CommeUnJeu · L1 PCSI

Déterminants

⌚ ~99 min ▢ 12 blocs ✓ 27 exercices ➣ Prérequis : Représentation matricielle des applications linéaires, Espaces vectoriels de dimension finie

Le déterminant est le scalaire canonique attaché à une famille de $n$ vecteurs dans une base choisie, obtenu comme l'unique forme $n$-linéaire alternée valant $1$ sur cette base. Concrètement, $\det_\mathcal{B}(x_1, \dots, x_n) \ne 0$ si et seulement si $(x_1, \dots, x_n)$ est une base. Dans $\mathbb{R}^2$, ce scalaire est l'aire orientée du parallélogramme engendré par $(x_1, x_2)$ ; dans $\mathbb{R}^3$, c'est le volume orienté du parallélépipède engendré par $(x_1, x_2, x_3)$. Trois avatars du même objet apparaîtront ici : $\det_\mathcal{B}$ pour une famille de vecteurs dans une base $\mathcal{B}$, $\det(u)$ pour un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$, et $\det(A)$ pour une matrice carrée $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Ces trois avatars sont liés par le pont $\det(u) = \det(\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u))$, et reposent tous sur un fait fondamental : l'espace des formes $n$-linéaires alternées sur un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$ est une droite. On admet l'existence et l'unicité de cette forme --- la démonstration de l'existence dépasse le cadre de ce cours --- et on construit tout à partir de ses deux propriétés fondatrices (linéaire en chaque variable, alternée) et de la normalisation $\det_\mathcal{B}(\mathcal{B}) = 1$. Le chapitre se construit en cinq mouvements : une étude algébrique des formes $n$-linéaires alternées, ouverte par une motivation géométrique en termes d'aire orientée et de volume orienté ; le déterminant d'une famille de vecteurs dans une base ; le déterminant d'un endomorphisme ; le déterminant d'une matrice carrée ; et les techniques de calcul (pivot, développement par rapport à une ligne ou une colonne, Vandermonde). Convention. Tous les énoncés algébriques valent sur un corps quelconque $\mathbb{K}$ ; l'interprétation géométrique (aire orientée, volume orienté, orientation) est spécifique à $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$. Nous signalerons ces spécialisations explicitement à chaque fois qu'elles apparaissent. Tout au long, $E$ désigne un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie avec $\dim E = n \ge 1$, $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E$, et $\mathcal{X} = (x_1, \dots, x_n)$ désigne une famille de $n$ vecteurs de $E$. On note $\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(\mathcal{X})$ la matrice dont la $j$-ème colonne est formée des coordonnées de $x_j$ dans $\mathcal{B}$. Les symboles $\det_\mathcal{B}$, $\det(u)$, et $\det(A)$ sont trois usages surchargés de la même notation ; l'argument lève l'ambiguïté.

I Formes multilinéaires alternées

Motivation géométrique : aires et volumes orientés

Définir rigoureusement l'aire d'une surface quelconque ou le volume d'un solide quelconque est difficile, mais pour les parallélogrammes du plan et les parallélépipèdes de l'espace le problème devient algébrique dès qu'une unité de référence est fixée. Prenons donc, comme brique élémentaire de notre investigation, la donnée d'une « unité d'aire orientée » dans le plan et d'une « unité de volume orienté » dans l'espace :

Dans le plan, une unité d'aire orientée n'est jamais qu'un parallélogramme sur une base directe $\mathcal{B} = (e_1\,;\,e_2)$.
Dans l'espace, une unité de volume orienté est un parallélépipède sur une base directe $\mathcal{B} = (e_1\,;\,e_2\,;\,e_3)$.

À partir de cette brique élémentaire, on peut attribuer une aire à n'importe quel parallélogramme du plan et un volume à n'importe quel parallélépipède de l'espace. On note $\det_\mathcal{B}(x_1\,;\,x_2)$ l'aire orientée du parallélogramme engendré par la famille $(x_1\,;\,x_2)$ de deux vecteurs du plan, et $\det_\mathcal{B}(x_1\,;\,x_2\,;\,x_3)$ le volume orienté du parallélépipède engendré par la famille $(x_1\,;\,x_2\,;\,x_3)$ de trois vecteurs de l'espace. L'indice $\mathcal{B}$ indique l'unité orientée par rapport à laquelle aires et volumes sont mesurés. En particulier : $$ \textcolor{colorprop}{\det_\mathcal{B}(\mathcal{B}) = 1.} $$ L'orientation d'une aire dans le plan signifie simplement qu'on compte positivement l'aire d'un parallélogramme sur une base directe et négativement l'aire d'un parallélogramme sur une base indirecte. Même principe pour les volumes orientés. Par exemple, dans le plan : $$ \det_\mathcal{B}(e_2\,;\,e_1) = -\det_\mathcal{B}(\mathcal{B}) = -1 \qquad \text{car la base } (e_2\,;\,e_1) \text{ est indirecte.} $$ Deux figures illustrent les règles du jeu.

Homogénéité : multiplier une arête par $2$ multiplie l'aire orientée par $2$. $$ \textcolor{colorprop}{\det_\mathcal{B}(2u\,;\,v)} = 2 \textcolor{colordef}{\det_\mathcal{B}(u\,;\,v)}. $$
Additivité : décomposer une arête en $u + u'$ décompose l'aire orientée de la même manière. $$ \det_\mathcal{B}(u + u'\,;\,v) = \textcolor{colordef}{\det_\mathcal{B}(u\,;\,v)} + \textcolor{colorprop}{\det_\mathcal{B}(u'\,;\,v)}. $$

Ces figures dévoilent quatre propriétés structurelles des aires et volumes orientés. On les recueille comme l'épure géométrique de ce qui deviendra, à la sous-section suivante, la définition axiomatique d'une forme $n$-linéaire alternée.

Caractérisation des bases. $(u\,;\,v)$ est une base du plan $\iff \det_\mathcal{B}(u\,;\,v) \ne 0$. De même dans l'espace : $(u\,;\,v\,;\,w)$ est une base de l'espace $\iff \det_\mathcal{B}(u\,;\,v\,;\,w) \ne 0$. Autrement dit, la colinéarité de deux vecteurs du plan est caractérisée par le caractère aplati du parallélogramme qu'ils engendrent. Même principe dans l'espace.
Antisymétrie. $\det_\mathcal{B}$ change de signe à chaque permutation de deux vecteurs. En particulier, $\det_\mathcal{B}(u\,;\,u) = 0$ dans le plan et $\det_\mathcal{B}(u\,;\,v\,;\,w) = 0$ dans l'espace dès que deux des trois vecteurs $u, v, w$ sont égaux. On dit que $\det_\mathcal{B}$ est alternée.
Multilinéarité. $\det_\mathcal{B}$ est linéaire par rapport à chacune de ses variables. C'est le nom formel des deux règles suggérées par les figures B et C : multiplier une entrée par $\lambda$ multiplie le résultat par $\lambda$, et scinder une entrée en $u + u'$ scinde le résultat en conséquence.
Caractérisation de l'orientation. $(u\,;\,v)$ est une base directe du plan $\iff \det_\mathcal{B}(u\,;\,v) > 0$. De même dans l'espace : $(u\,;\,v\,;\,w)$ est une base directe de l'espace $\iff \det_\mathcal{B}(u\,;\,v\,;\,w) > 0$.

Prenons maintenant de la hauteur en abandonnant le strict point de vue d'une géométrie du plan et de l'espace. Par quoi les notions d'aire et volume orientés pourraient-elles être remplacées en dimension finie quelconque ? La réponse vient en trois temps. D'abord, on abstrait les quatre propriétés ci-dessus en une définition (sous-section suivante). Ensuite, on prouve que sur un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$, l'espace des formes $n$-linéaires alternées est une droite, engendrée par une unique forme valant $1$ sur une base choisie --- c'est le déterminant $\det_\mathcal{B}$. Enfin, le lien géométrique revient en dimensions $2$ et $3$ comme corollaire : le $\det_\mathcal{B}$ formel est l'aire orientée dans $\mathbb{R}^2$ et le volume orienté dans $\mathbb{R}^3$.

I.1 Formes multilinéaires et alternées

On abstrait maintenant l'image géométrique : « multilinéaire » et « alternée » deviendront les propriétés algébriques fondatrices, et le lien géométrique sera rétabli plus loin dans ce chapitre lorsqu'on prouvera qu'il existe une unique telle forme prenant la valeur $1$ sur une base choisie.

Définition — Forme $n$-linéaire alternée

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$. Une application $f \colon E^n \to \mathbb{K}$ est une forme $n$-linéaire sur $E$ si elle est linéaire par rapport à chaque variable : pour tout $k \in \llbracket 1, n \rrbracket$ et tout choix des autres arguments $(x_1, \dots, x_{k-1}, x_{k+1}, \dots, x_n)$ fixés, l'application partielle $$ x \longmapsto f(x_1, \dots, x_{k-1}, x, x_{k+1}, \dots, x_n) $$ est linéaire de $E$ dans $\mathbb{K}$. Une telle forme $n$-linéaire est alternée si elle s'annule dès que deux de ses arguments sont égaux : pour tout $(x_1, \dots, x_n) \in E^n$ et tout $i \ne j$ avec $x_i = x_j$, $$ f(x_1, \dots, x_n) = 0. $$ Les cas $n = 2$ et $n = 3$ sont qualifiés de bilinéaire et trilinéaire.

Exemple

L'application $f \colon (\mathbb{R}^2)^2 \to \mathbb{R}$ définie par $f((u_1 \,;\, u_2), (v_1 \,;\, v_2)) = u_1 v_2 - u_2 v_1$ est une forme $2$-linéaire alternée sur $\mathbb{R}^2$. En effet, $f$ est bilinéaire par inspection directe (linéaire en $(u_1 \,;\, u_2)$ pour $(v_1 \,;\, v_2)$ fixé, et symétriquement), et $f(u, u) = u_1 u_2 - u_2 u_1 = 0$, donc elle s'annule sur un argument répété. Numériquement, $f((2 \,;\, 1), (1 \,;\, 3)) = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5$ et $f((1 \,;\, 3), (2 \,;\, 1)) = 1 \cdot 1 - 3 \cdot 2 = -5$ --- échanger les deux arguments change le signe, c'est l'antisymétrie établie au Théorème suivant. Ce $f$ est exactement $\det_\mathcal{B}$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^2$, et $|f(u, v)|$ est l'aire du parallélogramme engendré par $u$ et $v$.

Compétences à pratiquer

Formes multilinéaires et alternées

I.2 Propriétés des formes $n$-linéaires alternées

Trois propriétés découlent immédiatement de « $n$-linéaire alternée » et structurent tout le chapitre : une telle forme s'annule sur toute famille liée, elle est invariante par l'opération « remplacer une variable par elle-même plus une combinaison linéaire des autres » (moteur algébrique du pivot de Gauss), et elle est antisymétrique --- échanger deux arguments multiplie la valeur par $-1$. Ces trois propriétés, jointes à la normalisation $\det_\mathcal{B}(\mathcal{B}) = 1$, suffisent à calculer les déterminants : elles pilotent la réduction par pivot, la règle du déterminant triangulaire, et les formules explicites en dimensions $2$ et $3$ établies à la section suivante.

Theorem — Propriétés des formes $n$-linéaires alternées

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $f$ une forme $n$-linéaire alternée sur $E$. Alors :

(i) Annulation sur les familles liées. Pour toute famille liée $(x_1, \dots, x_n)$ de $E$, $f(x_1, \dots, x_n) = 0$.
(ii) Invariance par combinaison linéaire. Pour tout $(x_1, \dots, x_n) \in E^n$, tout $k \in \llbracket 1, n \rrbracket$ et tout $(\lambda_i)_{i \ne k}$ dans $\mathbb{K}$, $$ f\big(\dots, x_k + \sum_{i \ne k} \lambda_i x_i, \dots\big) = f(x_1, \dots, x_n). $$
(iii) Antisymétrie. Pour tout $(x_1, \dots, x_n) \in E^n$ et tout $i \ne j$, $$ f(\dots, x_j, \dots, x_i, \dots) = - f(\dots, x_i, \dots, x_j, \dots), $$ où à gauche $x_i$ et $x_j$ ont été échangés dans les emplacements $i$ et $j$.

Preuve

Les trois propriétés partagent un moteur commun : linéariser puis exploiter le caractère alterné pour tuer les termes contenant un argument répété.

(i) Annulation sur les familles liées. La famille $(x_1, \dots, x_n)$ étant liée, un certain $x_k$ s'écrit $x_k = \sum_{i \ne k} \lambda_i x_i$. Par $n$-linéarité dans la $k$-ème variable, $$ \begin{aligned} f(x_1, \dots, x_n) &= f\big(\dots, \textstyle\sum_{i \ne k} \lambda_i x_i, \dots\big) && \text{(substitution)} \\ &= \sum_{i \ne k} \lambda_i \, f(\dots, x_i, \dots) && \text{(linéarité dans la variable $k$)} \\ &= 0 && \text{(chaque terme a $x_i$ dans les variables $i$ et $k$, alterné).} \end{aligned} $$
(ii) Invariance par combinaison linéaire. On développe par $n$-linéarité dans la $k$-ème variable : $$ \begin{aligned} f\big(\dots, x_k + \textstyle\sum_{i \ne k} \lambda_i x_i, \dots\big) &= f(\dots, x_k, \dots) + \sum_{i \ne k} \lambda_i \, f(\dots, x_i, \dots) && \text{(linéarité dans la variable $k$)} \\ &= f(\dots, x_k, \dots) && \text{(chaque terme a $x_i$ en double).} \end{aligned} $$
(iii) Antisymétrie. Fixons $i < j$ et les autres variables. Appliquons le caractère alterné à la famille obtenue en remplaçant les deux entrées des variables $i$ et $j$ par $x_i + x_j$ : $$ \begin{aligned} 0 &= f(\dots, x_i + x_j, \dots, x_i + x_j, \dots) && \text{(alterné : arguments égaux)} \\ &= f(\dots, x_i, \dots, x_i, \dots) + f(\dots, x_i, \dots, x_j, \dots) \\ &\quad + f(\dots, x_j, \dots, x_i, \dots) + f(\dots, x_j, \dots, x_j, \dots) && \text{(bilinéarité dans les variables $i, j$)} \\ &= 0 + f(\dots, x_i, \dots, x_j, \dots) + f(\dots, x_j, \dots, x_i, \dots) + 0 && \text{(alterné sur les deux termes à paire égale).} \end{aligned} $$ On isole : $f(\dots, x_j, \dots, x_i, \dots) = - f(\dots, x_i, \dots, x_j, \dots)$.

Compétences à pratiquer

Propriétés des formes $n$-linéaires alternées

II Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base

On admet maintenant le fait central du chapitre : en dimension $n$, après fixation d'une base $\mathcal{B}$, il existe une unique forme $n$-linéaire alternée $f$ sur $E^n$ vérifiant $f(\mathcal{B}) = 1$. Cette forme unique est le déterminant dans la base $\mathcal{B}$, noté $\det_\mathcal{B}$. On admet son existence et son unicité --- c'est le résultat fondateur dont la démonstration dépasse le cadre de ce cours. La seule propriété qu'on en extrait et qu'on utilise partout par la suite est l'unidimensionnalité : l'espace des formes $n$-linéaires alternées sur $E^n$ est la droite engendrée par $\det_\mathcal{B}$, de sorte que toute forme $n$-linéaire alternée $f$ vaut $f(\mathcal{B}) \cdot \det_\mathcal{B}$. De là découle le reste du chapitre : les formules explicites en dimensions $2$ et $3$, la caractérisation des bases par $\det \ne 0$, le déterminant intrinsèque d'un endomorphisme, et le déterminant d'une matrice carrée.

II.1 Définition dans une base

L'existence, l'unicité et l'unidimensionnalité énoncées ci-dessous sont toutes admises à ce niveau (la démonstration de l'existence dépasse le cadre de ce cours). Un seul $\det_\mathcal{B}$ tout du long : il y a un unique objet $\det_\mathcal{B}$ --- l'unique forme $n$-linéaire alternée normalisée par $\det_\mathcal{B}(\mathcal{B}) = 1$. Une fois l'unidimensionnalité accordée, l'unicité est immédiate, et tout calcul ultérieur se ramène à évaluer $\det_\mathcal{B}$ via ses deux propriétés fondatrices (linéaire en chaque variable, alternée) et la normalisation.

Theorem — Déterminant dans une base

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n \ge 1$ et $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$.

(1) Existence (admise). Il existe une forme $n$-linéaire alternée $\det_\mathcal{B} \colon E^n \to \mathbb{K}$ telle que $\det_\mathcal{B}(\mathcal{B}) = 1$. On l'appelle le déterminant dans la base $\mathcal{B}$.
(2) Unicité. Cette forme est unique : c'est la seule forme $n$-linéaire alternée sur $E^n$ prenant la valeur $1$ en $\mathcal{B}$.
(3) Unidimensionnalité (admise). Toute forme $n$-linéaire alternée $f$ sur $E^n$ est un multiple scalaire de $\det_\mathcal{B}$, à savoir $f = f(\mathcal{B}) \cdot \det_\mathcal{B}$.

Pourquoi l'unicité découle de l'unidimensionnalité. Supposons que $g$ est une autre forme $n$-linéaire alternée sur $E^n$ avec $g(\mathcal{B}) = 1$. Par (3) appliquée à $g$, on a $g = g(\mathcal{B}) \cdot \det_\mathcal{B} = 1 \cdot \det_\mathcal{B} = \det_\mathcal{B}$. Ainsi la normalisation $f(\mathcal{B}) = 1$ détermine une seule forme : l'unicité (2) est exactement l'unidimensionnalité (3) lue à la valeur $1$. C'est la seule partie de (1)--(3) qu'on justifie ici ; l'existence et l'unidimensionnalité elles-mêmes sont admises.

Proposition — Déterminant en dimensions $2$ et $3$

Soit $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$.

Si $\dim E = 2$. Pour $x, y \in E$ de coordonnées $(x_1, x_2)$ et $(y_1, y_2)$ dans $\mathcal{B}$, $$ \textcolor{colorprop}{ \det_\mathcal{B}(x, y) = x_1 y_2 - x_2 y_1. } $$
Si $\dim E = 3$. Pour $x, y, z \in E$ de coordonnées $(x_1, x_2, x_3)$, $(y_1, y_2, y_3)$, $(z_1, z_2, z_3)$ dans $\mathcal{B}$, $$ \textcolor{colorprop}{ \det_\mathcal{B}(x, y, z) = \underbrace{x_1 y_2 z_3 + x_2 y_3 z_1 + x_3 y_1 z_2}_{\text{diagonales descendantes}} - \underbrace{\big(x_3 y_2 z_1 + x_2 y_1 z_3 + x_1 y_3 z_2\big)}_{\text{diagonales montantes}}. } $$

Lecture géométrique (dans $\mathbb{R}^2$, resp.\ $\mathbb{R}^3$). La valeur absolue $|\det_\mathcal{B}(x, y)|$ est l'aire du parallélogramme engendré par $x, y$ relativement à la cellule unité de $\mathcal{B}$ (le parallélogramme unité engendré par $\mathcal{B}$, pris d'aire $1$) ; $|\det_\mathcal{B}(x, y, z)|$ est le volume du parallélépipède engendré par $x, y, z$ relativement à la cellule unité de $\mathcal{B}$. Lorsque $\mathcal{B}$ est la base canonique (orthonormée), ces quantités coïncident avec l'aire et le volume euclidiens usuels. Le signe enregistre l'orientation.

Preuve

On dérive chaque formule directement des deux propriétés fondatrices de $\det_\mathcal{B}$ --- linéarité en chaque variable et caractère alterné --- sans énumérer de permutations.

Dimension $2$. Écrivons $x = x_1 e_1 + x_2 e_2$ et $y = y_1 e_1 + y_2 e_2$. On développe par bilinéarité, variable par variable : $$ \begin{aligned} \det_\mathcal{B}(x, y) &= \det_\mathcal{B}(x_1 e_1 + x_2 e_2,\ y_1 e_1 + y_2 e_2) \\ &= x_1 y_1 \det_\mathcal{B}(e_1, e_1) + x_1 y_2 \det_\mathcal{B}(e_1, e_2) \\ &\quad + x_2 y_1 \det_\mathcal{B}(e_2, e_1) + x_2 y_2 \det_\mathcal{B}(e_2, e_2) && \text{(bilinéarité).} \end{aligned} $$ Les termes $\det_\mathcal{B}(e_1, e_1)$ et $\det_\mathcal{B}(e_2, e_2)$ s'annulent (alterné : argument répété). Par antisymétrie, $\det_\mathcal{B}(e_2, e_1) = - \det_\mathcal{B}(e_1, e_2)$, et $\det_\mathcal{B}(e_1, e_2) = \det_\mathcal{B}(\mathcal{B}) = 1$. D'où $\det_\mathcal{B}(x, y) = x_1 y_2 - x_2 y_1$.
Dimension $3$. On écrit chaque vecteur sur la base et on développe par trilinéarité. Parmi les $3^3 = 27$ termes $\det_\mathcal{B}(e_a, e_b, e_c)$ obtenus, ceux à indice répété s'annulent (alterné). Les six survivants sont les réarrangements de $(e_1, e_2, e_3)$. Chacun se réduit à $\pm \det_\mathcal{B}(e_1, e_2, e_3) = \pm 1$ par antisymétrie, le signe valant $+1$ quand le réarrangement s'obtient par un nombre pair d'échanges de variables adjacentes et $-1$ sinon : $$ \begin{aligned} \det_\mathcal{B}(e_1, e_2, e_3) &= +1, & \det_\mathcal{B}(e_2, e_3, e_1) &= +1, & \det_\mathcal{B}(e_3, e_1, e_2) &= +1, \\ \det_\mathcal{B}(e_1, e_3, e_2) &= -1, & \det_\mathcal{B}(e_2, e_1, e_3) &= -1, & \det_\mathcal{B}(e_3, e_2, e_1) &= -1. \end{aligned} $$ En regroupant les coefficients $x_a y_b z_c$ devant chaque réarrangement survivant on obtient $$ \det_\mathcal{B}(x, y, z) = x_1 y_2 z_3 + x_2 y_3 z_1 + x_3 y_1 z_2 - x_1 y_3 z_2 - x_2 y_1 z_3 - x_3 y_2 z_1, $$ ce qui correspond au partage diagonales descendantes / diagonales montantes annoncé ci-dessus.

Exemple

Calculer $\det_\mathcal{B}\big((2 \,;\, 1), (1 \,;\, 3)\big)$ et $\det_\mathcal{B}\big((1 \,;\, 0 \,;\, 2), (0 \,;\, 3 \,;\, -1), (4 \,;\, 2 \,;\, 1)\big)$ dans les bases canoniques de $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$.

Correction

$$ \begin{aligned} \det_\mathcal{B}\big((2 \,;\, 1), (1 \,;\, 3)\big) &= 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 && \text{(Sarrus en dim $2$)} \\ &= 5. \end{aligned} $$ Pour le Sarrus $3 \times 3$ : $$ \begin{aligned} \det_\mathcal{B}\big((1 \,;\, 0 \,;\, 2), (0 \,;\, 3 \,;\, -1), (4 \,;\, 2 \,;\, 1)\big) &= 1 \cdot 3 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) \cdot 4 + 2 \cdot 0 \cdot 2 && \text{(diagonales descendantes)} \\ &\quad - 2 \cdot 3 \cdot 4 - 0 \cdot 0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1) \cdot 2 && \text{(diagonales montantes)} \\ &= 3 + 0 + 0 - 24 - 0 + 2 \\ &= -19. \end{aligned} $$

Compétences à pratiquer

Calculer via Sarrus et les propriétés structurelles

II.2 Caractérisation des bases et formule de changement de base

Deux conséquences du Théorème d'unidimensionnalité promeuvent $\det_\mathcal{B}$ du statut de curiosité algébrique à celui de détecteur de base : une famille de $n$ vecteurs est une base si et seulement si son déterminant est non nul, et changer de base multiplie tous les déterminants par un seul scalaire --- le déterminant de la nouvelle base dans l'ancienne.

Proposition — Caractérisation des bases

Pour $E$ de dimension $n$, $\mathcal{B}$ une base de $E$, et $\mathcal{X} = (x_1, \dots, x_n)$ une famille de $n$ vecteurs de $E$, $$ \textcolor{colorprop}{ \mathcal{X} \text{ est une base de } E \iff \det_\mathcal{B}(\mathcal{X}) \ne 0. } $$

Preuve

$(\Leftarrow)$ Contraposée. Si $\mathcal{X}$ n'est pas une base, alors --- dans un espace vectoriel de dimension $n$ --- une famille de $n$ vecteurs n'est pas une base si et seulement si elle est liée. Donc $\mathcal{X}$ est liée, et par le Théorème des propriétés (i) de la section précédente, $\det_\mathcal{B}(\mathcal{X}) = 0$.
$(\Rightarrow)$ Direct. Supposons $\mathcal{X}$ base. Alors par Existence (admise, point (1) de la Définition-Théorème ci-dessus), la forme $\det_\mathcal{X}$ existe ; elle est $n$-linéaire alternée, donc par unidimensionnalité (point (3) du même Théorème) c'est un multiple de $\det_\mathcal{B}$ : il existe $c \in \mathbb{K}$ tel que $\det_\mathcal{X} = c \cdot \det_\mathcal{B}$. En évaluant en $\mathcal{X}$ : $$ 1 = \det_\mathcal{X}(\mathcal{X}) = c \cdot \det_\mathcal{B}(\mathcal{X}). $$ L'équation $c \cdot \det_\mathcal{B}(\mathcal{X}) = 1$ force $\det_\mathcal{B}(\mathcal{X}) \ne 0$.

Proposition — Formule de changement de base

Pour $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ deux bases de $E$, $$ \textcolor{colorprop}{ \det_\mathcal{B} = \det_\mathcal{B}(\mathcal{B}') \cdot \det_{\mathcal{B}'} \qquad \text{et en particulier} \qquad \det_\mathcal{B}(\mathcal{B}') \cdot \det_{\mathcal{B}'}(\mathcal{B}) = 1. } $$

Preuve

La forme $\det_\mathcal{B}$ est $n$-linéaire alternée, donc par le Théorème d'unidimensionnalité ci-dessus c'est un multiple scalaire de $\det_{\mathcal{B}'}$ : $\det_\mathcal{B} = c \cdot \det_{\mathcal{B}'}$ pour un certain $c \in \mathbb{K}$. On évalue en $\mathcal{B}'$ : $$ \det_\mathcal{B}(\mathcal{B}') = c \cdot \det_{\mathcal{B}'}(\mathcal{B}') = c \cdot 1 = c. $$ D'où $\det_\mathcal{B} = \det_\mathcal{B}(\mathcal{B}') \cdot \det_{\mathcal{B}'}$. En échangeant les rôles de $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}'$ on obtient l'identité symétrique $\det_{\mathcal{B}'} = \det_{\mathcal{B}'}(\mathcal{B}) \cdot \det_\mathcal{B}$ comme formes. En substituant la seconde identité dans la première, $$ \det_\mathcal{B} = \det_\mathcal{B}(\mathcal{B}') \cdot \det_{\mathcal{B}'}(\mathcal{B}) \cdot \det_\mathcal{B}. $$ Comme $\det_\mathcal{B}$ n'est pas la forme nulle (elle vaut $1$ en $\mathcal{B}$), le facteur scalaire doit valoir $1$ : $\det_\mathcal{B}(\mathcal{B}') \cdot \det_{\mathcal{B}'}(\mathcal{B}) = 1$.

Méthode — Calculer le déterminant d'une famille dans une base

Deux voies sont disponibles :

Direct, en petite dimension. Pour $n \le 3$, les formules explicites en dimension $2$ / $3$ (Sarrus) s'appliquent : $n = 2$ donne l'expression à deux termes $x_1 y_2 - x_2 y_1$, $n = 3$ donne l'expression à six termes. Pour $n \ge 4$ il n'y a pas de formule aussi courte --- on passe à la voie matricielle.
Via la matrice. Former $A = \mathrm{Mat}_\mathcal{B}(\mathcal{X})$ et se ramener à $\det(A)$, calculé par les techniques matricielles développées plus bas (méthode du pivot, développement par cofacteurs, déterminant triangulaire). C'est l'outil pratique de tous les jours.

Compétences à pratiquer

Caractériser les bases et changer de base

III Déterminant d'un endomorphisme

Pour $u \in \mathcal{L}(E)$ et une base $\mathcal{B}$, le scalaire $\det_\mathcal{B}(u(e_1), \dots, u(e_n))$ mesure la manière dont $u$ dilate les volumes orientés construits sur $\mathcal{B}$. Remarquablement, ce scalaire ne dépend pas de la base $\mathcal{B}$ choisie : c'est un invariant intrinsèque de $u$, noté $\det(u)$. On le démontre intrinsèquement, en utilisant uniquement l'unidimensionnalité et le changement de base établis plus haut dans ce chapitre --- sans invoquer les matrices, qui n'apparaîtront qu'à la section suivante. De cette Définition intrinsèque découlent la multiplicativité ($\det(u \circ v) = \det(u) \det(v)$), la caractérisation des automorphismes ($u$ bijective si et seulement si $\det(u) \ne 0$), et l'identité scalaire $\det(\lambda u) = \lambda^n \det(u)$.

III.1 Définition intrinsèque et indépendance de la base

On part du scalaire produit par un endomorphisme $u$ dans une base fixée $\mathcal{B}$, à savoir $\det_\mathcal{B}(u(e_1), \dots, u(e_n))$, et on montre que le même scalaire apparaît quelle que soit la base choisie. Ceci justifie la notation $\det(u)$, invariant intrinsèque de $u$.

Proposition — Effet d'un endomorphisme sur une famille

Pour $u \in \mathcal{L}(E)$ et $\mathcal{B}$ une base de $E$, il existe un unique scalaire $\lambda_\mathcal{B}(u) \in \mathbb{K}$ tel que, pour toute famille $\mathcal{X} = (x_1, \dots, x_n)$ de $n$ vecteurs de $E$, $$ \textcolor{colorprop}{ \det_\mathcal{B}\big(u(x_1), \dots, u(x_n)\big) = \lambda_\mathcal{B}(u) \cdot \det_\mathcal{B}(x_1, \dots, x_n). } $$ De plus, $\lambda_\mathcal{B}(u) = \det_\mathcal{B}(u(e_1), \dots, u(e_n))$.

Preuve

On définit $\varphi \colon E^n \to \mathbb{K}$ par $\varphi(x_1, \dots, x_n) = \det_\mathcal{B}(u(x_1), \dots, u(x_n))$.

$\varphi$ est $n$-linéaire. Pour tout $k$, $u$ étant linéaire, l'application partielle $x \mapsto u(x)$ est linéaire dans la variable $k$ ; en composant avec $\det_\mathcal{B}$ ($n$-linéaire), la partielle de la variable $k$ reste linéaire.
$\varphi$ est alternée. Si $x_i = x_j$ pour $i \ne j$, alors $u(x_i) = u(x_j)$, et $\det_\mathcal{B}$ s'annule sur une famille à deux arguments égaux.

Par le Théorème d'unidimensionnalité établi plus haut dans ce chapitre, $\varphi = \varphi(\mathcal{B}) \cdot \det_\mathcal{B}$. En posant $\lambda_\mathcal{B}(u) = \varphi(\mathcal{B}) = \det_\mathcal{B}(u(e_1), \dots, u(e_n))$ on obtient l'identité. Unicité de $\lambda_\mathcal{B}(u)$ : l'évaluation de l'identité en $\mathcal{B}$ redonne $\lambda_\mathcal{B}(u) = \det_\mathcal{B}(u(\mathcal{B}))$, qui ne dépend que de $u$ et $\mathcal{B}$.

Theorem — Déterminant d'un endomorphisme

Pour $u \in \mathcal{L}(E)$, le scalaire $\lambda_\mathcal{B}(u)$ de la Proposition précédente ne dépend pas de la base $\mathcal{B}$. Ce scalaire est appelé déterminant de $u$ et noté $\det(u)$. Pour toute base $\mathcal{B}$ et toute famille $\mathcal{X} \in E^n$, $$ \textcolor{colorprop}{ \det_\mathcal{B}\big(u(\mathcal{X})\big) = \det(u) \cdot \det_\mathcal{B}(\mathcal{X}). } $$

Preuve

Soient $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ deux bases de $E$. On applique l'identité de la Proposition précédente dans chaque base, avec la famille $\mathcal{X} = \mathcal{B}'$ : $$ \begin{aligned} \det_\mathcal{B}\big(u(\mathcal{B}')\big) &= \lambda_\mathcal{B}(u) \cdot \det_\mathcal{B}(\mathcal{B}') && \text{(dans la base $\mathcal{B}$, $\mathcal{X} = \mathcal{B}'$)} \\ \det_{\mathcal{B}'}\big(u(\mathcal{B}')\big) &= \lambda_{\mathcal{B}'}(u) \cdot \det_{\mathcal{B}'}(\mathcal{B}') = \lambda_{\mathcal{B}'}(u) && \text{(dans la base $\mathcal{B}'$, $\mathcal{X} = \mathcal{B}'$).} \end{aligned} $$ Par la formule de changement de base établie plus haut, $\det_\mathcal{B}\big(u(\mathcal{B}')\big) = \det_\mathcal{B}(\mathcal{B}') \cdot \det_{\mathcal{B}'}\big(u(\mathcal{B}')\big) = \det_\mathcal{B}(\mathcal{B}') \cdot \lambda_{\mathcal{B}'}(u)$. En égalant avec la première ligne : $$ \lambda_\mathcal{B}(u) \cdot \det_\mathcal{B}(\mathcal{B}') = \det_\mathcal{B}(\mathcal{B}') \cdot \lambda_{\mathcal{B}'}(u). $$ Or $\det_\mathcal{B}(\mathcal{B}') \ne 0$ puisque $\mathcal{B}'$ est une base (Caractérisation des bases, établie plus haut), donc on peut simplifier : $\lambda_\mathcal{B}(u) = \lambda_{\mathcal{B}'}(u)$.

Compétences à pratiquer

Calculer le déterminant d'un endomorphisme

III.2 Multiplicativité et caractérisation des automorphismes

Une fois $\det(u)$ établi comme scalaire bien défini attaché à $u$, ses trois propriétés structurelles --- identité, multiplicativité, exposant $\lambda^n$ --- découlent de l'identité de définition. La conséquence la plus utile est la caractérisation $u \in \mathrm{GL}(E) \iff \det(u) \ne 0$, qui se transpose côté matriciel à la section suivante.

Proposition — Propriétés de $\det$ sur $\mathcal{L}(E)$

Pour $u, v \in \mathcal{L}(E)$ et $\lambda \in \mathbb{K}$ :

(0) Identité. $\det(\mathrm{Id}_E) = 1$.
(i) Multiplicativité. $\det(u \circ v) = \det(u) \det(v)$.
(ii) Caractérisation des automorphismes. $u$ est un automorphisme de $E$ si et seulement si $\det(u) \ne 0$. Dans ce cas, $\det(u^{-1}) = \det(u)^{-1}$.
(iii) Scalaire. $\det(\lambda u) = \lambda^n \det(u)$.

Preuve

On travaille intrinsèquement (en appliquant la Définition-Théorème de $\det$ deux fois ou une fois selon le cas).

(0) Identité. Direct depuis la Définition-Théorème : $$ \det(\mathrm{Id}_E) = \det_\mathcal{B}(\mathrm{Id}_E(e_1), \dots, \mathrm{Id}_E(e_n)) = \det_\mathcal{B}(e_1, \dots, e_n) = 1. $$
(i) Multiplicativité. On applique l'identité de définition à $v(\mathcal{X})$, puis à $u(v(\mathcal{X}))$ : $$ \begin{aligned} \det_\mathcal{B}\big((u \circ v)(\mathcal{X})\big) &= \det_\mathcal{B}\big(u(v(\mathcal{X}))\big) && \text{(définition de $u \circ v$)} \\ &= \det(u) \cdot \det_\mathcal{B}(v(\mathcal{X})) && \text{(Déf-Théorème sur $u$, $v(\mathcal{X})$)} \\ &= \det(u) \cdot \det(v) \cdot \det_\mathcal{B}(\mathcal{X}) && \text{(Déf-Théorème sur $v$, $\mathcal{X}$).} \end{aligned} $$ La Déf-Théorème, appliquée directement à $u \circ v$, donne aussi $\det_\mathcal{B}\big((u \circ v)(\mathcal{X})\big) = \det(u \circ v) \cdot \det_\mathcal{B}(\mathcal{X})$. Les deux expressions de $\det_\mathcal{B}\big((u \circ v)(\mathcal{X})\big)$ sont donc égales pour tout $\mathcal{X} \in E^n$ ; en évaluant en $\mathcal{X} = \mathcal{B}$ (de sorte que $\det_\mathcal{B}(\mathcal{X}) = 1$) on extrait l'égalité scalaire $\det(u \circ v) = \det(u) \det(v)$.
(ii) Caractérisation des automorphismes. $(\Rightarrow)$ Si $u$ est bijective, $u \circ u^{-1} = \mathrm{Id}_E$. Par (0) et (i), $\det(u) \det(u^{-1}) = \det(\mathrm{Id}_E) = 1$ ; en particulier $\det(u)$ et $\det(u^{-1})$ sont non nuls, et $\det(u^{-1}) = \det(u)^{-1}$. $(\Leftarrow)$ Supposons $\det(u) \ne 0$. Alors $\det_\mathcal{B}(u(\mathcal{B})) = \det(u) \cdot \det_\mathcal{B}(\mathcal{B}) = \det(u) \ne 0$. Par la Caractérisation des bases établie plus haut, $u(\mathcal{B}) = (u(e_1), \dots, u(e_n))$ est une base de $E$, donc $u$ est surjective. En dimension finie, un endomorphisme surjectif est bijectif.
(iii) Scalaire. On applique l'identité de définition : $$ \begin{aligned} \det_\mathcal{B}\big((\lambda u)(\mathcal{X})\big) &= \det_\mathcal{B}\big(\lambda \cdot u(x_1), \dots, \lambda \cdot u(x_n)\big) && \text{(définition de $\lambda u$)} \\ &= \lambda^n \det_\mathcal{B}\big(u(x_1), \dots, u(x_n)\big) && \text{($n$-linéarité, on factorise $\lambda$ de chaque variable)} \\ &= \lambda^n \cdot \det(u) \cdot \det_\mathcal{B}(\mathcal{X}) && \text{(Définition-Théorème).} \end{aligned} $$ En comparant avec $\det_\mathcal{B}\big((\lambda u)(\mathcal{X})\big) = \det(\lambda u) \cdot \det_\mathcal{B}(\mathcal{X})$ en $\mathcal{X} = \mathcal{B}$ : $\det(\lambda u) = \lambda^n \det(u)$.

Exemple

Deux endomorphismes géométriques de $E$ rendent concrète la lecture de $\det(u)$ comme dilatation de volume.

Homothétie. Pour $u = \lambda \, \mathrm{Id}_E$ avec $\lambda \in \mathbb{K}$, par (iii) de la Proposition des propriétés, $\det(u) = \lambda^n$. Lecture géométrique dans $\mathbb{R}^n$ : une homothétie de rapport $\lambda$ dilate tout $n$-volume orienté par $\lambda^n$.
Projecteur sur un sous-espace propre. Si $p \in \mathcal{L}(E)$ est un projecteur sur un sous-espace de dimension $< n$, alors $p$ n'est pas surjective, donc non bijective ; par (ii), $\det(p) = 0$. Lecture géométrique : un projecteur écrase $E$ sur un sous-espace de dimension strictement inférieure, et annule donc tout $n$-volume.

Compétences à pratiquer

Utiliser la multiplicativité et la caractérisation des automorphismes

IV Déterminant d'une matrice carrée

La face matricielle du déterminant. En identifiant une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ avec la famille de ses colonnes dans la base canonique $\mathcal{B}_n$ de $\mathbb{K}^n$, on définit $\det(A) = \det_{\mathcal{B}_n}(C_1, \dots, C_n)$. Elle hérite aussitôt des deux propriétés fondatrices de $\det_{\mathcal{B}_n}$ : elle est $n$-linéaire et alternée par rapport aux colonnes. Le lien avec le déterminant d'endomorphisme est le pont $\det(u) = \det(\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u))$. Le Théorème principal de la section regroupe cinq propriétés : $n$-linéaire alterné par rapport aux colonnes, multiplicativité $\det(AB) = \det(A) \det(B)$, caractérisation de l'inversibilité $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K}) \iff \det(A) \ne 0$, invariance par similitude $\det(P^{-1} A P) = \det(A)$, et $\det(A^T) = \det(A)$ (ce qui rend $\det$ aussi $n$-linéaire alterné par rapport aux lignes). L'interprétation géométrique dans $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$ --- $|\det(A)|$ est l'aire / le volume absolu du parallélogramme / parallélépipède image --- en découle alors dans ces cas spéciaux.

IV.1 Définition et lien avec le déterminant dans une base

On importe la définition de $\det_\mathcal{B}$ aux matrices en lisant $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ comme la famille de ses colonnes dans la base canonique $\mathcal{B}_n$ de $\mathbb{K}^n$. Deux Propositions de transition expriment le scalaire obtenu sous deux formes équivalentes : en termes de la famille des colonnes dans une base (Famille dans une base contre matrice), et en termes d'un endomorphisme via sa matrice représentante (Pont $\det(u) = \det(\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u))$).

Définition — Déterminant d'une matrice carrée

Pour $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ de colonnes $(C_1, \dots, C_n)$ dans la base canonique $\mathcal{B}_n = (E_1, \dots, E_n)$ de $\mathbb{K}^n$, le déterminant de $A$ est le scalaire $$ \det(A) = \det_{\mathcal{B}_n}(C_1, \dots, C_n). $$ De manière équivalente, $\det$ est l'unique application $\mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}$ linéaire par rapport à chaque colonne, alternée en les colonnes, et valant $1$ sur la matrice identité : $\det(I_n) = 1$.

Proposition — Famille dans une base contre matrice

Pour $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$, $\mathcal{B}$ une base de $E$, et $\mathcal{X}$ une famille de $n$ vecteurs de $E$, $$ \textcolor{colorprop}{ \det_\mathcal{B}(\mathcal{X}) = \det\big(\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(\mathcal{X})\big). } $$

Preuve

Soit $A = \mathrm{Mat}_\mathcal{B}(\mathcal{X}) = (C_1, \dots, C_n)$, dont la $j$-ème colonne $C_j \in \mathbb{K}^n$ est le vecteur des coordonnées de $x_j$ dans $\mathcal{B}$. Par définition, $\det(A) = \det_{\mathcal{B}_n}(C_1, \dots, C_n)$. Or l'isomorphisme de coordonnées $E \to \mathbb{K}^n$, $v \mapsto \mathrm{coord}_\mathcal{B}(v)$, envoie $\mathcal{B}$ sur la base canonique $\mathcal{B}_n$ et $x_j$ sur $C_j$. L'application $\mathcal{X} = (x_1, \dots, x_n) \mapsto \det_{\mathcal{B}_n}(\mathrm{coord}_\mathcal{B}(x_1), \dots, \mathrm{coord}_\mathcal{B}(x_n))$ est $n$-linéaire (composée de l'application linéaire de coordonnées avec la forme $n$-linéaire $\det_{\mathcal{B}_n}$), alternée (elle hérite du caractère alterné via l'application injective de coordonnées), et vaut $1$ en $\mathcal{B}$ (car $\mathrm{coord}_\mathcal{B}(\mathcal{B}) = \mathcal{B}_n$ et $\det_{\mathcal{B}_n}(\mathcal{B}_n) = 1$). Par l'unicité de $\det_\mathcal{B}$, cette application est $\det_\mathcal{B}$. En l'évaluant en $\mathcal{X}$ on obtient $\det_\mathcal{B}(\mathcal{X}) = \det_{\mathcal{B}_n}(C_1, \dots, C_n) = \det(A)$.

Proposition — Pont entre déterminant d'endomorphisme et de matrice

Pour tout $u \in \mathcal{L}(E)$ et toute base $\mathcal{B}$ de $E$, $$ \textcolor{colorprop}{ \det(u) = \det\big(\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)\big). } $$

Preuve

Par définition de $\det(u)$ (Définition-Théorème de la section précédente), $\det(u) = \det_\mathcal{B}(u(e_1), \dots, u(e_n))$. La matrice de la famille $(u(e_1), \dots, u(e_n))$ dans la base $\mathcal{B}$ est exactement $\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)$ --- c'est la définition de la matrice d'un endomorphisme. Par la Proposition précédente (Famille dans une base contre matrice), $$ \det_\mathcal{B}(u(e_1), \dots, u(e_n)) = \det\big(\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u(e_1), \dots, u(e_n))\big) = \det\big(\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)\big). $$ D'où $\det(u) = \det\big(\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)\big)$. Conséquence : $\det\big(\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)\big)$ ne dépend pas de $\mathcal{B}$ --- de manière équivalente, deux matrices semblables ont le même déterminant (obtenu également via (iv) du Théorème principal ci-dessous).

Compétences à pratiquer

Définition et lien avec le déterminant dans une base

IV.2 Multiplicativité$\virgule$ transposition et morphisme de groupes

Cette sous-section regroupe les propriétés structurelles du déterminant matriciel :

$n$-linéaire et alterné par rapport aux colonnes (et donc aux lignes, via la transposition) ;
multiplicatif sur les produits ;
invariant par similitude ;
la non-annulation caractérise l'inversibilité.

En langage de groupe, ces propriétés identifient $\det$ comme un morphisme de groupes surjectif $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}^*$. Son noyau est le groupe spécial linéaire $\mathrm{SL}_n(\mathbb{K})$.

Theorem — Propriétés principales du déterminant matriciel

Pour $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$, $\lambda \in \mathbb{K}$ :

(i) Multilinéaire alterné par rapport aux colonnes. $A \mapsto \det(A)$ est $n$-linéaire alterné par rapport aux colonnes de $A$. En particulier, $\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)$.
(ii) Multiplicativité. $\det(AB) = \det(A) \det(B)$.
(iii) Caractérisation de l'inversibilité. $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ si et seulement si $\det(A) \ne 0$. Dans ce cas, $\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}$.
(iv) Invariance par similitude. $\det(P^{-1} A P) = \det(A)$.
(v) Transposition. $\det(A^T) = \det(A)$. En conséquence, $\det$ est aussi $n$-linéaire alterné par rapport aux lignes de $A$.

Preuve

(i) Multilinéaire alterné par rapport aux colonnes. Immédiat depuis la définition : $\det(A) = \det_{\mathcal{B}_n}(C_1, \dots, C_n)$, et $\det_{\mathcal{B}_n}$ est $n$-linéaire alterné. Pour $\lambda A$, chacune des $n$ colonnes est multipliée par $\lambda$, donc par $n$-linéarité $\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)$.
(ii) Multiplicativité. On définit $\varphi \colon (\mathbb{K}^n)^n \to \mathbb{K}$ par $\varphi(C_1, \dots, C_n) = \det_{\mathcal{B}_n}(A C_1, \dots, A C_n)$. L'application $\varphi$ est $n$-linéaire (chaque variable $C_k \mapsto A C_k$ est linéaire, composée avec la forme $n$-linéaire $\det_{\mathcal{B}_n}$) et alternée (si $C_i = C_j$, alors $A C_i = A C_j$ et $\det_{\mathcal{B}_n}$ s'annule sur un argument répété). Par unidimensionnalité (Théorème « Déterminant dans une base », point (3)), $\varphi = \varphi(\mathcal{B}_n) \cdot \det_{\mathcal{B}_n}$. La constante vaut $\varphi(\mathcal{B}_n) = \det_{\mathcal{B}_n}(A E_1, \dots, A E_n) = \det_{\mathcal{B}_n}(\text{colonnes de } A) = \det(A)$, car $A E_i$ est la $i$-ème colonne de $A$. En évaluant $\varphi$ aux colonnes $(B_1, \dots, B_n)$ de $B$ : $$ \det(AB) = \det_{\mathcal{B}_n}(A B_1, \dots, A B_n) = \varphi(B_1, \dots, B_n) = \det(A) \cdot \det_{\mathcal{B}_n}(B_1, \dots, B_n) = \det(A) \det(B). $$
(iii) Caractérisation de l'inversibilité. D'abord $\det(I_n) = \det_{\mathcal{B}_n}(E_1, \dots, E_n) = \det_{\mathcal{B}_n}(\mathcal{B}_n) = 1$, directement par la normalisation de définition --- aucune formule explicite nécessaire. $(\Rightarrow)$ Si $A$ est inversible, $A A^{-1} = I_n$ donne, par (ii), $\det(A) \det(A^{-1}) = \det(I_n) = 1$ ; les deux sont non nuls et $\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}$. $(\Leftarrow)$ Si $\det(A) \ne 0$, les colonnes $C_1, \dots, C_n$ de $A$ vérifient $\det_{\mathcal{B}_n}(C_1, \dots, C_n) \ne 0$, donc par « Caractérisation des bases » elles forment une base de $\mathbb{K}^n$. L'application $X \mapsto A X$ envoie $E_i$ sur $C_i$, donc son image contient une base, donc égale $\mathbb{K}^n$ ; un endomorphisme surjectif d'un espace de dimension finie est bijectif, donc $A$ est inversible.
(iv) Invariance par similitude. Par (ii) et (iii), $$ \det(P^{-1} A P) = \det(P^{-1}) \det(A) \det(P) = \det(P)^{-1} \det(P) \det(A) = \det(A). $$
(v) Transposition. On admet l'identité $\det(A^T) = \det(A)$ comme résultat fondateur (sa démonstration n'est pas exigible à ce niveau). C'est précisément cette invariance par transposition qui autorise le transfert de tout énoncé sur les colonnes aux lignes : $\det$ est $n$-linéaire alterné par rapport aux colonnes de $A^T$ par (i), c'est-à-dire par rapport aux lignes de $A$ ; combiné avec $\det(A) = \det(A^T)$, le déterminant est donc aussi $n$-linéaire alterné par rapport aux lignes de $A$. En particulier tout énoncé sur les colonnes de ce chapitre a un pendant sur les lignes.

Proposition — $\det \colon \mathrm{GL}_n(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}^*$ est un morphisme de groupes surjectif

La restriction $\det \colon \mathrm{GL}_n(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}^*$ est un morphisme de groupes surjectif : pour $A, B \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$, $\det(AB) = \det(A) \det(B)$, $\det(I_n) = 1$, $\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}$, et tout $\lambda \in \mathbb{K}^*$ est le déterminant d'une matrice inversible.

Preuve

La partie morphisme est la restriction de (ii) et (iii) du Théorème principal à $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ : $\det(AB) = \det(A) \det(B)$, $\det(I_n) = 1$, $\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}$. Pour la surjectivité, fixons $\lambda \in \mathbb{K}^*$ et posons $D = \mathrm{diag}(\lambda, 1, \dots, 1)$. Elle est inversible (inverse $\mathrm{diag}(\lambda^{-1}, 1, \dots, 1)$). Ses colonnes sont $(\lambda E_1, E_2, \dots, E_n)$, donc par $n$-linéarité de $\det$ dans la première colonne (point (i) du Théorème principal) on factorise $\lambda$ de la colonne $1$ : $$ \det(D) = \det(\lambda E_1, E_2, \dots, E_n) = \lambda \det(E_1, E_2, \dots, E_n) = \lambda \det(I_n) = \lambda, $$ en utilisant $\det(I_n) = 1$. Aucun résultat général sur le déterminant triangulaire n'est nécessaire. Donc tout $\lambda \in \mathbb{K}^*$ est atteint.

Exemple

$\det(I_n) = 1$. La matrice diagonale $\mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ a déterminant $\lambda_1 \cdots \lambda_n$ (elle est triangulaire, donc son déterminant est le produit de ses coefficients diagonaux). Contre-exemple. $\det$ n'est pas linéaire : en général $\det(A + B) \ne \det(A) + \det(B)$. Contre-exemple en dimension $2$ : $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ont $\det(A) = \det(B) = 0$, pourtant $A + B = I_2$ et $\det(A + B) = 1$.

Compétences à pratiquer

Utiliser la multiplicativité et la transposition

V Calcul des déterminants

On passe maintenant au calcul pratique. Trois classes de techniques couvrent l'essentiel des déterminants rencontrés à ce niveau : opérations élémentaires sur les lignes / colonnes et méthode du pivot, exploitation d'une structure triangulaire, et développement par cofacteurs selon une ligne ou une colonne bien choisie ; le déterminant de Vandermonde en est un quatrième cas classique. Toutes reposent sur la même base --- la définition de $\det$ et ses propriétés structurelles (multilinéarité par lignes / colonnes, caractère alterné, et règle du déterminant triangulaire) --- sans recours à une formule de sommation explicite.

V.1 Effet des opérations élémentaires

Trois opérations élémentaires sur les colonnes (ou symétriquement sur les lignes) de $A$ modifient $\det(A)$ de manière prévisible. En les combinant stratégiquement on amène la matrice sous forme triangulaire, et le déterminant se lit alors comme le produit des coefficients diagonaux.

Proposition — Déterminant et opérations élémentaires

Pour $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, $i \ne j$, $\lambda \in \mathbb{K}$ :

Transvection. L'opération $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ (ou $C_i \leftarrow C_i + \lambda C_j$) ne change pas le déterminant.
Dilatation. L'opération $L_i \leftarrow \lambda L_i$ (ou $C_i \leftarrow \lambda C_i$) multiplie le déterminant par $\lambda$.
Échange. L'opération $L_i \leftrightarrow L_j$ (ou $C_i \leftrightarrow C_j$) multiplie le déterminant par $-1$.

Preuve

Par invariance par transposition (point (v) du Théorème principal ci-dessus), il suffit de traiter les opérations sur les colonnes ; les identités pour les lignes en découlent en appliquant celles des colonnes à $A^T$.

Transvection. Par multilinéarité dans la colonne $i$, $$ \begin{aligned} \det(\dots, C_i + \lambda C_j, \dots, C_j, \dots) &= \det(\dots, C_i, \dots, C_j, \dots) \\ &\quad + \lambda \det(\dots, C_j, \dots, C_j, \dots) && \text{(linéarité en colonne $i$)} \\ &= \det(\dots, C_i, \dots, C_j, \dots) + 0 && \text{(alterné : $C_j$ en double)} \\ &= \det(A). \end{aligned} $$
Dilatation. Par linéarité dans la colonne $i$, $\det(\dots, \lambda C_i, \dots) = \lambda \det(\dots, C_i, \dots) = \lambda \det(A)$.
Échange. Direct par antisymétrie de $\det$ par rapport aux colonnes (Théorème des propriétés (iii) de la première section, héritée par $\det$).

Remarque (dilatation avec $\lambda = 0$). L'identité $\det(\dots, \lambda C_i, \dots) = \lambda \det(A)$ vaut pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$, y compris $\lambda = 0$ (les deux membres s'annulent). Lorsque la dilatation est utilisée comme opération élémentaire réversible dans l'algorithme du pivot de Gauss, en revanche, il faut imposer $\lambda \ne 0$ --- sinon l'opération annule une ligne et n'est plus inversible. L'identité est un énoncé de $n$-linéarité ; l'algorithme impose la contrainte d'inversibilité.

Méthode — Calculer un déterminant par la méthode du pivot

Étape 1. Choisir une ligne ou une colonne avec un maximum de zéros si possible --- ou créer des zéros par une suite de transvections $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ (qui ne changent pas $\det$).
Étape 2. Itérer pour ramener la matrice sous forme triangulaire supérieure ou inférieure.
Étape 3. Lire $\det(A)$ comme le produit des coefficients diagonaux (Proposition du déterminant triangulaire de la sous-section suivante).

Heuristique. Factoriser tout scalaire commun dès qu'il apparaît (il devient un facteur multiplicatif devant le déterminant). Pour des déterminants présentant une symétrie, $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + \dots + C_n$ (ou son analogue par lignes) crée souvent une colonne constante avec un facteur propre.

Exemple

Calculer $\displaystyle\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 10 \end{pmatrix}$ par opérations sur les lignes.

Correction

$$ \begin{aligned} \det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 10 \end{pmatrix} &= \det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -11 \end{pmatrix} && \text{($L_2 \leftarrow L_2 - 4 L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 - 7 L_1$)} \\ &= \det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} && \text{($L_3 \leftarrow L_3 - 2 L_2$)} \\ &= 1 \cdot (-3) \cdot 1 && \text{(triangulaire, produit des coefficients diagonaux)} \\ &= -3. \end{aligned} $$

Compétences à pratiquer

Calculer par la méthode du pivot

V.2 Déterminants triangulaires

Pour une matrice triangulaire, le déterminant est simplement le produit des coefficients diagonaux. C'est précisément pourquoi la méthode du pivot de Gauss calcule les déterminants : on amène la matrice sous forme triangulaire, puis on lit le produit des pivots. On le démontre directement par récurrence, en n'utilisant que la $n$-linéarité et le caractère alterné de $\det$ (on factorise le coefficient diagonal de la première colonne, puis on annule cette colonne par transvections) --- sans énumération de permutations ni développement par cofacteurs.

Proposition — Déterminant triangulaire

Pour $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ triangulaire supérieure (resp.\ triangulaire inférieure), $$ \textcolor{colorprop}{ \det(A) = \prod_{i=1}^{n} a_{ii}. } $$ En particulier le déterminant d'une matrice diagonale est le produit de ses coefficients diagonaux.

Preuve

On traite le cas triangulaire supérieur ; le cas triangulaire inférieur s'en déduit par $\det(A^T) = \det(A)$ (point (v) du Théorème principal), car la transposée d'une matrice triangulaire inférieure est triangulaire supérieure de même diagonale. On n'utilise que les deux propriétés fondatrices de $\det$ --- la $n$-linéarité et le caractère alterné (avec la normalisation $\det(I_n) = 1$) --- et on raisonne par récurrence sur $n$, sans développement par cofacteurs ni mineur. Le cas de base $n = 1$ est $\det\big((a_{11})\big) = a_{11}$. Soit $A = (C_1, \dots, C_n)$ triangulaire supérieure de taille $n \ge 2$, de colonnes $C_j = \sum_{i \le j} a_{ij} E_i$ dans la base canonique $\mathcal{B}_n = (E_1, \dots, E_n)$ de $\mathbb{K}^n$. La première colonne est $C_1 = a_{11} E_1$. Par $n$-linéarité dans la première colonne, on factorise $a_{11}$ : $$ \det(A) = \det(a_{11} E_1, C_2, \dots, C_n) = a_{11} \, \det(E_1, C_2, \dots, C_n). $$ On retranche maintenant à chaque colonne suivante $C_j$ ($j \ge 2$) sa composante en $E_1$, à savoir $a_{1j} E_1$. Chaque opération $C_j \leftarrow C_j - a_{1j} E_1$ est une transvection « ajouter un multiple de la colonne $1$ à la colonne $j$ », qui ne change pas le déterminant : par linéarité dans la colonne $j$ elle ajoute $-a_{1j}\det(E_1, \dots, E_1, \dots)$, terme où $E_1$ apparaît deux fois, donc nul par le caractère alterné. Après ces opérations, chaque colonne $C_j' = C_j - a_{1j} E_1 = \sum_{2 \le i \le j} a_{ij} E_i$ appartient à $\mathrm{span}(E_2, \dots, E_n)$, d'où $$ \det(A) = a_{11} \, \det(E_1, C_2', \dots, C_n'). $$ La famille $(C_2', \dots, C_n')$, lue dans les coordonnées $(E_2, \dots, E_n)$, est exactement une matrice triangulaire supérieure de taille $n - 1$ de diagonale $(a_{22}, \dots, a_{nn})$ ; et $\det(E_1, C_2', \dots, C_n')$ dépend de $(C_2', \dots, C_n')$ de manière $(n-1)$-linéaire et alternée, en valant $1$ en $(E_1, E_2, \dots, E_n)$. Par l'hypothèse de récurrence appliquée à ce bloc de taille $n - 1$, $\det(E_1, C_2', \dots, C_n') = a_{22} \cdots a_{nn}$. D'où $\det(A) = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}$.

Compétences à pratiquer

Calculer des déterminants triangulaires

V.3 Développement par rapport à une ligne ou une colonne

Un déterminant de taille $n$ peut s'exprimer comme une combinaison linéaire signée de déterminants de taille $n - 1$ (les mineurs), via un développement selon une ligne ou une colonne choisie. Il ramène le calcul d'un déterminant $n \times n$ à $n$ déterminants de taille $n - 1$, et est d'autant plus efficace que la ligne ou colonne choisie porte beaucoup de zéros. On admet la formule de développement à ce niveau (sa démonstration n'est pas exigible) et on l'utilise comme outil de calcul.

Définition — Mineur et cofacteur

Pour $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ avec $n \ge 2$ et $i, j \in \llbracket 1, n \rrbracket$ :

le mineur de position $(i, j)$ est $\Delta_{ij}(A) = \det A^{(i, j)}$, où $A^{(i, j)} \in \mathcal{M}_{n-1}(\mathbb{K})$ est la matrice obtenue en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$ de $A$ ;
le cofacteur de position $(i, j)$ est le mineur signé $(-1)^{i+j} \Delta_{ij}(A)$.

Les signes $(-1)^{i+j}$ suivent le damier $\begin{smallmatrix} + & - & + & \cdots \\ - & + & - & \\ + & - & + & \\ \vdots & & & \ddots \end{smallmatrix}$.

Theorem — Développement par rapport à une ligne ou une colonne

Pour $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ avec $n \ge 2$ :

Développement par rapport à la ligne $i$. Pour tout $i \in \llbracket 1, n \rrbracket$, $$ \textcolor{colorprop}{ \det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \, \Delta_{ij}(A). } $$
Développement par rapport à la colonne $j$. Pour tout $j \in \llbracket 1, n \rrbracket$, $$ \textcolor{colorprop}{ \det(A) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \, \Delta_{ij}(A). } $$

Démonstration non exigible. La démonstration n'est pas exigible à ce niveau, on l'admet donc. L'idée, pour le développement selon une colonne : on écrit la $j$-ème colonne $C_j = \sum_i a_{ij} E_i$ et on développe $\det$ par linéarité dans la colonne $j$ ; chaque terme obtenu, après avoir amené son unique coefficient non nul dans le coin supérieur gauche par des échanges de lignes et de colonnes (chacun contribuant un signe $-1$), se réduit à $(-1)^{i+j} a_{ij} \Delta_{ij}(A)$. Le développement selon une ligne se déduit de celui par colonne via $\det(A^T) = \det(A)$.

Méthode — Développer selon une ligne ou colonne bien choisie

Étape 1. Choisir une ligne ou colonne avec un maximum de zéros --- ceci réduit le nombre de cofacteurs non nuls à calculer.
Étape 2. Si aucune ligne / colonne n'a de zéros d'entrée, utiliser la méthode du pivot décrite plus haut pour en créer d'abord.
Étape 3. Pour $n \le 4$, le développement est souvent plus rapide qu'une réduction complète par pivot ; pour $n \ge 5$, on préfèrera le pivot.

Mise en garde. En règle générale, la méthode du pivot donne des résultats sous forme factorisée, souvent plus utile qu'une valeur numérique. On réserve le développement par cofacteurs aux matrices à structure particulière (beaucoup de zéros, récurrence sur la taille, tridiagonale).

Exemple

Calculer $\det\begin{pmatrix} \textcolor{colordef}{1} & 4 & 7 \\ \textcolor{colordef}{2} & 5 & 8 \\ \textcolor{colordef}{3} & 6 & 9 \end{pmatrix}$ par développement selon la première colonne.

Correction

Les coefficients $\textcolor{colordef}{1, 2, 3}$ de la première colonne sortent, chacun multipliant son mineur $2 \times 2$ associé $\textcolor{colorprop}{\det(\cdot)}$. Le schéma des signes pour la colonne $1$ est $+, -, +$ : $$ \begin{aligned} \det\begin{pmatrix} \textcolor{colordef}{1} & 4 & 7 \\ \textcolor{colordef}{2} & 5 & 8 \\ \textcolor{colordef}{3} & 6 & 9 \end{pmatrix} &= \textcolor{colordef}{1} \cdot \textcolor{colorprop}{\det\begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 6 & 9 \end{pmatrix}} - \textcolor{colordef}{2} \cdot \textcolor{colorprop}{\det\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 6 & 9 \end{pmatrix}} + \textcolor{colordef}{3} \cdot \textcolor{colorprop}{\det\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}} && \text{(développement selon la colonne $1$)} \\ &= \textcolor{colordef}{1} \cdot \textcolor{colorprop}{(45 - 48)} - \textcolor{colordef}{2} \cdot \textcolor{colorprop}{(36 - 42)} + \textcolor{colordef}{3} \cdot \textcolor{colorprop}{(32 - 35)} && \text{(Sarrus $2 \times 2$ sur chaque mineur)} \\ &= -3 + 12 - 9 \\ &= 0. \end{aligned} $$ L'annulation reflète que les trois colonnes de la matrice de départ sont liées : $C_3 = 2 C_2 - C_1$.

Exemple

Calculer le même déterminant $\det\begin{pmatrix} 1 & \textcolor{colordef}{4} & 7 \\ 2 & \textcolor{colordef}{5} & 8 \\ 3 & \textcolor{colordef}{6} & 9 \end{pmatrix}$ par développement selon la seconde colonne.

Correction

Les coefficients $\textcolor{colordef}{4, 5, 6}$ de la seconde colonne sortent, chacun multipliant son mineur $2 \times 2$ associé $\textcolor{colorprop}{\det(\cdot)}$. Le schéma des signes pour la colonne $2$ est $-, +, -$ : $$ \begin{aligned} \det\begin{pmatrix} 1 & \textcolor{colordef}{4} & 7 \\ 2 & \textcolor{colordef}{5} & 8 \\ 3 & \textcolor{colordef}{6} & 9 \end{pmatrix} &= -\textcolor{colordef}{4} \cdot \textcolor{colorprop}{\det\begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 3 & 9 \end{pmatrix}} + \textcolor{colordef}{5} \cdot \textcolor{colorprop}{\det\begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 3 & 9 \end{pmatrix}} - \textcolor{colordef}{6} \cdot \textcolor{colorprop}{\det\begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 2 & 8 \end{pmatrix}} && \text{(développement selon la colonne $2$)} \\ &= -\textcolor{colordef}{4} \cdot \textcolor{colorprop}{(18 - 24)} + \textcolor{colordef}{5} \cdot \textcolor{colorprop}{(9 - 21)} - \textcolor{colordef}{6} \cdot \textcolor{colorprop}{(8 - 14)} && \text{(Sarrus $2 \times 2$ sur chaque mineur)} \\ &= -4 \cdot (-6) + 5 \cdot (-12) - 6 \cdot (-6) \\ &= 24 - 60 + 36 \\ &= 0. \end{aligned} $$ Comme attendu, la valeur $0$ est indépendante de la colonne choisie --- les deux développements donnent la même réponse car la matrice est la même. Le choix de la colonne relève uniquement de la commodité de calcul.

Compétences à pratiquer

Développer selon une ligne ou colonne

V.4 Déterminant de Vandermonde

Un déterminant $n \times n$ classique dont la valeur est un produit propre de différences ; il sous-tend l'interpolation polynomiale de Lagrange et apparaît dans de nombreux exercices de synthèse.

Proposition — Déterminant de Vandermonde

Pour $x_1, \dots, x_n \in \mathbb{K}$, $$ \textcolor{colorprop}{ V_n(x_1, \dots, x_n) = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \vdots & & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{pmatrix} = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i). } $$ En particulier, $V_n \ne 0$ si et seulement si $x_1, \dots, x_n$ sont deux à deux distincts.

Preuve

Cas initiaux. $V_1(x_1) = \det(1) = 1$ (produit vide par convention). $V_2(x_1, x_2) = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ x_1 & x_2 \end{pmatrix} = x_2 - x_1$. La récurrence ci-dessous s'arrête en $V_2$.
Cas racines confondues. Si deux des $x_i$ sont égaux, alors la matrice de Vandermonde a deux colonnes égales, donc $V_n = 0$. Le produit de droite contient un facteur $(x_j - x_i) = 0$ pour cette paire, donc l'identité s'écrit $0 = 0$.
Cas racines distinctes. Supposons $x_1, \dots, x_n$ deux à deux distincts. On voit $V_{n+1}(x_1, \dots, x_n, X)$ comme un polynôme en $X$. Par développement selon la dernière colonne, $V_{n+1}$ est de degré $\le n$ en $X$, de coefficient dominant (coefficient de $X^n$) égal à $V_n(x_1, \dots, x_n)$ (le cofacteur en ligne $n+1$, colonne $n+1$ est $V_n(x_1, \dots, x_n)$ avec signe $(-1)^{(n+1)+(n+1)} = 1$). Pour $X \in \{x_1, \dots, x_n\}$ la matrice a deux colonnes égales, donc $V_{n+1} = 0$ --- le polynôme $V_{n+1}(\cdot, X)$ en $X$ a $n$ racines distinctes connues. Par le théorème de factorisation (un polynôme de degré $\le n$ avec $n$ racines distinctes est un multiple scalaire de $\prod(X - x_k)$, le scalaire étant le coefficient dominant), $$ V_{n+1}(x_1, \dots, x_n, X) = V_n(x_1, \dots, x_n) \prod_{k=1}^{n} (X - x_k). $$ On itère jusqu'au cas initial $V_2$ : $V_2(x_1, x_2) = x_2 - x_1$, puis $V_3(x_1, x_2, x_3) = V_2(x_1, x_2)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2) = (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)$, etc. L'expression générale est $V_n = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$.

Méthode — Reconnaître une structure de Vandermonde

Déclencheurs : lignes ou colonnes de la forme $(1, x_j, x_j^2, \dots, x_j^{n-1})$ ; un déterminant de matrice d'interpolation ; un exercice demandant « montrer que des $x_1, \dots, x_n$ distincts rendent la matrice inversible » en interpolation polynomiale de degré $\le n-1$. La formule de Vandermonde ramène le déterminant à un produit de différences --- et le critère d'inversibilité à « deux à deux distincts ».

Exemple

$V_3(1, 2, 3) = (2 - 1)(3 - 1)(3 - 2) = 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2$. Interpolation de Lagrange. Si $x_1, \dots, x_n$ sont deux à deux distincts, le déterminant de Vandermonde est non nul, donc la matrice de Vandermonde est inversible ; pour toutes valeurs prescrites $y_1, \dots, y_n \in \mathbb{K}$ il existe alors un unique polynôme $P \in \mathbb{K}[X]$ de degré $\le n - 1$ vérifiant $P(x_i) = y_i$ pour $i = 1, \dots, n$. C'est le cœur algébrique de l'interpolation de Lagrange, traitée au chapitre Polynômes.

Compétences à pratiquer

Calculer des déterminants de Vandermonde et applications