CommeUnJeu · L1 MPSI

Sous-espaces affines

⌚ ~91 min ▢ 11 blocs ✓ 32 exercices ➣ Prérequis : Espaces vectoriels

Tout élément d'un espace vectoriel $E$ se lit de deux manières : comme vecteur (un déplacement) ou comme point (une position, une fois une origine fixée). Sous la seconde lecture, les sous-espaces $F$ de $E$ sont exactement les « ensembles plats passant par l'origine » : droites passant par $0_E$, plans passant par $0_E$, etc. L'étape suivante naturelle est d'autoriser à translater ces ensembles plats hors de l'origine --- une droite ne passant pas par $0_E$, un plan évitant $0_E$. Les objets ainsi obtenus s'appellent sous-espaces affines : ensembles de la forme $\mathcal{F} = x + F$ où $F$ est un sous-espace et $x$ un vecteur quelconque de $E$. Le sous-espace $F$ est intrinsèque à $\mathcal{F}$ ; on l'appelle la direction de $\mathcal{F}$.
Le chapitre a deux objectifs pédagogiques. D'abord, étendre l'intuition géométrique de la géométrie affine du lycée (droites, plans, parallélisme, intersections) au cadre des espaces vectoriels quelconques. Ensuite, reconnaître, dans plusieurs problèmes déjà rencontrés --- systèmes linéaires, équations différentielles, suites arithmético-géométriques, interpolation polynomiale --- la même forme récurrente « ensemble des solutions de $u(x) = a$ » : soit vide, soit un sous-espace affine de direction $\mathrm{Ker}\,u$. Ce point de vue unificateur est le résultat-phare du chapitre.
Conventions du chapitre. $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ; $E$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Les sous-espaces vectoriels de $E$ sont notés avec des majuscules droites $F, G, H, \ldots$ ; les sous-espaces affines avec des majuscules rondes $\mathcal{F}, \mathcal{G}, \mathcal{H}, \ldots$. L'écriture $B = A + \vec u$ est équivalente à $\overrightarrow{AB} = \vec u$.

I Structure affine : points$\virgule$ vecteurs$\virgule$ translation

I.1 Points et vecteurs dans un espace vectoriel

Un même élément de $E$ peut se lire comme un point ou comme un vecteur. Le dictionnaire entre les deux lectures est le suivant : choisir une origine (le vecteur nul $0_E$) ; un point $M \in E$ s'identifie alors au vecteur déplacement $\overrightarrow{OM} = M$. Deux points $A, B$ définissent un vecteur déplacement $\overrightarrow{AB} := B - A$ (nul lorsque $A = B$) ; inversement, ajouter un vecteur $\vec u$ à un point $A$ produit un nouveau point $B = A + \vec u$. Les deux lectures ne diffèrent que par le vocabulaire --- l'ensemble sous-jacent est le même $E$.

Définition — Translation

Pour $\vec u \in E$, la translation par $\vec u$ est l'application $$ t_{\vec u} : E \longrightarrow E, \qquad A \longmapsto A + \vec u. $$ La relation $B = A + \vec u$ est équivalente à $\overrightarrow{AB} = \vec u$.

Relation de Chasles

Pour trois points $A, B, C \in E$, la relation de Chasles s'écrit $$ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}. $$ Géométriquement : « aller de $A$ à $C$ directement » revient à « aller de $A$ à $B$ puis de $B$ à $C$ ».

Exemple

Dans $\mathbb{R}^2$, prenons $A = (1\,;\,2)$ et $B = (4\,;\,6)$. Alors $\overrightarrow{AB} = B - A = (3\,;\,4)$, et la translation $t_{\overrightarrow{AB}}$ envoie l'origine $(0\,;\,0)$ sur $(3\,;\,4)$ et le point $A$ sur $A + \overrightarrow{AB} = B$.

Méthode — Lire un élément comme point ou comme vecteur

Pour travailler en « mode point » : choisir une origine (typiquement $0_E$). Chaque $M \in E$ se lit comme point, et le vecteur $\overrightarrow{OM} = M$ est le déplacement de l'origine vers $M$. Pour travailler en « mode vecteur », oublier l'origine et lire chaque élément comme un déplacement libre. Les deux lectures sont interchangeables ; le choix dépend de la mise en avant (positions : objets affines comme droites et plans, ou déplacements : opérations vectorielles).

Compétences à pratiquer

Manipuler points$\virgule$ vecteurs et translations

I.2 Sous-espaces affines : définition et direction

Un sous-espace $F$ de $E$ passant par $0_E$ est « ancré à l'origine ». Si on le translate par un vecteur $\vec u$, on obtient l'ensemble $\vec u + F$ --- toujours « plat » dans $E$ (une droite, un plan, \ldots), ne contenant plus $0_E$ sauf si $\vec u \in F$. De tels sous-espaces translatés s'appellent sous-espaces affines de $E$ ; le sous-espace $F$ d'origine est intrinsèque à l'ensemble translaté et s'appelle sa direction.

Définition — Sous-espace affine$\virgule$ direction

Une partie $\mathcal{F} \subset E$ est un sous-espace affine de $E$ s'il existe $x \in E$ et un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ tels que $$ \mathcal{F} = x + F := \{x + f : f \in F\}. $$ Le sous-espace $F$ est unique (voir la proposition ci-dessous) et s'appelle la direction de $\mathcal{F}$. Ses éléments sont les vecteurs directeurs de $\mathcal{F}$.

Attention --- les sous-espaces affines sont non vides

Comme $\mathcal{F} = x + F$ contient $x$ (car $0_E \in F$), un sous-espace affine est toujours non vide. L'ensemble vide n'est donc pas un sous-espace affine. Cette mise en garde est importante pour le théorème sur les équations linéaires $u(x) = a$ ci-dessous, dont l'ensemble des solutions est « soit vide, soit un sous-espace affine » --- le cas vide est réellement distinct.

Proposition — Unicité de la direction

Soit $\mathcal{F}$ un sous-espace affine de $E$. Si $\mathcal{F} = x + F = x' + F'$ pour certains $x, x' \in E$ et sous-espaces $F, F'$ de $E$, alors $F = F'$.

Preuve

Par symétrie, il suffit de montrer $F \subset F'$. Soit $f \in F$.

Appliquons $\mathcal{F} = x + F = x' + F'$ à l'élément $x \in x + F$ : $x = x' + f_1'$ pour un certain $f_1' \in F'$.
Appliquons la même égalité à $x + f \in x + F$ : $x + f = x' + f_2'$ pour un certain $f_2' \in F'$.

Par soustraction : $f = (x + f) - x = (x' + f_2') - (x' + f_1') = f_2' - f_1' \in F'$ (puisque $F'$ est un sous-espace). Donc $F \subset F'$. Par le même raisonnement en échangeant les rôles de $(x\,;\,F)$ et $(x'\,;\,F')$, on obtient aussi $F' \subset F$. Donc $F = F'$.

Exemple

Tout sous-espace $F$ de $E$ est un sous-espace affine : prendre $x = 0_E$, alors $F = 0_E + F$, donc $\mathcal{F} = F$ a pour direction $F$ lui-même. (La réciproque --- un sous-espace affine est vectoriel si et seulement s'il contient $0_E$ --- est consignée en corollaire juste après le théorème de caractérisation de la section suivante.)

Exemple

Dans $\mathbb{R}^3$, l'ensemble $\mathcal{F} = \{(x\,;\,y\,;\,z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 1\}$ est un sous-espace affine de $\mathbb{R}^3$.
Vérification. Le point $(1\,;\,0\,;\,0)$ vérifie $x + y + z = 1$. Pour $(x\,;\,y\,;\,z) \in \mathbb{R}^3$, $(x\,;\,y\,;\,z) \in \mathcal{F} \iff (x - 1\,;\,y\,;\,z) \in F$ où $F = \{(\alpha\,;\,\beta\,;\,\gamma) : \alpha + \beta + \gamma = 0\}$. Donc $\mathcal{F} = (1\,;\,0\,;\,0) + F$, de direction $F$ (un plan vectoriel de $\mathbb{R}^3$, de dimension $2$).

Exemple

Dans $\mathbb{R}[X]$, $\mathcal{E} = \{P \in \mathbb{R}[X] : XP' + P = 2X\}$. Montrons que $\mathcal{E}$ est un sous-espace affine et identifions sa direction.
Solution particulière. $P = X$ vérifie $X \cdot 1 + X = 2X$.
Réduction. Pour tout $P$, $P \in \mathcal{E} \iff X(P - X)' + (P - X) = 0 \iff P - X \in H$ où $H = \{P \in \mathbb{R}[X] : XP' + P = 0\}$ (une lettre neuve, car $E$ désigne déjà l'espace vectoriel ambiant). Donc $\mathcal{E} = X + H$, sous-espace affine de $\mathbb{R}[X]$ de direction $H$.
Précision sur $H$. Observons que $XP' + P = (XP)'$, donc $XP' + P = 0 \iff (XP)' = 0 \iff XP$ est constant. Comme $XP$ s'annule en $0$, la seule constante possible est $0$, soit $XP = 0$, soit $P = 0$. Donc $H = \{0\}$ et $\mathcal{E} = \{X\}$ se réduit à un seul point --- pédagogiquement parlant : un sous-espace affine peut se réduire à un singleton (dimension $0$).

Compétences à pratiquer

Reconnaître un sous-espace affine
Identifier la direction

I.3 Dimension d'un sous-espace affine

La dimension d'un sous-espace affine est héritée de sa direction. Cela rend non ambigu le nommage géométrique des sous-espaces affines par leur direction (droite, plan, hyperplan).

Définition — Dimension d'un sous-espace affine

Soit $\mathcal{F}$ un sous-espace affine de $E$ de direction $F$. Lorsque $F$ est de dimension finie, la dimension de $\mathcal{F}$ est $$ \dim \mathcal{F} := \dim F. $$

Exemple

Un point (singleton $\{A\}$) est un sous-espace affine de dimension $0$ (direction $\{0_E\}$, sous-espace de dimension $0$).
L'espace tout entier $E$ est un sous-espace affine de dimension $\dim E$ (direction $E$).
Le sous-espace affine $\mathcal{E} = \{X\}$ de l'exemple précédent est de dimension $0$.

Compétences à pratiquer

Calculer la dimension d'un sous-espace affine

I.4 Droite affine$\virgule$ plan affine$\virgule$ hyperplan affine

Les sous-espaces affines héritent leur nom de leur direction. Le vocabulaire --- droite affine, plan affine, hyperplan affine --- reprend celui déjà établi pour les versions vectorielles au chapitre Applications linéaires.

Définition — Droite affine$\virgule$ plan affine$\virgule$ hyperplan affine

Soit $\mathcal{F}$ un sous-espace affine de $E$ de direction $F$.

Si $\dim F = 1$, $\mathcal{F}$ est appelé droite affine.
Si $\dim F = 2$, $\mathcal{F}$ est appelé plan affine.
Si $F$ est un hyperplan de $E$ (i.e. $F = \mathrm{Ker}\,\varphi$ pour une forme linéaire non nulle $\varphi$, ou de manière équivalente si $\dim F = \dim E - 1$ en dimension finie), $\mathcal{F}$ est appelé hyperplan affine.

Exemple

Droite affine dans $\mathbb{R}^3$. L'ensemble $\{(1\,;\,2\,;\,3) + t(1\,;\,0\,;\,-1) : t \in \mathbb{R}\}$ est une droite affine de $\mathbb{R}^3$, passant par $(1\,;\,2\,;\,3)$ de direction $\mathrm{Vect}((1\,;\,0\,;\,-1))$ (une droite vectorielle).
Plan affine dans $\mathbb{R}^3$. L'ensemble $\{(0\,;\,0\,;\,1) + s(1\,;\,0\,;\,0) + t(0\,;\,1\,;\,0) : s, t \in \mathbb{R}\}$ est un plan affine : direction $\mathrm{Vect}(e_1\,;\,e_2)$ (le plan vectoriel $z = 0$), translaté en $z = 1$.

Exemple

Dans $\mathbb{R}_3[X]$ (dimension $4$) : l'ensemble $\mathcal{P} = \{P \in \mathbb{R}_3[X] : P(0) = 1\}$ est un hyperplan affine de $\mathbb{R}_3[X]$.
Vérification. Le polynôme constant $P_0 = 1$ vérifie $P_0(0) = 1$. La direction est $\{P : P(0) = 0\}$, noyau de la forme linéaire non nulle $\varphi : P \mapsto P(0)$. Donc $\dim \mathcal{P} = \dim \mathbb{R}_3[X] - 1 = 3$.

Compétences à pratiquer

Travailler avec droites$\virgule$ plans et hyperplans affines

II Caractérisation des sous-espaces affines

II.1 Caractérisation par un point et la direction

Une fois qu'un seul point $A$ d'un sous-espace affine est connu et que sa direction $F$ est connue, le sous-espace affine tout entier est déterminé : $\mathcal{F} = A + F$. C'est l'analogue de « un point + un vecteur directeur » caractérisant une droite dans $\mathbb{R}^2$. On en déduit un critère d'égalité simple : deux sous-espaces affines coïncident si et seulement s'ils partagent un point et ont la même direction.

Theorem — Caractérisation par la direction et un point

Soit $\mathcal{F}$ un sous-espace affine de $E$ de direction $F$. Alors pour tout $A \in \mathcal{F}$, $$ \mathcal{F} = A + F. $$ En particulier, deux sous-espaces affines sont égaux si et seulement s'ils ont la même direction et partagent un point commun.

Preuve

Par définition, $\mathcal{F} = x + F$ pour un certain $x \in E$. Étant donné $A \in \mathcal{F}$, écrivons $A = x + f_0$ avec $f_0 \in F$. Alors $x = A - f_0$, donc $$ \mathcal{F} = x + F = (A - f_0) + F = A + (F - f_0). $$ Comme $F$ est un sous-espace vectoriel, la translation $u \mapsto u - f_0$ est une bijection de $F$ sur $F$ (inverse : $u \mapsto u + f_0$) ; donc $F - f_0 = F$. Par conséquent $\mathcal{F} = A + F$.
Critère d'égalité. Si $\mathcal{F} = \mathcal{G}$, ils partagent tout point, et par unicité de la direction (établie plus haut dans ce chapitre) ils ont la même direction. Réciproquement, supposons que $\mathcal{F}$ et $\mathcal{G}$ aient la même direction $F$ et partagent un point $A$. Par ce qui vient d'être démontré, $\mathcal{F} = A + F$ et $\mathcal{G} = A + F$, donc $\mathcal{F} = \mathcal{G}$.

Corollaire --- les sous-espaces vectoriels parmi les sous-espaces affines

Un sous-espace affine $\mathcal{F}$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si $0_E \in \mathcal{F}$. En effet, si $0_E \in \mathcal{F}$, en appliquant le théorème avec $A = 0_E$ on obtient $\mathcal{F} = 0_E + F = F$, sous-espace vectoriel. Réciproquement, tout sous-espace vectoriel contient $0_E$.

Méthode — Vérifier qu'un point appartient à un sous-espace affine

Pour vérifier si $M \in E$ appartient à un sous-espace affine $\mathcal{F} = A + F$ donné : calculer le vecteur déplacement $M - A$ et vérifier qu'il appartient à la direction $F$. De manière équivalente, $M \in \mathcal{F} \iff M - A \in F$.

Exemple

Le point $M = (4\,;\,-1\,;\,0)$ appartient-il à la droite affine $\mathcal{D}$ de $\mathbb{R}^3$ passant par $A = (1\,;\,2\,;\,3)$ de direction $\mathrm{Vect}((1\,;\,-1\,;\,-1))$ ?
Calculons $M - A = (3\,;\,-3\,;\,-3) = 3 \cdot (1\,;\,-1\,;\,-1)$. Comme $(1\,;\,-1\,;\,-1) \in \mathrm{Vect}((1\,;\,-1\,;\,-1))$, $3 \cdot (1\,;\,-1\,;\,-1) \in \mathrm{Vect}((1\,;\,-1\,;\,-1))$ également. Donc $M - A \in F$, donc $M \in \mathcal{D}$.

Compétences à pratiquer

Vérifier qu'un point appartient à un sous-espace affine

II.2 Parallélisme

Deux sous-espaces affines sont parallèles lorsque leurs directions sont comparables pour l'inclusion. Lorsqu'ils ont la même dimension finie, cela revient à avoir la même direction. Ils sont strictement parallèles lorsqu'ils sont parallèles et disjoints --- l'image du lycée de deux droites parallèles qui ne se rencontrent jamais.

Définition — Parallélisme

Soient $\mathcal{F}$ et $\mathcal{G}$ deux sous-espaces affines de $E$ de directions respectives $F$ et $G$.

$\mathcal{F}$ et $\mathcal{G}$ sont dits parallèles lorsque leurs directions sont comparables pour l'inclusion : $$ F \subset G \qquad \text{ou} \qquad G \subset F. $$ Lorsqu'ils ont la même dimension finie, cela équivaut à $F = G$.
$\mathcal{F}$ et $\mathcal{G}$ sont dits strictement parallèles lorsqu'ils sont parallèles et disjoints : $$ (F \subset G \ \text{ou}\ G \subset F) \qquad \text{et} \qquad \mathcal{F} \cap \mathcal{G} = \emptyset. $$

Exemple

Dans $\mathbb{R}^3$ : $\mathcal{D}_1 = \{(0\,;\,0\,;\,0) + t(1\,;\,0\,;\,0) : t \in \mathbb{R}\}$ et $\mathcal{D}_2 = \{(0\,;\,0\,;\,1) + t(1\,;\,0\,;\,0) : t \in \mathbb{R}\}$ sont deux droites affines distinctes de même direction $\mathrm{Vect}(e_1)$. Elles sont parallèles (même direction). De plus la première est dans le plan $z = 0$ et la seconde dans $z = 1$, donc $\mathcal{D}_1 \cap \mathcal{D}_2 = \emptyset$ : elles sont strictement parallèles.

Compétences à pratiquer

Reconnaître des sous-espaces affines parallèles

II.3 Intersection de sous-espaces affines

Contrairement aux sous-espaces vectoriels --- qui partagent toujours $0_E$ et ont donc toujours une intersection non vide --- deux sous-espaces affines peuvent être disjoints. Lorsque leur intersection est non vide, elle est elle-même un sous-espace affine, de direction l'intersection des directions individuelles.

Theorem — Intersection de sous-espaces affines

Soit $(\mathcal{F}_i)_{i \in I}$ une famille non vide de sous-espaces affines de $E$ de directions respectives $(F_i)_{i \in I}$. Alors soit $$ \bigcap_{i \in I} \mathcal{F}_i = \emptyset, \qquad \text{soit} \qquad \bigcap_{i \in I} \mathcal{F}_i \text{ est un sous-espace affine de direction } \bigcap_{i \in I} F_i. $$

Preuve

Supposons $\bigcap \mathcal{F}_i \ne \emptyset$ et choisissons $A \in \bigcap \mathcal{F}_i$. Par le théorème précédent, $\mathcal{F}_i = A + F_i$ pour tout $i$. Posons $F := \bigcap_i F_i$. Montrons $\bigcap_i \mathcal{F}_i = A + F$ par double inclusion.

$(\subset)$ Soit $M \in \bigcap \mathcal{F}_i$. Pour chaque $i$, $M \in \mathcal{F}_i = A + F_i$, donc $M - A \in F_i$. En prenant l'intersection sur $i$ : $M - A \in \bigcap_i F_i = F$. Donc $M \in A + F$.
$(\supset)$ Pour tout $i$, $F \subset F_i$, donc $A + F \subset A + F_i = \mathcal{F}_i$. En intersectant sur $i$ : $A + F \subset \bigcap_i \mathcal{F}_i$.

Méthode — Calculer une intersection de sous-espaces affines

Pour calculer l'intersection $\mathcal{F} \cap \mathcal{G}$ donnée par des équations cartésiennes : empiler les équations en un seul système. Si le système est compatible (admet une solution), l'ensemble des solutions est l'intersection --- un sous-espace affine de $E$, de direction $F \cap G$. Si le système est incompatible, l'intersection est vide.

Exemple

Dans $\mathbb{R}^3$, calculons l'intersection des deux plans affines $$ \mathcal{P}_1 : x + y - z = 1, \qquad \mathcal{P}_2 : 2x - y + z = 0. $$ En additionnant les deux équations : $3x = 1$, donc $x = \tfrac{1}{3}$. En reportant dans la première : $\tfrac{1}{3} + y - z = 1$, soit $y - z = \tfrac{2}{3}$. En posant $z = s$ comme paramètre : $y = \tfrac{2}{3} + s$. Ensemble des solutions : $$ \mathcal{P}_1 \cap \mathcal{P}_2 = \left\{ \left(\tfrac{1}{3}\,;\,\tfrac{2}{3} + s\,;\,s\right) : s \in \mathbb{R} \right\} = \left(\tfrac{1}{3}\,;\,\tfrac{2}{3}\,;\,0\right) + s \cdot (0\,;\,1\,;\,1), $$ une droite affine de direction $\mathrm{Vect}((0\,;\,1\,;\,1))$.

Exemple

Dans $\mathbb{R}^3$, les deux plans parallèles $\mathcal{P}_1 : z = 0$ et $\mathcal{P}_2 : z = 1$ ont une intersection vide : le système $\{z = 0, z = 1\}$ est incompatible. Donc $\mathcal{P}_1 \cap \mathcal{P}_2 = \emptyset$.

Compétences à pratiquer

Calculer une intersection

III Équations linéaires et sous-espaces affines

III.1 Les solutions d'une équation linéaire forment un sous-espace affine

Le second objectif du chapitre est maintenant à portée. De nombreux problèmes déjà rencontrés --- systèmes linéaires, équations différentielles linéaires, suites arithmético-géométriques, interpolation polynomiale --- partagent la même forme : résoudre $u(x) = a$ où $u$ est une application linéaire entre espaces vectoriels et $a$ un vecteur cible. L'ensemble des solutions est soit vide, soit un sous-espace affine, de direction le noyau de $u$. Ce point de vue unificateur ramène tous ces problèmes à la même recette en deux temps : trouver une solution particulière ; décrire les solutions homogènes.

Theorem — Équation linéaire $u(x)$ $\equal$ $a$

Soient $E$ et $G$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels, soit $u \in \mathcal{L}(E\,;\,G)$, et soit $a \in G$. L'ensemble des solutions $$ \mathcal{S}_a := \{x \in E : u(x) = a\} $$ est soit vide, soit un sous-espace affine de $E$ de direction $\mathrm{Ker}\,u$.

Preuve

Supposons $\mathcal{S}_a \ne \emptyset$ et choisissons une solution particulière $x_0 \in \mathcal{S}_a$ (soit $u(x_0) = a$). Pour tout $x \in E$ : $$ \begin{aligned} x \in \mathcal{S}_a &\iff u(x) = a && \text{(définition)} \\ &\iff u(x) - u(x_0) = 0 && \text{(retrancher $a = u(x_0)$)} \\ &\iff u(x - x_0) = 0 && \text{(linéarité de $u$)} \\ &\iff x - x_0 \in \mathrm{Ker}\,u. \end{aligned} $$ Donc $\mathcal{S}_a = x_0 + \mathrm{Ker}\,u$, sous-espace affine de direction $\mathrm{Ker}\,u$.

Schéma --- solution particulière plus noyau

La structure « solutions $=$ une solution particulière $+$ noyau » se visualise : le noyau $\mathrm{Ker}\,u$ est un sous-espace vectoriel de $E$ (passant par l'origine) ; l'ensemble des solutions $\mathcal{S}_a$ est la copie translatée passant par n'importe quelle solution particulière $x_0$.

Corollaire --- ensembles de niveau d'une application linéaire

Pour $u \in \mathcal{L}(E\,;\,G)$ et $a \in G$, l'image réciproque $u^{-1}(\{a\})$ est par définition l'ensemble $\{x \in E : u(x) = a\}$, soit $\mathcal{S}_a$. Par le théorème, $u^{-1}(\{a\})$ est soit vide, soit un sous-espace affine de $E$ de direction $\mathrm{Ker}\,u$.
Cas particulier --- hyperplan affine : si $\varphi$ est une forme linéaire non nulle sur $E$ et $\alpha \in \mathbb{K}$, alors $$ \{x \in E : \varphi(x) = \alpha\} $$ est un hyperplan affine de $E$, de direction $\mathrm{Ker}\,\varphi$ qui est un hyperplan vectoriel. Il est automatiquement non vide : puisque $\varphi \ne 0$, il existe $x_1 \in E$ tel que $\varphi(x_1) \ne 0$, et alors $x_0 = \tfrac{\alpha}{\varphi(x_1)} x_1$ vérifie $\varphi(x_0) = \alpha$. Cela réinterprète les exemples antérieurs $$ x + y + z = 1 \quad \text{dans } \mathbb{R}^3 $$ et $$ P(0) = 1 \quad \text{dans } \mathbb{R}_3[X] $$ comme ensembles de niveau de formes linéaires explicites.

Méthode — Algorithme « structure des solutions »

Pour résoudre une équation linéaire $u(x) = a$ :

Trouver une solution particulière $x_0 \in E$ vérifiant $u(x_0) = a$ (une seule suffit).
Déterminer $\mathrm{Ker}\,u$, l'ensemble des solutions de l'équation homogène associée $u(h) = 0$.
L'ensemble des solutions complet est $\mathcal{S}_a = x_0 + \mathrm{Ker}\,u = \{x_0 + h : h \in \mathrm{Ker}\,u\}$.

Si aucune solution particulière n'existe, $\mathcal{S}_a = \emptyset$.

Compétences à pratiquer

Appliquer le théorème de structure des solutions

III.2 Application 1 : systèmes linéaires

Un système linéaire $AX = B$ avec $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $B \in \mathbb{K}^n$ est exactement l'équation $u(X) = B$ où $u : \mathbb{K}^p \to \mathbb{K}^n$, $X \mapsto AX$ (l'application linéaire canoniquement associée à $A$). Le théorème sur les équations linéaires s'applique directement.

Exemple

Résoudre le système $\{x + y - z = 1,\ 2x - y + z = 0\}$ dans $\mathbb{R}^3$ par l'algorithme « structure des solutions ».

Solution particulière. Posons $z = 0$ : le système devient $\{x + y = 1, 2x - y = 0\}$. En sommant : $3x = 1$, $x = \tfrac{1}{3}$ ; alors $y = \tfrac{2}{3}$. Donc $x_0 = (\tfrac{1}{3}\,;\,\tfrac{2}{3}\,;\,0)$.
Noyau homogène. Résolvons $\{x + y - z = 0,\ 2x - y + z = 0\}$. En sommant : $3x = 0$, $x = 0$ ; alors $y = z$. En posant $z = s$ : $\mathrm{Ker}\,u = \{(0\,;\,s\,;\,s) : s \in \mathbb{R}\} = \mathrm{Vect}((0\,;\,1\,;\,1))$.
Solution complète. $\mathcal{S} = (\tfrac{1}{3}\,;\,\tfrac{2}{3}\,;\,0) + s \cdot (0\,;\,1\,;\,1)$ pour $s \in \mathbb{R}$.

Renvoi. C'est exactement la droite affine trouvée plus haut par intersection directe dans la section « intersection de sous-espaces affines » ; l'algorithme « structure des solutions » donne la même réponse par le point de vue de l'équation linéaire.

Compétences à pratiquer

Décrire les solutions d'un système linéaire comme un sous-espace affine

III.3 Application 2 : problèmes linéaires classiques (vue d'ensemble)

Le même théorème « structure des solutions » apparaît dans trois autres cadres classiques déjà étudiés ou à étudier. Les démonstrations détaillées vivent dans les chapitres correspondants ; ici on se contente de reconnaître le schéma.

Exemple — Équation différentielle linéaire d'ordre 1

Sur un intervalle $I \subset \mathbb{R}$, pour des fonctions continues $a, b \in \mathcal{C}^0(I\,;\,\mathbb{K})$, l'équation différentielle linéaire $$ y'(x) + a(x) y(x) = b(x) $$ est l'équation $u(y) = b$ où $u : \mathcal{C}^1(I\,;\,\mathbb{K}) \to \mathcal{C}^0(I\,;\,\mathbb{K})$, $y \mapsto y' + a y$ est linéaire. Le théorème général sur les équations linéaires dit que l'ensemble des solutions est vide ou un sous-espace affine de $\mathcal{C}^1(I\,;\,\mathbb{K})$ de direction $\mathrm{Ker}\,u$ (les solutions homogènes) ; le théorème d'existence du chapitre Équations différentielles garantit qu'ici (avec $a$ et $b$ continues sur un intervalle), cet ensemble est en fait non vide. La dimension de $\mathrm{Ker}\,u$ et la forme explicite des solutions y sont dérivées.

Exemple — Équation différentielle linéaire d'ordre 2$\virgule$ à coefficients constants

Sur un intervalle $I \subset \mathbb{R}$, pour $p, q \in \mathbb{K}$ et $f \in \mathcal{C}^0(I\,;\,\mathbb{K})$, l'équation différentielle linéaire $$ y''(x) + p y'(x) + q y(x) = f(x) $$ est $u(y) = f$ où $u : \mathcal{C}^2(I\,;\,\mathbb{K}) \to \mathcal{C}^0(I\,;\,\mathbb{K})$, $y \mapsto y'' + p y' + q y$ est linéaire. Le théorème général donne « vide ou affine de direction $\mathrm{Ker}\,u$ » ; le théorème d'existence du chapitre Équations différentielles garantit la non-vacuité dans ce cadre. Admis dans le cas à coefficients constants : $\mathrm{Ker}\,u$ est de dimension $2$.

Exemple — Récurrence arithmético-géométrique

Pour $a, b \in \mathbb{K}$, considérons la récurrence $u_{n+1} = a u_n + b$. On la voit comme $\Phi(u) = b \cdot \mathbf{1}$ où $\Phi : \mathbb{K}^\mathbb{N} \to \mathbb{K}^\mathbb{N}$, $(u_n) \mapsto (u_{n+1} - a u_n)$, et $\mathbf{1} = (1\,;\,1\,;\,1\,;\,\ldots)$. Deux cas.

Cas $a \ne 1$ : choisir la solution particulière constante $\ell = b / (1 - a)$. Les solutions homogènes sont géométriques : $u_n = C a^n$ (avec la convention usuelle $a^0 = 1$, y compris pour $a = 0$). Donc $u_n = \ell + C a^n$.
Cas $a = 1$ : la récurrence devient $u_{n+1} = u_n + b$. Choisir la solution particulière $u_n = n b$. Les solutions homogènes sont les suites constantes. Donc $u_n = n b + C$.

Dans les deux cas, l'ensemble des solutions est « une suite particulière $+$ noyau de dimension $1$ » --- un sous-espace affine de $\mathbb{K}^\mathbb{N}$.

Exemple — Interpolation polynomiale

Étant donnés $n + 1$ réels distincts $a_0\,;\,\ldots\,;\,a_n$ et des valeurs cibles $b_0\,;\,\ldots\,;\,b_n \in \mathbb{R}$, on cherche $P \in \mathbb{R}_n[X]$ avec $P(a_i) = b_i$ pour tout $i$. C'est $\Phi(P) = (b_0\,;\,\ldots\,;\,b_n)$ où $\Phi : \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}^{n+1}$, $P \mapsto (P(a_0)\,;\,\ldots\,;\,P(a_n))$. Par un exercice d'Applications linéaires, $\Phi$ est une bijection (puisque les $a_i$ sont distincts, $\mathrm{Ker}\,\Phi = \{0\}$). Donc $\mathcal{S}$ est de direction $\{0\}$ et se réduit à un seul point : l'unique polynôme d'interpolation de Lagrange.

Méthode — Reconnaître le schéma d'une équation linéaire

Lorsqu'une équation s'écrit $u(x) = a$ avec $u$ une application linéaire entre deux espaces vectoriels et $a$ une cible dans le but, le théorème « structure des solutions » s'applique : l'ensemble des solutions est vide ou un sous-espace affine de direction $\mathrm{Ker}\,u$. L'algorithme « structure des solutions » réduit alors le problème à deux ingrédients :

une solution particulière ;
le noyau de $u$.

Compétences à pratiquer

Reconnaître le schéma d'une équation linéaire