Arithmétique des polynômes

Missions

A) Divisibilité dans \(\mathbb{K}[X]\)
I) Rappel : relation de divisibilité
1) Appliquer les propriétés de divisibilité	Ex 1
II) Polynômes associés
2) Reconnaître les polynômes associés et utiliser la forme unitaire	Ex 2 Ex 3 Ex 4
B) PGCD et algorithme d'Euclide
I) Définition du PGCD
3) Lire le PGCD unitaire à partir d'une factorisation	Ex 5
II) Idée fondamentale et algorithme d'Euclide
4) Calculer \(A \wedge B\) par l'algorithme d'Euclide	Ex 6 Ex 7 Ex 8 Ex 9
III) Diviseurs communs et PGCD
5) Lister les diviseurs communs de deux polynômes	Ex 10
IV) Identité de Bézout
6) Calculer un couple de Bézout dans \(\mathbb{K}[X]\)	Ex 11 Ex 12 Ex 13
C) Plus petit commun multiple
I) Définition
7) Lire le PPCM unitaire à partir d'une factorisation	Ex 14
II) Multiples communs
8) Lister les multiples communs de deux polynômes	Ex 15
III) La relation PGCD-PPCM
9) Calculer \(A \vee B\) et utiliser la relation PGCD-PPCM	Ex 16 Ex 17 Ex 18
IV) Exemple traité
10) Calculer le PGCD et le PPCM par factorisation	Ex 19
D) Polynômes premiers entre eux
I) Définition et théorème de Bézout
11) Reconnaître les polynômes premiers entre eux	Ex 20 Ex 21 Ex 22
II) Lemme de Gauss et conséquences
12) Appliquer le théorème de Bézout et le lemme de Gauss	Ex 23 Ex 24 Ex 25 Ex 26
III) Application : coprimalité via les racines complexes communes
13) Décider la coprimalité via les racines complexes	Ex 27
E) Arithmétique de plusieurs polynômes
I) Définition et calcul récursif
14) Calculer le PGCD de plusieurs polynômes	Ex 28
II) Bézout pour plusieurs polynômes
15) Calculer une combinaison de Bézout pour trois polynômes	Ex 29 Ex 30
III) Premiers entre eux dans leur ensemble vs.~deux à deux
16) Distinguer premiers entre eux dans l'ensemble et deux à deux	Ex 31 Ex 32
F) Pour aller plus loin
I) Problèmes de synthèse	Ex 33 Ex 34 Ex 35

Cours
Chapitre

Exercices Correction

Convention

Tout au long de cette feuille, \(\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\) et un diviseur est toujours un polynôme non nul (convention du cours). Notations : \(A \wedge B\) pour le PGCD unitaire, \(A \vee B\) pour le PPCM unitaire, \(\mathbb{K}[X]^*\) pour les polynômes non nuls, \(\sim\) pour la relation d'association. Le PGCD \(A \wedge B\) est défini lorsque \((A, B) \neq (0, 0)\) ; le PPCM \(A \vee B\) est défini pour \(A, B \in \mathbb{K}[X]^*\) et étendu par convention \(A \vee B := 0\) lorsque \(A = 0\) ou \(B = 0\).

A) Divisibilité dans \(\mathbb{K}[X]\)
    I) Rappel : relation de divisibilité
      1) Appliquer les propriétés de divisibilité Ex 1
    II) Polynômes associés
      2) Reconnaître les polynômes associés et utiliser la forme unitaire Ex 2 Ex 3 Ex 4
B) PGCD et algorithme d'Euclide
    I) Définition du PGCD
      3) Lire le PGCD unitaire à partir d'une factorisation Ex 5
    II) Idée fondamentale et algorithme d'Euclide
      4) Calculer \(A \wedge B\) par l'algorithme d'Euclide Ex 6 Ex 7 Ex 8 Ex 9
    III) Diviseurs communs et PGCD
      5) Lister les diviseurs communs de deux polynômes Ex 10
    IV) Identité de Bézout
      6) Calculer un couple de Bézout dans \(\mathbb{K}[X]\) Ex 11 Ex 12 Ex 13
C) Plus petit commun multiple
    I) Définition
      7) Lire le PPCM unitaire à partir d'une factorisation Ex 14
    II) Multiples communs
      8) Lister les multiples communs de deux polynômes Ex 15
    III) La relation PGCD-PPCM
      9) Calculer \(A \vee B\) et utiliser la relation PGCD-PPCM Ex 16 Ex 17 Ex 18
    IV) Exemple traité
      10) Calculer le PGCD et le PPCM par factorisation Ex 19
D) Polynômes premiers entre eux
    I) Définition et théorème de Bézout
      11) Reconnaître les polynômes premiers entre eux Ex 20 Ex 21 Ex 22
    II) Lemme de Gauss et conséquences
      12) Appliquer le théorème de Bézout et le lemme de Gauss Ex 23 Ex 24 Ex 25 Ex 26
    III) Application : coprimalité via les racines complexes communes
      13) Décider la coprimalité via les racines complexes Ex 27
E) Arithmétique de plusieurs polynômes
    I) Définition et calcul récursif
      14) Calculer le PGCD de plusieurs polynômes Ex 28
    II) Bézout pour plusieurs polynômes
      15) Calculer une combinaison de Bézout pour trois polynômes Ex 29 Ex 30
    III) Premiers entre eux dans leur ensemble vs.~deux à deux
      16) Distinguer premiers entre eux dans l'ensemble et deux à deux Ex 31 Ex 32
F) Pour aller plus loin
    I) Problèmes de synthèse Ex 33 Ex 34 Ex 35

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