Systèmes linéaires

Dans toute cette feuille d'exercices, sauf mention contraire, \(\mathbb{K}\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\) et \(n, p\) sont des entiers strictement positifs. Un système linéaire de \(n\) équations à \(p\) inconnues s'écrit \(AX = B\) avec \(A \in M_{n,p}(\mathbb{K})\), \(X \in M_{p,1}(\mathbb{K})\), \(B \in M_{n,1}(\mathbb{K})\). La matrice augmentée est \((A \mid B)\). Les opérations élémentaires sur les lignes sont notées \(L_i \leftrightarrow L_j\) (échange), \(L_i \leftarrow \lambda L_i\) (dilatation, \(\lambda \ne 0\)), \(L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j\) (transvection, \(i \ne j\)) ; le raccourci composé \(L_i \leftarrow \alpha L_i + \beta L_j\) (avec \(\alpha \ne 0\), \(i \ne j\)) désigne la dilatation \(L_i \leftarrow \alpha L_i\) suivie de la transvection \(L_i \leftarrow L_i + \beta L_j\). La notation \(\mathrm{Vect}(X_1, \ldots, X_r)\) désigne l'ensemble des combinaisons linéaires \(\lambda_1 X_1 + \cdots + \lambda_r X_r\) (convention d'écriture, théorie formelle reportée au chapitre Espaces vectoriels). Dans la section 3 (Interprétation géométrique), la notation des opérations sur les lignes est utilisée comme raccourci pour « remplacer l'équation \(i\) par la combinaison linéaire indiquée » ; l'algorithme de Gauss formel est introduit en section 5.