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Changements de bases, équivalence, similitude

⌚ ~19 min ▢ 2 blocs ✓ 11 exercices ➣ Prérequis : Représentation matricielle des applications linéaires, Espaces vectoriels de dimension finie

Le chapitre Représentation matricielle des applications linéaires a mis en place le dictionnaire $u \leftrightarrow \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}(u)$ entre une application linéaire et sa matrice, une fois une base fixée. Deux questions naturelles restaient ouvertes : comment la matrice se transforme-t-elle lorsque la base change, et quelle est la bonne façon de dire que deux matrices codent « le même » endomorphisme à un changement de point de vue près ? Ce chapitre répond aux deux.
Le plan a deux sections. Changement de base introduit la matrice de passage $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$, démontre les deux formules clés $X = P X'$ (pour un vecteur) et $A' = Q^{-1} A P$ (pour une application linéaire), et spécialise la seconde formule aux endomorphismes ($A' = P^{-1} A P$). Matrices semblables introduit la relation « matrices semblables » sur les matrices carrées : deux matrices sont semblables lorsqu'elles représentent le même endomorphisme dans deux bases ; le rang est un invariant de similitude, mais il ne classifie pas les classes de similitude.
Tout au long du chapitre, $\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}$, et tous les espaces vectoriels $E, F, G$ sont des $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimension finie, munis de bases notées $\mathcal{B}, \mathcal{B}', \mathcal{B}''$ etc. Pour une application linéaire $u \in \mathcal{L}(E, F)$ avec $\dim E = p$ et $\dim F = n$, la matrice $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}(u) \in M_{n, p}(\mathbb{K})$ se lit dans la base de départ $\mathcal{B}$ et la base d'arrivée $\mathcal{B}'$ ; pour un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$, $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) \in M_n(\mathbb{K})$ utilise la même base au départ et à l'arrivée. Les notations $\mathrm{rg}, \mathrm{Ker}, \mathrm{Im}$ gardent leur sens usuel. $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ désigne le groupe des matrices inversibles de taille $n$ et $\mathrm{GL}(E)$ le groupe des automorphismes de $E$.

I Changement de base

L'histoire du changement de base repose sur un seul objet : la matrice de passage $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$, dont les colonnes stockent les vecteurs de la nouvelle base exprimés dans l'ancienne. Deux formules en découlent mécaniquement. Un vecteur a deux colonnes de coordonnées $X$ (ancienne base) et $X'$ (nouvelle base) ; elles sont liées par $X = P X'$. Une application linéaire a deux représentations matricielles $A$ (ancien couple de bases) et $A'$ (nouveau couple) ; elles sont liées par $A' = Q^{-1} A P$, où $P$ est le changement au départ et $Q$ le changement à l'arrivée. Pour un endomorphisme, départ et arrivée coïncident : $A' = P^{-1} A P$.

Définition — Matrice de passage

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ deux bases de $E$. La matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$ est $$ P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}', \mathcal{B}}(\mathrm{Id}_E). $$ De façon plus explicite, notons $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$, $\mathcal{B}' = (e'_1, \dots, e'_n)$ et $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} = (a_{ij})_{1 \le i \le n,\, 1 \le j \le n}$. On a alors $$ \forall j \in \{1, \dots, n\} : \quad e'_j = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\, e_i. $$ De manière équivalente, la $j$-ième colonne de $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$ contient les coordonnées de $e'_j$ dans la base $\mathcal{B}$ :

Proposition — Propriétés de la matrice de passage

Soit $\mathcal{B}, \mathcal{B}', \mathcal{B}''$ trois bases du même $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. Alors :

Inversibilité : $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ où $n = \dim E$, d'inverse $\bigl(P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}\bigr)^{-1} = P_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}}$.
Composition : $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} \cdot P_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}''} = P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}''}$.

Preuve

Les deux propriétés découlent de l'isomorphisme de dictionnaire du chapitre Représentation matricielle des applications linéaires.

Inversibilité. L'identité $\mathrm{Id}_E$ est un automorphisme de $E$, donc par le théorème « iso $\Leftrightarrow$ matrice inversible », $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}', \mathcal{B}}(\mathrm{Id}_E)$ est inversible et son inverse vaut $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}(\mathrm{Id}_E^{-1}) = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}(\mathrm{Id}_E) = P_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}}$.
Composition. Appliquer le théorème « composition devient produit matriciel » à $\mathrm{Id}_E \circ \mathrm{Id}_E = \mathrm{Id}_E$ lue dans les trois bases $\mathcal{B}'', \mathcal{B}', \mathcal{B}$ : $$ \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'', \mathcal{B}}(\mathrm{Id}_E) = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}', \mathcal{B}}(\mathrm{Id}_E) \cdot \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'', \mathcal{B}'}(\mathrm{Id}_E), $$ ce qui se lit $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}''} = P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} \cdot P_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}''}$.

Exemple

Dans $\mathbb{R}^2$, prenons la base canonique $\mathcal{B} = ((1, 0), (0, 1))$ et la base $\mathcal{B}' = ((1, 1), (1, -1))$. Les colonnes de $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$ sont les coordonnées de $(1, 1)$ et $(1, -1)$ dans $\mathcal{B}$, qui se lisent directement : $$ P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}. $$ L'inverse $P_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}}$ s'obtient par Gauss-Jordan ou par inversion directe $2 \times 2$ : $P_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$.

Exemple

Dans $\mathbb{R}_2[X]$, prenons la base canonique $\mathcal{B} = (1, X, X^2)$ et la base de Taylor au point $a \in \mathbb{R}$ : $\mathcal{B}' = (1, X - a, (X - a)^2)$. Le développement donne $(X - a)^2 = X^2 - 2 a X + a^2$, donc les colonnes de $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$ valent $$ P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & -a & a^2 \\ 0 & 1 & -2 a \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$ La matrice est triangulaire supérieure de diagonale $(1, 1, 1)$, donc inversible --- ce qui confirme que $\mathcal{B}'$ est bien une base.

Méthode — Calculer la matrice de passage

Pour calculer $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$ :

Lire chaque vecteur $e'_j$ de $\mathcal{B}'$.
Décomposer $e'_j$ dans $\mathcal{B}$ : $e'_j = a_{1j} e_1 + \dots + a_{nj} e_n$.
La $j$-ième colonne de $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$ est $(a_{1j}, \dots, a_{nj})^\top$.

Les colonnes de $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$ sont les vecteurs de $\mathcal{B}'$ exprimés dans $\mathcal{B}$. Échanger les rôles pour obtenir $P_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}}$ --- ou inverser la matrice.

Theorem — Changement de base pour un vecteur

Soit $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ deux bases d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. Pour tout $x \in E$, avec $X = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(x)$ et $X' = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(x)$ : $$ X = P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} \, X'. $$

Preuve

Appliquer la formule matrice-vecteur du chapitre Représentation matricielle des applications linéaires à l'identité $\mathrm{Id}_E$ et au vecteur $x$, lue avec base de départ $\mathcal{B}'$ et base d'arrivée $\mathcal{B}$ : $$ \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(\mathrm{Id}_E(x)) = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}', \mathcal{B}}(\mathrm{Id}_E) \cdot \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(x). $$ Comme $\mathrm{Id}_E(x) = x$, le membre de gauche vaut $X$ ; le membre de droite vaut $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} \cdot X'$, d'où $X = P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} X'$.

Attention à la convention

La matrice de passage convertit les NOUVELLES coordonnées en ANCIENNES coordonnées, et non l'inverse : $$ X = P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} \, X' \qquad \text{(nouvelles $X'$ à droite, anciennes $X$ à gauche).} $$ Pour passer des anciennes aux nouvelles, inverser : $X' = \bigl(P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}\bigr)^{-1} X = P_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}} X$.
C'est le principal piège du chapitre --- les étudiants s'attendent souvent au sens opposé. La convention est forcée par la définition $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}', \mathcal{B}}(\mathrm{Id}_E)$ : les colonnes sont les vecteurs de $\mathcal{B}'$ dans $\mathcal{B}$, donc multiplier par $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$ « reconvertit les coordonnées de $\mathcal{B}'$ vers $\mathcal{B}$ ».

Exemple

Avec les bases $\mathcal{B} = ((1, 0), (0, 1))$ et $\mathcal{B}' = ((1, 1), (1, -1))$ de $\mathbb{R}^2$ comme précédemment, prenons $x = (3, 5)$. Dans la base canonique, $X = (3, 5)^\top$ directement. Les coordonnées $X' = (a, b)^\top$ dans $\mathcal{B}'$ vérifient $X = P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} X'$, soit $a + b = 3$ et $a - b = 5$. L'addition donne $a = 4$, puis $b = -1$. Donc $X' = (4, -1)^\top$.

Méthode — Passer d'une base à l'autre pour un vecteur

Étant donnés $P = P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$ et un vecteur $x$ dont on connaît les coordonnées dans une base :

Nouvelles $\to$ anciennes : si $X'$ est connu, alors $X = P X'$ directement.
Anciennes $\to$ nouvelles : si $X$ est connu, alors $X' = P^{-1} X$. Soit inverser $P$, soit résoudre le système linéaire $P X' = X$ d'inconnue $X'$.

Theorem — Changement de bases pour une application linéaire

Soit $u \in \mathcal{L}(E, F)$ avec $E$ et $F$ de dimension finie. Soit $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ deux bases de $E$ et $\mathcal{C}, \mathcal{C}'$ deux bases de $F$. Posons $P = P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$, $Q = P_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}'}$, $A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}(u)$, $A' = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}', \mathcal{C}'}(u)$. Alors $$ A' = Q^{-1} \, A \, P. $$

Preuve

Appliquer le théorème « composition devient produit matriciel » à $u \circ \mathrm{Id}_E = \mathrm{Id}_F \circ u$, lue avec base de départ $\mathcal{B}'$ et base d'arrivée $\mathcal{C}$ : $$ \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}', \mathcal{C}}(u \circ \mathrm{Id}_E) = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}', \mathcal{C}}(\mathrm{Id}_F \circ u). $$ Le membre de gauche se factorise en $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}(u) \cdot \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}', \mathcal{B}}(\mathrm{Id}_E) = A \cdot P$. Le membre de droite se factorise en $\mathrm{Mat}_{\mathcal{C}', \mathcal{C}}(\mathrm{Id}_F) \cdot \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}', \mathcal{C}'}(u) = Q \cdot A'$. D'où $A P = Q A'$, et $Q$ étant inversible, $A' = Q^{-1} A P$.

Le diagramme commutatif ci-dessous illustre la formule. Chaque sommet est un espace de coordonnées, chaque flèche horizontale code $u$ dans le couple de bases correspondant, et chaque flèche verticale code le changement de base (nouvelles $\to$ anciennes). La commutativité du carré se lit $A P = Q A'$, soit $A' = Q^{-1} A P$.

Corollary — Cas d'un endomorphisme

Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ avec $E$ de dimension finie. Soit $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ deux bases de $E$. Posons $P = P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$, $A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u)$, $A' = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(u)$. Alors $$ A' = P^{-1} \, A \, P. $$

Preuve

Cas particulier du théorème précédent avec $E = F$, $\mathcal{C} = \mathcal{B}$, $\mathcal{C}' = \mathcal{B}'$, donc $Q = P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} = P$.

Exemple

Prenons l'endomorphisme $u \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, $u(x, y) = (x + y, y)$ (un cisaillement). Dans la base canonique $\mathcal{B} = ((1, 0), (0, 1))$, $u(1, 0) = (1, 0)$ et $u(0, 1) = (1, 1)$, donc $$ A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. $$ Passons à la base $\mathcal{B}' = ((1, 1), (0, 1))$. Les colonnes de $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$ sont les vecteurs de la nouvelle base exprimés dans la base canonique : $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, et $P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$. Calculons étape par étape : $$ A P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A' = P^{-1} (A P) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. $$ La nouvelle matrice $A'$ est véritablement différente de $A$ --- les coefficients ont changé --- mais, par construction via la formule $A' = P^{-1} A P$, les deux matrices représentent le même endomorphisme de cisaillement $u$, lu simplement dans deux bases différentes.

Méthode — Appliquer la formule de changement de base

Pour calculer $A' = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}', \mathcal{C}'}(u)$ à partir de $A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}(u)$ :

Identifier la matrice de passage au départ $P = P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$.
Identifier la matrice de passage à l'arrivée $Q = P_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}'}$.
Calculer $A' = Q^{-1} A P$ (produit matriciel).

Pour un endomorphisme avec un seul changement de base, $P = Q$ et la formule devient $A' = P^{-1} A P$.

Compétences à pratiquer

Changement de base

II Matrices semblables

Pour un endomorphisme, l'espace de départ et l'espace d'arrivée sont un seul et même espace $E$, donc un unique changement de base agit des deux côtés à la fois. En spécialisant la formule de changement de base $A' = Q^{-1} A P$ à cette situation, on force $Q = P$, et les deux matrices de l'endomorphisme dans l'ancienne et la nouvelle base sont liées par $A' = P^{-1} A P$. En lisant la chose à l'envers, on déclare que deux matrices carrées codent « le même endomorphisme à un choix de base près » dès qu'elles sont reliées par une telle formule. Cela donne la relation de similitude, que l'on étudie maintenant.

Définition — Matrices semblables

Deux matrices carrées $A, B \in M_n(\mathbb{K})$ sont semblables s'il existe $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ tel que $$ B = P^{-1} \, A \, P. $$ On note $A \sim_{\mathrm{sim}} B$. La similitude est définie uniquement entre matrices carrées de même taille.

Proposition — Exemple fondamental de similitude

Pour $u \in \mathcal{L}(E)$ avec $E$ de dimension finie, les matrices $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u)$ et $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(u)$ dans deux bases de $E$ sont semblables.

Preuve

Conséquence directe du corollaire « cas d'un endomorphisme » de Changement de base : $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(u) = P^{-1} \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) P$ où $P = P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$.

Theorem — Propriétés de la similitude

La relation $\sim_{\mathrm{sim}}$ sur $M_n(\mathbb{K})$ vérifie :

Relation d'équivalence : $\sim_{\mathrm{sim}}$ est réflexive, symétrique, transitive.
Invariance du rang : deux matrices semblables ont le même rang.

Preuve

Relation d'équivalence.
- Réflexivité : $A = I_n^{-1} A I_n$, donc $A \sim_{\mathrm{sim}} A$.
- Symétrie : si $B = P^{-1} A P$, alors $A = P B P^{-1} = (P^{-1})^{-1} B (P^{-1})$, donc $B \sim_{\mathrm{sim}} A$.
- Transitivité : si $B = P^{-1} A P$ et $C = R^{-1} B R$, alors $C = (P R)^{-1} A (P R)$, donc $A \sim_{\mathrm{sim}} C$.
Invariance du rang. Soit $B = P^{-1} A P$ avec $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$. Multiplier une matrice à gauche ou à droite par une matrice inversible conserve son rang (chapitre Représentation matricielle des applications linéaires, Proposition « La multiplication par une matrice inversible conserve le rang »). En l'appliquant deux fois --- une fois pour le facteur de gauche $P^{-1}$, une fois pour le facteur de droite $P$ --- on obtient $\mathrm{rg}(B) = \mathrm{rg}(A)$.

Exemple

Même rang, mais pas semblables. Prendre $A = I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (un cisaillement). Toutes deux de rang 2, donc l'invariant de rang ne les sépare pas.
Supposons par l'absurde $B = P^{-1} I_2 P$ pour un certain $P \in \mathrm{GL}_2(\mathbb{R})$. Alors $B = P^{-1} P = I_2$. Or $B \ne I_2$ : contradiction. Donc $A \not\sim_{\mathrm{sim}} B$, bien qu'elles aient le même rang. Ceci montre que le rang seul ne classifie pas les classes de similitude.

Exemple

Deux matrices de même rang qui sont semblables (avec $P$ explicite). Prendre $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ (échange) et $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ (diagonale). Toutes deux de rang 2. Posons $$ P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}. $$ Calcul de $P^{-1} A P = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = B$. Donc $A \sim_{\mathrm{sim}} B$.

Méthode — Montrer que deux matrices carrées ne sont PAS semblables

Pour $A, B \in M_n(\mathbb{K})$, exhiber un invariant qui diffère :

Rang : si $\mathrm{rg}(A) \ne \mathrm{rg}(B)$, non semblables.
Identités algébriques préservées : si l'une des matrices vérifie une identité polynomiale que l'autre ne vérifie pas (idempotence $X^2 = X$, involution $X^2 = I_n$, nilpotence $X^k = 0$, etc.), alors non semblables. Raison : la similitude préserve toutes ces identités, puisque $P^{-1} X^k P = (P^{-1} X P)^k$ et $P^{-1} I_n P = I_n$.

Ceci clôt le bloc d'algèbre linéaire à ce niveau. La similitude capture « le même endomorphisme lu dans deux bases » : le rang est un invariant de similitude, utile pour prouver que deux matrices ne sont pas semblables, mais il ne classifie pas les classes de similitude --- deux matrices peuvent avoir le même rang sans être semblables. Affiner davantage la similitude --- trouver, pour une matrice donnée, une matrice semblable simple --- est l'objet de la théorie des valeurs propres, abordée dans un cours ultérieur. Le chapitre suivant aborde les déterminants.

Compétences à pratiquer

Matrices semblables