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Nombres complexes

⌚ ~115 min ▢ 14 blocs ✓ 74 exercices ➣ Prérequis : Nombres complexes : approche algébrique, Nombres complexes : approche géométrique

L'équation $x^2 = -1$ n'a pas de solution réelle : dans $\mathbb{R}$, tout carré est positif ou nul. L'histoire des nombres complexes est celle de l'insistance --- contre cet obstacle --- qu'une telle équation devrait avoir une solution, puis du suivi des conséquences. On admet l'existence d'un ensemble $\mathbb{C}$ contenant $\mathbb{R}$, muni d'un élément $i$ tel que $i^2 = -1$, dans lequel tout élément s'écrit de manière unique sous la forme $a + ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$, et sur lequel addition et multiplication prolongent celles de $\mathbb{R}$. (La construction de $\mathbb{C}$ à partir de $\mathbb{R}^2$ est hors programme ; on utilise cet ensemble comme une donnée.)
La réponse est $\mathbb{C}$, le corps des nombres complexes. Tout $z \in \mathbb{C}$ s'écrit uniquement $z = a + ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$ : ainsi $\mathbb{C}$, en tant qu'ensemble, est une copie du plan $\mathbb{R}^2$. Mais $\mathbb{C}$ est bien davantage : c'est un corps, la structure algébrique de $\mathbb{R}$ enrichie d'une multiplication chargée d'un sens géométrique. Multiplier par $e^{i\theta}$, c'est tourner d'un angle $\theta$ autour de l'origine ; multiplier par un réel positif, c'est dilater. Ensemble, ces deux opérations codent les similitudes directes du plan.
Le plan se déroule en quatre mouvements. On commence par poser la machine algébrique : forme algébrique $a+ib$, conjugué $\conjugate{z}$, module $|z|$, inégalité triangulaire. On introduit ensuite la forme trigonométrique $z = \rho\, e^{i\theta}$, les formules de Moivre et d'Euler, l'exponentielle complexe. On résout alors des équations : racines carrées, équation du second degré dans $\mathbb{C}$, racines $n$-ièmes de l'unité. On encaisse enfin la géométrie : affixes, alignements, orthogonalité, similitudes directes $z \mapsto az + b$.
Un fil rouge : algèbre et géométrie sont les deux faces d'une même pièce. Toute identité algébrique sur $\mathbb{C}$ est un énoncé géométrique sur le plan ; tout mouvement géométrique est une opération algébrique sur un nombre complexe. Une fois ce pont posé, les problèmes d'un côté deviennent des outils de l'autre.

I Le corps $\mathbb{C}$ et ses premiers invariants

On commence par poser les quatre objets sur lesquels tout reposera : la forme algébrique $a+ib$, le conjugué, le module et l'inégalité triangulaire. Chacun est défini par une formule algébrique d'une ligne et une lecture géométrique d'une ligne. Prenez le temps d'intérioriser les deux faces --- c'est le bénéfice principal du chapitre.

I.1 Forme algébrique$\virgule$ parties réelle et imaginaire

On adjoint à $\mathbb{R}$ un nouveau symbole $i$ vérifiant $i^2 = -1$, et l'on considère l'ensemble des $a+ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$. Addition et multiplication sont étendues depuis $\mathbb{R}$ de la manière naturelle --- distributivité, associativité, commutativité --- avec l'unique nouvelle règle $i \cdot i = -1$. L'ensemble obtenu est noté $\mathbb{C}$ ; l'écriture $a+ib$ se révèle unique : chaque nombre complexe correspond à exactement un couple $(a, b)$.

Définition — L'ensemble $\mathbb{C}$ et la forme algébrique

L'ensemble des nombres complexes est $$ \mathbb{C} = \{ a + ib \ \mid \ a, b \in \mathbb{R} \} $$ où $i$ est un symbole vérifiant $\textcolor{colordef}{i^2 = -1}$.
L'addition et la multiplication sont définies, pour $a, b, c, d \in \mathbb{R}$, par $$ (a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d) \qquad (a+ib)(c+id) = (ac - bd) + i(ad + bc). $$
Pour $z = a + ib$, l'écriture $a+ib$ est la forme algébrique (ou forme cartésienne) de $z$.
$a$ est la partie réelle de $z$, notée $\textcolor{colordef}{\operatorname{Re}(z)}$ ;
$b$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\textcolor{colordef}{\operatorname{Im}(z)}$.

$\operatorname{Re}(z)$ et $\operatorname{Im}(z)$ sont tous deux des nombres réels.

Les identités algébriques usuelles s'étendent telles quelles à $\mathbb{C}$ : la somme géométrique $\sum_{k=0}^{n} z^k = \frac{1 - z^{n+1}}{1 - z}$ pour $z \ne 1$, la factorisation $a^n - b^n = (a - b)\sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{\,n-1-k}$, et la formule du binôme $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{\,n-k}$ valent pour $a, b, z$ complexes --- leurs preuves n'utilisaient que les axiomes d'anneau commutatif, que $\mathbb{C}$ vérifie.

Exemple

Pour $z = 3 + 2i$ et $w = 1 - i$ : $$ z + w = 4 + i \qquad z\cdot w = (3 + 2i)(1 - i) = 3 - 3i + 2i - 2i^2 = 5 - i. $$ Les parties réelle et imaginaire se lisent directement : $\operatorname{Re}(z) = 3$, $\operatorname{Im}(z) = 2$.

Exemple

Un imaginaire pur est un $z$ tel que $\operatorname{Re}(z) = 0$, c'est-à-dire de la forme $z = ib$. Exemples : $i$, $-3i$, $i\pi$. Réciproquement, un nombre réel $a$ correspond au cas $b = 0$, ce qui donne $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$.

Proposition — Égalité et unicité de la forme algébrique

Pour $z = a+ib$ et $w = c+id$ dans $\mathbb{C}$ avec $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ : $$ z = w \ \iff \ a = c \ \text{et} \ b = d. $$ En particulier, l'écriture $a+ib$ de $z \in \mathbb{C}$ est unique : $\operatorname{Re}(z)$ et $\operatorname{Im}(z)$ sont bien définies.

Preuve

$z = w$ se réécrit $(a-c) + i(b-d) = 0$. On veut montrer $a = c$ et $b = d$. Supposons $b \ne d$ : alors $i = (c-a)/(b-d)$ serait un nombre réel. Or $i^2 = -1 < 0$, alors que tout carré réel est positif --- contradiction. Donc $b = d$, puis $a - c = 0$, soit $a = c$. La réciproque est immédiate.

Exemple

Le nombre complexe $z = a + ib$ est identifié au point du plan de coordonnées $(a \,;\, b)$. L'axe horizontal porte les nombres réels $\mathbb{R}$ ; l'axe vertical porte les imaginaires purs $i\mathbb{R}$. Cette identification s'appelle le plan d'Argand.

Méthode — Calculer la forme algébrique d'un quotient

Pour mettre $z = (a+ib)/(c+id)$ avec $c+id \ne 0$ sous forme algébrique, on multiplie numérateur et dénominateur par $c - id$ : $$ \frac{a+ib}{c+id} = \frac{(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)} = \frac{(ac+bd) + i(bc - ad)}{c^2 + d^2}. $$ Le dénominateur devient le réel $c^2 + d^2$, et le numérateur se développe par distributivité. Cette astuce reviendra constamment.

Exemple

Calculer $\dfrac{1+i}{1-i}$ sous forme algébrique.

Correction

$$ \frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{2i}{2} = i. $$ Le quotient vaut donc l'imaginaire pur $i$.

Compétences à pratiquer

Calculer en forme algébrique

I.2 Conjugué

Le conjugué est la plus simple des transformations complexes : changer le signe de la partie imaginaire. Algébriquement, c'est une définition d'une ligne ; géométriquement, c'est la réflexion par rapport à l'axe réel. Sa propriété clef est d'être compatible avec l'addition et la multiplication : $\overline{z+w} = \bar z + \bar w$ et $\overline{zw} = \bar z \cdot \bar w$. De ce seul fait découleront presque toutes les manipulations algébriques d'expressions complexes. (On verra plus tard, au chapitre des structures algébriques, que cela fait de la conjugaison un automorphisme de corps.)

Définition — Conjugué

Pour $z = a + ib \in \mathbb{C}$ avec $a, b \in \mathbb{R}$, le conjugué de $z$ est $$ \textcolor{colordef}{\conjugate{z}} = a - ib. $$ Autrement dit, la conjugaison change le signe de la partie imaginaire.

Exemple

$\conjugate{3 + 2i} = 3 - 2i$.
$\conjugate{-1 + i\sqrt{3}} = -1 - i\sqrt{3}$.
$\conjugate{5} = 5$ (un réel est son propre conjugué).
$\conjugate{i} = -i$ (un imaginaire pur change de signe).

Exemple

Le point $\conjugate{z}$ est l'image de $z$ par la réflexion d'axe réel.

Proposition — Propriétés algébriques du conjugué

Pour tous $z, w \in \mathbb{C}$ :

$\textcolor{colorprop}{\conjugate{\conjugate{z}} = z}$ (involution).
$\textcolor{colorprop}{\conjugate{z + w} = \conjugate{z} + \conjugate{w}}$.
$\textcolor{colorprop}{\conjugate{z \cdot w} = \conjugate{z} \cdot \conjugate{w}}$.
Si $w \ne 0$, $\textcolor{colorprop}{\conjugate{1/w} = 1/\conjugate{w}}$ et $\textcolor{colorprop}{\conjugate{z/w} = \conjugate{z}/\conjugate{w}}$.
Pour tout $n \in \mathbb{Z}$ (avec $z \ne 0$ si $n < 0$), $\textcolor{colorprop}{\conjugate{z^n} = \conjugate{z}^n}$.

Preuve

Écrivons $z = a + ib$ et $w = c + id$ avec $a, b, c, d \in \mathbb{R}$.

Involution. $\conjugate{\conjugate{z}} = \conjugate{a - ib} = a + ib = z$.
Addition. $\conjugate{z+w} = \conjugate{(a+c) + i(b+d)} = (a+c) - i(b+d) = (a-ib) + (c-id) = \conjugate{z} + \conjugate{w}$.
Multiplication. $z\cdot w = (ac - bd) + i(ad+bc)$, donc $\conjugate{zw} = (ac-bd) - i(ad+bc)$. Par ailleurs $\conjugate{z}\conjugate{w} = (a-ib)(c-id) = (ac - bd) - i(ad+bc)$. Les deux coïncident.
Inverse. Pour $w \ne 0$, $w \cdot (1/w) = 1$, donc $\conjugate{w}\cdot \conjugate{1/w} = \conjugate{1} = 1$, d'où $\conjugate{1/w} = 1/\conjugate{w}$. Le cas du quotient s'en déduit.
Puissance. Pour $n \ge 0$ par récurrence ; pour $n < 0$, on applique la règle de l'inverse à $z^{-n}$.

Proposition — Parties réelle et imaginaire ; caractérisation réel/imaginaire pur

Pour tout $z \in \mathbb{C}$ : $$ \textcolor{colorprop}{\operatorname{Re}(z) = \frac{z + \conjugate{z}}{2}} \qquad \textcolor{colorprop}{\operatorname{Im}(z) = \frac{z - \conjugate{z}}{2i}}. $$ On en déduit : $$ \textcolor{colorprop}{z \in \mathbb{R} \ \iff \ \conjugate{z} = z} \qquad \textcolor{colorprop}{z \in i\mathbb{R} \ \iff \ \conjugate{z} = -z}. $$

Preuve

Avec $z = a + ib$, $z + \conjugate{z} = 2a$ et $z - \conjugate{z} = 2ib$, d'où les deux formules. Les deux équivalences s'en déduisent grâce à $\operatorname{Im}(z) = 0 \iff z \in \mathbb{R}$ et $\operatorname{Re}(z) = 0 \iff z \in i\mathbb{R}$.

Exemple

Montrer que pour tout $z \in \mathbb{C}$, $z\conjugate{z}$ est un nombre réel positif.

Correction

Avec $z = a + ib$ $$ z\conjugate{z} = (a+ib)(a-ib) = a^2 - (ib)^2 = a^2 + b^2 \ge 0. $$ Cette identité sera la clef de voûte de la sous-section suivante.

Compétences à pratiquer

Manipuler des conjugués

I.3 Module

Le module d'un nombre complexe est sa distance à l'origine dans le plan d'Argand. Algébriquement, c'est $\sqrt{a^2 + b^2}$, la longueur pythagoricienne de $(a \,;\, b)$. Conjointement au conjugué, il vérifie l'identité maîtresse $z\conjugate{z} = |z|^2$ --- moteur de la plupart des calculs sur $|\cdot|$.

Définition — Module

Pour $z = a + ib \in \mathbb{C}$ avec $a, b \in \mathbb{R}$, le module de $z$ est le réel positif $$ \textcolor{colordef}{|z|} = \sqrt{a^2 + b^2}. $$ Pour $z \in \mathbb{R}$, $|z|$ coïncide avec la valeur absolue, ce qui justifie la même notation.

Exemple

$|3 + 4i| = \sqrt{9 + 16} = 5$.
$|-1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{1 + 3} = 2$.
$|i| = 1$.
$|0| = 0$.

Exemple

Le module est la longueur du vecteur de l'origine au point $z$ --- la diagonale pythagoricienne du rectangle de côtés $|\operatorname{Re}(z)|$ et $|\operatorname{Im}(z)|$.

Proposition — Identité maîtresse et propriétés de base

Pour tous $z, w \in \mathbb{C}$ :

$\textcolor{colorprop}{|z|^2 = z \conjugate{z}}$ (identité maîtresse).
$\textcolor{colorprop}{|z| \ge 0}$ et $\textcolor{colorprop}{|z| = 0 \iff z = 0}$.
$\textcolor{colorprop}{|\conjugate{z}| = |z|}$, $\textcolor{colorprop}{|-z| = |z|}$.
$\textcolor{colorprop}{|z\,w| = |z|\cdot|w|}$ (multiplicativité).
Si $w \ne 0$, $\textcolor{colorprop}{|z/w| = |z|/|w|}$.
Pour tout $n \in \mathbb{Z}$ (avec $z \ne 0$ si $n < 0$), $\textcolor{colorprop}{|z^n| = |z|^n}$.
$\textcolor{colorprop}{|\operatorname{Re}(z)| \le |z|}$ et $\textcolor{colorprop}{|\operatorname{Im}(z)| \le |z|}$.

Preuve

Identité maîtresse. Pour $z = a+ib$, $z\conjugate{z} = a^2 + b^2 = |z|^2$.
Positivité et séparation. $|z| = \sqrt{a^2+b^2} \ge 0$, avec égalité ssi $a = b = 0$ ssi $z = 0$.
Conjugué et opposé. $|\conjugate{z}|^2 = a^2 + b^2 = |z|^2$ ; idem pour $-z$.
Multiplicativité. $|zw|^2 = (zw)\conjugate{zw} = z\conjugate{z}\cdot w\conjugate{w} = |z|^2|w|^2$. La racine carrée donne $|zw| = |z||w|$.
Quotient. On applique la multiplicativité à $z = (z/w)\cdot w$ : $|z| = |z/w|\cdot |w|$, d'où $|z/w| = |z|/|w|$.
Puissance. Récurrence sur $n \ge 0$ ; extension à $n < 0$ par la règle du quotient.
Majorations. $a^2 \le a^2 + b^2$, donc $|a| \le |z|$. Idem pour $|b|$.

Méthode — Calculer un module efficacement

Pour calculer $|z|$ pour une expression complexe $z$ :

si $z$ est en forme algébrique $a + ib$, on utilise $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ ;
si $z$ est un produit ou un quotient, on exploite la multiplicativité : $|zw| = |z||w|$, $|z/w| = |z|/|w|$ ;
si $z$ est une puissance $z = w^n$, on utilise $|z| = |w|^n$ ;
pour repousser la racine carrée jusqu'à la fin, on travaille avec $|z|^2 = z\conjugate{z}$.

La troisième stratégie transforme $|(1+i)^{20}|$ en $|1+i|^{20} = (\sqrt 2)^{20} = 2^{10} = 1024$, en une ligne.

Exemple

Calculer $\left| \dfrac{(1+i)^5}{2 - i} \right|$.

Correction

Par multiplicativité et règle de la puissance : $$ \left| \frac{(1+i)^5}{2-i} \right| = \frac{|1+i|^5}{|2-i|} = \frac{(\sqrt 2)^5}{\sqrt 5} = \frac{4\sqrt 2}{\sqrt 5} = \frac{4\sqrt{10}}{5}. $$

Exemple

Déterminer l'ensemble des $z \in \mathbb{C}$ tels que $|z - 1| = |z + i|$.

Correction

En élevant au carré (les deux membres sont positifs) et en utilisant $|w|^2 = w\conjugate{w}$ : $$ \begin{aligned} |z-1|^2 = |z+i|^2 \ &\iff \ (z-1)(\conjugate{z}-1) = (z+i)(\conjugate{z}-i) \\ &\iff \ z\conjugate{z} - z - \conjugate{z} + 1 = z\conjugate{z} - iz + i\conjugate{z} + 1 \\ &\iff \ -(z + \conjugate{z}) = i(\conjugate{z} - z) \\ &\iff \ -2\operatorname{Re}(z) = 2\operatorname{Im}(z) \\ &\iff \ \operatorname{Re}(z) = -\operatorname{Im}(z). \end{aligned} $$ L'ensemble est la droite d'équation $y = -x$ dans le plan d'Argand --- qui est, géométriquement, l'ensemble des points équidistants de $1$ et de $-i$ (la médiatrice du segment $[1, -i]$).

Proposition — Cercles et disques avec le module

Pour $a \in \mathbb{C}$ et $r \ge 0$, le module $|z - a|$ mesure la distance entre le point d'affixe $z$ et le point d'affixe $a$. Donc :

$\textcolor{colorprop}{\{z \in \mathbb{C} : |z - a| = r\}}$ est le cercle de centre $a$ et de rayon $r$.
$\textcolor{colorprop}{\{z \in \mathbb{C} : |z - a| \le r\}}$ est le disque fermé de centre $a$ et de rayon $r$.
$\textcolor{colorprop}{\{z \in \mathbb{C} : |z - a| < r\}}$ est le disque ouvert de centre $a$ et de rayon $r$.

Exemple

Décrire l'ensemble $\{z \in \mathbb{C} : |z - (1 + i)| = 2\}$.

Correction

Cercle de centre $1 + i$ et de rayon $2$.

Compétences à pratiquer

Calculer des modules et caractériser des lieux

I.4 Inégalité triangulaire

L'inégalité triangulaire est l'analogue modulaire de l'énoncé géométrique « dans un triangle, chaque côté est inférieur ou égal à la somme des deux autres ». C'est l'inégalité la plus utilisée du chapitre --- et l'une des rares inégalités dans $\mathbb{C}$, qui n'est pas ordonné. Son cas d'égalité mérite aussi d'être retenu : il caractérise quand deux complexes sont positivement colinéaires.

Theorem — Inégalité triangulaire

Pour tous $z, w \in \mathbb{C}$ : $$ \textcolor{colorprop}{\big| |z| - |w| \big| \le |z + w| \le |z| + |w|}. $$ L'inégalité de droite est une égalité si et seulement si $z$ et $w$ sont positivement colinéaires : il existe $\lambda \ge 0$ tel que $w = \lambda z$, ou $z = 0$ (auquel cas l'égalité est automatique).

Preuve

Inégalité de droite. Les deux membres sont positifs ; on élève au carré. Par l'identité maîtresse : $$ |z + w|^2 = (z+w)(\conjugate{z}+\conjugate{w}) = |z|^2 + z\conjugate{w} + \conjugate{z}w + |w|^2 = |z|^2 + 2\operatorname{Re}(z\conjugate{w}) + |w|^2. $$ Or $\operatorname{Re}(z\conjugate{w}) \le |z\conjugate{w}| = |z||w|$, donc $$ |z+w|^2 \le |z|^2 + 2|z||w| + |w|^2 = (|z|+|w|)^2. $$ Par passage à la racine : $|z+w| \le |z|+|w|$.
Cas d'égalité. L'égalité a lieu ssi $\operatorname{Re}(z\conjugate{w}) = |z\conjugate{w}|$, c'est-à-dire que $z\conjugate{w}$ est un réel positif. Si $z = 0$, la conclusion est automatique. Sinon, en multipliant $z\conjugate{w} \ge 0$ par $1/(z\conjugate{z}) = 1/|z|^2 > 0$ (qui préserve le signe), $\conjugate{w}/\conjugate{z} \ge 0$, d'où $w/z \ge 0$, soit $w = \lambda z$ avec $\lambda \ge 0$ --- la forme énoncée dans le théorème.
Inégalité de gauche. On applique l'inégalité de droite à $z = (z+w) + (-w)$ : $|z| \le |z+w| + |-w| = |z+w| + |w|$, donc $|z| - |w| \le |z+w|$. Par symétrie, $|w| - |z| \le |z+w|$, d'où $\big||z|-|w|\big| \le |z+w|$.

Exemple

Le vecteur $z+w$ est le troisième côté du triangle de sommets $0$, $z$, $z+w$ ; les deux autres ont pour longueurs $|z|$ et $|w|$. L'inégalité triangulaire dit géométriquement « un côté $\le$ somme des deux autres ».

Exemple

Pour $|z| \le 2$, majorons $|z^2 + 1|$.
Inégalité triangulaire : $|z^2 + 1| \le |z^2| + 1 = |z|^2 + 1 \le 5$. La borne est atteinte en $z = 2$ où $|z^2 + 1| = 5$.

Exemple

Pour $z \in \mathbb{C}$ avec $|z| = 1$, montrons $|1 + z| \le 2$ avec égalité ssi $z = 1$.
Par l'inégalité triangulaire, $|1 + z| \le |1| + |z| = 1 + 1 = 2$. L'égalité requiert la colinéarité positive de $1$ et $z$, soit $z = \lambda \cdot 1$ avec $\lambda \ge 0$ ; combinée à $|z| = 1$, $\lambda = 1$, donc $z = 1$.

Méthode — Démontrer une inégalité modulaire

Un problème typique d'inégalité dans $\mathbb{C}$ a la forme « montrer $|f(z)| \le g(|z|) $ ». Stratégie standard :

remplacer $|f(z)|^2$ par $f(z)\conjugate{f(z)}$ quand c'est commode ;
appliquer l'inégalité triangulaire $|a + b| \le |a| + |b|$ ou sa version inférieure $|a + b| \ge ||a| - |b||$ ;
appliquer la multiplicativité $|ab| = |a||b|$ pour casser les produits ;
utiliser les majorations $|\operatorname{Re}(w)| \le |w|$, $|\operatorname{Im}(w)| \le |w|$ ;
finir en simplifiant grâce à l'hypothèse sur $|z|$.

Pour les inégalités fines, identifier le cas d'égalité (colinéarité positive) et vérifier s'il est atteint sous les hypothèses.

Compétences à pratiquer

Majorer des modules par l'inégalité triangulaire

II Forme trigonométrique et exponentielle complexe

On change ici de point de vue. Au lieu d'écrire $z$ comme somme de parties réelle et imaginaire, on le lit en coordonnées polaires : un module $\rho$ et un angle $\theta$. La notation $e^{i\theta}$ pour $\cos\theta + i\sin\theta$ unifie alors trigonométrie et exponentiation : les produits deviennent des sommes d'angles, les puissances deviennent des multiples d'angles, les formules $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ se déroulent depuis le binôme. Ce second point de vue est ce qui fait des nombres complexes un outil de géométrie et d'analyse.

II.1 Cercle unité $\mathbb{U}$ et exponentielle imaginaire

Les nombres complexes de module $1$ forment un cercle : le cercle unité du plan d'Argand. Chacun de ces nombres est déterminé par son angle avec l'axe réel positif. On introduit la notation $e^{i\theta}$ pour $\cos\theta + i\sin\theta$ --- notation qui se justifie par une seule identité algébrique, $e^{i\theta}\,e^{i\varphi} = e^{i(\theta + \varphi)}$, équivalente aux formules d'addition du cosinus et du sinus.

Définition — Cercle unité $\mathbb{U}$

L'ensemble des nombres complexes de module $1$ est noté $$ \textcolor{colordef}{\mathbb{U}} = \{ z \in \mathbb{C} \ \mid \ |z| = 1 \}. $$ Géométriquement, $\mathbb{U}$ est le cercle unité du plan d'Argand.

Définition — Exponentielle imaginaire

Pour $\theta \in \mathbb{R}$, on pose $$ \textcolor{colordef}{e^{i\theta}} = \cos\theta + i\sin\theta. $$ Le nombre $e^{i\theta}$ appartient à $\mathbb{U}$ puisque $|e^{i\theta}|^2 = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$.

Exemple

$e^{i\cdot 0} = 1$.
$e^{i\pi/2} = i$.
$e^{i\pi} = -1$ (identité d'Euler, souvent écrite $e^{i\pi} + 1 = 0$).
$e^{i\pi/3} = \cos(\pi/3) + i\sin(\pi/3) = \dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt 3}{2}$.
$e^{i\pi/4} = \dfrac{\sqrt 2}{2}(1 + i)$.

Exemple

Le point $e^{i\theta}$ est sur le cercle unité, à l'angle $\theta$ (mesuré dans le sens trigonométrique depuis l'axe réel positif). Quand $\theta$ parcourt $[0 \,;\, 2\pi[$, $e^{i\theta}$ décrit le cercle unité tout entier exactement une fois.

Proposition — Équation fonctionnelle de l'exponentielle imaginaire

Pour tous $\theta, \varphi \in \mathbb{R}$ : $$ \textcolor{colorprop}{e^{i\theta}\cdot e^{i\varphi} = e^{i(\theta + \varphi)}} \qquad \textcolor{colorprop}{\frac{1}{e^{i\theta}} = \conjugate{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}}. $$ En particulier, $e^{i\theta} = e^{i\varphi} \iff \theta \equiv \varphi \,[2\pi]$.

Preuve

Équation fonctionnelle. On calcule le produit directement : $$ \begin{aligned} e^{i\theta}\cdot e^{i\varphi} &= (\cos\theta + i\sin\theta)(\cos\varphi + i\sin\varphi) \\ &= (\cos\theta\cos\varphi - \sin\theta\sin\varphi) + i(\cos\theta\sin\varphi + \sin\theta\cos\varphi) \\ &= \cos(\theta + \varphi) + i\sin(\theta + \varphi) \\ &= e^{i(\theta + \varphi)}. \end{aligned} $$ La troisième égalité utilise les formules d'addition de $\cos$ et $\sin$.
Inverse et conjugué. $\conjugate{e^{i\theta}} = \cos\theta - i\sin\theta = \cos(-\theta) + i\sin(-\theta) = e^{-i\theta}$. Et $e^{i\theta}\cdot e^{-i\theta} = e^{i\cdot 0} = 1$, donc $1/e^{i\theta} = e^{-i\theta}$.
Périodicité. $e^{i\theta} = e^{i\varphi}$ se réécrit $e^{i(\theta - \varphi)} = 1$, soit $\cos(\theta - \varphi) = 1$ et $\sin(\theta - \varphi) = 0$, ce qui équivaut à $\theta - \varphi \in 2\pi\mathbb{Z}$.

Exemple

Calculer $e^{i\pi/3}\cdot e^{i\pi/6}$.

Correction

Par l'équation fonctionnelle, $e^{i\pi/3}\cdot e^{i\pi/6} = e^{i(\pi/3 + \pi/6)} = e^{i\pi/2} = i$.

Compétences à pratiquer

Calculer avec $e^{i\theta}$

II.2 Formules de Moivre et d'Euler

La formule de Moivre --- $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$ --- est le trophée : elle donne, d'un seul coup, $\cos n\theta$ et $\sin n\theta$ comme polynômes en $\cos\theta, \sin\theta$ (par développement du binôme). Sa duale, les formules d'Euler, donne le cosinus et le sinus comme expressions en $e^{i\theta}$. Ensemble, elles forment un dictionnaire aller-retour qui convertit identités trigonométriques en identités algébriques et inversement.

Theorem — Formule de Moivre

Pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ et tout $n \in \mathbb{Z}$ : $$ \textcolor{colorprop}{(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)} $$ ou de manière équivalente $\textcolor{colorprop}{(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}}$.

Preuve

Cas $n \ge 0$, récurrence sur $n$. Pour $n = 0$ : les deux membres valent $1$. Supposons $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$. Alors $(e^{i\theta})^{n+1} = (e^{i\theta})^n\cdot e^{i\theta} = e^{in\theta}\cdot e^{i\theta} = e^{i(n+1)\theta}$ par l'équation fonctionnelle. L'hérédité est établie.
Cas $n < 0$. Posons $n = -m$ avec $m > 0$. Alors $(e^{i\theta})^n = 1/(e^{i\theta})^m = 1/e^{im\theta} = e^{-im\theta} = e^{in\theta}$.

Proposition — Formules d'Euler

Pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ : $$ \textcolor{colorprop}{\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}} \qquad \textcolor{colorprop}{\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}}. $$

Preuve

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ et $e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$. La somme donne $2\cos\theta$ ; la différence donne $2i\sin\theta$.

Exemple

Calculer $(1 + i)^{20}$ par Moivre.

Correction

Écrivons $1 + i = \sqrt 2 \cdot e^{i\pi/4}$. Par multiplicativité des modules et Moivre $$ (1+i)^{20} = (\sqrt 2)^{20} \cdot e^{i\cdot 20\pi/4} = 2^{10} \cdot e^{i \cdot 5\pi} = 1024 \cdot e^{i\pi} = -1024. $$

Exemple

Linéariser $\cos^3\theta$ par Euler.

Correction

$$ \begin{aligned} \cos^3\theta &= \left(\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\right)^3 \\ &= \frac{1}{8}\left( e^{3i\theta} + 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} + e^{-3i\theta} \right) \\ &= \frac{1}{8}\left( 2\cos 3\theta + 6\cos\theta \right) \\ &= \frac{1}{4}\cos 3\theta + \frac{3}{4}\cos\theta. \end{aligned} $$

Exemple

Exprimer $\sin(3\theta)$ comme polynôme en $\sin\theta$.

Correction

Moivre avec $n = 3$ : $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta$. On développe le cube et on identifie les parties imaginaires : $$ (\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos^3\theta + 3i\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta - i\sin^3\theta $$ d'où $\sin 3\theta = 3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta = 3(1-\sin^2\theta)\sin\theta - \sin^3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$.

Méthode — Linéariser $\cos^p\theta\sin^q\theta$ par Euler

Pour exprimer un produit $\cos^p\theta\sin^q\theta$ comme combinaison linéaire de $\cos(k\theta)$ et $\sin(k\theta)$ :

remplacer $\cos\theta$ par $(e^{i\theta}+e^{-i\theta})/2$ et $\sin\theta$ par $(e^{i\theta}-e^{-i\theta})/(2i)$ ;
développer chaque puissance par le binôme ;
regrouper les termes en $e^{ik\theta}$ et apparier $e^{ik\theta}$ et $e^{-ik\theta}$ pour reconnaître $2\cos(k\theta)$ ou $2i\sin(k\theta)$ ;
simplifier le préfacteur.

La procédure s'arrête toujours et donne le résultat exact ; c'est l'outil le plus propre pour ce type de problème.

Méthode — Factoriser $a\cos t + b\sin t$ sous la forme $A\cos(t - \varphi)$

Pour $(a, b) \ne (0, 0)$, on pose $A = \sqrt{a^2 + b^2}$. Alors $(a/A \,;\, b/A)$ est sur le cercle unité, donc il existe un unique $\varphi \in \,]-\pi \,;\, \pi]$ tel que $\cos\varphi = a/A$ et $\sin\varphi = b/A$. Alors $$ a\cos t + b\sin t = A(\cos\varphi\cos t + \sin\varphi\sin t) = A\cos(t - \varphi). $$ Indication de dérivation : $a\cos t + b\sin t = \operatorname{Re}((a - ib)e^{it})$, et $a - ib = A\, e^{-i\varphi}$ par définition de $\varphi$.

Exemple

Factoriser $\cos t + \sqrt 3\sin t$.

Correction

$A = \sqrt{1 + 3} = 2$, $\cos\varphi = 1/2$, $\sin\varphi = \sqrt 3/2$, soit $\varphi = \pi/3$. Donc $$ \cos t + \sqrt 3\sin t = 2\cos\!\left(t - \frac{\pi}{3}\right). $$

Proposition — Technique de l'angle moitié

Pour $t \in \mathbb{R}$ : $$ \textcolor{colorprop}{1 + e^{it} = 2\cos\!\left(\tfrac{t}{2}\right) e^{it/2}}, \qquad \textcolor{colorprop}{1 - e^{it} = -2i\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right) e^{it/2}}. $$ Plus généralement, pour $p, q \in \mathbb{R}$ : $$ \textcolor{colorprop}{e^{ip} + e^{iq} = 2\cos\!\left(\tfrac{p-q}{2}\right) e^{i(p+q)/2}}, \qquad \textcolor{colorprop}{e^{ip} - e^{iq} = 2i\sin\!\left(\tfrac{p-q}{2}\right) e^{i(p+q)/2}}. $$

Preuve

On factorise $e^{it/2}$ dans $1 + e^{it} = e^{it/2}(e^{-it/2} + e^{it/2}) = e^{it/2} \cdot 2\cos(t/2)$ par Euler. De même pour $1 - e^{it} = e^{it/2}(e^{-it/2} - e^{it/2}) = e^{it/2} \cdot (-2i\sin(t/2))$. Les formules générales suivent en factorisant $e^{i(p+q)/2}$ dans $e^{ip} \pm e^{iq}$ puis en appliquant le cas particulier.

Proposition — Formules somme-produit

Pour $p, q \in \mathbb{R}$, en prenant parties réelle et imaginaire des identités de l'angle moitié : $$ \textcolor{colorprop}{\cos p + \cos q = 2\cos\!\left(\tfrac{p+q}{2}\right)\cos\!\left(\tfrac{p-q}{2}\right)}, $$ $$ \textcolor{colorprop}{\cos p - \cos q = -2\sin\!\left(\tfrac{p+q}{2}\right)\sin\!\left(\tfrac{p-q}{2}\right)}, $$ $$ \textcolor{colorprop}{\sin p + \sin q = 2\sin\!\left(\tfrac{p+q}{2}\right)\cos\!\left(\tfrac{p-q}{2}\right)}, $$ $$ \textcolor{colorprop}{\sin p - \sin q = 2\cos\!\left(\tfrac{p+q}{2}\right)\sin\!\left(\tfrac{p-q}{2}\right)}. $$

Proposition — Sommes trigonométriques

Pour $t \in \mathbb{R}$ avec $t \not\equiv 0 \,[2\pi]$ et $n \in \mathbb{N}$ : $$ \sum_{k=0}^{n} e^{ikt} = \frac{1 - e^{i(n+1)t}}{1 - e^{it}}. $$ En prenant parties réelle et imaginaire et en appliquant la technique de l'angle moitié au quotient : $$ \textcolor{colorprop}{\sum_{k=0}^{n} \cos(kt) = \frac{\sin\!\left(\tfrac{(n+1)t}{2}\right)}{\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right)} \cos\!\left(\tfrac{nt}{2}\right)}, \qquad \textcolor{colorprop}{\sum_{k=0}^{n} \sin(kt) = \frac{\sin\!\left(\tfrac{(n+1)t}{2}\right)}{\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right)} \sin\!\left(\tfrac{nt}{2}\right)}. $$ Pour $t \equiv 0 \,[2\pi]$ : $\sum \cos(kt) = n+1$ et $\sum \sin(kt) = 0$.

Preuve

La première identité est la somme géométrique (chapitre `CalculAlgebrique`) appliquée à $z = e^{it}$, valable car $z \ne 1$ quand $t \not\equiv 0 \,[2\pi]$. Pour la forme close, on factorise par angle moitié : $$ \frac{1 - e^{i(n+1)t}}{1 - e^{it}} = \frac{-2i\sin\!\left(\tfrac{(n+1)t}{2}\right) e^{i(n+1)t/2}}{-2i\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right) e^{it/2}} = \frac{\sin\!\left(\tfrac{(n+1)t}{2}\right)}{\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right)} e^{int/2}. $$ On prend parties réelle et imaginaire de $e^{int/2} = \cos(nt/2) + i\sin(nt/2)$.

Compétences à pratiquer

Appliquer Moivre et linéariser avec Euler

II.3 Argument et forme trigonométrique

Tout nombre complexe non nul $z$ s'écrit uniquement $z = \rho\, e^{i\theta}$ avec $\rho = |z| > 0$ et $\theta$ un réel défini modulo $2\pi$. Le couple $(\rho \,;\, \theta)$ est la coordonnée polaire de $z$. L'angle $\theta$ s'appelle l'argument ; pour le rendre univoque, on doit choisir un représentant, et l'on adopte la convention $\theta \in \,]-\pi \,;\, \pi]$ (argument principal).

Proposition — Existence et unicité de la forme trigonométrique

Pour tout $z \in \mathbb{C}^* = \mathbb{C}\setminus\{0\}$, il existe $\rho > 0$ et $\theta \in \mathbb{R}$ tels que $$ \textcolor{colorprop}{z = \rho\, e^{i\theta}}. $$ Le nombre $\rho$ est uniquement déterminé et vaut $|z|$. Le nombre $\theta$ est déterminé modulo $2\pi$ : si $z = \rho_1 e^{i\theta_1} = \rho_2 e^{i\theta_2}$ alors $\rho_1 = \rho_2$ et $\theta_1 \equiv \theta_2 \,[2\pi]$.

Preuve

Existence. Posons $\rho = |z| > 0$. Alors $u = z/\rho$ est de module $1$, donc $u = a + ib$ avec $a^2 + b^2 = 1$. Le couple $(a \,;\, b)$ est sur le cercle unité de $\mathbb{R}^2$, donc (admis, depuis le paramétrage du cercle) il existe $\theta \in \mathbb{R}$ tel que $a = \cos\theta$ et $b = \sin\theta$. Alors $u = \cos\theta + i\sin\theta = e^{i\theta}$, donc $z = \rho\, e^{i\theta}$.
Unicité de $\rho$. En prenant les modules : $\rho_1 = |\rho_1 e^{i\theta_1}| = |z| = \rho_2$.
Unicité de $\theta$ modulo $2\pi$. De $\rho_1 = \rho_2 = \rho$, on tire $\rho e^{i\theta_1} = \rho e^{i\theta_2}$, soit $e^{i\theta_1} = e^{i\theta_2}$, soit $e^{i(\theta_1 - \theta_2)} = 1$. Par la périodicité de l'exponentielle imaginaire établie ci-dessus, $\theta_1 - \theta_2 \in 2\pi\mathbb{Z}$, soit $\theta_1 \equiv \theta_2 \,[2\pi]$.

Définition — Argument et forme trigonométrique

Par le théorème d'existence de la forme trigonométrique qui vient d'être établi, tout $z \in \mathbb{C}$ non nul s'écrit $z = \rho\, e^{i\theta}$ avec $\rho > 0$ uniquement déterminé et $\theta$ déterminé modulo $2\pi$. On appelle :

$\rho = |z|$ le module de $z$ (déjà nommé dans la sous-section Module plus haut) ;
$\theta$ un argument de $z$, noté $\arg(z)$ (défini modulo $2\pi$) ;
l'unique représentant $\theta \in \,]-\pi \,;\, \pi]$ l'argument principal ;
l'écriture $z = \rho\, e^{i\theta}$ la forme trigonométrique (ou forme polaire) de $z$.

Le nombre $z = 0$ n'a pas d'argument.

Exemple

Pour $z = 1 + i\sqrt 3$ : $\rho = |z| = \sqrt{1+3} = 2$, et l'angle $\theta$ vérifie $\cos\theta = 1/2$, $\sin\theta = \sqrt 3/2$, soit $\theta = \pi/3$. Forme trigonométrique : $z = 2 e^{i\pi/3}$.

Méthode — Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique

Partant de $z = a + ib$ avec $z \ne 0$ :

calculer $\rho = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ ;
factoriser : $z = \rho\!\left( \dfrac{a}{\rho} + i\dfrac{b}{\rho} \right)$ ;
identifier $\theta$ par le système $\cos\theta = a/\rho$ et $\sin\theta = b/\rho$ --- les deux équations sont nécessaires (le signe de $\sin\theta$ tranche le demi-plan).

Éviter de partir de $\theta = \arctan(b/a)$ : arctan ne gère que le demi-plan droit $a > 0$ et rate les cas $a = 0$.

Exemple

Forme trigonométrique de $z = -\sqrt 3 + i$.

Correction

$\rho = \sqrt{3 + 1} = 2$. Puis $\cos\theta = -\sqrt 3/2$ et $\sin\theta = 1/2$, donc $\theta = 5\pi/6$ (deuxième quadrant). D'où $z = 2\, e^{i\,5\pi/6}$.

Proposition — Argument : propriétés algébriques

Pour tous $z, w \in \mathbb{C}^*$ et tout $n \in \mathbb{Z}$ :

$\textcolor{colorprop}{\arg(zw) \equiv \arg(z) + \arg(w) \,[2\pi]}$ ;
$\textcolor{colorprop}{\arg(z/w) \equiv \arg(z) - \arg(w) \,[2\pi]}$ ;
$\textcolor{colorprop}{\arg(z^n) \equiv n\arg(z) \,[2\pi]}$ ;
$\textcolor{colorprop}{\arg(\conjugate{z}) \equiv -\arg(z) \,[2\pi]}$.

Preuve

On écrit $z = \rho_z e^{i\theta_z}$, $w = \rho_w e^{i\theta_w}$.

Produit. $zw = \rho_z\rho_w e^{i(\theta_z+\theta_w)}$, donc $\arg(zw) \equiv \theta_z + \theta_w \,[2\pi]$.
Quotient. On applique la règle du produit à $z = (z/w) \cdot w$ : $\arg(z) \equiv \arg(z/w) + \arg(w)$, d'où $\arg(z/w) \equiv \arg(z) - \arg(w)$.
Puissance. Récurrence sur $n \ge 0$ : pour $n = 0$, $\arg(1) \equiv 0$ ; le pas hérédité utilise la règle du produit. Pour $n < 0$, on écrit $z^n = 1/z^{-n}$ et on applique la règle du quotient.
Conjugué. $\conjugate{z} = \rho_z e^{-i\theta_z}$ (puisque $\conjugate{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}$), donc $\arg(\conjugate{z}) \equiv -\theta_z \equiv -\arg(z)$.

Exemple

Multiplier par $z_1 = i = e^{i\pi/2}$, c'est tourner d'un quart de tour : $z_2$ d'argument $\pi/4$ est envoyé sur $z_1 z_2$ d'argument $3\pi/4$. Plus généralement, multiplier par $\rho\, e^{i\theta}$, c'est « tourner de $\theta$, puis dilater de $\rho$ ». Telle est la signification géométrique de la multiplication complexe --- et la fondation de l'interprétation géométrique de la section suivante.

Compétences à pratiquer

Mettre sous forme trigonométrique

II.4 Exponentielle complexe

On étend l'exponentielle à $\mathbb{C}$ tout entier en combinant les deux exponentielles connues : l'exponentielle réelle de $\operatorname{Re}(z)$ et l'exponentielle imaginaire de $\operatorname{Im}(z)$. Les deux facteurs se multiplient, et la fonction résultante $z \mapsto e^z$ hérite de la propriété cardinale : $e^{z+w} = e^z e^w$. Résoudre $e^z = a$ pour $a \in \mathbb{C}^*$ devient une affaire de routine en coordonnées polaires.

Définition — Exponentielle complexe

Pour $z = x + iy \in \mathbb{C}$ avec $x, y \in \mathbb{R}$, on pose $$ \textcolor{colordef}{e^z} = e^x \cdot e^{iy} = e^x(\cos y + i\sin y). $$ La fonction $\exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$, $z \mapsto e^z$, s'appelle l'exponentielle complexe.

Proposition — Propriétés de l'exponentielle complexe

Pour tous $z, w \in \mathbb{C}$ :

$\textcolor{colorprop}{e^{z + w} = e^z\cdot e^w}$ (propriété cardinale).
$\textcolor{colorprop}{e^z \ne 0}$ pour tout $z \in \mathbb{C}$, et $\textcolor{colorprop}{1/e^z = e^{-z}}$.
$\textcolor{colorprop}{|e^z| = e^{\operatorname{Re}(z)}}$ et $\textcolor{colorprop}{\arg(e^z) \equiv \operatorname{Im}(z) \,[2\pi]}$.
$\textcolor{colorprop}{\conjugate{e^z} = e^{\conjugate{z}}}$.
$\textcolor{colorprop}{e^z = 1 \iff z \in 2i\pi\mathbb{Z}}$. Plus généralement, $\textcolor{colorprop}{e^z = e^w \iff z - w \in 2i\pi\mathbb{Z}}$.

Preuve

On écrit $z = x+iy$, $w = u+iv$.

Propriété cardinale. $e^z e^w = e^x e^{iy} e^u e^{iv} = e^{x+u} e^{i(y+v)} = e^{(x+u)+i(y+v)} = e^{z+w}$ par la propriété morphique de l'exponentielle réelle et l'équation fonctionnelle de l'exponentielle imaginaire.
Non-annulation. $e^z = 0$ forcerait $e^x = 0$ (impossible car $|e^{iy}| = 1$). Et $e^z e^{-z} = e^0 = 1$ donne $1/e^z = e^{-z}$.
Module et argument. $|e^z| = |e^x|\cdot|e^{iy}| = e^x = e^{\operatorname{Re}(z)}$ ; $\arg(e^z) \equiv y \equiv \operatorname{Im}(z) \,[2\pi]$.
Conjugué. $\conjugate{e^z} = \conjugate{e^x e^{iy}} = e^x e^{-iy} = e^{x - iy} = e^{\conjugate{z}}$.
Périodicité. $e^z = 1$ se réécrit $e^x = 1$ et $e^{iy} = 1$, soit $x = 0$ et $y \in 2\pi\mathbb{Z}$, c'est-à-dire $z \in 2i\pi\mathbb{Z}$. Le cas général $e^z = e^w$ se déduit de $e^{z-w} = 1$.

Exemple

$e^{i\pi} = -1$.
$e^{1 + i\pi/2} = e\cdot e^{i\pi/2} = ei$.
$e^{\ln 2 + i\pi} = 2\cdot (-1) = -2$.
$e^{2 - i\pi/3} = e^2(\cos(-\pi/3) + i\sin(-\pi/3)) = e^2\!\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt 3}{2}\right)$.

Exemple

Résoudre $e^z = -2$.

Correction

On écrit le second membre en polaire : $-2 = 2\, e^{i\pi}$. On cherche $z = x + iy$ avec $e^x = 2$ et $e^{iy} = e^{i\pi}$. Le premier donne $x = \ln 2$ ; le second donne $y \equiv \pi \,[2\pi]$. Donc $z = \ln 2 + i\pi + 2ik\pi$ pour $k \in \mathbb{Z}$.

Compétences à pratiquer

Résoudre des équations exponentielles

III Équations algébriques dans $\mathbb{C}$

La motivation initiale de $\mathbb{C}$ était de rendre $x^2 = -1$ soluble. On en récolte ici les fruits. Dans $\mathbb{C}$, tout complexe non nul possède exactement deux racines carrées opposées, toute équation du second degré possède exactement deux solutions (comptées avec multiplicité), et plus généralement tout complexe non nul possède exactement $n$ racines $n$-ièmes distinctes. Les démonstrations sont courtes --- on les lit en forme trigonométrique --- et chacune porte une image géométrique vive : les racines $n$-ièmes de l'unité sont les sommets d'un polygone régulier sur le cercle unité.

III.1 Racines carrées d'un complexe

Une racine carrée de $a \in \mathbb{C}$ est un complexe $\delta$ tel que $\delta^2 = a$. Pour $a = 0$, l'unique racine est $\delta = 0$. Pour $a \ne 0$, on verra qu'il y a exactement deux racines, opposées l'une de l'autre. Deux chemins de calcul existent : trigonométrique (par lecture de $\rho$ et $\theta$) et algébrique (résolution d'un petit système sur parties réelle et imaginaire). Les deux ont leur usage.

Theorem — Racines carrées d'un complexe

Soit $a \in \mathbb{C}^*$. L'équation $\delta^2 = a$ admet exactement deux solutions dans $\mathbb{C}$, opposées l'une de l'autre. Concrètement, si $a = \rho\, e^{i\theta}$ en forme trigonométrique, les deux racines carrées sont $$ \textcolor{colorprop}{\{\delta : \delta^2 = a\} = \{\sqrt\rho\, e^{i\theta/2},\ -\sqrt\rho\, e^{i\theta/2}\}}. $$ Le choix du représentant de $\theta$ détermine l'étiquetage, mais la paire non ordonnée est intrinsèque. On notera $\delta_1, \delta_2$ les deux racines lorsqu'un étiquetage particulier est fixé.

Preuve

Vérification. $\delta_1^2 = \rho\, e^{i\theta} = a$. Et $\delta_2^2 = \delta_1^2 = a$. Donc les deux sont racines.
Exhaustivité. Si $\delta^2 = a$, on écrit $\delta = r\, e^{i\varphi}$ ($\delta \ne 0$ car $a \ne 0$). Alors $r^2 e^{2i\varphi} = \rho\, e^{i\theta}$, donc $r^2 = \rho$ (réel positif, soit $r = \sqrt\rho$) et $2\varphi \equiv \theta \,[2\pi]$, c'est-à-dire $\varphi \equiv \theta/2 \,[\pi]$. Donc $\varphi$ vaut $\theta/2$ ou $\theta/2 + \pi$ modulo $2\pi$, ce qui donne $\delta = \delta_1$ ou $\delta = \delta_2$.

Méthode — Calculer les racines carrées --- voie trigonométrique

Pour $a \in \mathbb{C}^*$ :

mettre $a$ en forme trigonométrique $\rho\, e^{i\theta}$ ;
les deux racines carrées sont $\pm\sqrt\rho\, e^{i\theta/2}$.

C'est la voie la plus propre quand $a \in \mathbb{U}$ ou a une forme polaire simple.

Méthode — Calculer les racines carrées --- voie algébrique

Pour $a = \alpha + i\beta$ avec $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, on cherche $\delta = x + iy$ tel que $\delta^2 = a$. En carré et en identifiant parties réelle et imaginaire : $$ x^2 - y^2 = \alpha \qquad 2xy = \beta. $$ On ajoute $|\delta|^2 = |a|$, soit $x^2 + y^2 = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$. La première et la dernière donnent $x^2$ et $y^2$ comme expressions positives ; les signes sont liés par $2xy = \beta$ (même signe que $\beta$ si $\beta \ne 0$).

Exemple

Calculer les racines carrées de $a = -2 + 2i\sqrt 3$ (voie trigonométrique).

Correction

$|a| = \sqrt{4 + 12} = 4$, donc $a = 4(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $\cos\theta = -1/2$, $\sin\theta = \sqrt 3/2$, soit $\theta = 2\pi/3$. Ainsi $a = 4\, e^{2i\pi/3}$. Les racines sont $\pm 2\, e^{i\pi/3} = \pm(1 + i\sqrt 3)$.

Exemple

Calculer les racines carrées de $a = 3 + 4i$ (voie algébrique).

Correction

$|a| = 5$. On cherche $\delta = x + iy$ tel que $x^2 + y^2 = 5$, $x^2 - y^2 = 3$, $2xy = 4$. Somme des deux premières : $x^2 = 4$ ; différence : $y^2 = 1$. Comme $2xy = 4 > 0$, $x$ et $y$ sont de même signe. Donc $\delta = \pm(2 + i)$.

Exemple

Les deux racines carrées de $a$ sont sur le cercle de rayon $\sqrt{|a|}$, diamétralement opposées (séparées par un angle $\pi$). Elles se lisent comme la demi-mesure de l'argument de $a$.

Compétences à pratiquer

Calculer des racines carrées

III.2 Équation du second degré dans $\mathbb{C}$

L'équation du second degré $az^2 + bz + c = 0$ à coefficients complexes a la même forme canonique que dans le cas réel, mais le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ est maintenant complexe. La nouveauté : $\Delta$ admet toujours des racines carrées dans $\mathbb{C}$ (on vient de le démontrer), donc la formule $z = (-b \pm \delta)/(2a)$ fonctionne toujours. Il n'y a plus de cas « pas de solution réelle » ; dans $\mathbb{C}$ toute équation du second degré admet exactement deux solutions (comptées avec multiplicité).

Theorem — Équation du second degré dans $\mathbb{C}$

Soient $a, b, c \in \mathbb{C}$ avec $a \ne 0$. L'équation $az^2 + bz + c = 0$ admet pour solutions $$ \textcolor{colorprop}{z = \frac{-b + \delta}{2a} \quad\text{ou}\quad z = \frac{-b - \delta}{2a}} $$ où $\delta$ est une racine carrée quelconque de $\Delta = b^2 - 4ac$. Les deux solutions $z_1, z_2$ vérifient les relations de Viète : $$ \textcolor{colorprop}{z_1 + z_2 = -\frac{b}{a} \qquad z_1 z_2 = \frac{c}{a}}. $$ Les deux solutions coïncident ($z_1 = z_2$) si et seulement si $\Delta = 0$.

Preuve

On multiplie par $4a \ne 0$ : $$ 4a(az^2 + bz + c) = (2az + b)^2 - (b^2 - 4ac) = (2az + b)^2 - \Delta. $$ Soit $\delta$ une racine carrée de $\Delta$. L'équation devient $(2az + b)^2 = \delta^2$, soit $2az + b = \pm \delta$, d'où $z = (-b \pm \delta)/(2a)$. Viète : $z_1 + z_2 = -2b/(2a) = -b/a$ ; $z_1 z_2 = (b^2 - \delta^2)/(4a^2) = (b^2 - \Delta)/(4a^2) = 4ac/(4a^2) = c/a$. Enfin $z_1 - z_2 = \delta/a$, et comme $a \ne 0$, les deux solutions coïncident ssi $\delta = 0$, c'est-à-dire ssi $\Delta = \delta^2 = 0$.

Méthode — Résoudre une équation du second degré dans $\mathbb{C}$

Pour $az^2 + bz + c = 0$ avec $a \ne 0$ :

calculer $\Delta = b^2 - 4ac$ ;
déterminer une racine carrée $\delta$ de $\Delta$ (voie algébrique ou trigonométrique) ;
écrire $z = (-b \pm \delta)/(2a)$.

Si les coefficients sont réels et $\Delta$ est réel, le traitement réel habituel s'applique et $\Delta < 0$ donne $\delta = i\sqrt{-\Delta}$, conduisant à deux solutions conjuguées.

Exemple

Résoudre $z^2 - (3+i)z + (2+i) = 0$.

Correction

$\Delta = (3+i)^2 - 4(2+i) = 9 + 6i - 1 - 8 - 4i = 2i = 2\, e^{i\pi/2}$. Une racine carrée est $\delta = \sqrt 2\, e^{i\pi/4} = 1 + i$. Solutions : $z = ((3+i) \pm (1+i))/2$, soit $z_1 = 2 + i$ et $z_2 = 1$. Vérification : $z_1 z_2 = 2 + i = c/a$ $\checkmark$ ; $z_1 + z_2 = 3 + i = -b/a$ $\checkmark$.

Proposition — Factorisation par une racine

Soit $P$ une fonction polynomiale à coefficients complexes et $a \in \mathbb{C}$. Si $P(a) = 0$, alors il existe une fonction polynomiale $Q$ à coefficients complexes telle que $$ \textcolor{colorprop}{P(z) = (z - a)\, Q(z) \quad \text{pour tout } z \in \mathbb{C}}. $$

Preuve

On écrit $P(z) = \sum_{k=0}^{n} c_k z^k$ et on utilise l'identité élémentaire (chapitre `CalculAlgebrique`) $$ z^k - a^k = (z - a) \sum_{j=0}^{k-1} z^{k-1-j} a^{j}. $$ Alors $P(z) - P(a) = \sum_{k=0}^{n} c_k (z^k - a^k) = (z - a) \sum_{k=1}^{n} c_k \sum_{j=0}^{k-1} z^{k-1-j} a^j$. Comme $P(a) = 0$, le membre de gauche est $P(z)$ lui-même. En posant $Q(z)$ égal à la double somme intérieure, on obtient $P(z) = (z - a) Q(z)$.

Compétences à pratiquer

Résoudre dans $\mathbb{C}$

III.3 Racines $n$-ièmes de l'unité

L'équation $z^n = 1$ admet, dans $\mathbb{R}$, une ou deux solutions ($1$ si $n$ est impair ; $\pm 1$ si $n$ est pair). Dans $\mathbb{C}$, elle admet exactement $n$ solutions distinctes, disposées de la manière la plus simple qui soit : régulièrement réparties sur le cercle unité. Ce sont les racines $n$-ièmes de l'unité --- un ensemble fini, noté $\mathbb{U}_n$, à structure algébrique riche (c'est un groupe) et image géométrique vive (un polygone régulier).

Définition — Racines $n$-ièmes de l'unité

Pour $n \in \mathbb{N}^*$, l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité est $$ \textcolor{colordef}{\mathbb{U}_n} = \{ z \in \mathbb{C} \ \mid \ z^n = 1 \}. $$

Exemple

Quelques petits cas à la main : $\mathbb{U}_2 = \{1, -1\}$ (les solutions réelles de $z^2 = 1$) ; $\mathbb{U}_4 = \{1, i, -1, -i\}$. La structure générale --- $n$ points régulièrement espacés sur le cercle unité --- est l'objet du Théorème suivant.

Theorem — Description de $\mathbb{U}_n$

Pour $n \in \mathbb{N}^*$ $$ \textcolor{colorprop}{\mathbb{U}_n = \left\{ e^{2ik\pi/n} \ \mid \ k \in \{0, 1, \dots, n-1\} \right\}}. $$ L'ensemble $\mathbb{U}_n$ a exactement $n$ éléments ; ils sont sur le cercle unité, régulièrement espacés d'un angle $2\pi/n$. En posant $\omega = e^{2i\pi/n}$, ils s'écrivent $1, \omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}$.

Preuve

Inclusion $\supset$. Pour $\omega_k = e^{2ik\pi/n}$, $\omega_k^n = e^{2ik\pi} = 1$, donc $\omega_k \in \mathbb{U}_n$.
Inclusion $\subset$. Si $z^n = 1$, alors $|z|^n = 1$ dans $\mathbb{R}_+$, donc $|z| = 1$. On écrit $z = e^{i\theta}$. Alors $z^n = e^{in\theta} = 1$ se réécrit $n\theta \equiv 0 \,[2\pi]$, soit $\theta \equiv 0 \,[2\pi/n]$. Donc $\theta = 2k\pi/n$ pour un $k \in \mathbb{Z}$, et $z = \omega_k$. Le choix de $k$ modulo $n$ identifie $z$ à l'un des $\omega_0, \dots, \omega_{n-1}$.
Distinction. Les $\omega_k$ pour $k = 0, \dots, n-1$ sont deux à deux distincts : $\omega_k = \omega_{k'}$ signifie $2k\pi/n \equiv 2k'\pi/n \,[2\pi]$, soit $k \equiv k' \,[n]$, faux pour des $k, k'$ distincts dans $\{0, \dots, n-1\}$.

Exemple

Pour de petits $n$, les racines $n$-ièmes de l'unité sont sur le cercle unité aux sommets d'un polygone régulier inscrit dans $\mathbb{U}$, à partir de $1$ :

$\mathbb{U}_1 = \{ 1 \}$ $\quad$
$\mathbb{U}_2 = \{ 1, -1 \}$ $\quad$
$\mathbb{U}_3 = \{ 1, j, j^2 \}$ où $j = e^{2i\pi/3} = -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt 3}{2}$ et $j^2 = \conjugate{j} = -\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt 3}{2}$ $\quad$
$\mathbb{U}_4 = \{ 1, i, -1, -i \}$ $\quad$
$\mathbb{U}_6 = \{ 1, e^{i\pi/3}, e^{2i\pi/3}, -1, e^{-2i\pi/3}, e^{-i\pi/3} \} $ $\quad$

Proposition — Propriétés de somme et produit dans $\mathbb{U}_n$

Pour $n \ge 2$ et $\omega = e^{2i\pi/n}$ :

$\textcolor{colorprop}{\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = 0}$ (la somme de toutes les racines $n$-ièmes de l'unité est nulle).
$\textcolor{colorprop}{\prod_{k=0}^{n-1} \omega^k = (-1)^{n-1}}$.
Pour tout $z \in \mathbb{C}$ : $\textcolor{colorprop}{z^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (z - \omega^k)}$.

Preuve

Somme. Série géométrique de raison $\omega \ne 1$ : $\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = (1 - \omega^n)/(1 - \omega) = (1 - 1)/(1 - \omega) = 0$.
Produit. $\prod_{k=0}^{n-1} \omega^k = \omega^{0+1+\cdots+(n-1)} = \omega^{n(n-1)/2} = (e^{2i\pi/n})^{n(n-1)/2} = e^{i\pi(n-1)} = (-1)^{n-1}$.
Factorisation. Le polynôme $z^n - 1$ est de coefficient dominant $1$ et admet $1, \omega, \dots, \omega^{n-1}$ comme $n$ racines distinctes. En itérant la Proposition Factorisation par une racine ci-dessus sur ces $n$ racines distinctes — chaque étape abaissant le degré de un tout en conservant le coefficient dominant $1$ — on obtient $z^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1}(z - \omega^k)$ (le quotient final vaut la constante $1$, par un argument de degré et de coefficient dominant).

Exemple

Les racines cubiques de l'unité $\mathbb{U}_3 = \{1, j, j^2\}$ vérifient $1 + j + j^2 = 0$. En particulier, $j^2 = -1 - j$, donc toute expression polynomiale en $j$ se réduit à $\alpha + \beta j$ avec $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ --- c'est le levier des calculs. Par exemple, $j^3 = 1$, $j^4 = j$, $j^5 = j^2 = -1-j$, et $(1+j)(1+j^2) = 1 + j + j^2 + j^3 = 0 + 1 = 1$.

Compétences à pratiquer

Manipuler les racines $n$-ièmes de l'unité

III.4 Racines $n$-ièmes d'un complexe

Connaissant les racines $n$-ièmes de $1$, trouver les racines $n$-ièmes d'un complexe non nul est à une étape. On choisit une racine $n$-ième $\delta_0$ de la cible $a$ (construite depuis la forme trigonométrique), puis toutes les racines $n$-ièmes s'obtiennent en multipliant $\delta_0$ par les éléments de $\mathbb{U}_n$. L'ensemble obtenu est encore un polygone régulier, centré en l'origine, ayant un sommet en $\delta_0$.

Theorem — Racines $n$-ièmes d'un complexe

Soient $a \in \mathbb{C}^*$ et $n \in \mathbb{N}^*$. On écrit $a = \rho\, e^{i\theta}$. L'équation $z^n = a$ admet exactement $n$ solutions dans $\mathbb{C}$ : $$ \textcolor{colorprop}{z_k = \rho^{1/n}\, e^{i(\theta + 2k\pi)/n} \qquad k \in \{0, 1, \dots, n-1\}}. $$ De manière équivalente, si $\delta_0 = \rho^{1/n}\, e^{i\theta/n}$ est une racine particulière et $\omega = e^{2i\pi/n}$, les $n$ solutions sont $\delta_0, \delta_0 \omega, \delta_0 \omega^2, \dots, \delta_0 \omega^{n-1}$.

Preuve

$z^n = a$ se réécrit $(z/\delta_0)^n = a/\delta_0^n = 1$, soit $z/\delta_0 \in \mathbb{U}_n$. Donc $z = \delta_0 \omega^k$ pour un $k \in \{0, \dots, n-1\}$. Chaque $k$ donne un $z$ distinct (la multiplication par $\delta_0 \ne 0$ est injective), donc il y a exactement $n$ solutions.

Méthode — Calculer les racines $n$-ièmes d'un complexe

Pour $z^n = a$ avec $a \ne 0$ :

mettre $a$ en forme trigonométrique $\rho\, e^{i\theta}$ ;
écrire une racine particulière $\delta_0 = \rho^{1/n} e^{i\theta/n}$ ;
multiplier par les $n$ éléments de $\mathbb{U}_n$ pour obtenir les $n$ solutions.

Géométriquement : placer la première racine, puis tourner $n-1$ fois de $2\pi/n$.

Exemple

Racines cubiques de $a = 8i$.

Correction

$|a| = 8$, $\arg(a) = \pi/2$, donc $a = 8\, e^{i\pi/2}$. Une racine cubique particulière est $\delta_0 = 2\, e^{i\pi/6} = \sqrt 3 + i$. Les trois racines : $$ z_0 = \sqrt 3 + i \quad z_1 = 2\, e^{i(\pi/6 + 2\pi/3)} = 2\, e^{i\,5\pi/6} = -\sqrt 3 + i \quad z_2 = 2\, e^{i(\pi/6 + 4\pi/3)} = 2\, e^{-i\pi/2} = -2i. $$

Exemple

Les trois racines cubiques de $8i$ forment un triangle équilatéral sur le cercle de rayon $\sqrt[3]{8} = 2$. (Le point $a = 8i$ serait hors du cadre ci-dessus ; la figure est centrée sur les racines.)

Compétences à pratiquer

Calculer des racines $n$-ièmes

IV Interprétation géométrique

On encaisse maintenant le pont entre $\mathbb{C}$ et le plan euclidien. À chaque point $M$ on associe son affixe $z_M \in \mathbb{C}$, avec le dictionnaire : un vecteur devient une différence d'affixes, une translation une addition, une rotation une multiplication par $e^{i\theta}$. L'alignement devient « rapport réel » ; l'orthogonalité devient « rapport imaginaire pur ». On lit ensuite, directement sur la forme algébrique, les trois transformations classiques --- translation, homothétie, rotation --- et la façon dont elles se composent.

IV.1 Affixe$\virgule$ alignement$\virgule$ orthogonalité

L'identification d'Argand est bilatérale : un complexe $z = a + ib$ correspond au point $M(a \,;\, b)$, et un point $M$ a pour affixe $z_M = a + ib$. Les vecteurs s'inscrivent dans ce dictionnaire : le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B - z_A$, lequel code à la fois la longueur (son module $= |z_B - z_A| = AB$) et la direction (son argument). De là, les tests géométriques --- alignement, orthogonalité, angle --- deviennent une routine algébrique.

Définition — Affixe

On fixe un repère orthonormé direct $(O, \vec u, \vec v)$ du plan.

L'affixe du point $M$ de coordonnées $(a \,;\, b)$ est $\textcolor{colordef}{z_M} = a + ib$.
L'affixe du vecteur $\vec w$ de coordonnées $(a \,;\, b)$ est $\textcolor{colordef}{z_{\vec w}} = a + ib$.
En particulier, l'affixe de $\overrightarrow{AB}$ est $z_B - z_A$.

L'application $M \mapsto z_M$ est une bijection du plan sur $\mathbb{C}$.

Proposition — Distance$\virgule$ alignement$\virgule$ orthogonalité

Pour trois points distincts $A, B, C$ du plan :

$\textcolor{colorprop}{AB = |z_B - z_A|}$ (distance = module de l'affixe vectorielle).
$A, B, C$ alignés $\iff \textcolor{colorprop}{\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}}$.
$\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC} \iff \textcolor{colorprop}{\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R}}$.
Plus généralement, l'angle orienté de $\overrightarrow{AB}$ à $\overrightarrow{AC}$ est $\textcolor{colorprop}{\arg\!\left( \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \right) \,[2\pi]}$.

Preuve

Distance. $z_B - z_A$ a pour module $\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = AB$.
Alignement. $A, B, C$ alignés (avec $A \ne B$) ssi $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires, c'est-à-dire qu'il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $z_C - z_A = \lambda(z_B - z_A)$. En divisant par $z_B - z_A \ne 0$, ce qui donne $(z_C - z_A)/(z_B - z_A) = \lambda \in \mathbb{R}$.
Orthogonalité. Le produit scalaire est $\operatorname{Re}\bigl( \conjugate{z_B - z_A}(z_C - z_A) \bigr)$. Il s'annule ssi $\conjugate{z_B - z_A}(z_C - z_A)$ est imaginaire pur, ssi $(z_C - z_A)/(z_B - z_A) = (z_C - z_A)\conjugate{z_B - z_A}/|z_B - z_A|^2$ est imaginaire pur (multiplier par le réel positif $1/|z_B - z_A|^2$ préserve l'axe imaginaire).
Angle. L'argument d'un quotient d'affixes est la différence des arguments des vecteurs correspondants --- soit l'angle orienté.

Méthode — Démontrer alignement ou orthogonalité

Étant donné trois points $A, B, C$ par leurs affixes :

pour tester l'alignement, calculer le rapport $r = (z_C - z_A)/(z_B - z_A)$ et vérifier $r \in \mathbb{R}$ (par exemple en vérifiant $r = \conjugate{r}$, ou en calculant $\operatorname{Im}(r)$) ;
pour tester l'orthogonalité, vérifier $r \in i\mathbb{R}$ (par exemple $r = -\conjugate{r}$, ou $\operatorname{Re}(r) = 0$) ;
pour calculer l'angle, prendre $\arg(r)$.

On convertit ainsi les questions géométriques en vérifications algébriques d'une ligne.

Exemple

$A(1+i)$, $B(2+3i)$, $C(-1-3i)$ sont-ils alignés ?
$r = (z_C - z_A)/(z_B - z_A) = (-2 - 4i)/(1 + 2i)$. On multiplie par $\conjugate{1 + 2i} = 1 - 2i$ : $$ r = \frac{(-2 - 4i)(1 - 2i)}{|1+2i|^2} = \frac{-2 + 4i - 4i + 8i^2}{5} = \frac{-2 - 8}{5} = -2. $$ $r \in \mathbb{R}$, donc $A, B, C$ sont alignés.

Exemple

Montrer que le triangle $A(0)$, $B(1)$, $C(\dfrac{1}{2} + \dfrac{i\sqrt 3}{2})$ est équilatéral.

Correction

$AB = |1 - 0| = 1$. $AC = |\dfrac{1}{2} + \dfrac{i\sqrt 3}{2}| = 1$. $BC = |\!-\!\dfrac{1}{2} + \dfrac{i\sqrt 3}{2}| = 1$. Trois côtés égaux : équilatéral.
Variante : $C - A = e^{i\pi/3}(B - A)$, donc $\overrightarrow{AC}$ s'obtient de $\overrightarrow{AB}$ par une rotation d'angle $\pi/3$ --- la signature d'un triangle équilatéral.

Compétences à pratiquer

Tester alignement$\virgule$ orthogonalité et angles

IV.2 Cas particuliers : translations$\virgule$ homothéties$\virgule$ rotations

On déballe les trois transformations classiques comme cas particuliers de similitudes directes. Chacune a une forme algébrique d'une ligne, une description géométrique d'une ligne et un seul paramètre à identifier (vecteur, rapport ou angle).

Définition — Translation$\virgule$ homothétie$\virgule$ rotation

La translation de vecteur $\vec u$ d'affixe $b \in \mathbb{C}$ est $\textcolor{colordef}{t_{\vec u}: z \mapsto z + b}$.
L'homothétie de centre $\omega \in \mathbb{C}$ et de rapport $k \in \mathbb{R}^*$ est $\textcolor{colordef}{h_{\omega, k}: z \mapsto \omega + k(z - \omega)} = kz + (1-k)\omega$.
La rotation de centre $\omega \in \mathbb{C}$ et d'angle $\theta \in \mathbb{R}$ est $\textcolor{colordef}{r_{\omega, \theta}: z \mapsto \omega + e^{i\theta}(z - \omega)} = e^{i\theta}z + (1 - e^{i\theta})\omega$.

Exemple

Translation $z \mapsto z + b$ : chaque point se décale du même vecteur $\vec b$.

Exemple

Homothétie $h_{\omega, 2}$ : chaque $z$ s'envoie à deux fois la distance de $\omega$, sur le même rayon. Un rapport négatif inverse le sens (symétrie centrale pour $k = -1$).

Exemple

Rotation $r_{\omega, \theta}$ : chaque point tourne autour de $\omega$ d'un angle $\theta$, en gardant sa distance à $\omega$ inchangée.

Proposition — Composition des trois transformations

Les applications $z \mapsto a z + b$ ($a \in \mathbb{C}^*$, $b \in \mathbb{C}$) sont stables par composition : pour $f_1 \colon z \mapsto a_1 z + b_1$ et $f_2 \colon z \mapsto a_2 z + b_2$, $$ f_2 \circ f_1 \colon z \longmapsto (a_2 a_1)\, z + (a_2 b_1 + b_2). $$ Une transformation de centre $\omega$ et de partie linéaire $a$ s'écrit $z \mapsto a(z - \omega) + \omega$ (une homothétie si $a = k \in \mathbb{R}^*$, une rotation si $a = e^{i\theta}$). En se restreignant aux trois transformations classiques :

deux translations se composent en une translation (les vecteurs s'ajoutent) ;
deux homothéties de même centre $\omega$ se composent en une homothétie de centre $\omega$ (les rapports se multiplient) ; deux rotations de même centre $\omega$ en une rotation de centre $\omega$ (les angles s'ajoutent) ;
une homothétie et une rotation de même centre $\omega$ se composent en $z \mapsto a(z - \omega) + \omega$ avec $a = k e^{i\theta}$ --- de rapport $|a|$ et d'angle $\arg a$ (c'est $z \mapsto a z$ lorsque $\omega = 0$).

Preuve

Calcul direct : $f_2(f_1(z)) = a_2(a_1 z + b_1) + b_2 = (a_2 a_1) z + (a_2 b_1 + b_2)$, à nouveau de la forme $z \mapsto a z + b$ avec $a = a_2 a_1 \ne 0$. Pour les cas particuliers, on écrit chaque transformation autour de son centre : une transformation de centre $\omega$ et de partie linéaire $a$ est $z \mapsto a(z - \omega) + \omega$, et elle fixe $\omega$. Composer deux telles transformations de même centre $\omega$ fixe encore $\omega$ et multiplie les parties linéaires : $z \mapsto a_2 a_1 (z - \omega) + \omega$. Ainsi deux homothéties ($a = k \in \mathbb{R}^*$) donnent une homothétie (rapport $k_2 k_1$) ; deux rotations ($a = e^{i\theta}$) une rotation (angle $\theta_1 + \theta_2$) ; une homothétie et une rotation donnent $a = k e^{i\theta}$. Les translations ($a = 1$) ajoutent leurs vecteurs.

Exemple

Composer deux rotations : $r_1 = r_{0, \pi/3}: z \mapsto e^{i\pi/3} z$ et $r_2 = r_{0, \pi/4}: z \mapsto e^{i\pi/4} z$. Alors $r_2 \circ r_1: z \mapsto e^{i\pi/4} e^{i\pi/3} z = e^{i\,7\pi/12} z$, soit la rotation de centre $0$ et d'angle $7\pi/12$. La composition de deux rotations de même centre ajoute les angles --- évidence rendue manifeste par la forme algébrique.

Compétences à pratiquer

Composer des transformations classiques