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CommeUnJeu · L1 MPSI

Suites réelles

⌚ ~131 min ▢ 16 blocs ✓ 51 exercices ➣ Prérequis : Propriétés de \(\mathbb{R}\), Suites
Les suites réelles sont le pont entre l'ordre de \(\mathbb{R}\) et l'analyse des fonctions. Le chapitre a quatre objectifs. D'abord, formaliser le vocabulaire du lycée --- bornée, monotone, limite --- par des définitions \(\varepsilon\)-\(N\) rigoureuses. Ensuite, démontrer les trois théorèmes d'existence fondamentaux --- théorème de la limite monotone, théorème des suites adjacentes, théorème de Bolzano-Weierstrass. Ce sont les résultats admis dans Limites et continuité, et les chevaux de trait de tous les chapitres d'analyse à venir. Puis, doter l'étudiant de la boîte à outils des « suites particulières » : arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques, récurrences linéaires d'ordre 2, et \(u_{n+1} = f(u_n)\). Enfin, étendre brièvement la théorie aux suites à valeurs complexes : limite, opérations et Bolzano-Weierstrass par réduction composante par composante.
\medskip
Convention. \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) désigne une suite indexée par \(\mathbb{N}\); les énoncés indépendants du rang de départ sont formulés « à partir d'un certain rang ». \(\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}\) est la droite réelle achevée. Les propriétés de borne supérieure / inférieure de \(\mathbb{R}\) sont supposées connues du chapitre Propriétés de \(\mathbb{R}\).
I Vocabulaire des suites réelles
Une suite est l'objet le plus simple de l'analyse : une fonction de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{R}\). On reprend le vocabulaire du lycée --- bornée, monotone, modes de définition --- à ce niveau, en ajoutant deux notions opératoires : « à partir d'un certain rang » et la trichotomie implicite / récurrent / explicite.
Définition — Suite réelle
Une suite réelle est une application \(u : \mathbb{N} \to \mathbb{R}\), notée \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ou simplement \((u_n)\). L'ensemble des suites réelles est noté \(\textcolor{colordef}{\mathbb{R}^{\mathbb{N}}}\). Une suite peut aussi être définie à partir d'un rang \(n_0 \in \mathbb{N}\), notée \((u_n)_{n \ge n_0}\).
Définition — Suite bornée
Une suite \((u_n)\) est :
  • majorée si \(\exists M \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}, u_n \le M\);
  • minorée si \(\exists m \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}, u_n \ge m\);
  • bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Proposition — Bornée si et seulement si \(|u_n|\) majorée
Une suite \((u_n)\) est bornée si et seulement si \((|u_n|)_n\) est majorée, i.e. \(\exists M \ge 0, \forall n \in \mathbb{N}, |u_n| \le M\).

Si \(|u_n| \le M\), alors \(-M \le u_n \le M\), donc \((u_n)\) est minorée par \(-M\) et majorée par \(M\). Réciproquement, si \(m \le u_n \le M\), alors \(|u_n| \le \max(|m|, |M|)\).

Définition — Suite monotone
Une suite \((u_n)\) est :
  • croissante si \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} \ge u_n\);
  • strictement croissante si \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} > u_n\);
  • décroissante / strictement décroissante symétriquement;
  • monotone si elle est croissante ou décroissante.
Définition — À partir d'un certain rang
Une propriété \(P(n)\) est vraie à partir d'un certain rang si \(\exists N \in \mathbb{N}, \forall n \ge N, P(n)\). Le vocabulaire s'applique : « \((u_n)\) croissante à partir d'un certain rang » signifie \(\exists N, \forall n \ge N, u_{n+1} \ge u_n\). De même pour bornée, monotone, etc.
Définition — Modes de définition
Une suite réelle est typiquement définie de l'une des trois manières suivantes :
  • Explicite : \(u_n = f(n)\) pour une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{N}\).
  • Implicite : \(u_n\) est caractérisé par une propriété (par exemple, \(u_n\) est l'unique solution d'une équation dans un intervalle dépendant de \(n\)).
  • Récurrent : \(u_0\) donné, \(u_{n+1} = f(u_n)\) pour une fonction \(f\). L'étude systématique de ce cas est dans la section Suites particulières plus bas.
Exemple
Exemple explicite. La suite \((u_n)_{n \ge 1}\) définie par \(u_n = 1/n\) est bornée par \(0\) et \(1\), et strictement décroissante puisque \(u_{n+1} - u_n = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n(n+1)) < 0\).
Exemple
Exemple récurrent. Soit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = u_n + 1/(n+1)\) pour \(n \ge 0\). Montrer que \(u_n > 2\) à partir d'un certain rang, et étudier la monotonie.

On calcule : \(u_1 = 1 + 1 = 2\), \(u_2 = 2 + 1/2 = 5/2 > 2\). Comme \(u_{n+1} - u_n = 1/(n+1) > 0\), \((u_n)\) est strictement croissante. Donc pour \(n \ge 2\), \(u_n \ge u_2 = 5/2 > 2\), soit \(u_n > 2\) à partir du rang \(N = 2\). La suite est strictement croissante sur \(\mathbb{N}\).

Exemple
Exemple implicite. Pour \(n \ge 1\), soit \(u_n\) l'unique \(x \in \,]0 \,;\, +\infty[\) tel que \(x + \ln x = n\) (la fonction \(x \mapsto x + \ln x\) est strictement croissante sur \(\,]0 \,;\, +\infty[\) avec limites \(-\infty\) en \(0^+\) et \(+\infty\) en \(+\infty\)). Montrer que \((u_n)\) est bien définie, croissante, et tend vers \(+\infty\).

Existence et unicité. La fonction \(g(x) = x + \ln x\) est continue et strictement croissante sur \(\,]0 \,;\, +\infty[\), de limites \(-\infty\) en \(0^+\) et \(+\infty\) en \(+\infty\). Par le théorème de la bijection (Limites et continuité T7.2), \(g\) est une bijection de \(\,]0 \,;\, +\infty[\) sur \(\mathbb{R}\), donc pour chaque \(n \in \mathbb{N}^*\) il existe un unique \(u_n \in \,]0 \,;\, +\infty[\) tel que \(g(u_n) = n\).
Monotonie. Pour \(n \ge 1\), \(g(u_n) = n < n + 1 = g(u_{n+1})\). Comme \(g\) est strictement croissante, \(u_n < u_{n+1}\), donc \((u_n)\) est strictement croissante.
Limite. Si \((u_n)\) était majorée par un \(M\), alors \(g(u_n) \le g(M) < +\infty\) pour tout \(n\), contredisant \(g(u_n) = n \to +\infty\). Donc \((u_n)\) n'est pas majorée; combinée à la stricte monotonie, \(u_n \to +\infty\).

Exemple
La suite \(u_n = (-1)^n\) est bornée (par \(-1\) et \(1\)) mais pas monotone --- pas même monotone à partir d'un certain rang, puisque \(u_{n+1} - u_n = (-1)^{n+1} - (-1)^n = 2 (-1)^{n+1}\) change de signe à chaque rang.
Exemple
Deux motifs contrastés : suite monotone bornée vs suite bornée oscillante.
La suite bleue est croissante, majorée par \(1\), et converge vers \(1\). La suite rouge est bornée par \(1\) en valeur absolue, alterne de signe et converge vers \(0\).
Compétences à pratiquer
  • Établir bornitude et monotonie
  • Raisonner avec des propriétés à partir d'un certain rang
II Limite d'une suite réelle : définitions \(\varepsilon\)-\(N\)
On donne la définition rigoureuse \(\varepsilon\)-\(N\) de « \(u_n \to \ell\) ». L'intuition du lycée (« \(u_n\) s'approche de \(\ell\) quand \(n\) devient grand ») devient : pour toute proximité prescrite de \(\ell\), la suite finit par rester à cette proximité. Les quatre cas (limite finie ou infinie) se déduisent d'un seul gabarit.
Définition — Limite finie
Une suite \((u_n)\) converge vers \(\ell \in \mathbb{R}\) si $$ \forall \varepsilon > 0, \ \exists N \in \mathbb{N}, \ \forall n \ge N, \ |u_n - \ell| \le \varepsilon. $$ On note alors \(\textcolor{colordef}{u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell}\) ou \(\textcolor{colordef}{\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell}\).
Définition — Limite infinie
Une suite \((u_n)\) tend vers \(+\infty\) si $$ \forall A \in \mathbb{R}, \ \exists N \in \mathbb{N}, \ \forall n \ge N, \ u_n \ge A. $$ Symétriquement, \((u_n)\) tend vers \(-\infty\) si \(\forall A \in \mathbb{R}, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \ge N, u_n \le A\).
Définition — Convergente / divergente
\((u_n)\) est convergente si elle admet une limite finie. Sinon, elle est divergente. Une suite tendant vers \(+\infty\) ou \(-\infty\) est divergente en ce sens (« diverge vers \(+\infty\) »).
Proposition — Unicité de la limite
Si \((u_n)\) admet une limite \(\ell \in \overline{\mathbb{R}}\), cette limite est unique.

Supposons que \((u_n)\) admette deux limites \(\ell, \ell' \in \overline{\mathbb{R}}\) avec \(\ell \ne \ell'\).
  • Les deux finies. Posons \(\varepsilon = |\ell - \ell'|/3 > 0\). Par les deux définitions de limite, \(\exists N_1, N_2\) tels que pour \(n \ge \max(N_1, N_2)\), \(|u_n - \ell| \le \varepsilon\) et \(|u_n - \ell'| \le \varepsilon\). Inégalité triangulaire : \(|\ell - \ell'| \le |u_n - \ell| + |u_n - \ell'| \le 2 \varepsilon = (2/3)|\ell - \ell'|\), contredisant \(\ell \ne \ell'\).
  • Une finie, une infinie. Supposons \(\ell = +\infty\) et \(\ell' \in \mathbb{R}\). Appliquons D2.2 avec \(A = \ell' + 1\) : \(\exists N_1, \forall n \ge N_1, u_n \ge \ell' + 1\). Appliquons D2.1 avec \(\varepsilon = 1/2\) : \(\exists N_2, \forall n \ge N_2, |u_n - \ell'| \le 1/2\), donc \(u_n \le \ell' + 1/2\). Pour \(n \ge \max(N_1, N_2)\) : \(\ell' + 1 \le u_n \le \ell' + 1/2\), contradiction. Le cas \(\ell = -\infty\) est symétrique.
  • Les deux infinies, signes opposés. Supposons \(\ell = +\infty\) et \(\ell' = -\infty\). Appliquons D2.2 avec \(A = 1\) et la définition symétrique avec \(A = -1\) : pour \(n\) assez grand, \(u_n \ge 1\) et \(u_n \le -1\), impossible.
Dans tous les cas, supposer \(\ell \ne \ell'\) mène à une contradiction.

Proposition — Convergente implique bornée
Toute suite convergente est bornée.

Soit \(u_n \to \ell\) avec \(\ell \in \mathbb{R}\). Appliquons D2.1 avec \(\varepsilon = 1\) : \(\exists N \in \mathbb{N}, \forall n \ge N, |u_n - \ell| \le 1\), donc \(|u_n| \le |\ell| + 1\) par l'inégalité triangulaire. Quitte à augmenter \(N\), on suppose \(N \ge 1\). La queue finie \(\{u_0, u_1, \dots, u_{N-1}\}\) est alors non vide et bornée par \(M_0 = \max(|u_0|, |u_1|, \dots, |u_{N-1}|)\). Posons \(M = \max(M_0, |\ell| + 1)\). Alors \(|u_n| \le M\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\), donc \((u_n)\) est bornée.

Exemple
Montrer par la définition \(\varepsilon\)-\(N\) que \(\lim_{n \to +\infty} 1/n = 0\).

Fixons \(\varepsilon > 0\). Choisissons \(N = \lceil 1/\varepsilon \rceil + 1\). Pour \(n \ge N\), \(1/n \le 1/N \le \varepsilon\), donc \(|1/n - 0| = 1/n \le \varepsilon\). Par D2.1, \(1/n \to 0\).

Exemple
Montrer par la définition que \(n^2 \to +\infty\).

Fixons \(A \in \mathbb{R}\). Si \(A \le 0\), n'importe quel \(N\) convient car \(n^2 \ge 0 \ge A\). Si \(A > 0\), choisissons \(N = \lceil \sqrt{A} \rceil + 1\). Pour \(n \ge N\), \(n^2 \ge N^2 \ge A\). Par D2.2, \(n^2 \to +\infty\).

Exemple
Montrer que \(((-1)^n)_n\) est bornée mais n'admet pas de limite (anticipation de la méthode des deux suites extraites, développée dans la section Suites extraites et Bolzano-Weierstrass plus bas).

Bornée. \(|(-1)^n| = 1\) pour tout \(n\), donc la suite est bornée par \(M = 1\).
Pas de limite. Comme \(((-1)^n)\) est bornée (\(|u_n| = 1\)), elle ne peut tendre ni vers \(+\infty\) ni vers \(-\infty\) (négation de D2.2). Il reste à exclure une limite finie. Supposons par l'absurde \(u_n \to \ell \in \mathbb{R}\). Appliquons D2.1 avec \(\varepsilon = 1/2\) : \(\exists N, \forall n \ge N, |(-1)^n - \ell| \le 1/2\). Choisissons \(n_1 \ge N\) pair et \(n_2 \ge N\) impair : \(u_{n_1} = 1\) et \(u_{n_2} = -1\). Alors \(|1 - \ell| \le 1/2\) et \(|-1 - \ell| \le 1/2\), donc par inégalité triangulaire \(|1 - (-1)| = 2 \le 1\), contradiction.

Exemple
La réciproque de P2.2 est fausse : \(((-1)^n)_n\) est bornée (Ex2.3 ci-dessus) mais non convergente.
Méthode — Démontrer la convergence par la définition \(\varepsilon\)-\(N\)
Pour démontrer \(u_n \to \ell\) par la définition :
  • Fixer \(\varepsilon > 0\). Le traiter comme un nombre positif générique; le choix de \(N\) en dépendra.
  • Majorer \(|u_n - \ell|\) par une fonction décroissante explicite de \(n\). Utiliser l'algèbre, l'inégalité triangulaire, ou des bornes connues.
  • Choisir \(N\). Prendre le plus petit \(N \in \mathbb{N}\) tel que la majoration soit \(\le \varepsilon\) pour tout \(n \ge N\).
La définition est rarement utilisée en pratique routinière une fois les opérations P3.1, l'encadrement T4.1 et les théorèmes d'existence T5.1 / T6.1 disponibles --- mais c'est le fondement qui les justifie.
Compétences à pratiquer
  • Démontrer la convergence par la définition \(\varepsilon\)-\(N\)
  • Nier la convergence
III Opérations sur les limites
Sommes, produits, quotients de suites ayant une limite se comportent par règles transférées de l'ordre de \(\mathbb{R}\). Les quatre formes indéterminées classiques (\(\infty - \infty\), \(0 \cdot \infty\), \(\infty / \infty\), \(0/0\)) nécessitent une analyse ad hoc. La composition avec une fonction continue est mentionnée par anticipation (caractérisation séquentielle de la continuité, corollaire du théorème de Heine, tous deux démontrés dans le chapitre Limites et continuité).
Proposition — Opérations algébriques sur les limites finies
Si \(u_n \to \ell\) et \(v_n \to m\) avec \(\ell, m \in \mathbb{R}\), alors pour tous \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\) :
  • \(\textcolor{colorprop}{\lambda u_n + \mu v_n \to \lambda \ell + \mu m}\) (combinaison linéaire);
  • \(\textcolor{colorprop}{u_n v_n \to \ell m}\) (produit);
  • si \(m \ne 0\), \(v_n \ne 0\) à partir d'un certain rang (argument \(\varepsilon = |m|/2\)) et \(\textcolor{colorprop}{u_n / v_n \to \ell / m}\) (quotient).

  • Combinaison linéaire. Fixons \(\varepsilon > 0\) et posons \(\varepsilon' = \varepsilon / (|\lambda| + |\mu| + 1) > 0\). Par la convergence \(u_n \to \ell\) appliquée à \(\varepsilon'\), \(\exists N_1, \forall n \ge N_1, |u_n - \ell| \le \varepsilon'\) ; de même \(\exists N_2, \forall n \ge N_2, |v_n - m| \le \varepsilon'\). Pour \(n \ge \max(N_1, N_2)\), l'inégalité triangulaire donne $$ |(\lambda u_n + \mu v_n) - (\lambda \ell + \mu m)| \le |\lambda| \cdot |u_n - \ell| + |\mu| \cdot |v_n - m| \le (|\lambda| + |\mu|) \varepsilon' \le \varepsilon. $$
  • Produit. Écrivons \(u_n v_n - \ell m = u_n (v_n - m) + m (u_n - \ell)\). Par P2.2, \((u_n)\) est bornée par un certain \(M\). Alors \(|u_n v_n - \ell m| \le M |v_n - m| + |m| \cdot |u_n - \ell|\), et les deux termes tendent vers \(0\) par le cas combinaison linéaire appliqué à des constantes.
  • Quotient. Appliquons la définition de limite à \(v_n \to m\) avec \(\varepsilon = |m|/2\) : \(\exists N_0, \forall n \ge N_0, |v_n - m| \le |m|/2\). Donc \(|v_n| \ge |m|/2 > 0\), soit \(v_n \ne 0\). Puis \(1/v_n - 1/m = (m - v_n)/(m v_n)\), avec \(|m v_n| \ge |m|^2 / 2\), donne \(|1/v_n - 1/m| \le 2 |v_n - m|/|m|^2 \to 0\). Conclure par la règle du produit appliquée à \(u_n \cdot (1/v_n)\).

Méthode — Opérations avec des limites infinies --- tableau des règles
Les règles de calcul de P3.1 s'étendent aux limites dans \(\overline{\mathbb{R}}\) dès que l'expression obtenue a un sens déterminé. Cas déterminés :
  • Sommes. \((+\infty) + (+\infty) = +\infty\) ; \((+\infty) + \ell = +\infty\) pour \(\ell \in \mathbb{R}\) ; symétrique pour \(-\infty\).
  • Produits. \(\ell \cdot (+\infty) = +\infty\) si \(\ell > 0\), \(-\infty\) si \(\ell < 0\) ; \((+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty\) ; \((+\infty) \cdot (-\infty) = -\infty\) ; règles de signe pour le reste.
  • Quotients. \(1/(+\infty) = 0\) ; \(\ell / (+\infty) = 0\) pour \(\ell \in \mathbb{R}\) ; \((+\infty)/\ell = +\infty\) si \(\ell > 0\), \(-\infty\) si \(\ell < 0\).
  • Inverses de suites tendant vers zéro. Si \(v_n \to 0\) et \(v_n > 0\) à partir d'un certain rang (notation : \(v_n \to 0^+\)), alors \(1/v_n \to +\infty\). Symétriquement, si \(v_n \to 0^-\), alors \(1/v_n \to -\infty\). Si \(v_n \to 0\) sans signe fixé, \(1/v_n\) n'a pas de limite déterminée.
Les quatre formes indéterminées sont $$ \infty - \infty, \quad 0 \cdot \infty, \quad \infty / \infty, \quad 0 / 0 ; $$ chacune requiert une analyse ad hoc (voir la méthode suivante).
Remarque --- composition avec une fonction continue (anticipation)
Si \(u_n \to a \in \mathbb{R}\) et \(f\) est continue en \(a\), alors \(f(u_n) \to f(a)\). C'est la caractérisation séquentielle de la continuité (traitée dans le chapitre Limites et continuité, comme corollaire du théorème de Heine). On l'utilise plus loin dans la section Suites particulières pour le cas récurrent \(u_{n+1} = f(u_n)\).
Exemple
Calculer \(\lim (3 n^2 + 2 n - 1)/(n^2 + 5)\) par factorisation (forme \(\infty / \infty\)).

Factorisons \(n^2\) au numérateur et au dénominateur : $$ \frac{3 n^2 + 2 n - 1}{n^2 + 5} = \frac{n^2 (3 + 2/n - 1/n^2)}{n^2 (1 + 5/n^2)} = \frac{3 + 2/n - 1/n^2}{1 + 5/n^2}. $$ Quand \(n \to +\infty\), \(1/n \to 0\) et \(1/n^2 \to 0\). Par P3.1, le numérateur tend vers \(3\) et le dénominateur vers \(1\), donc le quotient vers \(3/1 = 3\).

Exemple
Calculer \(\lim (2 + 1/n)(3 - 1/n^2)\) par application directe de P3.1.

\(1/n \to 0\) et \(1/n^2 \to 0\). Par P3.1 (combinaison linéaire), \(2 + 1/n \to 2\) et \(3 - 1/n^2 \to 3\). Par P3.1 (produit), \((2 + 1/n)(3 - 1/n^2) \to 2 \cdot 3 = 6\).

Exemple
Calculer \(\lim (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})\) par quantité conjuguée (forme \(\infty - \infty\)).

Multiplions par la quantité conjuguée \(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}\) : $$ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1})^2 - (\sqrt{n})^2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}. $$ Le dénominateur \(\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \to +\infty\), donc le quotient tend vers \(0\) par le tableau des règles ci-dessus (\(1/(+\infty) = 0\)).

Méthode — Lever une forme indéterminée pour les suites
Lorsque l'algèbre de P3.1 et le tableau des règles pour les limites infinies donnent l'une des quatre formes indéterminées (\(\infty - \infty\), \(0 \cdot \infty\), \(\infty / \infty\), \(0/0\)), procéder en trois étapes :
  • Identifier le terme dominant. La plus grande puissance de \(n\) (ou le facteur tendant le plus lentement vers \(0\) dans \(0/0\)).
  • Le factoriser. Au numérateur et au dénominateur, ou dans chaque sommande pour \(\infty - \infty\).
  • Passer à la limite. Sur chaque facteur restant par P3.1 ou le tableau des règles pour les limites infinies ; la forme est maintenant déterminée.
Pour les cas plus fins (équivalence asymptotique), voir Analyse asymptotique.
Compétences à pratiquer
  • Calculer des limites par les règles d'opérations
  • Résoudre des formes indéterminées
IV Limites et inégalités
Trois résultats reliant limites et inégalités : le passage à la limite (une inégalité large est conservée), le théorème d'encadrement, et la minoration / majoration pour les limites infinies. Ensemble ils forment la « boîte à outils de comparaison » qui justifie la plupart des calculs de limites explicites.
Proposition — Passage à la limite dans une inégalité large
Si \(u_n \le v_n\) à partir d'un certain rang et si les deux suites admettent des limites dans \(\overline{\mathbb{R}}\), alors \(\textcolor{colorprop}{\lim u_n \le \lim v_n}\). L'inégalité stricte n'est pas conservée : \(1/(n+1) < 2/(n+1)\) sur \(\mathbb{N}\) mais les deux tendent vers \(0\).

Traitons le cas où les deux limites sont finies : \(u_n \to \ell\), \(v_n \to m\). Supposons par l'absurde \(\ell > m\). Posons \(\varepsilon = (\ell - m)/3 > 0\). Par convergence, \(\exists N_1, \forall n \ge N_1, |u_n - \ell| \le \varepsilon\), donc \(u_n \ge \ell - \varepsilon\). De même \(\exists N_2, \forall n \ge N_2, v_n \le m + \varepsilon\). Pour \(n \ge \max(N_1, N_2)\) au-delà aussi du rang d'hypothèse, \(u_n \le v_n \le m + \varepsilon < \ell - \varepsilon \le u_n\) (car \(\ell - \varepsilon - (m + \varepsilon) = (\ell-m)/3 > 0\)). Contradiction. Les cas de limites infinies se traitent par minoration / majoration directe.

Theorem — Théorème d'encadrement
Si \(u_n \le v_n \le w_n\) à partir d'un certain rang, \(u_n \to \ell\) et \(w_n \to \ell\) avec \(\ell \in \mathbb{R}\), alors \(\textcolor{colorprop}{v_n \to \ell}\).

Fixons \(\varepsilon > 0\). Par les définitions de limite, \(\exists N_1, N_2\) tels que pour \(n \ge \max(N_1, N_2)\), \(|u_n - \ell| \le \varepsilon\) et \(|w_n - \ell| \le \varepsilon\), soit \(\ell - \varepsilon \le u_n\) et \(w_n \le \ell + \varepsilon\). Soit \(N_3\) le rang à partir duquel \(u_n \le v_n \le w_n\). Pour \(n \ge \max(N_1, N_2, N_3)\) : $$ \ell - \varepsilon \le u_n \le v_n \le w_n \le \ell + \varepsilon, $$ donc \(|v_n - \ell| \le \varepsilon\). Donc \(v_n \to \ell\).

Proposition — Minoration / majoration et limites infinies
  • Si \(u_n \le v_n\) à partir d'un certain rang et \(u_n \to +\infty\), alors \(\textcolor{colorprop}{v_n \to +\infty}\).
  • Si \(v_n \le u_n\) à partir d'un certain rang et \(u_n \to -\infty\), alors \(\textcolor{colorprop}{v_n \to -\infty}\).

Premier cas. Fixons \(A \in \mathbb{R}\). Comme \(u_n \to +\infty\), \(\exists N_1, \forall n \ge N_1, u_n \ge A\). Soit \(N_2\) un rang à partir duquel \(u_n \le v_n\). Pour \(n \ge \max(N_1, N_2)\), \(v_n \ge u_n \ge A\). Donc \(v_n \to +\infty\). Le second cas s'obtient en remplaçant \(u, v\) par \(-u, -v\).

Proposition — Encadrement à zéro
Si \(|u_n - \ell| \le \alpha_n\) à partir d'un certain rang et \(\alpha_n \to 0\), alors \(\textcolor{colorprop}{u_n \to \ell}\).

Fixons \(\varepsilon > 0\). Comme \(\alpha_n \to 0\), \(\exists N_1, \forall n \ge N_1, |\alpha_n| \le \varepsilon\), donc \(\alpha_n \le \varepsilon\) (puisque \(\alpha_n \ge |u_n - \ell| \ge 0\)). Pour \(n\) au-delà de ce rang et du rang d'hypothèse, \(|u_n - \ell| \le \alpha_n \le \varepsilon\). Donc \(u_n \to \ell\).

Exemple
Calculer \(\lim (\sin n)/n\) par encadrement.

Pour \(n \ge 1\), \(|\sin n| \le 1\), donc \(|(\sin n)/n| \le 1/n\), soit \(-1/n \le (\sin n)/n \le 1/n\). Les deux bornes tendent vers \(0\). Par T4.1 (encadrement), \((\sin n)/n \to 0\).

Exemple
Calculer \(\lim (\cos(n^2) + n)\) par minoration.

Pour tout \(n\), \(\cos(n^2) \ge -1\), donc \(\cos(n^2) + n \ge n - 1\). La borne inférieure \(n - 1 \to +\infty\) (P3.1). Par P4.2 (minoration), \(\cos(n^2) + n \to +\infty\).

Exemple
Calculer \(\lim n \sin(1/n^2)\) par encadrement, en utilisant la majoration élémentaire \(|\sin x| \le |x|\).

Pour \(n \ge 1\), \(|\sin(1/n^2)| \le 1/n^2\), donc $$ |n \sin(1/n^2)| \le n \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0. $$ Par P4.3 (encadrement à zéro), \(n \sin(1/n^2) \to 0\).

Méthode — Encadrer par une suite tendant vers \(0\)
Pour montrer \(u_n \to \ell\), il suffit souvent de trouver une suite \(\alpha_n \to 0\) telle que \(|u_n - \ell| \le \alpha_n\) à partir d'un certain rang. Ce schéma unifie de nombreux calculs de limites apparemment différents : c'est le moteur derrière « encadrement », « comparaison avec \(1/n\), \(1/n^2, q^n\) (\(|q| < 1\)), \(1/n!\) », etc.
Compétences à pratiquer
  • Utiliser le théorème d'encadrement
  • Passage à la limite et minoration
V Théorèmes d'existence : limite monotone et suites adjacentes
Deux théorèmes garantissant la convergence sans calculer la limite explicitement : (i) le théorème de la limite monotone, démontré via la propriété de borne supérieure / inférieure de \(\mathbb{R}\) rappelée dans Propriétés de \(\mathbb{R}\); (ii) le théorème des suites adjacentes, démontré par réduction à (i). Trois dettes contractées dans le chapitre Limites et continuité sont payées ici et dans la section Suites extraites et Bolzano-Weierstrass plus bas : le théorème de la limite monotone pour les fonctions (transféré depuis T5.1 ci-dessous), la preuve du TVI par dichotomie (transférée depuis le théorème des suites adjacentes T5.2 ci-dessous), et le résultat des « bornes atteintes » (transféré depuis Bolzano-Weierstrass plus bas).
Définition — Suites adjacentes
Deux suites \((u_n), (v_n)\) sont adjacentes si :
  • \((u_n)\) est croissante;
  • \((v_n)\) est décroissante;
  • \(u_n \le v_n\) pour tout \(n\);
  • \(v_n - u_n \to 0\).
La troisième clause est en fait une conséquence des trois autres : \((v_n - u_n)\) est décroissante (puisque \(u\) croît et \(v\) décroît) et tend vers \(0\), donc reste positive ou nulle. On l'inclut pour la clarté.
Exemple
Soient \(u_n = 1 - 1/(n+1)\) et \(v_n = 1 + 1/(n+1)\) pour \(n \ge 0\). Alors \(u\) est croissante, \(v\) décroissante, \(u_n \le 1 \le v_n\) (donc \(u_n \le v_n\)), et \(v_n - u_n = 2/(n+1) \to 0\). Donc \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes ; toutes deux convergent vers \(1\).
Theorem — Théorème de la limite monotone
Soit \((u_n)\) une suite réelle.
  • Si \((u_n)\) est croissante et majorée, alors \(\textcolor{colorprop}{u_n \to \sup_n u_n \in \mathbb{R}}\).
  • Si \((u_n)\) est croissante et non majorée, alors \(\textcolor{colorprop}{u_n \to +\infty}\).
Énoncés symétriques pour les suites décroissantes (limite \(= \inf\), ou \(-\infty\)).

  • Cas borné. Soit \(M = \sup_n u_n \in \mathbb{R}\) (existe par la propriété de borne supérieure de \(\mathbb{R}\), Propriétés de \(\mathbb{R}\)). Fixons \(\varepsilon > 0\). Par la caractérisation \(\varepsilon\) du supremum, \(\exists N \in \mathbb{N}, M - \varepsilon \le u_N \le M\). Par monotonie, pour \(n \ge N\), \(u_N \le u_n \le M\), donc \(M - \varepsilon \le u_n \le M\), soit \(|u_n - M| \le \varepsilon\). Par D2.1, \(u_n \to M\).
  • Cas non borné. Fixons \(A \in \mathbb{R}\). Comme \((u_n)\) n'est pas majorée, \(\exists N \in \mathbb{N}, u_N \ge A\). Par monotonie, pour \(n \ge N\), \(u_n \ge u_N \ge A\). Par D2.2, \(u_n \to +\infty\).
Le cas décroissant est symétrique (appliquer le cas croissant à \(-u_n\)).

Proposition — Corollaire --- monotone bornée converge
Si \((u_n)\) est monotone et bornée, alors \((u_n)\) est convergente.
Theorem — Théorème des suites adjacentes
Si \((u_n), (v_n)\) sont adjacentes (D5.1), alors elles convergent vers une limite commune \(\textcolor{colorprop}{\ell \in \mathbb{R}}\) avec \(u_n \le \ell \le v_n\) pour tout \(n\).

\((u_n)\) est croissante et majorée par \(v_0\) (car \(u_n \le v_n \le v_0\) par monotonie de \(v\)). Par T5.1, \(u_n \to \ell\) pour un \(\ell \in \mathbb{R}\). Symétriquement, \((v_n)\) est décroissante minorée par \(u_0\), donc \(v_n \to \ell'\) pour un \(\ell' \in \mathbb{R}\). Passons à la limite dans \(v_n - u_n \to 0\) : \(\ell' - \ell = 0\), donc \(\ell = \ell'\). L'ordre \(u_n \le \ell \le v_n\) vient du passage à la limite dans \(u_n \le u_p\) (\(p \ge n\), donc \(u_n \le \lim_p u_p = \ell\)) et symétriquement \(\ell \le v_n\) depuis \(v_p \le v_n\) pour \(p \ge n\).

Exemple
Montrer que \(u_n = \sum_{k=0}^n 1/k!\) converge (sa limite est \(\mathrm{e}\), anticipation admise).

\((u_n)\) est croissante car \(u_{n+1} - u_n = 1/(n+1)! > 0\). Majorons : $$ u_n = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{n!} \le 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^{n-1}} \le 1 + 2 = 3, $$ en utilisant \(k! \ge 2^{k-1}\) pour \(k \ge 1\) (récurrence). Donc \((u_n)\) est majorée par \(3\). Par T5.1 (cas borné), \((u_n)\) converge. (La limite est la constante de Néper \(\mathrm{e}\), voir Fonctions usuelles.)

Exemple
Soit \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = (u_n + 2)/2\). Montrer que \((u_n)\) converge et calculer sa limite.

Bornage. Montrons par récurrence que \(u_n \in [0 \,;\, 2]\) pour tout \(n\). Base : \(u_0 = 0 \in [0 \,;\, 2]\). Hérédité : si \(u_n \in [0 \,;\, 2]\), alors \(u_{n+1} = (u_n + 2)/2 \in [1 \,;\, 2] \subset [0 \,;\, 2]\).
Monotonie. \(u_{n+1} - u_n = (u_n + 2)/2 - u_n = (2 - u_n)/2 \ge 0\) puisque \(u_n \le 2\). Donc \((u_n)\) est croissante.
Convergence. \((u_n)\) est croissante majorée par \(2\). Par T5.1 (cas borné), \(u_n \to \ell\) pour un \(\ell \in [0 \,;\, 2]\).
Valeur de la limite. Passons à la limite dans \(u_{n+1} = (u_n + 2)/2\) par continuité de \(x \mapsto (x + 2)/2\) (par T7.1 dans la section Suites particulières plus bas) : \(\ell = (\ell + 2)/2\), soit \(\ell = 2\).

Exemple
Montrer que la suite harmonique \(u_n = \sum_{k=1}^n 1/k\) tend vers \(+\infty\).

\((u_n)\) est croissante (termes positifs). Montrons qu'elle est non majorée via la minoration \(u_{2^p} \ge 1 + p/2\) pour \(p \ge 0\). En effet : $$ u_{2^p} = 1 + \sum_{j=0}^{p-1} \sum_{k = 2^j + 1}^{2^{j+1}} \frac{1}{k} \ge 1 + \sum_{j=0}^{p-1} 2^j \cdot \frac{1}{2^{j+1}} = 1 + \sum_{j=0}^{p-1} \frac{1}{2} = 1 + \frac{p}{2}, $$ en utilisant \(1/k \ge 1/2^{j+1}\) pour \(k \le 2^{j+1}\) sur chaque bloc de \(2^j\) termes. Quand \(p \to +\infty\), la minoration \(1 + p/2 \to +\infty\), donc \((u_n)\) n'est pas majorée. Par T5.1 (cas non borné), \(u_n \to +\infty\).

Méthode — Convergence par le théorème de la limite monotone
Pour montrer que \((u_n)\) converge (sans calculer la limite) :
  • Montrer la monotonie. Signe de \(u_{n+1} - u_n\), ou récurrence, ou argument différentiel pour \(u_n = f(n)\).
  • Montrer le bornage (dans le sens approprié). Souvent par récurrence, ou par majoration explicite.
  • Conclure par T5.1 (cas borné) --- la limite existe et vaut \(\sup u_n\) ou \(\inf u_n\).
Pour trouver la valeur de la limite lorsque \((u_n)\) est récurrente (\(u_{n+1} = f(u_n)\)), passer à la limite dans la récurrence (suppose \(f\) continue, voir la section Suites particulières plus bas).
Compétences à pratiquer
  • Appliquer le théorème de la limite monotone
  • Suites adjacentes
VI Suites extraites et Bolzano-Weierstrass
Une suite extraite est une sous-sélection d'indices conservant l'ordre. Deux faits clefs : (i) la limite se transfère aux suites extraites (P6.2), donc deux suites extraites de limites distinctes prouvent la non-convergence (P6.3); (ii) toute suite bornée admet une suite extraite convergente --- c'est Bolzano-Weierstrass (T6.1), la pièce maîtresse du chapitre. C'est la troisième dette envers Limites et continuité.
Définition — Suite extraite
Une suite extraite de \((u_n)\) est une suite de la forme \((u_{\varphi(n)})_n\) où \(\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) est strictement croissante (appelée extraction).
Exemple
Avec \(u_n = (-1)^n\) et \(\varphi(n) = 2 n\) : la suite extraite est \(u_{\varphi(n)} = (-1)^{2n} = 1\) (constante). Avec \(\psi(n) = 2 n + 1\) : \(u_{\psi(n)} = (-1)^{2n+1} = -1\). L'application \(n \mapsto n^2\) est aussi une extraction valide ; puisque \(n^2\) a la même parité que \(n\), la suite extraite \(u_{n^2} = (-1)^{n^2} = (-1)^n\) coïncide avec la suite originale.
Proposition — Minoration d'une extraction
Si \(\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) est une extraction strictement croissante, alors \(\varphi(n) \ge n\) pour tout \(n\).

Par récurrence sur \(n\). Base. \(\varphi(0) \ge 0\) trivialement (valeurs dans \(\mathbb{N}\)). Hérédité. Si \(\varphi(n) \ge n\), alors \(\varphi(n+1) > \varphi(n) \ge n\) (croissance stricte), donc \(\varphi(n+1) \ge n+1\) (les deux membres étant entiers et \(\varphi(n+1) > n\)).

Proposition — La limite se transfère aux suites extraites
Si \(u_n \to \ell \in \overline{\mathbb{R}}\), alors pour toute extraction \(\varphi\), \(\textcolor{colorprop}{u_{\varphi(n)} \to \ell}\).

Traitons le cas fini (\(\ell \in \mathbb{R}\)) ; les cas infinis sont analogues. Fixons \(\varepsilon > 0\). Comme \(u_n \to \ell\), \(\exists N \in \mathbb{N}, \forall n \ge N, |u_n - \ell| \le \varepsilon\). Par P6.1, \(\varphi(n) \ge n\), donc pour \(n \ge N\) on a \(\varphi(n) \ge N\), d'où \(|u_{\varphi(n)} - \ell| \le \varepsilon\). Le même \(N\) démontre la convergence de \((u_{\varphi(n)})\) vers \(\ell\).

Proposition — Deux suites extraites de limites distinctes
Si \((u_{\varphi(n)})\) et \((u_{\psi(n)})\) admettent des limites distinctes dans \(\overline{\mathbb{R}}\), alors \((u_n)\) n'admet pas de limite.

Par contraposée. Si \((u_n) \to \ell \in \overline{\mathbb{R}}\), alors par P6.2 (transfert de limite), \((u_{\varphi(n)})\) et \((u_{\psi(n)})\) tendent toutes deux vers \(\ell\), contredisant l'hypothèse de limites distinctes.

Proposition — Suites extraites paire et impaire
Si \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) tendent toutes deux vers le même \(\ell \in \overline{\mathbb{R}}\), alors \(\textcolor{colorprop}{u_n \to \ell}\).

Cas fini \(\ell \in \mathbb{R}\). Fixons \(\varepsilon > 0\). Par convergence de \((u_{2n})\), \(\exists N_0, \forall p \ge N_0, |u_{2p} - \ell| \le \varepsilon\) ; de même \(\exists N_1\) pour \((u_{2n+1})\). Posons \(N = \max(2 N_0, 2 N_1 + 1)\). Pour \(n \ge N\) : si \(n = 2 p\) est pair, \(p \ge N_0\) donc \(|u_n - \ell| \le \varepsilon\) ; si \(n = 2 p + 1\) est impair, \(p \ge N_1\) donc \(|u_n - \ell| \le \varepsilon\). Donc \(u_n \to \ell\). Cas infinis analogues.

Proposition — Décalage
Si \(u_n \to \ell\), alors pour tout \(p \in \mathbb{N}\) fixé, \(\textcolor{colorprop}{u_{n+p} \to \ell}\).

Appliquer P6.2 à l'extraction \(\varphi(n) = n + p\) : \(\varphi\) est strictement croissante \(\mathbb{N} \to \mathbb{N}\), donc \(u_{\varphi(n)} = u_{n+p} \to \ell\).

Proposition — Caractérisation séquentielle de l'adhérence --- complément utile
Soit \(A \subset \mathbb{R}\) et \(x \in \mathbb{R}\). Alors \(x\) est adhérent à \(A\) (tout voisinage de \(x\) rencontre \(A\)) si et seulement s'il existe une suite \(\textcolor{colorprop}{(a_n) \in A^{\mathbb{N}}}\) avec \(a_n \to x\).

Sens direct. Supposons \(x\) adhérent à \(A\). Pour chaque \(n \in \mathbb{N}\), le voisinage \([x - 1/(n+1) \,;\, x + 1/(n+1)]\) rencontre \(A\) ; choisissons \(a_n\) dans l'intersection. Alors \(|a_n - x| \le 1/(n+1) \to 0\), donc \(a_n \to x\).
Sens réciproque. Soit \((a_n) \in A^{\mathbb{N}}\) avec \(a_n \to x\). Fixons un voisinage \(V\) de \(x\) ; \(\exists \varepsilon > 0\) avec \([x - \varepsilon \,;\, x + \varepsilon] \subset V\). Par \(a_n \to x\), \(\exists N\) avec \(a_N \in [x - \varepsilon \,;\, x + \varepsilon] \subset V\). Comme \(a_N \in A\), \(V\) rencontre \(A\).

Theorem — Bolzano-Weierstrass
Toute suite réelle bornée admet une suite extraite convergente.

Par dichotomie. Soit \((u_n) \in [a_0 \,;\, b_0]^{\mathbb{N}}\) avec \(a_0 \le b_0\) dans \(\mathbb{R}\). Construisons des suites \((a_k), (b_k)\) et une extraction \((\varphi(k))\) en maintenant l'invariant $$ (\mathcal{I}_k) : \quad \text{une infinité de } n > \varphi(k) \text{ vérifient } u_n \in [a_k \,;\, b_k]. $$ Posons \(\varphi(0) = 0\), \(a_0, b_0\) donnés ; \((\mathcal{I}_0)\) est vrai car tout \(n \in \mathbb{N}\) vérifie \(u_n \in [a_0 \,;\, b_0]\). À l'étape \(k\), en supposant \((\mathcal{I}_k)\) :
  • Soit \(m_k = (a_k + b_k)/2\). Considérons \([a_k \,;\, m_k]\) et \([m_k \,;\, b_k]\).
  • Au moins l'une de ces moitiés, disons \(I\), contient \(u_n\) pour une infinité de \(n > \varphi(k)\) (sinon les deux moitiés ne contiendraient qu'un nombre fini de tels \(n\), contredisant \((\mathcal{I}_k)\)).
  • Posons \([a_{k+1} \,;\, b_{k+1}] = I\) et choisissons \(\varphi(k+1) > \varphi(k)\) avec \(u_{\varphi(k+1)} \in [a_{k+1} \,;\, b_{k+1}]\). Comme \(I\) contient \(u_n\) pour une infinité de \(n > \varphi(k+1)\) (toujours infinité après retrait de l'ensemble fini \(\{n \le \varphi(k+1)\}\)), \((\mathcal{I}_{k+1})\) est vérifié et la récurrence se poursuit.
Par construction, \((a_k)\) est croissante, \((b_k)\) décroissante, \(b_k - a_k = (b_0 - a_0)/2^k \to 0\), et \(a_k \le b_k\). Donc \((a_k), (b_k)\) sont adjacentes (D5.1). Par T5.2, elles convergent vers une limite commune \(\ell\). Comme \(a_k \le u_{\varphi(k)} \le b_k\) pour tout \(k\), le théorème d'encadrement T4.1 donne \(u_{\varphi(k)} \to \ell\).

Exemple
Montrer que \(((-1)^n)_n\) admet deux suites extraites convergentes de limites distinctes, donc est divergente.

Prenons \(\varphi(n) = 2n\) et \(\psi(n) = 2n + 1\). Alors \(u_{\varphi(n)} = (-1)^{2n} = 1 \to 1\) et \(u_{\psi(n)} = (-1)^{2n+1} = -1 \to -1\). Les deux extraites ont des limites distinctes, donc par P6.3, \(((-1)^n)\) n'admet pas de limite.

Exemple
Montrer que \(u_n = \sin(n \pi / 3)\) admet des suites extraites convergentes et identifier leurs limites.

Les valeurs sont périodiques de période \(6\) : \(\sin(n \pi / 3)\) prend les valeurs \(0, \sqrt{3}/2, \sqrt{3}/2, 0, -\sqrt{3}/2, -\sqrt{3}/2\) pour \(n = 0, 1, 2, 3, 4, 5\). La suite extraite \(\varphi(n) = 6n\) donne \(u_{\varphi(n)} = 0\) constante, donc \(\to 0\). La suite extraite \(\psi(n) = 6n + 1\) donne \(u_{\psi(n)} = \sqrt{3}/2\) constante, donc \(\to \sqrt{3}/2\). De même \(6n + 4\) donne la constante \(-\sqrt{3}/2\). Trois extraites constantes distinctes, donc \((u_n)\) est divergente (P6.3).

Exemple
Soit \((u_n)\) bornée telle que toute suite extraite convergente ait la même limite \(\ell\). Montrer que \(u_n \to \ell\).

Par l'absurde, supposons \(u_n \not\to \ell\). Niant D2.1 : \(\exists \varepsilon_0 > 0, \forall N \in \mathbb{N}, \exists n \ge N, |u_n - \ell| > \varepsilon_0\). Construisons par récurrence une extraction stricte \(\varphi\) avec \(|u_{\varphi(n)} - \ell| > \varepsilon_0\) pour tout \(n\) : prendre \(\varphi(0)\) comme premier indice \(\ge 0\) où la borne échoue, puis \(\varphi(n+1)\) comme premier indice \(> \varphi(n)\) où elle échoue. La suite extraite \((u_{\varphi(n)})\) est bornée (extraite d'une bornée), donc par Bolzano-Weierstrass T6.1, elle admet une sous-suite convergente \(u_{\varphi(\psi(n))} \to \ell'\). Par hypothèse, \(\ell' = \ell\). Or \(|u_{\varphi(\psi(n))} - \ell| > \varepsilon_0\) pour tout \(n\), donc par passage à la limite, \(|\ell' - \ell| \ge \varepsilon_0 > 0\), contredisant \(\ell' = \ell\). Donc \(u_n \to \ell\).

Méthode — Réfuter la convergence par deux suites extraites
Pour montrer que \((u_n)\) n'a pas de limite, exhiber deux extractions strictes \(\varphi, \psi\) avec \(u_{\varphi(n)}\) et \(u_{\psi(n)}\) tendant vers des éléments distincts de \(\overline{\mathbb{R}}\). Par P6.3, \((u_n)\) n'admet pas de limite.
Méthode — Extraire une suite extraite convergente par Bolzano-Weierstrass
Pour une suite bornée \((u_n)\) dont la limite est imprécise, T6.1 garantit qu'une suite extraite converge. Identifier la limite par un argument séparé (passage à la limite dans une récurrence, hypothèse de l'énoncé, etc.). Schéma utile : combiner BW avec un raisonnement par l'absurde quand la suite est « presque convergente ».
Exemple
La dichotomie de Bolzano-Weierstrass.
À chaque étape, on garde la moitié contenant une infinité de \(u_n\) ; les suites adjacentes \((a_k), (b_k)\) convergent vers un même \(\ell\), et la suite extraite \(u_{\varphi(k)}\) est encadrée entre elles.
Compétences à pratiquer
  • Construire des suites extraites de limites distinctes
  • Utiliser Bolzano-Weierstrass
VII Suites particulières
Cinq familles récurrentes : suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques, récurrences linéaires d'ordre 2 (à coefficients constants), et l'itération \(u_{n+1} = f(u_n)\). Chaque famille vient avec une forme close (lorsqu'elle existe) ou une technique d'étude (monotonie, point fixe, dichotomie). L'itération \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec \(f\) continue est le « pont vers les fonctions » : la limite, si elle existe, est un point fixe de \(f\).
Définition — Suite arithmétique
\((u_n)\) est arithmétique de raison \(r \in \mathbb{R}\) si \(u_{n+1} = u_n + r\) pour tout \(n\). Forme close : \(\textcolor{colordef}{u_n = u_0 + n r}\). Somme des \(n+1\) premiers termes : \(\sum_{k=0}^n u_k = (n+1)(u_0 + u_n)/2\).
Définition — Suite géométrique
\((u_n)\) est géométrique de raison \(q \in \mathbb{R}\) si \(u_{n+1} = q \, u_n\) pour tout \(n\). Forme close : \(\textcolor{colordef}{u_n = u_0 q^n}\). Somme (pour \(q \ne 1\)) : \(\sum_{k=0}^n q^k = (1 - q^{n+1})/(1 - q)\).
Proposition — Limite de \(q^n\)
Pour \(q \in \mathbb{R}\) :
  • \(|q| < 1 \Rightarrow \textcolor{colorprop}{q^n \to 0}\) ;
  • \(q = 1 \Rightarrow q^n = 1 \to 1\) ;
  • \(q > 1 \Rightarrow \textcolor{colorprop}{q^n \to +\infty}\) ;
  • \(q = -1\) : \((q^n)\) alterne entre \(\pm 1\) ; les extraites \((q^{2n}) = 1\) et \((q^{2n+1}) = -1\) ont des limites distinctes, donc \((q^n)\) n'admet pas de limite (P6.3) ;
  • \(q < -1\) : \(|q^n| = |q|^n \to +\infty\), donc \((|q^n|)\) diverge vers \(+\infty\). Mais les signes alternent, donc \((q^n)\) n'admet aucune limite dans \(\overline{\mathbb{R}}\) --- ni \(+\infty\) (l'extraite paire \(|q|^{2n} \to +\infty\) mais l'impaire \(-|q|^{2n+1} \to -\infty\)) ni \(-\infty\). En particulier « \(|q^n| \to +\infty\) » n'implique PAS « \(q^n \to +\infty\) » --- le signe compte.

Démontrons les deux cas de convergence effective.
  • \(q > 1\) : écrivons \(q = 1 + h\) avec \(h > 0\). L'inégalité de Bernoulli (rappelée dans Propriétés de \(\mathbb{R}\)) donne \(q^n = (1 + h)^n \ge 1 + n h\) pour \(n \in \mathbb{N}\). Comme \(1 + n h \to +\infty\), par P4.2 (minoration) \(q^n \to +\infty\).
  • \(|q| < 1\) : si \(q = 0\), alors \(q^n = 0\) pour tout \(n \ge 1\) ; le premier terme est sans effet sur la limite, donc \(q^n \to 0\). Sinon appliquer le cas précédent à \(1/|q| > 1\) : \((1/|q|)^n \to +\infty\), donc \(|q|^n = 1/(1/|q|)^n \to 0\) par la règle d'inversion pour une suite tendant vers \(+\infty\) (tableau des règles). D'où \(|q^n| = |q|^n \to 0\), équivalent à \(q^n \to 0\).
Les trois autres cas (\(q = 1\), \(q = -1\), \(q < -1\)) sont directs ou démontrés dans l'énoncé.

Définition — Suite arithmético-géométrique
\((u_n)\) vérifie \(u_{n+1} = a u_n + b\) avec \(a, b \in \mathbb{R}\). Deux sous-cas :
  • Si \(a = 1\) : arithmétique de raison \(b\), \(u_n = u_0 + n b\).
  • Si \(a \ne 1\) : l'équation \(\ell = a \ell + b\) admet l'unique solution \(\ell = b/(1 - a)\) (point fixe). Alors \((u_n - \ell)\) est géométrique de raison \(a\), donc \(u_n - \ell = a^n (u_0 - \ell)\), soit \(\textcolor{colordef}{u_n = \ell + a^n (u_0 - \ell)}\).
Le cas \(a = 0\) est inclus dans « \(a \ne 1\) » : alors \(u_{n+1} = b\) indépendamment de \(u_n\), donc \(u_n = b\) pour tout \(n \ge 1\) (la valeur \(u_0\) reste arbitraire ; la forme close \(u_n = \ell + a^n(u_0 - \ell)\) se lit à partir du rang \(n \ge 1\) pour éviter la convention \(0^0\)).
Définition — Récurrence linéaire d'ordre 2
Soit \(a, b \in \mathbb{R}\) avec \(b \ne 0\) (récurrence d'ordre 2 véritable; le cas \(b = 0\) dégénère en \(u_{n+2} = a u_{n+1}\), géométrique). Étant donnés \(u_0, u_1 \in \mathbb{R}\), la suite \((u_n)\) est définie par $$ u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n \qquad (n \ge 0). $$ L'équation caractéristique est \(\textcolor{colordef}{r^2 - a r - b = 0}\), de discriminant \(\Delta = a^2 + 4 b\).
Exemple
Pour la récurrence de Fibonacci \(u_{n+2} = u_{n+1} + u_n\) (donc \(a = b = 1\)), l'équation caractéristique est \(r^2 - r - 1 = 0\) de discriminant \(\Delta = 1 + 4 = 5 > 0\). Pour \(u_{n+2} = 2 u_{n+1} - u_n\) (\(a = 2\), \(b = -1\)) : \(r^2 - 2 r + 1 = 0\), \(\Delta = 0\). Pour \(u_{n+2} = -u_n\) (\(a = 0\), \(b = -1\)) : \(r^2 + 1 = 0\), \(\Delta = -4 < 0\). Les trois cas de discriminant sont alors résolus dans P7.2 ci-dessous.
Proposition — Solutions des récurrences linéaires d'ordre 2
Avec \(a, b \in \mathbb{R}\), \(b \ne 0\), et \(\Delta = a^2 + 4 b\) :
  • \(\Delta > 0\) : deux racines réelles distinctes \(r_1, r_2\). Terme général réel \(\textcolor{colorprop}{u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n}\) avec \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\).
  • \(\Delta = 0\) : racine réelle double \(r\). Terme général réel \(\textcolor{colorprop}{u_n = (\lambda + \mu n) r^n}\) avec \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\).
  • \(\Delta < 0\) : deux racines complexes conjuguées \(\rho \mathrm{e}^{\pm i \theta}\) avec \(\rho > 0\), \(\theta \in \,]0 \,;\, \pi[\). Terme général réel \(\textcolor{colorprop}{u_n = \rho^n (\lambda \cos(n \theta) + \mu \sin(n \theta))}\) avec \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\).
Dans les trois cas, \(\lambda, \mu\) sont uniquement déterminés par \(u_0, u_1\) (système linéaire \(2 \times 2\) de déterminant non nul).
Idée de preuve. Pour \(\Delta > 0\) : on vérifie directement que \(r_1^n\) et \(r_2^n\) satisfont la récurrence (\(r_i^{n+2} - a r_i^{n+1} - b r_i^n = r_i^n (r_i^2 - a r_i - b) = 0\)), et toute combinaison réelle \(\lambda r_1^n + \mu r_2^n\) aussi. Le système linéaire \(2 \times 2\) en \((\lambda, \mu)\) pour \(u_0, u_1\) a un déterminant de type Vandermonde \(r_2 - r_1 \ne 0\), donc une solution unique. L'unicité d'une suite définie par une récurrence d'ordre 2 (étant donné \(u_0, u_1\)) conclut. Les cas \(\Delta = 0\) et \(\Delta < 0\) sont analogues, en utilisant les suites élémentaires \(r^n, n r^n\) et \(\rho^n \cos(n \theta), \rho^n \sin(n \theta)\) respectivement.
Theorem — Transfert de limite pour \(u_{n+1} \equal f(u_n)\)
Soit \(f : I \to I\) continue sur un intervalle \(I \subset \mathbb{R}\) stable par \(f\), \(u_0 \in I\), \(u_{n+1} = f(u_n)\). Si \((u_n)\) converge vers une limite \(\ell \in I\), alors \(\ell\) est un point fixe de \(f\), soit \(\textcolor{colorprop}{f(\ell) = \ell}\).

Appliquons la caractérisation séquentielle de la continuité (Limites et continuité P5.2, corollaire de Heine T3.1) : \(f\) continue en \(\ell\) et \(u_n \to \ell\), donc \(f(u_n) \to f(\ell)\). Or \(f(u_n) = u_{n+1}\), et par le corollaire de décalage P6.5 (ou P6.2 avec \(\varphi(n) = n + 1\)), \(u_{n+1} \to \ell\). Par unicité de la limite (P2.1), \(f(\ell) = \ell\).

Exemple
Calculer \(\lim_{n \to +\infty} (1 + 1/2 + 1/4 + \dots + 1/2^n)\) (somme géométrique, raison \(1/2\)).

Utilisons la formule de la somme géométrique : \(\sum_{k=0}^n (1/2)^k = (1 - (1/2)^{n+1})/(1 - 1/2) = 2 (1 - (1/2)^{n+1})\). Quand \(n \to +\infty\), \((1/2)^{n+1} \to 0\) (P7.1, \(|q| = 1/2 < 1\)), donc la somme tend vers \(2 \cdot 1 = 2\).

Exemple
Arithmético-géométrique : \(u_0 = 1\), \(u_{n+1} = u_n / 2 + 1\). Calculer \(\lim u_n\).

Appliquons D7.3 avec \(a = 1/2\), \(b = 1\). Point fixe : \(\ell = 1/(1 - 1/2) = 2\). Alors \(u_n - 2 = (1/2)^n (u_0 - 2) = (1/2)^n \cdot (-1) = -(1/2)^n\), donc \(u_n = 2 - (1/2)^n\). Quand \(n \to +\infty\), \((1/2)^n \to 0\), donc \(u_n \to 2\).

Exemple
Fibonacci : \(u_0 = 0\), \(u_1 = 1\), \(u_{n+2} = u_{n+1} + u_n\). Donner la forme close.

Équation caractéristique : \(r^2 - r - 1 = 0\), \(\Delta = 1 + 4 = 5 > 0\). Deux racines réelles distinctes : \(r_1 = \varphi = (1 + \sqrt{5})/2\) et \(r_2 = \psi = (1 - \sqrt{5})/2\). Par P7.2, \(u_n = \lambda \varphi^n + \mu \psi^n\). En résolvant avec \(u_0 = 0\) et \(u_1 = 1\) : \(\lambda + \mu = 0\) et \(\lambda \varphi + \mu \psi = 1\). De la première, \(\mu = -\lambda\) ; en substituant, \(\lambda(\varphi - \psi) = 1\), soit \(\lambda \sqrt{5} = 1\), \(\lambda = 1/\sqrt{5}\). D'où la formule de Binet : $$ u_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}. $$

Exemple
Cas racine double : \(u_0 = 0\), \(u_1 = 1\), \(u_{n+2} = 2 u_{n+1} - u_n\). Donner la forme close.

Équation caractéristique : \(r^2 - 2 r + 1 = (r - 1)^2 = 0\), \(\Delta = 0\), racine double \(r_0 = 1\). Par P7.2, \(u_n = (\lambda + \mu n) \cdot 1^n = \lambda + \mu n\). Avec \(u_0 = 0\) : \(\lambda = 0\). Avec \(u_1 = 1\) : \(\mu = 1\). D'où \(u_n = n\) --- une suite arithmétique de raison \(1\), en guise de vérification.

Exemple
Cas racines complexes : \(u_0 = 1\), \(u_1 = 0\), \(u_{n+2} = -u_n\). Donner la forme close.

Équation caractéristique : \(r^2 + 1 = 0\), \(\Delta = -4 < 0\), racines complexes \(r = \pm i = \mathrm{e}^{\pm i \pi / 2}\), donc \(\rho = 1\), \(\theta = \pi/2\). Par P7.2, \(u_n = \rho^n (\lambda \cos(n \theta) + \mu \sin(n \theta)) = \lambda \cos(n \pi / 2) + \mu \sin(n \pi / 2)\). Avec \(u_0 = 1\) : \(\lambda = 1\). Avec \(u_1 = 0\) : \(\mu = 0\). D'où \(u_n = \cos(n \pi / 2)\) --- une suite de période \(4\) : \(1, 0, -1, 0, 1, \dots\), conforme à \(u_{n+2} = -u_n\).

Exemple
Récurrente : \(u_0 = 0\), \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}\). Montrer que \((u_n)\) converge et trouver la limite.

Posons \(f(x) = \sqrt{x + 2}\), définie et continue sur \([-2 \,;\, +\infty[\).
Intervalle stable. Sur \([0 \,;\, 2]\), \(f(x) = \sqrt{x + 2} \in [\sqrt{2} \,;\, 2] \subset [0 \,;\, 2]\). Donc \(I = [0 \,;\, 2]\) est stable par \(f\). Par récurrence, \(u_n \in [0 \,;\, 2]\) pour tout \(n\) (base \(u_0 = 0\), hérédité par stabilité).
Monotonie. Pour \(x \in [0 \,;\, 2]\), un calcul algébrique : $$ f(x) \ge x \iff \sqrt{x + 2} \ge x \iff x + 2 \ge x^2 \iff (x - 2)(x + 1) \le 0, $$ ce qui est vrai sur \([0 \,;\, 2]\) (les facteurs y sont de signes opposés). Donc \(f(x) \ge x\) sur \([0 \,;\, 2]\). Par suite \(u_{n+1} = f(u_n) \ge u_n\), donc \((u_n)\) est croissante.
Convergence. \((u_n)\) est croissante majorée par \(2\). Par T5.1, \(u_n \to \ell\) pour un \(\ell \in [0 \,;\, 2]\).
Limite. Par T7.1, \(\ell\) est un point fixe de \(f\) dans \([0 \,;\, 2]\) : \(\sqrt{\ell + 2} = \ell\), soit \(\ell + 2 = \ell^2\), soit \(\ell^2 - \ell - 2 = 0\), de racines \(\ell = 2\) et \(\ell = -1\). La racine dans \([0 \,;\, 2]\) est \(\ell = 2\).

Méthode — Étudier \(u_{n+1} \equal f(u_n)\)
Pour une suite récurrente \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec \(u_0\) donné :
  • Trouver un intervalle stable \(I\). Un intervalle \(I\) tel que \(f(I) \subset I\), avec \(u_0 \in I\). Alors \(u_n \in I\) pour tout \(n\) (récurrence).
  • Trouver les points fixes candidats. Résoudre \(f(\ell) = \ell\) dans \(I\).
  • Étudier la monotonie de \((u_n)\). Signe de \(f(x) - x\) sur \(I\) : \(> 0 \Rightarrow\) croissante ; \(< 0 \Rightarrow\) décroissante. Combiné à \(f\) croissante ou décroissante, conclure sur le signe de \(u_{n+1} - u_n\).
  • Conclure la convergence par T5.1. Monotone bornée \(\Rightarrow\) convergente.
  • Identifier la limite par T7.1. La limite est un point fixe de \(f\) dans \(I\). Si plusieurs, choisir celui cohérent avec la monotonie et la valeur initiale.
  • Si \(f\) est décroissante sur \(I\) : \((u_n)\) n'est généralement pas monotone. En revanche \(f \circ f\) est croissante sur \(I\), et les extraites paire \((u_{2n})\) et impaire \((u_{2n+1})\) sont régies toutes deux par la récurrence \(w_{n+1} = (f \circ f)(w_n)\). Étudier chaque extraite séparément par les points précédents : trouver un intervalle stable, étudier le signe de \((f \circ f)(x) - x\) sur cet intervalle pour obtenir la monotonie, puis appliquer T5.1. Si les deux extraites partagent la même limite \(\ell\), conclure \(u_n \to \ell\) par P6.4 (extraites paire et impaire).
Exemple
Diagramme en escalier pour \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}\), \(u_0 = 0\).
Le motif en escalier monte le long de la courbe \(y = \sqrt{x+2}\), en rebondissant sur la droite \(y = x\), et converge vers le point fixe \((2, 2)\).
Compétences à pratiquer
  • Arithmétique\(\virgule\) géométrique\(\virgule\) arithmético-géométrique
  • Récurrences linéaires d'ordre 2
  • Suites récurrentes \(u_{n+1} \equal f(u_n)\)
VIII Brève extension aux suites complexes
Lorsque \((u_n) \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}\), la notion de limite se transmet via le module \(|u_n - \ell| \to 0\), équivalente à la convergence composante par composante de \(\mathrm{Re}(u_n)\) et \(\mathrm{Im}(u_n)\). Opérations et Bolzano-Weierstrass s'étendent sans difficulté. Les théorèmes du chapitre liés à l'ordre (limite monotone, suites adjacentes) ne se prolongent pas, \(\mathbb{C}\) n'ayant pas d'ordre naturel.
Définition — Suite complexe
Une suite complexe est une application \(u : \mathbb{N} \to \mathbb{C}\), notée \((u_n)\). Elle est bornée si \((|u_n|)_n\) est majorée (équivalent : \(\mathrm{Re}(u_n)\) et \(\mathrm{Im}(u_n)\) toutes deux bornées).
Définition — Limite d'une suite complexe
Pour \(\ell \in \mathbb{C}\) : \(u_n \to \ell\) si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée :
  • \(|u_n - \ell| \to 0\) dans \(\mathbb{R}\);
  • \(\mathrm{Re}(u_n) \to \mathrm{Re}(\ell)\) et \(\mathrm{Im}(u_n) \to \mathrm{Im}(\ell)\).
L'équivalence provient de \(\max(|\mathrm{Re}\,z|, |\mathrm{Im}\,z|) \le |z| \le |\mathrm{Re}\,z| + |\mathrm{Im}\,z|\).
Proposition — Opérations sur les limites complexes
Si \(u_n \to \ell\) et \(v_n \to m\) avec \(\ell, m \in \mathbb{C}\), alors pour tous \(\lambda, \mu \in \mathbb{C}\) : \(\textcolor{colorprop}{\lambda u_n + \mu v_n \to \lambda \ell + \mu m}\), \(\textcolor{colorprop}{u_n v_n \to \ell m}\), et \(\textcolor{colorprop}{u_n / v_n \to \ell / m}\) si \(m \ne 0\). Énoncés identiques à P3.1 avec \(\mathbb{C}\) à la place de \(\mathbb{R}\).

Combinaison linéaire : décomposition en parties réelle et imaginaire. En écrivant \(\lambda = \alpha + i \beta\), \(u_n = a_n + i b_n\), etc., \(\lambda u_n + \mu v_n\) a des parties réelle et imaginaire qui sont des combinaisons linéaires réelles de \(a_n, b_n, c_n, d_n\), chacune convergente par P3.1 appliquée par composante. La caractérisation par composantes D8.2 conclut. Produit : \(u_n v_n = (a_n c_n - b_n d_n) + i (a_n d_n + b_n c_n)\), P3.1 par composante. Quotient : idem avec l'argument supplémentaire \(|v_n| \to |m| > 0\) (\(m \ne 0\)), donc \(|v_n|\) minoré loin de \(0\) à partir d'un certain rang ; alors \(1/v_n = \overline{v_n}/|v_n|^2\) a un dénominateur borné et converge par composante.

Theorem — Bolzano-Weierstrass complexe
Toute suite complexe bornée admet une suite extraite convergente.

Soit \((u_n) \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}\) bornée. Alors \((\mathrm{Re}(u_n))\) et \((\mathrm{Im}(u_n))\) sont des suites réelles bornées (par D8.1).
  • Appliquons T6.1 (BW pour \(\mathbb{R}\)) à \((\mathrm{Re}(u_n))\) : extrayons une suite extraite convergente \(\mathrm{Re}(u_{\varphi(n)}) \to \alpha\).
  • La suite \((\mathrm{Im}(u_{\varphi(n)}))_n\) reste bornée; appliquons T6.1 à nouveau pour extraire \(\mathrm{Im}(u_{\varphi(\psi(n))}) \to \beta\).
  • \(\mathrm{Re}(u_{\varphi(\psi(n))})\) est extraite de \(\mathrm{Re}(u_{\varphi(n)})\), donc par P6.2 tend toujours vers \(\alpha\).
Par D8.2, \(u_{\varphi(\psi(n))} \to \alpha + i \beta\). La composée \(\varphi \circ \psi\) est une extraction stricte (composition de deux extractions strictes).

Exemple
Montrer que \((\mathrm{e}^{i n \pi / 3})_n\) est bornée, et exhiber deux suites extraites de limites distinctes.

\(|\mathrm{e}^{i n \pi / 3}| = 1\) pour tout \(n\), donc la suite est bornée par \(1\). Les valeurs sont périodiques de période \(6\). Prenons \(\varphi(n) = 6 n\) : \(\mathrm{e}^{i \cdot 6n \pi / 3} = \mathrm{e}^{i \cdot 2n\pi} = 1\), donc \(u_{\varphi(n)} \to 1\). Prenons \(\psi(n) = 6n + 3\) : \(\mathrm{e}^{i \cdot (6n+3) \pi / 3} = \mathrm{e}^{i \pi} \cdot \mathrm{e}^{i \cdot 2n\pi} = -1\), donc \(u_{\psi(n)} \to -1\). Deux suites extraites de limites distinctes dans \(\mathbb{C}\), donc \((u_n)\) est divergente.

Exemple
Calculer \(\lim ((1 + i)^n / 2^n)\).

\(|1 + i| = \sqrt{2}\), donc \(|(1+i)^n / 2^n| = (\sqrt{2}/2)^n = (1/\sqrt{2})^n\). Puisque \(1/\sqrt{2} < 1\), par P7.1 (cas réel), \((1/\sqrt{2})^n \to 0\). Donc \(|u_n| \to 0\), et par D8.2 (caractérisation par le module), \(u_n \to 0\) dans \(\mathbb{C}\).

Compétences à pratiquer
  • Limites complexes et Bolzano-Weierstrass complexe