CommeUnJeu · L1 MPSI

Propriétés de $\mathbb{R}$

⌚ ~107 min ▢ 13 blocs ✓ 39 exercices ➣ Prérequis : Ensembles, Ensembles de nombres

Les nombres réels sont munis d'un ordre. Quatre outils formalisent l'usage de cet ordre : les inégalités entre réels (et leur compatibilité avec les opérations), la valeur absolue (mesure de la distance à zéro), la partie entière (discrétisation de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{Z}$) et la borne supérieure (plus petit majorant), qui exprime la complétude de $\mathbb{R}$ et prépare le chapitre des limites. Ce chapitre est court et fondateur : chaque chapitre d'analyse qui suit --- suites, limites, continuité, dérivabilité --- repose sur ces quatre outils.

I Ordre et inégalités sur $\mathbb{R}$

L'ordre sur $\mathbb{R}$ est total : deux réels sont toujours comparables. Les règles de compatibilité disent comment l'ordre interagit avec l'addition et la multiplication. Deux pièges : multiplier par un négatif renverse l'inégalité, et l'inversion (passer de $x \le y$ à $1/x \ge 1/y$) requiert que les réels soient de même signe.

Proposition — Compatibilité de $\le$ avec les opérations

Pour $x, y, z, t \in \mathbb{R}$ :

Addition : $\textcolor{colorprop}{x \le y \implies x + z \le y + z}$, et $\textcolor{colorprop}{x \le y \text{ et } z \le t \implies x + z \le y + t}$.
Multiplication par un positif : $\textcolor{colorprop}{x \le y \text{ et } \lambda \ge 0 \implies \lambda x \le \lambda y}$.
Multiplication par un négatif : $\textcolor{colorprop}{x \le y \text{ et } \lambda \le 0 \implies \lambda x \ge \lambda y}$ (renversement).
Inversion (même signe) : pour $x, y > 0$, $\textcolor{colorprop}{x \le y \implies 1/x \ge 1/y}$.
Élévation au carré (positifs) : pour $x, y \ge 0$, $\textcolor{colorprop}{x \le y \iff x^2 \le y^2}$.

Preuve

Chaque propriété est une conséquence directe des axiomes de l'ordre ($a \le b \iff b - a \ge 0$ et $a, b \ge 0 \implies ab \ge 0$).

Addition. Si $x \le y$, alors $(y + z) - (x + z) = y - x \ge 0$, donc $x + z \le y + z$. La version à deux variables s'obtient par enchaînement : $x + z \le y + z \le y + t$.
Multiplication par un positif. Si $x \le y$ et $\lambda \ge 0$, alors $\lambda y - \lambda x = \lambda (y - x)$ est un produit de deux réels positifs ou nuls, donc positif ou nul ; d'où $\lambda x \le \lambda y$.
Multiplication par un négatif. Si $\lambda \le 0$, alors $-\lambda \ge 0$ et le point précédent donne $-\lambda x \le -\lambda y$, c'est-à-dire $\lambda y \le \lambda x$.
Inversion. Pour $x, y > 0$ avec $x \le y$, $1/y - 1/x = (x - y)/(xy)$ a un numérateur $\le 0$ et un dénominateur $> 0$, donc $1/y \le 1/x$.
Élévation au carré. Pour $x, y \ge 0$ : $y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)$. Les deux facteurs ont le même signe que $y - x$ (car $y + x \ge 0$), donc $x \le y \iff x^2 \le y^2$.

Exemple

Montrer que $\dfrac{2}{3} < \dfrac{5}{7}$ par produit en croix.

Correction

Les deux dénominateurs sont positifs, donc multiplier par $21 = 3 \cdot 7 > 0$ préserve l'inégalité : $2/3 < 5/7 \iff 2 \cdot 7 < 5 \cdot 3 \iff 14 < 15$, ce qui est vrai.

Exemple

Résoudre l'inégalité $-2x + 3 \le 7$ dans $\mathbb{R}$.

Correction

$-2x + 3 \le 7 \iff -2x \le 4 \iff x \ge -2$ (division par $-2$ renverse l'inégalité). Solution : $x \in [-2 \,;\, +\infty[$.

Compétences à pratiquer

Résoudre des inéquations par tableau de signes
Démontrer des inégalités par manipulation algébrique

II Intervalles de $\mathbb{R}$

Les intervalles sont les parties connexes de $\mathbb{R}$. Ils apparaissent dans tous les énoncés d'analyse --- domaine naturel de la continuité, image d'une fonction continue sur un segment, ensemble des solutions d'une inégalité. On fixe la notation ici.

Définition — Intervalles bornés

Pour $a, b \in \mathbb{R}$ avec $a \le b$ :

$\textcolor{colordef}{[a \,;\, b]} = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b\}$ (intervalle fermé, les deux bornes incluses) ;
$\textcolor{colordef}{[a \,;\, b[} = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x < b\}$ ;
$\textcolor{colordef}{]a \,;\, b]} = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x \le b\}$ ;
$\textcolor{colordef}{]a \,;\, b[} = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$ (intervalle ouvert).

Un segment de $\mathbb{R}$ est un intervalle fermé borné $[a \,;\, b]$ avec $a \le b$.

Exemple

Les quatre intervalles bornés allant de $0$ à $1$ sont : $[0 \,;\, 1]$ (segment fermé, deux bornes incluses), $]0 \,;\, 1[$ (intervalle ouvert, deux bornes exclues), $]0 \,;\, 1]$ (exclut $0$, inclut $1$), $[0 \,;\, 1[$ (inclut $0$, exclut $1$). Ils ont la même longueur $1$ mais diffèrent par les bornes qui leur appartiennent.

Définition — Intervalles non bornés

Pour $a \in \mathbb{R}$ :

$\textcolor{colordef}{[a \,;\, +\infty[} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge a\}$, $\textcolor{colordef}{]a \,;\, +\infty[} = \{x \in \mathbb{R} \mid x > a\}$ ;
$\textcolor{colordef}{]-\infty \,;\, a]} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le a\}$, $\textcolor{colordef}{]-\infty \,;\, a[} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < a\}$ ;
$\textcolor{colordef}{]-\infty \,;\, +\infty[} = \mathbb{R}$.

Les symboles $-\infty$ et $+\infty$ ne sont pas des réels ; le crochet face à eux est toujours ouvert.

Exemple

Trois intervalles non bornés : $[0 \,;\, +\infty[$ est l'ensemble des réels positifs ou nuls ; $]-\infty \,;\, 1[$ est l'ensemble des réels strictement inférieurs à $1$ ; $]-\infty \,;\, +\infty[ = \mathbb{R}$ est $\mathbb{R}$ tout entier. Les crochets face à $\pm\infty$ sont toujours ouverts car $\pm\infty \notin \mathbb{R}$.

Compétences à pratiquer

Décider si une partie est un intervalle
Déterminer intersections et réunions d'intervalles

III Valeur absolue et distance

La valeur absolue $|x|$ est la distance de $x$ à $0$ sur la droite réelle. Elle oublie le signe et produit un réel positif ou nul. Sa propriété multiplicative et l'inégalité triangulaire sont les deux faits que vous utiliserez le plus.

Définition — Valeur absolue

Pour $x \in \mathbb{R}$, la valeur absolue de $x$ est $$ \textcolor{colordef}{|x|} = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0, \\ -x & \text{si } x < 0. \end{cases} $$ De manière équivalente, $|x| = \max(x, -x) = \sqrt{x^2}$.

Exemple

$|{-3}| = 3$ et $|2| = 2$. La valeur absolue est la distance à $0$ sur la droite réelle.

Exemple

Calculs rapides : $|3| = 3$, $|{-5}| = 5$, $|0| = 0$, et $|3 - 7| = |{-4}| = 4$. En particulier, $|3 - 7| = |7 - 3|$ : la valeur absolue d'une différence ne dépend pas de l'ordre des termes.

Proposition — Propriétés de $|\cdot|$

Pour tous $x, y \in \mathbb{R}$ :

$\textcolor{colorprop}{|x| \ge 0}$ et $\textcolor{colorprop}{|x| = 0 \iff x = 0}$.
$\textcolor{colorprop}{|{-x}| = |x|}$.
$\textcolor{colorprop}{|xy| = |x|\cdot|y|}$.
$\textcolor{colorprop}{|x+y| \le |x| + |y|}$ (inégalité triangulaire).
$\textcolor{colorprop}{\big||x| - |y|\big| \le |x - y|}$ (inégalité triangulaire renversée).
Pour $r \ge 0$ : $\textcolor{colorprop}{|x| \le r \iff -r \le x \le r}$.

Preuve

Positivité. Par la définition par cas, $|x| \in \{x, -x\}$, et dans chaque cas la branche choisie est $\ge 0$. Si $|x| = 0$, alors $x = 0$ (si $x > 0$, $|x| = x > 0$ ; si $x < 0$, $|x| = -x > 0$).
Symétrie $|{-x}| = |x|$. Si $x \ge 0$, $-x \le 0$ donc $|{-x}| = -(-x) = x = |x|$. Si $x < 0$, $-x > 0$ donc $|{-x}| = -x = |x|$.
Multiplicativité. Comme $|x| = \sqrt{x^2}$, $|xy| = \sqrt{(xy)^2} = \sqrt{x^2} \sqrt{y^2} = |x| \, |y|$.
Inégalité triangulaire. Les deux membres sont positifs ou nuls, il suffit donc de comparer leurs carrés : $(|x| + |y|)^2 - (x + y)^2 = x^2 + 2 |x| |y| + y^2 - x^2 - 2xy - y^2 = 2(|xy| - xy) \ge 0$, car $|xy| \ge xy$.
Inégalité triangulaire renversée. En écrivant $x = (x - y) + y$ et en appliquant l'inégalité triangulaire, $|x| \le |x - y| + |y|$, donc $|x| - |y| \le |x - y|$. Par symétrie, $|y| - |x| \le |x - y|$, d'où $\big||x| - |y|\big| \le |x - y|$.
Forme à crochets. Si $|x| \le r$, alors $x \le |x| \le r$ et $-x \le |x| \le r$, donc $-r \le x \le r$. Réciproquement, si $-r \le x \le r$, alors $x \le r$ et $-x \le r$, donc $|x| = \max(x, -x) \le r$.

Proposition — Distance sur la droite réelle

Pour $x, y \in \mathbb{R}$, la distance entre $x$ et $y$ est $\textcolor{colordef}{|x - y|}$. En particulier, pour $a \in \mathbb{R}$ et $r \ge 0$ : $$ \textcolor{colorprop}{|x - a| \le r \iff a - r \le x \le a + r \iff x \in [a - r \,;\, a + r]}. $$

Preuve

Les trois propriétés caractéristiques d'une distance résultent des propriétés de $|\cdot|$ :

Positivité. $|x - y| \ge 0$, avec égalité ssi $x - y = 0$, c'est-à-dire $x = y$.
Symétrie. $|y - x| = |{-(x - y)}| = |x - y|$ (propriété de symétrie de $|\cdot|$).
Inégalité triangulaire. $|x - z| = |(x - y) + (y - z)| \le |x - y| + |y - z|$.

Pour la forme à crochets : $|x - a| \le r \iff -r \le x - a \le r \iff a - r \le x \le a + r$, en appliquant la forme à crochets de $|\cdot|$ à $x - a$.

Exemple

La distance entre $2$ et $5$ est $d(2, 5) = |2 - 5| = 3$. La distance entre $-1$ et $4$ est $d(-1, 4) = |{-1} - 4| = |{-5}| = 5$. Comme attendu, échanger les arguments laisse le résultat inchangé : $d(5, 2) = |5 - 2| = 3$.

Exemple

Résoudre $|2x - 3| \le 5$ dans $\mathbb{R}$.

Correction

$|2x - 3| \le 5 \iff -5 \le 2x - 3 \le 5 \iff -2 \le 2x \le 8 \iff -1 \le x \le 4$. Solution : $x \in [-1 \,;\, 4]$.

Compétences à pratiquer

Résoudre des équations et inéquations avec $|\cdot|$
Utiliser l'inégalité triangulaire

IV Partie entière et propriété archimédienne

La partie entière $\lfloor x \rfloor$ associe à un réel le plus grand entier inférieur ou égal à ce réel. (Ce n'est pas l'entier le plus proche : $\lfloor -2{,}3 \rfloor = -3$, pas $-2$.) C'est le pont entre $\mathbb{R}$ et $\mathbb{Z}$ utilisé partout en arithmétique, en analyse numérique et dans la définition de la partie fractionnaire.

Proposition — Propriété archimédienne de $\mathbb{R}$

\textcolor{colorprop}{Pour tout $x \in \mathbb{R}$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que $N > x$.}
De manière équivalente : $\mathbb{N}$ n'est pas majoré dans $\mathbb{R}$. (Admis ; c'est cette propriété qui assure l'existence de la partie entière de tout réel.)

Définition — Partie entière

Pour $x \in \mathbb{R}$, la partie entière de $x$, notée $\textcolor{colordef}{\lfloor x \rfloor}$, est l'unique entier $n \in \mathbb{Z}$ tel que $$ n \le x < n+1. $$ L'existence d'un tel $n$ repose sur la propriété archimédienne de $\mathbb{R}$ (admise : pour tout $x \in \mathbb{R}$, il existe $N \in \mathbb{N}$ avec $N > x$). La partie fractionnaire de $x$ est $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor \in [0 \,;\, 1[$.

Exemple

$\lfloor 3{,}7 \rfloor = 3$, $\lfloor 5 \rfloor = 5$.
$\lfloor -2{,}3 \rfloor = -3$ (arrondi vers $-\infty$).
$\lfloor \pi \rfloor = 3$, $\lfloor -\pi \rfloor = -4$.

Proposition — Propriétés de $\lfloor \cdot \rfloor$

Pour $x \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{Z}$ :

$\textcolor{colorprop}{\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1}$ et $\textcolor{colorprop}{x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x}$.
$\textcolor{colorprop}{\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n}$ (translation par un entier).
$\textcolor{colorprop}{\lfloor x \rfloor = n \iff n \le x < n+1}$.

Preuve

Encadrement. Par Définition, $\lfloor x \rfloor$ est l'unique entier vérifiant $\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1$. En retranchant $1$ aux deux membres de l'inégalité de droite, on obtient $x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x$.
Translation par un entier. Soit $n \in \mathbb{Z}$. En ajoutant $n$ à l'encadrement $\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1$, on obtient $\lfloor x \rfloor + n \le x + n < \lfloor x \rfloor + n + 1$. Comme $\lfloor x \rfloor + n \in \mathbb{Z}$, par unicité dans la Définition de la partie entière, $\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n$.
Caractérisation $\lfloor x \rfloor = n$. ($\Rightarrow$) Par l'encadrement avec $\lfloor x \rfloor = n$. ($\Leftarrow$) Si $n \le x < n + 1$ avec $n \in \mathbb{Z}$, alors $n$ vérifie la propriété définissant $\lfloor x \rfloor$ ; par unicité, $\lfloor x \rfloor = n$.

Compétences à pratiquer

Résoudre des équations avec $\lfloor \cdot \rfloor$
Démontrer des identités avec $\lfloor \cdot \rfloor$

V Parties bornées de $\mathbb{R}$

Une partie de $\mathbb{R}$ est majorée s'il existe un réel qui majore tous ses éléments, minorée s'il existe un réel qui les minore tous, et bornée si elle est à la fois majorée et minorée. Le plus petit majorant est la borne supérieure ; le plus grand minorant est la borne inférieure. La propriété fondamentale de $\mathbb{R}$ --- que l'on admet --- est que toute partie non vide majorée admet une borne supérieure.

Définition — Majorée$\virgule$ minorée$\virgule$ bornée

Soit $A \subset \mathbb{R}$, $A \ne \emptyset$.

$A$ est majorée si $\exists M \in \mathbb{R}, \forall x \in A, x \le M$. Un tel $M$ est un majorant.
$A$ est minorée si $\exists m \in \mathbb{R}, \forall x \in A, x \ge m$. Un tel $m$ est un minorant.
$A$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Exemple

L'ensemble $A = ]0 \,;\, 1]$ est borné : $0$ est un minorant ($\forall x \in A, x > 0$) et $1$ est un majorant ($\forall x \in A, x \le 1$). Noter que $1 \in A$ mais $0 \notin A$. À l'inverse, $\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$ est minoré (par $0$) mais non majoré (propriété archimédienne), donc non borné.

Compétences à pratiquer

Calculer $\sup$$\virgule$ $\inf$$\virgule$ $\max$$\virgule$ $\min$
Démontrer des propriétés sur $\sup$ et $\inf$

VI Borne supérieure et borne inférieure

Parmi les majorants d'une partie non vide et majorée, il en existe toujours un plus petit --- la borne supérieure. C'est l'axiome de complétude de $\mathbb{R}$, la propriété qui distingue $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$ (dans $\mathbb{Q}$, l'ensemble $\{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2\}$ n'a pas de $\sup$ ; dans $\mathbb{R}$, il a $\sqrt{2}$).

Définition — Borne supérieure$\virgule$ borne inférieure$\virgule$ maximum$\virgule$ minimum

Pour $A \subset \mathbb{R}$ non vide et majorée :

La borne supérieure (plus petit majorant) de $A$, notée $\textcolor{colordef}{\sup A}$, est le plus petit des majorants : c'est un majorant, et pour tout majorant $M$ de $A$, $\sup A \le M$.
Si $\sup A \in A$, c'est le maximum, noté $\textcolor{colordef}{\max A}$.

De même, pour $A$ minorée : $\textcolor{colordef}{\inf A}$ (plus grand minorant), $\textcolor{colordef}{\min A}$ si $\inf A \in A$.

Exemple

Soit $A = \{1 - 1/n : n \in \mathbb{N}^*\} = \{0, 1/2, 2/3, 3/4, \ldots\}$. Alors $\inf A = 0 = \min A$ (atteint en $n = 1$) et $\sup A = 1$, mais $1 \notin A$, donc $A$ n'a pas de maximum. Symétriquement, $B = \{1/n : n \in \mathbb{N}^*\}$ vérifie $\sup B = 1 = \max B$ (atteint en $n = 1$) et $\inf B = 0$, mais $0 \notin B$, donc $B$ n'a pas de minimum.

Theorem — Existence de $\sup$ et $\inf$ dans $\mathbb{R}$

\textcolor{colorprop}{Toute partie non vide majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure dans $\mathbb{R}$. Toute partie non vide minorée admet une borne inférieure dans $\mathbb{R}$.}
(Admis ; c'est une propriété définitoire de $\mathbb{R}$, l'axiome de complétude.)

Compétences à pratiquer

Déterminer sup et inf d'un ensemble fini ou d'un intervalle
Démontrer des propriétés de sup et inf

VII Caractérisations $\varepsilon$ de $\sup$ et $\inf$

Le théorème d'existence affirme qu'un réel joue le rôle de $\sup A$, mais ne dit pas comment le reconnaître. La proposition suivante donne la caractérisation $\varepsilon$ pratique, cheval de bataille de toutes les preuves de limites, continuité, suites de ce cours : $s = \sup A$ ssi $s$ majore $A$ et tout réel strictement plus petit que $s$ ne majore plus $A$.

Proposition — Caractérisation de $\sup$ (forme $\varepsilon$)

Soit $A \subset \mathbb{R}$ non vide et majorée, et soit $s \in \mathbb{R}$. Alors $s = \sup A$ si et seulement si :

$s$ majore $A$ : $\forall x \in A, x \le s$ ;
$s$ est approché d'aussi près que l'on veut depuis $A$ : $\forall \varepsilon > 0, \exists x \in A, \, s - \varepsilon < x \le s$.

Symétriquement, pour $A$ non vide et minorée : $i = \inf A$ ssi $i$ minore $A$ et $\forall \varepsilon > 0, \exists x \in A, \, i \le x < i + \varepsilon$.

Preuve

On montre l'équivalence pour $\sup$ ; le cas de $\inf$ est symétrique.
($\Rightarrow$) Supposons $s = \sup A$. Par Définition, $s$ majore $A$, donc (i) est vérifié. Pour (ii), fixons $\varepsilon > 0$. Le réel $s - \varepsilon < s$, donc $s - \varepsilon$ n'est pas un majorant de $A$ (sinon $s$ ne serait pas le plus petit majorant). Il existe donc $x \in A$ avec $x > s - \varepsilon$ ; combiné à $x \le s$ (puisque $s$ majore $A$), on obtient $s - \varepsilon < x \le s$.
($\Leftarrow$) Supposons (i) et (ii). Pour montrer $s = \sup A$, on vérifie que $s$ est le plus petit majorant. Soit $M$ un majorant de $A$. Supposons par l'absurde que $M < s$, et posons $\varepsilon = s - M > 0$. Par (ii), il existe $x \in A$ avec $x > s - \varepsilon = M$, ce qui contredit le fait que $M$ majore $A$. Donc $M \ge s$, et $s$ est le plus petit majorant, c'est-à-dire $s = \sup A$.

Exemple

On applique la caractérisation $\varepsilon$ pour confirmer que $\sup\{1 - 1/n : n \in \mathbb{N}^*\} = 1$.

$1$ majore : $1 - 1/n < 1$ pour tout $n \ge 1$.
Étant donné $\varepsilon > 0$, par la propriété archimédienne, on choisit $n \in \mathbb{N}^*$ avec $n > 1/\varepsilon$, c'est-à-dire $1/n < \varepsilon$ ; alors $1 - 1/n > 1 - \varepsilon$.

Donc $1 = \sup$.

Exemple

Déterminer $\sup, \inf, \max, \min$ de $A = [0 \,;\, 1[$.

Correction

$\inf A = 0 = \min A$ ($0 \in A$). $\sup A = 1$, mais $1 \notin A$, donc $A$ n'a pas de maximum.

Compétences à pratiquer

Appliquer la caractérisation par $\varepsilon$