Espaces vectoriels de dimension finie

Missions

A) Existence de bases finies
I) Espaces vectoriels de dimension finie
1) Reconnaître un espace de dimension finie	Ex 1 Ex 2 Ex 3
II) Famille libre maximale dans un espace engendré par un nombre fini
2) Utiliser la majoration du nombre de libres	Ex 4 Ex 5 Ex 6
III) Théorème de la base incomplète et théorème de la base extraite
3) Appliquer l'algorithme de la base incomplète	Ex 7 Ex 8 Ex 9
4) Extraire une base d'une famille génératrice	Ex 10 Ex 11 Ex 12
B) Dimension et rang
I) Dimension d'un espace vectoriel de dimension finie
5) Calculer la dimension d'un espace	Ex 13 Ex 14 Ex 15
II) Cardinal des familles libres et génératrices en dimension \(n\)
6) Démontrer qu'une famille est une base par comptage	Ex 16 Ex 17 Ex 18
7) Pièges de cardinal	Ex 19 Ex 20 Ex 21
III) Dimension d'un produit
8) Calculer la dimension d'un produit	Ex 22 Ex 23 Ex 24
IV) Rang d'une famille finie de vecteurs
9) Calculer le rang d'une famille	Ex 25 Ex 26 Ex 27
C) Sous-espaces et dimension
I) Dimension d'un sous-espace
10) Comparer les dimensions de sous-espaces	Ex 28 Ex 29 Ex 30
II) Formule de Grassmann
11) Appliquer Grassmann	Ex 31 Ex 32 Ex 33 Ex 34
III) Sous-espaces supplémentaires en dimension finie
12) Trouver un supplémentaire	Ex 35 Ex 36 Ex 37
13) Utiliser la caractérisation \og deux parmi trois \fg{}	Ex 38 Ex 39 Ex 40
IV) Bases adaptées à un sous-espace ou à une décomposition en somme directe
14) Compléter une base de \(F\) en une base de \(E\)	Ex 41 Ex 42 Ex 43
15) Écrire une base adaptée à une somme directe	Ex 44 Ex 45 Ex 46
D) Application : dimensions des espaces de solutions usuels	Convention Dans cette section, on utilise les résultats standards sur les équations différentielles linéaires homogènes et les récurrences linéaires : l'espace des solutions d'une équation homogène d'ordre \(r\) est un espace vectoriel de dimension \(r\), une fois connus les résultats d'existence et d'unicité à partir des conditions initiales. Ces résultats sont admis ici et démontrés dans les chapitres Équations différentielles et Suites récurrentes.
I) Équation différentielle linéaire homogène d'ordre 1
16) Calculer la dimension d'un espace de solutions	Ex 47 Ex 48 Ex 49
II) Équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants
17) Calculer la dimension d'un espace de solutions	Ex 50 Ex 51 Ex 52
III) Suites récurrentes linéaires d'ordre 2
18) Calculer la dimension d'un espace de solutions	Ex 53 Ex 54 Ex 55

Cours
Chapitre

Exercices Correction

Conventions

Dans toute cette feuille d'exercices, sauf mention contraire, \(\mathbb{K}\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), \(E\) désigne un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel, et \(n, p\) sont des entiers strictement positifs. Les espaces vectoriels de référence sont \(\mathbb{K}^n\), \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\), \(\mathbb{K}[X]\), \(\mathbb{K}_n[X]\). Les définitions générales de famille génératrice, famille libre, base, \(\mathrm{Vect}\), somme, somme directe, supplémentaire ont été données dans le chapitre précédent Espaces vectoriels ; cette feuille travaille la théorie en dimension finie : existence d'une base finie, théorème de la dimension, rang, formule de Grassmann, supplémentaires en dimension finie, bases adaptées.

A) Existence de bases finies
    I) Espaces vectoriels de dimension finie
      1) Reconnaître un espace de dimension finie Ex 1 Ex 2 Ex 3
    II) Famille libre maximale dans un espace engendré par un nombre fini
      2) Utiliser la majoration du nombre de libres Ex 4 Ex 5 Ex 6
    III) Théorème de la base incomplète et théorème de la base extraite
      3) Appliquer l'algorithme de la base incomplète Ex 7 Ex 8 Ex 9
      4) Extraire une base d'une famille génératrice Ex 10 Ex 11 Ex 12
B) Dimension et rang
    I) Dimension d'un espace vectoriel de dimension finie
      5) Calculer la dimension d'un espace Ex 13 Ex 14 Ex 15
    II) Cardinal des familles libres et génératrices en dimension \(n\)
      6) Démontrer qu'une famille est une base par comptage Ex 16 Ex 17 Ex 18
      7) Pièges de cardinal Ex 19 Ex 20 Ex 21
    III) Dimension d'un produit
      8) Calculer la dimension d'un produit Ex 22 Ex 23 Ex 24
    IV) Rang d'une famille finie de vecteurs
      9) Calculer le rang d'une famille Ex 25 Ex 26 Ex 27
C) Sous-espaces et dimension
    I) Dimension d'un sous-espace
      10) Comparer les dimensions de sous-espaces Ex 28 Ex 29 Ex 30
    II) Formule de Grassmann
      11) Appliquer Grassmann Ex 31 Ex 32 Ex 33 Ex 34
    III) Sous-espaces supplémentaires en dimension finie
      12) Trouver un supplémentaire Ex 35 Ex 36 Ex 37
      13) Utiliser la caractérisation \og deux parmi trois \fg{} Ex 38 Ex 39 Ex 40
    IV) Bases adaptées à un sous-espace ou à une décomposition en somme directe
      14) Compléter une base de \(F\) en une base de \(E\) Ex 41 Ex 42 Ex 43
      15) Écrire une base adaptée à une somme directe Ex 44 Ex 45 Ex 46
D) Application : dimensions des espaces de solutions usuels

Convention

Dans cette section, on utilise les résultats standards sur les équations différentielles linéaires homogènes et les récurrences linéaires : l'espace des solutions d'une équation homogène d'ordre \(r\) est un espace vectoriel de dimension \(r\), une fois connus les résultats d'existence et d'unicité à partir des conditions initiales. Ces résultats sont admis ici et démontrés dans les chapitres Équations différentielles et Suites récurrentes.

    I) Équation différentielle linéaire homogène d'ordre 1
      16) Calculer la dimension d'un espace de solutions Ex 47 Ex 48 Ex 49
    II) Équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants
      17) Calculer la dimension d'un espace de solutions Ex 50 Ex 51 Ex 52
    III) Suites récurrentes linéaires d'ordre 2
      18) Calculer la dimension d'un espace de solutions Ex 53 Ex 54 Ex 55

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