CommeUnJeu · L1 MPSI
Applications
Une application est l'outil le plus fondamental des mathématiques : une règle qui, à tout élément d'un ensemble de départ \(E\), associe un et un seul élément d'un ensemble d'arrivée \(F\). La fonction \(x \mapsto x^2\), qui à chaque réel associe son carré, est une application ; l'inclusion \(\mathbb{N} \hookrightarrow \mathbb{Z}\) qui voit chaque entier naturel comme un entier relatif est une application ; même l'opération qui à toute partie finie non vide de \(\mathbb{R}\) associe son plus petit élément est une application (définie sur l'ensemble des parties finies non vides).
Ce chapitre développe le langage et le calcul des applications. Trois fils s'y entrelacent. Le premier est le langage lui-même : définition d'une application, son graphe, l'égalité, les familles, la restriction et le prolongement, la fonction indicatrice. Le second est l'action ensembliste d'une application : image directe \(f(A)\), image réciproque \(f^{-1}(B)\), et l'asymétrie entre les deux vis-à-vis de la réunion et de l'intersection. Le troisième est la typologie structurelle : injection, surjection, bijection --- et la notion d'application réciproque pour les bijections, avec la formule \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\) en son c\oe{}ur.
La composition est le tissu conjonctif entre les fils deux et trois : elle propage les propriétés structurelles le long des chaînes, et la réciproque d'une bijection est caractérisée par les deux compositions \(f^{-1} \circ f = \operatorname{Id}_E\) et \(f \circ f^{-1} = \operatorname{Id}_F\). Les relations binaires sur un ensemble --- équivalences, ordres, congruences --- font l'objet d'un chapitre séparé, voir Relations.
Ce chapitre développe le langage et le calcul des applications. Trois fils s'y entrelacent. Le premier est le langage lui-même : définition d'une application, son graphe, l'égalité, les familles, la restriction et le prolongement, la fonction indicatrice. Le second est l'action ensembliste d'une application : image directe \(f(A)\), image réciproque \(f^{-1}(B)\), et l'asymétrie entre les deux vis-à-vis de la réunion et de l'intersection. Le troisième est la typologie structurelle : injection, surjection, bijection --- et la notion d'application réciproque pour les bijections, avec la formule \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\) en son c\oe{}ur.
La composition est le tissu conjonctif entre les fils deux et trois : elle propage les propriétés structurelles le long des chaînes, et la réciproque d'une bijection est caractérisée par les deux compositions \(f^{-1} \circ f = \operatorname{Id}_E\) et \(f \circ f^{-1} = \operatorname{Id}_F\). Les relations binaires sur un ensemble --- équivalences, ordres, congruences --- font l'objet d'un chapitre séparé, voir Relations.
I
Applications
On commence par poser le langage de base des applications : ce qu'est une application, comment sa règle est encodée par son graphe, à quelle condition deux applications sont égales. Trois constructions dérivées ferment la section : les familles (une famille d'éléments n'est qu'une application indexée par un ensemble), la restriction et le prolongement (réduire ou agrandir l'ensemble de départ), et la fonction indicatrice d'une partie (l'application la plus utile en combinatoire).
I.1
Application\(\virgule\) graphe\(\virgule\) égalité
Définition — Application
Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles. Une application (ou fonction) de \(E\) dans \(F\) est une règle qui, à chaque élément \(x \in E\), associe un et un seul élément de \(F\), noté \(f(x)\) et appelé image de \(x\) par \(f\). On écrit \(f : E \to F\), ou $$ f : E \to F, \quad x \mapsto f(x). $$ - \(E\) est l'ensemble de départ (ou ensemble de définition) de \(f\).
- \(F\) est l'ensemble d'arrivée de \(f\).
- Pour \(y = f(x)\), l'élément \(x\) est appelé un antécédent de \(y\).
- L'ensemble \(f(E) = \{ f(x) \ \mid \ x \in E\}\) est l'image de \(f\), partie de \(F\).
Exemple
Une application se visualise par un diagramme sagittal : chaque élément de \(E\) est dessiné à gauche, chaque élément de \(F\) à droite, et une flèche relie \(x\) à \(f(x)\). Pour \(E = \{a, b, c\}\) et \(F = \{A, B, C, D\}\), l'application \(f\) définie par \(f(a) = A\), \(f(b) = B\), \(f(c) = D\) est représentée ci-dessous. 
Définition — Graphe d'une application
Le graphe d'une application \(f : E \to F\) est la partie de \(E \times F\) $$ \Gamma_f = \{ (x, f(x)) \ \mid \ x \in E \} \subset E \times F. $$ Le graphe encode la règle : \((x, y) \in \Gamma_f \iff y = f(x)\). Réciproquement, une partie \(\Gamma \subset E \times F\) est le graphe d'une application si et seulement si pour tout \(x \in E\) il existe exactement un \(y \in F\) tel que \((x, y) \in \Gamma\). Exemple
Le graphe d'une fonction réelle \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) est la courbe \(\Gamma_f = \{ (x, f(x)) \mid x \in \mathbb{R} \}\) dans le plan \(\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}\). La propriété définissante « exactement un \(y\) pour chaque \(x\) » se traduit par un critère géométrique : toute droite verticale rencontre \(\Gamma_f\) en exactement un point. 
Définition — Égalité d'applications
Deux applications \(f : E \to F\) et \(g : E' \to F'\) sont égales si et seulement si : - leurs ensembles de départ coïncident : \(E = E'\) ;
- leurs ensembles d'arrivée coïncident : \(F = F'\) ;
- pour tout \(x \in E\), \(f(x) = g(x)\).
Définition — Ensemble des applications
L'ensemble des applications de \(E\) dans \(F\) est noté $$ \mathcal{F}(E, F) \quad \text{ou} \quad F^E. $$ La notation \(F^E\) est cohérente avec les cardinaux : pour \(E\) et \(F\) finis, \(|\mathcal{F}(E, F)| = |F|^{|E|}\) (chacune des \(|E|\) entrées est envoyée indépendamment sur l'une des \(|F|\) sorties). Exemple
- \(\mathcal{F}(\{1, 2\}, \{a, b\})\) a \(2^2 = 4\) éléments : les quatre applications qui envoient \(1\) sur \(a\) ou \(b\), et \(2\) sur \(a\) ou \(b\).
- L'identité de \(E\), notée \(\operatorname{Id}_E\), est l'application \(E \to E, \ x \mapsto x\). Elle existe pour tout ensemble \(E\) et est un élément de \(\mathcal{F}(E, E) = E^E\).
- Une suite réelle \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) n'est rien d'autre qu'un élément de \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\), soit une application de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{R}\).
Compétences à pratiquer
- Tester la propriété « un et un seul élément par antécédent »
- Énoncer les trois ensembles \(E\)\(\virgule\) \(F\)\(\virgule\) \(f(E)\)
- Appliquer la règle à trois conditions
I.2
Famille d'éléments\(\virgule\) restriction\(\virgule\) prolongement
Définition — Famille d'éléments
Soient \(E\) un ensemble et \(I\) un autre ensemble, appelé ensemble d'indexation. Une famille d'éléments de \(E\) indexée par \(I\) est simplement une application \(I \to E\), mais notée avec la notation indexée $$ (x_i)_{i \in I} \quad \text{au lieu de} \quad i \mapsto x_i. $$ L'ensemble des familles est \(E^I = \mathcal{F}(I, E)\). Lorsque \(I\) est fini, par exemple \(I = \{1, 2, \dots, n\}\), la famille est aussi appelée \(n\)-uplet et notée \((x_1, x_2, \dots, x_n)\). Le cas \(I = \mathbb{N}\) donne les suites. Exemple
- Pour \(I = \{1, 2, 3\}\) et \(E = \mathbb{R}\), la famille \((x_i)_{i \in I} = (\sqrt{2}, \pi, e)\) n'est autre que le triplet \((x_1, x_2, x_3) = (\sqrt{2}, \pi, e) \in \mathbb{R}^3\).
- La suite de Fibonacci \((F_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par \(F_0 = 0\), \(F_1 = 1\), \(F_{n+2} = F_{n+1} + F_n\) est une famille à valeurs dans \(\mathbb{N}\) indexée par \(\mathbb{N}\).
- Pour \(a \in \mathbb{R}\), la famille \((f_a)_{a \in \mathbb{R}}\) où \(f_a : x \mapsto |x - a|\) est une famille de fonctions, indexée par le paramètre \(a\).
Définition — Restriction et prolongement
Soit \(f : E \to F\) une application. - Pour \(A \subset E\), la restriction de \(f\) à \(A\) est l'application \(f|_A : A \to F\) définie par \(f|_A(x) = f(x)\) pour tout \(x \in A\). La restriction réduit l'ensemble de départ.
- Réciproquement, un prolongement de \(f\) à un sur-ensemble \(E_1 \supset E\) est toute application \(g : E_1 \to F\) telle que \(g(x) = f(x)\) pour tout \(x \in E\). Le prolongement agrandit l'ensemble de départ. Un prolongement existe dès que \(F \ne \emptyset\) (on attribue à chaque nouveau point une valeur quelconque de \(F\)) ; une application admet plusieurs prolongements précisément lorsque l'ensemble de départ agrandi est strictement plus grand (\(E_1 \supsetneq E\)) et que l'ensemble d'arrivée possède au moins deux éléments (\(|F| \ge 2\)), car les points de \(E_1 \setminus E\) peuvent alors être envoyés sur des images différentes. En revanche, la restriction à une partie \(A\) donnée est toujours unique.
Exemple
La fonction carré \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+, \ x \mapsto x^2\) admet la restriction \(f|_{\mathbb{R}_+} : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+, \ x \mapsto x^2\). La restriction est croissante sur son domaine, ce qui n'est pas le cas de \(f\). Inversement, l'application \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+, \ x \mapsto x^2\) est un prolongement de \(f|_{\mathbb{R}_+}\) : elle a le même ensemble d'arrivée \(\mathbb{R}_+\) et vérifie \(g|_{\mathbb{R}_+} = f|_{\mathbb{R}_+}\). Le prolongement n'est pas unique : toute application \(h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+\) qui coïncide avec \(x \mapsto x^2\) sur \(\mathbb{R}_+\) --- par exemple \(h(x) = x^2\) pour \(x \ge 0\) et \(h(x) = 0\) pour \(x < 0\) --- est aussi un prolongement de \(f|_{\mathbb{R}_+}\). Compétences à pratiquer
- Calculer des restrictions
I.3
Fonction indicatrice
Définition — Fonction indicatrice
Soient \(E\) un ensemble et \(A \subset E\). La fonction indicatrice de \(A\) (ou fonction caractéristique) est l'application \(\mathbf{1}_A : E \to \{0, 1\}\) définie par $$ \mathbf{1}_A(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \in A, \\
0 & \text{si } x \notin A. \end{cases} $$ Connaître \(A\) et connaître \(\mathbf{1}_A\), c'est la même chose : la partie \(A\) se retrouve par \(A = \{x \in E \ \mid \ \mathbf{1}_A(x) = 1\}\). L'application \(A \mapsto \mathbf{1}_A\) est une correspondance un-à-un entre \(\mathcal{P}(E)\) et \(\{0, 1\}^E\). Exemple
Sur la droite réelle, le graphe d'une fonction indicatrice est une fonction en escalier : elle saute à \(1\) au-dessus de \(A\), et vaut \(0\) partout ailleurs. Pour \(E = \mathbb{R}\) et \(A = [1, 2] \cup [3, 4]\) : 
Proposition — Indicatrice et opérations ensemblistes
Pour \(A, B \subset E\) et tout \(x \in E\) : - Inclusion. \(A \subset B \iff \mathbf{1}_A \le \mathbf{1}_B\).
- Égalité. \(A = B \iff \mathbf{1}_A = \mathbf{1}_B\).
- Intersection. \(\mathbf{1}_{A \cap B} = \mathbf{1}_A \cdot \mathbf{1}_B\).
- Réunion. \(\mathbf{1}_{A \cup B} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \cdot \mathbf{1}_B\).
- Complémentaire. \(\mathbf{1}_{\complement_E A} = 1 - \mathbf{1}_A\).
Pour chaque identité, on vérifie point par point : la valeur des deux côtés en \(x \in E\) ne dépend que de l'appartenance de \(x\) à \(A\) et à \(B\), soit quatre cas.
- Intersection. \(\mathbf{1}_{A \cap B}(x) = 1\) ssi \(x \in A \cap B\) ssi (\(x \in A\) et \(x \in B\)) ssi \(\mathbf{1}_A(x) = 1\) et \(\mathbf{1}_B(x) = 1\) ssi \(\mathbf{1}_A(x) \cdot \mathbf{1}_B(x) = 1\). Sinon les deux côtés valent \(0\).
- Complémentaire. \(\mathbf{1}_{\complement A}(x) = 1\) ssi \(x \notin A\) ssi \(\mathbf{1}_A(x) = 0\) ssi \(1 - \mathbf{1}_A(x) = 1\).
- Réunion. On applique De Morgan : \(A \cup B = \complement(\complement A \cap \complement B)\). Donc \(\mathbf{1}_{A \cup B} = 1 - \mathbf{1}_{\complement A} \cdot \mathbf{1}_{\complement B} = 1 - (1 - \mathbf{1}_A)(1 - \mathbf{1}_B) = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \mathbf{1}_B\).
- Inclusion. \(A \subset B \iff (\forall x, x \in A \Rightarrow x \in B) \iff (\forall x, \mathbf{1}_A(x) = 1 \Rightarrow \mathbf{1}_B(x) = 1) \iff \mathbf{1}_A \le \mathbf{1}_B\) (les deux fonctions ne prenant que les valeurs \(0\) et \(1\)).
- Égalité. Deux fonctions sont égales ssi leurs valeurs coïncident en tout point ; une partie est déterminée par son indicatrice, d'où l'équivalence.
Exemple
Pour \(E\) fini de cardinal \(n\), sommer l'indicatrice \(\mathbf{1}_A\) sur \(E\) donne le cardinal de \(A\) : $$ |A| = \sum_{x \in E} \mathbf{1}_A(x). $$ On convertit ainsi les problèmes de dénombrement en problèmes algébriques. Par exemple, la formule du crible \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\) est la somme de \(\mathbf{1}_{A \cup B} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_{A \cap B}\) sur \(E\). Compétences à pratiquer
- Calculer des indicatrices et leurs produits
II
Image directe\(\virgule\) image réciproque
Une application \(f : E \to F\) agit sur les éléments : \(x \mapsto f(x)\). Mais on peut aussi la faire agir sur les parties, de deux manières complémentaires. L'image directe envoie une partie \(A \subset E\) sur l'ensemble \(f(A)\) des images des éléments de \(A\) ; cela fonctionne « dans le sens de \(f\) ». L'image réciproque envoie une partie \(B \subset F\) sur l'ensemble \(f^{-1}(B)\) des éléments de \(E\) dont l'image tombe dans \(B\) ; cela fonctionne « à contre-sens de \(f\) ».
Les deux constructions sont essentielles, et leurs comportements diffèrent profondément. L'image réciproque commute avec toutes les opérations ensemblistes (réunion, intersection, complémentaire) ; l'image directe ne commute avec la réunion qu'en général. Maîtriser cette asymétrie est l'un des principaux acquis du chapitre.
Les deux constructions sont essentielles, et leurs comportements diffèrent profondément. L'image réciproque commute avec toutes les opérations ensemblistes (réunion, intersection, complémentaire) ; l'image directe ne commute avec la réunion qu'en général. Maîtriser cette asymétrie est l'un des principaux acquis du chapitre.
II.1
Image directe
Définition — Image directe
Soient \(f : E \to F\) une application et \(A \subset E\). L'image directe de \(A\) par \(f\) est la partie de \(F\) $$ f(A) = \{ f(x) \ \mid \ x \in A \} = \{ y \in F \ \mid \ \exists x \in A, \ y = f(x) \}. $$ Pour un singleton \(\{x\}\), \(f(\{x\}) = \{f(x)\}\). L'image \(f(E)\) de l'ensemble de départ entier est aussi appelée ensemble image de \(f\). Exemple
Visuellement, \(f(A)\) s'obtient en projetant sur l'axe d'arrivée la portion du graphe de \(f\) située au-dessus de \(A\). 
- \(f([-2, 2]) = [0, 4]\) (le carré envoie \([-2, 2]\) sur \([0, 4]\)).
- \(f([-1, 2]) = [0, 4]\) (même image --- l'asymétrie de \([-1, 2]\) est masquée par l'élévation au carré).
- \(f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}_+\) (tout réel positif admet au moins une racine carrée).
Proposition — Image directe et opérations
Pour \(f : E \to F\) et \(A, A' \subset E\) : - Monotonie. \(A \subset A' \implies f(A) \subset f(A')\).
- Réunion. \(f(A \cup A') = f(A) \cup f(A')\).
- Intersection. \(f(A \cap A') \subset f(A) \cap f(A')\), l'égalité n'est pas garantie en général.
- Monotonie. Si \(y \in f(A)\), on écrit \(y = f(x)\) avec \(x \in A \subset A'\), donc \(y \in f(A')\).
- Réunion. Les deux côtés décrivent « les images des éléments qui appartiennent à \(A\) ou à \(A'\) ».
- Intersection. Soit \(y \in f(A \cap A')\). On écrit \(y = f(x)\) avec \(x \in A \cap A'\). Alors \(x \in A\) donc \(y \in f(A)\), et \(x \in A'\) donc \(y \in f(A')\), d'où \(y \in f(A) \cap f(A')\).
L'inclusion inverse peut être fausse. Prenons \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^2\), \(A = \{1\}\), \(A' = \{-1\}\). Alors \(A \cap A' = \emptyset\) donc \(f(A \cap A') = \emptyset\), mais \(f(A) \cap f(A') = \{1\} \cap \{1\} = \{1\}\). Le phénomène vient de deux éléments distincts ayant la même image.
Compétences à pratiquer
- Calculer \(f(A)\) pour \(A\) explicite
II.2
Image réciproque
Définition — Image réciproque
Soient \(f : E \to F\) une application et \(B \subset F\). L'image réciproque de \(B\) par \(f\) est la partie de \(E\) $$ f^{-1}(B) = \{ x \in E \ \mid \ f(x) \in B \}. $$ Pour un singleton \(\{y\}\), \(f^{-1}(\{y\})\) est l'ensemble des antécédents de \(y\) --- éventuellement vide (si \(y \notin f(E)\)), réduit à un point, ou contenant plusieurs éléments. Exemple
Visuellement, \(f^{-1}(B)\) s'obtient en projetant sur l'axe de départ la portion du graphe située dans la bande horizontale définie par \(B\). 
- \(f^{-1}(\{4\}) = \{-2, 2\}\) (deux antécédents).
- \(f^{-1}(\{-1\}) = \emptyset\) (aucun réel n'a pour carré \(-1\)).
- \(f^{-1}([0, 4]) = [-2, 2]\), \(f^{-1}([1, 4]) = [-2, -1] \cup [1, 2]\).
Attention sur la notation \(f^{-1}(B)\)
La notation \(f^{-1}(B)\) ne suppose pas la bijectivité de \(f\). Elle est bien définie pour toute application \(f : E \to F\) et toute partie \(B \subset F\). On verra dans la section sur la bijectivité que lorsque \(f\) est bijective, la notation entre en collision avec l'application réciproque \(f^{-1} : F \to E\), mais les deux sens sont compatibles : \(f^{-1}(B)\) au sens d'image réciproque coïncide avec \(f^{-1}(B)\) au sens d'image directe de \(B\) par l'application réciproque.
Compétences à pratiquer
- Calculer \(f^{-1}(B)\) pour \(B\) explicite
II.3
Opérations sur les images réciproques
Proposition — Image réciproque et opérations
Pour \(f : E \to F\) et \(B, B' \subset F\) : - Monotonie. \(B \subset B' \implies f^{-1}(B) \subset f^{-1}(B')\).
- Réunion. \(f^{-1}(B \cup B') = f^{-1}(B) \cup f^{-1}(B')\).
- Intersection. \(f^{-1}(B \cap B') = f^{-1}(B) \cap f^{-1}(B')\).
- Complémentaire. \(f^{-1}(\complement_F B) = \complement_E f^{-1}(B)\).
On démontre le cas de la réunion ; les autres se traitent de la même manière. Pour \(x \in E\) : $$ \begin{aligned} x \in f^{-1}(B \cup B') &\iff f(x) \in B \cup B' \\
&\iff f(x) \in B \text{ ou } f(x) \in B' \\
&\iff x \in f^{-1}(B) \text{ ou } x \in f^{-1}(B') \\
&\iff x \in f^{-1}(B) \cup f^{-1}(B'). \end{aligned} $$ Les cas de l'intersection et du complémentaire sont similaires, en remplaçant « ou » par « et », respectivement « non ».
Compétences à pratiquer
- Démontrer des identités sur les images directes et réciproques
III
Composition\(\virgule\) injection\(\virgule\) surjection\(\virgule\) bijection
Deux propriétés structurelles d'une application \(f : E \to F\) sont indépendantes et également fondamentales :
- la règle est-elle un-à-un (à des \(x\) distincts correspondent des \(f(x)\) distincts) : injection ;
- l'ensemble d'arrivée est-il couvert (tout \(y \in F\) a au moins un antécédent) : surjection.
III.1
Composition
Définition — Composition
Soient \(f : E \to F\) et \(g : F \to G\) deux applications. La composée de \(g\) par \(f\), notée \(g \circ f\), est l'application \(E \to G\) définie par $$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \quad \text{pour tout } x \in E. $$ La composition n'existe que lorsque l'ensemble d'arrivée de \(f\) coïncide avec l'ensemble de départ de \(g\). La notation \(g \circ f\) se lit « \(g\) rond \(f\) ». Exemple
Le diagramme en chaîne ci-dessous illustre la composition : \(f\) envoie \(E\) dans \(F\), puis \(g\) envoie \(F\) dans \(G\) ; \(g \circ f\) fait les deux d'un coup. 
Proposition — Associativité\(\virgule\) identité
Soient \(f : E \to F\), \(g : F \to G\), \(h : G \to H\) trois applications. - Associativité. \(h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f\). Les deux composées sont bien définies et égales comme applications \(E \to H\).
- Neutralité de l'identité. \(f \circ \operatorname{Id}_E = f\) et \(\operatorname{Id}_F \circ f = f\).
Les deux applications \(h \circ (g \circ f)\) et \((h \circ g) \circ f\) ont pour ensemble de départ \(E\) et d'arrivée \(H\). Pour \(x \in E\) : $$ \big(h \circ (g \circ f)\big)(x) = h\big((g \circ f)(x)\big) = h(g(f(x))) = (h \circ g)(f(x)) = \big((h \circ g) \circ f\big)(x). $$ Les identités de neutralité sont immédiates : \((f \circ \operatorname{Id}_E)(x) = f(\operatorname{Id}_E(x)) = f(x)\) pour tout \(x \in E\).
Compétences à pratiquer
- Composer des applications explicites
III.2
Injection\(\virgule\) surjection
Définition — Injection
Une application \(f : E \to F\) est injective (ou est une injection) si elle vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes : - tout \(y \in F\) admet au plus un antécédent par \(f\) ;
- pour tout \(y \in F\), l'équation \(f(x) = y\) a au plus une solution ;
- pour tous \(x_1, x_2 \in E\), \(\ f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2\).
Méthode — Démontrer que \(f\) est injective
Trois approches standard : - Par la définition. Prendre \(x_1, x_2 \in E\) avec \(f(x_1) = f(x_2)\) et en déduire \(x_1 = x_2\) par manipulation algébrique. Méthode la plus souple, fonctionne pour toute \(f\).
- Stricte monotonie. Si \(E \subset \mathbb{R}\) et \(f\) est strictement croissante ou strictement décroissante sur \(E\), alors \(f\) est injective. Méthode la plus efficace pour les fonctions d'une variable réelle.
- Contre-exemple (pour réfuter). Exhiber \(x_1 \ne x_2\) tels que \(f(x_1) = f(x_2)\). Utile quand \(f\) n'est pas injective.
Définition — Surjection
Une application \(f : E \to F\) est surjective (ou est une surjection, ou « va de \(E\) sur \(F\) ») si elle vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes : - tout \(y \in F\) admet au moins un antécédent par \(f\) ;
- pour tout \(y \in F\), l'équation \(f(x) = y\) a au moins une solution ;
- \(f(E) = F\).
Exemple
Les trois comportements se distinguent au mieux sur des diagrammes sagittaux. 
- Injection : chaque flèche atterrit en une cible distincte ; certaines cibles peuvent rester non atteintes (\(D\) ici).
- Surjection : chaque cible est atteinte au moins une fois ; certaines peuvent l'être plusieurs fois (\(A\) ici, par \(1\) et \(2\)).
- Bijection : chaque cible est atteinte une et une seule fois.
- \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ x \mapsto x^2\) n'est ni injective (\((-1)^2 = 1^2\)) ni surjective (\(-1\) n'a pas d'antécédent).
- \(\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+, \ x \mapsto x^2\) est bijective (la réciproque est \(\sqrt{\cdot}\)).
- \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ x \mapsto e^x\) est injective (strictement croissante) mais pas surjective (image \(\mathbb{R}_+^*\)).
Proposition — Composition et propriétés structurelles
Soient \(f : E \to F\) et \(g : F \to G\) deux applications. - Si \(f\) et \(g\) sont injectives, alors \(g \circ f\) est injective.
- Si \(f\) et \(g\) sont surjectives, alors \(g \circ f\) est surjective.
- Si \(f\) et \(g\) sont bijectives, alors \(g \circ f\) est bijective.
- Injectivité. Supposons \(f, g\) injectives. Soient \(x_1, x_2 \in E\) avec \((g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)\), soit \(g(f(x_1)) = g(f(x_2))\). Par injectivité de \(g\), \(f(x_1) = f(x_2)\). Par injectivité de \(f\), \(x_1 = x_2\).
- Surjectivité. Supposons \(f, g\) surjectives. Soit \(z \in G\). Par surjectivité de \(g\), \(z = g(y)\) pour un \(y \in F\). Par surjectivité de \(f\), \(y = f(x)\) pour un \(x \in E\). Donc \(z = g(f(x)) = (g \circ f)(x)\), donc \(z \in (g \circ f)(E)\).
- Bijectivité. Une bijection est une injection-surjection ; on combine les deux cas précédents.
- Réciproque partielle, injectivité. Supposons \(g \circ f\) injective. Si \(f(x_1) = f(x_2)\), alors \(g(f(x_1)) = g(f(x_2))\), soit \((g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)\), donc \(x_1 = x_2\).
- Réciproque partielle, surjectivité. Supposons \(g \circ f\) surjective. Soit \(z \in G\), on écrit \(z = g(f(x))\). Alors \(z = g(y)\) avec \(y = f(x) \in F\), donc \(z \in g(F)\).
Compétences à pratiquer
- Décider de l'injectivité
- Décider de la surjectivité
III.3
Bijection et réciproque
Définition — Bijection
Une application \(f : E \to F\) est bijective (ou est une bijection) si elle est à la fois injective et surjective. De manière équivalente, tout \(y \in F\) admet exactement un antécédent : \(\forall y \in F, \ \exists ! x \in E, \ y = f(x)\). Définition — Application réciproque
Soit \(f : E \to F\) une bijection. L'application réciproque de \(f\), notée \(f^{-1}\), est l'application \(F \to E\) qui, à chaque \(y \in F\), associe l'unique \(x \in E\) tel que \(y = f(x)\). Symboliquement : $$ y = f(x) \iff x = f^{-1}(y). $$ Proposition — Caractérisation de la réciproque
Soit \(f : E \to F\) une application. - Si \(f\) est bijective, alors \(f^{-1} \circ f = \operatorname{Id}_E\) et \(f \circ f^{-1} = \operatorname{Id}_F\).
- Réciproquement, s'il existe une application \(g : F \to E\) telle que \(g \circ f = \operatorname{Id}_E\) et \(f \circ g = \operatorname{Id}_F\), alors \(f\) est bijective et \(f^{-1} = g\).
- Sens direct. Supposons \(f\) bijective. Pour \(x \in E\), \((f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(f(x))\). En posant \(y = f(x)\), l'unique antécédent de \(y\) est \(x\), donc \(f^{-1}(y) = x\). Donc \((f^{-1} \circ f)(x) = x = \operatorname{Id}_E(x)\). Symétriquement, \((f \circ f^{-1})(y) = f(f^{-1}(y))\) : par définition \(f^{-1}(y)\) est l'antécédent de \(y\), donc \(f(f^{-1}(y)) = y\).
- Sens réciproque. Supposons \(g \circ f = \operatorname{Id}_E\) et \(f \circ g = \operatorname{Id}_F\). Alors \(g \circ f\) est bijective (\(\operatorname{Id}_E\) l'est), donc \(f\) est injective (réciproque partielle de la proposition de composition) ; et \(f \circ g\) est bijective, donc \(f\) est surjective. Donc \(f\) est bijective. Enfin, pour \(y \in F\), \(f^{-1}(y)\) est l'unique antécédent de \(y\) ; or \(f(g(y)) = y\) montre que \(g(y)\) en est un, donc \(g(y) = f^{-1}(y)\). D'où \(g = f^{-1}\).
Exemple
Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ x \mapsto 3x + 5\). On résout \(y = 3x + 5 \iff x = (y - 5)/3\). On pose \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ y \mapsto (y - 5)/3\). On vérifie : $$ (g \circ f)(x) = \frac{(3x + 5) - 5}{3} = x, \qquad (f \circ g)(y) = 3 \cdot \frac{y - 5}{3} + 5 = y. $$ Donc \(f\) est bijective et \(f^{-1} = g\). Méthode — Calculer \(f^{-1}\) explicitement
Étant donné un candidat de bijection \(f : E \to F\) : - Résoudre \(y = f(x)\) en \(x\). Pour tout \(y \in F\), trouver l'unique \(x \in E\) tel que \(f(x) = y\). L'expression \(x = g(y)\) obtenue est le candidat pour \(f^{-1}\).
- Vérifier les deux composées. Contrôler \(g \circ f = \operatorname{Id}_E\) et \(f \circ g = \operatorname{Id}_F\). Par la caractérisation de la bijectivité établie plus haut, \(f\) est alors bijective et \(f^{-1} = g\).
- Surveiller les ensembles. Si l'équation \(y = f(x)\) n'a de solution que pour \(y\) dans une partie stricte de \(F\), alors \(f\) n'est pas surjective sur \(F\). Restreindre l'arrivée à \(f(E)\) avant de déclarer \(f\) bijective.
Exemple
Les graphes de \(f\) et \(f^{-1}\) sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\) : l'équivalence \(y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)\) signifie que \((x_0, y_0) \in \Gamma_f\) si et seulement si \((y_0, x_0) \in \Gamma_{f^{-1}}\), et l'échange des coordonnées est exactement la réflexion par rapport à \(y = x\). Pour \(f : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+, \ x \mapsto x^2\), la réciproque est \(f^{-1} : y \mapsto \sqrt{y}\). 
Proposition — Réciproque et composition
- Si \(f : E \to F\) est bijective, alors \(f^{-1}\) est bijective et \((f^{-1})^{-1} = f\).
- Si \(f : E \to F\) et \(g : F \to G\) sont bijectives, alors \(g \circ f\) est bijective et $$ (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}. $$
- Pour la réciproque seule : \(f^{-1} \circ f = \operatorname{Id}_E\) et \(f \circ f^{-1} = \operatorname{Id}_F\) sont vrais par définition. On applique la caractérisation de la bijectivité établie plus haut avec \(g := f\) : \(f^{-1}\) est bijective et sa réciproque est \(f\), c'est-à-dire \((f^{-1})^{-1} = f\).
- Pour la composée : on pose \(h = f^{-1} \circ g^{-1}\) et on vérifie les deux compositions en utilisant l'associativité. $$ \begin{aligned} (g \circ f) \circ h &= g \circ f \circ f^{-1} \circ g^{-1} = g \circ \operatorname{Id}_F \circ g^{-1} = g \circ g^{-1} = \operatorname{Id}_G, \\ h \circ (g \circ f) &= f^{-1} \circ g^{-1} \circ g \circ f = f^{-1} \circ \operatorname{Id}_F \circ f = f^{-1} \circ f = \operatorname{Id}_E. \end{aligned} $$ Par la caractérisation, \(g \circ f\) est bijective de réciproque \(h = f^{-1} \circ g^{-1}\).
Définition — Permutation
Une bijection de \(E\) dans lui-même est appelée permutation de \(E\). L'ensemble des permutations de \(E\) est noté \(\mathfrak{S}(E)\) (ou \(\mathcal{S}_E\)). Lorsque \(E = \{1, 2, \dots, n\}\), la notation standard est \(\mathfrak{S}_n\) et \(|\mathfrak{S}_n| = n!\). Compétences à pratiquer
- Résoudre \(y \equal f(x)\) et vérifier la réciproque
III.4
Compatibilité des notations \(f^{-1}\)
La notation \(f^{-1}(B)\) a maintenant deux sens possibles :
- Image réciproque (définie pour toute \(f\)) : \(f^{-1}(B) = \{ x \in E \mid f(x) \in B\}\).
- Image directe de \(B\) par l'application réciproque (définie uniquement si \(f\) est bijective) : \(f^{-1}(B) = \{ f^{-1}(y) \mid y \in B\}\).
Proposition — Compatibilité
Soient \(f : E \to F\) une bijection et \(B \subset F\). L'image réciproque de \(B\) par \(f\) coïncide avec l'image directe de \(B\) par l'application réciproque \(f^{-1}\).
Pour \(x \in E\) : $$ \begin{aligned} x \in \{u \in E \mid f(u) \in B\} &\iff f(x) \in B \\
&\iff \exists y \in B, \ f(x) = y \\
&\iff \exists y \in B, \ x = f^{-1}(y) \\
&\iff x \in \{f^{-1}(y) \mid y \in B\}. \end{aligned} $$ Les deux ensembles coïncident, donc les notations sont compatibles.
Compétences à pratiquer
- Appliquer les réciproques partielles
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