CommeUnJeu · L1 MPSI
Fonctions usuelles
Le lycée donne des noms à une poignée de fonctions sur lesquelles s'appuie toute la suite de l'analyse : \(\ln\), \(\exp\), \(x \mapsto x^\alpha\), \(\sh\), \(\ch\), \(\th\), et les fonctions trigonométriques réciproques \(\arccos\), \(\arcsin\), \(\arctan\). Ce chapitre les reprend à ce niveau : domaines explicites, régularité (\(C^\infty\) sur l'intervalle approprié), formules de dérivation, monotonie, identités remarquables, comparaisons asymptotiques. La formule de dérivation d'une réciproque --- démontrée (admise) dans Fonctions réelles --- est le moteur du chapitre : la régularité et la dérivée de \(\ln\), \(\arccos\), \(\arcsin\), \(\arctan\) en découlent. Une dernière section courte traite des fonctions à valeurs complexes d'une variable réelle et établit la formule \((\mathrm{e}^g)' = g' \, \mathrm{e}^g\) pour \(g : I \to \mathbb{C}\) dérivable.
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Convention. Les identités algébriques sont énoncées sur le domaine naturel de chaque fonction (\(\mathbb{R}_+^*\) pour \(\ln\), \(\mathbb{R}\) pour \(\exp\), \(\sh\), \(\ch\), \(\th\), \([-1 \,;\, 1]\) pour \(\arccos\) et \(\arcsin\), \(\mathbb{R}\) pour \(\arctan\)). Les énoncés de dérivabilité et de classe \(C^k\) portent sur un intervalle \(I \subset \mathbb{R}\) d'intérieur non vide. Dans tout le chapitre, \(\mathrm{e} = \exp(1)\) désigne la constante de Néper.
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Convention. Les identités algébriques sont énoncées sur le domaine naturel de chaque fonction (\(\mathbb{R}_+^*\) pour \(\ln\), \(\mathbb{R}\) pour \(\exp\), \(\sh\), \(\ch\), \(\th\), \([-1 \,;\, 1]\) pour \(\arccos\) et \(\arcsin\), \(\mathbb{R}\) pour \(\arctan\)). Les énoncés de dérivabilité et de classe \(C^k\) portent sur un intervalle \(I \subset \mathbb{R}\) d'intérieur non vide. Dans tout le chapitre, \(\mathrm{e} = \exp(1)\) désigne la constante de Néper.
I
Logarithme et exponentielle
Le logarithme népérien \(\ln\) est l'unique fonction sur \(\mathbb{R}_+^*\) de dérivée \(1/x\) qui s'annule en \(1\). Son inverse \(\exp\) est défini comme la fonction réciproque. Le couple échange structure multiplicative et structure additive : \(\ln(xy) = \ln x + \ln y\) et \(\exp(x + y) = \exp(x) \exp(y)\). Ces équations fonctionnelles se propagent partout en analyse, des limites aux équations différentielles.
Définition — Logarithme népérien
Il existe une unique fonction \(\textcolor{colordef}{\ln : \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}}\) de classe \(C^\infty\) vérifiant $$ \forall x > 0, \quad \ln'(x) = \frac{1}{x} \qquad \text{et} \qquad \ln(1) = 0. $$ Cette fonction est appelée logarithme népérien. (L'existence est admise : elle repose sur le théorème fondamental de l'analyse, établi dans Intégration sur un segment. L'unicité est immédiate --- la différence de deux telles fonctions a une dérivée nulle sur l'intervalle \(\mathbb{R}_+^*\), donc est constante, et cette constante vaut \(0\) par évaluation en \(1\).) Proposition — Équation fonctionnelle de \(\ln\)
Pour tout \(x, y > 0\) et tout \(n \in \mathbb{Z}\) : $$ \textcolor{colorprop}{\ln(xy) = \ln x + \ln y, \quad \ln\!\left(\frac{1}{x}\right) = -\ln x, \quad \ln\!\left(\frac{x}{y}\right) = \ln x - \ln y, \quad \ln(x^n) = n \ln x.} $$
Fixons \(y > 0\) et considérons \(\varphi_y : \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}\) définie par \(\varphi_y(x) = \ln(xy) - \ln(x)\). Par dérivation composée : $$ \varphi_y'(x) = \frac{1}{xy} \cdot y - \frac{1}{x} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x} = 0. $$ Donc \(\varphi_y\) est constante sur l'intervalle \(\mathbb{R}_+^*\). En évaluant en \(x = 1\) : \(\varphi_y(1) = \ln(y) - \ln(1) = \ln y\). Par conséquent \(\ln(xy) - \ln x = \ln y\) pour tout \(x > 0\), c'est-à-dire \(\ln(xy) = \ln x + \ln y\). Les autres identités s'en déduisent :
- \(\ln(x \cdot 1/x) = \ln 1 = 0\), donc \(\ln(1/x) = -\ln x\).
- \(\ln(x/y) = \ln(x \cdot 1/y) = \ln x + \ln(1/y) = \ln x - \ln y\).
- Pour \(n \ge 0\), par récurrence : \(\ln(x^{n+1}) = \ln(x^n \cdot x) = \ln(x^n) + \ln x = n \ln x + \ln x = (n+1) \ln x\). Pour \(n < 0\), on écrit \(\ln(x^n) = \ln(1/x^{-n}) = -\ln(x^{-n}) = -(-n)\ln x = n \ln x\).
Proposition — Variations et limites de \(\ln\)
La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+^*\), et $$ \textcolor{colorprop}{\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty.} $$ En particulier, \(\ln\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}_+^*\) sur \(\mathbb{R}\). - Stricte monotonie. Comme \(\ln'(x) = 1/x > 0\) sur \(\mathbb{R}_+^*\), \(\ln\) est strictement croissante.
- Limite en \(+\infty\). Comme \(2 > 1\) et \(\ln\) est strictement croissante, \(\ln 2 > \ln 1 = 0\). Par P1.1, \(\ln(2^n) = n \ln 2\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\), donc \(\ln(2^n) \to +\infty\). Par monotonie, pour tout \(x \ge 2^n\), \(\ln x \ge n \ln 2\), donc \(\ln x \to +\infty\) quand \(x \to +\infty\).
- Limite en \(0^+\). Quand \(x \to 0^+\), \(1/x \to +\infty\), et \(\ln x = -\ln(1/x) \to -\infty\) (P1.1).
- Bijectivité. Une fonction continue strictement croissante sur l'intervalle \(\mathbb{R}_+^*\) avec limites \(-\infty\) et \(+\infty\) aux bornes est une bijection sur \(\mathbb{R}\) (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires du chapitre Fonctions réelles).
Définition — Exponentielle\(\virgule\) constante de Néper
Comme \(\ln : \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}\) est bijective (P1.2), elle admet une réciproque, appelée fonction exponentielle et notée \(\textcolor{colordef}{\exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+^*}\). Elle est caractérisée par $$ \forall x \in \mathbb{R}, \forall y > 0, \quad y = \exp(x) \iff x = \ln(y). $$ La constante de Néper est \(\textcolor{colordef}{\mathrm{e} = \exp(1)}\), l'unique réel vérifiant \(\ln \mathrm{e} = 1\). L'exponentielle est de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}\) avec \(\exp' = \exp\) et \(\exp(0) = 1\) (admis ; conséquence du théorème de dérivation d'une réciproque issu du chapitre Fonctions réelles, puisque \(\ln' = 1/x\) ne s'annule pas sur \(\mathbb{R}_+^*\)). Proposition — Équation fonctionnelle de \(\exp\)
Pour tout \(x, y \in \mathbb{R}\) et tout \(n \in \mathbb{Z}\) : $$ \textcolor{colorprop}{\exp(x + y) = \exp(x) \exp(y), \quad \exp(-x) = \frac{1}{\exp(x)}, \quad \exp(nx) = \exp(x)^n.} $$
On applique \(\ln\) aux deux membres de \(\exp(x + y) = \exp(x) \exp(y)\) et on vérifie qu'ils ont la même image :
- \(\ln(\exp(x + y)) = x + y\) (puisque \(\ln \circ \exp = \mathrm{Id}_\mathbb{R}\)).
- \(\ln(\exp(x) \exp(y)) = \ln(\exp(x)) + \ln(\exp(y)) = x + y\) (P1.1 équation fonctionnelle de \(\ln\), puis \(\ln \circ \exp = \mathrm{Id}\)).
Proposition — Variations et limites de \(\exp\)
La fonction \(\exp\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), et $$ \textcolor{colorprop}{\lim_{x \to -\infty} \exp(x) = 0, \qquad \lim_{x \to +\infty} \exp(x) = +\infty.} $$ De plus \(\exp(\mathbb{R}) = \mathbb{R}_+^*\). (Le résultat est conséquence directe du fait que \(\exp\) est la réciproque de la bijection croissante \(\ln : \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}\) donnée par P1.2.) Exemple
Calculer \(\ln\!\bigl( \mathrm{e}^3 \cdot \mathrm{e}^{-2} / \mathrm{e} \bigr)\).
Par P1.1 : \(\ln(\mathrm{e}^3 \cdot \mathrm{e}^{-2} / \mathrm{e}) = \ln(\mathrm{e}^3) + \ln(\mathrm{e}^{-2}) - \ln(\mathrm{e}) = 3 - 2 - 1 = 0\). (Autrement dit : l'argument vaut \(\mathrm{e}^{3-2-1} = \mathrm{e}^0 = 1\), et \(\ln 1 = 0\).)
Exemple
Résoudre sur \(\mathbb{R}_+^*\) : \(\ln(x) + \ln(x + 1) = \ln 6\).
Les deux membres existent pour \(x > 0\) et \(x + 1 > 0\), c'est-à-dire \(x > 0\). Par P1.1, l'équation se réécrit \(\ln(x(x+1)) = \ln 6\), d'où, par injectivité de \(\ln\) : $$ x(x+1) = 6 \iff x^2 + x - 6 = 0 \iff (x - 2)(x + 3) = 0. $$ Les racines sont \(x = 2\) et \(x = -3\) ; seul \(x = 2\) appartient à \(\mathbb{R}_+^*\). La solution unique est \(x = 2\).
Exemple
Vérifier \(\ln(\mathrm{e}) = 1\) à partir de la définition de \(\mathrm{e}\), et vérifier que \(\exp(\ln 5) = 5\).
La définition \(\mathrm{e} = \exp(1)\) signifie : \(\mathrm{e}\) est l'unique réel vérifiant \(\ln \mathrm{e} = 1\). Donc \(\ln(\mathrm{e}) = 1\) par définition. Pour la seconde : \(\exp\) est la réciproque de \(\ln\), donc \(\exp \circ \ln = \mathrm{Id}_{\mathbb{R}_+^*}\), en particulier \(\exp(\ln 5) = 5\). (Réciproquement \(\ln \circ \exp = \mathrm{Id}_\mathbb{R}\), donc \(\ln(\exp x) = x\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).)
Exemple — Graphes de \(\ln\) et \(\exp\)
Proposition — Inégalités fondamentales
$$ \textcolor{colorprop}{\forall x \in \mathbb{R}, \quad \exp(x) \ge 1 + x,} \qquad \text{avec égalité ssi } x = 0. $$ $$ \textcolor{colorprop}{\forall x > -1, \quad \ln(1 + x) \le x,} \qquad \text{avec égalité ssi } x = 0. $$ - Étape 1 --- inégalité exponentielle. Posons \(\varphi(x) = \exp(x) - 1 - x\) sur \(\mathbb{R}\). Alors \(\varphi'(x) = \exp(x) - 1\), négatif pour \(x < 0\) et positif pour \(x > 0\) (car \(\exp\) est strictement croissante et \(\exp(0) = 1\)). Donc \(\varphi\) est strictement décroissante sur \(]-\infty \,;\, 0]\) et strictement croissante sur \([0 \,;\, +\infty[\), avec minimum global \(\varphi(0) = 1 - 1 - 0 = 0\). Donc \(\varphi(x) \ge 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), avec égalité ssi \(x = 0\). Cela donne \(\exp(x) \ge 1 + x\).
- Étape 2 --- inégalité logarithmique. Pour \(x > -1\), \(1 + x > 0\), donc \(\ln(1+x)\) est défini. On applique l'étape 1 avec \(\ln(1+x)\) à la place de \(x\) : \(\exp(\ln(1+x)) \ge 1 + \ln(1+x)\), c'est-à-dire \(1 + x \ge 1 + \ln(1+x)\), donc \(\ln(1+x) \le x\). L'égalité a lieu ssi \(\ln(1+x) = 0\), c'est-à-dire \(x = 0\).
Compétences à pratiquer
- Résoudre des équations et inégalités log/exp
- Démontrer des inégalités via les inégalités fondamentales
II
Fonctions puissances
Pour \(x > 0\) et \(\alpha \in \mathbb{R}\), la puissance \(x^\alpha\) est définie par \(x^\alpha = \exp(\alpha \ln x)\). La construction généralise les puissances entières (où \(x^n = x \cdot x \cdots x\), \(n\) facteurs) aux exposants réels et constitue l'extension naturelle dès lors que \(\ln\) et \(\exp\) sont disponibles. Les propriétés algébriques \(x^{\alpha + \beta} = x^\alpha x^\beta\), \((x^\alpha)^\beta = x^{\alpha\beta}\) découlent directement des équations fonctionnelles de \(\ln\) et \(\exp\).
Définition — Puissance réelle
Pour \(x > 0\) et \(\alpha \in \mathbb{R}\), la puissance réelle de \(x\) d'exposant \(\alpha\) est $$ \textcolor{colordef}{x^\alpha = \exp(\alpha \ln x).} $$ La fonction \(x \mapsto x^\alpha\) est définie : - sur \(\mathbb{R}_+^*\) en général ;
- sur \(\mathbb{R}_+ = [0 \,;\, +\infty[\) si \(\alpha > 0\), en posant \(0^\alpha = 0\) (prolongement par continuité) ;
- sur \(\mathbb{R}\) si \(\alpha \in \mathbb{N}\), avec \(x^n = x \cdot x \cdots x\) (\(n\) facteurs), \(x^0 = 1\).
Proposition — Propriétés algébriques des puissances
Pour \(x, x' > 0\) et \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) : $$ \textcolor{colorprop}{\begin{aligned} & x^{\alpha + \beta} = x^\alpha \, x^\beta, \qquad (x^\alpha)^\beta = x^{\alpha \beta}, \qquad (x x')^\alpha = x^\alpha \, x'^\alpha, \\
& x^{-\alpha} = \frac{1}{x^\alpha}, \qquad \ln(x^\alpha) = \alpha \ln x. \end{aligned}} $$
Les cinq identités découlent de la définition \(x^\alpha = \exp(\alpha \ln x)\) combinée aux équations fonctionnelles de \(\ln\) (P1.1) et \(\exp\) (P1.3). Par exemple :
- \(x^{\alpha + \beta} = \exp((\alpha + \beta) \ln x) = \exp(\alpha \ln x + \beta \ln x) = \exp(\alpha \ln x) \cdot \exp(\beta \ln x) = x^\alpha \, x^\beta\).
- \(\ln(x^\alpha) = \ln(\exp(\alpha \ln x)) = \alpha \ln x\) (puisque \(\ln \circ \exp = \mathrm{Id}_\mathbb{R}\)).
- \((x^\alpha)^\beta = \exp(\beta \ln(x^\alpha)) = \exp(\beta \cdot \alpha \ln x) = x^{\alpha \beta}\), à l'aide de l'identité précédente.
- \((xx')^\alpha = \exp(\alpha \ln(xx')) = \exp(\alpha (\ln x + \ln x')) = \exp(\alpha \ln x) \exp(\alpha \ln x') = x^\alpha x'^\alpha\).
- \(x^{-\alpha} = \exp(-\alpha \ln x) = 1 / \exp(\alpha \ln x) = 1/x^\alpha\).
Proposition — Variations et dérivée de \(x \mapsto x^\alpha\)
Pour tout \(\alpha \in \mathbb{R}\), la fonction \(f_\alpha : x \mapsto x^\alpha\) est de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}_+^*\), avec $$ \textcolor{colorprop}{f_\alpha'(x) = \alpha \, x^{\alpha - 1} \quad \text{pour tout } x > 0.} $$ Le sens de variation : - si \(\alpha > 0\) : \(f_\alpha\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+^*\) ;
- si \(\alpha < 0\) : \(f_\alpha\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}_+^*\) ;
- si \(\alpha = 0\) : \(f_\alpha\) est constante égale à \(1\).
Exemple
Calculer \(\sqrt[3]{8}\) avec la formule des puissances.
\(\sqrt[3]{8} = 8^{1/3} = \exp(\ln 8 / 3) = \exp(\ln(2^3)/3) = \exp(3 \ln 2 / 3) = \exp(\ln 2) = 2\). La racine cubique de \(8\) vaut \(2\), ce qui coïncide avec la définition du lycée.
Exemple
Pour \(x > 0\) avec \(x \ne 1\), simplifier \(\bigl(x^{\ln x}\bigr)^{1/\ln x}\).
Par P2.1, \((x^\alpha)^\beta = x^{\alpha \beta}\), donc \(\bigl(x^{\ln x}\bigr)^{1/\ln x} = x^{\ln x \cdot 1/\ln x} = x^1 = x\) (valable pour \(x > 0\) et \(x \ne 1\), afin que \(\ln x \ne 0\)).
Exemple
Calculer \(2^\pi\) sous la forme \(\exp(\cdot)\), et en donner une estimation numérique avec \(\ln 2 \simeq 0{,}693\).
Par définition, \(2^\pi = \exp(\pi \ln 2)\). Numériquement, \(\pi \ln 2 \simeq 3{,}14159 \times 0{,}693 \simeq 2{,}177\), donc \(2^\pi \simeq \exp(2{,}177) \simeq 8{,}82\). (La valeur est définie par la formule \(2^\pi = \exp(\pi \ln 2)\) ; on n'en attend pas de forme exacte élémentaire.)
Exemple — Logarithme de base \(a\)
Pour \(a > 0\), \(a \ne 1\) et \(x > 0\), le logarithme de base \(a\) est \(\log_a x = \ln x / \ln a\). Montrer que \(a^{\log_a x} = x\).
Par définition : \(a^{\log_a x} = \exp(\log_a x \cdot \ln a) = \exp\!\bigl( (\ln x / \ln a) \cdot \ln a \bigr) = \exp(\ln x) = x\). Donc \(\log_a\) est la réciproque de \(y \mapsto a^y\) sur \(\mathbb{R}_+^*\). Le cas \(a = \mathrm{e}\) redonne \(\log_\mathrm{e} = \ln\) ; le cas \(a = 10\) donne le logarithme décimal \(\log_{10}\) (souvent noté \(\log\)).
Exemple — Graphes de \(x \mapsto x^\alpha\)
Méthode — Dériver \(x \mapsto u(x)^{v(x)}\)
Lorsque l'exposant n'est pas constant, la formule \((x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}\) ne s'applique pas directement. Hypothèses. Soient \(I \subset \mathbb{R}\) un intervalle et \(u, v : I \to \mathbb{R}\) dérivables, avec \(u(x) > 0\) pour tout \(x \in I\). Il faut écrire la fonction sous forme exponentielle : $$ u(x)^{v(x)} = \exp\!\bigl( v(x) \, \ln u(x) \bigr), $$ puis dériver la composée par \((\exp \circ f)' = f' \exp \circ f\) : $$ \bigl( u^v \bigr)' = \bigl( v' \, \ln u + v \cdot u'/u \bigr) \cdot u^v. $$ Cette technique traite toutes les expressions à « exposant variable » \(x^x\) sur \(\mathbb{R}_+^*\), \(x^{\sin x}\) sur \(\mathbb{R}_+^*\), \((\ln x)^x\) sur \(\,]1 \,;\, +\infty[\), etc. Compétences à pratiquer
- Calculer des puissances réelles et simplifier
- Dériver des fonctions \(u^v\)
III
Croissances comparées
En \(+\infty\), les trois familles \(\ln\), \(x^\alpha\) (\(\alpha > 0\)), \(\exp\) croissent à des vitesses radicalement différentes : l'exponentielle domine toute puissance, toute puissance domine toute puissance du logarithme. En symboles : \(\ln \ll x^\alpha \ll \exp\) en \(+\infty\). Les énoncés en \(0^+\) gouvernent la vitesse à laquelle \(\ln\) tend vers \(-\infty\) par rapport aux puissances négatives. Ces croissances comparées sont le pain quotidien de ce cours : limites, suites, analyse asymptotique en dépendent.
Theorem — Croissances comparées
Pour tout \(\alpha > 0\) et tout \(\beta \in \mathbb{R}\) : $$ \textcolor{colorprop}{\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^\beta}{x^\alpha} = 0, \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{x^\alpha}{\mathrm{e}^x} = 0, \qquad \lim_{x \to 0^+} x^\alpha \, |\ln x|^\beta = 0.} $$ - Étape 1 --- inégalité clé \(\ln u \le 2(\sqrt{u} - 1)\) pour \(u \ge 1\). On applique l'inégalité fondamentale \(\ln(1 + x) \le x\) pour \(x > -1\) avec \(x \leftarrow \sqrt{u} - 1\), valide car \(\sqrt{u} - 1 \ge 0 > -1\) pour \(u \ge 1\) : $$ \ln(\sqrt{u}) = \ln(1 + (\sqrt{u} - 1)) \le \sqrt{u} - 1. $$ En multipliant par \(2\) : \(\ln u = 2 \ln \sqrt{u} \le 2(\sqrt{u} - 1) \le 2 \sqrt{u}\).
- Étape 2 --- première limite. Pour \(u \ge 1\) : \(0 \le \ln u / u \le 2 / \sqrt{u} \to 0\) quand \(u \to +\infty\). Donc \(\ln u / u \to 0\). Trois cas selon \(\beta\) :
- \(\beta = 0\) : \((\ln x)^0 / x^\alpha = 1/x^\alpha \to 0\) puisque \(\alpha > 0\).
- \(\beta > 0\) : avec la substitution \(u = x^{\alpha/\beta}\), on écrit $$ \frac{(\ln x)^\beta}{x^\alpha} = \left( \frac{\ln x}{x^{\alpha/\beta}} \right)^\beta = \left( \frac{\beta}{\alpha} \cdot \frac{\ln u}{u} \right)^\beta. $$ Quand \(x \to +\infty\), \(u \to +\infty\), donc \(\ln u / u \to 0\), d'où \((\ln x)^\beta / x^\alpha \to 0\).
- \(\beta < 0\) : le numérateur \((\ln x)^\beta = 1/(\ln x)^{|\beta|} \to 0\) quand \(x \to +\infty\), le dénominateur \(x^\alpha \to +\infty\), donc le quotient tend vers \(0\).
- Étape 3 --- deuxième limite. On pose \(u = \mathrm{e}^x\), soit \(x = \ln u\). Quand \(x \to +\infty\), \(u \to +\infty\), et \(x^\alpha / \mathrm{e}^x = (\ln u)^\alpha / u\). Par l'étape 2 (avec \(\beta = \alpha > 0\)), cette quantité tend vers \(0\).
- Étape 4 --- troisième limite (en \(0^+\)). On pose \(x = 1/y\). Quand \(x \to 0^+\), \(y \to +\infty\), et $$ x^\alpha \, |\ln x|^\beta = \frac{|\ln(1/y)|^\beta}{y^\alpha} = \frac{(\ln y)^\beta}{y^\alpha} \to 0 \quad (\text{étape 2}). $$
Exemple
Calculer \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{\mathrm{e}^x}\).
Application directe de la deuxième limite de T3.1 avec \(\alpha = 3\) : \(x^3 / \mathrm{e}^x \to 0\). (La croissance polynomiale \(x^3\) est dominée par l'exponentielle.)
Exemple
Calculer \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x \ln x\).
Pour \(x \in \,]0 \,;\, 1[\), \(\ln x < 0\), donc \(x \ln x = -x \, |\ln x|\). Par la troisième limite de T3.1 avec \(\alpha = 1\) et \(\beta = 1\) : \(x \, |\ln x| \to 0\) quand \(x \to 0^+\), donc \(x \ln x \to 0\).
Exemple
Calculer \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^x}{\mathrm{e}^x}\).
On écrit \(x^x / \mathrm{e}^x = \exp(x \ln x - x) = \exp\!\bigl( x(\ln x - 1) \bigr)\). Quand \(x \to +\infty\), \(\ln x - 1 \to +\infty\) et \(x \to +\infty\), donc \(x(\ln x - 1) \to +\infty\), d'où \(\exp(x(\ln x - 1)) \to +\infty\). Conclusion : \(x^x / \mathrm{e}^x \to +\infty\). (La fonction \(x^x\) domine \(\mathrm{e}^x\) en \(+\infty\).)
Exemple
Calculer \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^{100}}{x}\).
Application directe de la première limite de T3.1 avec \(\alpha = 1\) et \(\beta = 100\) : \((\ln x)^{100} / x \to 0\). L'exposant \(100\) ne change pas la conclusion --- toute puissance du logarithme est dominée par toute puissance positive de \(x\), aussi petite soit-elle.
Méthode — Comparer \(f\) et \(g\) en \(+\infty\) via les croissances comparées
Quand \(f, g \to \pm\infty\) quand \(x \to +\infty\), le quotient \(f(x) / g(x)\) présente une forme indéterminée. Pour la lever, on identifie la famille dominante de chaque côté grâce à la hiérarchie $$ \ln \ll x^\alpha \ll \exp \quad (\alpha > 0). $$ Le quotient se simplifie ensuite : on factorise par le bloc dominant au numérateur et au dénominateur, puis on conclut. Exemple : \(\dfrac{x^3 + \ln x}{\mathrm{e}^x - x^2}\). Le terme dominant en haut est \(x^3\) (car \(\ln x \ll x^3\)), le terme dominant en bas est \(\mathrm{e}^x\) (car \(x^2 \ll \mathrm{e}^x\)). Donc $$ \frac{x^3 + \ln x}{\mathrm{e}^x - x^2} \sim \frac{x^3}{\mathrm{e}^x} \to 0 \quad \text{(T3.1, deuxième limite)}. $$ Compétences à pratiquer
- Calculer des limites via les croissances comparées
- Déterminer la dominance asymptotique
IV
Fonctions hyperboliques
Le cosinus hyperbolique \(\ch\) et le sinus hyperbolique \(\sh\) sont les parties paire et impaire de l'exponentielle : \(\ch(x) = (\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x})/2\), \(\sh(x) = (\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x})/2\). Ils satisfont l'identité fondamentale \(\ch^2(x) - \sh^2(x) = 1\), contrepartie hyperbolique de \(\cos^2 + \sin^2 = 1\), et l'application \(t \mapsto (\ch t, \sh t)\) paramètre la branche droite de l'hyperbole \(X^2 - Y^2 = 1\) (puisque \(\ch t \ge 1\)), comme les fonctions trigonométriques paramètrent le cercle. La troisième fonction hyperbolique, \(\th = \sh / \ch\), est définie et bornée sur \(\mathbb{R}\).
Définition — Cosinus\(\virgule\) sinus et tangente hyperboliques
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) : $$ \textcolor{colordef}{\ch(x) = \frac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}{2}, \qquad \sh(x) = \frac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{2}, \qquad \th(x) = \frac{\sh(x)}{\ch(x)}.} $$ La fonction \(\ch\) est le cosinus hyperbolique, \(\sh\) le sinus hyperbolique, \(\th\) la tangente hyperbolique. Notons que \(\ch(x) \ge 1 > 0\) pour tout \(x\), donc \(\th\) est définie sur \(\mathbb{R}\) (pas de problème de division par zéro, contrairement à la tangente trigonométrique). Proposition — Parité\(\virgule\) régularité\(\virgule\) dérivées\(\virgule\) identité fondamentale
Les fonctions \(\ch\), \(\sh\), \(\th\) sont de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}\), avec $$ \textcolor{colorprop}{\ch'(x) = \sh(x), \qquad \sh'(x) = \ch(x), \qquad \th'(x) = 1 - \th^2(x) = \frac{1}{\ch^2(x)}.} $$ Parité : \(\ch\) est paire, \(\sh\) et \(\th\) sont impaires. Variations : \(\sh\) et \(\th\) sont strictement croissantes sur \(\mathbb{R}\) ; \(\ch\) est strictement décroissante sur \(]-\infty \,;\, 0]\) et strictement croissante sur \([0 \,;\, +\infty[\). Image : \(\ch(\mathbb{R}) = [1 \,;\, +\infty[\), \(\sh(\mathbb{R}) = \mathbb{R}\), \(\th(\mathbb{R}) = \,]-1 \,;\, 1[\). Identité fondamentale : $$ \textcolor{colorprop}{\forall x \in \mathbb{R}, \quad \ch^2(x) - \sh^2(x) = 1.} $$ - Régularité et dérivées. \(\ch\) et \(\sh\) sont combinaisons linéaires de \(x \mapsto \mathrm{e}^x\) et \(x \mapsto \mathrm{e}^{-x}\), toutes deux de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}\). Calcul direct : $$ \ch'(x) = \frac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{2} = \sh(x), \qquad \sh'(x) = \frac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}{2} = \ch(x). $$ Pour \(\th = \sh / \ch\), la dérivation d'un quotient donne $$ \th'(x) = \frac{\ch^2(x) - \sh^2(x)}{\ch^2(x)} = \frac{1}{\ch^2(x)} $$ en utilisant l'identité fondamentale (point suivant). L'autre forme \(\th' = 1 - \th^2\) s'obtient en écrivant \(\ch^2 - \sh^2 = \ch^2 (1 - \sh^2/\ch^2) = \ch^2(1 - \th^2)\), d'où \(1/\ch^2 = (1 - \th^2)\) après division par \(\ch^2\).
- Identité fondamentale. Calcul direct : $$ \ch^2(x) - \sh^2(x) = (\ch(x) + \sh(x))(\ch(x) - \sh(x)) = \mathrm{e}^x \cdot \mathrm{e}^{-x} = 1. $$ (On a utilisé \(\ch + \sh = \mathrm{e}^x\) et \(\ch - \sh = \mathrm{e}^{-x}\).)
- Parité. \(\ch(-x) = (\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^x)/2 = \ch(x)\) (paire) ; \(\sh(-x) = (\mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^x)/2 = -\sh(x)\) (impaire) ; \(\th(-x) = \sh(-x)/\ch(-x) = -\sh(x)/\ch(x) = -\th(x)\) (impaire).
- Variations. \(\ch'(x) = \sh(x)\) ; le signe de \(\sh\) correspond à celui de \(\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}\), négatif pour \(x < 0\) et positif pour \(x > 0\). Donc \(\ch\) décroît sur \(]-\infty \,;\, 0]\) et croît sur \([0 \,;\, +\infty[\). \(\sh'(x) = \ch(x) \ge 1 > 0\), donc \(\sh\) est strictement croissante. \(\th'(x) = 1/\ch^2(x) > 0\), donc \(\th\) est strictement croissante.
- Limites et image. Quand \(x \to +\infty\), \(\mathrm{e}^x \to +\infty\), \(\mathrm{e}^{-x} \to 0\), donc \(\ch(x), \sh(x) \to +\infty\) et \(\th(x) = (\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x})/(\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}) \to 1\). Par parité, \(\ch(x) \to +\infty\), \(\sh(x) \to -\infty\), \(\th(x) \to -1\) en \(-\infty\). La continuité donne les images : \(\ch(\mathbb{R}) = [1 \,;\, +\infty[\), \(\sh(\mathbb{R}) = \mathbb{R}\), \(\th(\mathbb{R}) = \,]-1 \,;\, 1[\).
Exemple
Calculer \(\ch(\ln 2)\) et \(\sh(\ln 2)\), et vérifier l'identité fondamentale.
Comme \(\mathrm{e}^{\ln 2} = 2\) et \(\mathrm{e}^{-\ln 2} = 1/2\) : $$ \ch(\ln 2) = \frac{2 + 1/2}{2} = \frac{5}{4}, \qquad \sh(\ln 2) = \frac{2 - 1/2}{2} = \frac{3}{4}. $$ Vérification : \(\ch^2(\ln 2) - \sh^2(\ln 2) = 25/16 - 9/16 = 16/16 = 1\) \(\checkmark\).
Exemple
Résoudre sur \(\mathbb{R}\) : \(\ch(x) = 2\).
On pose \(u = \mathrm{e}^x > 0\). Alors \(\ch(x) = (u + 1/u)/2 = 2\), soit \(u + 1/u = 4\), donc \(u^2 - 4u + 1 = 0\). Le discriminant vaut \(16 - 4 = 12\), donc $$ u = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}. $$ Les deux racines sont positives (car \(\sqrt{3} < 2\)), donc admissibles. Donc \(\mathrm{e}^x \in \{2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}\}\), et \(x \in \{\ln(2 + \sqrt{3}), \ln(2 - \sqrt{3})\}\). Par symétrie, \(\ln(2 - \sqrt{3}) = -\ln(2 + \sqrt{3})\) (cohérent avec \(\ch\) paire). Les deux solutions sont \(x = \pm \ln(2 + \sqrt{3})\).
Exemple — Graphes de \(\ch\)\(\virgule\) \(\sh\)\(\virgule\) \(\th\)
Rappel hors-programme
Les fonctions hyperboliques réciproques sont hors programme à ce niveau ; la seule formule exigible est \(\ch^2(x) - \sh^2(x) = 1\). Les fonctions hyperboliques réciproques \(\mathrm{argsh}\), \(\mathrm{argch}\), \(\mathrm{argth}\) ne sont donc pas introduites dans ce chapitre ; seule l'identité fondamentale est exigible. (Pour la curiosité : \(\ch\) restreinte à \([0 \,;\, +\infty[\) admet une réciproque, mais c'est un objet de deuxième année.)
Méthode — Linéariser \(\ch^p \ \sh^q\)
Un produit de puissances de \(\ch\) et \(\sh\) s'écrit comme combinaison linéaire de \(\ch(kx)\) et \(\sh(kx)\) pour divers entiers \(k\), en repassant par la forme \(\mathrm{e}^x, \mathrm{e}^{-x}\) : $$ \ch(x) = \frac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}{2}, \qquad \sh(x) = \frac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{2}. $$ On développe le produit, on regroupe les termes \(\mathrm{e}^{kx}\), puis on les ré-apparie en \(\ch\)/\(\sh\). La technique est le pendant hyperbolique de la linéarisation trigonométrique \((\cos x)(\sin x) = \frac{1}{2}\sin(2x)\). Exemple. \(\ch^2(x) = \bigl( (\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x})/2 \bigr)^2 = (\mathrm{e}^{2x} + 2 + \mathrm{e}^{-2x})/4 = \frac{1}{2}\ch(2x) + \frac{1}{2}\). Compétences à pratiquer
- Linéariser des expressions hyperboliques
- Résoudre les équations \(\ch x \equal c\)\(\virgule\) \(\sh x \equal c\)
V
Fonctions trigonométriques réciproques
Les fonctions \(\cos\), \(\sin\), \(\tan\) ne sont pas bijectives sur \(\mathbb{R}\) (elles sont périodiques). Pour définir une réciproque, il faut restreindre le domaine à un intervalle de monotonie maximal. Les conventions standard : \(\cos\) sur \([0 \,;\, \pi]\), \(\sin\) sur \([-\pi/2 \,;\, \pi/2]\), \(\tan\) sur \(]-\pi/2 \,;\, \pi/2[\). Les fonctions réciproques sont \(\arccos\), \(\arcsin\), \(\arctan\). Leurs dérivées découlent du théorème de dérivation d'une réciproque du chapitre Fonctions réelles, appliqué sur l'intérieur ouvert où la dérivée de la fonction de départ ne s'annule pas.
Définition — \(\arccos\)
La restriction \(\cos|_{[0, \pi]} : [0 \,;\, \pi] \to [-1 \,;\, 1]\) est continue et strictement décroissante (admis ; établi au chapitre Trigonométrie), donc bijective. Sa réciproque est l'arccosinus : $$ \textcolor{colordef}{\arccos : [-1 \,;\, 1] \to [0 \,;\, \pi].} $$ Par définition, pour \(x \in [-1 \,;\, 1]\), \(\arccos(x)\) est l'unique \(\theta \in [0 \,;\, \pi]\) tel que \(\cos \theta = x\). Définition — \(\arcsin\)
La restriction \(\sin|_{[-\pi/2, \pi/2]} : [-\pi/2 \,;\, \pi/2] \to [-1 \,;\, 1]\) est continue et strictement croissante, donc bijective. Sa réciproque est l'arcsinus : $$ \textcolor{colordef}{\arcsin : [-1 \,;\, 1] \to [-\pi/2 \,;\, \pi/2].} $$ Pour \(x \in [-1 \,;\, 1]\), \(\arcsin(x)\) est l'unique \(\theta \in [-\pi/2 \,;\, \pi/2]\) tel que \(\sin \theta = x\). Définition — \(\arctan\)
La restriction \(\tan|_{]-\pi/2, \pi/2[} : \,]-\pi/2 \,;\, \pi/2[ \to \mathbb{R}\) est continue et strictement croissante, donc bijective. Sa réciproque est l'arctangente : $$ \textcolor{colordef}{\arctan : \mathbb{R} \to \,]-\pi/2 \,;\, \pi/2[}. $$ Pour \(x \in \mathbb{R}\), \(\arctan(x)\) est l'unique \(\theta \in \,]-\pi/2 \,;\, \pi/2[\) tel que \(\tan \theta = x\). Proposition — Propriétés de \(\arccos\)\(\virgule\) \(\arcsin\)\(\virgule\) \(\arctan\)
- \(\arccos\) est continue sur \([-1 \,;\, 1]\), de classe \(C^\infty\) sur \(\,]-1 \,;\, 1[\), avec $$ \textcolor{colorprop}{\forall x \in \,]-1, 1[, \quad \arccos'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.} $$
- \(\arcsin\) est continue sur \([-1 \,;\, 1]\), de classe \(C^\infty\) sur \(\,]-1 \,;\, 1[\), impaire, avec $$ \textcolor{colorprop}{\forall x \in \,]-1, 1[, \quad \arcsin'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.} $$
- \(\arctan\) est de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}\), impaire, avec $$ \textcolor{colorprop}{\forall x \in \mathbb{R}, \quad \arctan'(x) = \frac{1}{1 + x^2}.} $$
- \(\arctan'\). Le théorème de dérivation d'une réciproque du chapitre Fonctions réelles s'applique à \(\tan\) sur \(\,]-\pi/2 \,;\, \pi/2[\), où \(\tan' = 1 + \tan^2\) ne s'annule pas. Donc \(\arctan\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, en posant \(\theta = \arctan x\), soit \(\tan \theta = x\) : $$ \arctan'(x) = \frac{1}{\tan'(\theta)} = \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1}{1 + x^2}. $$ Valable pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Par itération, \(\arctan\) est de classe \(C^\infty\).
- \(\arcsin'\) sur \(\,]-1 \,;\, 1[\). On applique le même théorème à \(\sin\) sur \(\,]-\pi/2 \,;\, \pi/2[\), où \(\sin' = \cos\) ne s'annule pas (les bornes \(\pm \pi/2\) sont exclues). Donc \(\arcsin\) est dérivable sur \(\,]-1 \,;\, 1[\) (image de l'intervalle ouvert). En posant \(\theta = \arcsin x\), soit \(\sin \theta = x\) et \(\theta \in \,]-\pi/2 \,;\, \pi/2[\), \(\cos \theta > 0\), donc \(\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - x^2}\) (racine positive), et $$ \arcsin'(x) = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}. $$
- \(\arccos'\) sur \(\,]-1 \,;\, 1[\). Même technique avec \(\cos\) sur \(\,]0 \,;\, \pi[\), où \(\cos' = -\sin\) ne s'annule pas. En posant \(\theta = \arccos x\), soit \(\cos \theta = x\) et \(\theta \in \,]0 \,;\, \pi[\), \(\sin \theta > 0\), donc \(\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - x^2}\), et $$ \arccos'(x) = \frac{1}{-\sin \theta} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}. $$
- Continuité sur l'intervalle fermé \([-1 \,;\, 1]\). Les fonctions \(\sin|_{[-\pi/2, \pi/2]}\) et \(\cos|_{[0, \pi]}\) sont des bijections continues strictement monotones d'un intervalle fermé sur un intervalle fermé. Par le théorème « bijection continue strictement monotone » du chapitre Fonctions réelles, leurs réciproques sont continues sur l'image fermée \([-1 \,;\, 1]\). Donc \(\arccos\) et \(\arcsin\) sont continues sur \([-1 \,;\, 1]\) (y compris en \(\pm 1\)).
- Comportement aux bornes \(\pm 1\). En \(x = 1\) : \(\arcsin(1) = \pi/2\), et la valeur correspondante de \(\sin'\) vaut \(\cos(\pi/2) = 0\), donc la formule de dérivation d'une réciproque s'effondre au bord. Concrètement, la formule \(\arcsin'(x) = 1/\sqrt{1 - x^2}\) sur \(\,]-1 \,;\, 1[\) tend vers \(+\infty\) en valeur absolue quand \(x \to \pm 1\), ce qui correspond à une tangente verticale. Donc \(\arcsin\) n'a pas de dérivée unilatérale finie en \(\pm 1\). Même argument en \(x = \pm 1\) pour \(\arccos\).
- Parité. \(\arcsin\) est impaire : si \(\theta = \arcsin x\), alors \(\sin(-\theta) = -\sin \theta = -x\) et \(-\theta \in [-\pi/2 \,;\, \pi/2]\), donc \(\arcsin(-x) = -\theta = -\arcsin(x)\). Même argument pour \(\arctan\) sur \(\mathbb{R}\). (\(\arccos\) n'est pas impaire, car son image \([0 \,;\, \pi]\) n'est pas symétrique par rapport à \(0\) ; la relation est \(\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)\), en exercice.)
- Asymptotes de \(\arctan\). Quand \(x \to +\infty\), \(\arctan x \to \pi/2\) (car \(\tan \theta \to +\infty\) quand \(\theta \to (\pi/2)^-\)). Par imparité, \(\arctan x \to -\pi/2\) en \(-\infty\). Les droites horizontales \(y = \pm \pi/2\) sont asymptotes.
Proposition — Identités utiles
- Pour tout \(x \in [-1 \,;\, 1]\) : $$ \textcolor{colorprop}{\arccos(x) + \arcsin(x) = \frac{\pi}{2}.} $$
- Pour \(x > 0\) : \(\textcolor{colorprop}{\arctan(x) + \arctan(1/x) = \pi/2}\). Pour \(x < 0\) : \(\textcolor{colorprop}{\arctan(x) + \arctan(1/x) = -\pi/2}\).
- Pour tout \(x \in [-1 \,;\, 1]\) : $$ \textcolor{colorprop}{\cos(\arcsin x) = \sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}.} $$
On démontre la première identité en détail ; les autres sont analogues.
- Étape 1 --- argument de dérivation sur l'intervalle ouvert \(\,]-1 \,;\, 1[\). Posons \(\varphi(x) = \arccos(x) + \arcsin(x)\) pour \(x \in [-1 \,;\, 1]\). La fonction \(\varphi\) est dérivable sur \(\,]-1 \,;\, 1[\), où les formules de dérivation de P5.1 s'appliquent, avec $$ \varphi'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = 0. $$ Donc \(\varphi\) est constante sur \(\,]-1 \,;\, 1[\).
- Étape 2 --- valeur de la constante. On évalue en \(x = 0\) : \(\arccos(0) = \pi/2\) (car \(\cos(\pi/2) = 0\) et \(\pi/2 \in [0 \,;\, \pi]\)), et \(\arcsin(0) = 0\). Donc \(\varphi(0) = \pi/2 + 0 = \pi/2\). Par conséquent \(\varphi(x) = \pi/2\) pour tout \(x \in \,]-1 \,;\, 1[\).
- Étape 3 --- cas frontière \(x = \pm 1\). La fonction \(\varphi\) est continue sur l'intervalle fermé \([-1 \,;\, 1]\) (P5.1 : \(\arccos\) et \(\arcsin\) sont toutes deux continues sur \([-1 \,;\, 1]\)). Comme \(\varphi(x) = \pi/2\) pour \(x \in \,]-1 \,;\, 1[\), par continuité \(\varphi(\pm 1) = \pi/2\) aussi. Vérification directe : \(\varphi(1) = \arccos(1) + \arcsin(1) = 0 + \pi/2 = \pi/2\) \(\checkmark\), et \(\varphi(-1) = \arccos(-1) + \arcsin(-1) = \pi + (-\pi/2) = \pi/2\) \(\checkmark\).
Exemple
Calculer \(\arctan(1) + \arctan(2) + \arctan(3)\).
Posons \(S = \arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3\). Par la formule d'addition de \(\tan\) (en utilisant \(\arctan 2 + \arctan 3\)) : $$ \tan(\arctan 2 + \arctan 3) = \frac{2 + 3}{1 - 2 \cdot 3} = \frac{5}{-5} = -1. $$ Comme \(\arctan 2 \in \,]\pi/4 \,;\, \pi/2[\) et \(\arctan 3 \in \,]\pi/4 \,;\, \pi/2[\), la somme \(\arctan 2 + \arctan 3 \in \,]\pi/2 \,;\, \pi[\), intervalle où \(\tan = -1\) est atteint en \(3\pi/4\). Donc \(\arctan 2 + \arctan 3 = 3\pi/4\). En ajoutant \(\arctan 1 = \pi/4\) : \(S = \pi/4 + 3\pi/4 = \pi\).
Exemple
Pour \(x \in \mathbb{R}\), simplifier \(\sin(\arctan x)\).
Posons \(\theta = \arctan x \in \,]-\pi/2 \,;\, \pi/2[\), donc \(\tan \theta = x\) et \(\cos \theta > 0\). En utilisant \(\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta\) et \(\cos \theta = 1/\sqrt{1 + \tan^2 \theta} = 1/\sqrt{1 + x^2}\) : $$ \sin(\arctan x) = \sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}. $$
Exemple
Résoudre sur \([-1 \,;\, 1]\) : \(\arccos(x) = \arcsin(x)\).
On utilise P5.2 : \(\arccos x + \arcsin x = \pi/2\). L'équation \(\arccos x = \arcsin x\) donne alors \(2 \arcsin x = \pi/2\), donc \(\arcsin x = \pi/4\), donc \(x = \sin(\pi/4) = \sqrt{2}/2\). Vérification : \(\arccos(\sqrt{2}/2) = \pi/4 = \arcsin(\sqrt{2}/2)\) \(\checkmark\).
Exemple — Piège du domaine
Calculer \(\arccos(\cos(5\pi/4))\). (Attention : la réponse n'est pas \(5\pi/4\).)
La fonction \(\arccos\) est à valeurs dans \([0 \,;\, \pi]\), donc le résultat doit appartenir à \([0 \,;\, \pi]\) --- et \(5\pi/4 \notin [0 \,;\, \pi]\). Calculons d'abord \(\cos(5\pi/4)\) : \(5\pi/4 = \pi + \pi/4\), donc \(\cos(5\pi/4) = -\cos(\pi/4) = -\sqrt{2}/2\). Appliquons maintenant \(\arccos\) : $$ \arccos(\cos(5\pi/4)) = \arccos(-\sqrt{2}/2). $$ L'unique \(\theta \in [0 \,;\, \pi]\) tel que \(\cos \theta = -\sqrt{2}/2\) est \(\theta = 3\pi/4\). Donc \(\arccos(\cos(5\pi/4)) = 3\pi/4\). Morale. L'identité \(\arccos(\cos \theta) = \theta\) n'est valable que pour \(\theta \in [0 \,;\, \pi]\) ; en dehors, il faut d'abord ramener \(\theta\) modulo \(2\pi\) puis utiliser les symétries de parité / phase de \(\cos\) pour revenir dans \([0 \,;\, \pi]\).
Exemple — Graphes de \(\arccos\)\(\virgule\) \(\arcsin\)\(\virgule\) \(\arctan\)
Méthode — Simplifier \(\arctan a + \arctan b\)
Pour \(a, b \in \mathbb{R}\) avec \(ab \ne 1\), la formule d'addition de \(\tan\) donne $$ \tan(\arctan a + \arctan b) = \frac{a + b}{1 - ab}, $$ donc \(\arctan a + \arctan b\) vaut \(\arctan\!\bigl( \frac{a+b}{1 - ab} \bigr) + k\pi\) pour un certain entier \(k \in \{-1, 0, 1\}\). L'entier \(k\) est fixé en repérant l'intervalle dans lequel se situe \(\arctan a + \arctan b\) : - \(k = 0\) si la somme est dans \(\,]-\pi/2 \,;\, \pi/2[\) ;
- \(k = 1\) si elle est dans \(\,]\pi/2 \,;\, \pi[\) (typiquement quand \(a, b > 0\) et \(ab > 1\)) ;
- \(k = -1\) si elle est dans \(\,]-\pi \,;\, -\pi/2[\) (typiquement quand \(a, b < 0\) et \(ab > 1\)).
Compétences à pratiquer
- Calculer des valeurs et expressions exactes
- Simplifier \(\arctan a + \arctan b\)
- Résoudre des équations avec les fonctions trigonométriques réciproques
VI
Fonctions à valeurs complexes d'une variable réelle
Une fonction \(f : I \to \mathbb{C}\) définie sur un intervalle réel \(I \subset \mathbb{R}\) se décompose en partie réelle et partie imaginaire \(f = u + iv\) avec \(u, v : I \to \mathbb{R}\). La dérivabilité et la dérivée sont définies coordonnée par coordonnée. L'exponentielle \(\exp(g)\) pour \(g : I \to \mathbb{C}\) dérivable est le seul cas spécifiquement complexe exigible au programme ; la formule \((\exp g)' = g' \, \exp g\) s'étend naturellement du cas réel et sert constamment dans les équations différentielles linéaires à coefficients complexes.
Définition — Fonction à valeurs complexes d'une variable réelle\(\virgule\) dérivée
Soient \(I \subset \mathbb{R}\) un intervalle et \(f : I \to \mathbb{C}\). Posons \(u = \mathrm{Re}(f) : I \to \mathbb{R}\) et \(v = \mathrm{Im}(f) : I \to \mathbb{R}\), de sorte que \(f = u + iv\). Pour \(a \in I\) (point intérieur, ou dérivée unilatérale si \(a\) est une extrémité), on dit que \(f\) est dérivable en \(a\) lorsque \(u\) et \(v\) sont toutes deux dérivables en \(a\), et on pose $$ \textcolor{colordef}{f'(a) = u'(a) + i \, v'(a).} $$ On dit que \(f\) est dérivable sur \(I\) si \(u\) et \(v\) le sont ; la dérivée est la fonction \(f' = u' + i v' : I \to \mathbb{C}\). La classe \(C^k\) sur \(I\) se définit de la même façon : \(f \in C^k(I, \mathbb{C})\) ssi \(u, v \in C^k(I, \mathbb{R})\). Proposition — Opérations sur les fonctions à valeurs complexes dérivables
Soient \(f, g : I \to \mathbb{C}\) dérivables sur \(I\), \(\lambda, \mu \in \mathbb{C}\). Alors \(\lambda f + \mu g\), \(fg\) sont dérivables sur \(I\), et si \(g\) ne s'annule pas sur \(I\), \(f/g\) est dérivable sur \(I\). Les dérivées sont $$ \textcolor{colorprop}{(\lambda f + \mu g)' = \lambda f' + \mu g', \qquad (fg)' = f' g + f g', \qquad \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f' g - f g'}{g^2}.} $$ (Démonstration coordonnée par coordonnée à partir du cas réel via \(f = u + iv\) et \(g = U + iV\) avec \(u, v, U, V : I \to \mathbb{R}\) ; admise.) Proposition — Dérivée de \(\exp(g)\) pour \(g\) à valeurs complexes
Soient \(I \subset \mathbb{R}\) un intervalle et \(g : I \to \mathbb{C}\) dérivable sur \(I\). On définit \(\exp(g) : I \to \mathbb{C}\) par \(\exp(g)(x) = \exp(g(x))\), où le second membre utilise l'exponentielle complexe du chapitre Nombres complexes : \(\exp(a + ib) = \mathrm{e}^a (\cos b + i \sin b)\). Alors \(\exp(g)\) est dérivable sur \(I\), et $$ \textcolor{colorprop}{(\exp(g))'(x) = g'(x) \cdot \exp(g(x)).} $$
On écrit \(g = u + iv\) avec \(u, v : I \to \mathbb{R}\) dérivables. Avec la formule de l'exponentielle complexe : $$ \exp(g(x)) = \mathrm{e}^{u(x)} \cos(v(x)) + i \, \mathrm{e}^{u(x)} \sin(v(x)) = U(x) + i V(x), $$ avec \(U(x) = \mathrm{e}^{u(x)} \cos(v(x))\) et \(V(x) = \mathrm{e}^{u(x)} \sin(v(x))\). Par les règles de dérivation produit/composée du cas réel : $$ \begin{aligned} U'(x) &= u'(x) \, \mathrm{e}^{u(x)} \cos(v(x)) - v'(x) \, \mathrm{e}^{u(x)} \sin(v(x)), \\
V'(x) &= u'(x) \, \mathrm{e}^{u(x)} \sin(v(x)) + v'(x) \, \mathrm{e}^{u(x)} \cos(v(x)). \end{aligned} $$ D'où (en factorisant \(\mathrm{e}^{u(x)}\)) : $$ (\exp(g))'(x) = U'(x) + i V'(x) = \mathrm{e}^{u(x)} \bigl[ (u' \cos v - v' \sin v) + i (u' \sin v + v' \cos v) \bigr]. $$ Étape de factorisation. Développons le facteur candidat \((u' + iv')(\cos v + i \sin v)\) : $$ \begin{aligned} (u' + iv')(\cos v + i \sin v) &= u' \cos v + i u' \sin v + i v' \cos v + i^2 v' \sin v \\
&= (u' \cos v - v' \sin v) + i (u' \sin v + v' \cos v). \end{aligned} $$ Cela correspond exactement au crochet. Donc $$ \begin{aligned} (\exp(g))'(x) &= \mathrm{e}^{u(x)} (u'(x) + i v'(x))(\cos(v(x)) + i \sin(v(x))) && \text{(étape de factorisation)} \\
&= (u'(x) + i v'(x)) \cdot \mathrm{e}^{u(x)} (\cos(v(x)) + i \sin(v(x))) && \text{(commute le scalaire \(\mathrm{e}^u\))} \\
&= g'(x) \cdot \exp(g(x)). && \text{(définitions de \(g'\) et \(\exp(g)\))} \end{aligned} $$
Exemple
Pour \(\omega \in \mathbb{R}\), calculer la dérivée de \(f : x \mapsto \mathrm{e}^{i \omega x}\) sur \(\mathbb{R}\).
On applique P6.2 avec \(g(x) = i \omega x\), \(g'(x) = i \omega\) : $$ f'(x) = (\exp(g))'(x) = g'(x) \exp(g(x)) = i \omega \, \mathrm{e}^{i \omega x}. $$
Exemple
Exprimer \(\cos(\omega x)\) et \(\sin(\omega x)\) comme partie réelle et partie imaginaire de \(\mathrm{e}^{i \omega x}\), et retrouver les formules de dérivation \((\cos \omega x)' = -\omega \sin \omega x\), \((\sin \omega x)' = \omega \cos \omega x\).
Par définition : \(\mathrm{e}^{i \omega x} = \cos(\omega x) + i \sin(\omega x)\). En dérivant via Ex6.1 : \((\mathrm{e}^{i \omega x})' = i \omega \, \mathrm{e}^{i \omega x} = i \omega (\cos \omega x + i \sin \omega x) = -\omega \sin \omega x + i \omega \cos \omega x\). En identifiant partie réelle et partie imaginaire : \((\cos \omega x)' = -\omega \sin \omega x\), \((\sin \omega x)' = \omega \cos \omega x\) \(\checkmark\).
Exemple
Pour \(n \in \mathbb{N}^*\), calculer la dérivée de \(f : x \mapsto (1 + ix)^n\) sur \(\mathbb{R}\).
La fonction est un polynôme en \(x\) à coefficients complexes, donc dérivable. Par récurrence ou par la règle du produit (P6.1) : $$ f'(x) = n \cdot (i) \cdot (1 + ix)^{n-1} = i \, n \, (1 + ix)^{n - 1}. $$ (Initialisation \(n = 1\) : \((1 + ix)' = i\). Hérédité : supposons vrai au rang \(n\) ; alors \(((1+ix)^{n+1})' = ((1+ix)^n \cdot (1+ix))' = i n (1+ix)^{n-1} \cdot (1+ix) + (1+ix)^n \cdot i = i(n+1)(1+ix)^n\).)
Méthode — Dérivées d'expressions trigonométriques via \(\mathrm{e}^{ix}\)
Lorsqu'une expression mêle \(\cos\) et \(\sin\) avec des arguments \(\omega x\) (ou toute combinaison linéaire), la voie la plus propre consiste à écrire $$ \cos(\omega x) = \mathrm{Re}(\mathrm{e}^{i \omega x}), \qquad \sin(\omega x) = \mathrm{Im}(\mathrm{e}^{i \omega x}), $$ manipuler l'exponentielle complexe algébriquement (elle est bien plus facile à dériver et à combiner), puis prendre la partie réelle ou imaginaire à la fin. La même astuce traite les primitives, la linéarisation et les formules d'addition. Exemple. La formule produit-somme \(\cos(\omega x) \cos(\omega' x) = \tfrac{1}{2} \bigl( \cos((\omega + \omega') x) + \cos((\omega - \omega') x) \bigr)\) se retrouve à partir de \(\mathrm{Re}(\mathrm{e}^{i \omega x}) \cdot \mathrm{Re}(\mathrm{e}^{i \omega' x}) = \tfrac{1}{4}(\mathrm{e}^{i\omega x} + \mathrm{e}^{-i\omega x})(\mathrm{e}^{i\omega' x} + \mathrm{e}^{-i\omega' x})\) en développant et en appariant \(\mathrm{e}^{i k x} + \mathrm{e}^{-i k x} = 2 \cos(kx)\). Compétences à pratiquer
- Dériver des fonctions à valeurs complexes d'une variable réelle
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