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Convexité

⌚ ~67 min ▢ 8 blocs ✓ 24 exercices ➣ Prérequis : Dérivabilité, Fonctions réelles : rappels et compléments

La convexité capture, en une seule inégalité, l'idée géométrique d'une courbe située en-dessous de toutes ses cordes. De cette unique définition découle une boîte à outils : caractérisation par croissance des pentes, test par la dérivée ($f'$ croissante ou $f'' \ge 0$), et énoncé dual « graphe au-dessus de ses tangentes » qui produit des inégalités classiques comme $e^x \ge 1 + x$ et $\ln(1+x) \le x$, tandis que l'inégalité de la corde pour une fonction concave fournit des inégalités comme $\sin x \ge 2x/\pi$ sur $[0 \,;\, \pi/2]$. Le chapitre se clôt sur un traitement bref et balisé des points d'inflexion.
On note $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ (éventuellement non borné, ouvert ou fermé). La dualité « concave $\Leftrightarrow$ $-f$ convexe » est énoncée une fois au début et utilisée implicitement ensuite ; les inégalités concaves sont inversées. Les points d'inflexion sont introduits dans la section finale comme critère suffisant pratique.

I Fonctions convexes --- définition et caractérisation par les pentes

L'idée géométrique : une fonction est convexe si son graphe reste en-dessous de toute corde tracée entre deux de ses points. On traduit cela par l'inégalité de la corde, puis on démontre la caractérisation par la monotonie des pentes.

Définition — Fonction convexe et concave

Soit $f : I \to \mathbb{R}$. On dit que $f$ est convexe sur $I$ si $$ \textcolor{colordef}{\forall x, y \in I, \ \forall \lambda \in [0 \,;\, 1], \quad f((1 - \lambda) x + \lambda y) \le (1 - \lambda) f(x) + \lambda f(y)}. $$ On dit que $f$ est concave sur $I$ si $-f$ est convexe sur $I$, ce qui équivaut à $$ \forall x, y \in I, \ \forall \lambda \in [0 \,;\, 1], \quad f((1 - \lambda) x + \lambda y) \ge (1 - \lambda) f(x) + \lambda f(y). $$

Définition — Corde et sécante

Pour $x, y \in I$ avec $x < y$, la corde de $f$ sur $[x \,;\, y]$ est le segment joignant $(x \,;\, f(x))$ et $(y \,;\, f(y))$ dans le plan. La sécante passant par ces deux points est la droite (complète) contenant cette corde.

Figure --- graphes convexe et concave

Côte à côte : une parabole $y = \tfrac{1}{2} x^2$ (convexe, graphe sous la corde entre deux de ses points) et un logarithme translaté $y = \ln x + 0{,}3$ (concave, graphe au-dessus de la corde). Le facteur d'échelle et le décalage sont cosmétiques --- la convexité/concavité est préservée.

Le graphe convexe est sous la corde $AB$ ; le graphe concave est au-dessus de la corde $AB$.

Exemple

La fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = |x|$, est convexe sur $\mathbb{R}$.

Correction

Pour $x, y \in \mathbb{R}$ et $\lambda \in [0 \,;\, 1]$, l'inégalité triangulaire donne $$ |(1 - \lambda) x + \lambda y| \le |(1 - \lambda) x| + |\lambda y| = (1 - \lambda) |x| + \lambda |y|, $$ en utilisant $1 - \lambda \ge 0$ et $\lambda \ge 0$ pour ôter les valeurs absolues sur les scalaires. D'où $f((1 - \lambda) x + \lambda y) \le (1 - \lambda) f(x) + \lambda f(y)$, donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

Proposition — Position du graphe par rapport à une sécante

Soit $f : I \to \mathbb{R}$ convexe sur $I$, et soient $x, y \in I$ avec $x < y$. Alors :

le graphe de $f$ est \textcolor{colorprop}{en-dessous} de la sécante passant par $(x \,;\, f(x))$ et $(y \,;\, f(y))$ sur le segment $[x \,;\, y]$ ;
le graphe de $f$ est \textcolor{colorprop}{au-dessus} de cette même sécante sur $I \setminus [x \,;\, y]$.

Preuve

La sécante a pour équation $L(t) = f(x) + \frac{f(y) - f(x)}{y - x} (t - x)$.

En-dessous sur $[x \,;\, y]$. Pour $t \in [x \,;\, y]$, écrivons $t = (1 - \lambda) x + \lambda y$ avec $\lambda = (t - x)/(y - x) \in [0 \,;\, 1]$. Par convexité (Définition D1.1) : $$ f(t) \le (1 - \lambda) f(x) + \lambda f(y) = L(t). $$
Au-dessus sur $I \setminus [x \,;\, y]$. Soit $t \in I$ avec $t > y$ (le cas $t < x$ est analogue). Posons $\theta = (y - x)/(t - x) \in \,]0 \,;\, 1[$. Alors $$ y = (1 - \theta) x + \theta t, $$ combinaison convexe de $x$ et $t$. Par convexité de $f$, $$ f(y) \le (1 - \theta) f(x) + \theta f(t). $$ D'où $$ f(t) \ge \frac{f(y) - (1 - \theta) f(x)}{\theta}. $$ En substituant $\theta = (y - x)/(t - x)$ et $1 - \theta = (t - y)/(t - x)$ puis en réorganisant : \begin{align*} f(t) &\ge \frac{(t - x) f(y) - (t - y) f(x)}{y - x} && \text{(substitution de $\theta$, $1-\theta$)}
&= f(x) + \frac{f(y) - f(x)}{y - x} (t - x) && \text{(réécriture en forme sécante)}
&= L(t). \end{align*}

Figure --- graphe sous/au-dessus de sa sécante

Le graphe d'une fonction convexe est sous sa sécante sur $[x \,;\, y]$ et au-dessus de la sécante en dehors de $[x \,;\, y]$.

Proposition — Caractérisation par la croissance des pentes

Soit $f : I \to \mathbb{R}$. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) $f$ est convexe sur $I$ ;
(ii) pour tout $a \in I$ et tous $u, v \in I \setminus \{a\}$ avec $u < v$, $$ \textcolor{colorprop}{\frac{f(u) - f(a)}{u - a} \le \frac{f(v) - f(a)}{v - a}}. $$

En particulier dans (ii), $t \mapsto (f(t) - f(a))/(t - a)$ est croissante (au sens large) sur $I \setminus \{a\}$ pour tout $a \in I$.

Preuve

$(i) \Rightarrow (ii)$. Soit $a \in I$ et $u < v$ dans $I \setminus \{a\}$.
- Cas $a < u < v$. Écrivons $u = (1 - \lambda) a + \lambda v$ avec $\lambda = (u - a)/(v - a) \in \,]0 \,;\, 1[$. La convexité donne $$ f(u) \le (1 - \lambda) f(a) + \lambda f(v), $$ soit $f(u) - f(a) \le \lambda (f(v) - f(a))$. En divisant par $u - a = \lambda (v - a) > 0$, on obtient l'inégalité voulue.
- Cas $u < v < a$. Symétrique : écrivons $v = (1 - \mu) u + \mu a$ avec $\mu = (v - u)/(a - u) \in \,]0 \,;\, 1[$. La convexité donne $f(v) \le (1 - \mu) f(u) + \mu f(a)$, équivalent à $f(v) - f(a) \le (1 - \mu)(f(u) - f(a))$. En divisant par $v - a = -(1 - \mu)(a - u) < 0$, l'inégalité s'inverse et donne le résultat.
- Cas $u < a < v$. Écrivons $$ a = (1 - \theta) u + \theta v, \qquad \theta = \frac{a - u}{v - u} \in \,]0 \,;\, 1[. $$ Par convexité, $$ f(a) \le (1 - \theta) f(u) + \theta f(v). $$ Comme $1 - \theta = (v - a)/(v - u)$ et $\theta = (a - u)/(v - u)$, en multipliant par $v - u > 0$ : $$ (v - u) f(a) \le (v - a) f(u) + (a - u) f(v). $$ En réarrangeant, $$ (v - a) (f(a) - f(u)) \le (a - u) (f(v) - f(a)). $$ En divisant par le réel strictement positif $(a - u)(v - a) > 0$ : $$ \frac{f(a) - f(u)}{a - u} \le \frac{f(v) - f(a)}{v - a}. $$ Comme $(f(a) - f(u))/(a - u) = (f(u) - f(a))/(u - a)$, on conclut : $$ \frac{f(u) - f(a)}{u - a} \le \frac{f(v) - f(a)}{v - a}. $$
$(ii) \Rightarrow (i)$. Soient $x < y$ dans $I$ et $\lambda \in \,]0 \,;\, 1[$ ; posons $t = (1 - \lambda) x + \lambda y$, donc $x < t < y$. Appliquons (ii) au point d'ancrage $a = x$ sur la paire $(t, y)$ (tous deux dans $I \setminus \{x\}$, $t < y$) : $$ \frac{f(t) - f(x)}{t - x} \le \frac{f(y) - f(x)}{y - x}. $$ Comme $t - x = \lambda (y - x) > 0$, en multipliant par $t - x$ : $$ f(t) - f(x) \le \lambda (f(y) - f(x)), $$ soit $f(t) \le (1 - \lambda) f(x) + \lambda f(y)$. Les cas $\lambda \in \{0 \,;\, 1\}$ sont immédiats. Donc $f$ est convexe.

Proposition — Inégalité des pentes

Soit $f : I \to \mathbb{R}$ convexe sur $I$, et soient $a, b, c \in I$ avec $a < b < c$. Alors $$ \textcolor{colorprop}{\frac{f(b) - f(a)}{b - a} \le \frac{f(c) - f(a)}{c - a} \le \frac{f(c) - f(b)}{c - b}}. $$

Preuve

L'inégalité de gauche est la Proposition P1.2 (monotonie des pentes) appliquée au point d'ancrage $a$ avec $u = b < c = v$. L'inégalité de droite est P1.2 appliquée au point d'ancrage $c$ avec $u = a < b = v$ (pentes orientées depuis $c$) : $$ \frac{f(a) - f(c)}{a - c} \le \frac{f(b) - f(c)}{b - c}, $$ ce qui équivaut à l'inégalité voulue après multiplication de chaque côté par $-1$ au numérateur et au dénominateur.

Remarque --- continuité sur un intervalle ouvert

Une fonction convexe sur un intervalle ouvert est continue. Ce théorème utile est admis ici.
(La preuve s'appuie sur la caractérisation par les pentes P1.2 et le théorème de la limite monotone de Limites et continuité.)

Compétences à pratiquer

Établir la convexité à partir de la définition par cordes
Utiliser la caractérisation par les pentes

II Fonctions convexes dérivables

Lorsque $f$ est (deux fois) dérivable, la convexité admet des caractérisations « au niveau de la dérivée » : $f$ convexe $\Leftrightarrow$ $f'$ croissante (au sens large) $\Leftrightarrow$ graphe au-dessus de ses tangentes. La version $C^2$ --- $f$ convexe $\Leftrightarrow$ $f'' \ge 0$ --- donne le test opérationnel utilisé partout. L'inégalité de la tangente est le moteur des bornes classiques $e^x \ge 1 + x$, $\ln(1+x) \le x$, $\sin x \le x$ et $\sqrt{x} \le (x+1)/2$.
Convention de dérivation. Dans les énoncés faisant intervenir les dérivées ci-dessous, soit $I$ est ouvert, soit les assertions contenant $f'(a)$ sont lues pour les points intérieurs $a \in \mathring{I}$. Lorsqu'un point de bord est utilisé dans un exemple, la fonction est vue comme la restriction d'une fonction dérivable sur un intervalle ouvert plus grand.

Theorem — Caractérisation des fonctions convexes dérivables

Soit $f : I \to \mathbb{R}$ dérivable sur $I$. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) $f$ est convexe sur $I$ ;
(ii) $f'$ est croissante (au sens large) sur $I$ ;
(iii) pour tout $a \in I$ et tout $x \in I$, $\textcolor{colorprop}{f(x) \ge f(a) + f'(a)(x - a)}$ (le graphe de $f$ est au-dessus de toutes ses tangentes).

Preuve

Démonstration cyclique $(i) \Rightarrow (ii) \Rightarrow (iii) \Rightarrow (i)$.

$(i) \Rightarrow (ii)$. Soient $u < v$ dans $I$. Pour tout $w \in \,]u \,;\, v[$, l'inégalité des pentes P1.3 appliquée à $u < w < v$ donne $$ \frac{f(w) - f(u)}{w - u} \le \frac{f(v) - f(u)}{v - u} \le \frac{f(v) - f(w)}{v - w}. $$ Quand $w \to u^+$, l'inégalité de gauche donne $$ f'(u) \le \frac{f(v) - f(u)}{v - u}. $$ Quand $w \to v^-$, l'inégalité de droite donne $$ \frac{f(v) - f(u)}{v - u} \le f'(v). $$ En chaînant : $f'(u) \le f'(v)$. Donc $f'$ est croissante au sens large.
$(ii) \Rightarrow (iii)$. Soit $a \in I$ et $x \in I$. Posons $\varphi(t) := f(t) - f(a) - f'(a)(t - a)$ pour $t \in I$. Alors $\varphi$ est dérivable sur $I$ avec $\varphi'(t) = f'(t) - f'(a)$. Comme $f'$ est croissante (hypothèse ii), $\varphi'(t) \le 0$ pour $t \le a$ et $\varphi'(t) \ge 0$ pour $t \ge a$. Par le théorème signe de $f'$ $\Leftrightarrow$ monotonie de Dérivabilité P5.1, $\varphi$ est décroissante sur $I \cap \,]-\infty \,;\, a]$ et croissante sur $I \cap [a \,;\, +\infty[$. Avec $\varphi(a) = 0$, on obtient $\varphi(t) \ge 0$ pour tout $t \in I$, soit $f(t) \ge f(a) + f'(a)(t - a)$.
$(iii) \Rightarrow (i)$. Soient $x, y \in I$ et $\lambda \in [0 \,;\, 1]$ ; posons $a := (1 - \lambda) x + \lambda y \in I$. Par (iii) appliquée en $a$ aux points $t = x$ et $t = y$ : $$ f(x) \ge f(a) + f'(a)(x - a), \qquad f(y) \ge f(a) + f'(a)(y - a). $$ Multiplions la première par $1 - \lambda \ge 0$, la seconde par $\lambda \ge 0$, et sommons. Les coefficients de $f'(a)$ donnent $$ (1 - \lambda)(x - a) + \lambda (y - a) = (1 - \lambda) x + \lambda y - a = 0, $$ donc $f'(a)$ disparaît. On obtient $$ (1 - \lambda) f(x) + \lambda f(y) \ge f(a) = f((1 - \lambda) x + \lambda y), $$ qui est l'inégalité de convexité D1.1. Donc $f$ est convexe.

Figure --- graphe au-dessus de ses tangentes

Une fonction convexe dérivable : en tout point, la tangente est sous la courbe.

Remarque --- énoncé dual pour les concaves

Pour $f$ concave dérivable, les inégalités s'inversent. En particulier, le graphe de $f$ est sous chacune de ses tangentes : $$ \forall a, x \in I, \qquad f(x) \le f(a) + f'(a)(x - a). $$ C'est le moteur des bornes $\ln(1+x) \le x$, $\sqrt{x} \le (x+1)/2$ et $\sin x \le x$ démontrées plus bas.

Proposition — Caractérisation $C^2$ de la convexité

Soit $f \in C^2(I, \mathbb{R})$. Alors $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $$ \textcolor{colorprop}{\forall x \in I, \quad f''(x) \ge 0}. $$ Par dualité, $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f''(x) \le 0$ pour tout $x \in I$.

Preuve

Par le Théorème T2.1, $f$ convexe $\Leftrightarrow$ $f'$ croissante sur $I$. Par le théorème signe de $f'$ $\Leftrightarrow$ monotonie appliqué à $g = f'$ (dérivable car $f \in C^2$) : $g = f'$ croissante sur $I$ $\Leftrightarrow$ $g' = f'' \ge 0$ sur $I$ (Dérivabilité, P5.1). En composant les deux équivalences, on obtient le résultat. Le cas concave en découle en remplaçant $f$ par $-f$.

Méthode — Montrer que $f$ est convexe (ou concave) à partir de $f''$

Soit $f$ de classe au moins $C^2$ sur $I$ :

Calculer $f''$ explicitement.
Étudier le signe de $f''$ sur $I$ (factorisation, signes connus, monotonie).
Conclure par P2.1 : $f''(x) \ge 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ convexe ; $f''(x) \le 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ concave.

Attention. La conclusion exige un signe qui tient sur tout l'intervalle $I$. Si $f''$ change de signe, $f$ est convexe sur le sous-intervalle où $f'' \ge 0$ et concave sur le sous-intervalle où $f'' \le 0$ --- elle n'est ni l'une ni l'autre sur $I$ tout entier.

Exemple

$\exp$ est convexe sur $\mathbb{R}$. En déduire que $e^x \ge 1 + x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Correction

$\exp$ est $C^2$ sur $\mathbb{R}$ avec $(\exp)''(x) = e^x > 0$, donc par P2.1, $\exp$ est convexe sur $\mathbb{R}$. La tangente de $\exp$ en $a = 0$ est la droite $y = 1 + x$. Par T2.1(iii) en $a = 0$ : $$ e^x \ge e^0 + e^0 (x - 0) = 1 + x \qquad (x \in \mathbb{R}). $$

Exemple

$\ln$ est concave sur $\mathbb{R}_+^*$. En déduire $\ln(1 + x) \le x$ pour $x > -1$, et $\ln x \le x - 1$ pour $x > 0$.

Correction

$\ln$ est $C^2$ sur $\mathbb{R}_+^*$ avec $(\ln)''(x) = -1/x^2 < 0$, donc par P2.1 (cas concave), $\ln$ est concave sur $\mathbb{R}_+^*$. Appliquons l'inégalité de la tangente côté concave :

En $a = 1$ : $(\ln)(1) = 0$, $(\ln)'(1) = 1$, donc la tangente est $y = x - 1$. D'où $\ln x \le x - 1$ pour $x > 0$.
En posant $u = 1 + x$ (donc $u > 0$ ssi $x > -1$) dans le précédent : $\ln(1 + x) \le (1 + x) - 1 = x$ pour $x > -1$.

Exemple

$\sin$ est concave sur $[0 \,;\, \pi/2]$. En déduire les deux inégalités $\sin x \ge \dfrac{2 x}{\pi}$ et $\sin x \le x$, valides pour $x \in [0 \,;\, \pi/2]$.

Correction

$\sin$ est $C^2$ sur $[0 \,;\, \pi/2]$ avec $(\sin)''(x) = -\sin x \le 0$ sur cet intervalle, donc par P2.1 (cas concave), $\sin$ est concave sur $[0 \,;\, \pi/2]$. Les deux inégalités proviennent de deux faits géométriques distincts :

Règle au-dessus de la corde (version concave de P1.1). Sur $[0 \,;\, \pi/2]$, le graphe de $\sin$ est au-dessus de sa corde entre $(0 \,;\, 0)$ et $(\pi/2 \,;\, 1)$. Cette corde a pour équation $y = (2/\pi) x$, d'où $$ \sin x \ge \frac{2 x}{\pi} \qquad (x \in [0 \,;\, \pi/2]). $$
Règle sous la tangente (dual concave de T2.1(iii)). La tangente en $a = 0$ est $y = (\sin)(0) + (\sin)'(0) (x - 0) = x$. Donc $$ \sin x \le x \qquad (x \in [0 \,;\, \pi/2]). $$

L'inégalité $\sin x \le x$ vaut en fait pour tout $x \ge 0$ : la fonction $h(x) = x - \sin x$ vérifie $h(0) = 0$ et $h'(x) = 1 - \cos x \ge 0$ sur $\mathbb{R}$, donc $h$ est croissante (au sens large) sur $\mathbb{R}_+$, d'où $h(x) \ge h(0) = 0$ pour tout $x \ge 0$.

Méthode — Borner une expression numérique par une inégalité de convexité

Pour démontrer une borne de la forme $f(x) \ge L(x)$ (ou $\le$, dans le cas concave) où $L$ est affine :

Identifier une fonction $f$ pour laquelle la borne est l'inégalité de la tangente (ou de la corde) en un point précis $a$.
Vérifier que $f$ est convexe (ou concave) sur l'intervalle pertinent par le signe de $f''$ via P2.1.
Calculer $f(a)$ et $f'(a)$ ; vérifier que $L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$ est bien la borne affine cible.
Conclure par T2.1(iii) pour le cas tangente, ou par P1.1 / règle de la corde pour le cas corde.

Reconnaître l'ancrage. Le point d'ancrage $a$ est celui où la borne est exacte (égalité). Pour $e^x \ge 1 + x$ : $a = 0$ ; pour $\ln x \le x - 1$ : $a = 1$ ; pour $\sqrt{x} \le (x+1)/2$ : $a = 1$.

Exemple

Montrer que $\sqrt{x} \le \dfrac{x + 1}{2}$ pour tout $x \ge 0$.

Correction

La fonction $g(x) = \sqrt{x}$ est $C^2$ sur $\mathbb{R}_+^*$ avec $g''(x) = -\frac{1}{4} x^{-3/2} < 0$. Par P2.1 (cas concave), $g$ est concave sur $\mathbb{R}_+^*$. Appliquons l'inégalité de la tangente côté concave en $a = 1$ : $g(1) = 1$, $g'(1) = 1/2$, donc la tangente est $y = 1 + \frac{1}{2}(x - 1) = (x + 1)/2$. D'où $$ \sqrt{x} \le \frac{x + 1}{2} \qquad (x > 0). $$ En $x = 0$, l'inégalité devient $0 \le 1/2$, vraie. Par continuité de $g$ en $0$ (ou par calcul direct), l'inégalité s'étend à $x \ge 0$.

Remarque --- convexité stricte

Une fonction $f : I \to \mathbb{R}$ est strictement convexe sur $I$ si, pour tout $x \ne y$ dans $I$ et tout $\lambda \in \,]0 \,;\, 1[$, $f((1 - \lambda) x + \lambda y) < (1 - \lambda) f(x) + \lambda f(y)$ (inégalité stricte). Pour les fonctions dérivables, $f'$ strictement croissante sur $I$ entraîne $f$ strictement convexe. Pour $f \in C^2$, la condition $f'' > 0$ sur $I$ est suffisante mais non nécessaire --- la fonction $x \mapsto x^4$ est strictement convexe sur $\mathbb{R}$ mais $f''(0) = 0$.

Compétences à pratiquer

Montrer la convexité à partir de $f''$
Borner une expression numérique par convexité
Étudier la position du graphe par rapport à une tangente

III Points d'inflexion

Les points d'inflexion ne sont pas explicitement listés au programme, mais ils sont conventionnels et découlent naturellement de la caractérisation $C^2$ vue à la section précédente sur la caractérisation par $f''$. On se restreint à un critère suffisant pratique sûr : un changement de signe de $f''$ garantit une inflexion. La réciproque (« $f''(a) = 0$ suffit ») est fausse --- piège signalé plus bas.

Définition — Point d'inflexion

Soient $f : I \to \mathbb{R}$ et $a$ un point intérieur de $I$. On dit que $f$ admet un point d'inflexion en $a$ s'il existe $\eta > 0$ tel que $[a - \eta \,;\, a + \eta] \subset I$, $f$ n'est affine sur aucun voisinage de $a$, et l'une des deux situations suivantes a lieu :

$f$ est convexe sur $[a - \eta \,;\, a]$ et concave sur $[a \,;\, a + \eta]$, ou
$f$ est concave sur $[a - \eta \,;\, a]$ et convexe sur $[a \,;\, a + \eta]$.

La condition de non-affinité force le caractère convexe/concave de $f$ à changer effectivement en $a$ : sans elle, tout point d'une fonction affine serait qualifié (une fonction affine étant à la fois convexe et concave sur tout intervalle).

Proposition — Critère suffisant pratique

Soient $f \in C^2(I, \mathbb{R})$ et $a$ un point intérieur de $I$. Si $f''$ change de signe en $a$ (c'est-à-dire qu'il existe $\eta > 0$ tel que $f''(x)$ ait un signe sur $[a - \eta \,;\, a]$ et le signe opposé sur $[a \,;\, a + \eta]$), alors $f$ admet un point d'inflexion en $a$. En particulier, par continuité de $f''$, $\textcolor{colorprop}{f''(a) = 0}$.

Preuve

Par P2.1, $f$ est convexe sur le sous-intervalle où $f'' \ge 0$ et concave sur le sous-intervalle où $f'' \le 0$. Comme $f''$ change de signe au passage de $a$, on retrouve exactement l'un des deux scénarios de la Définition D3.1. La continuité de $f''$ en $a$ (car $f \in C^2$) impose $f''(a) = 0$ au passage.

Piège --- $f''(a) \equal 0$ ne suffit pas

Pour une fonction $C^2$ vérifiant la définition par transition convexe/concave ci-dessus, $f''(a) = 0$ est nécessaire mais non suffisante. Le contre-exemple standard est $f(x) = x^4$ en $a = 0$ : $f''(x) = 12 x^2$ s'annule en $0$ mais reste positif partout, donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ tout entier --- pas de transition convexe/concave, donc pas de point d'inflexion. La fiche d'exercices reprend ce piège explicitement.

Méthode — Trouver les points d'inflexion d'une fonction

Soit $f$ de classe au moins $C^2$ sur $I$ :

Calculer $f''$ explicitement sur $I$.
Résoudre $f''(x) = 0$ pour obtenir l'ensemble des candidats $\{a_1, a_2, \dots\}$.
Pour chaque candidat $a_i$, étudier le signe de $f''$ au voisinage de $a_i$ et vérifier s'il change de signe en $a_i$.
Conclure par P3.1 : tout candidat où $f''$ change de signe donne un point d'inflexion ; les candidats où le signe ne change pas sont éliminés dans le cadre usuel $C^2$.

Éliminer les candidats sans changement de signe. Un zéro de $f''$ où le signe ne change pas (par exemple un zéro double de $f''$) n'est pas un point d'inflexion. L'exemple $x^4$ ci-dessus en est l'illustration canonique.

Exemple

Trouver tous les points d'inflexion de la cubique $f(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d$ avec $a \ne 0$.

Correction

$f$ est polynomiale, donc $C^\infty(\mathbb{R})$. Calculons : $$ \begin{aligned} f'(x) &= 3 a x^2 + 2 b x + c, \\ f''(x) &= 6 a x + 2 b. \end{aligned} $$ $f''$ est affine de pente $6 a \ne 0$, donc s'annule en un unique point : $$ f''(x) = 0 \iff x = -\frac{b}{3 a}. $$ De part et d'autre de $-b/(3a)$, $f''$ prend des signes opposés (une fonction affine de pente non nulle change de signe à son unique zéro). Par P3.1, $f$ admet un unique point d'inflexion en $x = -b/(3a)$.

Figure --- cubique et son point d'inflexion

La cubique $f(x) = x^3 - 3 x$ vérifie $f''(x) = 6 x$, donc l'unique point d'inflexion est en $x = 0$. Le graphe est concave sur $]-\infty \,;\, 0]$ et convexe sur $[0 \,;\, +\infty[$.

Compétences à pratiquer

Trouver les points d'inflexion
Étudier la courbe à l'aide de $f''$
Contre-exemples aux conditions suffisantes trop fortes