Fractions rationnelles

Missions

A) Le corps des fractions rationnelles \(\mathbb{K}(X)\)
1) Mettre une fraction rationnelle sous forme irréductible	Ex 1 Ex 2 Ex 3
2) Calculer dans \(\mathbb{K}(X)\)	Ex 4 Ex 5 Ex 6
B) Degré\(\virgule\) partie entière\(\virgule\) zéros et pôles
3) Calculer la partie entière	Ex 7 Ex 8 Ex 9
4) Identifier zéros et pôles	Ex 10 Ex 11 Ex 12 Ex 13
5) Calculer le degré	Ex 14 Ex 15 Ex 16
C) Décomposition en éléments simples sur \(\mathbb{C}\)
6) Décomposer avec des pôles simples	Ex 17 Ex 18 Ex 19 Ex 20
7) Décomposer avec un pôle double	Ex 21 Ex 22 Ex 23
8) Utiliser la formule \(P' / P\)	Ex 24 Ex 25 Ex 26
D) Décomposition en éléments simples sur \(\mathbb{R}\)
9) Décomposer avec un facteur quadratique	Ex 27 Ex 28 Ex 29 Ex 30
10) Passer de \(\mathbb{C}\) à \(\mathbb{R}\) par regroupement des pôles conjugués	Ex 31 Ex 32 Ex 33 Ex 34
11) Utiliser la parité	Règles de parité --- résumé Pour une fraction rationnelle réelle \(R\) ayant des pôles réels simples appariés en \(\pm \lambda\) (avec \(\lambda \neq 0\)), écrivons les termes en éléments simples sous la forme \(\frac{c}{X - \lambda} + \frac{d}{X + \lambda}\). Alors : Si \(R\) est paire : \(d = -c\). Si \(R\) est impaire : \(d = c\). Pour un facteur quadratique irréductible de la forme paire \(X^2 + q\) (avec \(q > 0\)), le terme de 2nde espèce associé \(\frac{\alpha X + \beta}{X^2 + q}\) hérite de la parité de \(R\) : Si \(R\) est paire : \(\alpha = 0\) (pas de terme en \(X\) au numérateur). Si \(R\) est impaire : \(\beta = 0\) (pas de terme constant au numérateur). Pour deux facteurs quadratiques irréductibles distincts \(Q_1, Q_2\) échangés par \(X \mapsto -X\) (cas typique : \(X^2 + p X + q\) et \(X^2 - p X + q\)), les numérateurs de 2nde espèce associés \(\alpha_1 X + \beta_1\) et \(\alpha_2 X + \beta_2\) sont liés par : Si \(R\) est paire : \(\alpha_2 = -\alpha_1\) et \(\beta_2 = \beta_1\). Si \(R\) est impaire : \(\alpha_2 = \alpha_1\) et \(\beta_2 = -\beta_1\). Ex 35 Ex 36 Ex 37
E) Primitives et dérivées \(k\)-ièmes des fonctions rationnelles
12) Calculer une primitive par décomposition	Ex 38 Ex 39 Ex 40 Ex 41
13) Calculer des dérivées \(k\)-ièmes	Ex 42 Ex 43 Ex 44

Cours
Chapitre

Exercices Correction

Conventions

Dans toute cette feuille d'exercices, sauf mention contraire, \(\mathbb{K}\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\). La notation \(A \wedge B\) désigne le PGCD de deux polynômes (chapitre Arithmétique des polynômes). Pour une fraction rationnelle non nulle \(R = A / B\) sous forme irréductible, le degré est \(\deg R = \deg A - \deg B\), et les zéros et les pôles se lisent toujours après mise sous forme irréductible. On utilise indifféremment les termes polynomial part (en anglais) et partie entière pour l'unique polynôme \(E\) tel que \(R - E\) soit de degré strictement négatif.

A) Le corps des fractions rationnelles \(\mathbb{K}(X)\)
    1) Mettre une fraction rationnelle sous forme irréductible Ex 1 Ex 2 Ex 3
    2) Calculer dans \(\mathbb{K}(X)\) Ex 4 Ex 5 Ex 6
B) Degré\(\virgule\) partie entière\(\virgule\) zéros et pôles
    3) Calculer la partie entière Ex 7 Ex 8 Ex 9
    4) Identifier zéros et pôles Ex 10 Ex 11 Ex 12 Ex 13
    5) Calculer le degré Ex 14 Ex 15 Ex 16
C) Décomposition en éléments simples sur \(\mathbb{C}\)
    6) Décomposer avec des pôles simples Ex 17 Ex 18 Ex 19 Ex 20
    7) Décomposer avec un pôle double Ex 21 Ex 22 Ex 23
    8) Utiliser la formule \(P' / P\) Ex 24 Ex 25 Ex 26
D) Décomposition en éléments simples sur \(\mathbb{R}\)
    9) Décomposer avec un facteur quadratique Ex 27 Ex 28 Ex 29 Ex 30
    10) Passer de \(\mathbb{C}\) à \(\mathbb{R}\) par regroupement des pôles conjugués Ex 31 Ex 32 Ex 33 Ex 34
    11) Utiliser la parité

Règles de parité --- résumé

Pour une fraction rationnelle réelle \(R\) ayant des pôles réels simples appariés en \(\pm \lambda\) (avec \(\lambda \neq 0\)), écrivons les termes en éléments simples sous la forme \(\frac{c}{X - \lambda} + \frac{d}{X + \lambda}\). Alors :

Si \(R\) est paire : \(d = -c\).
Si \(R\) est impaire : \(d = c\).
Pour un facteur quadratique irréductible de la forme paire \(X^2 + q\) (avec \(q > 0\)), le terme de 2nde espèce associé \(\frac{\alpha X + \beta}{X^2 + q}\) hérite de la parité de \(R\) :

Si \(R\) est paire : \(\alpha = 0\) (pas de terme en \(X\) au numérateur).
Si \(R\) est impaire : \(\beta = 0\) (pas de terme constant au numérateur).
Pour deux facteurs quadratiques irréductibles distincts \(Q_1, Q_2\) échangés par \(X \mapsto -X\) (cas typique : \(X^2 + p X + q\) et \(X^2 - p X + q\)), les numérateurs de 2nde espèce associés \(\alpha_1 X + \beta_1\) et \(\alpha_2 X + \beta_2\) sont liés par :

Si \(R\) est paire : \(\alpha_2 = -\alpha_1\) et \(\beta_2 = \beta_1\).
Si \(R\) est impaire : \(\alpha_2 = \alpha_1\) et \(\beta_2 = -\beta_1\).

Ex 35 Ex 36 Ex 37
E) Primitives et dérivées \(k\)-ièmes des fonctions rationnelles
    12) Calculer une primitive par décomposition Ex 38 Ex 39 Ex 40 Ex 41
    13) Calculer des dérivées \(k\)-ièmes Ex 42 Ex 43 Ex 44

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