \sqrt{a}}. $$ Quand $h \to 0$, cela tend vers $1/(2 \sqrt{a})$, donc $v'(a) = 1/(2 \sqrt{a})$. Alors $g'(x) = v'(u(x)) \cdot u'(x) = (2 x)/(2 \sqrt{x^2 + 1}) = x/\sqrt{x^2 + 1}$.

Proposition — Dérivée d'une fonction réciproque

Soit $I$ un intervalle, $f : I \to \mathbb{R}$ continue strictement monotone sur $I$, $J = f(I)$. Supposons $f$ dérivable en $a \in I$ avec $f'(a) \ne 0$. Alors $f^{-1} : J \to I$ est dérivable en $b = f(a)$ et $$ \textcolor{colorprop}{(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(b))}}. $$

Preuve

Étape 1 : $f^{-1}$ continue en $b$. Par le théorème de la bijection (Limites et continuité T7.2), $f^{-1} : J \to I$ est continue et strictement monotone sur $J$.
Étape 2 : limite du taux d'accroissement inverse. Prenons $k$ tel que $b + k \in J$ et $k \ne 0$, et posons $h = f^{-1}(b + k) - a$, donc $a + h = f^{-1}(b + k) \in I$ et $h \ne 0$ (stricte monotonie de $f^{-1}$). Alors $f(a + h) = b + k$, donc $f(a + h) - f(a) = k$, d'où $$ \tau_b^{f^{-1}}(k) = \frac{f^{-1}(b + k) - f^{-1}(b)}{k} = \frac{h}{f(a + h) - f(a)} = \frac{1}{\tau_a^f(h)}. $$ Quand $k \to 0$, $h = f^{-1}(b + k) - a \to 0$ par continuité de $f^{-1}$ en $b$ (étape 1) ; donc $\tau_a^f(h) \to f'(a) \ne 0$ et $1/\tau_a^f(h) \to 1/f'(a)$.
Étape 3 : conclusion. $f^{-1}$ est dérivable en $b$ et $(f^{-1})'(b) = 1/f'(a) = 1/f'(f^{-1}(b))$.

Figure --- symétrie des graphes de $f$ et $f^{-1}$

Les graphes de $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$. Les tangentes en $(a, b)$ et $(b, a)$ sont images l'une de l'autre par cette symétrie. Si $f'(a) = 0$ (tangente horizontale de $f$), la tangente de $f^{-1}$ en $(b, a)$ est verticale : $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $b$ mais admet une tangente verticale.

Exemple

Montrer que $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(y) = \sqrt[3]{y} = y^{1/3}$, est dérivable sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ et calculer $g'(b)$ pour $b \ne 0$.

Correction

$g$ est la réciproque de $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3$ (continue, strictement croissante sur $\mathbb{R}$). $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f'(x) = 3 x^2$, qui ne s'annule qu'en $x = 0$. Pour $b \ne 0$, posons $a = g(b) = \sqrt[3]{b} \ne 0$ ; alors $f'(a) = 3 a^2 \ne 0$ et P2.5 donne $$ g'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{3 a^2} = \frac{1}{3 (\sqrt[3]{b})^2}. $$ En $b = 0$ : $f'(0) = 0$, l'hypothèse de P2.5 est en défaut ; $g$ admet une tangente verticale en $0$.
Anticipation. La même méthode, avec $f = \exp$, $f = \sin_{|[-\pi/2 \,;\, \pi/2]}$, $f = \tan_{|]-\pi/2 \,;\, \pi/2[}$, donnera rigoureusement $(\ln)' = 1/x$, $(\arcsin)' = 1/\sqrt{1 - x^2}$, $(\arctan)' = 1/(1 + x^2)$ dans Fonctions usuelles.

Méthode — Calculer une dérivée par la boîte à outils

Pour une fonction $f$ construite à partir de briques élémentaires :

Identifier les briques (polynôme, rationnelle, $\sqrt{\cdot}$, composition, …).
Appliquer linéarité / produit / quotient / chaîne / réciproque dans l'ordre suggéré par la structure.
Simplifier et préciser le domaine de validité (où les dénominateurs ne s'annulent pas, etc.).

Compétences à pratiquer

Calculer des dérivées par les opérations
Dériver une fonction réciproque

III Extrema locaux et théorème de Fermat

En un point intérieur de $I$ où $f$ est dérivable, un extremum local impose $f'(a) = 0$ : c'est le théorème de Fermat, charnière entre dérivabilité et les théorèmes globaux de la section suivante sur Rolle et le théorème des accroissements finis. La notion lycéenne de « point stationnaire » devient ici « point critique ». Crucial : l'hypothèse « intérieur » est essentielle, et la réciproque est fausse.

Définition — Extremum local

$f : I \to \mathbb{R}$, $a \in I$. On dit que $a$ est un maximum local (resp. minimum local) de $f$ s'il existe $\eta > 0$ tel que pour tout $x \in I \cap [a - \eta \,;\, a + \eta]$, $f(x) \le f(a)$ (resp. $\ge$). Un extremum local est un maximum ou minimum local.

Définition — Point critique

$f : I \to \mathbb{R}$ dérivable en $a \in I$. On dit que $a$ est un point critique de $f$ si $\textcolor{colordef}{f'(a) = 0}$.

Theorem — Fermat

Soit $f : I \to \mathbb{R}$ et $a$ un point intérieur de $I$ où $f$ est dérivable. Si $a$ est un extremum local de $f$, alors $\textcolor{colorprop}{f'(a) = 0}$.

Preuve

Traitons le cas d'un maximum local ; le cas minimum est symétrique (remplacer $f$ par $-f$). Soit $\eta > 0$ tel que $[a - \eta \,;\, a + \eta] \subset I$ (possible car $a$ intérieur) et $f(a + h) \le f(a)$ pour tout $h \in [-\eta \,;\, \eta]$.
Pour $0 < h \le \eta$, on a $f(a + h) \le f(a)$, donc $$ \tau_a(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \le 0. $$ Passage à la limite quand $h \to 0^+$ (passage à la limite d'une inégalité large pour les limites de fonctions, Limites et continuité P4.1) : $f'_d(a) \le 0$.
Pour $-\eta \le h < 0$, on a encore $f(a + h) \le f(a)$, mais $h < 0$, donc $$ \tau_a(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \ge 0. $$ Passage à la limite quand $h \to 0^-$ : $f'_g(a) \ge 0$.
Comme $f$ est dérivable au point intérieur $a$, les deux dérivées latérales valent $f'(a)$. D'où $f'(a) \le 0$ et $f'(a) \ge 0$, donc $f'(a) = 0$.

Exemple

Vérifier Fermat sur $f(x) = x^2$ en $a = 0$.

Correction

$f$ admet un minimum global (donc local) en $a = 0$ ($f(x) \ge 0 = f(0)$). $a = 0$ est intérieur à $I = \mathbb{R}$. $f$ est dérivable en $0$ avec $f'(0) = 0$. Cohérent avec Fermat.

Exemple

Contre-exemple 1 --- la réciproque de Fermat est fausse. Montrer que $f(x) = x^3$ vérifie $f'(0) = 0$ mais que $0$ n'est pas un extremum local de $f$.

Correction

$f'(x) = 3 x^2$ donc $f'(0) = 0$. Mais pour tout $\eta > 0$, $f(-\eta/2) = -\eta^3/8 < 0 < \eta^3/8 = f(\eta/2)$, et $f(0) = 0$, donc $0$ n'est ni maximum ni minimum local. C'est un point critique mais pas un extremum (point d'inflexion à tangente horizontale).

Exemple

Contre-exemple 2 --- l'hypothèse « intérieur » est essentielle. Soit $f : [0 \,;\, 1] \to \mathbb{R}$, $f(x) = x$. Le maximum est atteint en $1$, une borne (non intérieure), donc Fermat ne s'applique pas. De fait, pour $h < 0$ avec $1 + h \in [0 \,;\, 1]$, $$ \tau_1(h) = \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \frac{(1 + h) - 1}{h} = 1. $$ Donc $f'_g(1) = 1 \ne 0$.

Compétences à pratiquer

Localiser les extrema par les points critiques

IV Théorème de Rolle et théorème des accroissements finis

De Fermat on déduit Rolle, puis le théorème des accroissements finis (TAF). Chacun est une conséquence globale de théorème des bornes atteintes + Fermat. Le TAF est le couteau suisse : la plupart des inégalités qui suivent (IAF, monotonie, limite de la dérivée) en découlent.

Theorem — Rolle

Soient $a < b$ et $f : [a \,;\, b] \to \mathbb{R}$ continue sur $[a \,;\, b]$, dérivable sur l'intervalle ouvert $]a \,;\, b[$, avec $f(a) = f(b)$. Alors il existe $c \in \,]a \,;\, b[$ tel que $\textcolor{colorprop}{f'(c) = 0}$.

Preuve

Par le théorème des bornes atteintes (Limites et continuité T7.1), $f$ admet un maximum $M$ et un minimum $m$ sur $[a \,;\, b]$. Deux cas.

Cas 1 : $M = m$. Alors $f$ est constante sur $[a \,;\, b]$, donc $f' \equiv 0$ sur $]a \,;\, b[$, et tout $c \in \,]a \,;\, b[$ convient.
Cas 2 : $M \ne m$. Alors $M > m$. Si les deux extrêmes n'étaient atteints qu'aux bornes $a$ et $b$, ils vaudraient tous deux $f(a) = f(b)$, contredisant $M \ne m$. Donc l'un des deux est atteint en un point intérieur $c \in \,]a \,;\, b[$. Alors $c$ est un extremum local (en fait global), intérieur, et $f$ dérivable en $c$, donc par Fermat T3.1, $f'(c) = 0$.

Figure --- Rolle

Avec $f(a) = f(b)$, la corde est horizontale. Rolle garantit au moins un point intérieur $c$ où la tangente est horizontale.

Exemple

Trois contre-exemples isolant chaque hypothèse de Rolle.

Continuité aux bornes en défaut : $f : [0 \,;\, 1] \to \mathbb{R}$, $f(x) = x$ pour $x \in [0 \,;\, 1[$ et $f(1) = 0$. $f(0) = f(1) = 0$, $f$ dérivable sur $]0 \,;\, 1[$, mais non continue en $1$ ; $f'(x) = 1$ ne s'annule pas.
Dérivabilité intérieure en défaut : $f(x) = |x - 1/2|$ sur $[0 \,;\, 1]$ : continue, $f(0) = f(1) = 1/2$, mais non dérivable en $1/2$ ; $f'$ ne s'annule nulle part sur $]0 \,;\, 1[ \setminus \{1/2\}$.
$f(a) \ne f(b)$ : $f(x) = x$ sur $[0 \,;\, 1]$ ; continue et dérivable, mais $f(0) = 0 \ne 1 = f(1)$, et $f'(x) = 1$ ne s'annule pas.

Chaque hypothèse est nécessaire.

Remarque --- Rolle est faux sur $\mathbb{C}$

Rolle n'a PAS d'analogue complexe. Ce contre-exemple sera repris dans la section sur l'extension complexe pour expliquer pourquoi la forme égalité du TAF n'a pas d'analogue complexe.

Theorem — Théorème des accroissements finis (TAF égalité)

Soient $a < b$ et $f : [a \,;\, b] \to \mathbb{R}$ continue sur $[a \,;\, b]$ et dérivable sur $]a \,;\, b[$. Alors il existe $c \in \,]a \,;\, b[$ tel que $$ \textcolor{colorprop}{f(b) - f(a) = f'(c) (b - a)}. $$

Preuve

Soit $d : [a \,;\, b] \to \mathbb{R}$ la fonction affine de la corde : $$ d(x) = f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a} (x - a), \qquad d(a) = f(a), \quad d(b) = f(b). $$ Posons $\varphi(x) = f(x) - d(x)$. Alors $\varphi$ est continue sur $[a \,;\, b]$, dérivable sur $]a \,;\, b[$ avec $\varphi'(x) = f'(x) - (f(b) - f(a))/(b - a)$, et $\varphi(a) = \varphi(b) = 0$. Par Rolle T4.1 appliqué à $\varphi$, $\exists c \in \,]a \,;\, b[$ avec $\varphi'(c) = 0$, soit $f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)$.

Figure --- TAF

TAF : il existe un point intérieur $c$ où la tangente est parallèle à la corde joignant $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$.

Exemple

Utiliser TAF pour montrer que $\forall x > 0, \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \le \frac{1}{2 \sqrt{x}}$.

Correction

Appliquons TAF à $g(t) = \sqrt{t}$ sur $[x \,;\, x + 1]$ (avec $x > 0$) : $g$ continue, dérivable sur $]x \,;\, x + 1[$ avec $g'(t) = 1/(2 \sqrt{t})$. Par TAF T4.2, $\exists c \in \,]x \,;\, x + 1[$ avec $\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = 1/(2 \sqrt{c})$. Comme $c > x > 0$, $1/(2 \sqrt{c}) < 1/(2 \sqrt{x})$, donc $\sqrt{x+1} - \sqrt{x} \le 1/(2 \sqrt{x})$.

Compétences à pratiquer

Appliquer Rolle pour trouver un zéro de $f'$
Appliquer le théorème des accroissements finis (TAF égalité)

V IAF$\virgule$ monotonie et théorème de la limite de la dérivée

Trois conséquences de TAF : l'IAF --- borne lipschitzienne à partir d'une borne sur $|f'|$ ; le lien signe de $f'$ $\leftrightarrow$ monotonie ; le théorème de la limite de la dérivée --- prolongement $C^1$ rigoureux en un point délicat. L'IAF + contraction $k < 1$ donne aussi la vitesse de convergence des suites récurrentes de Suites réelles.

Theorem — IAF --- inégalité des accroissements finis

Soit $I$ un intervalle et $f : I \to \mathbb{R}$ continue sur $I$, dérivable sur $\mathring{I}$ (l'intérieur de $I$). Si $|f'(x)| \le K$ pour tout $x \in \mathring{I}$, alors $f$ est $K$-lipschitzienne sur $I$ : $$ \textcolor{colorprop}{\forall (x, y) \in I^2, \quad |f(y) - f(x)| \le K |y - x|}. $$

Preuve

Pour $x, y \in I$, traitons $x \ne y$ (si $x = y$, l'inégalité est $0 \le 0$). Sans perte de généralité $x < y$. Alors $[x \,;\, y] \subset I$, $f$ continue sur $[x \,;\, y]$ et dérivable sur $]x \,;\, y[ \subset \mathring{I}$. Par TAF T4.2, $\exists c \in \,]x \,;\, y[$ avec $f(y) - f(x) = f'(c) (y - x)$. Donc $$ |f(y) - f(x)| = |f'(c)| \cdot |y - x| \le K |y - x|. $$

Méthode — Lipschitzianité à partir d'une borne sur $f'$

Pour montrer que $f$ est $K$-lipschitzienne sur un intervalle $I$ :

vérifier que $f$ est continue sur $I$ et dérivable sur $\mathring{I}$ ;
majorer $|f'(x)| \le K$ pour $x \in \mathring{I}$ ;
conclure par T5.1.

Exemple

Montrer que $f : [0 \,;\, +\infty[ \to \mathbb{R}$, $f(x) = \sqrt{x + 1}$, est $(1/2)$-lipschitzienne.

Correction

$f$ est continue sur $[0 \,;\, +\infty[$ et dérivable sur $]0 \,;\, +\infty[$ avec $f'(x) = 1/(2 \sqrt{x + 1})$. Pour $x > 0$, $\sqrt{x + 1} > 1$ donc $|f'(x)| \le 1/2$. Par T5.1, $f$ est $(1/2)$-lipschitzienne.

Méthode — Contraction --- pont vers les suites récurrentes de Suites réelles

Cadre. $f : [a \,;\, b] \to [a \,;\, b]$ continue (donc $[a \,;\, b]$ stable par $f$), dérivable sur $]a \,;\, b[$, avec $|f'(x)| \le k$ sur $]a \,;\, b[$ pour un $k \in [0 \,;\, 1[$. Alors $f$ admet un unique point fixe $\ell \in [a \,;\, b]$, et pour tout $u_0 \in [a \,;\, b]$ la suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ reste dans $[a \,;\, b]$ et converge géométriquement vers $\ell$ avec $|u_n - \ell| \le k^n |u_0 - \ell|$. Recette type :

Existence. Poser $g(x) = f(x) - x$ sur $[a \,;\, b]$. La stabilité donne $g(a) \ge 0$ et $g(b) \le 0$ ; le théorème des valeurs intermédiaires (Limites et continuité T6.1) fournit $\ell \in [a \,;\, b]$ avec $f(\ell) = \ell$.
Stabilité de $(u_n)$. Récurrence : $u_0 \in [a \,;\, b]$ ; si $u_n \in [a \,;\, b]$, alors $u_{n+1} = f(u_n) \in f([a \,;\, b]) \subset [a \,;\, b]$.
Vitesse géométrique. Appliquer T5.1 avec $K = k$ sur $[\min(u_n, \ell) \,;\, \max(u_n, \ell)] \subset [a \,;\, b]$ : $|u_{n+1} - \ell| \le k |u_n - \ell|$, d'où $|u_n - \ell| \le k^n |u_0 - \ell| \to 0$.
Unicité. Si $\ell'$ est un autre point fixe, prendre $u_0 = \ell'$ : la suite constante égale à $\ell'$ converge vers $\ell$, donc $\ell' = \ell$.

Proposition — Signe de $f'$ et monotonie

Soit $I$ un intervalle, $f : I \to \mathbb{R}$ continue sur $I$ et dérivable sur $\mathring{I}$. Alors :

(a) $f$ constante sur $I$ $\iff$ $\textcolor{colorprop}{f' \equiv 0}$ sur $\mathring{I}$ ;
(b) $f$ croissante sur $I$ $\iff$ $\textcolor{colorprop}{f' \ge 0}$ sur $\mathring{I}$ (symétrique pour décroissante).

Preuve

Démontrons (b). $(\Rightarrow)$ Si $f$ est croissante sur $I$, pour tout $a \in \mathring{I}$ et tout $h > 0$ suffisamment petit avec $a + h \in I$, $f(a + h) \ge f(a)$, donc $$ \tau_a(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \ge 0. $$ Passage à la limite quand $h \to 0^+$ pour les limites de fonctions (Limites et continuité P4.1) : $f'(a) \ge 0$.
$(\Leftarrow)$ Supposons $f' \ge 0$ sur $\mathring{I}$. Pour $x, y \in I$ avec $x < y$, $[x \,;\, y] \subset I$, $f$ continue sur $[x \,;\, y]$, dérivable sur $]x \,;\, y[ \subset \mathring{I}$. Par TAF T4.2, $\exists c \in \,]x \,;\, y[$ avec $f(y) - f(x) = f'(c) (y - x) \ge 0$. Donc $f$ est croissante.
Déduisons (a). Si $f$ est constante, alors $f' \equiv 0$ sur $\mathring{I}$ directement. Réciproquement, si $f' \equiv 0$, en appliquant (b) à $f$ on obtient $f$ croissante, et à $-f$, $-f$ croissante, soit $f$ décroissante. Donc $f$ est à la fois croissante et décroissante sur $I$, donc constante.

Proposition — Monotonie stricte --- complément utile

Sous les hypothèses de P5.1, $f$ est strictement croissante sur $I$ $\iff$ $\textcolor{colorprop}{f' \ge 0}$ sur $\mathring{I}$ et $f'$ n'est identiquement nulle sur aucun sous-intervalle non trivial de $\mathring{I}$.

Preuve

$(\Rightarrow)$ Si $f$ est strictement croissante, alors $f' \ge 0$ sur $\mathring{I}$ par P5.1(b). De plus, si $f' \equiv 0$ sur un sous-intervalle non trivial $J \subset \mathring{I}$, alors $f$ serait constante sur $J$ par P5.1(a), contredisant la stricte monotonie.
$(\Leftarrow)$ De $f' \ge 0$ sur $\mathring{I}$ on déduit $f$ croissante sur $I$ (P5.1(b)). Supposons par l'absurde $f(x) = f(y)$ pour $x < y$ dans $I$. Comme $f$ est croissante, ceci force $f \equiv f(x)$ sur $[x \,;\, y]$ ; alors $f' \equiv 0$ sur $]x \,;\, y[$ par P5.1(a), contradiction.

Remarque --- $I$ doit être un intervalle

L'hypothèse « $I$ intervalle » est essentielle dans P5.1. Contre-exemple : $D = \,]-\infty \,;\, 0[ \,\cup\, ]0 \,;\, +\infty[ = \mathbb{R}^*$ (qui n'est pas un intervalle --- le même domaine épointé qui apparaît naturellement dans l'exemple de Heaviside ci-dessous). Posons $f : D \to \mathbb{R}$ par $f(x) = 0$ pour $x < 0$ et $f(x) = 1$ pour $x > 0$. Alors $f' \equiv 0$ sur $D$ (constante par morceaux) mais $f$ n'est pas constante sur $D$.

Exemple

Étudier les variations de $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x/(1 + x^2)$.

Correction

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $$ f'(x) = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}. $$ Signe : $f'(x) > 0$ pour $x \in \,]-1 \,;\, 1[$, $f'(x) < 0$ ailleurs. Par P5.1, $f$ croissante sur $[-1 \,;\, 1]$, décroissante sur $]-\infty \,;\, -1]$ et $[1 \,;\, +\infty[$. Maximum global $f(1) = 1/2$, minimum global $f(-1) = -1/2$.

Theorem — Théorème de la limite de la dérivée

Soit $I$ un intervalle, $a \in I$, $f : I \to \mathbb{R}$ continue sur $I$ et dérivable sur $I \setminus \{a\}$. Supposons $f'(x) \to \ell \in \overline{\mathbb{R}}$ quand $x \to a$ ($x \in I \setminus \{a\}$). Alors :

Si $\ell \in \mathbb{R}$ : $f$ est dérivable en $a$ et $\textcolor{colorprop}{f'(a) = \ell}$. Si de plus $f'$ est continue sur $I \setminus \{a\}$, alors $f' : I \to \mathbb{R}$ (avec $f'(a) := \ell$) est continue en $a$, donc $f$ est $C^1$ sur un voisinage de $a$ dans $I$.
Si $\ell = \pm \infty$ : $\tau_a(h) \to \ell$ quand $h \to 0$, et le graphe admet une (demi-)tangente verticale en $a$.

Preuve

Cas fini $\ell \in \mathbb{R}$. Soit $h \ne 0$ tel que $a + h \in I$. Par TAF T4.2 appliqué à $f$ sur le segment d'extrémités $a$ et $a + h$ (continue sur le segment fermé, dérivable sur le segment ouvert $\subset I \setminus \{a\}$), il existe $c_h$ strictement entre $a$ et $a + h$ tel que $$ \tau_a(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = f'(c_h). $$ Quand $h \to 0$, $c_h$ est encadré entre $a$ et $a + h$, donc $c_h \to a$. Par hypothèse $f'(c_h) \to \ell$ (composition de limites), donc $\tau_a(h) \to \ell$. Ainsi $f$ est dérivable en $a$ avec $f'(a) = \ell$. Si $a$ est une extrémité de $I$, le même argument s'applique avec $h$ du seul côté qui rentre dans $I$, et la conclusion vaut en dérivée unilatérale.
Cas $\ell = \pm \infty$. Le même argument donne $\tau_a(h) = f'(c_h)$ avec $c_h \to a$ quand $h \to 0$. Donc $\tau_a(h) \to \pm \infty$, ce qui signifie que le graphe admet une tangente verticale en $a$ (avec la convention $f'(a) = \pm \infty$, et non une dérivée réelle).

Remarque --- la continuité de $f$ est essentielle

À distinguer de « prolonger $f'$ ». L'hypothèse « $f$ continue en $a$ » dans T5.2 est essentielle. Contre-exemple : la fonction de Heaviside $H(x) = 0$ pour $x < 0$ et $H(x) = 1$ pour $x \ge 0$. Alors $\lim_{x \to 0^-} H(x) = 0 \ne 1 = H(0)$ : $H$ est discontinue en $0$ et l'hypothèse de T5.2 tombe. La conclusion naïve « il suffit de poser $\lim H' = 0$ » serait fausse : bien que $H' \equiv 0$ sur $\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$, donc $H'(x) \to 0$ quand $x \to 0$, le taux d'accroissement en $0$ reflète la discontinuité : $$ \tau_0(h) = \frac{H(0 + h) - H(0)}{h} = \frac{H(h) - 1}{h} \to \begin{cases} +\infty & (h \to 0^-) \\ 0 & (h \to 0^+) \end{cases} $$ donc $H$ n'est pas dérivable en $0$. Toujours vérifier la continuité de $f$ en $a$ avant d'invoquer T5.2.

Méthode — Démontrer le caractère $C^1$ en un point par la limite de la dérivée

Quand le taux d'accroissement est difficile à calculer directement :

vérifier que $f$ est continue en $a$ et dérivable sur $I \setminus \{a\}$ ;
calculer $\lim_a f'$ ;
si la limite est finie, T5.2 donne la dérivabilité en $a$ avec $f'(a) = \lim_a f'$, et si $f'$ est aussi continue sur $I \setminus \{a\}$, $f$ est $C^1$ sur un voisinage de $a$.

Exemple

Montrer que $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x^2$ pour $x \le 0$ et $f(x) = x^3$ pour $x > 0$ est dérivable en $0$, par la méthode M5.2.

Correction

Continuité en $0$ : $\lim_{x \to 0^-} x^2 = 0 = f(0)$ et $\lim_{x \to 0^+} x^3 = 0 = f(0)$, donc $f$ continue en $0$.
Dérivabilité sur $\mathbb{R}^*$ : $f$ est polynomiale sur chaque demi-droite ouverte, donc dérivable avec $f'(x) = 2x$ pour $x < 0$ et $f'(x) = 3x^2$ pour $x > 0$.
Limite de $f'$ : $\lim_{x \to 0^-} 2x = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} 3x^2 = 0$, donc $\lim_{x \to 0} f'(x) = 0$ (finie).
Application T5.2 : les hypothèses de T5.2 sont vérifiées ($f$ continue sur $\mathbb{R}$, dérivable sur $\mathbb{R}^*$, $f'$ admet une limite finie en $0$), donc $f$ est dérivable en $0$ avec $f'(0) = 0$.

Compétences à pratiquer

Établir la lipschitzianité par une borne sur $f'$
Étudier la monotonie à partir du signe de $f'$
Appliquer le principe de contraction aux suites récurrentes
Démontrer le caractère $C^1$ en un point par la limite de la dérivée

VI Dérivées d'ordre supérieur et classes $C^k$

On itère la dérivation. La classe $C^k$ formalise la régularité. On énonce et démontre d'abord la formule de Leibniz (calcul direct), puis on en déduit la stabilité de $C^k$ sous produit. Les stabilités sous composition et réciproque sont admises à ce niveau.

Définition — Dérivée $n$-ième

Définition récursive : $f^{(0)} = f$. Si $f^{(n)}$ est définie et dérivable sur $I$, alors $f^{(n+1)} = (f^{(n)})'$. $f$ est dite $n$ fois dérivable sur $I$ si $f^{(n)}$ existe sur $I$.

Définition — Classes $C^k$ et $C^\infty$

Pour $k \in \mathbb{N}$, $f$ est de classe $C^k$ sur $I$ si $f^{(k)}$ existe sur $I$ et est continue sur $I$. $f$ est de classe $C^\infty$ sur $I$ si $f$ est $C^k$ pour tout $k \in \mathbb{N}$. Notation : $\textcolor{colordef}{C^k(I, \mathbb{R})}$, $\textcolor{colordef}{C^\infty(I, \mathbb{R})}$.

Exemple

Les polynômes sont $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$.

Correction

Pour $P(x) = x^n$, par récurrence $P^{(k)}(x) = n (n-1) \cdots (n - k + 1) x^{n-k}$ pour $k \le n$, $P^{(k)} \equiv 0$ pour $k > n$. Chaque $P^{(k)}$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$. Idem pour $\sum c_k x^k$ par linéarité. Anticipation : $\exp$, $\sin$, $\cos$ sont aussi $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$ ; preuves dans Fonctions usuelles.

Exemple

Montrer que $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x |x|$, est $C^1$ sur $\mathbb{R}$ mais pas $C^2$.

Correction

$f(x) = x^2$ pour $x \ge 0$, $f(x) = -x^2$ pour $x < 0$. Chaque branche est $C^\infty$ sur son demi-axe ouvert. En $0$ : $f$ continue ; $f'(x) = 2 x$ pour $x > 0$, $f'(x) = -2 x$ pour $x < 0$, qui tendent vers $0$, donc par T5.2, $f$ dérivable en $0$ avec $f'(0) = 0$. Sur $\mathbb{R}$, $f'(x) = 2 |x|$ continue, donc $f \in C^1(\mathbb{R})$.
Mais $f'(x) = 2 |x|$ n'est pas dérivable en $0$, donc $f''(0)$ n'existe pas et $f \notin C^2(\mathbb{R})$.

Theorem — Formule de Leibniz

Soient $f, g$ $n$ fois dérivables sur $I$. Alors $f g$ est $n$ fois dérivable sur $I$ et $$ \textcolor{colorprop}{(f g)^{(n)} = \sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} f^{(p)} g^{(n - p)}}. $$

Preuve

Récurrence sur $n$.

Base $n = 0$. $(f g)^{(0)} = f g = \binom{0}{0} f^{(0)} g^{(0)}$, formule vraie.
Hérédité. Supposons la formule vraie au rang $n$ pour toutes fonctions $n$ fois dérivables, et soient $f, g$ $(n+1)$ fois dérivables. En particulier $f, g$ sont $n$ fois dérivables, donc $(f g)^{(n)} = \sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} f^{(p)} g^{(n - p)}$. Dériver une fois de plus, par linéarité (P2.1) et règle du produit (P2.2) : $$ \begin{aligned} (f g)^{(n+1)} &= \sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} \big( f^{(p+1)} g^{(n - p)} + f^{(p)} g^{(n - p + 1)} \big) \\ &= \underbrace{\sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} f^{(p+1)} g^{(n - p)}}_{S_1} + \underbrace{\sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} f^{(p)} g^{(n - p + 1)}}_{S_2}. \end{aligned} $$ Réindexer $S_1$ par $q = p + 1$ ($q$ varie de $1$ à $n + 1$), puis renommer $q$ en $p$ : $$ S_1 = \sum_{p = 1}^{n+1} \binom{n}{p - 1} f^{(p)} g^{(n + 1 - p)}. $$ Garder $S_2$ tel quel. En sommant $S_1 + S_2$ : le terme $p = 0$ provient de $S_2$ seul (coefficient $\binom{n}{0} = 1 = \binom{n+1}{0}$), le terme $p = n + 1$ de $S_1$ seul (coefficient $\binom{n}{n} = 1 = \binom{n+1}{n+1}$), et pour $1 \le p \le n$ la relation de Pascal $\binom{n}{p - 1} + \binom{n}{p} = \binom{n + 1}{p}$ (chapitre Sommes, produits et coefficients binomiaux) regroupe les deux contributions. D'où $$ (f g)^{(n+1)} = \sum_{p = 0}^{n+1} \binom{n+1}{p} f^{(p)} g^{(n + 1 - p)}, $$ qui est la formule au rang $n + 1$.

Proposition — Stabilité de la classe $C^k$

Soient $f, g \in C^k(I, \mathbb{R})$, $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. Alors :

$\textcolor{colorprop}{\lambda f + \mu g \in C^k(I)}$ ;
$\textcolor{colorprop}{f g \in C^k(I)}$ ;
si $g$ ne s'annule pas sur $I$, $\textcolor{colorprop}{f / g \in C^k(I)}$ ;
si $\varphi : J \to I$ est $C^k$, alors $\textcolor{colorprop}{f \circ \varphi \in C^k(J)}$ ;
si $k \ge 1$, $f \in C^k(I, \mathbb{R})$ avec $f : I \to f(I)$ bijective et $f'$ ne s'annulant pas sur $I$, alors $\textcolor{colorprop}{f^{-1} \in C^k(f(I), \mathbb{R})}$.

Preuve

Combinaison linéaire. Récurrence sur $k$. Base $k = 0$ : $\lambda f + \mu g$ est continue (somme de fonctions continues). Hérédité $k \to k + 1$ : si $f, g$ sont $C^{k+1}$, elles sont dérivables et $f', g'$ sont $C^k$ ; par P2.1, $(\lambda f + \mu g)' = \lambda f' + \mu g'$ est $C^k$ par hypothèse de récurrence, donc $\lambda f + \mu g$ est $C^{k+1}$.
Produit. Même récurrence. Base $k = 0$ : $f g$ continue. Hérédité : $f, g$ sont $C^{k+1}$, donc $(f g)' = f' g + f g'$ (P2.2). Chaque terme est un produit de fonctions $C^k$, donc $C^k$ par récurrence ; leur somme est $C^k$ par linéarité ; donc $f g$ est $C^{k+1}$.
Quotient. On démontre d'abord par récurrence sur $k$ que si $g$ est $C^k$ et ne s'annule pas sur $I$, alors $1/g$ est $C^k$ sur $I$. Base $k = 0$ : $1/g$ continue (continuité de $g$ et non-annulation). Hérédité : si $g$ est $C^{k+1}$, alors $(1/g)' = -g'/g^2$ (P2.3) ; par le cas produit $g^2$ est $C^k$, $g^2$ ne s'annule pas, donc par hypothèse de récurrence $1/g^2$ est $C^k$, et $-g'/g^2 = -g' \cdot (1/g^2)$ est $C^k$ comme produit ; d'où $1/g$ est $C^{k+1}$. Alors $f/g = f \cdot (1/g)$ est $C^k$ comme produit.
Composition et réciproque : preuves admises. Les démonstrations relatives à la composition et à la réciproque ne sont pas exigibles à ce niveau. Les résultats eux-mêmes restent dans le cadre et s'utilisent librement.

Méthode — Calculer une dérivée d'ordre supérieur

Trois schémas classiques :

Pattern A --- $P(x) \cdot \exp(a x)$. Appliquer Leibniz ; seuls les $\deg P + 1$ premiers termes sont non nuls.
Pattern B --- fraction rationnelle. Décomposer en éléments simples (chapitre Fractions rationnelles), puis utiliser $(1/(x - a))^{(n)} = (-1)^n n! / (x - a)^{n + 1}$ --- prouvé par récurrence directe.
Pattern C --- puissance trigonométrique. Linéariser d'abord (chapitre Trigonométrie), puis dériver l'expression linéarisée terme à terme.

Dérivées itérées admises (anticipations). $(\exp(a x))^{(k)} = a^k \exp(a x)$ sur $\mathbb{R}$ pour tout $k \in \mathbb{N}$, admis depuis Fonctions réelles. Les dérivées itérées de $\sin$, $\cos$ sont admises depuis Fonctions usuelles.

Exemple

Calculer $\big(1/(x^2 - 1)\big)^{(n)}$ sur $\mathbb{R} \setminus \{-1 \,;\, 1\}$ par Pattern B.

Correction

Éléments simples : $1/(x^2 - 1) = (1/2) \big(1/(x - 1) - 1/(x + 1)\big)$. Avec $(1/(x - a))^{(n)} = (-1)^n n! / (x - a)^{n + 1}$ et linéarité : pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1 \,;\, 1\}$ (autrement dit, sur chaque intervalle du domaine), $$ \left(\frac{1}{x^2 - 1}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{2} \left( \frac{1}{(x - 1)^{n + 1}} - \frac{1}{(x + 1)^{n + 1}} \right). $$

Exemple

Calculer $\big( (x^2 - 1) \exp(x) \big)^{(5)}$ par Pattern A.

Correction

Posons $f(x) = x^2 - 1$, $g(x) = \exp(x)$. Dérivées : $f' = 2 x$, $f'' = 2$, $f^{(k)} = 0$ pour $k \ge 3$. $g^{(k)} = \exp(x)$ pour tout $k$. Par Leibniz avec $n = 5$ : $$ \begin{aligned} (f g)^{(5)} &= \binom{5}{0} f^{(0)} g^{(5)} + \binom{5}{1} f^{(1)} g^{(4)} + \binom{5}{2} f^{(2)} g^{(3)} \\ &\quad + \binom{5}{3} f^{(3)} g^{(2)} + \binom{5}{4} f^{(4)} g^{(1)} + \binom{5}{5} f^{(5)} g^{(0)} \\ &= (x^2 - 1) \exp(x) + 5 \cdot 2 x \cdot \exp(x) + 10 \cdot 2 \cdot \exp(x) \\ &\quad + 0 + 0 + 0 \\ &= (x^2 + 10 x + 19) \exp(x). \end{aligned} $$

Compétences à pratiquer

Calculer des dérivées d'ordre supérieur par Leibniz
Déterminer la classe $C^k$ d'une fonction par morceaux

VII Brève extension aux fonctions à valeurs complexes

La dérivabilité s'étend aux fonctions $f : I \to \mathbb{C}$ par dérivabilité composante par composante. La boîte à outils algébrique passe quasi à l'identique. Obstruction cruciale : Rolle et TAF égalité sont faux sur $\mathbb{C}$. En revanche l'IAF pour fonctions $C^1$ subsiste --- admise ici, preuve reportée à Intégration sur un segment.

Définition — Dérivabilité complexe

$f : I \to \mathbb{C}$, $a \in I$. On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement $$ \tau_a(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} $$ admet une limite finie dans $\mathbb{C}$ quand $h \to 0$ avec $a + h \in I$. On note la limite $\textcolor{colordef}{f'(a)}$.

Proposition — Caractérisation par composantes

$f : I \to \mathbb{C}$ est dérivable en $a$ si et seulement si $\mathrm{Re}\,f$ et $\mathrm{Im}\,f$ sont dérivables en $a$. Dans ce cas, $$ \textcolor{colorprop}{f'(a) = (\mathrm{Re}\,f)'(a) + i \, (\mathrm{Im}\,f)'(a)}. $$

Preuve

Pour $h \ne 0$ avec $a + h \in I$, $$ \tau_a^f(h) = \tau_a^{\mathrm{Re}\,f}(h) + i \, \tau_a^{\mathrm{Im}\,f}(h) $$ par $\mathbb{R}$-linéarité de $\mathrm{Re}$ et $\mathrm{Im}$. Par la caractérisation par composantes des limites de fonctions à valeurs complexes (Limites et continuité, section fonctions à valeurs complexes), $\tau_a^f(h)$ admet une limite finie dans $\mathbb{C}$ quand $h \to 0$ ssi $\tau_a^{\mathrm{Re}\,f}$ et $\tau_a^{\mathrm{Im}\,f}$ admettent des limites finies dans $\mathbb{R}$, avec décomposition $(\mathrm{Re}\,f)'(a) + i (\mathrm{Im}\,f)'(a)$.

Exemple

Calculer la dérivée de $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$, $f(t) = \exp(i t)$.

Correction

$\mathrm{Re}\,f(t) = \cos t$, $\mathrm{Im}\,f(t) = \sin t$, dérivables sur $\mathbb{R}$ avec $(\cos)' = -\sin$ et $(\sin)' = \cos$ (admises depuis Fonctions réelles). Par P7.1, $$ f'(t) = -\sin t + i \cos t = i \exp(i t). $$

Proposition — Ce qui ne change pas

Soient $f, g : I \to \mathbb{C}$ dérivables sur $I$, $\lambda, \mu \in \mathbb{C}$. Alors :

$\lambda f + \mu g$ dérivable sur $I$ avec $\textcolor{colorprop}{(\lambda f + \mu g)' = \lambda f' + \mu g'}$ ;
$f g$ dérivable sur $I$ avec $\textcolor{colorprop}{(f g)' = f' g + f g'}$ ;
si $g$ ne s'annule pas, $f/g$ dérivable avec $\textcolor{colorprop}{(f/g)' = (f' g - f g')/g^2}$ ;
si $\varphi : J \to I$ est dérivable à valeurs réelles, $f \circ \varphi$ dérivable avec $\textcolor{colorprop}{(f \circ \varphi)' = (f' \circ \varphi) \cdot \varphi'}$.

Chaque énoncé se déduit du cas réel par décomposition composante par composante via P7.1.

Proposition — Ce qui change

Le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis (égalité) sont faux pour les fonctions à valeurs complexes.

Contre-exemple

La fonction $f : [0 \,;\, 2 \pi] \to \mathbb{C}$, $f(t) = \exp(i t)$, vérifie $f(0) = f(2 \pi) = 1$, est $C^\infty$ sur $[0 \,;\, 2 \pi]$ avec $f'(t) = i \exp(i t)$. Mais $|f'(t)| = 1$ partout, donc $f'$ ne s'annule jamais --- Rolle est en défaut. Par suite, aucun $c$ ne vérifie $f(2\pi) - f(0) = f'(c) \cdot 2 \pi$ (membre gauche $0$, membre droit de module $2 \pi$), donc TAF égalité est en défaut.

Theorem — IAF complexe pour les fonctions $C^1$

Soit $f : I \to \mathbb{C}$ de classe $C^1$ sur $I$ avec $|f'(x)| \le K$ pour tout $x \in I$. Alors pour tout $(x, y) \in I^2$, $$ \textcolor{colorprop}{|f(y) - f(x)| \le K |y - x|}. $$

Remarque --- admis ici

T7.1 est admise dans ce chapitre. L'inégalité résulte d'une simple majoration d'intégrale, justifiée ultérieurement dans la section Intégration. La preuve complète sera donnée dans Intégration sur un segment. D'ici là, T7.1 s'utilise comme boîte noire.

Exemple

Utiliser T7.1 pour montrer $|\exp(i t) - 1| \le |t|$ pour tout $t \in \mathbb{R}$.

Correction

Posons $f(t) = \exp(i t)$ sur $\mathbb{R}$. Alors $f$ est $C^1$ avec $f'(t) = i \exp(i t)$, donc $|f'(t)| = 1$. Par T7.1 avec $K = 1$, $|f(t) - f(0)| \le |t|$, soit $|\exp(i t) - 1| \le |t|$.

Compétences à pratiquer

Dériver une fonction à valeurs complexes par composantes
Appliquer l'IAF complexe