Calcul matriciel

Missions

A) L'espace \(M_{n\virgule p}(\mathbb{K})\)
1) Calculer une combinaison linéaire	Ex 1 Ex 2 Ex 3
2) Décomposer sur les matrices élémentaires	Ex 4 Ex 5 Ex 6 Ex 7
B) Produit matriciel
3) Calculer un produit matriciel	Ex 8 Ex 9 Ex 10 Ex 11
4) Identifier la non-commutativité et les diviseurs de zéro	Ex 12 Ex 13 Ex 14 Ex 15
5) Calculer des puissances de matrice	Ex 16 Ex 17 Ex 18
C) Transposée\(\virgule\) matrices symétriques et antisymétriques
6) Manipuler la transposée	Ex 19 Ex 20 Ex 21
7) Travailler avec des matrices symétriques et antisymétriques	Ex 22 Ex 23 Ex 24
D) Matrices diagonales et triangulaires
8) Calculer des produits de matrices diagonales et triangulaires	Ex 25 Ex 26 Ex 27 Ex 28
E) Trace
9) Utiliser la trace	Ex 29 Ex 30 Ex 31
F) Matrices inversibles
10) Inverser une matrice \(2 \times 2\)	Ex 32 Ex 33 Ex 34
11) Utiliser \((A B)^{-1}\) et \((A^\top)^{-1}\)	Ex 35 Ex 36 Ex 37
G) Opérations élémentaires et calcul de l'inverse
12) Écrire la matrice d'une opération élémentaire sur les lignes	Ex 38 Ex 39 Ex 40
13) Inverser une matrice par opérations sur les lignes	Ex 41 Ex 42 Ex 43 Ex 44 Ex 45
14) Inverser une matrice triangulaire	Ex 46 Ex 47 Ex 48

Cours
Chapitre

Exercices Correction

Conventions

Dans toute cette feuille d'exercices, sauf mention contraire, \(\mathbb{K}\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\) et \(n, p, q\) sont des entiers strictement positifs. La notation \(M_{n, p}(\mathbb{K})\) désigne l'ensemble des matrices \(n \times p\) à coefficients dans \(\mathbb{K}\) ; \(M_n(\mathbb{K})\) le cas carré. \(I_n\) est la matrice identité de taille \(n\), \(E_{ij}\) la matrice élémentaire avec un unique \(1\) en position \((i, j)\), \(\mathrm{tr}\) la trace, \(A^\top\) la transposée, \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\) le groupe des matrices inversibles. Les trois opérations élémentaires sur les lignes sont notées \(L_i \leftrightarrow L_j\) (échange), \(L_i \leftarrow \lambda L_i\) (dilatation, \(\lambda \ne 0\)), \(L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j\) (transvection, \(i \ne j\)) ; même notation pour les colonnes avec \(C\) au lieu de \(L\).

A) L'espace \(M_{n\virgule p}(\mathbb{K})\)
    1) Calculer une combinaison linéaire Ex 1 Ex 2 Ex 3
    2) Décomposer sur les matrices élémentaires Ex 4 Ex 5 Ex 6 Ex 7
B) Produit matriciel
    3) Calculer un produit matriciel Ex 8 Ex 9 Ex 10 Ex 11
    4) Identifier la non-commutativité et les diviseurs de zéro Ex 12 Ex 13 Ex 14 Ex 15
    5) Calculer des puissances de matrice Ex 16 Ex 17 Ex 18
C) Transposée\(\virgule\) matrices symétriques et antisymétriques
    6) Manipuler la transposée Ex 19 Ex 20 Ex 21
    7) Travailler avec des matrices symétriques et antisymétriques Ex 22 Ex 23 Ex 24
D) Matrices diagonales et triangulaires
    8) Calculer des produits de matrices diagonales et triangulaires Ex 25 Ex 26 Ex 27 Ex 28
E) Trace
    9) Utiliser la trace Ex 29 Ex 30 Ex 31
F) Matrices inversibles
    10) Inverser une matrice \(2 \times 2\) Ex 32 Ex 33 Ex 34
    11) Utiliser \((A B)^{-1}\) et \((A^\top)^{-1}\) Ex 35 Ex 36 Ex 37
G) Opérations élémentaires et calcul de l'inverse
    12) Écrire la matrice d'une opération élémentaire sur les lignes Ex 38 Ex 39 Ex 40
    13) Inverser une matrice par opérations sur les lignes Ex 41 Ex 42 Ex 43 Ex 44 Ex 45
    14) Inverser une matrice triangulaire Ex 46 Ex 47 Ex 48

← Structures algébriques usuelles Systèmes linéaires →