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Analyse asymptotique

⌚ ~163 min ▢ 20 blocs ✓ 70 exercices ➣ Prérequis : Dérivabilité, Fonctions usuelles

L'analyse asymptotique est la boîte à outils de l'approximation locale dans ce cours. Face à une expression compliquée mettant en jeu une fonction au voisinage d'un point ou une suite en $+\infty$, l'objectif est de la comparer à des objets de référence simples --- puissances, logarithmes, exponentielles --- et d'en extraire l'information utile (limite, équivalent, position par rapport à une tangente ou à une asymptote) sans la calculer exactement. Le chapitre introduit trois relations de comparaison $f = o(g)$, $f = O(g)$, $f \sim g$, la théorie algébrique des développements limités (DL), la formule centrale de Taylor-Young et les applications à l'étude locale (limites, équivalents, position, asymptotes, extrema).
Le chapitre comporte six sections. La première section introduit les trois relations de comparaison pour les fonctions, le tableau des « croissances comparées » en $+\infty$ et en $0^+$, ainsi que les opérations et opérations interdites sur les équivalents. La deuxième section définit un DL, montre l'unicité de ses coefficients, relie le DL à l'ordre $1$ à la dérivabilité, démontre le lemme de primitivation et culmine sur Taylor-Young ; elle se clôt sur le tableau encadré des DLs usuels en $0$ que l'étudiant doit connaître par cœur. La troisième section traite les opérations sur les DLs (combinaison linéaire, produit, inverse, quotient, primitivation, composition par exemple), avec des mises en garde explicites sur les opérations qui échouent (dérivation, composition sans limite intérieure nulle en $0$). La quatrième section adapte les relations de comparaison aux suites --- on en fait une « adaptation rapide », donc la section est volontairement brève. La cinquième section applique les DLs à quatre problèmes d'étude locale : calculer une limite, extraire un équivalent, déterminer la position d'une courbe par rapport à sa tangente (avec une Proposition autonome pour CN et CS à l'ordre $2$ d'un extremum), déterminer une asymptote en $\pm \infty$. La dernière section esquisse quatre familles de problèmes asymptotiques --- fonction réciproque, équation à paramètre, suite récurrente, suite d'intégrales --- énonce le développement asymptotique de la somme harmonique ($H_n = \ln n + \gamma + o(1)$) et la formule de Stirling (les deux admises), puis en déduit l'équivalent du coefficient binomial central $\binom{2n}{n} \sim 4^n / \sqrt{\pi n}$.
Quatre réflexes que le lecteur doit emporter :

les deux formes équivalentes de $\sim$ : $f \sim g \iff f/g \to 1 \iff f = g + o(g)$ --- la seconde forme est le moteur de toute manipulation de DL ;
les opérations interdites sur les équivalents (pas de somme, pas de composition à gauche) et sur les DLs (pas de dérivation sans $\mathcal C^n$) ;
« le premier terme non nul d'un DL tient lieu d'équivalent » --- le pont entre les DLs et leurs applications ;
le réflexe « factoriser par le terme prépondérant » pour prévoir l'ordre auquel un DL doit être calculé.

I Relations de comparaison pour les fonctions

I.1 Négligeabilité $o$

On commence par le symbole de négligeabilité $o$, le plus utile en pratique des trois. Dire que $f$ est négligeable devant $g$ en un point $a$ signifie qu'au voisinage de $a$, $f$ est très petite devant $g$ : le rapport $f/g$ tend vers $0$. L'avantage d'écrire cela $f = o(g)$ plutôt que $f/g \to 0$ est double : (i) cela ne requiert pas que $g$ soit non nulle localement (on peut travailler directement avec la factorisation $f = \varepsilon g$ où $\varepsilon \to 0$) et (ii) cela se compose algébriquement (somme, produit, transitivité), produisant un calcul. On énonce immédiatement le tableau des croissances comparées --- puissances contre logarithmes contre exponentielles --- en un seul Théorème nommé ; c'est le contenu quantitatif le plus utilisé du chapitre.

Définition — Négligeabilité $f \equal o(g)$

Soient $a \in \overline{\mathbb R}$ et $f, g$ deux fonctions à valeurs réelles définies sur un voisinage de $a$ (éventuellement épointé en $a$). On dit que $f$ est négligeable devant $g$ en $a$, et on écrit $f(x) = o(g(x))$ lorsque $x \to a$ (ou simplement $f = o(g)$ en $a$), s'il existe une fonction $\varepsilon$ définie sur un voisinage de $a$ telle que $$ f(x) \ = \ \varepsilon(x) \, g(x) \qquad \text{au voisinage de } a, \qquad \text{avec} \qquad \varepsilon(x) \ \underset{x \to a}{\longrightarrow} \ 0. $$ Lorsque $g$ ne s'annule pas sur un voisinage épointé de $a$, cela équivaut à $f(x)/g(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} 0$. La notation $o(1)$ désigne toute fonction tendant vers $0$ en $a$.

Theorem — Croissances comparées usuelles

Les deux groupes de relations de négligeabilité suivants sont vrais pour les fonctions.

En $+\infty$. Pour tous $\alpha, \beta, \gamma > 0$ : $$ (\ln x)^\beta \ = \ o(x^\alpha) \quad \text{en } +\infty, \qquad x^\alpha \ = \ o(e^{\gamma x}) \quad \text{en } +\infty. $$
En $0^+$. Pour tous $\alpha, \beta > 0$ : $$ |\ln x|^\beta \ = \ o(x^{-\alpha}) \quad \text{en } 0^+, \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad x^\alpha \, |\ln x|^\beta \ \underset{x \to 0^+}{\longrightarrow} \ 0. $$

Le tableau discret analogue pour les suites (puissances contre exponentielles contre factorielles) est énoncé à la sous-section sur les croissances comparées discrètes.

Statut de la preuve

Les démonstrations se ramènent à des limites déjà établies au chapitre Dérivabilité (par l'Hôpital ou par monotonie de $x \mapsto x e^{-x}$, etc.). Elles sont admises ici ; le tableau discret côté suite est énoncé séparément à la sous-section sur les croissances comparées discrètes.

Méthode — Lire et manipuler un $o$

Le symbole $o(g)$ est un signe-écrin, pas une fonction : « $f = o(g)$ » signifie « il existe une fonction $\varepsilon \to 0$ telle que $f = \varepsilon g$ ». Deux occurrences distinctes de $o(g)$ sur la même ligne désignent deux signes-écrins distincts.

Somme et multiplication externe. $o(g_1) + o(g_2)$ reste distinct sauf si l'un domine : $o(g_1) + o(g_2) = o(g_1)$ lorsque $g_2 = o(g_1)$. Multiplication par une fonction non liée : $f \cdot o(g) = o(fg)$.
Transitivité. Si $f = o(g)$ en $a$ et $g = o(h)$ en $a$, alors $f = o(h)$ en $a$ (produit de deux fonctions tendant vers $0$).
$o(o(g)) = o(g)$. Si $f = o(\eta)$ et $\eta = o(g)$, alors $f = o(g)$. En particulier, $o(1) \cdot g = o(g)$.
Réflexe. Pour vérifier $f = o(g)$ en $a$ lorsque $g$ ne s'annule pas localement, calculer $\lim_{x \to a} f(x)/g(x)$ : s'il vaut $0$, la relation est vraie.

Exemple — Croissances polynomiales

En $0$, $x^3 = o(x^2)$ car $x^3/x^2 = x \to 0$. En $+\infty$, l'inverse est vrai : $x^2 = o(x^3)$ car $x^2/x^3 = 1/x \to 0$. Les rôles de « petit » et de « grand » s'inversent selon que le point base est fini ou infini.

Exemple — Croissances comparées usuelles

En $+\infty$, $\ln x = o(x^{1/100})$ (le log perd contre toute puissance) et $x^{100} = o(e^x)$ (l'exponentielle bat toute puissance). En $0^+$, $x \ln x \to 0$ car $x \ln x = - x \, |\ln x|$ et $x \, |\ln x|^1 \to 0$ (croissance comparée, cas $\alpha = 1, \beta = 1$). Ces trois motifs reviennent à chaque page du chapitre ; ils doivent se lire instantanément.

Compétences à pratiquer

Calculer des relations $o$ et utiliser les croissances comparées

I.2 Domination $O$

Le symbole de domination $O$ est une variante plus faible de $o$. Dire $f = O(g)$ en $a$ signifie que $f$ est au plus de la taille de $g$ au voisinage de $a$ : le rapport $f/g$ est borné au voisinage de $a$. Tout $o$ est un $O$ (une fonction tendant vers $0$ est en particulier bornée), mais la réciproque est fausse : $\cos x = O(1)$ sur $\mathbb R$ alors que $\cos x \ne o(1)$ en $+\infty$. On utilisera $O$ surtout pour écrire « erreur d'ordre $g$ » sans s'engager sur la négligeabilité.

Définition — Domination $f \equal O(g)$

Soient $a \in \overline{\mathbb R}$ et $f, g$ définies sur un voisinage de $a$. On dit que $f$ est dominée par $g$ en $a$, et on écrit $f(x) = O(g(x))$ lorsque $x \to a$ (ou $f = O(g)$ en $a$), s'il existe une fonction $\lambda$ définie et bornée sur un voisinage de $a$ telle que $$ f(x) \ = \ \lambda(x) \, g(x) \qquad \text{au voisinage de } a. $$ Lorsque $g$ ne s'annule pas sur un voisinage épointé de $a$, cela équivaut à $f(x)/g(x)$ borné au voisinage de $a$. La notation $O(1)$ désigne toute fonction bornée au voisinage de $a$.

Proposition — Liens entre $o$ et $O$

Pour deux fonctions $f, g$ définies sur un voisinage de $a \in \overline{\mathbb R}$ :

Si $f = o(g)$ en $a$, alors $f = O(g)$ en $a$ ;
$f = O(1)$ en $a$ si et seulement si $f$ est bornée sur un voisinage de $a$ ;
Les opérations sur $O$ reproduisent celles sur $o$ : $O(g_1) + O(g_2) \subset O(|g_1| + |g_2|)$ ; si de plus $g_2 = O(g_1)$, alors $O(g_1) + O(g_2) = O(g_1)$ ; $f \cdot O(g) = O(fg)$ ; $O(o(g)) = o(g)$ ; $o(O(g)) = o(g)$ ; transitivité.

Exemple — $O$ en $0$ et en $+\infty$

En $0$, $\sin x = O(x)$ car $|\sin x| \le |x|$ sur $\mathbb R$, donc $\sin x / x$ est borné par $1$ au voisinage de $0$ ; en fait plus est vrai : $\sin x = o(1)$ en $0$ puisque $\sin x \to 0$. En $+\infty$, $\cos x = O(1)$ sur $\mathbb R$ car $|\cos| \le 1$, mais $\cos x$ n'a pas de limite en $+\infty$ : il est borné sans être équivalent à une constante. C'est la différence véritable entre $O$ et $\sim$ : un $O$ contrôle la taille, pas le comportement asymptotique.

Compétences à pratiquer

Calculer des relations $O$

I.3 Équivalence $\sim$$\virgule$ opérations$\virgule$ opérations interdites

Le symbole d'équivalence $\sim$ est la relation centrale du chapitre. On dit $f \sim g$ en $a$ lorsque $f$ et $g$ ont le même comportement dominant au voisinage de $a$ : le rapport tend vers $1$. On enseigne côte à côte les deux caractérisations --- $f \sim g \iff f/g \to 1 \iff f = g + o(g)$ --- car la seconde forme est celle qui gouverne toute manipulation de DL dans les sections Opérations sur les DLs et Applications des DLs. On liste les opérations légales sur $\sim$ (produit, quotient, puissance) et on affiche les opérations interdites sous forme d'encadrés : les équivalents ne s'additionnent pas et ne passent pas dans une composition à gauche (par exemple $e^f$ avec $f \sim g$).

Définition — Équivalence $f \sim g$

Soient $a \in \overline{\mathbb R}$ et $f, g$ définies sur un voisinage de $a$. On dit que $f$ est équivalente à $g$ en $a$, et on écrit $f(x) \underset{x \to a}{\sim} g(x)$ (ou $f \sim g$ en $a$), s'il existe une fonction $\eta$ définie sur un voisinage de $a$ telle que $$ f(x) \ = \ \eta(x) \, g(x) \qquad \text{au voisinage de } a, \qquad \text{avec} \qquad \eta(x) \ \underset{x \to a}{\longrightarrow} \ 1. $$ En pratique, on utilise cette relation lorsque $g$ ne s'annule pas sur un voisinage épointé de $a$, de sorte que la forme équivalente $f / g \to 1$ soit disponible et que les énoncés de signe et de limite ci-dessous soient sans ambiguïté.

Proposition — Caractérisation à deux formes de $\sim$

Soient $f, g$ définies sur un voisinage de $a \in \overline{\mathbb R}$, avec $g$ ne s'annulant pas sur un voisinage épointé de $a$. Les trois énoncés suivants sont équivalents :

$f \sim g$ en $a$ ;
$f(x)/g(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} 1$ ;
$f(x) = g(x) + o(g(x))$ en $a$.

Preuve

Par définition, $f \sim g$ ssi $f = \eta g$ au voisinage de $a$ avec $\eta \to 1$. Comme $g$ ne s'annule pas localement, cela équivaut à $f/g = \eta \to 1$, qui est (ii). Pour obtenir (iii), on écrit $\eta = 1 + (\eta - 1)$ et on remarque $\eta - 1 \to 0$ ; alors $f = g + (\eta - 1) g = g + o(g)$ puisque $(\eta - 1) g = o(g)$. Réciproquement, $f = g + o(g) = g(1 + o(1))$ avec $1 + o(1) \to 1$, donc $f \sim g$ par la définition.

Proposition — L'équivalence est une relation$\virgule$ préserve signe et limite

Soit $a \in \overline{\mathbb R}$. La relation $\sim$ en $a$ est une relation d'équivalence sur l'ensemble des fonctions définies et non nulles sur un voisinage épointé de $a$. De plus, si $f \sim g$ en $a$, alors :

$f$ et $g$ ont même signe sur un voisinage épointé de $a$ ;
$f$ et $g$ ont même limite en $a$ (finie, $+\infty$ ou $-\infty$).

Preuve

Relation d'équivalence. Réflexivité : $f = 1 \cdot f$ avec $1 \to 1$. Symétrie : si $f = \eta g$ avec $\eta \to 1$, alors $1/\eta \to 1$ et $g = (1/\eta) f$ sur un voisinage où $\eta$ reste proche de $1$ (donc non nulle). Transitivité : si $f = \eta_1 g$ avec $\eta_1 \to 1$ et $g = \eta_2 h$ avec $\eta_2 \to 1$, alors $f = \eta_1 \eta_2 h$ avec $\eta_1 \eta_2 \to 1$.
Même signe. Comme $f = \eta g$ avec $\eta \to 1$, il existe un voisinage de $a$ sur lequel $\eta > 1/2 > 0$ ; sur ce voisinage, $f$ et $g$ ont même signe.
Même limite. Si $g(x) \to \ell \in \overline{\mathbb R}$, alors $f(x) = \eta(x) g(x) \to 1 \cdot \ell = \ell$ par la règle du produit des limites.

Méthode — Opérations sur les équivalents (et opérations interdites)

« Il ne doit en rester qu'un » : dans une chaîne multiplicative, un seul équivalent apparaît à la fin. Les opérations légales sur $\sim$ en $a$ sont :

Produit. Si $f_1 \sim g_1$ et $f_2 \sim g_2$, alors $f_1 f_2 \sim g_1 g_2$.
Quotient. Si $f_1 \sim g_1$ et $f_2 \sim g_2$ avec $g_2$ non nulle au voisinage de $a$, alors $f_1/f_2 \sim g_1/g_2$.
Puissance entière (ou réelle). Si $f \sim g$ avec $g > 0$ au voisinage de $a$, alors $f^\alpha \sim g^\alpha$ pour tout $\alpha \in \mathbb R$.

Deux opérations interdites --- ne jamais les appliquer :

[(F1)] Somme d'équivalents. $f_1 \sim g_1$ et $f_2 \sim g_2$ n'impliquent pas $f_1 + f_2 \sim g_1 + g_2$. Contre-exemple : $f_1 = n+1 \sim n = g_1$, $f_2 = -n \sim -n = g_2$ ; la somme cible $g_1 + g_2 = 0$ est identiquement nulle, donc ne peut pas servir d'équivalent au sens usuel à dénominateur non nul, tandis que $f_1 + f_2 = 1 \ne 0$. L'opération n'a pas de sens sur ce couple.
[(F2)] Composition à gauche. $f \sim g$ n'implique pas $\varphi(f) \sim \varphi(g)$ pour $\varphi$ quelconque. Contre-exemple : $n + \ln n \sim n$ en $+\infty$, mais $e^{n + \ln n} = n e^n \not\sim e^n$ en $+\infty$.

Proposition — Encadrement pour les équivalents

Soient $a \in \overline{\mathbb R}$ et $f, g, h$ définies sur un voisinage de $a$ telles que :

$f(x) \le g(x) \le h(x)$ sur un voisinage de $a$ ;
$f \sim h$ en $a$ ;
$f$ est de signe constant non nul sur un voisinage épointé de $a$.

Alors $g \sim f$ en $a$ (et de même $g \sim h$).

Preuve

Comme $f$ est de signe constant non nul sur un voisinage épointé de $a$, on distingue deux cas.
Cas $f > 0$ au voisinage de $a$. On divise l'inégalité $f \le g \le h$ par $f > 0$ : $1 \le g/f \le h/f$. Par hypothèse $f \sim h$, donc $h/f \to 1$ en $a$. Par le théorème d'encadrement des limites, $g/f \to 1$ en $a$, donc $g \sim f$.
Cas $f < 0$ au voisinage de $a$. La division de $f \le g \le h$ par $f < 0$ renverse les inégalités : $1 \ge g/f \ge h/f$. À nouveau $h/f \to 1$, donc par encadrement $g/f \to 1$, donc $g \sim f$.

Exemple — Limite par équivalent en $0$

En $0$, $\sin x \sim x$ (car $\sin x / x \to 1$, limite classique). Donc $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \ = \ 1, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \ = \ \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} \ = \ 2 $$ où à la dernière étape on a remplacé $\sin(2x)$ par son équivalent $2x$ en $0$ (puisque $2x \to 0$ quand $x \to 0$, la substitution dans $\sin$ est légitime par composition à limite intérieure nulle en $0$, voir la sous-section Composition ci-dessous).

Exemple — Somme interdite --- contre-exemple

En $+\infty$, $n + 1 \sim n$ et $-n \sim -n$. Si la somme d'équivalents était légale, on conclurait que la somme $(n+1) + (-n) = 1$ est équivalente à $n + (-n) = 0$ --- mais la cible $0$ est identiquement nulle, donc la relation n'a pas de sens. La leçon opérationnelle : ne jamais substituer un terme par son équivalent dans une somme --- toujours se ramener à une seule chaîne multiplicative, par exemple en factorisant le terme dominant.

Compétences à pratiquer

Manipuler les équivalents et éviter les opérations interdites

II Développements limités$\virgule$ généralités et formule de Taylor-Young

II.1 Définition$\virgule$ unicité$\virgule$ troncature$\virgule$ parité

Un développement limité (DL) à l'ordre $n$ en $a$ est une approximation polynomiale de $f$ au voisinage de $a$ à un reste $o((x-a)^n)$ près. C'est la structure de données motrice de l'analyse asymptotique : elle empaquette, en une liste finie de coefficients, toute l'information locale nécessaire pour calculer limites, équivalents, position par rapport à la tangente et asymptotes. On définit un DL, on prouve l'unicité de ses coefficients (le fait structurel qui permet de faire de l'arithmétique sur les DLs), on énonce la Proposition de troncature (un DL à l'ordre $n$ donne un DL à tout ordre inférieur) et on conclut par la règle de parité sur les DLs en $0$.

Définition — Développement limité à l'ordre $n$

Soient $a \in \mathbb R$, $n \in \mathbb N$ et $f$ une fonction à valeurs réelles définie sur un voisinage de $a$ (éventuellement épointé en $a$). On dit que $f$ admet un développement limité (DL) à l'ordre $n$ en $a$ s'il existe des réels $a_0, a_1, \ldots, a_n$ tels que, au voisinage de $a$, $$ f(x) \ = \ a_0 + a_1 (x - a) + \ldots + a_n (x - a)^n + o\bigl((x - a)^n\bigr). $$ Le polynôme $P(x) = \sum_{k=0}^n a_k (x - a)^k$ est la partie régulière du DL, et le terme $o((x-a)^n)$ est le reste. Lorsque $a = 0$, on dit simplement « en $0$ ».

Theorem — Unicité du DL

Si $f$ admet un DL à l'ordre $n$ en $a$, les coefficients $a_0, \ldots, a_n$ de sa partie régulière sont uniquement déterminés par $f, a, n$.

Preuve

Supposons que $f$ admette deux DLs à l'ordre $n$ en $a$ : $$ f(x) \ = \ \sum_{k=0}^n a_k (x-a)^k + o((x-a)^n) \ = \ \sum_{k=0}^n b_k (x-a)^k + o((x-a)^n). $$ En soustrayant, $\sum_{k=0}^n (a_k - b_k) (x-a)^k = o((x-a)^n)$. Supposons par l'absurde que les coefficients ne coïncident pas tous ; soit $p$ le plus petit indice avec $a_p \ne b_p$. Alors $$ (a_p - b_p) (x-a)^p + \sum_{k=p+1}^n (a_k - b_k) (x-a)^k \ = \ o((x-a)^n). $$ On divise par $(x-a)^p$ (valable pour $x \ne a$ au voisinage de $a$) : $a_p - b_p + \sum_{k=p+1}^n (a_k - b_k) (x-a)^{k-p} = o((x-a)^{n-p})$. Quand $x \to a$, le membre de gauche tend vers $a_p - b_p \ne 0$, tandis que celui de droite tend vers $0$ puisque $n - p \ge 0$ et $o((x-a)^{n-p})$ est soit une puissance explicite tendant vers $0$, soit, quand $n = p$, un $o(1)$ qui tend toujours vers $0$. Contradiction.

Proposition — Troncature d'un DL

Si $f$ admet un DL à l'ordre $n$ en $a$ de partie régulière $\sum_{k=0}^n a_k (x-a)^k$, alors pour tout $m \in \{0, 1, \ldots, n\}$, $f$ admet un DL à l'ordre $m$ en $a$, de partie régulière $\sum_{k=0}^m a_k (x-a)^k$.

Proposition — Parité d'un DL en $0$

Soit $f$ définie sur un voisinage symétrique $]-r, r[$ de $0$ et admettant un DL à l'ordre $n$ en $0$ de partie régulière $\sum_{k=0}^n a_k x^k$. Alors :

si $f$ est paire, les coefficients d'indice impair sont nuls : $a_1 = a_3 = a_5 = \ldots = 0$ ;
si $f$ est impaire, les coefficients d'indice pair sont nuls : $a_0 = a_2 = a_4 = \ldots = 0$.

Exemple — DL de $1/(1-x)$ à l'ordre $n$ en $0$

Pour $x \ne 1$, l'identité de la somme géométrique donne $$ \frac{1}{1 - x} \ = \ 1 + x + x^2 + \ldots + x^n + \frac{x^{n+1}}{1 - x}. $$ Au voisinage de $0$, $x^{n+1}/(1-x) = x^{n+1} \cdot \frac{1}{1-x}$ avec $1/(1-x) \to 1$, donc $x^{n+1}/(1-x) = o(x^n)$ (car $x^{n+1} = x \cdot x^n$ et $x \to 0$). D'où $$ \frac{1}{1 - x} \ = \ 1 + x + x^2 + \ldots + x^n + o(x^n) \qquad \text{en } 0. $$ C'est le premier DL « usuel » du tableau encadré à la sous-section Tableau des DLs usuels en $0$.

Compétences à pratiquer

Calculer un DL par la définition ou par Taylor-Young

II.2 DL et dérivabilité$\virgule$ lemme de primitivation

Un DL à l'ordre $0$ signifie que $f$ admet une limite en $a$ ; un DL à l'ordre $1$ signifie précisément que $f$ est dérivable en $a$ (avec l'identification naturelle du coefficient $a_1$ à la dérivée $f'(a)$). Au-delà de l'ordre $1$, dérivabilité et existence d'un DL ne sont plus équivalentes : une fonction peut admettre un DL à l'ordre $n$ sans être dérivable $n$ fois. On démontre ensuite un petit mais central lemme technique --- le lemme de primitivation : une primitive d'une fonction admettant un DL à l'ordre $n$ admet un DL à l'ordre $n + 1$. C'est le moteur de Taylor-Young à la sous-section suivante et du DL de $\ln(1+x)$ à partir de celui de $1/(1-x)$ à la sous-section sur le tableau des DLs usuels en $0$.

Proposition — Caractérisation de la dérivabilité par un DL à l'ordre $1$

Soit $f$ définie sur un voisinage de $a \in \mathbb R$. Les deux énoncés suivants sont équivalents :

$f$ est dérivable en $a$ ;
$f$ admet un DL à l'ordre $1$ en $a$.

Dans ce cas, le DL s'écrit $f(x) = f(a) + f'(a) (x - a) + o(x - a)$.

Preuve

$f$ est dérivable en $a$ de dérivée $\ell$ ssi $\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \to \ell$ quand $x \to a$, ssi $f(x) - f(a) = \ell (x - a) + (x - a) \varepsilon(x)$ avec $\varepsilon \to 0$, ssi $f(x) = f(a) + \ell (x - a) + o(x - a)$. Par unicité du DL, $\ell$ est le coefficient de $(x - a)$ dans le DL ; on note $\ell = f'(a)$.

Proposition — Lemme de primitivation

Soit $g$ une fonction à valeurs réelles admettant un DL à l'ordre $n$ en $0$, $g(x) = \sum_{k=0}^n b_k x^k + o(x^n)$. Soit $G$ une primitive de $g$ sur un voisinage de $0$ (en supposant $g$ continue au voisinage de $0$). Alors $G$ admet un DL à l'ordre $n + 1$ en $0$, donné par $$ G(x) \ = \ G(0) + \sum_{k=0}^n \frac{b_k}{k + 1} \, x^{k+1} + o(x^{n+1}). $$

Preuve

On écrit $g(x) = P(x) + x^n \varepsilon(x)$ où $P(x) = \sum_{k=0}^n b_k x^k$ et $\varepsilon \to 0$ en $0$. Posons $H(x) = G(x) - G(0) - \sum_{k=0}^n \frac{b_k}{k+1} x^{k+1}$. Alors $H(0) = 0$ et, en dérivant terme à terme (utilisant $G' = g$ et que la partie polynomiale se dérive en $P$), $$ H'(x) \ = \ g(x) - P(x) \ = \ x^n \varepsilon(x). $$ Fixons $\eta > 0$. Comme $\varepsilon \to 0$, il existe $\delta > 0$ tel que $|\varepsilon(t)| \le \eta$ pour $|t| \le \delta$. Pour $|x| \le \delta$, $$ |H(x)| \ = \ \left| \int_0^x t^n \varepsilon(t) \, dt \right| \ \le \ \int_{\min(0,x)}^{\max(0,x)} |t|^n \, |\varepsilon(t)| \, dt \ \le \ \eta \cdot \frac{|x|^{n+1}}{n+1}, $$ donc $|H(x)/x^{n+1}| \le \eta/(n+1)$. Ainsi $H(x) = o(x^{n+1})$, qui est le DL annoncé à l'ordre $n+1$.

Compétences à pratiquer

Traduire entre dérivabilité et DL à l'ordre $1$$\virgule$ primitiver des DLs

II.3 Formule de Taylor-Young

On arrive au théorème nommé central du chapitre : la formule de Taylor-Young. Elle énonce qu'une fonction $\mathcal C^n$ sur un voisinage de $a$ admet un DL à l'ordre $n$ en $a$, avec des coefficients explicites $f^{(k)}(a)/k!$. La démonstration est une récurrence propre sur $n$ utilisant le lemme de primitivation qu'on vient de prouver. Combinée à la table des dérivées usuelles (chapitre FonctionsUsuelles), Taylor-Young donne un moyen direct de calculer le DL de toute fonction classique en $0$ --- et c'est précisément ce qu'on tabule à la sous-section suivante.

Theorem — Formule de Taylor-Young

Soient $a \in \mathbb R$, $n \in \mathbb N$ et $f$ une fonction à valeurs réelles de classe $\mathcal C^n$ sur un voisinage de $a$. Alors $f$ admet un DL à l'ordre $n$ en $a$, donné par $$ f(a + h) \ = \ \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} \, h^k + o(h^n) \qquad \text{quand } h \to 0. $$

Preuve

On pose $g(h) = f(a + h)$ ; alors $g$ est $\mathcal C^n$ sur un voisinage de $0$ avec $g^{(k)}(0) = f^{(k)}(a)$. Il suffit de prouver la formule pour $g$ en $0$. On raisonne par récurrence sur $n$.
Cas de base $n = 0$. $g$ est continue en $0$, donc $g(h) = g(0) + o(1)$, qui est le DL à l'ordre $0$.
Étape d'hérédité. Supposons la formule vraie à l'ordre $n - 1$ pour toute fonction $\mathcal C^{n-1}$. Soit $g$ de classe $\mathcal C^n$ sur un voisinage de $0$. Alors $g'$ est $\mathcal C^{n-1}$ sur ce voisinage, donc par l'hypothèse de récurrence appliquée à $g'$, $$ g'(h) \ = \ \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(g')^{(k)}(0)}{k!} \, h^k + o(h^{n-1}) \ = \ \sum_{k=0}^{n-1} \frac{g^{(k+1)}(0)}{k!} \, h^k + o(h^{n-1}). $$ On applique le lemme de primitivation à ce DL de $g'$ à l'ordre $n - 1$. La primitive $g$ admet un DL à l'ordre $n$ en $0$ : $$ g(h) \ = \ g(0) + \sum_{k=0}^{n-1} \frac{g^{(k+1)}(0)}{k! (k+1)} \, h^{k+1} + o(h^n) \ = \ g(0) + \sum_{j=1}^{n} \frac{g^{(j)}(0)}{j!} \, h^j + o(h^n), $$ (où on a posé $j = k+1$ et utilisé $k! (k+1) = (k+1)! = j!$). En incluant le terme $j = 0$ égal à $g(0)$, on obtient la formule de Taylor-Young à l'ordre $n$, ce qui achève la récurrence.

Méthode — Calculer un DL via Taylor-Young

Pour calculer le DL à l'ordre $n$ en $a$ d'une fonction $f$ de classe $\mathcal C^n$ :

Calculer $f(a), f'(a), \ldots, f^{(n)}(a)$ (dérivées sous forme close).
Assembler le polynôme de Taylor $\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k$.
Le DL à l'ordre $n$ en $a$ est ce polynôme plus $o((x-a)^n)$.

Exemple — Taylor-Young en $0$ pour $\exp$

L'exponentielle est $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbb R$ avec $\exp^{(k)} = \exp$ pour tout $k$, donc $\exp^{(k)}(0) = 1$. Par Taylor-Young à l'ordre $n$ en $0$, $$ e^x \ = \ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) \qquad \text{en } 0. $$ C'est la première ligne de l'encadré à la sous-section suivante et le DL le plus omniprésent de tout ce cours.

Compétences à pratiquer

Appliquer Taylor-Young à une fonction $\mathcal C^n$

II.4 Tableau des DLs usuels en $0$ (par cœur)

Cette sous-section est un unique théorème encadré : le tableau des DLs usuels en $0$ que tout étudiant doit connaître par cœur. Chaque ligne s'obtient par Taylor-Young appliqué à la fonction (lorsque ses dérivées successives admettent une expression close, comme pour $\exp$, $\sin$, $\cos$, $\sinh$, $\cosh$) ou par le lemme de primitivation appliqué à un DL plus simple (comme pour $\ln(1+x)$ à partir de $1/(1-x)$, ou pour $\operatorname{Arctan}$ à partir de $1/(1+x^2)$). Toute la partie calculatoire du chapitre repose sur ce tableau : la section Opérations sur les DLs combine ces DLs (combinaison linéaire, produit, inverse, composition) et la section Applications des DLs les applique aux problèmes d'étude locale.

Theorem — DL usuels en $0$ (par cœur)

Les DL standards suivants sont vrais en $0$. Dans les cinq premières lignes, $n \ge 0$, sauf pour $\ln(1+x)$ où $n \ge 1$. Dans les lignes trigonométriques et hyperboliques, $p \in \mathbb N$. La dernière ligne est valable seulement à l'ordre $3$. \begin{align*} \frac{1}{1 - x} \ &= \ \sum_{k=0}^n x^k + o(x^n),
\frac{1}{1 + x} \ &= \ \sum_{k=0}^n (-1)^k x^k + o(x^n),
\ln(1 + x) \ &= \ \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} \frac{x^k}{k} + o(x^n),
e^x \ &= \ \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} + o(x^n),
(1 + x)^\alpha \ &= \ \sum_{k=0}^n \binom{\alpha}{k} x^k + o(x^n) \quad (\alpha \in \mathbb R), \quad \binom{\alpha}{k} = \frac{\alpha (\alpha - 1) \cdots (\alpha - k + 1)}{k!},
\cos x \ &= \ \sum_{k=0}^p (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} + o(x^{2p+1}),
\sin x \ &= \ \sum_{k=0}^p (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + o(x^{2p+2}),
\cosh x \ &= \ \sum_{k=0}^p \frac{x^{2k}}{(2k)!} + o(x^{2p+1}),
\sinh x \ &= \ \sum_{k=0}^p \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + o(x^{2p+2}),
\operatorname{Arctan} x \ &= \ \sum_{k=0}^p (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k + 1} + o(x^{2p+2}),
\tan x \ &= \ x + \frac{x^3}{3} + o(x^3) \quad \text{(ordre $3$ seulement)}. \end{align*}

Preuve

$1/(1-x)$ et $1/(1+x)$. Somme géométrique (voir l'Exemple à la sous-section Définition, unicité).
$\ln(1+x)$. Lemme de primitivation appliqué au DL de $1/(1+x) = 1 - x + x^2 - \ldots + (-1)^n x^n + o(x^n)$ ; la primitive qui s'annule en $0$ est $\ln(1+x)$.
$e^x$. Taylor-Young, voir l'Exemple à la sous-section DL et dérivabilité.
$(1+x)^\alpha$. Taylor-Young : $f(x) = (1+x)^\alpha$ a $f^{(k)}(x) = \alpha (\alpha - 1) \cdots (\alpha - k + 1) (1+x)^{\alpha - k}$, donc $f^{(k)}(0) = \alpha (\alpha - 1) \cdots (\alpha - k + 1)$.
$\cos x, \sin x, \cosh x, \sinh x$. Taylor-Young : les dérivées cyclent dans $\pm \sin, \pm \cos$ (resp.\ $\pm \sinh, \pm \cosh$) ; la règle de parité paire/impaire (ci-dessus) annule les coefficients de mauvaise parité.
$\operatorname{Arctan}$. Primitivation de $1/(1+x^2) = 1 - x^2 + x^4 - \ldots + (-1)^p x^{2p} + o(x^{2p+1})$ (DL de $1/(1+u)$ avec $u = x^2$ ; rigoureusement justifié par l'identité de la somme géométrique comme à la sous-section Définition, unicité).
$\tan x = \sin x / \cos x$. Quotient direct à l'ordre $3$ (voir l'Exemple à la sous-section Inverse et quotient).

Méthode — Apprendre le tableau par cœur

Les 11 lignes du théorème précédent sont l'alphabet opérationnel du chapitre. Tout problème des sections Opérations, Applications et Problèmes d'analyse asymptotique commence par rappeler au moins une d'entre elles. Apprenez-les par cœur. Mémorisez aussi la parité (quelles lignes n'ont que des puissances paires, lesquelles n'ont que des impaires), le motif de signes (alterné ou tous positifs : $\ln, \sin, \cos, \operatorname{Arctan}$ alternent ; $\exp, \sinh, \cosh, 1/(1-x)$ pas) et les cas particuliers $\alpha = -1, 1/2, -1/2$ de $(1+x)^\alpha$ qui redonnent $1/(1+x)$, $\sqrt{1+x}$, $1/\sqrt{1+x}$.

Compétences à pratiquer

Rappeler les DL usuels

III Opérations sur les DLs

III.1 Combinaison linéaire$\virgule$ produit$\virgule$ troncature

Les opérations arithmétiques sur les DLs --- combinaison linéaire et produit --- préservent la propriété « DL à l'ordre $n$ » : le résultat admet un DL à l'ordre $n$ dont la partie régulière se calcule à partir des parties régulières des opérandes, tronquée à l'ordre $n$. L'étape de « troncature » est la seule subtilité : multiplier deux parties régulières de degré $n$ donne un polynôme de degré $2n$, mais seul le segment jusqu'au degré $n$ est fiable ; le reste est absorbé dans le reste $o(x^n)$. On codifie cela par une Méthode : « factoriser par le terme prépondérant pour prévoir l'ordre ».

Proposition — Combinaison linéaire de DLs

Soient $f, g$ définies sur un voisinage de $0$ et admettant des DLs à l'ordre $n$ en $0$ : $$ f(x) = P(x) + o(x^n), \qquad g(x) = Q(x) + o(x^n). $$ Alors pour tous $\lambda, \mu \in \mathbb R$, la fonction $\lambda f + \mu g$ admet un DL à l'ordre $n$ en $0$ de partie régulière $\lambda P(x) + \mu Q(x)$.

Proposition — Produit de DLs

Avec les notations de la Proposition précédente, le produit $fg$ admet un DL à l'ordre $n$ en $0$ de partie régulière $T_n(P \cdot Q)$, où $T_n$ désigne la troncature à l'ordre $n$ (ne garder que les monômes de degré $\le n$).

Méthode — Factoriser par le terme prépondérant pour prévoir l'ordre

Pour calculer un DL de $f g$ ou $f / g$ à l'ordre $n$ en $0$, on écrit chaque facteur sous la forme $x^p \, P(x) + o(x^{p + \deg \text{(facteur restant)}})$ pour identifier le terme dominant. Si $f(x) = x^p (a_0 + a_1 x + \ldots) + o(x^{p + n})$ avec $a_0 \ne 0$, alors dans tout produit $f g$ l'ordre est régi par $p + $ (ordre de $g$). Le réflexe « factoriser par le terme prépondérant » évite de calculer trop --- ou trop peu --- de termes.

Exemple — Produit $e^x \cos x$ à l'ordre $3$ en $0$

On utilise le tableau : $$ e^x \ = \ 1 + x + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{6} + o(x^3), \qquad \cos x \ = \ 1 - \tfrac{x^2}{2} + o(x^3). $$ En multipliant et en gardant les termes de degré $\le 3$ : $$ e^x \cos x \ = \ \bigl(1 + x + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{6}\bigr) \cdot \bigl(1 - \tfrac{x^2}{2}\bigr) + o(x^3) \ = \ 1 + x + \bigl(\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\bigr) x^2 + \bigl(\tfrac{1}{6} - \tfrac{1}{2}\bigr) x^3 + o(x^3), $$ soit $$ e^x \cos x \ = \ 1 + x - \tfrac{x^3}{3} + o(x^3) \qquad \text{en } 0. $$ Le coefficient de $x^2$ s'annule car $\cos$ n'a pas de terme de degré $1$ et le $-x^2/2$ de $\cos$ compense le $+x^2/2$ de $e^x$.

Compétences à pratiquer

Calculer des DL par produit$\virgule$ inverse et quotient

III.2 Inverse et quotient

Pour calculer $1/f$ lorsque $f$ admet un DL, l'astuce consiste à factoriser $f$ sous la forme $a_0 (1 + u)$ où $a_0 = f(0) \ne 0$ et $u \to 0$ en $0$, puis à utiliser le DL de $1/(1 + u)$. Le quotient $f/g$ se traite en écrivant $f/g = (1/g) \cdot f$. On dérive aussi le DL de $\tan x = \sin x / \cos x$ à l'ordre $5$ comme test de cohérence avec la ligne du tableau des DLs usuels à l'ordre $3$.

Proposition — Inverse via composition avec $1/(1+u)$

Soit $f$ admettant un DL à l'ordre $n$ en $0$ de la forme $f(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n + o(x^n)$ avec $a_0 \ne 0$. On pose $u(x) = (f(x) - a_0)/a_0$, donc $u(0) = 0$ et $u$ admet un DL à l'ordre $n$ en $0$. Alors $1/f$ admet un DL à l'ordre $n$ en $0$ : écrire $$ \frac{1}{f(x)} \ = \ \frac{1}{a_0} \cdot \frac{1}{1 + u(x)} \ = \ \frac{1}{a_0} \bigl(1 - u(x) + u(x)^2 - \ldots + (-1)^n u(x)^n\bigr) + o(x^n), $$ le polynôme $1 - u + u^2 - \ldots + (-1)^n u^n$ étant tronqué à l'ordre $n$ en $x$.

Méthode — Quotient

Pour calculer le DL à l'ordre $n$ en $0$ de $f / g$ lorsque $g(0) \ne 0$ :

Calculer le DL à l'ordre $n$ en $0$ de $1/g$ par l'astuce inverse-via-$1/(1+u)$ ci-dessus.
Multiplier par le DL de $f$ à l'ordre $n$ et tronquer à l'ordre $n$.

Exemple — DL de $\tan x$ à l'ordre $5$ en $0$

On part du tableau des DLs usuels à l'ordre $5$ : $$ \sin x \ = \ x - \tfrac{x^3}{6} + \tfrac{x^5}{120} + o(x^5), \qquad \cos x \ = \ 1 - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^4}{24} + o(x^5). $$ On pose $u(x) = -x^2/2 + x^4/24 + o(x^5)$, donc $\cos x = 1 + u$. Alors $$ \frac{1}{\cos x} \ = \ 1 - u + u^2 + o(x^5) \ = \ 1 - \bigl(-\tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^4}{24}\bigr) + \bigl(-\tfrac{x^2}{2}\bigr)^2 + o(x^5) \ = \ 1 + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{5 x^4}{24} + o(x^5), $$ (utilisant $u^2 = x^4/4 + o(x^5)$ et $u^3, u^4, u^5 = o(x^5)$). En multipliant par $\sin x$ et tronquant à l'ordre $5$ : $$ \tan x \ = \ \bigl(x - \tfrac{x^3}{6} + \tfrac{x^5}{120}\bigr) \bigl(1 + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{5 x^4}{24}\bigr) + o(x^5) \ = \ x + \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{2 x^5}{15} + o(x^5). $$ À l'ordre $3$, cela donne $\tan x = x + x^3/3 + o(x^3)$, cohérent avec le tableau des DLs usuels.

Compétences à pratiquer

Calculer des DL d'inverse et de quotient

III.3 Primitivation et dérivation (mise en garde)

Le lemme de primitivation de la section précédente donne déjà la règle pour primitiver un DL : ajouter $1$ à l'ordre, diviser chaque coefficient par son nouvel exposant. On le redonne ici pour la boîte à outils des opérations, puis on émet une mise en garde appuyée : l'opération duale --- dériver un DL --- n'est pas légale en général. Une fonction peut admettre un DL à un certain ordre alors que sa dérivée n'admet aucun DL à l'ordre immédiatement inférieur. On illustre cela par le contre-exemple standard $f(x) = x^3 \sin(1/x^2)$ : $f = o(x^2)$ en $0$, mais $f'$ n'a pas de limite en $0$.

Proposition — Primitivation d'un DL (rappel)

Si $g$ admet un DL à l'ordre $n$ en $0$, $g(x) = \sum_{k=0}^n b_k x^k + o(x^n)$, et $G$ est une primitive de $g$ sur un voisinage de $0$, alors $G$ admet un DL à l'ordre $n + 1$ en $0$ donné par $G(x) = G(0) + \sum_{k=0}^n \frac{b_k}{k+1} x^{k+1} + o(x^{n+1})$. (Rappel du lemme de primitivation ci-dessus, pour la boîte à outils des opérations.)

La dérivation d'un DL n'est PAS automatique

Si $f$ admet un DL à l'ordre $n$ en $0$, il n'en résulte pas que $f'$ admet un DL à l'ordre $n - 1$ en $0$. Contre-exemple : soit $f : \mathbb R \to \mathbb R$ définie par $f(x) = x^3 \sin(1/x^2)$ pour $x \ne 0$ et $f(0) = 0$. Comme $|x^3 \sin(1/x^2)| \le |x|^3 = o(x^2)$ en $0$, $f$ admet le DL à l'ordre $2$ en $0$ donné par le polynôme nul : $f(x) = 0 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^2 + o(x^2)$. Cependant, pour $x \ne 0$, $$ f'(x) \ = \ 3 x^2 \sin(1/x^2) - 2 \cos(1/x^2), $$ ce qui oscille et n'admet aucune limite en $0$ (le terme $-2 \cos(1/x^2)$ seul oscille entre $\pm 2$). Donc $f'$ n'admet aucun DL à l'ordre $0$ en $0$ --- même pas une limite. Ne jamais dériver un DL sans hypothèse $\mathcal C^n$ sur $f$.

Compétences à pratiquer

Primitiver un DL et repérer le piège de la dérivation

III.4 Composition (par exemple seulement)

Aucun résultat général n'est exigible pour la composition des DLs à ce niveau. On ne donne aucun théorème général et on présente un unique bloc Méthode + trois exemples traités illustrant les astuces standards. La recette est uniforme : on pose $u = f(x)$, où $u \to 0$ en $0$, puis on injecte $u$ dans le DL de $g$ ; on tronque à l'ordre souhaité. La condition « $u \to 0$ en $0$ » est essentielle : si $f(0) \ne 0$, la composition $g \circ f$ au voisinage de $0$ s'ancre en $g(f(0)) \ne 0$, non en $g(0)$, et il faut un changement de variable préalable.

Méthode — Composer deux DL (recette de calcul$\virgule$ pas un théorème à citer)

Sur des exemples simples, on utilise la procédure suivante (aucun théorème général de composition de DL n'est exigible à ce niveau). Pour calculer le DL de $g \circ f$ à l'ordre $n$ en $0$ lorsque $f(0) = 0$ :

Écrire le DL de $f$ à l'ordre $n$ en $0$ : $f(x) = a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n + o(x^n)$ (pas de terme constant puisque $f(0) = 0$).
Écrire le DL de $g$ à l'ordre $n$ en $0$ : $g(u) = b_0 + b_1 u + b_2 u^2 + \ldots + b_n u^n + o(u^n)$.
Substituer $u = f(x)$ et développer les puissances $u, u^2, \ldots, u^n$ ; tronquer à l'ordre $n$. Chaque puissance $u^k$ contribue au moins à l'ordre $k$, donc les termes au-delà du degré $n$ peuvent être abandonnés tôt.
Mise en garde. Si $f(0) \ne 0$, la formule ci-dessus est fausse : dans ce cas $g \circ f$ en $0$ s'ancre en $u = f(0) \ne 0$, où il faut utiliser le DL de $g$ en $f(0)$ (Taylor-Young autour de $f(0)$).

Exemple — DL de $\exp(\sin x)$ à l'ordre $3$ en $0$

On pose $u = \sin x = x - x^3/6 + o(x^3)$, donc $u \to 0$ en $0$. Alors $$ e^{u} \ = \ 1 + u + \tfrac{u^2}{2} + \tfrac{u^3}{6} + o(u^3). $$ On calcule $u^2 = (x - x^3/6 + o(x^3))^2 = x^2 + o(x^3)$ et $u^3 = x^3 + o(x^3)$. En substituant et tronquant à l'ordre $3$ : $$ e^{\sin x} \ = \ 1 + (x - \tfrac{x^3}{6}) + \tfrac{1}{2} x^2 + \tfrac{1}{6} x^3 + o(x^3) \ = \ 1 + x + \tfrac{x^2}{2} + o(x^3). $$ Les termes en $x^3$ : $-1/6$ provenant de $u$ et $+1/6$ provenant de $u^3/6$ se compensent.

Exemple — DL de $\sqrt{1 + \sin x}$ à l'ordre $3$ en $0$

On pose $u = \sin x = x - x^3/6 + o(x^3)$. La fonction est $(1 + u)^{1/2}$, de DL usuel $$ (1 + u)^{1/2} \ = \ 1 + \tfrac{u}{2} - \tfrac{u^2}{8} + \tfrac{u^3}{16} + o(u^3). $$ On calcule $u^2 = x^2 + o(x^3)$, $u^3 = x^3 + o(x^3)$. En substituant et tronquant : $$ \sqrt{1 + \sin x} \ = \ 1 + \tfrac{1}{2}(x - \tfrac{x^3}{6}) - \tfrac{1}{8} x^2 + \tfrac{1}{16} x^3 + o(x^3) \ = \ 1 + \tfrac{x}{2} - \tfrac{x^2}{8} - \tfrac{x^3}{48} + o(x^3), $$ où le coefficient de $x^3$ est $-1/12 + 1/16 = -4/48 + 3/48 = -1/48$.

Exemple — DL de $\ln(1 + \sin^2 x)$ à l'ordre $4$ en $0$ --- factoriser d'abord

La fonction $\sin^2 x$ s'annule à l'ordre $2$ en $0$, donc on calcule d'abord $\sin^2 x$ à l'ordre $4$ puis on compose avec $\ln(1 + u)$ à l'ordre $2$ en $u$ (puisque $u = \sin^2 x = O(x^2)$, $u^2 = O(x^4)$ est le dernier terme qui compte à l'ordre $4$ en $x$).
Étape 1. $\sin x = x - x^3/6 + o(x^4)$, donc $$ \sin^2 x \ = \ \bigl(x - \tfrac{x^3}{6}\bigr)^2 + o(x^4) \ = \ x^2 - \tfrac{x^4}{3} + o(x^4). $$ Étape 2. On pose $u = \sin^2 x = x^2 - x^4/3 + o(x^4)$. Alors $u^2 = x^4 + o(x^4)$ et $\ln(1 + u) = u - u^2/2 + o(u^2)$, donc $$ \ln(1 + \sin^2 x) \ = \ (x^2 - \tfrac{x^4}{3}) - \tfrac{1}{2} x^4 + o(x^4) \ = \ x^2 - \tfrac{5 x^4}{6} + o(x^4). $$ Le réflexe « factoriser par le terme prépondérant » (Méthode ci-dessus, dans la sous-section Combinaison linéaire, produit, troncature) est ce qui a indiqué de ne prendre que l'ordre $2$ de $\ln(1 + u)$ : les ordres supérieurs contribuent au-delà de $x^4$ et peuvent être ignorés.

Compétences à pratiquer

Composer des DL sur des exemples simples

IV Relations de comparaison pour les suites

IV.1 Définitions et règles de transfert

On donne une adaptation rapide aux suites des relations pour les fonctions. Concrètement, on remplace « $x \to a$ » par « $n \to +\infty$ » dans les définitions de $o$, $O$, $\sim$ ; tout le reste se transfère verbatim, y compris les opérations (produit, quotient, puissance entière) et les opérations interdites (somme, composition à gauche). Cette section est volontairement brève --- elle codifie ce qui était déjà implicite dans le tableau des croissances comparées pour les suites.

Définition — Relations de comparaison pour les suites

Soient $(u_n)_{n \ge n_0}$ et $(v_n)_{n \ge n_0}$ deux suites réelles avec $v_n \ne 0$ pour $n$ assez grand.

$(u_n)$ est négligeable devant $(v_n)$ en $+\infty$, et on écrit $u_n = o(v_n)$, si $u_n / v_n \to 0$ quand $n \to +\infty$ ; de manière équivalente, $u_n = \varepsilon_n v_n$ pour $n$ assez grand avec $\varepsilon_n \to 0$.
$(u_n)$ est dominée par $(v_n)$, et on écrit $u_n = O(v_n)$, si $(u_n / v_n)$ est bornée pour $n$ assez grand.
$(u_n)$ est équivalente à $(v_n)$, et on écrit $u_n \sim v_n$, si $u_n / v_n \to 1$, de manière équivalente $u_n = v_n + o(v_n)$.

Méthode — Opérations et opérations interdites sur $u_n \sim v_n$

Toutes les règles de la sous-section Équivalence (fonctions) se transfèrent verbatim aux suites.

Légal : produit, quotient (lorsque le dénominateur est non nul pour $n$ grand), puissance entière (ou réelle) si $v_n > 0$ pour $n$ grand.
Interdit : somme d'équivalents (par ex.\ $n + 1 \sim n$, $-n \sim -n$, mais $(n+1) + (-n) = 1 \not\sim 0$) ; composition à gauche (par ex.\ $n + \ln n \sim n$ mais $e^{n + \ln n} \not\sim e^n$).
Préservé : signe (pour $n$ grand), limite (lorsque $n \to +\infty$).

Exemple — Équivalents en $+\infty$

(i) $n + \ln n \sim n$ en $+\infty$ car $(n + \ln n)/n = 1 + (\ln n)/n \to 1$ (par $\ln n = o(n)$).
(ii) $\sqrt{n + 1} - \sqrt n \sim 1/(2\sqrt n)$ en $+\infty$. En effet, $\sqrt{n+1} - \sqrt n = (\sqrt{n+1} - \sqrt n)(\sqrt{n+1} + \sqrt n)/(\sqrt{n+1} + \sqrt n) = 1/(\sqrt{n+1} + \sqrt n)$, et $\sqrt{n+1} + \sqrt n \sim 2 \sqrt n$ (on factorise $\sqrt n$ : $\sqrt n (\sqrt{1 + 1/n} + 1) \to \sqrt n \cdot 2$). Donc $\sqrt{n+1} - \sqrt n \sim 1/(2 \sqrt n)$.

Compétences à pratiquer

Comparer des suites

IV.2 Croissances comparées discrètes

La version discrète du tableau des croissances comparées est l'analogue naturel côté suite du tableau pour les fonctions (sous-section Négligeabilité) ; on l'énonce ici comme Proposition pour facilité de référence, et on l'illustre par quelques exemples classiques qui reviennent à chaque examen.

Proposition — Croissances comparées discrètes

Pour tous $a > 0$ et $b > 1$ : en $+\infty$, $$ n^a \ = \ o(b^n), \qquad b^n \ = \ o(n!), \qquad n! \ = \ o(n^n). $$ Pour tous $a, b > 0$ : en $+\infty$, $(\ln n)^a = o(n^b)$.

Exemple — Croissances comparées discrètes standards

$n^{10} = o(2^n)$ en $+\infty$ (toute puissance, aussi grande soit-elle, perd contre toute exponentielle de base $b > 1$). $2^n = o(n!)$ en $+\infty$ (la factorielle bat toute exponentielle). $\ln n = o(\sqrt n)$ en $+\infty$ (le log perd contre toute puissance). Ces trois faits seront invoqués des dizaines de fois au chapitre des séries (`Series`) lors des tests de convergence par équivalent.

Compétences à pratiquer

Appliquer les croissances comparées discrètes

V Applications des DLs à l'étude locale

V.1 Calculer une limite par DL

La première application : transformer une limite en forme indéterminée en un calcul routinier en remplaçant chaque morceau de l'expression par son DL à un ordre bien choisi. Tout le jeu consiste à choisir le bon ordre : assez grand pour que le premier terme non nul apparaisse, assez petit pour garder l'algèbre tractable. La Méthode ci-dessous codifie cela et est réutilisée dans chaque application suivante.

Méthode — Calculer une limite en forme indéterminée par DL

Face à une limite en forme indéterminée ($0/0$, $\infty - \infty$, $1^\infty$, $0 \cdot \infty$) en $a \in \overline{\mathbb R}$ :

Identifier la forme. En $a = \pm \infty$, changer de variable $u = 1/x$ pour ramener le problème en $0$.
Pour chaque morceau de l'expression, choisir l'ordre du DL : ordre minimal tel que le premier terme non nul du numérateur et du dénominateur apparaissent tous deux (une forme $0/0$ requiert en général l'ordre $1$ ou $2$ de chaque côté ; vérifier par essai).
Remplacer chaque morceau par son DL, simplifier les termes dominants, conclure par arithmétique des $o$.

Exemple — $\lim_{x \to 0} (\sin x - x)/x^3$

DL de $\sin x$ à l'ordre $3$ en $0$ : $\sin x = x - x^3/6 + o(x^3)$. Alors $$ \sin x - x \ = \ -\frac{x^3}{6} + o(x^3), \qquad \frac{\sin x - x}{x^3} \ = \ -\frac{1}{6} + o(1) \ \underset{x \to 0}{\longrightarrow} \ -\frac{1}{6}. $$

Exemple — $\lim_{x \to 0} ((1+x)^{1/x} - e)/x$

La forme est $0/0$ ($1^\infty - e \to 0$). On écrit $(1+x)^{1/x} = \exp\bigl(\tfrac{\ln(1+x)}{x}\bigr)$. Par le tableau, $\ln(1 + x) = x - x^2/2 + o(x^2)$, donc $\ln(1+x)/x = 1 - x/2 + o(x)$. Alors $$ \exp\bigl(1 - x/2 + o(x)\bigr) \ = \ e \cdot \exp(-x/2 + o(x)) \ = \ e \bigl(1 + (-x/2) + o(x)\bigr) \ = \ e - \frac{e}{2} x + o(x). $$ Donc $((1+x)^{1/x} - e)/x = -e/2 + o(1) \to -e/2$.

Compétences à pratiquer

Calculer une limite par DL

V.2 Extraire un équivalent d'un DL

Le pont des DLs (généralités et opérations) aux équivalents : le premier terme non nul d'un DL fournit un équivalent. C'est la recette la plus utilisée du chapitre --- elle convertit tout calcul de DL en un énoncé asymptotique sur la fonction au voisinage du point base.

Proposition — Équivalent à partir d'un DL

Soient $a \in \mathbb R$ et $f$ une fonction admettant un DL à l'ordre $n$ en $a$ dont la partie régulière commence par $a_p (x - a)^p$ ($p \le n$, $a_p \ne 0$, et $a_k = 0$ pour $k < p$). Alors $$ f(x) \ \underset{x \to a}{\sim} \ a_p (x - a)^p. $$

Preuve

Par hypothèse, $f(x) = a_p (x - a)^p + a_{p+1} (x - a)^{p+1} + \ldots + a_n (x - a)^n + o((x - a)^n)$. On factorise $a_p (x - a)^p$ : $$ f(x) \ = \ a_p (x - a)^p \left( 1 + \frac{a_{p+1}}{a_p} (x - a) + \ldots + \frac{a_n}{a_p} (x - a)^{n - p} + \frac{o((x-a)^n)}{a_p (x-a)^p} \right). $$ Le crochet tend vers $1$ quand $x \to a$ (chaque terme sauf $1$ est une puissance positive de $(x-a)$ ou un $o((x-a)^{n-p}) \to 0$). Donc $f(x) \sim a_p (x - a)^p$.

Méthode — « Le premier terme non nul d'un DL tient lieu d'équivalent »

Pour trouver un équivalent de $f$ en $a$ : calculer un DL de $f$ en $a$ à un ordre suffisant ; le premier monôme non nul $a_p (x-a)^p$ est un équivalent de $f$ en $a$. L'ordre $p$ est l'ordre d'annulation de $f$ en $a$.

Exemple — Équivalents tirés du tableau

$\cos x - 1 \underset{x \to 0}{\sim} -x^2/2$ (à partir de $\cos x = 1 - x^2/2 + o(x^2)$). $e^x - 1 - x \underset{x \to 0}{\sim} x^2/2$ (à partir de $e^x = 1 + x + x^2/2 + o(x^2)$). $\ln(1 + x) - x \underset{x \to 0}{\sim} -x^2/2$ (à partir de $\ln(1+x) = x - x^2/2 + o(x^2)$). Ces trois équivalents sont les outils de tous les calculs de limites du chapitre des séries.

Compétences à pratiquer

Extraire un équivalent d'un DL

V.3 Position relative à la tangente$\virgule$ extrema locaux

Un DL à l'ordre $\ge 2$ contient plus d'information locale que la tangente : le premier coefficient non nul après le terme linéaire indique si la courbe est au-dessus ou en dessous de sa tangente (si son ordre est pair) ou si elle la traverse (si son ordre est impair, point d'inflexion). Le même argument de parité, appliqué à $p = 2$ pour une fonction avec $f'(a) = 0$, donne les CN et CS standards à l'ordre $2$ pour un extremum --- qu'on énonce comme Proposition autonome car c'est un résultat nommé exigible.

Proposition — Position de la courbe par rapport à la tangente

Soient $a \in \mathbb R$ et $f$ une fonction $\mathcal C^p$ sur un voisinage de $a$ admettant un DL à l'ordre $p$ en $a$ de la forme $$ f(x) \ = \ f(a) + f'(a) (x - a) + a_p (x - a)^p + o((x - a)^p), $$ où $p \ge 2$, $a_p \ne 0$ et les coefficients de $(x-a)^2, \ldots, (x-a)^{p-1}$ s'annulent. On pose $\Delta(x) = f(x) - f(a) - f'(a)(x-a)$ (distance signée de la courbe à sa tangente en $a$). Alors au voisinage de $a$ :

si $p$ est pair, $\Delta(x)$ est de signe constant égal à celui de $a_p$ : la courbe est au-dessus de sa tangente (si $a_p > 0$) ou en dessous (si $a_p < 0$) ;
si $p$ est impair, $\Delta(x)$ change de signe en $a$ : la tangente traverse la courbe, ce qui correspond dans le vocabulaire usuel de l'étude locale à un comportement de type inflexion en $a$ (avec tangente non horizontale si $f'(a) \ne 0$).

Preuve

Par la Proposition « équivalent à partir d'un DL », $\Delta(x) \sim a_p (x - a)^p$ en $a$. L'équivalence préserve le signe : $\Delta(x)$ a le signe de $a_p (x - a)^p$ sur un voisinage épointé de $a$. Si $p$ est pair, $(x-a)^p > 0$ pour $x \ne a$, donc $\Delta$ a le signe constant de $a_p$. Si $p$ est impair, $(x-a)^p$ change de signe en $a$, donc $\Delta$ aussi.

Proposition — CN et CS à l'ordre $2$ pour un extremum local

Soient $a$ un point intérieur d'un intervalle $I$ et $f$ une fonction $\mathcal C^2$ sur un voisinage de $a$.

Condition nécessaire à l'ordre $1$. Si $f$ admet un extremum local en $a$, alors $f'(a) = 0$.
Condition suffisante à l'ordre $2$ (strict). Si $f'(a) = 0$ et $f''(a) > 0$ (resp.\ $f''(a) < 0$), alors $f$ admet un minimum local strict (resp.\ maximum) en $a$.
Condition nécessaire à l'ordre $2$. Si $f$ admet un minimum local (resp.\ maximum) en $a$, alors $f'(a) = 0$ et $f''(a) \ge 0$ (resp.\ $f''(a) \le 0$).

Preuve

(1) Résultat standard du chapitre Dérivabilité : en un extremum local intérieur d'une fonction dérivable, la dérivée s'annule (lemme de Fermat).
(2) Par Taylor-Young à l'ordre $2$ en $a$, $f(x) = f(a) + 0 \cdot (x-a) + \tfrac{f''(a)}{2} (x-a)^2 + o((x-a)^2)$. La Proposition précédente appliquée avec $p = 2$ et $a_2 = f''(a)/2$ : si $f''(a) > 0$, alors $\Delta(x) = f(x) - f(a) > 0$ sur un voisinage épointé de $a$, donc $f(a)$ est un minimum local strict ; de même $f''(a) < 0$ donne un maximum local strict.
(3) Si $f$ a un minimum local en $a$, alors $f'(a) = 0$ par (1). Supposons par l'absurde $f''(a) < 0$. Alors par (2), $a$ serait un maximum local strict, contredisant l'hypothèse de minimum. Donc $f''(a) \ge 0$. L'argument pour le maximum est symétrique.

Méthode — Étude locale par DL

Pour déterminer, en un point $a$, la position de la courbe de $f$ par rapport à sa tangente et la nature du point critique (extremum / inflexion) :

Calculer le DL de $f$ en $a$ à un ordre suffisant pour que le premier coefficient non nul après le terme linéaire apparaisse (typiquement ordre $2$ si $f''(a) \ne 0$ ; sinon plus haut).
Lire la parité de l'ordre $p$ de ce premier coefficient non nul :
- $p$ pair $\Rightarrow$ courbe d'un côté de la tangente (signe de $a_p$) ; si de plus $f'(a) = 0$, c'est un extremum local ;
- $p$ impair $\Rightarrow$ point d'inflexion, la tangente traverse la courbe.

Exemple — $f(x) \equal \cos x$ en $0$

$f(x) = \cos x = 1 - x^2/2 + o(x^2)$. Donc $f(0) = 1$, $f'(0) = 0$, et le premier coefficient non nul après le terme linéaire est $a_2 = -1/2$ à l'ordre $p = 2$ (pair). Par la Proposition de position, $f(x) - f(0) - 0 \cdot x = -x^2/2 + o(x^2)$ est de signe constant $-1/2 < 0$ : la courbe est en dessous de la tangente $y = 1$. Par la Proposition CN/CS (cas $f''(0) = -1 < 0$), $f(0) = 1$ est un maximum local strict.

Compétences à pratiquer

Étudier la position et les extrema localement

V.4 Asymptotes en $\pm \infty$

En $\pm \infty$, l'analogue local est la recherche d'une asymptote : une droite affine $y = a x + b$ telle que le graphe de $f$ s'en approche arbitrairement. La technique consiste à changer de variable $u = 1/x$ pour ramener la question à un DL en $0$, puis à lire l'asymptote sur les deux premiers termes du développement. Le signe du reste donne la position de la courbe par rapport à son asymptote.

Définition — Asymptote en $\pm \infty$

Soit $f$ définie sur un voisinage de $+\infty$. On dit que la droite affine $y = a x + b$ (avec $a, b \in \mathbb R$) est une asymptote de $f$ en $+\infty$ si $$ f(x) - (a x + b) \ \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} \ 0. $$ La définition analogue vaut en $-\infty$.

Méthode — Trouver une asymptote affine en $+\infty$

Pour chercher une asymptote affine de $f$ en $+\infty$ :

Calculer $a = \lim_{x \to +\infty} f(x)/x$. Si cette limite est finie, continuer ; sinon, pas d'asymptote affine.
Calculer $b = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - a x)$. Si cette limite est finie, l'asymptote est $y = a x + b$ ; sinon, pas d'asymptote affine.
Position. Le signe de $f(x) - (a x + b)$ au voisinage de $+\infty$ indique si la courbe est au-dessus ($> 0$) ou en dessous ($< 0$) de son asymptote. Ce signe se lit sur le terme suivant du DL après la constante.

Exemple — Asymptote de $f(x) \equal x \sqrt{1 + 1/x^2}$ en $+\infty$

On pose $u = 1/x \to 0^+$. Alors $f(x) = (1/u) \sqrt{1 + u^2} = (1/u)(1 + u^2/2 - u^4/8 + o(u^4))$. En multipliant : $$ f(x) \ = \ \frac{1}{u} + \frac{u}{2} - \frac{u^3}{8} + o(u^3) \ = \ x + \frac{1}{2 x} - \frac{1}{8 x^3} + o(1/x^3) \qquad \text{en } +\infty. $$ Donc $a = 1$, $b = 0$ : l'asymptote est $y = x$. La position est donnée par $f(x) - x = 1/(2x) + o(1/x)$, qui est $> 0$ au voisinage de $+\infty$ : la courbe est au-dessus de son asymptote.

Compétences à pratiquer

Trouver des asymptotes en $\pm \infty$

VI Problèmes d'analyse asymptotique

Le chapitre se conclut par un paragraphe final sur les Problèmes d'analyse asymptotique, avec la mise en garde : « La notion d'échelle de comparaison est hors programme. » On respecte cela strictement : on ne formalise pas la notion de famille ordonnée de fonctions de référence $\varphi_0, \varphi_1, \ldots$ avec $\varphi_{i+1} = o(\varphi_i)$. Au lieu de cela, chaque « développement asymptotique » de cette section est traité comme un exemple isolé : une expression donnant plusieurs termes successifs de la fonction (ou de la suite) étudiée avec un reste $o$ du dernier terme retenu. On donne deux théorèmes nommés (le développement asymptotique de la somme harmonique et la formule de Stirling, tous deux admis) et trois courtes esquisses d'exemples des trois familles (fonction réciproque, équation à paramètre, suite récurrente). Le fichier d'exercices porte les calculs complets.

VI.1 Constante d'Euler$\virgule$ $H_n \equal \ln n + \gamma + o(1)$

La somme harmonique $H_n = \sum_{k=1}^n 1/k$ est l'une des premières suites dont le comportement asymptotique est non trivial : elle tend vers $+\infty$, mais lentement. Le taux exact est capté par un développement à deux termes $H_n = \ln n + \gamma + o(1)$, où $\gamma \approx 0{,}577$ est une constante mathématique célèbre introduite par Euler. La preuve complète (par comparaison de la somme à l'intégrale $\int_1^n dt/t$) a été faite au chapitre `SuitesReelles` ; on redonne le résultat ici comme référence asymptotique.

Theorem — Développement asymptotique de la somme harmonique

La somme harmonique $H_n = \sum_{k=1}^n 1/k$ admet le développement asymptotique $$ H_n \ = \ \ln n + \gamma + o(1) \qquad \text{quand } n \to +\infty, $$ où $\gamma = \lim_{n \to +\infty} (H_n - \ln n) \approx 0{,}5772156\ldots$ est la constante d'Euler-Mascheroni.

Statut de la preuve

La preuve utilise un argument de comparaison à l'intégrale $\int_k^{k+1} dt/t \le 1/k \le \int_{k-1}^{k} dt/t$ pour montrer que la suite $u_n = H_n - \ln n$ est décroissante et minorée ; elle converge donc, et $\gamma$ désigne sa limite. La preuve est écrite intégralement au chapitre `SuitesReelles` ; on l'admet ici.

Exemple — Estimation numérique de $H_{1000}$

Pour $n = 1000$, $\ln(1000) \approx 6{,}908$ et $\gamma \approx 0{,}577$, donc $H_{1000} \approx 7{,}485$. La valeur exacte est $H_{1000} \approx 7{,}4854709\ldots$ : le développement asymptotique à deux termes capte le résultat à quatre décimales près.

Compétences à pratiquer

Utiliser le développement asymptotique de $H_n$

VI.2 Formule de Stirling

Le second développement asymptotique nommé du chapitre est la formule de Stirling, donnant l'équivalent de $n!$ en $n \to +\infty$. Comme le développement asymptotique de la somme harmonique, elle est admise à ce niveau --- la démonstration n'est pas exigible. Un corollaire direct est l'équivalent du coefficient binomial central $\binom{2n}{n}$, qui contrôle toute marche aléatoire centrée en probabilité.

Theorem — Formule de Stirling

La factorielle $n!$ admet l'équivalent $$ n! \ \underset{n \to +\infty}{\sim} \ \sqrt{2 \pi n} \, \left( \frac{n}{e} \right)^n. $$ De manière équivalente, en passant au $\ln$ : $$ \ln(n!) \ = \ n \ln n - n + \tfrac{1}{2} \ln n + \tfrac{1}{2} \ln(2 \pi) + o(1) \qquad \text{en } n \to +\infty. $$

Statut de la preuve

La démonstration n'est pas exigible à ce niveau : « La démonstration n'est pas exigible. » La preuve est admise ici mais donnée intégralement au chapitre Series, suivant la démonstration standard : étudier la suite $u_n = \ln(n!) - (n + \tfrac{1}{2}) \ln n + n$ via sa série télescopique (lien suite-série), montrer $u_{n+1} - u_n = O(1/n^2)$ par DL, en déduire la convergence de $(u_n)$ vers une limite $C$ ; identifier $e^C = \sqrt{2 \pi}$ par les intégrales de Wallis $W_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n t \, dt$ (traitées au chapitre IntegrationSegment).

Exemple — Coefficient binomial central

Conséquence directe de Stirling : $$ \binom{2n}{n} \ = \ \frac{(2n)!}{(n!)^2} \ \underset{n \to +\infty}{\sim} \ \frac{\sqrt{4 \pi n} \, (2n / e)^{2n}}{2 \pi n \, (n/e)^{2n}} \ = \ \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}. $$ Cet équivalent est l'outil-roi des marches aléatoires symétriques centrées (il compte le nombre de retours à $0$ après $2n$ pas d'une marche simple sur $\mathbb Z$).

Compétences à pratiquer

Appliquer la formule de Stirling

VI.3 Quatre familles de problèmes asymptotiques (esquisses)

Les quatre familles de « problèmes d'analyse asymptotique » sont : (i) le développement asymptotique d'une fonction réciproque $f^{-1}$ en $+\infty$ lorsque $f$ est une bijection $\mathcal C^\infty$ ; (ii) le développement asymptotique de l'unique solution $x_n$ d'une équation dépendant d'un paramètre $n$ quand $n \to +\infty$ ; (iii) le développement asymptotique d'une suite récurrente $u_{n+1} = \varphi(u_n)$ ; (iv) le développement asymptotique d'une suite d'intégrales $I_n = \int g_n$. Chacun est illustré ci-dessous par un Exemple esquissé ; les calculs complets appartiennent au fichier d'exercices.

Méthode — Conduire une étude asymptotique

Recette générale pour un problème de cette section :

Identifier le régime asymptotique. Quelle variable tend vers où ? Quel est le comportement dominant ?
Démarrer d'un équivalent ou d'un DL connu. Le premier terme du développement provient d'une référence connue (DL usuel, croissance comparée, Stirling).
Itérer. Une fois le premier terme connu, le substituer et raffiner pour obtenir le deuxième, puis le troisième, etc. C'est le mécanisme de bootstrapping : chaque étape utilise la précédente en entrée.

Exemple — Fonction réciproque --- $f(x) \equal x + e^x$ en $+\infty$

$f(x) = x + e^x$ est $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbb R$ avec $f'(x) = 1 + e^x > 0$, donc $f$ est une bijection $\mathcal C^\infty$ de $\mathbb R$ sur $\mathbb R$. Quand $x \to +\infty$, $e^x$ domine $x$, donc $f(x) \sim e^x$. En inversant, $y \to +\infty$ signifie $e^x \to +\infty$, c'est-à-dire $x \to +\infty$ ; et $y \sim e^x$ donne $\ln y \sim x$. L'équivalent au premier ordre est $f^{-1}(y) \sim \ln y$ en $+\infty$. D'autres termes s'obtiennent par itération (laissé pour l'exo).

Exemple — Équation à paramètre --- $x e^x \equal n$

Pour chaque $n \ge 1$, la fonction $x \mapsto x e^x$ est une bijection $\mathcal C^\infty$ de $[0, +\infty[$ sur $[0, +\infty[$ (strictement croissante, de $0$ à $+\infty$). Elle admet une unique solution $x_n > 0$ de $x_n e^{x_n} = n$. En passant au $\ln$ : $\ln(x_n) + x_n = \ln n$, donc $x_n \le \ln n$ ; réciproquement $x_n \to +\infty$ puisque $x_n e^{x_n} = n \to +\infty$. Puisque $x_n + \ln x_n = \ln n$ et $x_n \le \ln n$, on a aussi $x_n = \ln n - \ln x_n \ge \ln n - \ln(\ln n)$, donc $x_n / \ln n \to 1$, c'est-à-dire $x_n \sim \ln n$. Par conséquent $\ln x_n \sim \ln(\ln n)$, et une dernière substitution donne $$ x_n \ = \ \ln n - \ln(\ln n) + o(1) \qquad \text{en } n \to +\infty. $$

Exemple — Suite récurrente --- $u_{n+1} \equal \sin u_n$

Soit $u_0 \in \;]0, \pi/2]$ et $u_{n+1} = \sin u_n$. Comme $0 < \sin t < t$ pour $t \in \;]0, \pi/2]$, la suite $(u_n)$ est positive et strictement décroissante, donc converge vers un $\ell \ge 0$ avec $\ell = \sin \ell$ ; la seule solution dans $[0, \pi/2]$ est $\ell = 0$. Donc $u_n \to 0$. Du DL de $\sin$ : $\sin u = u - u^3/6 + o(u^3)$, donc $u_{n+1} = u_n - u_n^3 / 6 + o(u_n^3)$. L'astuce (Cesàro sur $v_n = 1/u_n^2$) : $$ \frac{1}{u_{n+1}^2} - \frac{1}{u_n^2} \ = \ \frac{u_n^2 - u_{n+1}^2}{u_n^2 u_{n+1}^2}, \qquad u_n^2 - u_{n+1}^2 \sim \frac{u_n^4}{3}, \qquad u_n^2 u_{n+1}^2 \sim u_n^4, $$ donc $1/u_{n+1}^2 - 1/u_n^2 \to 1/3$. Par Cesàro, $v_n / n \to 1/3$, c'est-à-dire $u_n^2 \sim 3/n$, c'est-à-dire $u_n \sim \sqrt{3/n}$ en $+\infty$. (Preuve complète dans l'exo.)

Exemple — Suite d'intégrales --- domination au bord

Soit $f \in C^0([0, 1], \mathbb R)$ avec $f(1) \ne 0$, et soit $I_n = \int_0^1 x^n f(x) \, dx$. Le poids $x^n$ se concentre près de $1$ quand $n \to +\infty$, donc heuristiquement seule la valeur $f(1)$ compte. Précisément : $$ I_n \ - \ f(1) \int_0^1 x^n \, dx \ = \ \int_0^1 x^n \bigl(f(x) - f(1)\bigr) \, dx. $$ Fixons $\varepsilon > 0$. Par continuité de $f$ en $1$, on choisit $\eta > 0$ tel que $|f(x) - f(1)| \le \varepsilon$ pour $x \in [1 - \eta, 1]$. On scinde l'intégrale et on majore : $$ \left| \int_0^1 x^n (f(x) - f(1)) \, dx \right| \ \le \ 2 \|f\|_\infty \int_0^{1 - \eta} x^n \, dx \ + \ \varepsilon \int_{1 - \eta}^1 x^n \, dx \ \le \ \frac{2 \|f\|_\infty (1 - \eta)^{n+1}}{n+1} \ + \ \frac{\varepsilon}{n+1}. $$ Le premier terme est $o(1/(n+1))$ (décroissance géométrique), donc en divisant par $\int_0^1 x^n \, dx = 1/(n+1)$, $$ \frac{I_n}{1/(n+1)} \ - \ f(1) \ \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \ 0 \quad \text{(à } \varepsilon\text{ près)}, \qquad I_n \ \underset{n \to +\infty}{\sim} \ \frac{f(1)}{n + 1}. $$

Compétences à pratiquer

Conduire une étude asymptotique

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