CommeUnJeu · L1 MPSI

Changements de bases, équivalence, similitude

⌚ ~35 min ▢ 4 blocs ✓ 28 exercices ➣ Prérequis : Représentation matricielle des applications linéaires, Espaces vectoriels de dimension finie

Le chapitre Représentation matricielle des applications linéaires a mis en place le dictionnaire $u \leftrightarrow \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}(u)$ entre une application linéaire et sa matrice, une fois une base fixée. Deux questions naturelles restaient ouvertes : comment la matrice se transforme-t-elle lorsque la base change, et quelle est la bonne façon de dire que deux matrices codent « la même » application linéaire à un changement de point de vue près ? Ce chapitre répond aux deux.
Le plan a quatre sections. Changement de base introduit la matrice de passage $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$, démontre les deux formules clés $X = P X'$ (pour un vecteur) et $A' = Q^{-1} A P$ (pour une application linéaire), et spécialise la seconde formule aux endomorphismes ($A' = P^{-1} A P$). Matrices équivalentes définit la relation d'équivalence « matrices équivalentes » sur les matrices rectangulaires et démontre que deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang --- une classification complète. Matrices semblables introduit la relation plus stricte « matrices semblables » sur les matrices carrées ; le rang et la trace sont des invariants de similitude mais, point important, ne classifient pas les classes de similitude. Trace d'un endomorphisme tire parti de l'invariance de la trace par similitude pour définir la trace d'un endomorphisme --- le premier invariant numérique d'un endomorphisme indépendant de la base que nous rencontrons.
Tout au long du chapitre, $\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}$, et tous les espaces vectoriels $E, F, G$ sont des $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimension finie, munis de bases notées $\mathcal{B}, \mathcal{B}', \mathcal{B}''$ etc. Pour une application linéaire $u \in \mathcal{L}(E, F)$ avec $\dim E = p$ et $\dim F = n$, la matrice $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}(u) \in M_{n, p}(\mathbb{K})$ se lit dans la base de départ $\mathcal{B}$ et la base d'arrivée $\mathcal{B}'$ ; pour un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$, $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) \in M_n(\mathbb{K})$ utilise la même base au départ et à l'arrivée. Les notations $\mathrm{rg}, \mathrm{Ker}, \mathrm{Im}, \mathrm{tr}$ gardent leur sens usuel. $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ désigne le groupe des matrices inversibles de taille $n$ et $\mathrm{GL}(E)$ le groupe des automorphismes de $E$.

I Changement de base

L'histoire du changement de base repose sur un seul objet : la matrice de passage $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$, dont les colonnes stockent les vecteurs de la nouvelle base exprimés dans l'ancienne. Deux formules en découlent mécaniquement. Un vecteur a deux colonnes de coordonnées $X$ (ancienne base) et $X'$ (nouvelle base) ; elles sont liées par $X = P X'$. Une application linéaire a deux représentations matricielles $A$ (ancien couple de bases) et $A'$ (nouveau couple) ; elles sont liées par $A' = Q^{-1} A P$, où $P$ est le changement au départ et $Q$ le changement à l'arrivée. Pour un endomorphisme, départ et arrivée coïncident : $A' = P^{-1} A P$.

Définition — Matrice de passage

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ deux bases de $E$. La matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$ est $$ P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}', \mathcal{B}}(\mathrm{Id}_E). $$ De façon plus explicite, notons $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$, $\mathcal{B}' = (e'_1, \dots, e'_n)$ et $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} = (a_{ij})_{1 \le i \le n,\, 1 \le j \le n}$. On a alors $$ \forall j \in \{1, \dots, n\} : \quad e'_j = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\, e_i. $$ De manière équivalente, la $j$-ième colonne de $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$ contient les coordonnées de $e'_j$ dans la base $\mathcal{B}$ :

Proposition — Propriétés de la matrice de passage

Soit $\mathcal{B}, \mathcal{B}', \mathcal{B}''$ trois bases du même $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. Alors :

Inversibilité : $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ où $n = \dim E$, d'inverse $\bigl(P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}\bigr)^{-1} = P_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}}$.
Composition : $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} \cdot P_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}''} = P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}''}$.

Preuve

Les deux propriétés découlent de l'isomorphisme de dictionnaire du chapitre Représentation matricielle des applications linéaires.

Inversibilité. L'identité $\mathrm{Id}_E$ est un automorphisme de $E$, donc par le théorème « iso $\Leftrightarrow$ matrice inversible », $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}', \mathcal{B}}(\mathrm{Id}_E)$ est inversible et son inverse vaut $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}(\mathrm{Id}_E^{-1}) = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}(\mathrm{Id}_E) = P_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}}$.
Composition. Appliquer le théorème « composition devient produit matriciel » à $\mathrm{Id}_E \circ \mathrm{Id}_E = \mathrm{Id}_E$ lue dans les trois bases $\mathcal{B}'', \mathcal{B}', \mathcal{B}$ : $$ \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'', \mathcal{B}}(\mathrm{Id}_E) = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}', \mathcal{B}}(\mathrm{Id}_E) \cdot \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'', \mathcal{B}'}(\mathrm{Id}_E), $$ ce qui se lit $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}''} = P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} \cdot P_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}''}$.

Exemple

Dans $\mathbb{R}^2$, prenons la base canonique $\mathcal{B} = ((1, 0), (0, 1))$ et la base $\mathcal{B}' = ((1, 1), (1, -1))$. Les colonnes de $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$ sont les coordonnées de $(1, 1)$ et $(1, -1)$ dans $\mathcal{B}$, qui se lisent directement : $$ P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}. $$ L'inverse $P_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}}$ s'obtient par Gauss-Jordan ou par inversion directe $2 \times 2$ : $P_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$.

Exemple

Dans $\mathbb{R}_2[X]$, prenons la base canonique $\mathcal{B} = (1, X, X^2)$ et la base de Taylor au point $a \in \mathbb{R}$ : $\mathcal{B}' = (1, X - a, (X - a)^2)$. Le développement donne $(X - a)^2 = X^2 - 2 a X + a^2$, donc les colonnes de $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$ valent $$ P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & -a & a^2 \\ 0 & 1 & -2 a \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$ La matrice est triangulaire supérieure de diagonale $(1, 1, 1)$, donc inversible --- ce qui confirme que $\mathcal{B}'$ est bien une base.

Méthode — Calculer la matrice de passage

Pour calculer $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$ :

Lire chaque vecteur $e'_j$ de $\mathcal{B}'$.
Décomposer $e'_j$ dans $\mathcal{B}$ : $e'_j = a_{1j} e_1 + \dots + a_{nj} e_n$.
La $j$-ième colonne de $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$ est $(a_{1j}, \dots, a_{nj})^\top$.

Les colonnes de $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$ sont les vecteurs de $\mathcal{B}'$ exprimés dans $\mathcal{B}$. Échanger les rôles pour obtenir $P_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}}$ --- ou inverser la matrice.

Theorem — Changement de base pour un vecteur

Soit $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ deux bases d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. Pour tout $x \in E$, avec $X = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(x)$ et $X' = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(x)$ : $$ X = P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} \, X'. $$

Preuve

Appliquer la formule matrice-vecteur du chapitre Représentation matricielle des applications linéaires à l'identité $\mathrm{Id}_E$ et au vecteur $x$, lue avec base de départ $\mathcal{B}'$ et base d'arrivée $\mathcal{B}$ : $$ \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(\mathrm{Id}_E(x)) = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}', \mathcal{B}}(\mathrm{Id}_E) \cdot \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(x). $$ Comme $\mathrm{Id}_E(x) = x$, le membre de gauche vaut $X$ ; le membre de droite vaut $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} \cdot X'$, d'où $X = P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} X'$.

Attention à la convention

La matrice de passage convertit les NOUVELLES coordonnées en ANCIENNES coordonnées, et non l'inverse : $$ X = P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} \, X' \qquad \text{(nouvelles $X'$ à droite, anciennes $X$ à gauche).} $$ Pour passer des anciennes aux nouvelles, inverser : $X' = \bigl(P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}\bigr)^{-1} X = P_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}} X$.
C'est le principal piège du chapitre --- les étudiants s'attendent souvent au sens opposé. La convention est forcée par la définition $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}', \mathcal{B}}(\mathrm{Id}_E)$ : les colonnes sont les vecteurs de $\mathcal{B}'$ dans $\mathcal{B}$, donc multiplier par $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$ « reconvertit les coordonnées de $\mathcal{B}'$ vers $\mathcal{B}$ ».

Exemple

Avec les bases $\mathcal{B} = ((1, 0), (0, 1))$ et $\mathcal{B}' = ((1, 1), (1, -1))$ de $\mathbb{R}^2$ comme précédemment, prenons $x = (3, 5)$. Dans la base canonique, $X = (3, 5)^\top$ directement. Les coordonnées $X' = (a, b)^\top$ dans $\mathcal{B}'$ vérifient $X = P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} X'$, soit $a + b = 3$ et $a - b = 5$. L'addition donne $a = 4$, puis $b = -1$. Donc $X' = (4, -1)^\top$.

Méthode — Passer d'une base à l'autre pour un vecteur

Étant donnés $P = P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$ et un vecteur $x$ dont on connaît les coordonnées dans une base :

Nouvelles $\to$ anciennes : si $X'$ est connu, alors $X = P X'$ directement.
Anciennes $\to$ nouvelles : si $X$ est connu, alors $X' = P^{-1} X$. Soit inverser $P$, soit résoudre le système linéaire $P X' = X$ d'inconnue $X'$.

Theorem — Changement de bases pour une application linéaire

Soit $u \in \mathcal{L}(E, F)$ avec $E$ et $F$ de dimension finie. Soit $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ deux bases de $E$ et $\mathcal{C}, \mathcal{C}'$ deux bases de $F$. Posons $P = P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$, $Q = P_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}'}$, $A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}(u)$, $A' = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}', \mathcal{C}'}(u)$. Alors $$ A' = Q^{-1} \, A \, P. $$

Preuve

Appliquer le théorème « composition devient produit matriciel » à $u \circ \mathrm{Id}_E = \mathrm{Id}_F \circ u$, lue avec base de départ $\mathcal{B}'$ et base d'arrivée $\mathcal{C}$ : $$ \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}', \mathcal{C}}(u \circ \mathrm{Id}_E) = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}', \mathcal{C}}(\mathrm{Id}_F \circ u). $$ Le membre de gauche se factorise en $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}(u) \cdot \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}', \mathcal{B}}(\mathrm{Id}_E) = A \cdot P$. Le membre de droite se factorise en $\mathrm{Mat}_{\mathcal{C}', \mathcal{C}}(\mathrm{Id}_F) \cdot \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}', \mathcal{C}'}(u) = Q \cdot A'$. D'où $A P = Q A'$, et $Q$ étant inversible, $A' = Q^{-1} A P$.

Le diagramme commutatif ci-dessous illustre la formule. Chaque sommet est un espace de coordonnées, chaque flèche horizontale code $u$ dans le couple de bases correspondant, et chaque flèche verticale code le changement de base (nouvelles $\to$ anciennes). La commutativité du carré se lit $A P = Q A'$, soit $A' = Q^{-1} A P$.

Corollary — Cas d'un endomorphisme

Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ avec $E$ de dimension finie. Soit $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ deux bases de $E$. Posons $P = P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$, $A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u)$, $A' = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(u)$. Alors $$ A' = P^{-1} \, A \, P. $$

Preuve

Cas particulier du théorème précédent avec $E = F$, $\mathcal{C} = \mathcal{B}$, $\mathcal{C}' = \mathcal{B}'$, donc $Q = P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} = P$.

Exemple

Prenons l'endomorphisme $u \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, $u(x, y) = (x + y, y)$ (un cisaillement). Dans la base canonique $\mathcal{B} = ((1, 0), (0, 1))$, $u(1, 0) = (1, 0)$ et $u(0, 1) = (1, 1)$, donc $$ A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. $$ Passons à la base $\mathcal{B}' = ((1, 1), (0, 1))$. Les colonnes de $P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$ sont les vecteurs de la nouvelle base exprimés dans la base canonique : $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, et $P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$. Calculons étape par étape : $$ A P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A' = P^{-1} (A P) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. $$ La nouvelle matrice $A'$ est véritablement différente de $A$ --- les coefficients ont changé --- mais $\mathrm{tr}(A') = 2 + 0 = 2 = 1 + 1 = \mathrm{tr}(A)$ et $\det(A') = 2 \cdot 0 - 1 \cdot (-1) = 1 = \det(A)$, ce qui confirme que les deux matrices codent le même cisaillement dans deux bases différentes.

Méthode — Appliquer la formule de changement de base

Pour calculer $A' = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}', \mathcal{C}'}(u)$ à partir de $A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}(u)$ :

Identifier la matrice de passage au départ $P = P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$.
Identifier la matrice de passage à l'arrivée $Q = P_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}'}$.
Calculer $A' = Q^{-1} A P$ (produit matriciel).

Pour un endomorphisme avec un seul changement de base, $P = Q$ et la formule devient $A' = P^{-1} A P$.

Compétences à pratiquer

Changement de base

II Matrices équivalentes

Le second « exemple fondamental » du théorème de changement de base s'énonce : deux matrices d'une même application linéaire dans des couples de bases différents vérifient $A' = Q^{-1} A P$ pour certaines matrices inversibles $P, Q$. En lisant la chose à l'envers, on déclare deux matrices « identiques à un choix de bases près » dès qu'elles sont reliées par une telle formule. Cela donne la relation nommée « matrices équivalentes » sur $M_{n, p}(\mathbb{K})$, que l'on étudie maintenant. Le résultat majeur est frappant : l'équivalence est entièrement classifiée par le rang.
On rappelle du chapitre Représentation matricielle des applications linéaires la forme normale canonique : pour $r \in \llbracket 0, \min(n, p) \rrbracket$, $$ J_{n, p, r} = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in M_{n, p}(\mathbb{K}). $$

Définition — Matrices équivalentes

Deux matrices $A, B \in M_{n, p}(\mathbb{K})$ sont équivalentes s'il existe $P \in \mathrm{GL}_p(\mathbb{K})$ et $Q \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ tels que $$ B = Q^{-1} \, A \, P. $$ On note $A \sim_{\mathrm{eq}} B$.

Proposition — Deux exemples fondamentaux d'équivalence

Deux manières naturelles de produire des matrices équivalentes :

Opérations élémentaires. Si $B$ s'obtient à partir de $A$ par une suite d'opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes, alors $A \sim_{\mathrm{eq}} B$.
Même application, couples de bases différents. Pour $u \in \mathcal{L}(E, F)$ avec $\dim E = p, \dim F = n$, et pour deux couples de bases $(\mathcal{B}, \mathcal{C})$ et $(\mathcal{B}', \mathcal{C}')$ de $E, F$ : $$ \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}(u) \sim_{\mathrm{eq}} \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}', \mathcal{C}'}(u). $$

Preuve

Opérations élémentaires. Chaque opération élémentaire sur les lignes est une multiplication à gauche par une matrice inversible ; chaque opération élémentaire sur les colonnes est une multiplication à droite par une matrice inversible (chapitre Calcul matriciel). Après une suite d'opérations, $B = Q^{-1} A P$ avec $Q^{-1}$ produit de matrices d'opérations sur les lignes et $P$ produit de matrices d'opérations sur les colonnes, toutes inversibles.
Même application, couples de bases différents. C'est le théorème de changement de base de Changement de base : $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}', \mathcal{C}'}(u) = Q^{-1} \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}(u) P$ où $P = P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}, Q = P_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}'}$ sont des matrices de passage inversibles.

Theorem — Propriétés de l'équivalence

La relation $\sim_{\mathrm{eq}}$ sur $M_{n, p}(\mathbb{K})$ vérifie :

Relation d'équivalence : $\sim_{\mathrm{eq}}$ est réflexive, symétrique, transitive.
Classification par le rang : $A \sim_{\mathrm{eq}} B \iff \mathrm{rg}(A) = \mathrm{rg}(B)$.
Forme normale : toute matrice $A \in M_{n, p}(\mathbb{K})$ de rang $r$ vérifie $A \sim_{\mathrm{eq}} J_{n, p, r}$.

Preuve

Relation d'équivalence. Réflexivité : $A = I_n^{-1} A I_p$. Symétrie : $B = Q^{-1} A P \Rightarrow A = Q B P^{-1} = (Q^{-1})^{-1} B (P^{-1})$, les deux facteurs inversibles. Transitivité : $B = Q_1^{-1} A P_1$ et $C = Q_2^{-1} B P_2$ donnent $C = (Q_1 Q_2)^{-1} A (P_1 P_2)$.
Forme normale (toute matrice de rang $r$ est équivalente à $J_{n,p,r}$). C'est exactement le théorème de forme normale du rang du chapitre Représentation matricielle des applications linéaires : il existe $P, Q$ inversibles avec $J_{n, p, r} = Q^{-1} A P$, donc $A \sim_{\mathrm{eq}} J_{n, p, r}$.
Classification par le rang. $(\Rightarrow)$ La multiplication à gauche ou à droite par une matrice inversible conserve le rang (chapitre Représentation matricielle des applications linéaires, Proposition « La multiplication par une matrice inversible conserve le rang »), donc $B = Q^{-1} A P \Rightarrow \mathrm{rg}(B) = \mathrm{rg}(A)$. $(\Leftarrow)$ Si $\mathrm{rg}(A) = \mathrm{rg}(B) = r$, alors par le point « Forme normale » $A$ et $B$ sont équivalentes à $J_{n, p, r}$, et la transitivité donne $A \sim_{\mathrm{eq}} B$.

Exemple

Montrer que $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = J_{2, 3, 2}$ sont équivalentes.

Correction

Calculons $\mathrm{rg}(A)$. Réduction par lignes : $L_2 \leftarrow L_2 - 4 L_1 = (0, -3, -6)$, deux pivots, donc $\mathrm{rg}(A) = 2$. De même $\mathrm{rg}(B) = 2$. Par le théorème de classification, $A \sim_{\mathrm{eq}} B$.

Exemple

Toutes les matrices non nulles de rang 1 dans $M_2(\mathbb{R})$ sont équivalentes à $J_{2, 2, 1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Par exemple, $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}$ ont toutes le rang 1, donc sont équivalentes deux à deux.

Corollary — Rang par transposition

Pour toute $A \in M_{n, p}(\mathbb{K})$, $\mathrm{rg}(A) = \mathrm{rg}(A^\top)$.
Ce résultat a été établi directement au chapitre Représentation matricielle des applications linéaires (le corollaire « rang en lignes $=$ rang en colonnes » établi alors). Le cadre de l'équivalence en donne une reformulation : $A \sim_{\mathrm{eq}} J_{n, p, r}$ dans $M_{n, p}(\mathbb{K})$, et par transposition $A^\top \sim_{\mathrm{eq}} J_{p, n, r}$ dans $M_{p, n}(\mathbb{K})$, toutes deux de rang $r$.

Theorem — Rang par sous-matrice extraite

Pour toute $A \in M_{n, p}(\mathbb{K})$, le rang $\mathrm{rg}(A)$ est la taille maximale d'une sous-matrice carrée inversible que l'on peut extraire de $A$.

Preuve

Posons $r = \mathrm{rg}(A)$.

Existence d'une sous-matrice $r \times r$ inversible extraite. Comme $\mathrm{rg}(A) = r$, $A$ a $r$ colonnes libres. Soit $C \in M_{n, r}(\mathbb{K})$ la matrice formée de ces $r$ colonnes ; $C$ est de rang $r$. Par le théorème « rang en lignes égal rang en colonnes » (Corollaire ci-dessus), $C$ a aussi $r$ lignes libres. La sous-matrice $r \times r$ obtenue en intersectant ces $r$ lignes avec les $r$ colonnes choisies de $A$ a un rang en colonnes égal à $r$, donc est inversible.
Pas de sous-matrice inversible extraite plus grande. Réciproquement, supposons qu'une sous-matrice $s \times s$ inversible $M$ soit extraite de $A$ (donc $s$ lignes et $s$ colonnes de $A$ ont été sélectionnées). Les $s$ colonnes choisies de $A$ ont une restriction à ces $s$ lignes qui est exactement $M$, donc de rang $s$. Les colonnes choisies sont elles-mêmes libres dans $\mathbb{K}^n$, ce qui force $s \le \mathrm{rg}(A) = r$.

Les deux inégalités donnent $r = $ taille maximale d'une sous-matrice inversible extraite.

Méthode — Montrer que deux matrices sont équivalentes

Pour $A, B \in M_{n, p}(\mathbb{K})$ :

Calculer $\mathrm{rg}(A)$ et $\mathrm{rg}(B)$ (par exemple par élimination de Gauss sur les lignes ; ou par le théorème du rang par sous-matrice extraite, en cherchant une grande sous-matrice carrée inversible).
Si $\mathrm{rg}(A) = \mathrm{rg}(B)$, conclure $A \sim_{\mathrm{eq}} B$ par le théorème de classification.
Si $P, Q$ explicites sont demandés, réduire $A$ et $B$ à la même forme normale $J_{n, p, r}$ par opérations élémentaires : les opérations sur les lignes de $A$ s'accumulent dans $Q^{-1}$ (facteur de gauche), les opérations sur les colonnes dans $P$ (facteur de droite), jusqu'à atteindre $J_{n, p, r}$ ; faire de même pour $B$ ; composer les deux factorisations pour exprimer $B = Q^{-1} A P$.

Compétences à pratiquer

Matrices équivalentes

III Matrices semblables

L'équivalence autorise des changements de base indépendants au départ et à l'arrivée : $B = Q^{-1} A P$ avec deux matrices inversibles $P, Q$ sans rapport. Pour un endomorphisme, départ et arrivée coïncident, et changer la base de $E$ force $P = Q$. La même matrice de passage apparaît des deux côtés : $B = P^{-1} A P$. Cette relation plus stricte est appelée similitude ; elle préserve davantage de structure que l'équivalence --- notamment, la trace.

Définition — Matrices semblables

Deux matrices carrées $A, B \in M_n(\mathbb{K})$ sont semblables s'il existe $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ tel que $$ B = P^{-1} \, A \, P. $$ On note $A \sim_{\mathrm{sim}} B$. La similitude est définie uniquement entre matrices carrées de même taille.

Proposition — Exemple fondamental de similitude

Pour $u \in \mathcal{L}(E)$ avec $E$ de dimension finie, les matrices $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u)$ et $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(u)$ dans deux bases de $E$ sont semblables.

Preuve

Conséquence directe du corollaire « cas d'un endomorphisme » de Changement de base : $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(u) = P^{-1} \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) P$ où $P = P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$.

Theorem — Propriétés de la similitude

La relation $\sim_{\mathrm{sim}}$ sur $M_n(\mathbb{K})$ vérifie :

Relation d'équivalence : $\sim_{\mathrm{sim}}$ est réflexive, symétrique, transitive.
Invariants : deux matrices semblables ont le même rang et la même trace.

Preuve

Relation d'équivalence. Même schéma que pour $\sim_{\mathrm{eq}}$, cas particulier $Q = P$.
Invariance du rang. Deux matrices semblables sont équivalentes (avec $Q = P$), donc elles ont le même rang par le théorème de classification de l'équivalence.
Invariance de la trace. Pour $B = P^{-1} A P$, utiliser la cyclicité $\mathrm{tr}(X Y) = \mathrm{tr}(Y X)$ du chapitre Calcul matriciel : $$ \begin{aligned} \mathrm{tr}(B) &= \mathrm{tr}(P^{-1} (A P)) && \text{(définition de $B$)} \\ &= \mathrm{tr}((A P) P^{-1}) && \text{(cyclicité de $\mathrm{tr}$)} \\ &= \mathrm{tr}(A (P P^{-1})) && \text{(associativité)} \\ &= \mathrm{tr}(A \, I_n) = \mathrm{tr}(A). \end{aligned} $$

Corollary — La similitude est strictement plus fine que l'équivalence

Deux matrices semblables sont équivalentes, mais la réciproque est fausse. Le rang et la trace réunis ne classifient pas les classes de similitude.

Exemple

Même rang, traces différentes $\Rightarrow$ équivalentes mais pas semblables. Prendre $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Toutes deux de rang 1, donc $A \sim_{\mathrm{eq}} B$. Mais $\mathrm{tr}(A) = 1 \ne 2 = \mathrm{tr}(B)$, donc $A \not\sim_{\mathrm{sim}} B$.

Exemple

Même rang ET même trace, mais quand même pas semblables. Prendre $A = I_2$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (un cisaillement). Toutes deux de rang 2 et de trace 2.
Supposons par l'absurde $B = P^{-1} I_2 P$ pour un certain $P \in \mathrm{GL}_2(\mathbb{R})$. Alors $B = P^{-1} P = I_2$. Or $B \ne I_2$ : contradiction. Donc $A \not\sim_{\mathrm{sim}} B$, bien que rang et trace coïncident.

Exemple

Même rang, même trace, semblables (avec $P$ explicite). Prendre $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ (échange) et $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ (diagonale). Toutes deux de rang 2 et de trace 0. Posons $$ P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}. $$ Calcul de $P^{-1} A P = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = B$. Donc $A \sim_{\mathrm{sim}} B$.

Méthode — Montrer que deux matrices carrées ne sont PAS semblables

Pour $A, B \in M_n(\mathbb{K})$, exhiber un invariant qui diffère :

Rang : si $\mathrm{rg}(A) \ne \mathrm{rg}(B)$, non semblables.
Trace : si $\mathrm{tr}(A) \ne \mathrm{tr}(B)$, non semblables.
Identités algébriques préservées : si l'une des matrices vérifie une identité polynomiale que l'autre ne vérifie pas (idempotence $X^2 = X$, involution $X^2 = I_n$, nilpotence $X^k = 0$, etc.), alors non semblables. Raison : la similitude préserve toutes ces identités, puisque $P^{-1} X^k P = (P^{-1} X P)^k$ et $P^{-1} I_n P = I_n$.

Compétences à pratiquer

Matrices semblables

IV Trace d'un endomorphisme

L'invariance de la trace par similitude transforme la notion matricielle $\mathrm{tr}(A)$ en un scalaire intrinsèque associé à un endomorphisme $u$ : choisir une base $\mathcal{B}$, écrire $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u)$, prendre sa trace matricielle ; le résultat ne dépend pas de la base. Cela donne la trace d'un endomorphisme --- le premier invariant numérique d'un endomorphisme indépendant de la base que nous rencontrons dans ce chapitre.

Définition — Trace d'un endomorphisme

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$. La trace de $u$, notée $\mathrm{tr}(u)$, est définie par $$ \mathrm{tr}(u) = \mathrm{tr}\bigl(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u)\bigr) \quad \text{pour toute base $\mathcal{B}$ de $E$}. $$ La valeur est indépendante de la base $\mathcal{B}$ par invariance de la trace matricielle par similitude établie dans Matrices semblables.

Theorem — Propriétés de la trace

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie. L'application $\mathrm{tr} \colon \mathcal{L}(E) \to \mathbb{K}$ vérifie :

Linéarité : $\mathrm{tr}(\lambda u + \mu v) = \lambda \mathrm{tr}(u) + \mu \mathrm{tr}(v)$ pour $u, v \in \mathcal{L}(E)$, $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$.
Cyclicité : $\mathrm{tr}(u \circ v) = \mathrm{tr}(v \circ u)$ pour $u, v \in \mathcal{L}(E)$.
Invariance par conjugaison : $\mathrm{tr}(g \circ u \circ g^{-1}) = \mathrm{tr}(u)$ pour $u \in \mathcal{L}(E)$ et $g \in \mathrm{GL}(E)$.

Preuve

Fixer une base $\mathcal{B}$ de $E$ et poser $A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u)$, $B = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(v)$, $G = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(g)$. Les trois propriétés se transfèrent des matrices aux endomorphismes via l'isomorphisme de dictionnaire $\mathcal{L}(E) \to M_n(\mathbb{K})$.

Linéarité. $$ \begin{aligned} \mathrm{tr}(\lambda u + \mu v) &= \mathrm{tr}(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(\lambda u + \mu v)) && \text{(définition de la trace d'un endo)} \\ &= \mathrm{tr}(\lambda A + \mu B) && \text{(linéarité de $\mathrm{Mat}$)} \\ &= \lambda \, \mathrm{tr}(A) + \mu \, \mathrm{tr}(B) && \text{(linéarité de la trace matricielle)} \\ &= \lambda \, \mathrm{tr}(u) + \mu \, \mathrm{tr}(v) && \text{(définition de la trace d'un endo).} \end{aligned} $$
Cyclicité. $\mathrm{tr}(u \circ v) = \mathrm{tr}(A B) = \mathrm{tr}(B A) = \mathrm{tr}(v \circ u)$ par cyclicité de la trace matricielle.
Invariance par conjugaison. $\mathrm{tr}(g \circ u \circ g^{-1}) = \mathrm{tr}(G A G^{-1}) = \mathrm{tr}(A)$ par invariance de la trace matricielle par similitude (cf.\ Matrices semblables).

Proposition — Trace d'un projecteur

Pour un projecteur $p \in \mathcal{L}(E)$ ($p \circ p = p$) avec $E$ de dimension finie : $$ \mathrm{tr}(p) = \mathrm{rg}(p). $$

Preuve

Au chapitre Représentation matricielle des applications linéaires, on a vu que pour un projecteur $p$ sur $\mathrm{Im}\, p$ parallèlement à $\mathrm{Ker}\, p$, la matrice dans une base adaptée à $E = \mathrm{Im}\, p \oplus \mathrm{Ker}\, p$ vaut $$ \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(p) = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0_{n - r} \end{pmatrix}, \qquad r = \mathrm{rg}(p). $$ La trace matricielle donne $\mathrm{tr}(p) = r = \mathrm{rg}(p)$.

Exemple

La dérivation $\Function{\Phi}{\mathbb{R}_n[X]}{\mathbb{R}_n[X]}{P}{P'}$ a pour trace $0$. Dans la base canonique, $\mathrm{Mat}(\Phi)$ est triangulaire supérieure stricte (coefficients diagonaux nuls), donc $\mathrm{tr}(\Phi) = 0$.

Exemple

Une symétrie $s$ sur $E$ par rapport à $F$ parallèlement à $G$, avec $\dim F = r$ et $\dim G = n - r$, a pour matrice $\mathrm{diag}(I_r, -I_{n - r})$ dans une base adaptée. Donc $$ \mathrm{tr}(s) = r + (-(n - r)) = 2 r - n. $$ En particulier, lorsque $r = n / 2$ (seulement possible si $n$ est pair), $\mathrm{tr}(s) = 0$.

Méthode — Calculer la trace d'un endomorphisme

Pour calculer $\mathrm{tr}(u)$ pour $u \in \mathcal{L}(E)$ :

Choisir la base $\mathcal{B}$ de $E$ la plus pratique --- souvent la base canonique, ou une base adaptée à une décomposition en somme directe connue (projecteur, symétrie).
Calculer $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u)$.
Lire $\mathrm{tr}(u)$ comme somme des coefficients diagonaux.

L'indépendance par rapport à la base de $\mathrm{tr}(u)$ signifie que n'importe quelle base convient --- choisir celle qui minimise les calculs.

Exemple

Calculer $\mathrm{tr}(u)$ pour $u \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$, $u(x, y) = (3 x + 2 y, x + 4 y)$.

Correction

Dans la base canonique, $u(1, 0) = (3, 1)$ et $u(0, 1) = (2, 4)$, donc $$ \mathrm{Mat}(u) = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}. $$ D'où $\mathrm{tr}(u) = 3 + 4 = 7$.

Ceci clôt le bloc d'algèbre linéaire à ce niveau. L'équivalence est entièrement classifiée par le rang. La similitude est plus subtile : le rang et la trace sont des invariants utiles pour prouver la non-similitude, mais ils ne classifient pas les classes de similitude --- affiner davantage la similitude est l'objet de la théorie des valeurs propres, abordée en L2. Les chapitres suivants abordent le groupe symétrique (préparant les déterminants), puis les déterminants eux-mêmes.

Compétences à pratiquer

Trace d'un endomorphisme