Espaces vectoriels

Missions

A) Espaces vectoriels
I) Définition et règles de calcul
1) Reconnaître un espace vectoriel	Ex 1 Ex 2 Ex 3
II) Espaces vectoriels de référence
2) Identifier des espaces de référence	Ex 4 Ex 5 Ex 6
III) Combinaisons linéaires
3) Calculer des combinaisons linéaires	Ex 7 Ex 8 Ex 9
B) Sous-espaces vectoriels
I) Définition et caractérisation
4) Identifier des sous-espaces	Ex 10 Ex 11 Ex 12 Ex 13 Ex 14
II) Sous-espaces de référence
5) Reconnaître des sous-espaces de fonctions	Ex 15 Ex 16 Ex 17 Ex 18
III) Intersection de sous-espaces
6) Calculer des intersections	Ex 19 Ex 20 Ex 21
IV) Sous-espace engendré par une partie
7) Travailler avec Vect	Ex 22 Ex 23 Ex 24 Ex 25
C) Familles de vecteurs
I) Familles génératrices
8) Trouver une famille génératrice	Ex 26 Ex 27 Ex 28
II) Familles libres et liées
9) Démontrer qu'une famille est libre	Ex 29 Ex 30 Ex 31 Ex 32 Ex 33 Ex 34
III) Bases et coordonnées
10) Identifier une base	Ex 35 Ex 36 Ex 37
11) Trouver des coordonnées	Ex 38 Ex 39 Ex 40
D) Somme de sous-espaces vectoriels
I) Somme de deux sous-espaces
12) Calculer une somme	Ex 41 Ex 42 Ex 43 Ex 44
II) Somme directe
13) Reconnaître une somme directe	Ex 45 Ex 46 Ex 47 Ex 48
III) Sous-espaces supplémentaires
14) Démontrer que des sous-espaces sont supplémentaires	Ex 49 Ex 50 Ex 51 Ex 52
15) Trouver un supplémentaire	Ex 53 Ex 54 Ex 55

Cours
Chapitre

Exercices Correction

Conventions

Dans toute cette feuille d'exercices, sauf mention contraire, \(\mathbb{K}\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), \(E\) désigne un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel, et \(n, p\) sont des entiers strictement positifs. Les espaces vectoriels de référence sont \(\mathbb{K}^n\), \(M_{n,p}(\mathbb{K})\), \(\mathbb{K}[X]\), \(\mathbb{K}_n[X]\), \(\mathbb{K}^\Omega\) (fonctions d'un ensemble \(\Omega\) vers \(\mathbb{K}\)), et \(\mathbb{K}^\mathbb{N}\) (suites). La notation \(\mathrm{Vect}(X)\) désigne le sous-espace engendré par une partie \(X\) de \(E\). La théorie de la dimension (existence d'une base finie, formule de la dimension, théorème de la base incomplète, rang) est reportée au chapitre suivant, Espaces vectoriels de dimension finie ; cette feuille reste dans le cadre sans dimension.

A) Espaces vectoriels
    I) Définition et règles de calcul
      1) Reconnaître un espace vectoriel Ex 1 Ex 2 Ex 3
    II) Espaces vectoriels de référence
      2) Identifier des espaces de référence Ex 4 Ex 5 Ex 6
    III) Combinaisons linéaires
      3) Calculer des combinaisons linéaires Ex 7 Ex 8 Ex 9
B) Sous-espaces vectoriels
    I) Définition et caractérisation
      4) Identifier des sous-espaces Ex 10 Ex 11 Ex 12 Ex 13 Ex 14
    II) Sous-espaces de référence
      5) Reconnaître des sous-espaces de fonctions Ex 15 Ex 16 Ex 17 Ex 18
    III) Intersection de sous-espaces
      6) Calculer des intersections Ex 19 Ex 20 Ex 21
    IV) Sous-espace engendré par une partie
      7) Travailler avec Vect Ex 22 Ex 23 Ex 24 Ex 25
C) Familles de vecteurs
    I) Familles génératrices
      8) Trouver une famille génératrice Ex 26 Ex 27 Ex 28
    II) Familles libres et liées
      9) Démontrer qu'une famille est libre Ex 29 Ex 30 Ex 31 Ex 32 Ex 33 Ex 34
    III) Bases et coordonnées
      10) Identifier une base Ex 35 Ex 36 Ex 37
      11) Trouver des coordonnées Ex 38 Ex 39 Ex 40
D) Somme de sous-espaces vectoriels
    I) Somme de deux sous-espaces
      12) Calculer une somme Ex 41 Ex 42 Ex 43 Ex 44
    II) Somme directe
      13) Reconnaître une somme directe Ex 45 Ex 46 Ex 47 Ex 48
    III) Sous-espaces supplémentaires
      14) Démontrer que des sous-espaces sont supplémentaires Ex 49 Ex 50 Ex 51 Ex 52
      15) Trouver un supplémentaire Ex 53 Ex 54 Ex 55

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